16.1. Proširivanje elementarnih funkcija u Taylorov red i
Maclaurin
Pokažimo da ako je na skupu definirana proizvoljna funkcija 
, u blizini tačke 
ima mnogo izvoda i zbir je niza stepena:
tada možete pronaći koeficijente ove serije.
Zamenimo unutra power series
. Onda 
.
Nađimo prvi izvod funkcije 
:
At 
:
.
Za drugi izvod dobijamo:
At 
:
.
Nastavak ove procedure n kada dobijemo: 
.
Tako smo dobili niz stepena oblika:
,
koji se zove pored Taylora za funkciju 
u blizini tačke 
.
Poseban slučaj serije Taylor je Maclaurin serija at 
:
Ostatak Taylor (Maclaurin) serije se dobija odbacivanjem glavne serije n prvi članovi i označava se kao 
. Zatim funkcija 
može se napisati kao zbir n prvi članovi serije 
i ostatak 
:,
.
Ostatak je obično 
izraženo različitim formulama.
Jedan od njih je u Lagrangeovom obliku:
, Gdje 
.
.
Imajte na umu da se u praksi češće koristi Maclaurin serija. Dakle, da bi se zapisala funkcija 
u obliku zbroja potencijskog reda potrebno je:
1) naći koeficijente Maclaurin (Taylor) reda;
2) naći oblast konvergencije rezultujućeg niza stepena;
3) dokazati da ovaj niz konvergira funkciji 
.
Teorema1
(neophodan i dovoljan uslov za konvergenciju Maclaurinovog reda). Neka je radijus konvergencije serije 
. Da bi se ovaj niz konvergirao u intervalu 
da funkcioniše 
, potrebno je i dovoljno da bi uslov bio zadovoljen: 
u navedenom intervalu.
Teorema 2. Ako su derivati bilo kojeg reda funkcije 
u nekom intervalu 
ograničena u apsolutnoj vrijednosti na isti broj M, to je 
, zatim u ovom intervalu funkcija 
može se proširiti u Maclaurin seriju.
Primjer1
.
Proširite u Taylorov niz oko tačke 
funkcija.
Rješenje.
.
,;
,
;
,
;
,
.......................................................................................................................................
,
;
Region konvergencije 
.
Primjer2
.
Proširite funkciju 
u Taylorovoj seriji oko tačke 
.
Rješenje:
Naći vrijednost funkcije i njenih derivata u 
.
,
;
,
;
...........……………………………
,
.
Stavimo ove vrijednosti u red. Dobijamo:
ili 
.
Nađimo područje konvergencije ovog niza. Prema d'Alembertovom testu, niz konvergira ako
.
Stoga, za bilo koje 
ova granica je manja od 1 i stoga će raspon konvergencije niza biti: 
.
Razmotrimo nekoliko primjera proširenja osnovnih elementarnih funkcija u Maclaurinov red. Podsjetimo da je Maclaurin serija:
.
konvergira na intervalu 
da funkcioniše 
.
Imajte na umu da je za proširenje funkcije u niz potrebno:
a) pronaći koeficijente Maclaurinovog reda za ovu funkciju;
b) izračunati radijus konvergencije za rezultirajući niz;
c) dokazati da rezultirajući niz konvergira funkciji 
.
Primjer 3. Razmotrite funkciju 
.
Rješenje.
Izračunajmo vrijednost funkcije i njenih derivata na 
.
Tada numerički koeficijenti serije imaju oblik:
za bilo koga n. Zamenimo pronađene koeficijente u Maclaurinov niz i dobijemo: 
Nađimo radijus konvergencije rezultirajućeg niza, i to:
.
Dakle, niz konvergira na intervalu 
.
Ovaj niz konvergira funkciji 
za bilo koje vrednosti 
, jer na bilo kojem intervalu 
funkcija 
a njeni derivati apsolutne vrijednosti su ograničeni u broju 
.
Primjer4
.
Razmotrite funkciju 
.
Rješenje.
:
Lako je vidjeti da su derivati parnog reda 
, a derivati su neparnog reda. Zamenimo pronađene koeficijente u Maclaurinov red i dobijemo ekspanziju:
Nađimo interval konvergencije ovu seriju. Prema d'Alambertovom znaku:
za bilo koga 
. Dakle, niz konvergira na intervalu 
.
Ovaj niz konvergira funkciji 
, jer su svi njegovi derivati ograničeni na jedinstvo.
Primjer5
.
.
Rješenje.
Nađimo vrijednost funkcije i njenih derivata na 
:
Dakle, koeficijenti ove serije: 
I 
, dakle:
Slično kao u prethodnom redu, područje konvergencije 
. Serija konvergira funkciji 
, jer su svi njegovi derivati ograničeni na jedinstvo.
Imajte na umu da je funkcija 
neparna i serijska ekspanzija po neparnim stepenima, funkcija 
– čak i širenje u niz u parnim snagama.
Primjer6
.
Binomni niz: 
.
Rješenje.
Nađimo vrijednost funkcije i njenih derivata na 
:
Iz ovoga se vidi da:
Zamijenimo ove vrijednosti koeficijenata u Maclaurinov red i dobijemo proširenje ove funkcije u niz stepena:
Nađimo radijus konvergencije ovog niza:
Dakle, niz konvergira na intervalu 
. Na graničnim tačkama na 
I 
niz može ili ne mora konvergirati ovisno o eksponentu 
.
Proučeni niz konvergira na intervalu 
da funkcioniše 
, odnosno zbir serije 
at 
.
Primjer7
.
Proširimo funkciju u Maclaurinovom nizu 
.
Rješenje.
Da proširimo ovu funkciju u niz, koristimo binomni niz at 
. Dobijamo: 
Na osnovu svojstva redova stepena (redovi stepena se mogu integrisati u oblast njegove konvergencije), nalazimo integral levog i desni delovi ove serije:
Nađimo područje konvergencije ove serije: 
,
odnosno područje konvergencije ove serije je interval 
. Odredimo konvergenciju niza na krajevima intervala. At 
. Ova serija je harmonična serija, odnosno razilazi se. At 
dobijamo niz brojeva sa zajedničkim pojmom 
.
Niz konvergira prema Leibnizovom kriteriju. Dakle, područje konvergencije ovog niza je interval 
.
16.2. Primena redova stepena u približnim proračunima
U približnim proračunima, redovi snaga igraju izuzetno važnu ulogu. Uz njihovu pomoć sastavljene su tablice trigonometrijskih funkcija, tablice logaritama, tablice vrijednosti drugih funkcija koje se koriste u različitim područjima znanja, na primjer, u teoriji vjerojatnosti i matematičkoj statistici. Osim toga, proširenje funkcija u niz stepena korisno je za njihovo teorijsko proučavanje. Glavni problem pri korištenju niza stepena u približnim proračunima je pitanje procjene greške pri zamjeni sume niza zbirom njegovih prvih nčlanovi.
Razmotrimo dva slučaja:
funkcija se proširuje u niz koji se mijenja znakom;
funkcija je proširena u niz znakova konstante.
Proračun korištenjem naizmjeničnih serija
Neka funkcija 
proširen u niz naizmjeničnih snaga. Zatim prilikom izračunavanja ove funkcije za određenu vrijednost 
dobijamo niz brojeva na koji možemo primijeniti Leibnizov kriterij. U skladu s ovim kriterijem, ako se zbir niza zamijeni zbirom njegovog prvog nčlanova, tada apsolutna greška ne prelazi prvi član ostatka ovog niza, odnosno: 
.
Primjer8
.
Izračunati 
sa tačnošću od 0,0001.
Rješenje.
Koristit ćemo Maclaurin seriju za 
, zamjenjujući vrijednost ugla u radijanima:
Ako uporedimo prvi i drugi član serije sa datom tačnošću, onda: .
Treći termin proširenja:
manja od navedene tačnosti proračuna. Stoga, da izračunate 
dovoljno je ostaviti dva člana serije, tj
.
Dakle 
.
Primjer9
.
Izračunati 
sa tačnošću od 0,001.
Rješenje.
Koristićemo formulu binomnog niza. Da bismo to uradili, pišimo 
kao: 
.
U ovom izrazu 
,
Uporedimo svaki od pojmova serije sa tačnošću koja je navedena. To je jasno 
. Stoga, da izračunate 
dovoljno je ostaviti tri termina serije.
ili 
.
Proračun korištenjem pozitivnih serija
Primjer10
.
Izračunaj broj 
sa tačnošću od 0,001.
Rješenje.
U nizu za funkciju 
hajde da zamenimo 
. Dobijamo:
Procijenimo grešku koja nastaje pri zamjeni sume niza zbirom prvog 
članovi. Zapišimo očiglednu nejednakost:
to je 2<
<3.
Используем формулу остаточного члена
ряда в форме Лагранжа:
,
.
Prema problemu, morate pronaći n tako da vrijedi sljedeća nejednakost: 
ili 
.
Lako je to provjeriti kada n= 6:
.
dakle, 
.
Primjer11
.
Izračunati 
sa tačnošću od 0,0001.
Rješenje.
Imajte na umu da se za izračunavanje logaritma može koristiti niz za funkciju 
, ali ovaj niz konvergira veoma sporo i da bi se postigla zadata tačnost bilo bi potrebno uzeti 9999 članova! Stoga se za izračunavanje logaritama u pravilu koristi niz za funkciju 
, koji konvergira na intervalu 
.
Hajde da izračunamo 
koristeći ovu seriju. Neka 
, Onda 
.
dakle, 
,
Da bi izračunali 
sa datom tačnošću, uzmi zbir prva četiri člana: 
.
Ostatak serije 
hajde da ga odbacimo. Procijenimo grešku. Očigledno je da 
ili 
.
Tako je u nizu koji je korišten za izračunavanje bilo dovoljno uzeti samo prva četiri člana umjesto 9999 u nizu za funkciju 
.
Pitanja za samodijagnozu
1. Šta je Taylor serija?
2. Kakav je oblik imao Maclaurinov niz?
3. Formulirajte teoremu o proširenju funkcije u Taylorov red.
4. Zapišite proširenje glavnih funkcija Maclaurinove serije.
5. Navedite područja konvergencije razmatranih serija.
6. Kako procijeniti grešku u aproksimativnim proračunima pomoću nizova stepena?
U teoriji funkcionalnih nizova centralno mjesto zauzima dio posvećen proširenju funkcije u niz.
Dakle, zadatak je postavljen: za datu funkciju trebamo pronaći takav niz moći
koji su konvergirali na određenom intervalu i njegov zbir je bio jednak 
,
one.
=
..
Ovaj zadatak se zove problem proširenja funkcije u niz stepena.
Neophodan uslov za dekompozibilnost funkcije u stepenu niza je njegova diferencijabilnost beskonačan broj puta - to proizilazi iz svojstava konvergentnih redova stepena. Ovaj uslov je, po pravilu, zadovoljen za elementarne funkcije u njihovom domenu definicije.
Dakle, pretpostavimo da je funkcija 
ima derivate bilo kojeg reda. Da li je moguće proširiti ga u niz stepena?Ako je tako, kako možemo pronaći ovu seriju? Drugi dio problema je lakše riješiti, pa počnimo s njim.
Pretpostavimo da je funkcija 
može se predstaviti kao zbir niza stepena koji konvergiraju u intervalu koji sadrži tačku X 0 :
=
..
(*)
Gdje A 0 ,A 1 ,A 2 ,...,A P ,... – nepoznati (još) koeficijenti.
Stavimo u jednakost (*) vrijednost x = x 0 , onda dobijamo
.
Hajde da razlikujemo redove stepena (*) po članu
=
..
i verovanje ovde x = x 0 , dobijamo
.
Sljedećom diferencijacijom dobijamo niz
=
..
vjerujući x = x 0 ,
dobijamo 
, gdje 
.
Poslije P- dobijamo višestruku diferencijaciju
Uz pretpostavku u posljednjoj jednakosti x = x 0 ,
dobijamo 
, gdje
Dakle, koeficijenti su pronađeni
,
,
,
…,
,….,
zamjenjujući koji u niz (*), dobijamo
Rezultirajuća serija se zove pored Taylora
za funkciju
.
Tako smo to utvrdili ako se funkcija može proširiti u niz stepena po stepenu (x - x 0 ), onda je ovo proširenje jedinstveno i rezultirajući niz je nužno Taylorov niz.
Imajte na umu da se Taylorov red može dobiti za bilo koju funkciju koja ima derivate bilo kojeg reda u tački x = x 0 . Ali to ne znači da se između funkcije i rezultirajućeg niza može staviti znak jednakosti, tj. da je zbir niza jednak originalnoj funkciji. Prvo, takva jednakost može imati smisla samo u području konvergencije, a Taylorov red koji se dobije za funkciju može divergirati, a drugo, ako se Taylorov red konvergira, onda se njegov zbir možda neće poklapati s originalnom funkcijom.
3.2. Dovoljni uslovi za razgradljivost funkcije u Taylorovom redu
Formulirajmo iskaz uz pomoć kojeg će se zadatak riješiti.
Ako je funkcija
u nekoj okolini tačke x 0 ima derivate do (n+
1) reda uključujući, onda u ovom naselju imamoformula
Taylor
GdjeR n (X)-ostatak člana Taylorove formule – ima oblik (Lagrangeov oblik)
Gdje dotξ leži između x i x 0 .
Imajte na umu da postoji razlika između Taylorovog reda i Taylorove formule: Taylorova formula je konačan zbir, tj. P - fiksni broj.
Podsjetimo da je zbir serije S(x) može se definirati kao granica funkcionalnog niza parcijalnih suma S P (x) u nekom intervalu X:
.
Prema ovome, proširiti funkciju u Taylorov red znači pronaći niz takav da za bilo koji XX
Napišimo Taylorovu formulu u obliku gdje
primeti, to 
definira grešku koju dobijemo, zamijenite funkciju f(x)
polinom S n (x).
Ako 
, To 
, one. funkcija je proširena u Taylorov niz. Obrnuto, ako 
, To 
.
Tako smo dokazali kriterij za dekompozibilnost funkcije u Taylorovom nizu.
Da bi funkcijaf(x) proširuje se u Tejlorov red, potrebno je i dovoljno da na ovom intervalu
, GdjeR n (x) je preostali član Taylorovog reda.
Koristeći formulisani kriterijum, može se dobiti dovoljnouslovi za dekompozibilnost funkcije u Taylorovom redu.
Ako uneka okolina tačke x 0 apsolutne vrijednosti svih izvoda funkcije ograničene su na isti broj M≥ 0, tj.
, To u ovom susjedstvu funkcija se širi u Taylorov niz.
Iz navedenog slijedi algoritamproširenje funkcije f(x) u seriji Taylor u blizini tačke X 0 :
1. Pronalaženje izvoda funkcija f(x):
f(x), f’(x), f”(x), f’”(x), f (n) (x),…
2. Izračunajte vrijednost funkcije i vrijednosti njenih derivacija u tački X 0
f(x 0 ), f’(x 0 ), f”(x 0 ), f’”(x 0 ), f (n) (x 0 ),…
3. Formalno pišemo Taylorov red i nalazimo područje konvergencije rezultirajućeg potencijskog reda.
4. Provjeravamo ispunjenost dovoljnih uslova, tj. utvrđujemo za koje X iz regije konvergencije, preostali član R n (x)
teži nuli kao 
ili
.
Proširivanje funkcija u Taylorov niz korištenjem ovog algoritma se zove proširenje funkcije u Taylorov red po definiciji ili direktno razlaganje.
Proširenje funkcije u serije Taylor, Maclaurin i Laurent na mjestu za obuku praktičnih vještina. Ovo proširenje funkcije u niz omogućava matematičarima da procijene približnu vrijednost funkcije u nekom trenutku u njenom domenu definicije. Mnogo je lakše izračunati takvu vrijednost funkcije u odnosu na korištenje Bredisove tablice, koja je toliko irelevantna u doba kompjuterske tehnologije. Proširiti funkciju u Taylorov red znači izračunati koeficijente linearnih funkcija ovog niza i napisati je u ispravnom obliku. Učenici brkaju ova dva niza, ne shvatajući šta je opšti slučaj, a šta poseban slučaj drugog. Podsjetimo jednom za svagda Maclaurinov red je poseban slučaj Taylorovog reda, odnosno ovo je Taylorov red, ali u tački x = 0. Svi kratki unosi za proširenje dobro poznatih funkcija, kao što su e^x, Sin(x), Cos(x) i drugi, ovo su proširenja Taylorovog reda, ali u tački 0 za argument. Za funkcije složenog argumenta, Lorentov red je najčešći problem u TFCT-u, budući da predstavlja dvostrani beskonačan niz. To je zbir dvije serije. Predlažemo da pogledate primjer dekompozicije direktno na web stranici; to je vrlo lako učiniti klikom na “Primjer” s bilo kojim brojem, a zatim na dugme “Rješenje”. Upravo je ovo proširenje funkcije u niz koji je povezan s majorizirajućim nizom koji ograničava izvornu funkciju u određenom području duž ordinatne ose ako varijabla pripada području apscise. Vektorska analiza uspoređuje se s još jednom zanimljivom disciplinom u matematici. Budući da svaki termin treba ispitati, proces zahtijeva dosta vremena. Bilo koji Taylorov niz može biti povezan s Maclaurinovim nizom zamjenom x0 sa nulom, ali za Maclaurinov niz ponekad nije očigledno da se Taylorov red predstavlja obrnuto. Kao da se to ne mora raditi u svom čistom obliku, zanimljivo je za opći samorazvoj. Svaki Laurentov niz odgovara dvostranom beskonačnom nizu stepena u cjelobrojnim potencijama z-a, drugim riječima, nizu istog Taylorovog tipa, ali malo drugačijem u izračunavanju koeficijenata. O području konvergencije Laurentove serije ćemo govoriti malo kasnije, nakon nekoliko teorijskih proračuna. Kao iu prošlom veku, postepeno proširenje funkcije u niz teško se može postići jednostavnim dovođenjem pojmova do zajedničkog imenioca, pošto su funkcije u nazivnicima nelinearne. Formulacija problema zahtijeva približan proračun funkcionalne vrijednosti. Razmislite o činjenici da kada je argument Taylorovog reda linearna varijabla, tada se proširenje događa u nekoliko koraka, ali je slika potpuno drugačija kada je argument funkcije koja se proširuje složena ili nelinearna funkcija, tada se proces predstavljanje takve funkcije u nizu stepena je očigledno, jer je, na ovaj način, lako izračunati, iako približnu vrijednost, u bilo kojoj tački u području definicije, sa minimalnom greškom koja ima mali uticaj na dalje proračune. Ovo važi i za Maclaurin seriju. kada je potrebno izračunati funkciju u nultoj tački. Međutim, sam Laurentov niz ovdje je predstavljen ekspanzijom na ravan sa imaginarnim jedinicama. Takođe, ispravno rješenje problema tokom cjelokupnog procesa neće biti bez uspjeha. Ovaj pristup nije poznat u matematici, ali objektivno postoji. Kao rezultat, možete doći do zaključka o takozvanim tačkastim podskupovima, a za proširenje funkcije u nizu morate koristiti metode poznate za ovaj proces, kao što je primjena teorije izvoda. Još jednom se uvjeravamo da je učitelj bio u pravu, koji je iznio svoje pretpostavke o rezultatima postračunarskih proračuna. Napomenimo da Taylorov niz, dobijen po svim kanonima matematike, postoji i definiran je na cijeloj numeričkoj osi, međutim, poštovani korisnici servisa stranice, ne zaboravite tip originalne funkcije, jer može ispasti da je u početku potrebno uspostaviti domen definicije funkcije, odnosno napisati i isključiti iz daljeg razmatranja one tačke u kojima funkcija nije definirana u domeni realnih brojeva. Takoreći, ovo će pokazati vašu efikasnost u rješavanju problema. Konstrukcija Maclaurinove serije sa nultom vrijednošću argumenata neće biti izuzetak od onoga što je rečeno. Proces pronalaženja domena definicije funkcije nije otkazan i ovoj matematičkoj operaciji morate pristupiti sa punom ozbiljnošću. U slučaju Laurentovog niza koji sadrži glavni dio, parametar "a" će se zvati izolirana singularna točka, a Laurentov niz će se proširiti u prsten - to je sjecište područja konvergencije njegovih dijelova, dakle slijedi odgovarajuća teorema. Ali nije sve tako komplikovano kao što se na prvi pogled čini neiskusnom studentu. Proučavajući Taylorov niz, lako možete razumjeti Laurentov niz - generalizirani slučaj za proširenje prostora brojeva. Bilo koje proširenje funkcije u niz može se izvesti samo u točki u domeni definicije funkcije. Svojstva funkcija kao što su periodičnost ili beskonačna diferencijabilnost treba uzeti u obzir. Također predlažemo da koristite tabelu gotovih proširenja elementarnih funkcija Taylorovog niza, budući da se jedna funkcija može predstaviti sa do desetine različitih nizova stepena, što se može vidjeti iz našeg online kalkulatora. Online Maclaurin seriju je lako odrediti, ako koristite jedinstvenu uslugu web stranice, samo trebate unijeti ispravnu napisanu funkciju i dobit ćete predstavljeni odgovor za nekoliko sekundi, garantirano je tačan i u standardnom pisanom obliku. Rezultat možete kopirati direktno u čistu kopiju za predaju nastavniku. Bilo bi ispravno prvo odrediti analitičnost dotične funkcije u prstenovima, a zatim nedvosmisleno reći da je ona proširiva u Lorentov red u svim takvim prstenovima. Važno je ne izgubiti iz vida pojmove Lorentove serije koji sadrže negativne moći. Fokusirajte se na ovo što je više moguće. Dobro iskoristite Laurentov teorem o proširenju funkcije u cjelobrojne stepene.
Ako je funkcija f(x) ima na nekom intervalu koji sadrži tačku A, derivati svih redova, onda se na njega može primijeniti Taylorova formula:
Gdje r n– takozvani preostali član ili ostatak serije, može se procijeniti pomoću Lagrangeove formule:
, gdje je broj x između X I A.
Ako za neku vrijednost x r n®0 at n®¥, tada se u granici Taylor formula pretvara u konvergentnu formulu za ovu vrijednost Taylor serija:
Dakle, funkcija f(x) može se proširiti u Taylorov niz u dotičnoj tački X, Ako:
1) ima derivate svih naloga;
2) konstruisani niz konvergira u ovoj tački.
At A=0 dobijamo niz pod nazivom blizu Maclaurina:
Primjer 1 f(x)= 2x.
Rješenje. Nađimo vrijednosti funkcije i njenih derivata na X=0
f(x) = 2x, f( 0) = 2 0 =1;
f¢(x) = 2x ln2, f¢( 0) = 2 0 ln2= ln2;
f¢¢(x) = 2x u 2 2, f¢¢( 0) = 2 0 ln 2 2= ln 2 2;
f(n)(x) = 2x ln n 2, f(n)( 0) = 2 0 ln n 2=ln n 2.
Zamjenom dobijenih vrijednosti derivata u formulu Taylorovog reda, dobivamo:
Radijus konvergencije ovog niza jednak je beskonačnosti, stoga ovo proširenje vrijedi za -¥<x<+¥.
Primjer 2 X+4) za funkciju f(x)= e x.
Rješenje. Pronalaženje izvoda funkcije e x i njihove vrijednosti u tom trenutku X=-4.
f(x)= e x, f(-4) = e -4 ;
f¢(x)= e x, f¢(-4) = e -4 ;
f¢¢(x)= e x, f¢¢(-4) = e -4 ;
f(n)(x)= e x, f(n)( -4) = e -4 .
Prema tome, traženi Taylorov red funkcije ima oblik:
Ovo proširenje vrijedi i za -¥<x<+¥.
Primjer 3 . Proširite funkciju f(x)=ln x u nizu moći ( X- 1),
(tj. u Tejlorovom nizu u blizini tačke X=1).
Rješenje. Pronađite izvode ove funkcije.
Zamjenom ovih vrijednosti u formulu dobijamo željeni Taylorov niz:
Koristeći d'Alembertov test, možete provjeriti da li se niz konvergira kada
½ X- 1½<1. Действительно,
Niz konvergira ako je ½ X- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При X=2 dobijamo promenljivi niz koji zadovoljava uslove Lajbnicovog kriterijuma. At X=0 funkcija nije definirana. Dakle, područje konvergencije Taylorovog reda je poluotvoreni interval (0;2).
Predstavimo ovako dobijene ekspanzije u Maclaurinov niz (tj. u blizini tačke X=0) za neke elementarne funkcije:
(2) 
,
(3) 
,
( zove se posljednja dekompozicija binomni niz)
Primjer 4 . Proširite funkciju u niz stepena
Rješenje. U proširenju (1) zamjenjujemo X na - X 2, dobijamo:
Primjer 5
. Proširite funkciju u Maclaurin seriju 
Rješenje. Imamo 
Koristeći formulu (4), možemo napisati:
umjesto zamjene X u formulu -X, dobijamo:
Odavde nalazimo:
Otvaranjem zagrada, preuređivanjem termina serije i dovođenjem sličnih pojmova, dobijamo
Ovaj niz konvergira u intervalu
(-1;1), budući da se dobija iz dva niza, od kojih svaki konvergira u ovom intervalu.
Komentar .
Formule (1)-(5) se također mogu koristiti za proširenje odgovarajućih funkcija u Taylorov niz, tj. za proširenje funkcija u pozitivnim cijelim potencijama ( Ha). Da biste to učinili, potrebno je izvršiti takve identične transformacije na datoj funkciji kako bi se dobila jedna od funkcija (1)-(5), u kojoj umjesto X košta k( Ha) m , gdje je k konstantan broj, m je pozitivan cijeli broj. Često je zgodno napraviti promjenu varijable t=Ha i proširi rezultujuću funkciju u odnosu na t u Maclaurinovom nizu.
Ova metoda ilustruje teoremu o jedinstvenosti proširenja funkcije u niz stepena. Suština ove teoreme je da se u okolini iste tačke ne mogu dobiti dva različita niza stepena koji bi konvergirali istoj funkciji, bez obzira na to kako se vrši njeno proširenje.
Primjer 6 . Proširite funkciju u Taylorov niz u susjedstvu tačke X=3.
Rješenje. Ovaj se problem može riješiti, kao i prije, korištenjem definicije Taylorovog reda, za koji trebamo pronaći derivacije funkcije i njihove vrijednosti na X=3. Međutim, bit će lakše koristiti postojeće proširenje (5):
Rezultirajući niz konvergira na 
ili –3<x- 3<3, 0<x< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.
Primjer 7
. Napišite Taylorov niz u potencijama ( X-1) funkcije 
.
Rješenje.
Serija se konvergira na 
, ili 2< x£5.