Predmet: “Nestandardne metode za rješavanje jednačina”
Cilj: pregledati neke tehnike rješavanja jednačina kako bi pomogli studentima da se pripreme za rješavanje zadataka završnog ispita.
Tokom nastave.
1. Proučavanje teorijskog materijala.
NAČIN ODBORA KORIJENA .
Jednačine oblika https://pandia.ru/text/78/386/images/image002_13.png" width="47" height="29 src=">.png" width="143" height="29 src =" >racionalna jednadžba n-tog stepena.
1) Ako je cijeli broj N root.png" width="22" height="29 src=">.png" width="22" height="29 src=">.png" width="10" visina = "40 src=">.png" width="52" height="29 src=">.png" width="23" height="29 src=">.png" width="260" height=" 30 src="> .
Rješenje. U ovom slučaju https://pandia.ru/text/78/386/images/image015_5.png" width="252" height="29 src=">
Dakle, nesvodljivi razlomak https://pandia.ru/text/78/386/images/image017_5.png" width="69" height="40 src="> ; https://pandia.ru/text/78/386/images/image019_4.png" height="40 src="> je racionalno rješenje originalne jednadžbe.
Primjer 2. Naći cjelobrojne korijene polinomaf(x)= https://pandia.ru/text/78/386/images/image021_1.png" width="143" height="29 src="> Zamjenom rezultirajućih brojeva u originalni polinom, možete provjeriti da su brojevi 1, 2, -2 korijeni polinoma.
5) Polinom je kontinuirana funkcija, pa ako na krajevima https://pandia.ru/text/78/386/images/image023_1.png" width="51" height="29 src="> postoji barem jedan korijen ovog polinoma.
Primjer 3. Pronađite barem jedan cijeli korijen polinomaf(x)= https://pandia.ru/text/78/386/images/image025_2.png" width="336" height="29 src="> Dakle, barem jedan korijen leži u intervalu https://pandia.ru/text/78/386/images/image027_0.png" width="358" height="241 src=">
Dakle, originalni polinom se može napisati u obliku: 2https://pandia.ru/text/78/386/images/image029_1.png" width="214" height="29 src=">
Rješenje. Vodeći koeficijent je 1, a slobodni član ima djelitelje 1,2,8,16, dakle, ova jednadžba ima racionalni korijen, onda je ovaj korijen sigurno cijeli broj i nalazi se među brojevima ako https://pandia.ru /text/78/386/ images/image031_0.png" width="16" height="29 src=">16..png" width="324" height="243 src=">
Stoga, https://pandia.ru/text/78/386/images/image035_1.png" width="569" height="64 src=">
Problemi za samostalno rješavanje.
1..png" width="265" height="29 src=">
3..png" width="89" height="29 src=">+10x+24=0;
5..png" width="109" height="29 src=">.png" width="83" height="29 src=">.png" width="72" height="29 src="> .png" width="22" height="29 src=">.png" width="212" height="29 src=">.png" width="154" height="29 src=">.png "width="288" height="29 src=">+-https://pandia.ru/text/78/386/images/image055_1.png" width="624" height="58">
Ovaj polinom mora biti identično jednak originalnom polinomu, što je moguće ako su koeficijenti na odgovarajućim stepenima jednaki.
2https://pandia.ru/text/78/386/images/image057_1.png" width="302" height="29 src=">.png" width="570" height="130 src="> =1.
Dakle, originalni polinom se može napisati kao:
2https://pandia.ru/text/78/386/images/image061_1.png" width="159" height="29 src=">
Primjer1..png" width="286" height="25 src=">.png" width="146" height="25 src=">.png" width="149" height="103 src="> .png" width="82" height="29 src=">.png" width="165" height="50 src=">.png" width="61" height="29 src=">.
“Nestandardne metode za rješavanje jednačina”
Kubanova Olga Nikolaevna, nastavnica matematike,
MBOU "Plesetskaya" srednja škola»
"Proces rješavanja jednačine -
postoji jednostavno čin svođenja na jednostavniji oblik.
Ali u nekim oblicima nije lako čitati.
Njegovo rješenje je slično prijevodu
nepoznatu frazu na jeziku koji razumijemo"
Za rješavanje većine jednačina koje se susreću na ispitima dovoljno je znati školski kurs matematike, ali u isto vrijeme potrebno ih je moći rješavati ne samo standardnim tehnikama namijenjenim vrlo specifičnim tipovima jednačina, već i onim „nestandardnim“ metodama o kojima želim govoriti.
Suština ovih metoda je implementacija „drugačijeg pogleda“ na problem, koji omogućava, bez napuštanja školskog kurikuluma, da značajno pojednostavimo rješavanje nekih problema, odnosno koristit ćemo dobro poznate izjave, ali u situacijama gde se koriste relativno retko.
Uz glavni zadatak nastave matematike - osiguravanje snažnog i svjesnog ovladavanja učenika sistemom matematičkih znanja i vještina, nestandardne metode omogućavaju formiranje održivog interesa za predmet, identifikaciju i razvoj. matematičke sposobnosti kod djece, kao i poboljšanje kvaliteta nastave matematike.
Fokusiraću se na metodu u kojoj se svojstva funkcija uključenih u jednadžbu koriste za rješavanje jednačina.
Proučavanje domena definicija i raspona vrijednosti funkcija:
Zapiši to 
I 
Stoga je jednakost nemoguća.
Odgovor: nema korijena.
Svojstva monotonosti funkcija:
Ova jednačina se može riješiti na standardan način, ili može biti jednostavnija. Lijeva strana jednadžbe je rastuća funkcija, a desna opadajuća funkcija. dakle, zadata jednačina ne može imati više od jednog korijena. Broj 1 je korijen jednadžbe, što se može provjeriti zamjenom.
Čini se da je podizanje na petu potenciju uzaludno. Neka bude onda. Razmotrimo funkcije: i . Ove funkcije su međusobno inverzne, povećavaju se, a zatim su ekvivalentne jednadžbi.
Postoji samo jedan korijen, jer lijevo je rastuća funkcija, desno opadajuća funkcija.
Korištenje funkcija "ne-negativnosti":
.
Svi članovi na lijevoj strani su nenegativni, stoga je jednakost moguća samo ako je svaki od članova jednak nuli.
Ove dvije jednakosti su jedna drugoj u suprotnosti. Sistem nema rješenja.
Odgovor: nema rješenja.
Da biste koristili ove metode za rješavanje jednačina, morate dobro poznavati teorijski materijal. Koristeći ove metode, štedi se vrijeme, što vam omogućava da riješite više problema. A ovo je veoma važno kada pišete testovi I polaganje Jedinstvenog državnog ispita.
Svojstva funkcije:
T-1:
Korištenje superpozicije funkcija:
T-2:
"Nenegativnost" funkcija.
Svojstva funkcije:
Domen definicije i raspon vrijednosti kvadratnog korijena.
Svojstva monotonosti funkcije:
T-1: Neka je y=f (x) funkcija koja raste na intervalu L, a y=g (x) funkcija koja se smanjuje na istom intervalu L. Tada jednačina f (x)=g (x) ima najviše jedan korijen na intervalu L.
Korištenje superpozicije funkcija:
T-2: Ako su funkcije f (x) i g (x) međusobno inverzne i funkcija f (x) raste, onda su jednadžba f (x) = g (x) i jednačina f (x) = x ekvivalentne.
"Nenegativnost" funkcija.
Svojstva funkcije:
Domen definicije i raspon vrijednosti kvadratnog korijena.
Svojstva monotonosti funkcije:
T-1: Neka je y=f (x) funkcija koja raste na intervalu L, a y=g (x) funkcija koja se smanjuje na istom intervalu L. Tada jednačina f (x)=g (x) ima najviše jedan korijen na intervalu L.
Korištenje superpozicije funkcija:
T-2: Ako su funkcije f (x) i g (x) međusobno inverzne i funkcija f (x) raste, onda su jednadžba f (x) = g (x) i jednačina f (x) = x ekvivalentne.
"Nenegativnost" funkcija.
naučni savjetnik:
With. Vydrino
Uvod…………………………………………………………………………………………….3
Glavni dio………………………………………………………………………………………………..4
Množenje jednadžbe sa funkcijom…………………………………………………4
Metoda neizvjesnih koeficijenata……………………………………………………………………4
Izbor korijena polinoma na osnovu njegovog slobodnog člana i vodećeg koeficijenta....5
Uvođenje parametara……………………………………………………………………….6
Uvođenje nove nepoznanice……………………………………………………………………..6
Kombinacija različitih metoda……………………………………………………………………6
Pogađanje korijena……………………………………………………………………………………6
Korištenje superpozicije funkcija……………………………………………………….7
Objašnjenje znakova modula………………………………………………………………………..8
Jednačina oblika f(x) = g(x)………………………………………………………………………….8
Jednadžba oblika f(x) = g(x)……………………………………………………………………………………………9
Korištenje svojstava apsolutne vrijednosti……………………………………………….9
Smanjenje stepena jednačine…………………………………………………………10
Rješavanje nekih jednadžbi svođenjem na rješavanje sistema jednadžbi za nove nepoznanice……………………………………………………………………………………………………………10
Korištenje ograničenih funkcija…………………………………………………………12
Zaključak…………………………………………………………………………………………….14
Spisak korištene literature…………………………………………………………………………15
Uvod
Jednačine su najopsežnija tema čitavog kursa matematike.
Postoje mnoge jednačine koje se smatraju problemima povećane težine za školsku djecu. Za rješavanje takvih problema bolje je ne koristiti tradicionalne metode, ali tehnike koje studentima nisu u potpunosti poznate.
U mom radu sistematizovan je niz takvih tehnika.
Proučavao sam metode rješavanja jednačina na osnovu geometrijskih razmatranja, svojstva funkcija: monotonost, ograničenost, parnost; primjena derivata itd.
Moj rad može pomoći studentima, a posebno onima koji planiraju upisati visoko obrazovanje obrazovne ustanove u oblasti egzaktnih nauka, da se otkrije koje se jednačine lakše i brže rješavaju, jer sve one proučavane u školski program metode nisu dovoljne za upis na univerzitet.
Osim toga, moj rad ispituje mnogo „škakljivih“ metoda i tehnika za rješavanje različitih jednakosti.
Što se tiče teorije, ona je data selektivno, na osnovu razmatranja njene primene na jednačine koje sam ovde razmatrao.
Ciljevi posla:
· Naučite množiti jednačinu sa funkcijom.
· Proučiti metodu nesigurnih koeficijenata.
· Proučite izbor polinoma na osnovu njegovog slobodnog člana i vodećeg koeficijenta.
· Proučite uvođenje parametra.
· Proučite uvođenje nove nepoznanice.
· Istražite kombinovanje različitih metoda.
· Naučite nagađanje korijena.
· Istražite upotrebu superpozicije funkcija.
· Proučite otkrivanje znakova modula.
· Proučavati jednačine oblika f(x)=g(x).
· Proučavati jednačine oblika f(x)=g(x).
· Istražite upotrebu svojstava apsolutne vrijednosti.
· Istražite smanjenje snage jednačine.
· Proučavati rješenja nekih jednačina svodeći ih na rješavanje sistema jednačina u odnosu na nove nepoznanice.
· Istražite upotrebu ograničene funkcije.
Glavni dio
Množenje jednadžbe funkcijom.
Ponekad rešenje algebarska jednačina znatno je lakše ako oba njegova dijela pomnožite nekom funkcijom - polinomom u nepoznatom. U isto vrijeme, moramo imati na umu da je moguće da se pojave dodatni korijeni - korijeni polinoma kojim je jednačina pomnožena. Prema tome, morate ili pomnožiti polinomom koji nema korijen i dobiti ekvivalentnu jednačinu, ili pomnožiti polinomom koji ima korijene, a zatim svaki od ovih korijena mora biti zamijenjen u originalnu jednadžbu i utvrditi je li taj broj njegov korijen.
Primjer 1. Riješite jednačinu:
X3 – X6 + X4 – X 2 + 1 =
Rješenje: Množenjem obje strane jednadžbe polinomom X2 + 1, koji nema korijen, dobijamo jednačinu:
(X2 +1) (X8 – X 6 + X4 – X 2 + 1) = 0 (2)
ekvivalentno jednačini (1). Jednačina (2) se može napisati kao:
X10 + 1= 0 (3)
Jasno je da jednačina (3) nema realne korijene, pa ih jednačina (1) nema.
odgovor: nema rješenja.
Primjer 2 . Riješite jednačinu:
6H3 – H 2 – 20H + 12 = 0 (4)
Rješenje: Množenjem obe strane jednačine polinomom X + ½, dobijamo jednačinu:
6H4 + 2H3 – 41/2H2 + 2H + 6 = 0 (5)
što je posljedica (4), budući da jednačina (5) ima korijen X = -1/2, koji nije korijen jednačine (4).
Jednačina (5) je simetrična jednačina četvrtog stepena. Kako X=0 nije korijen jednadžbe (5), dijeljenjem obje strane sa 2X2 i preuređivanjem njenih članova, dobijamo jednačinu:
3(X2 +1/X2) + (X +1/X) – 41/4 = 0 (6)
ekvivalentno jednačini (5). Označavajući Y= X + 1/X, prepisujemo jednačinu (6) u obliku
3Y2 + Y – 65/4 =0 (7)
Jednačina (7) ima dva korijena: Y1= -5/2 i Y 2 = 13/6. Prema tome, jednačina (6) je ekvivalentna skupu jednačina:
X + 1/X = 15/6,
X + 1/X = -5/2.
Nakon što smo riješili svaku od ovih jednačina, nalazimo četiri korijena jednadžbe (6), a time i jednadžbe (5)
Pošto je korijen X4 = -1/2 izvan jednačine (4), dobijamo da jednačina (4) ima tri korijena: X1, X2, X3.
odgovor: X1 = 2/3, X2 = 3/2, X3 = -2.
Metoda neodređenih koeficijenata.
Suština ove metode je da se unaprijed pretpostavlja tip faktora - polinomi na koje se dati polinom razlaže na osnovu sljedećih iskaza.
1) dva polinoma su identično jednaka ako i samo ako su njihovi koeficijenti jednaki za iste stepene x;
2) svaki polinom trećeg stepena se razlaže na proizvod linearnih i kvadratnih faktora.
3) Svaki polinom četvrtog stepena razlaže se na proizvod dva polinoma drugog stepena.
Primjer 1 . Faktor polinoma.
Rješenje. Tražićemo polinome X - £ i β1X2+ β2X+ β3 tako da je tačna identična jednakost
H3-5H2+7H-3= (H - £)(β1H2+ β2H+ β3).(1)
Desna strana ove jednakosti može se napisati u obliku. β15 X3+(β2+ £ β1) X2+(β3 -£ β2)H+ £ β3.
Izjednačavanje koeficijenata za iste potencije X u lijevom i desni delovi jednakosti (1), dobijamo sistem jednakosti za nalaženje £ ,β1, β2, β3 ;
β2 - £ β1 = -5
Lako je vidjeti da brojevi β1=1, β2=-2, β3=1, £=3 zadovoljavaju ovu jednakost, što znači da se polinom X3-5X2+7X-3 razlaže na faktore X-3 i X2- 2X+1
Pronalaženje korijena polinoma na osnovu njegovih vodećih i slobodnih koeficijenata.
Ponekad su sljedeće izjave korisne prilikom faktoringa polinoma:
1) ako polinom an+an-1X+…+a0Xn, a0≠0, sa cjelobrojnim koeficijentima ima racionalni korijen X0=p/g (gdje je p/g nesvodljivi razlomak, pÊZgÊN), tada je p djelitelj slobodni član an, i g – djelitelj vodećeg koeficijenta d0;
2) ako je korijen X = £ polinoma rp(H) stepena n odabran na neki način, tada se polinom rp(H) može predstaviti kao rp(H) = (H - £) rp-1(H ), gdje je rp-1(X) polinom stepena n-1.
Polinom pn-1(X) se može naći ili dijeljenjem polinoma pn(X) sa binomom (X - £) u "koloni", ili odgovarajućim grupisanjem članova polinoma i odvajanjem faktora X - £ od njih, ili metodom neodređenih koeficijenata.
Primjer 1. Faktor polinoma.
H4-5H3+7H2-5H+6
Rješenje . Kako je koeficijent X4 jednak 1, racionalni korijeni ovog polinoma, ako postoje, su djelitelji broja 6, odnosno mogu biti cijeli brojevi ±1, ±2, ±3, ±6. Označimo polinom sa p4(X). Pošto je p4(1)=4 i p4(-4)=23, brojevi 1 i -1 nisu korijeni polinoma p4(X), te je stoga ovaj polinom djeljiv binomom X-2. Zbog toga
X4 - 5X3+7X2-5X+6 X - 2
X4 – 2X3 X3 – 3X2+X - 3
https://pandia.ru/text/78/002/images/image007_17.gif" width="38">Kada je m2+a=0 X1= - m, X2=m
Kada je m2+a>0 X1=m, X2= m – √ m2+a
Primjer 4: Riješite jednačinu
X(X+1)+(X+1)(X+2)+(X+2)(X+3)+(X+3)(X+4)(X+6)+(X+5) (X+6)+(X+6)(X+7)+(X+7)(X+8)+(X+8)(X+9)+(X+9)(X+10)= 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+7*8+8*9+9*10
Rješenje: Lako je vidjeti da su X1=0 i X2= - 10 rješenja ove jednačine. Nakon otvaranja zagrada, ova jednačina će biti prepisana kao kvadratna.
To znači da ne može imati više od dva korijena. Pošto su pronađena dva korijena ove jednadžbe, ona je time riješena.
odgovor: X1=0, X2= - 10
Korištenje superpozicije funkcija.
Ponekad možete pronaći korijen jednadžbe tako što ćete primijetiti da je funkcija na jednoj strani jednadžbe superpozicija nekih jednostavnijih funkcija.
Primjer 1. Riješite jednačinu
(X2 + 2X – 5) + 2 (X2 + 2X – 5) – 5 = X. (1)
Rješenje. Označimo f(x) = X2 + 2X – 5, jednačina (1) se može prepisati kao f(f(x)) = X. Sada je očigledno da ako je X0 korijen jednačine f(X) = X, tada je X0 i korijen jednadžbe f(f(x)) = X. Korijeni jednačine X2 + 2X – 5 =X su X1=(-1+√ 21)/2 i X2 = (-1 - √21)/2 proizlazi da jednačina (1) ima ove korijene. Prepisivanje jednačine (1) u formu.
X4 + 4X3 – 4X2 – 17X + 10 = 0 (2)
i dijeljenjem polinoma (2) sa polinomom (X – X1) (X – X2), nalazimo da se jednačina (2) može napisati kao
(X2 + X – 5) (X2 + 3X – 2) = 0,
ovo implicira da su korijeni jednadžbe (1) zajedno sa X1 i X2 također korijeni jednadžbe
X2 + 3X – 2 = 0,
tj. brojevi X3 = (-3 + √17)/2 i X4 = (-3 – √17)/2.
odgovor: X1,2 = (-1 ± √21)/2; X3.4 = (-3 ± √17)/2.
Proširujući znakovi modula.
Glavna metoda za rješavanje jednačina koje sadrže module je sljedeća: potrebno je podijeliti ODZ jednadžbe u skupove, na svakom od kojih svaki od izraza pod predznakom modula zadržava svoj predznak. Na svakom takvom skupu jednačina se zapisuje bez predznaka modula i zatim se rješava na ovom skupu. Unija rješenja koja se nalaze na svim tim skupovima - dijelovima ODZ jednačine, čini skup svih njegovih rješenja.
Primjer 1. Riješite jednačinu
X22x + 1 + 2x – 3 + 2 = X22x – 3 + 4 + 2x –
Rješenje. ODZ jednadžbe se sastoji od svih realnih X. Podijelimo ODZ na dva intervala:
A) X – 3 ≥ 0
B) X – 3< 0
A) Neka je X ≥ 3 tada X – 3 = X – 3 i jednačina (1) će biti napisana na ovom skupu na sljedeći način:
X22x + 1 + 2x – 1 = X22x + 1 + 2x – 1
Ova jednadžba se pretvara u pravu numeričku jednakost za bilo koji realni X, tj. njena rješenja su sva realna X. Od njih, uvjet X ≥ 3 je zadovoljen za sve X iz intervala, funkcija h(X) = sinnX nije pozitivna ⇒ na intervalu (1;2 ] jednadžba (1) nema rješenja.
Ako je H>2, onda je sinpH≤1, X3 – X=(H2 – 1)>2*3=6, a to znači da na intervalu (2;+~) jednačina (1) takođe nema odluke . Dakle, X=0, X=1 i X= - 1, i samo su oni rješenja originalne jednačine.
odgovor: X1=0, X2=1, X3= -1.
Primjer 3: Riješite jednačinu.
2 sinpH=H – p/2 – H+p/2. (2)
Rješenje:
Označimo =X – p/2 – X+p/2 sa f(X). Iz definicije apsolutne vrijednosti slijedi da je f (X) = p za X≤ - p/2, f(X) = -2X za – p/2 Razmotrimo X iz intervala (- n/2, n/2). Na ovom intervalu, jednačina (2) se može prepisati u obliku 2 sinpH = - 2H, odnosno u obliku. sinH= - H/p. (3) Jasno je da je X = 0 rješenje jednačine (3), a samim tim i originalne jednačine. Dokažimo da jednačina (3) nema drugih rješenja na intervalu (- n/2; n/2). Za X≠0, jednačina (3) je ekvivalentna jednačini. Za bilo koju vrijednost XÊ(- p/2;0)U(0;p/2), funkcija f(X)=sinX/X uzima samo pozitivne vrijednosti, stoga jednadžba (3) nema rješenja na skupu (- p /2 ;0)U(0;p/2). odgovor:
X=0; X=(-1)pp/6+Pn, n= 1,2…;=(-1)m+1p/6+Pm, m=1,2… Zaključak.
Proučavajući ovu temu, došao sam do sljedećeg zaključka: nestandardne metode za rješavanje jednačina omogućavaju vam da dobijete rezultate na racionalniji način. Kada se koriste nestandardne metode, rješenje traje manje vremena i zanimljivije je. Spisak korišćene literature.
, . “Zadaci iz matematike. Jednačine i nejednačine." "Matematika na usmenom ispitu." , “Zadaci o sastavljanju jednačina.” , “Jednačine i nejednačine.” , „Matematika. Metode rješavanja problema." Solovjov A. F. „Proračuni izjednačenja.” Cilj je naučiti studente da rješavaju nestandardne jednačine i nejednačine kroz duboko razumijevanje teorijskih osnova matematike. Problemi riješeni tokom procesa učenja: 1. Organizacioni momenat. Postavljanje ciljeva i zadataka lekcije. Stvaranje uslova za uspeh zajedničke aktivnosti(Rad na času se ocjenjuje bodovnim sistemom, vodi se elektronski dnevnik). 2. Provjera domaćeg zadatka (elektronski dnevnik za čas). Učenici provjeravaju domaće zadatke (upoređuju svoja rješenja sa gotovim rješenjima, rade u parovima) u Microsoft Office Word dokumentu na ekranu (rješenja unaprijed priprema nastavnik). Zadaća Riješite jednačine: Rješenje. Rješenje. Prepišimo ovu jednačinu kao: 3. Rješenje. Koren jednačine ne zadovoljava uslov. 3. Usmena anketa studenata. Međusobna provjera i bodovanje na kartici rezultata tokom časa, rezultati se unose u elektronski dnevnik 1. Kako se rješavaju jednačine oblika? 2. Kako se rješavaju jednačine oblika 3. Kako se rješavaju logaritamske jednačine s različitim bazama? 4. Kako jednačine uključuju funkciju oblika ? 4. Problemski zadatak (rad u grupama), zadatak je na svakom stolu na crvenom papiru. Učenici zapisuju datum i temu lekcije u svoje sveske i počinju rješavati zadatak. 1. Riješite jednačinu već u ovoj fazi je jasno da će rješenje biti vrlo glomazno. Pojavio se problem: treba li nastaviti rješavati ovu jednačinu ili tražiti drugo rješenje? Jer logaritamski izrazi za sve X veći od 1, tada je svaki logaritam pozitivan broj ili jednak 0. Da bi zbir bio jednak 0, potrebno je dodati nule ili suprotne brojeve, tako da svaki logaritam može uzeti samo vrijednost jednaku nuli, tj. Dakle, zaključujemo da se jednadžbe mogu riješiti korištenjem svojstava funkcije. Za nezavisno rješenje: Riješite jednačinu: . lijeva strana jednadžbe je monotono opadajuća funkcija, a desna je konstantna, dakle, jednačina ima jedan korijen x=1(lako za podizanje). 5. Proučavanje nove teme. Za rješavanje većine jednadžbi i nejednakosti koje se susreću na ispitima, posebno na Jedinstvenom državnom ispitu, dovoljno je savladati školski predmet matematike, ali u isto vrijeme potrebno ih je moći riješiti ne samo standardnim tehnikama. , ali i korištenjem “nestandardnih tehnika i metoda”. Evo nas u sljedećih pet lekcija i uvježbavaćemo takve metode i tehnike. Već znate kako koristiti metodu zamjene prilikom rješavanja nekih jednačina. Danas smo već naučili da pri rješavanju jednačina možemo koristiti svojstva funkcija. Sada bih želio pokazati primjenu svojstva ograničenosti. 1. Teorema 1. Ako i , onda jednačina Riješite jednačinu Prepišimo jednačinu kao: Pošto je i , dakle, ova jednačina je ekvivalentna sistemu: 2. Metoda evaluacije Često je znak da treba koristiti metodu procjene prisustvo funkcija različite prirode u jednadžbi. Riješite jednačinu Jednakost se postiže ako Zamjenom pronađenih vrijednosti x u jednačinu (2) dobijamo: 3. Upotreba metode monotonosti za rješavanje nestandardnih jednačina i nejednačina Ako je y=f(x) monotona funkcija, onda jednadžba f(x) = c ima najviše jedan korijen Neka funkcija y=f(x) raste na intervalu M, a funkcija y=g(x) opada na ovom intervalu. Tada jednačina f(x)=g(x) ima najviše jedan korijen na intervalu M. Neka je domen definicije funkcije f(t) interval M, i neka je ova funkcija kontinuirana i striktno monotona (tj. povećava se ili smanjuje) na ovom intervalu. Tada je jednadžba ekvivalentna sistemu: Prilikom rješavanja jednačina oblika korisna je sljedeća teorema: Ako Monotono rastuća (opadajuća) funkcija, jednačine i su ekvivalentne. Riješite jednačinu: Rješenje. - rastuća funkcija (kao zbir dvije rastuće funkcije). Na desnoj strani jednačine je konstantan broj. Na osnovu teoreme o korijenu, jednačina ima najviše jedno rješenje. Očigledno, =2 je korijen. Odgovor: =2. 4. Korištenje domena definicije funkcija pri rješavanju jednačina i nejednačina Metoda se smatra kada se pri razmatranju jednačine ili nejednakosti pokaže da su oba njena dijela definirana na određenom skupu koji se sastoji od jednog ili više brojeva. Ova metoda je najefikasnija kada se rješavaju jednačine i nejednačine koje uključuju funkcije y =; y =; y=; y = . Prilikom rješavanja jednadžbe ili nejednačine, pomaknite sve članove na lijevu stranu i razmotrite funkciju f(x). Pronađite njegovu domenu definicije D (f). pri čemu: 1). Ako D (f) = , tada jednadžba ili nejednačina nema rješenja. 2). Ako D (f) = (a 1; a 2; a 3 .....a n), onda su prava rješenja ove jednačine i nejednakosti među brojevima a 1 ; a 2; a 3…..a n. Sada morate provjeriti koji od ovih brojeva su rješenja jednadžbe ili nejednačine. 3). Ako D (f) = [a; V], tada trebate provjeriti da li je jednadžba ili nejednakost tačna na krajevima intervala iu svakom intervalu, i ako a< 0
, A u > 0, tada je potrebno provjeravati u intervalima (a; 0) i )
?
-sistemsko rješenje.