Kada trebamo izvršiti diferencijaciju eksponencijalno funkcija snage oblika y = (f (x)) g (x) ili da transformišete glomazan izraz razlomcima, možete koristiti logaritamski izvod. U sklopu ovog materijala dat ćemo nekoliko primjera primjene ove formule.

Da biste razumjeli ovu temu, morate znati kako koristiti tablicu izvoda, biti upoznati s osnovnim pravilima diferencijacije i razumjeti šta je derivacija. složena funkcija.

Kako izvesti formulu za logaritamski izvod

Da biste dobili ovu formulu, prvo morate uzeti logaritam na osnovu e, a zatim pojednostaviti rezultirajuću funkciju primjenom osnovnih svojstava logaritma. Nakon toga, morate izračunati izvod implicitno specificirane funkcije:

y = f (x) ln y = ln (f (x)) (ln y) " = (ln (f (x))) " 1 y y " = (ln (f (x))) " ⇒ y "= y (ln(f(x)))"

Primjeri korištenja formule

Pokažimo na primjeru kako se to radi.

Primjer 1

Izračunajte izvod eksponencijalne funkcije snage varijable x na stepen x.

Rješenje

Izvodimo logaritmaciju pomoću navedene baze i dobijamo ln y = ln x x. Uzimajući u obzir svojstva logaritma, ovo se može izraziti kao ln y = x · ln x. Sada razlikujemo lijevu i desnu stranu jednakosti i dobivamo rezultat:

ln y = x ln x ln y " = x ln x " 1 y y " = x " ln x + ln x " ⇒ y " = y 1 ln x + x 1 x = y (ln x + 1) = x x (ln x + 1)

odgovor: x x " = x x (ln x + 1)

Ovaj problem se može riješiti na drugi način, bez logaritamskog izvoda. Prvo moramo transformirati originalni izraz kako bismo prešli s razlikovanja eksponencijalne funkcije snage na izračunavanje derivacije kompleksne funkcije, na primjer:

y = x x = e ln x x = e x · ln x ⇒ y " = (e x · ln x) " = e x · ln x · x · ln x " = x x · x " · ln x + x · (ln x) " = = x x · 1 · ln x + x · 1 x = x x · ln x + 1

Hajde da razmotrimo još jedan problem.

Primjer 2

Izračunajte derivaciju funkcije y = x 2 + 1 3 x 3 · sin x .

Rješenje

Originalna funkcija je predstavljena kao razlomak, što znači da možemo riješiti problem pomoću diferencijacije. Međutim, ova funkcija je prilično složena, što znači da će biti potrebno mnogo transformacija. Dakle, bolje je koristiti logaritamski izvod ovdje y " = y ln (f (x)) " . Hajde da objasnimo zašto je ova kalkulacija pogodnija.

Počnimo od pronalaženja ln(f(x)). Za dalju konverziju potrebna su nam sljedeća svojstva logaritma:

• logaritam razlomka može se predstaviti kao razlika logaritama;
• logaritam proizvoda se može predstaviti kao zbir;
• ako izraz pod logaritmom ima stepen, možemo ga uzeti kao koeficijent.

Transformirajmo izraz:

ln (f (x)) = ln (x 2 + 1) 1 3 x 3 sin x 1 2 = ln (x 2 + 1) 1 3 - ln (x 3 sin x) 1 2 = = 1 3 ln (x 2 + 1) - 3 2 ln x - 1 2 ln sin x

Kao rezultat toga, dobili smo prilično jednostavan izraz, čiji je derivat lako izračunati:

(ln (f (x))) " = 1 3 ln (x 2 + 1) - 3 2 ln x - 1 2 ln sin x " = = 1 3 ln (x 2 + 1) " - 3 2 ln x " - 1 2 ln sin x " = = 1 3 (ln (x 2 + 1)) " - 3 2 (ln x) " - 1 2 (ln sin x) " = = 1 3 1 x 2 + 1 x 2 + 1 " - 3 2 1 x - 1 2 1 sin x (sin x) " = = 1 3 2 x x 2 + 1 - 3 2 x - cos x 2 sin x

Sada ono što smo dobili treba zamijeniti u formulu za logaritamski izvod.

odgovor: y " = y ln (f (x)) " = x 2 + 1 3 x 3 sin x 1 3 2 x x 2 + 1 - 3 2 x - cos x 2 sin x

Da biste pojačali gradivo, proučite još nekoliko sljedećih primjera. Ovdje će biti date samo kalkulacije sa minimumom komentara.

Primjer 3

Zadana je eksponencijalna funkcija snage y = (x 2 + x + 1) x 3 . Izračunajte njegovu derivaciju.

Rješenje:

y " = y · (ln (f (x))) " = (x 2 + x + 1) x 3 · ln (x 2 + x + 1) x 3 " = = (x 2 + x + 1) x 3 x 3 (x 2 + x + 1) " = = (x 2 + x + 1) x 3 x 3 " ln (x 2 + x + 1) + x 3 ln (x 2 + x + 1) " = = (x 2 + x + 1) x 3 3 x 2 ln (x 2 + x + 1) + x 3 1 x 2 + x + 1 x 2 + x + 1 " = = (x 2 + x + 1) x 3 3 x 2 ln (x 2 + x + 1) + x 3 2 x + 1 x 2 + x + 1 = = (x 2 + x + 1) x 3 3 x 2 ln (x 2 + x + 1 ) + 2 x 4 + x 3 x 2 + x + 1

odgovor: y " = y · (ln (f (x))) " = (x 2 + x + 1) x 3 · 3 x 2 · ln (x 2 + x + 1) + 2 x 4 + x 3 x 2 + x+1

Primjer 4

Izračunajte derivaciju izraza y = x 2 + 1 3 · x + 1 · x 3 + 1 4 x 2 + 2 x + 2 .

Rješenje

Primjenjujemo formulu za logaritamski izvod.

y " = y · ln x 2 + 1 3 · x + 1 · x 3 + 1 4 x 2 + 2 x + 2 " = = y · ln x 2 + 1 3 + ln x + 1 + ln x 3 + 1 4 - ln x 2 + 2 x + 2 " = = y 1 3 ln (x 2 + 1) + 1 2 ln x + 1 + 1 4 ln (x 3 + 1) - 1 2 ln (x 2 + 2 x + 2) " = = y · (x 2 + 1) " 3 (x 2 + 1) + x + 1 " 2 (x + 1) + (x 3 + 1) " 4 x 3 + 1 - x 2 + 2 x + 2 " 2 x 2 + 2 x + 2 = = x 2 + 1 3 x + 1 x 3 + 1 4 x 2 + 2 x + 2 2 x 3 (x 2 + 1) + 1 2 (x + 1) + 3 x 2 4 (x 3 + 1) - 2 x + 2 2 (x 2 + 2 x + 2)

odgovor:

y " = x 2 + 1 3 x + 1 x 3 + 1 4 x 2 + 2 x + 2 2 x 3 (x 2 + 1) + 1 2 (x + 1) + 3 x 2 4 (x 3 + 1 ) - 2 x + 2 2 (x 2 + 2 x + 2) .

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Složeni derivati. Logaritamski izvod.
Derivat eksponencijalne funkcije stepena

Nastavljamo da unapređujemo našu tehniku ​​diferencijacije. U ovoj lekciji ćemo konsolidirati materijal koji smo obradili, pogledati složenije derivacije, a također ćemo se upoznati s novim tehnikama i trikovima za pronalaženje izvoda, posebno s logaritamskim izvodom.

Onim čitaocima koji imaju nizak nivo pripreme, trebali biste pogledati članak Kako pronaći derivat? Primjeri rješenja, što će vam omogućiti da podignete svoje vještine gotovo od nule. Zatim morate pažljivo proučiti stranicu Derivat kompleksne funkcije, razumjeti i riješiti Sve primjere koje sam naveo. Ova lekcija logično treći, a nakon što ga savladate, pouzdano ćete razlikovati prilično složene funkcije. Nepoželjno je zauzeti stav „Gdje drugdje? Da, dosta je”, pošto su svi primjeri i rješenja preuzeti iz stvarnosti! testovi i često se susreću u praksi.

Počnimo s ponavljanjem. Na lekciji Derivat kompleksne funkcije Pogledali smo niz primjera s detaljnim komentarima. Tokom proučavanja diferencijalnog računa i drugih sekcija matematička analiza– morat ćete vrlo često razlikovati, a nije uvijek zgodno (i nije uvijek neophodno) detaljno opisati primjere. Stoga ćemo vježbati usmeno pronalaženje izvedenica. Najprikladniji "kandidati" za to su derivati ​​najjednostavnijih složenih funkcija, na primjer:

Prema pravilu diferencijacije složenih funkcija :

Prilikom izučavanja drugih matana u budućnosti, ovako detaljno snimanje najčešće nije potrebno, pretpostavlja se da student zna pronaći takve derivate na autopilotu. Zamislimo da je u 3 sata ujutro bilo a telefonski poziv, a prijatan glas upita: "Koja je derivacija tangenta dva X-a?" Ovo bi trebalo da bude praćeno skoro trenutnim i ljubaznim odgovorom: .

Prvi primjer će odmah biti namijenjen za samostalno rješenje.

Primjer 1

Pronađi sljedeće izvedenice usmeno, u jednoj radnji, na primjer: . Za završetak zadatka potrebno je samo koristiti tablica izvoda elementarnih funkcija(ako se još niste sjetili). Ako imate bilo kakvih poteškoća, preporučujem da ponovo pročitate lekciju Derivat kompleksne funkcije.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Odgovori na kraju lekcije

Složeni derivati

Nakon preliminarne artiljerijske pripreme, primjeri sa 3-4-5 ugniježđenja funkcija bit će manje zastrašujući. Sljedeća dva primjera nekome mogu izgledati komplikovana, ali ako ih razumijete (neko će patiti), onda će gotovo sve ostalo u diferencijalnom računu izgledati kao dječja šala.

Primjer 2

Pronađite izvod funkcije

Kao što je već napomenuto, pri pronalaženju derivacije kompleksne funkcije, prije svega, to je neophodno U redu RAZUMIJETE svoja ulaganja. U slučajevima kada postoje sumnje, podsjećam vas na korisnu tehniku: uzimamo eksperimentalnu vrijednost “x”, na primjer, i pokušavamo (mentalno ili na nacrtu) zamijeniti ovu vrijednost u “užasan izraz”.

1) Prvo trebamo izračunati izraz, što znači da je zbir najdublje ugrađivanje.

2) Zatim morate izračunati logaritam:

4) Zatim izrežite kosinus na kocku:

5) U petom koraku razlika:

6) I na kraju, najspoljnija funkcija je Kvadratni korijen:

Formula za razlikovanje složene funkcije primjenjuju se obrnutim redoslijedom, od najudaljenije funkcije prema unutrašnjoj. Odlučujemo:

Izgleda da nema grešaka...

(1) Uzmite derivaciju kvadratnog korijena.

(2) Izvod razlike uzimamo pomoću pravila

(3) Derivat trojke je nula. U drugom članu uzimamo derivaciju stepena (kocke).

(4) Uzmimo derivaciju kosinusa.

(5) Uzmimo izvod logaritma.

(6) I konačno, uzimamo derivaciju najdubljeg ugrađivanja.

Možda izgleda preteško, ali ovo nije najbrutalniji primjer. Uzmite, na primjer, kolekciju Kuznjecova i cijenit ćete svu ljepotu i jednostavnost analiziranog derivata. Primijetio sam da vole da daju sličnu stvar na ispitu kako bi provjerili da li student razumije kako pronaći izvod kompleksne funkcije ili ne razumije.

Sljedeći primjer možete sami riješiti.

Primjer 3

Pronađite izvod funkcije

Savjet: Prvo primjenjujemo pravila linearnosti i pravilo diferencijacije proizvoda

Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Vrijeme je da pređete na nešto manje i ljepše.
Nije neuobičajeno da primjer prikazuje proizvod ne dvije, već tri funkcije. Kako pronaći derivat od proizvoda od tri multiplikatori?

Primjer 4

Pronađite izvod funkcije

Prvo pogledamo, da li je moguće pretvoriti proizvod tri funkcije u proizvod dvije funkcije? Na primjer, ako imamo dva polinoma u proizvodu, mogli bismo otvoriti zagrade. Ali u primjeru koji se razmatra, sve funkcije su različite: stepen, eksponent i logaritam.

U takvim slučajevima je neophodno sekvencijalno primijeniti pravilo diferencijacije proizvoda dvaput

Trik je u tome što sa “y” označavamo proizvod dvije funkcije: , a sa “ve” označavamo logaritam: . Zašto se to može uraditi? Da li je zaista – ovo nije proizvod dva faktora i pravilo ne funkcionira?! Nema ništa komplikovano:

Sada preostaje primijeniti pravilo po drugi put u zagradu:

Možete se i uvrnuti i staviti nešto van zagrada, ali u ovom slučaju je bolje ostaviti odgovor upravo u ovom obliku - lakše će se provjeriti.

Razmatrani primjer se može riješiti na drugi način:

Oba rješenja su apsolutno ekvivalentna.

Primjer 5

Pronađite izvod funkcije

Ovo je primjer za nezavisno rješenje u uzorku je riješeno pomoću prve metode.

Pogledajmo slične primjere sa razlomcima.

Primjer 6

Pronađite izvod funkcije

Ovdje možete doći na nekoliko načina:

ili ovako:

Ali rješenje će biti napisano kompaktnije ako prvo upotrijebimo pravilo diferencijacije količnika , uzimajući za cijeli brojnik:

U principu, primjer je riješen, a ako se ostavi kako jeste, neće biti greške. Ali ako imate vremena, uvijek je preporučljivo provjeriti nacrt kako biste vidjeli da li se odgovor može pojednostaviti? Svedimo izraz brojnika na zajednički nazivnik i oslobodimo se trospratne frakcije:

Nedostatak dodatnih pojednostavljenja je u tome što postoji rizik od greške ne pri pronalaženju derivacije, već prilikom banalnih školskih transformacija. S druge strane, nastavnici često odbacuju zadatak i traže da se „spomene” izvedenica.

Jednostavniji primjer koji možete sami riješiti:

Primjer 7

Pronađite izvod funkcije

Nastavljamo da savladavamo metode pronalaženja derivacije, a sada ćemo razmotriti tipičan slučaj kada se za diferencijaciju predlaže "strašan" logaritam

Primjer 8

Pronađite izvod funkcije

Ovdje možete ići daleko, koristeći pravilo za razlikovanje složene funkcije:

Ali već prvi korak vas odmah uranja u malodušnost - morate uzeti neugodan derivat iz razlomka, a zatim i iz razlomka.

Zbog toga prije kako uzeti derivaciju "sofisticiranog" logaritma, prvo se pojednostavljuje korištenjem dobro poznatih školskih svojstava:

! Ako imate pri ruci bilježnicu za vježbanje, kopirajte ove formule direktno tamo. Ako nemate bilježnicu, kopirajte je na komad papira, jer će se preostali primjeri lekcije vrtjeti oko ovih formula.

Samo rješenje se može napisati otprilike ovako:

Transformirajmo funkciju:

Pronalaženje derivata:

Prethodno pretvaranje same funkcije uvelike je pojednostavilo rješenje. Stoga, kada se sličan logaritam predlaže za diferencijaciju, uvijek je preporučljivo da ga „razbijete“.

A sada nekoliko jednostavnih primjera koje možete sami riješiti:

Primjer 9

Pronađite izvod funkcije

Primjer 10

Pronađite izvod funkcije

Sve transformacije i odgovori nalaze se na kraju lekcije.

Logaritamski izvod

Ako je derivat logaritama tako slatka muzika, onda se postavlja pitanje: da li je u nekim slučajevima moguće organizovati logaritam veštački? Može! Čak i neophodno.

Primjer 11

Pronađite izvod funkcije

Nedavno smo pogledali slične primjere. sta da radim? Možete uzastopno primijeniti pravilo diferencijacije količnika, a zatim pravilo diferencijacije proizvoda. Nedostatak ove metode je što na kraju dobijete ogroman trospratni dio, s kojim uopće ne želite da se bavite.

Ali u teoriji i praksi postoji tako divna stvar kao što je logaritamski izvod. Logaritmi se mogu umjetno organizirati tako što će se "okačiti" na obje strane:

Bilješka : jer funkcija može uzeti negativne vrijednosti, tada, općenito govoreći, trebate koristiti module: , koji će nestati kao rezultat diferencijacije. Međutim, trenutni dizajn je također prihvatljiv, gdje se po defaultu uzima u obzir kompleks značenja. Ali ako je u potpunosti strogo, onda u oba slučaja treba napraviti rezervu.

Sada morate što je više moguće „dezintegrirati“ logaritam desne strane (formule pred vašim očima?). Opisaću ovaj proces veoma detaljno:

Počnimo s diferencijacijom.
Oba dijela zaključujemo pod udarom:

Izvod od desne strane je prilično jednostavan, jer ako čitate ovaj tekst, trebalo bi da budete u stanju da se nosite sa njim.

Šta je sa lijevom stranom?

Na lijevoj strani imamo složena funkcija. Predviđam pitanje: "Zašto, ima li jedno slovo "Y" ispod logaritma?"

Činjenica je da ova "igra jednog slova" - JE SAMA FUNKCIJA(ako nije baš jasno, pogledajte članak Derivat funkcije specificirane implicitno). Dakle, logaritam je eksterna funkcija, a "y" je interna funkcija. I koristimo pravilo za razlikovanje složene funkcije :

Na lijevoj strani, kao magijom čarobni štapić imamo derivat. Zatim, prema pravilu proporcije, prenosimo "y" iz nazivnika lijeve strane na vrh desne strane:

A sada se prisjetimo o kakvoj smo funkciji "igrača" govorili tokom diferencijacije? Pogledajmo stanje:

Konačan odgovor:

Primjer 12

Pronađite izvod funkcije

Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Uzorak dizajna primjera ovog tipa nalazi se na kraju lekcije.

Koristeći logaritamsku derivaciju bilo je moguće riješiti bilo koji od primjera br. 4-7, druga stvar je što su tamo funkcije jednostavnije i, možda, upotreba logaritamskog izvoda nije baš opravdana.

Derivat eksponencijalne funkcije stepena

Ova funkcija Nismo ga još pogledali. Eksponencijalna funkcija je funkcija za koju i stepen i baza zavise od "x". Klasičan primjer, koji će vam biti dat u bilo kom udžbeniku ili na bilo kom predavanju:

Kako pronaći izvod eksponencijalne funkcije stepena?

Potrebno je koristiti tehniku ​​o kojoj smo upravo govorili - logaritamski izvod. Objesite logaritme na obje strane:

Po pravilu, na desnoj strani stepen se vadi ispod logaritma:

Kao rezultat, na desnoj strani imamo proizvod dvije funkcije, koje će se razlikovati prema standardnoj formuli .

Pronalazimo izvedenicu da bismo to uradili, stavljamo oba dela ispod poteza:

Dalje akcije su jednostavne:

konačno:

Ako bilo koja konverzija nije sasvim jasna, molimo ponovo pažljivo pročitajte objašnjenja primjera br. 11.

U praktičnim zadacima, stepen eksponencijalna funkcija će uvijek biti složenija od primjera predavanja o kojem se raspravlja.

Primjer 13

Pronađite izvod funkcije

Koristimo logaritamski izvod.

Na desnoj strani imamo konstantu i proizvod dva faktora – “x” i “logaritam logaritma x” (drugi logaritam je ugniježđen ispod logaritma). Prilikom diferenciranja, kao što se sjećamo, bolje je odmah pomaknuti konstantu iz predznaka derivacije kako ne bi smetala; i, naravno, primjenjujemo poznato pravilo :

Neka
(1)
je diferencijabilna funkcija varijable x. Prvo ćemo ga razmotriti na skupu vrijednosti x za koje y uzima pozitivne vrijednosti: . U nastavku ćemo pokazati da su svi dobijeni rezultati primjenjivi i za negativne vrijednosti .

U nekim slučajevima, da bi se pronašao izvod funkcije (1), zgodno je prethodno ga logaritamirati
,
a zatim izračunati izvod. Zatim, prema pravilu diferencijacije kompleksne funkcije,
.
Odavde
(2) .

Izvod logaritma funkcije naziva se logaritamski izvod:
.

Logaritamski izvod funkcije y = f(x) je derivat prirodni logaritam ova funkcija: (ln f(x))′.

Slučaj negativnih y vrijednosti

Sada razmotrite slučaj kada varijabla može imati i pozitivne i negativne vrijednosti. U ovom slučaju, uzmite logaritam modula i pronađite njegovu derivaciju:
.
Odavde
(3) .
To jest, u opšti slučaj, potrebno je pronaći izvod logaritma modula funkcije.

Upoređujući (2) i (3) imamo:
.
To jest, formalni rezultat izračunavanja logaritamskog izvoda ne zavisi od toga da li smo uzeli modul ili ne. Stoga, kada izračunavamo logaritamski izvod, ne moramo da brinemo o tome koji predznak ima funkcija.

Ova situacija se može razjasniti pomoću kompleksnih brojeva. Neka je za neke vrijednosti x negativna: . Ako uzmemo u obzir samo realne brojeve, onda je funkcija nedefinirana. Međutim, ako uvedemo kompleksne brojeve u razmatranje, dobićemo sljedeće:
.
To jest, funkcije i razlikuju se po kompleksnoj konstanti:
.
Pošto je derivacija konstante nula, onda
.

Svojstvo logaritamskog izvoda

Iz takvog razmatranja proizilazi da logaritamski izvod se neće promijeniti ako pomnožite funkciju sa proizvoljnom konstantom :
.
Zaista, koristeći svojstva logaritma, formule derivat suma I derivat konstante, imamo:

.

Primjena logaritamskog izvoda

Pogodno je koristiti logaritamski izvod u slučajevima kada se originalna funkcija sastoji od umnožaka stepena ili eksponencijalne funkcije. U ovom slučaju, logaritamska operacija pretvara proizvod funkcija u njihov zbir. Ovo pojednostavljuje izračunavanje derivacije.

Primjer 1

Pronađite derivaciju funkcije:
.

Rješenje

Logaritujmo originalnu funkciju:
.

Hajde da napravimo razliku s obzirom na varijablu x.
U tabeli derivata nalazimo:
.
Primjenjujemo pravilo diferencijacije složenih funkcija.
;
;
;
;
(A1.1) .
Pomnoži sa:

.

Dakle, pronašli smo logaritamski izvod:
.
Odavde nalazimo derivaciju originalne funkcije:
.

Bilješka

Ako želimo koristiti samo realne brojeve, onda bismo trebali uzeti logaritam modula originalne funkcije:
.
Onda
;
.
I dobili smo formulu (A1.1). Stoga se rezultat nije promijenio.

Odgovori

Primjer 2

Koristeći logaritamski izvod, pronađite izvod funkcije
.

Rješenje

Uzmimo logaritme:
(A2.1) .
Diferencirati s obzirom na varijablu x:
;
;

;
;
;
.

Pomnoži sa:
.
Odavde dobijamo logaritamski izvod:
.

Derivat originalne funkcije:
.

Bilješka

Ovdje je originalna funkcija nenegativna: . Definiran je na . Ako ne pretpostavimo da se logaritam može definirati za negativne vrijednosti argumenta, tada formulu (A2.1) treba napisati na sljedeći način:
.
Zbog

I
,
ovo neće uticati na konačni rezultat.

Odgovori

Primjer 3

Pronađite izvod
.

Rješenje

Diferencijaciju vršimo pomoću logaritamskog izvoda. Uzmimo logaritam, uzimajući u obzir da:
(A3.1) .

Diferenciranjem se dobija logaritamski izvod.
;
;
;
(A3.2) .

Od tada

.

Bilješka

Izvršimo proračune bez pretpostavke da se logaritam može definirati za negativne vrijednosti argumenta. Da biste to učinili, uzmite logaritam modula originalne funkcije:
.
Tada umjesto (A3.1) imamo:
;

.
Upoređujući sa (A3.2) vidimo da se rezultat nije promijenio.

Povratak