Prisjetimo se prvo definicije rješenja sistema jednačina sa dvije varijable.

Definicija 1

Par brojeva naziva se rješenjem sistema jednačina u dvije varijable ako njihova zamjena u jednačinu rezultira istinitom jednakošću.

U budućnosti ćemo razmatrati sisteme od dvije jednačine sa dvije varijable.

Postoji četiri osnovna načina rješavanja sistema jednačina: metoda zamjene, metoda sabiranja, grafička metoda, metoda održavanja novih varijabli. Pogledajmo ove metode koristeći konkretne primjere. Da bismo opisali princip korišćenja prve tri metode, razmotrićemo sistem od dve linearne jednadžbe sa dve nepoznate:

Metoda zamjene

Metoda zamjene je sljedeća: uzmite bilo koju od ovih jednačina i izrazite $y$ u terminima $x$, a zatim se $y$ zamjenjuje u sistemsku jednačinu, odakle se nalazi varijabla $x.$ Nakon toga, možemo lako izračunati varijablu $y.$

Primjer 1

Izrazimo $y$ iz druge jednačine u terminima $x$:

Zamenimo prvu jednačinu i nađemo $x$:

\ \ \

Nađimo $y$:

odgovor: $(-2,\ 3)$

Metoda sabiranja.

Pogledajmo ovu metodu koristeći primjer:

Primjer 2

\[\left\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (3x-y=-9) \end(array) \right.\]

Pomnoživši drugu jednačinu sa 3, dobijamo:

\[\left\( \begin(niz)(c) (2x+3y=5) \\ (9x-3y=-27) \end(niz) \desno.\]

Sada saberimo obje jednačine zajedno:

\ \ \

Nađimo $y$ iz druge jednačine:

\[-6-y=-9\] \

odgovor: $(-2,\ 3)$

Napomena 1

Imajte na umu da je u ovoj metodi potrebno jednu ili obje jednačine pomnožiti takvim brojevima da prilikom sabiranja jedna od varijabli „nestane“.

Grafička metoda

Grafička metoda je sljedeća: obje jednačine sistema su prikazane na koordinatnoj ravni i pronađena je tačka njihovog presjeka.

Primjer 3

\[\left\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (3x-y=-9) \end(array) \right.\]

Izrazimo $y$ iz obje jednačine u terminima $x$:

\[\left\( \begin(niz)(c) (y=\frac(5-2x)(3)) \\ (y=3x+9) \end(niz) \desno.\]

Hajde da prikažemo oba grafika na istoj ravni:

Slika 1.

odgovor: $(-2,\ 3)$

Metoda za uvođenje novih varijabli

Pogledajmo ovu metodu koristeći sljedeći primjer:

Primjer 4

\[\left\( \begin(niz)(c) (2^(x+1)-3^y=-1) \\ (3^y-2^x=2) \end(niz) \right .\]

Rješenje.

Ovaj sistem je ekvivalentan sistemu

\[\left\( \begin(niz)(c) ((2\cdot 2)^x-3^y=-1) \\ (3^y-2^x=2) \end(niz) \ tačno.\]

Neka $2^x=u\ (u>0)$, i $3^y=v\ (v>0)$, dobijamo:

\[\left\( \begin(array)(c) (2u-v=-1) \\ (v-u=2) \end(array) \right.\]

Rešimo dobijeni sistem metodom sabiranja. Hajde da saberemo jednačine:

\ \

Onda iz druge jednačine dobijamo to

Vraćajući se na zamjenu, dobijamo novi sistem eksponencijalnih jednačina:

\[\left\( \begin(niz)(c) (2^x=1) \\ (3^y=3) \end(niz) \desno.\]

Dobijamo:

\[\left\( \begin(niz)(c) (x=0) \\ (y=1) \end(niz) \desno.\]

Lekcija i prezentacija na temu: "Sistemi jednadžbi. Metoda zamjene, metoda sabiranja, metoda uvođenja nove varijable"

Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, recenzije, želje! Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.

Obrazovna pomagala i simulatori u internet prodavnici Integral za 9. razred
Simulator za udžbenike Atanasyan L.S. Simulator za udžbenike Pogorelova A.V.

Metode rješavanja sistema nejednačina

Ljudi, proučavali smo sisteme jednačina i naučili kako ih rješavati pomoću grafova. Sada da vidimo koji drugi načini za rješavanje sistema postoje?
Gotovo sve metode za njihovo rješavanje se ne razlikuju od onih koje smo učili u 7. razredu. Sada moramo napraviti neke prilagodbe prema jednadžbi koje smo naučili rješavati.
Suština svih metoda opisanih u ovoj lekciji je da se sistem zameni ekvivalentnim sistemom sa jednostavnijim oblikom i rešenjem. Ljudi, zapamtite šta je ekvivalentan sistem.

Metoda zamjene

Prvi način rješavanja sistema jednačina sa dvije varijable nam je dobro poznat - ovo je metoda zamjene. Koristili smo ovu metodu za rješavanje linearnih jednadžbi. Sada da vidimo kako riješiti jednadžbe u opštem slučaju?

Kako treba postupiti prilikom donošenja odluke?
1. Izrazite jednu od varijabli u terminima druge. Varijable koje se najčešće koriste u jednadžbama su x i y. U jednoj od jednačina izražavamo jednu varijablu u terminima druge. Savjet: Pažljivo pogledajte obje jednačine prije nego počnete rješavati i odaberite onu u kojoj je lakše izraziti varijablu.
2. Zamijenite rezultirajući izraz u drugu jednačinu, umjesto varijable koja je izražena.
3. Riješite jednačinu koju smo dobili.
4. Zamijenite rezultirajuće rješenje u drugu jednačinu. Ako postoji nekoliko rješenja, onda ih morate zamijeniti uzastopno kako ne biste izgubili nekoliko rješenja.
5. Kao rezultat, dobićete par brojeva $(x;y)$, koji se moraju zapisati kao odgovor.

Primjer.
Riješite sistem sa dvije varijable koristeći metodu zamjene: $\begin(cases)x+y=5, \\xy=6\end(cases)$.

Rješenje.
Pogledajmo bliže naše jednačine. Očigledno, izražavanje y u terminima x u prvoj jednačini je mnogo jednostavnije.
$\begin(cases)y=5-x, \\xy=6\end(cases)$.
Zamijenimo prvi izraz u drugu jednačinu $\begin(cases)y=5-x, \\x(5-2x)=6\end(cases)$.
Razriješimo drugu jednačinu zasebno:
$x(5-x)=6$.
$-x^2+5x-6=0$.
$x^2-5x+6=0$.
$(x-2)(x-3)=0$.
Dobili smo dva rješenja druge jednačine $x_1=2$ i $x_2=3$.
Zamijenite sekvencijalno u drugu jednačinu.
Ako je $x=2$, onda je $y=3$. Ako je $x=3$, onda je $y=2$.
Odgovor će biti dva para brojeva.
Odgovor: $(2;3)$ i $(3;2)$.

Algebarska metoda sabiranja

Ovu metodu smo učili i u 7. razredu.
Poznato je da racionalnu jednačinu u dvije varijable možemo pomnožiti bilo kojim brojem, ne zaboravljajući pomnožiti obje strane jednačine. Jednu od jednačina smo pomnožili sa određenim brojem tako da je prilikom dodavanja rezultirajuće jednačine drugoj jednačini sistema jedna od varijabli uništena. Tada je riješena jednačina za preostalu varijablu.
Ova metoda i dalje radi, iako nije uvijek moguće uništiti jednu od varijabli. Ali to vam omogućava da značajno pojednostavite oblik jedne od jednadžbi.

Primjer.
Riješite sistem: $\begin(cases)2x+xy-1=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.

Rješenje.
Pomnožimo prvu jednačinu sa 2.
$\begin(cases)4x+2xy-2=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.
Oduzmimo drugu od prve jednačine.
$4x+2xy-2-4y-2xy-6=4x-4y-8$.
Kao što vidite, oblik rezultirajuće jednadžbe je mnogo jednostavniji od originalnog. Sada možemo koristiti metodu zamjene.
$\begin(cases)4x-4y-8=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.
Izrazimo x u terminima y u rezultirajućoj jednačini.
$\begin(cases)4x=4y+8, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\4y+2(y+2)y+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\4y+2y^2+4y+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\2y^2+8y+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\y^2+4y+3=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\(y+3)(y+1)=0\end(cases)$.
Dobili smo $y=-1$ i $y=-3$.
Zamenimo ove vrednosti redom u prvu jednačinu. Dobijamo dva para brojeva: $(1;-1)$ i $(-1;-3)$.
Odgovor: $(1;-1)$ i $(-1;-3)$.

Metoda za uvođenje nove varijable

Proučavali smo i ovu metodu, ali hajde da je pogledamo ponovo.

Primjer.
Riješite sistem: $\begin(cases)\frac(x)(y)+\frac(2y)(x)=3, \\2x^2-y^2=1\end(cases)$.

Rješenje.
Hajde da uvedemo zamjenu $t=\frac(x)(y)$.
Prepišimo prvu jednačinu sa novom varijablom: $t+\frac(2)(t)=3$.
Riješimo rezultirajuću jednačinu:
$\frac(t^2-3t+2)(t)=0$.
$\frac((t-2)(t-1))(t)=0$.
Imamo $t=2$ ili $t=1$. Hajde da uvedemo obrnutu promjenu $t=\frac(x)(y)$.
Dobili smo: $x=2y$ i $x=y$.

Za svaki od izraza, originalni sistem se mora riješiti zasebno:
$\begin(cases)x=2y, \\2x^2-y^2=1\end(cases)$. $\begin(cases)x=y, \\2x^2-y^2=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2y, \\8y^2-y^2=1\end(cases)$. $\begin(cases)x=y, \\2y^2-y^2=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2y, \\7y^2=1\end(cases)$. $\begin(cases)x=2y, \\y^2=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2y, \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(cases)$. $\begin(cases)x=y, \\y=±1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=±\frac(2)(\sqrt(7)), \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(cases)$. $\begin(cases)x=±1, \\y=±1\end(cases)$.
Dobili smo četiri para rješenja.
Odgovor: $(\frac(2)(\sqrt(7));\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(-\frac(2)(\sqrt(7));-\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(1;1)$; $(-1;-1)$.

Primjer.
Riješite sistem: $\begin(cases)\frac(2)(x-3y)+\frac(3)(2x+y)=2, \\\frac(8)(x-3y)-\frac( 9 )(2x+y)=1\end(cases)$.

Rješenje.
Hajde da uvedemo zamjenu: $z=\frac(2)(x-3y)$ i $t=\frac(3)(2x+y)$.
Prepišimo originalne jednadžbe s novim varijablama:
$\begin(cases)z+t=2, \\4z-3t=1\end(cases)$.
Koristimo algebarsku metodu sabiranja:
$\begin(cases)3z+3t=6, \\4z-3t=1\end(cases)$.
$\begin(cases)3z+3t+4z-3t=6+1, \\4z-3t=1\end(cases)$.
$\begin(cases)7z=7, \\4z-3t=1\end(cases)$.
$\begin(cases)z=1, \\-3t=1-4\end(cases)$.
$\begin(cases)z=1, \\t=1\end(cases)$.
Hajde da uvedemo obrnutu zamenu:
$\begin(cases)\frac(2)(x-3y)=1, \\\frac(3)(2x+y)=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x-3y=2, \\2x+y=3\end(cases)$.
Koristimo metodu zamjene:
$\begin(cases)x=2+3y, \\4+6y+y=3\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2+3y, \\7y=-1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2+3(\frac(-1)(7)), \\y=\frac(-1)(7)\end(cases)$.
$\begin(cases)x=\frac(11)(7), \\x=-\frac(11)(7)\end(cases)$.
Odgovor: $(\frac(11)(7);-\frac(1)(7))$.

Zadaci o sistemima jednačina za nezavisno rješenje

Riješite sisteme:
1. $\begin(cases)2x-2y=6,\\xy =-2\end(cases)$.
2. $\begin(cases)x+y^2=3, \\xy^2=4\end(cases)$.
3. $\begin(cases)xy+y^2=3,\\y^2-xy=5\end(cases)$.
4. $\begin(cases)\frac(2)(x)+\frac(1)(y)=4, \\\frac(1)(x)+\frac(3)(y)=9\ end(cases)$.
5. $\begin(cases)\frac(5)(x^2-xy)+\frac(4)(y^2-xy)=-\frac(1)(6), \\\frac(7 )(x^2-xy)-\frac(3)(y^2-xy)=\frac(6)(5)\end(cases)$.
Hajde da analiziramo dve vrste rešenja sistema jednačina:

1. Rješavanje sistema metodom zamjene.
2. Rješavanje sistema sabiranjem (oduzimanjem) sistemskih jednačina po članu.

Da bi se riješio sistem jednačina metodom supstitucije morate slijediti jednostavan algoritam:
1. Express. Iz bilo koje jednačine izražavamo jednu varijablu.
2. Zamjena. Dobivenu vrijednost zamjenjujemo u drugu jednačinu umjesto izražene varijable.
3. Riješi rezultirajuću jednačinu s jednom promjenljivom. Pronalazimo rješenje za sistem.

Riješiti sistem metodom sabiranja (oduzimanja) pojam treba:
1. Odaberite varijablu za koju ćemo napraviti identične koeficijente.
2. Sabiramo ili oduzimamo jednačine, što rezultira jednačinom s jednom promjenljivom.
3. Riješi rezultirajuću linearnu jednačinu. Pronalazimo rješenje za sistem.

Rješenje sistema su tačke preseka grafova funkcija.

Razmotrimo detaljno rješenja sistema na primjerima.

Primjer #1:

Rešimo metodom zamene

Rješavanje sistema jednačina metodom zamjene

2x+5y=1 (1 jednadžba)
x-10y=3 (2. jednadžba)

1. Express
Vidi se da u drugoj jednačini postoji varijabla x sa koeficijentom 1, što znači da je varijablu x najlakše izraziti iz druge jednačine.
x=3+10y

2. Nakon što smo to izrazili, zamjenjujemo 3+10y u prvu jednačinu umjesto varijable x.
2(3+10y)+5y=1

3. Riješi rezultirajuću jednačinu s jednom promjenljivom.
2(3+10y)+5y=1 (otvorite zagrade)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Rešenje sistema jednačina su tačke preseka grafova, stoga treba da nađemo x i y, jer se presečna tačka sastoji od x i y. Nađimo x, u prvoj tački gde smo to izrazili zamenjujemo y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Uobičajeno je da se zapisuju tačke na prvom mestu pišemo promenljivu x, a na drugom mestu promenljivu y.
Odgovor: (1; -0,2)

Primjer #2:

Rešimo metodom sabiranja (oduzimanja) po član.

Rješavanje sistema jednačina metodom sabiranja

3x-2y=1 (1 jednadžba)
2x-3y=-10 (2. jednadžba)

1. Biramo varijablu, recimo da biramo x. U prvoj jednačini varijabla x ima koeficijent 3, u drugoj - 2. Moramo učiniti koeficijente istim, za to imamo pravo pomnožiti jednačine ili podijeliti s bilo kojim brojem. Prvu jednačinu pomnožimo sa 2, a drugu sa 3 i dobijemo ukupan koeficijent 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Oduzmite drugu od prve jednačine da biste se riješili varijable x. Riješite linearnu jednačinu.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6.4

3. Pronađite x. Pronađeno y zamjenjujemo u bilo koju od jednadžbi, recimo u prvu jednačinu.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4.6

Tačka presjeka će biti x=4,6; y=6.4
Odgovor: (4,6; 6,4)

Želite li se besplatno pripremati za ispite? Tutor online besplatno. Bez šale.

Pouzdaniji od grafičke metode o kojoj smo govorili u prethodnom paragrafu.

Metoda zamjene

Ovu metodu smo koristili u 7. razredu za rješavanje sistema linearnih jednačina. Algoritam koji je razvijen u 7. razredu je sasvim pogodan za rješavanje sistema bilo koje dvije jednačine (ne nužno linearne) sa dvije varijable x i y (naravno, varijable se mogu označiti i drugim slovima, što nije bitno). U stvari, koristili smo ovaj algoritam u prethodnom pasusu, kada je problem dvocifrenog broja doveo do matematičkog modela, koji je sistem jednačina. Ovaj sistem jednačina smo riješili gore koristeći metodu zamjene (vidi primjer 1 iz § 4).

Algoritam za korištenje metode zamjene pri rješavanju sistema od dvije jednačine sa dvije varijable x, y.

1. Izraziti y preko x iz jedne jednačine sistema.
2. Zamijenite rezultirajući izraz umjesto y u drugu jednačinu sistema.
3. Riješi rezultirajuću jednačinu za x.
4. Zamijenite redom svaki od korijena jednadžbe pronađene u trećem koraku umjesto x u izraz y kroz x dobiven u prvom koraku.
5. Odgovor napišite u obliku parova vrijednosti (x; y), koji su pronađeni u trećem, odnosno četvrtom koraku.

4) Zamijenite jednu po jednu svaku od pronađenih vrijednosti y u formulu x = 5 - 3. Ako onda
5) Parovi (2; 1) i rješenja datog sistema jednačina.

Odgovor: (2; 1);

Algebarska metoda sabiranja

Ova metoda, kao i metoda zamjene, poznata vam je iz predmeta algebra 7. razreda, gdje je korištena za rješavanje sistema linearnih jednačina. Prisjetimo se suštine metode koristeći sljedeći primjer.

Primjer 2. Riješiti sistem jednačina

Pomnožimo sve članove prve jednačine sistema sa 3, a drugu jednačinu ostavimo nepromenjenom:
Oduzmi drugu jednačinu sistema od prve jednačine:

Kao rezultat algebarskog sabiranja dvije jednačine originalnog sistema, dobijena je jednačina koja je jednostavnija od prve i druge jednačine datog sistema. Ovom jednostavnijom jednačinom imamo pravo zamijeniti bilo koju jednačinu datog sistema, na primjer drugu. Tada će dati sistem jednačina biti zamijenjen jednostavnijim sistemom:

Ovaj sistem se može riješiti metodom zamjene. Iz druge jednačine nalazimo: Zamjenom ovog izraza umjesto y u prvu jednačinu sistema, dobijamo

Ostaje zamijeniti pronađene vrijednosti x u formulu

Ako je x = 2 onda

Tako smo pronašli dva rješenja za sistem:

Metoda za uvođenje novih varijabli

Sa metodom uvođenja nove varijable prilikom rješavanja racionalnih jednačina sa jednom varijablom upoznali ste se u predmetu algebra 8. razreda. Suština ove metode za rješavanje sistema jednačina je ista, ali sa tehničke tačke gledišta postoje neke karakteristike o kojima ćemo govoriti u sljedećim primjerima.

Primjer 3. Riješiti sistem jednačina

Hajde da uvedemo novu varijablu.Tada se prva jednačina sistema može prepisati u jednostavnijem obliku: Rešimo ovu jednačinu u odnosu na promenljivu t:

Obje ove vrijednosti zadovoljavaju uvjet i stoga su korijeni racionalne jednadžbe s varijablom t. Ali to znači ili tamo gdje nalazimo da je x = 2y, ili
Tako smo metodom uvođenja nove varijable uspeli da „slojujemo“ prvu jednačinu sistema, koja je izgledala prilično složeno, u dve jednostavnije jednačine:

x = 2 y; y - 2x.

Šta je sledeće? A onda se svaka od dvije dobijene jednostavne jednadžbe naizmjence mora razmatrati u sistemu sa jednačinom x 2 - y 2 = 3, koje se još nismo sjetili. Drugim riječima, problem se svodi na rješavanje dva sistema jednačina:

Moramo pronaći rješenja za prvi sistem, drugi sistem i uključiti sve rezultirajuće parove vrijednosti u odgovor. Rešimo prvi sistem jednačina:

Upotrijebimo metodu zamjene, pogotovo jer je ovdje sve spremno za to: zamijenimo izraz 2y umjesto x u drugu jednačinu sistema. Dobijamo

Pošto je x = 2y, nalazimo, respektivno, x 1 = 2, x 2 = 2. Tako se dobijaju dva rešenja datog sistema: (2; 1) i (-2; -1). Rešimo drugi sistem jednačina:

Upotrijebimo ponovo metodu zamjene: zamijenimo izraz 2x umjesto y u drugu jednačinu sistema. Dobijamo

Ova jednačina nema korijen, što znači da sistem jednačina nema rješenja. Dakle, u odgovor treba uključiti samo rješenja prvog sistema.

Odgovor: (2; 1); (-2;-1).

Metoda uvođenja novih varijabli pri rješavanju sistema od dvije jednačine sa dvije varijable koristi se u dvije verzije. Prva opcija: jedna nova varijabla se uvodi i koristi u samo jednoj jednačini sistema. Upravo to se dogodilo u primjeru 3. Druga opcija: dvije nove varijable se uvode i koriste istovremeno u obje jednačine sistema. To će biti slučaj u primjeru 4.

Primjer 4. Riješiti sistem jednačina

Hajde da predstavimo dve nove varijable:

Uzmimo to onda u obzir

Ovo će vam omogućiti da prepišete dati sistem u mnogo jednostavnijem obliku, ali s obzirom na nove varijable a i b:

Pošto je a = 1, onda iz jednačine a + 6 = 2 nalazimo: 1 + 6 = 2; 6=1. Tako smo za varijable a i b dobili jedno rješenje:

Vraćajući se na varijable x i y, dobijamo sistem jednačina

Primijenimo metodu algebarskog sabiranja da riješimo ovaj sistem:

Od tada iz jednačine 2x + y = 3 nalazimo:
Dakle, za varijable x i y, dobili smo jedno rješenje:

Završimo ovaj paragraf kratkom, ali prilično ozbiljnom teorijskom raspravom. Već ste stekli određeno iskustvo u rješavanju raznih jednačina: linearnih, kvadratnih, racionalnih, iracionalnih. Znate da je glavna ideja rješavanja jednadžbe postepeno prelazak od jedne jednadžbe do druge, jednostavnije, ali ekvivalentne datoj. U prethodnom pasusu uveli smo koncept ekvivalencije za jednačine sa dvije varijable. Ovaj koncept se takođe koristi za sisteme jednačina.

Definicija.

Dva sistema jednačina sa varijablama x i y nazivaju se ekvivalentnim ako imaju ista rješenja ili ako oba sistema nemaju rješenja.

Sve tri metode (zamjena, algebarsko sabiranje i uvođenje novih varijabli) o kojima smo govorili u ovom dijelu su apsolutno ispravne sa stanovišta ekvivalencije. Drugim riječima, koristeći ove metode, zamjenjujemo jedan sistem jednačina drugim, jednostavnijim, ali ekvivalentnim originalnom sistemu.

Grafička metoda za rješavanje sistema jednačina

Već smo naučili kako rješavati sisteme jednačina na uobičajene i pouzdane načine kao što su metoda zamjene, algebarsko sabiranje i uvođenje novih varijabli. Sada se prisjetimo metode koju ste već učili u prethodnoj lekciji. Odnosno, hajde da ponovimo ono što znate o metodi grafičkog rešenja.

Metoda grafičkog rešavanja sistema jednačina podrazumeva konstruisanje grafa za svaku od konkretnih jednačina koje su uključene u dati sistem i koje se nalaze u istoj koordinatnoj ravni, kao i gde je potrebno pronaći preseke tačaka ovih jednačina. grafovi. Za rješavanje ovog sistema jednačina su koordinate ove tačke (x; y).

Treba imati na umu da je uobičajeno da grafički sistem jednačina ima ili jedno jedino ispravno rješenje, ili beskonačan broj rješenja, ili da uopće nema rješenja.

Sada pogledajmo svako od ovih rješenja detaljnije. Dakle, sistem jednačina može imati jedinstveno rješenje ako se linije koje su grafovi jednačina sistema sijeku. Ako su ove prave paralelne, onda takav sistem jednačina nema apsolutno nikakva rješenja. Ako se direktni grafovi jednadžbi sistema poklapaju, onda takav sistem omogućava pronalaženje mnogih rješenja.

Pa, sada pogledajmo algoritam za rješavanje sistema od dvije jednadžbe sa 2 nepoznate pomoću grafičke metode:

Prvo, prvo gradimo graf 1. jednačine;
Drugi korak će biti konstruisanje grafa koji se odnosi na drugu jednačinu;
Treće, moramo pronaći tačke preseka grafova.
I kao rezultat, dobijamo koordinate svake tačke preseka, što će biti rešenje sistema jednačina.

Pogledajmo ovu metodu detaljnije koristeći primjer. Dat nam je sistem jednačina koje treba riješiti:

Rješavanje jednačina

1. Prvo ćemo napraviti graf ove jednačine: x2+y2=9.

Ali treba napomenuti da će ovaj graf jednadžbi biti krug sa centrom u početku, a njegov radijus će biti jednak tri.

2. Naš sljedeći korak će biti grafički prikaz jednačine kao što je: y = x – 3.

U ovom slučaju moramo konstruisati pravu liniju i pronaći tačke (0;−3) i (3;0).

3. Da vidimo šta imamo. Vidimo da prava seče kružnicu u dve njene tačke A i B.

Sada tražimo koordinate ovih tačaka. Vidimo da koordinate (3;0) odgovaraju tački A, a koordinate (0;−3) tački B.

I šta dobijamo kao rezultat?

Brojevi (3;0) i (0;−3) dobijeni kada prava seče kružnicu su upravo rešenja obe jednačine sistema. A iz ovoga proizilazi da su i ovi brojevi rješenja ovog sistema jednačina.

Odnosno, odgovor na ovo rješenje su brojevi: (3;0) i (0;−3).

Instrukcije

Metoda sabiranja.
Morate napisati dva striktno jedno ispod drugog:

549+45y+4y=-7, 45y+4y=549-7, 49y=542, y=542:49, y≈11.
U proizvoljno odabranu (iz sistema) jednačinu ubacite broj 11 umjesto već pronađene "igre" i izračunajte drugu nepoznatu:

X=61+5*11, x=61+55, x=116.
Odgovor na ovaj sistem jednačina je x=116, y=11.

Grafička metoda.
Sastoji se od praktičnog pronalaženja koordinata tačke u kojoj su linije matematički zapisane u sistemu jednačina. Grafike obe linije treba nacrtati zasebno u istom koordinatnom sistemu. Opšti pogled: – y=khx+b. Za konstruiranje prave linije dovoljno je pronaći koordinate dvije tačke, a x se bira proizvoljno.
Neka je sistem zadan: 2x – y=4

Y=-3x+1.
Prava linija se konstruiše pomoću prve, radi lakšeg zapisivanja: y=2x-4. Smislite (lakše) vrijednosti za x, zamijenite ga u jednadžbu, riješite je i nađete y. Dobijamo dvije tačke duž kojih je konstruisana prava linija. (vidi sliku)
x 0 1

y -4 -2
Prava linija se konstruiše pomoću druge jednačine: y=-3x+1.
Takođe konstruišite pravu liniju. (vidi sliku)

y 1 -5
Pronađite koordinate presečne tačke dve konstruisane prave na grafu (ako se prave ne seku, onda sistem jednačina nema - dakle).

Video na temu

Koristan savjet

Ako riješite isti sistem jednačina na tri različita načina, odgovor će biti isti (ako je rješenje tačno).

Izvori:

• 8. razred algebre
• riješiti jednačinu sa dvije nepoznate na mreži
• Primjeri rješavanja sistema linearnih jednačina sa dva

Sistem jednačine je kolekcija matematičkih zapisa, od kojih svaki sadrži određeni broj varijabli. Postoji nekoliko načina za njihovo rješavanje.

Trebaće ti

• -Lenjir i olovka;
• -kalkulator.

Instrukcije

Razmotrimo redoslijed rješavanja sistema koji se sastoji od linearnih jednačina koje imaju oblik: a1x + b1y = c1 i a2x + b2y = c2. Gdje su x i y nepoznate varijable, a b,c su slobodni termini. Prilikom primjene ove metode, svaki sistem predstavlja koordinate tačaka koje odgovaraju svakoj jednačini. Za početak, u svakom slučaju izrazite jednu varijablu u terminima druge. Zatim postavite varijablu x na bilo koji broj vrijednosti. Dva su dovoljna. Zamijenite u jednadžbu i pronađite y. Konstruirajte koordinatni sistem, označite rezultirajuće tačke na njemu i povucite liniju kroz njih. Slični proračuni se moraju izvršiti i za druge dijelove sistema.

Sistem ima jedinstveno rešenje ako se konstruisane prave seku i imaju jednu zajedničku tačku. Nekompatibilno je ako su međusobno paralelne. I ima beskonačno mnogo rješenja kada se linije spajaju jedna s drugom.

Ova metoda se smatra vrlo vizualnom. Glavni nedostatak je što izračunate nepoznate imaju približne vrijednosti. Tačnije rezultate daju takozvane algebarske metode.

Svako rješenje sistema jednačina vrijedi provjeriti. Da biste to učinili, zamijenite rezultirajuće vrijednosti umjesto varijabli. Također možete pronaći njegovo rješenje pomoću nekoliko metoda. Ako je rješenje sistema tačno, onda bi svi trebali ispasti isti.

Često postoje jednačine u kojima je jedan od pojmova nepoznat. Da biste riješili jednačinu, morate zapamtiti i izvršiti određeni skup radnji s tim brojevima.

Trebaće ti

• - papir;
• - olovka ili olovka.

Instrukcije

Zamislite da je ispred vas 8 zečeva, a vi imate samo 5 šargarepa. Razmislite, ipak morate kupiti više šargarepe da svaki zec dobije po jednu.

Hajde da predstavimo ovaj problem u obliku jednačine: 5 + x = 8. Zamenimo broj 3 umesto x. Zaista, 5 + 3 = 8.

Kada ste zamenili broj sa x, uradili ste istu stvar kao kada ste oduzeli 5 od 8. Dakle, da pronađete nepoznato pojam, oduzmite poznati pojam od zbira.

Recimo da imate 20 zečeva i samo 5 šargarepa. Hajde da to nadoknadimo. Jednadžba je jednakost koja vrijedi samo za određene vrijednosti slova uključenih u nju. Slova čija značenja treba pronaći nazivaju se . Napišite jednačinu sa jednom nepoznatom, nazovite je x. Kada rješavamo naš problem zeca, dobijamo sljedeću jednačinu: 5 + x = 20.

Nađimo razliku između 20 i 5. Prilikom oduzimanja, broj od kojeg se oduzima je onaj koji se smanjuje. Broj koji se oduzima naziva se , a konačni rezultat naziva se razlika. Dakle, x = 20 – 5; x = 15. Trebate kupiti 15 šargarepa za zečeve.

Provjerite: 5 + 15 = 20. Jednačina je točno riješena. Naravno, kada je riječ o tako jednostavnim, provjera nije potrebna. Međutim, kada imate jednadžbe sa trocifrenim, četverocifrenim itd. brojevima, svakako morate provjeriti da biste bili potpuno sigurni u rezultat svog rada.

Video na temu

Koristan savjet

Da biste pronašli nepoznati minuend, morate dodati oduzetak razlici.

Da biste pronašli nepoznati oduzetak, trebate oduzeti razliku od minusa.

Savjet 4: Kako riješiti sistem od tri jednačine sa tri nepoznate

Sistem od tri jednačine sa tri nepoznate možda neće imati rješenja, uprkos dovoljnom broju jednačina. Možete ga pokušati riješiti metodom zamjene ili Cramerovom metodom. Cramerova metoda, pored rješavanja sistema, omogućava procjenu da li je sistem rješiv prije pronalaženja vrijednosti nepoznanica.

Instrukcije

Metoda supstitucije se sastoji od sekvencijalno sekvencijalno jedna nepoznata kroz dvije druge i supstitucije rezultirajućeg rezultata u jednačine sistema. Neka je sistem od tri jednačine dat u opštem obliku:

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

Izraziti x iz prve jednačine: x = (d1 - b1y - c1z)/a1 - i zamijeniti u drugu i treću jednačinu, zatim izraziti y iz druge jednačine i zamijeniti u treću. Dobićete linearni izraz za z kroz koeficijente sistemskih jednačina. Sada idite "unazad": zamijenite z u drugu jednačinu i pronađite y, a zatim zamijenite z i y u prvu i riješite za x. Proces je općenito prikazan na slici prije pronalaženja z. Dalje pisanje u općem obliku bit će preglomazno; u praksi, zamjenom , možete vrlo lako pronaći sve tri nepoznate.

Cramerova metoda se sastoji od konstruisanja matrice sistema i izračunavanja determinante ove matrice, kao i još tri pomoćne matrice. Matrica sistema je sastavljena od koeficijenata za nepoznate članove jednačina. Kolona koja sadrži brojeve na desnoj strani jednadžbi, kolona sa desnim stranama. Ne koristi se u sistemu, ali se koristi prilikom rješavanja sistema.

Video na temu

Bilješka

Sve jednačine u sistemu moraju pružiti dodatne informacije neovisne o drugim jednačinama. U suprotnom, sistem će biti nedovoljno određen i neće biti moguće pronaći jednoznačno rješenje.

Koristan savjet

Nakon rješavanja sistema jednadžbi, zamijenite pronađene vrijednosti u originalni sistem i provjerite da li zadovoljavaju sve jednačine.

Samo po sebi jednačina sa tri nepoznato ima mnogo rješenja, pa se najčešće dopunjava sa još dvije jednadžbe ili uvjeta. Ovisno o tome koji su početni podaci, uvelike će zavisiti i tok odluke.

Trebaće ti

• - sistem od tri jednačine sa tri nepoznate.

Instrukcije

Ako dva od tri sistema imaju samo dvije od tri nepoznate, pokušajte izraziti neke varijable u terminima ostalih i zamijeniti ih u jednačina sa tri nepoznato. Vaš cilj u ovom slučaju je da ga pretvorite u normalu jednačina sa nepoznatom osobom. Ako je ovo , dalje rješenje je prilično jednostavno - zamijenite pronađenu vrijednost u druge jednadžbe i pronađite sve ostale nepoznanice.

Neki sistemi jednačina mogu se oduzeti od jedne jednačine drugom. Pogledajte da li je moguće pomnožiti jednu od ili varijablu tako da se dvije nepoznate ponište odjednom. Ako postoji takva prilika, iskoristite je; najvjerovatnije, naknadno rješenje neće biti teško. Zapamtite da kada množite brojem, morate pomnožiti i lijevu i desnu stranu. Isto tako, kada oduzimate jednačine, morate zapamtiti da se desna strana također mora oduzeti.

Ako prethodne metode nisu pomogle, koristite opći metod rješavanja bilo koje jednadžbe s tri nepoznato. Da biste to učinili, prepišite jednačine u obliku a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3. Sada kreirajte matricu koeficijenata za x (A), matricu nepoznanica (X) i matricu slobodnih (B). Imajte na umu da množenjem matrice koeficijenata sa matricom nepoznatih, dobit ćete matricu slobodnih termina, odnosno A*X=B.

Pronađite matricu A na stepen (-1) tako što ćete prvo pronaći , imajte na umu da ona ne bi trebala biti jednaka nuli. Nakon toga, pomnožite rezultirajuću matricu sa matricom B, kao rezultat ćete dobiti željenu matricu X, koja označava sve vrijednosti.

Također možete pronaći rješenje za sistem od tri jednačine koristeći Cramerovu metodu. Da biste to učinili, pronađite determinantu trećeg reda ∆ koja odgovara sistemskoj matrici. Zatim sukcesivno pronađite još tri determinante ∆1, ∆2 i ∆3, zamjenjujući vrijednosti slobodnih pojmova umjesto vrijednosti odgovarajućih stupaca. Sada pronađite x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

Izvori:

• rješenja jednadžbi sa tri nepoznanice

Kada počnete rješavati sistem jednačina, shvatite o kakvoj se vrsti jednačina radi. Metode za rješavanje linearnih jednačina su prilično dobro proučene. Nelinearne jednačine se najčešće ne rješavaju. Postoji samo jedan poseban slučaj, od kojih je svaki praktično individualan. Stoga bi proučavanje tehnika rješavanja trebalo započeti linearnim jednadžbama. Takve jednačine se čak mogu riješiti čisto algoritamski.

imenioci pronađenih nepoznanica su potpuno isti. Da, i brojnici pokazuju neke obrasce u njihovoj konstrukciji. Ako bi dimenzija sistema jednačina bila veća od dva, onda bi metoda eliminacije dovela do veoma glomaznih proračuna. Da bi ih se izbjeglo, razvijena su čisto algoritamska rješenja. Najjednostavniji od njih je Cramerov algoritam (Cramerove formule). Jer treba da saznate opšti sistem jednačina od n jednačina.

Sistem od n linearnih algebarskih jednačina sa n nepoznatih ima oblik (vidi sliku 1a). U njemu su aij koeficijenti sistema,
xj – nepoznate, bi – slobodni pojmovi (i=1, 2, ... , n; j=1, 2, ... , n). Takav sistem se može kompaktno napisati u matričnom obliku AX=B. Ovdje je A matrica sistemskih koeficijenata, X je matrica stupaca nepoznatih, B je matrica stupaca slobodnih termina (vidi sliku 1b). Prema Cramerovoj metodi, svaka nepoznata xi =∆i/∆ (i=1,2…,n). Determinanta ∆ matrice koeficijenata naziva se glavna determinanta, a ∆i pomoćna. Za svaku nepoznatu pomoćna determinanta se nalazi zamjenom i-te kolone glavne determinante kolonom slobodnih pojmova. Cramerova metoda za slučaj sistema drugog i trećeg reda detaljno je prikazana na Sl. 2.

Sistem je kombinacija dvije ili više jednakosti, od kojih svaka sadrži dvije ili više nepoznanica. Postoje dva glavna načina rješavanja sistema linearnih jednačina koji se koriste u školskom programu. Jedna od njih se zove metoda, druga - metoda sabiranja.

Standardni oblik sistema od dvije jednačine

U standardnom obliku, prva jednačina ima oblik a1*x+b1*y=c1, druga jednačina ima oblik a2*x+b2*y=c2, i tako dalje. Na primjer, u slučaju dva dijela sistema, oba data a1, a2, b1, b2, c1, c2 su neki numerički koeficijenti predstavljeni u specifičnim jednačinama. Zauzvrat, x i y predstavljaju nepoznanice čije vrijednosti treba odrediti. Tražene vrijednosti pretvaraju obje jednačine istovremeno u prave jednakosti.

Rješavanje sistema metodom sabiranja

Da biste riješili sistem, odnosno pronašli one vrijednosti x i y koje će ih pretvoriti u prave jednakosti, potrebno je poduzeti nekoliko jednostavnih koraka. Prvi od njih je transformacija bilo koje jednačine tako da numerički koeficijenti za varijablu x ili y u obje jednačine budu isti po veličini, ali različiti po predznaku.

Na primjer, pretpostavimo da je dat sistem koji se sastoji od dvije jednačine. Prvi od njih ima oblik 2x+4y=8, drugi ima oblik 6x+2y=6. Jedna od opcija za ispunjavanje zadatka je da se druga jednačina pomnoži sa koeficijentom -2, što će je dovesti do oblika -12x-4y=-12. Ispravan izbor koeficijenta jedan je od ključnih zadataka u procesu rješavanja sistema metodom sabiranja, jer određuje cijeli dalji tok postupka pronalaženja nepoznatih.

Sada je potrebno sabrati dvije jednačine sistema. Očigledno je da će međusobno uništavanje varijabli sa koeficijentima jednakim po vrijednosti, ali suprotnog predznaka dovesti do oblika -10x=-4. Nakon toga, potrebno je riješiti ovu jednostavnu jednačinu iz koje jasno slijedi da je x = 0,4.

Posljednji korak u procesu rješavanja je zamjena pronađene vrijednosti jedne od varijabli u bilo koju od originalnih jednakosti dostupnih u sistemu. Na primjer, zamjenom x=0,4 u prvu jednačinu, možete dobiti izraz 2*0,4+4y=8, iz čega je y=1,8. Dakle, x=0,4 i y=1,8 su korijeni primjera sistema.

Da biste bili sigurni da su korijeni ispravno pronađeni, korisno je provjeriti zamjenom pronađenih vrijednosti u drugu jednadžbu sistema. Na primjer, u ovom slučaju dobijamo jednakost oblika 0,4*6+1,8*2=6, što je tačno.

Video na temu

Povratak