Primjeri faktoringa polinoma. Složeni slučajevi faktoringa polinoma

Prilikom rješavanja jednačina i nejednačina često je potrebno faktorisati polinom čiji je stepen tri ili veći. U ovom članku ćemo pogledati najlakši način da to učinite.

Kao i obično, okrenimo se teoriji za pomoć.

Bezoutova teorema navodi da je ostatak pri dijeljenju polinoma binomom .

Ali ono što nam je važno nije sama teorema, već zaključak iz toga:

Ako je broj korijen polinoma, tada je polinom djeljiv binomom bez ostatka.

Suočeni smo sa zadatkom da nekako pronađemo barem jedan korijen polinoma, a zatim podijelimo polinom sa , gdje je korijen polinoma. Kao rezultat, dobijamo polinom čiji je stepen za jedan manji od stepena prvobitnog. A zatim, ako je potrebno, možete ponoviti postupak.

Ovaj zadatak se dijeli na dva: kako pronaći korijen polinoma i kako podijeliti polinom binomom.

Pogledajmo bliže ove tačke.

1. Kako pronaći korijen polinoma.

Prvo provjeravamo da li su brojevi 1 i -1 korijeni polinoma.

Ovdje će nam pomoći sljedeće činjenice:

Ako je zbir svih koeficijenata polinoma nula, tada je broj korijen polinoma.

Na primjer, u polinomu suma koeficijenata je nula: . Lako je provjeriti koji je korijen polinoma.

Ako je zbir koeficijenata polinoma na parnim stepenima jednak zbiru koeficijenata na neparnim stepenima, tada je broj korijen polinoma. Slobodni termin se smatra koeficijentom za paran stepen, jer je , a paran broj.

Na primjer, u polinomu zbir koeficijenata za parne stepene je: , a zbir koeficijenata za neparne stepene je: . Lako je provjeriti koji je korijen polinoma.

Ako ni 1 ni -1 nisu korijeni polinoma, idemo dalje.

Za redukovani polinom stepena (tj. polinom u kojem je vodeći koeficijent - koeficijent at - jednak jedinici), vrijedi Vieta formula:

Gdje su korijeni polinoma.

Postoje i Vietine formule za preostale koeficijente polinoma, ali nas zanima ova.

Iz ove Vietine formule slijedi da ako su korijeni polinoma cijeli brojevi, onda su oni djelitelji njegovog slobodnog člana, koji je također cijeli broj.

Na osnovu ovoga, trebamo rastaviti slobodni član polinoma na faktore, i uzastopno, od najmanjeg do najvećeg, provjeriti koji od faktora je korijen polinoma.

Razmotrimo, na primjer, polinom

Dijelitelji slobodnog pojma: ; ; ;

Zbir svih koeficijenata polinoma je jednak , dakle, broj 1 nije korijen polinoma.

Zbir koeficijenata za parne stepene:

Zbir koeficijenata za neparne stepene:

Dakle, broj -1 također nije korijen polinoma.

Provjerimo da li je broj 2 korijen polinoma: dakle, broj 2 je korijen polinoma. To znači, prema Bezoutovoj teoremi, polinom je djeljiv binomom bez ostatka.

2. Kako podijeliti polinom na binom.

Polinom se može podijeliti na binom pomoću stupca.

Podijelite polinom binomom koristeći stupac:

Postoji još jedan način da se polinom podijeli binomom - Hornerova shema.

Pogledajte ovaj video da shvatite kako podijeliti polinom binomom sa stupcem, i koristeći Hornerov dijagram.

Napominjem da ako, prilikom dijeljenja kolonom, nedostaje neki stepen nepoznate u originalnom polinomu, na njegovo mjesto upisujemo 0 - na isti način kao kada sastavljamo tablicu za Hornerovu shemu.

Dakle, ako trebamo podijeliti polinom binomom i kao rezultat dijeljenja dobijemo polinom, tada možemo pronaći koeficijente polinoma koristeći Hornerovu shemu:

Možemo i koristiti Horner shema kako bismo provjerili je li dati broj korijen polinoma: ako je broj korijen polinoma, tada je ostatak pri dijeljenju polinoma jednak nuli, odnosno u posljednjoj koloni drugog reda Hornerov dijagram dobijamo 0.

Koristeći Hornerovu shemu, "ubijamo dvije muhe jednim udarcem": istovremeno provjeravamo da li je broj korijen polinoma i dijelimo ovaj polinom binomom.

Primjer. Riješite jednačinu:

1. Zapišimo djelitelje slobodnog člana i potražimo korijene polinoma među djeliteljima slobodnog člana.

Delitelji 24:

2. Provjerimo da li je broj 1 korijen polinoma.

Zbir koeficijenata polinoma, dakle, broj 1 je korijen polinoma.

3. Podijelite originalni polinom na binom koristeći Hornerovu shemu.

A) Zapišimo koeficijente originalnog polinoma u prvom redu tabele.

Budući da nedostaje termin koji sadrži, u kolonu tabele u koju treba upisati koeficijent upisujemo 0. Na lijevoj strani upisujemo pronađeni korijen: broj 1.

B) Popunite prvi red tabele.

U posljednjoj koloni, kao što se očekivalo, dobili smo nulu, podijelili smo originalni polinom sa binomom bez ostatka. Koeficijenti polinoma koji nastaju dijeljenjem prikazani su plavom bojom u drugom redu tabele:

Lako je provjeriti da brojevi 1 i -1 nisu korijeni polinoma

B) Nastavimo sa tabelom. Provjerimo da li je broj 2 korijen polinoma:

Dakle, stepen polinoma, koji se dobija kao rezultat dijeljenja sa jedan, manji je od stepena originalnog polinoma, dakle, broj koeficijenata i broj kolona su za jedan manji.

U posljednjoj koloni dobili smo -40 - broj koji nije jednak nuli, dakle, polinom je djeljiv binomom s ostatkom, a broj 2 nije korijen polinoma.

C) Provjerimo da li je broj -2 korijen polinoma. Budući da prethodni pokušaj nije uspio, da izbjegnem zabunu s koeficijentima, obrisati ću red koji odgovara ovom pokušaju:

Odlično! Dobili smo nulu kao ostatak, dakle, polinom je podijeljen na binom bez ostatka, dakle, broj -2 je korijen polinoma. Koeficijenti polinoma koji se dobijaju dijeljenjem polinoma binomom prikazani su zelenom bojom u tabeli.

Kao rezultat dijeljenja dobijamo kvadratni trinom , čiji se korijeni lako mogu pronaći pomoću Vietine teoreme:

Dakle, korijeni originalne jednadžbe su:

{}

Odgovor: ( }

Bilo koji algebarski polinom stepena n može se predstaviti kao proizvod n-linearnih faktora oblika i konstantnog broja, koji su koeficijenti polinoma na najvišem stepenu x, tj.

Gdje - su korijeni polinoma.

Korijen polinoma je broj (realan ili kompleksan) koji čini da polinom nestaje. Korijeni polinoma mogu biti ili pravi korijeni ili kompleksno konjugirani korijeni, tada se polinom može predstaviti u sljedećem obliku:

Razmotrimo metode za dekomponovanje polinoma stepena “n” u proizvod faktora prvog i drugog stepena.

Metoda br. 1.Metoda neodređenih koeficijenata.

Koeficijenti takvog transformisanog izraza određuju se metodom neodređenih koeficijenata. Suština metode je da je vrsta faktora na koje se dati polinom razlaže unaprijed poznata. Kada se koristi metoda nesigurnih koeficijenata, tačne su sljedeće tvrdnje:

P.1. Dva polinoma su identično jednaka ako su im koeficijenti jednaki za iste potencije x.

P.2. Svaki polinom trećeg stepena se razlaže na proizvod linearnih i kvadratnih faktora.

P.3. Bilo koji polinom četvrtog stepena može se razložiti u proizvod dva polinoma drugog stepena.

Primjer 1.1. Potrebno je faktorizirati kubni izraz:

P.1. U skladu s prihvaćenim tvrdnjama, identična jednakost vrijedi za kubni izraz:

P.2. Desni dio izrazi se mogu predstaviti kao termini kako slijedi:

P.3. Sistem jednačina sastavljamo iz uslova jednakosti koeficijenata na odgovarajućim potencijama kubnog izraza.

Ovaj sistem jednadžbi se može riješiti odabirom koeficijenata (ako se radi o jednostavnom akademskom problemu) ili se mogu koristiti metode rješenja nelinearni sistemi jednačine. Rješavajući ovaj sistem jednačina, dobijamo to neizvesne kvote definisani su kako slijedi:

Dakle, originalni izraz je faktoriziran u sljedećem obliku:

Ova metoda se može koristiti i u analitičkim proračunima i u kompjuterskom programiranju za automatizaciju procesa pronalaženja korijena jednadžbe.

Metoda br. 2.Vieta formule

Vietine formule su formule koje povezuju koeficijente algebarskih jednadžbi stepena n i njene korijene. Ove formule su implicitno predstavljene u radovima francuskog matematičara Fransoa Viete (1540 - 1603). Zbog činjenice da Viet smatra samo pozitivnim pravim korenima, pa nije imao priliku da ove formule napiše u opštem eksplicitnom obliku.

Za bilo koji algebarski polinom stepena n koji ima n realnih korijena,

Važeće sljedeće relacije koje povezuju korijene polinoma sa njegovim koeficijentima:

Vietine formule pogodne su za korištenje za provjeru ispravnosti pronalaženja korijena polinoma, kao i za konstruiranje polinoma iz datih korijena.

Primjer 2.1. Razmotrimo kako su korijeni polinoma povezani s njegovim koeficijentima na primjeru kubične jednadžbe

U skladu s Vietinim formulama, odnos između korijena polinoma i njegovih koeficijenata ima sljedeći oblik:

Slične relacije se mogu napraviti za bilo koji polinom stepena n.

Metoda broj 3. Faktorovanje kvadratne jednadžbe s racionalnim korijenima

Iz Vietine posljednje formule slijedi da su korijeni polinoma djelitelji njegovog slobodnog člana i vodećeg koeficijenta. S tim u vezi, ako iskaz problema specificira polinom stepena n sa cjelobrojnim koeficijentima

tada ovaj polinom ima racionalni korijen (nesvodljivi razlomak), gdje je p djelitelj slobodnog člana, a q djelitelj vodećeg koeficijenta. U ovom slučaju, polinom stepena n može se predstaviti kao (Bezouov teorem):

Polinom čiji je stepen za 1 manji od stepena početnog polinoma određen je dijeljenjem polinoma stepena n binoma, na primjer koristeći Hornerovu shemu ili većinu na jednostavan način- “kolona”.

Primjer 3.1. Polinom je potrebno rastaviti na faktore

P.1. Zbog činjenice da je koeficijent najvišeg člana jednako jedan, tada su racionalni korijeni ovog polinoma djelitelji slobodnog člana izraza, tj. mogu biti cijeli brojevi . Zamjenjujemo svaki od prikazanih brojeva u originalni izraz i nalazimo da je korijen predstavljenog polinoma jednak .

Podijelimo originalni polinom binomom:

Koristimo Hornerovu šemu

Koeficijenti originalnog polinoma se postavljaju u gornji red, dok prva ćelija gornjeg reda ostaje prazna.

U prvoj ćeliji drugog reda upisuje se pronađeni korijen (u primjeru koji se razmatra upisuje se broj "2"), a sljedeće vrijednosti u ćelijama se izračunavaju na određeni način i to su koeficijenti polinoma, koji se dobija dijeljenjem polinoma binomom. Nepoznati koeficijenti se određuju na sljedeći način:

Vrijednost iz odgovarajuće ćelije prvog reda prenosi se u drugu ćeliju drugog reda (u primjeru koji se razmatra upisuje se broj "1").

Treća ćelija drugog reda sadrži vrijednost proizvoda prve ćelije i druge ćelije drugog reda plus vrijednost iz treće ćelije prvog reda (u primjeru koji se razmatra 2 ∙1 -5 = -3 ).

Četvrta ćelija drugog reda sadrži vrijednost proizvoda prve ćelije i treće ćelije drugog reda plus vrijednost iz četvrte ćelije prvog reda (u primjeru koji se razmatra, 2 ∙ (-3) + 7 = 1).

Dakle, originalni polinom je faktorizovan:

Metoda broj 4.Korištenje skraćenih formula za množenje

Formule skraćenog množenja se koriste za pojednostavljenje proračuna, kao i faktoring polinoma. Skraćene formule množenja omogućuju vam da pojednostavite rješavanje pojedinačnih problema.

Formule koje se koriste za faktorizaciju

Očuvanje vaše privatnosti nam je važno. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte našu praksu privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu Email itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

• Prikupljeno od nas lična informacija omogućava nam da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
• Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim licima

Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

• Po potrebi - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, pravnim postupkom, odnosno na osnovu javnog zahtjeva ili zahtjeva vladine agencije na teritoriji Ruske Federacije - otkrijte svoje lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog značaja.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo na odgovarajuću treću stranu.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo standarde privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.

Šta znači faktoring? To znači pronalaženje brojeva čiji je proizvod jednak originalnom broju.

Da bismo razumjeli šta znači faktor, pogledajmo primjer.

Primjer faktoringa broja

Faktor broj 8.

Broj 8 se može predstaviti kao proizvod 2 sa 4:

Predstavljanje 8 kao proizvoda 2 * 4 znači faktorizaciju.

Imajte na umu da ovo nije jedina faktorizacija od 8.

Na kraju krajeva, 4 je razloženo na faktore ovako:

Odavde 8 može biti predstavljeno:

8 = 2 * 2 * 2 = 2 3

Hajde da proverimo naš odgovor. Hajde da nađemo čemu je faktorizacija jednaka:

Odnosno, dobili smo originalni broj, odgovor je tačan.

Faktori broj 24 u proste faktore

Kako rastaviti broj 24 na proste faktore?

Broj se naziva prostim ako je djeljiv samo sa jednim i samim sobom.

Broj 8 se može predstaviti kao proizvod 3 sa 8:

Ovdje je broj 24 faktoriziran. Ali zadatak kaže "razbijte broj 24 u proste faktore", tj. To su primarni faktori koji su potrebni. I u našoj ekspanziji, 3 je prost faktor, a 8 nije prost faktor.

Faktoriranje jednačine je proces pronalaženja onih pojmova ili izraza koji, kada se pomnože, dovode do početne jednačine. Faktoriranje je korisna vještina za rješavanje osnovnih algebarskih problema i postaje gotovo neophodna kada se radi s kvadratnim jednadžbama i drugim polinomima. Faktoring se koristi za pojednostavljenje algebarskih jednadžbi kako bi se lakše riješile. Faktoring vam može pomoći da eliminišete određene moguće odgovore brže nego što biste to učinili rješavanjem jednadžbe ručno.

Steps

Faktoring brojeva i osnovnih algebarskih izraza

1. Faktoring brojevi. Koncept faktoringa je jednostavan, ali u praksi faktoring može biti izazovan (ako je data složena jednačina). Stoga, prvo, pogledajmo koncept faktorizacije koristeći brojeve kao primjer i nastavimo s tim jednostavne jednačine, a zatim pređite na složene jednačine. Faktori datog broja su brojevi koji, kada se pomnože, daju originalni broj. Na primjer, faktori broja 12 su brojevi: 1, 12, 2, 6, 3, 4, jer je 1*12=12, 2*6=12, 3*4=12.

   • Isto tako, faktore broja možete zamisliti kao njegove djelitelje, odnosno brojeve kojima je broj djeljiv.
   • Pronađite sve faktore broja 60. Često koristimo broj 60 (na primjer, 60 minuta u satu, 60 sekundi u minuti, itd.) i ovaj broj ima prilično veliki broj množitelji.
     • 60 množitelja: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 i 60.

2. Zapamtite: termini izraza koji sadrže koeficijent (broj) i varijablu također se mogu faktorizirati. Da biste to učinili, pronađite faktore koeficijenta za varijablu. Znajući kako da faktorizujete termine jednačina, lako možete pojednostaviti zadata jednačina.

   • Na primjer, pojam 12x može se napisati kao proizvod 12 i x. Također možete napisati 12x kao 3(4x), 2(6x), itd., razlažući 12 na faktore koji vam najbolje odgovaraju.
     • Možete se baviti 12x više puta zaredom. Drugim riječima, ne biste trebali stati na 3(4x) ili 2(6x); nastavite proširenje: 3(2(2x)) ili 2(3(2x)) (očigledno 3(4x)=3(2(2x)), itd.)

3. Primijenite distributivno svojstvo množenja na faktorske algebarske jednadžbe. Znajući kako da faktorizujete brojeve i termine izraza (koeficijente sa varijablama), možete pojednostaviti jednostavne algebarske jednačine, pronalaženje zajedničkog faktora broja i člana izraza. Obično, da biste pojednostavili jednadžbu, morate pronaći najveću zajednički djelitelj(NOD). Ovo pojednostavljenje je moguće zahvaljujući distributivna svojina množenje: za bilo koje brojeve a, b, c, jednakost a(b+c) = ab+ac je tačna.

   • Primjer. Faktorirajte jednadžbu 12x + 6. Prvo, pronađite gcd od 12x i 6. 6 je najveći broj, koji dijeli i 12x i 6, tako da možete rastaviti ovu jednačinu na: 6(2x+1).
   • Ovaj proces vrijedi i za jednačine koje imaju negativne i razlomke. Na primjer, x/2+4 se može rastaviti u 1/2(x+8); na primjer, -7x+(-21) se može rastaviti u -7(x+3).

   Faktoring kvadratne jednadžbe

   1. Uvjerite se da je jednadžba data u kvadratnom obliku (ax 2 + bx + c = 0). Kvadratne jednadžbe imaju oblik: ax 2 + bx + c = 0, gdje su a, b, c numerički koeficijenti različiti od 0. Ako vam je data jednačina s jednom promjenljivom (x) i u ovoj jednačini postoji jedan ili više članova sa promenljivom drugog reda, možete pomeriti sve članove jednačine na jednu stranu jednačine i postaviti je jednaku nuli.

      • Na primjer, data jednačina: 5x 2 + 7x - 9 = 4x 2 + x – 18. Ovo se može pretvoriti u jednačinu x 2 + 6x + 9 = 0, koja je kvadratna jednačina.
      • Jednačine sa promenljivom x velikog reda, na primer, x 3, x 4, itd. nisu kvadratne jednadžbe. Ovo kubične jednačine, jednačine četvrtog reda i tako dalje (samo ako se takve jednadžbe ne mogu pojednostaviti u kvadratne jednadžbe s promjenljivom x podignutom na stepen 2).

   2. Kvadratne jednadžbe, gdje je a = 1, se proširuju u (x+d)(x+e), gdje je d*e=c i d+e=b. Ako kvadratna jednadžba koja vam je data ima oblik: x 2 + bx + c = 0 (to jest, koeficijent od x 2 je 1), onda se takva jednačina može (ali nije zagarantovana) proširiti na gore navedene faktore. Da biste to učinili, morate pronaći dva broja koja, kada se pomnože, daju "c", a kada se zbroje, "b". Kada pronađete ova dva broja (d i e), zamijenite ih sljedećim izrazom: (x+d)(x+e), koji, kada otvorite zagrade, vodi do originalne jednačine.

      • Na primjer, data je kvadratna jednačina x 2 + 5x + 6 = 0. 3*2=6 i 3+2=5, tako da možete faktorisati ovu jednačinu u (x+3)(x+2).
      • Za negativne termine napravite sljedeće manje promjene u procesu faktorizacije:
        • Ako kvadratna jednadžba ima oblik x 2 -bx+c, onda se širi u: (x-_)(x-_).
        • Ako kvadratna jednadžba ima oblik x 2 -bx-c, onda se širi u: (x+_)(x-_).
      • Napomena: razmaci se mogu zamijeniti razlomcima ili decimalni brojevi. Na primjer, jednačina x 2 + (21/2)x + 5 = 0 je proširena u (x+10)(x+1/2).

   3. Faktorizacija metodom pokušaja i grešaka. Nije komplikovano kvadratne jednačine može se faktorizirati jednostavnom zamjenom brojeva u moguća rješenja dok ne nađeš ispravna odluka. Ako jednadžba ima oblik ax 2 +bx+c, gdje je a>1, moguća rješenja se zapisuju u obliku (dx +/- _)(ex +/- _), gdje su d i e numerički koeficijenti različiti od nule , koji kada se pomnoži daje a. Bilo d ili e (ili oba koeficijenta) mogu biti jednaki 1. Ako su oba koeficijenta jednaka 1, onda koristite metodu opisanu iznad.

      • Na primjer, data jednačina 3x 2 - 8x + 4. Ovdje 3 ima samo dva faktora (3 i 1), pa se moguća rješenja zapisuju kao (3x +/- _)(x +/- _). U ovom slučaju, zamjenom -2 za razmake, naći ćete tačan odgovor: -2*3x=-6x i -2*x=-2x; - 6x+(-2x)=-8x i -2*-2=4, odnosno takvo proširenje pri otvaranju zagrada će dovesti do članova originalne jednačine.

Povratak