U školi mnogi ljudi ne uspijevaju riješiti integrale ili imaju poteškoća s njima. Ovaj članak će vam pomoći da to shvatite, jer ćete u njemu pronaći sve. integralne tabele.
Integral je jedan od glavnih proračuna i koncepata u matematičkoj analizi. Njegov izgled proizašao je iz dvije svrhe:
Prvi gol- vratiti funkciju koristeći njen derivat.
Drugi gol- izračunavanje površine koja se nalazi na udaljenosti od grafika do funkcije f(x) na pravoj liniji gdje je a veće ili jednako x veće ili jednako b i x osi.
Ovi ciljevi nas vode do određenih i neodređenih integrala. Veza između ovih integrala leži u traženju svojstava i proračunu. Ali sve teče i sve se mijenja tokom vremena, pronalazila su se nova rješenja, identificirali su dodaci, čime se određeni i neodređeni integrali dovode u druge oblike integracije.
Šta se desilo neodređeni integral pitate. Ovo je antiderivativna funkcija F(x) jedne varijable x u intervalu a većem od x većeg od b. se naziva bilo koja funkcija F(x), u datom intervalu za bilo koju oznaku x, derivacija je jednaka F(x). Jasno je da je F(x) antiderivativna za f(x) u intervalu a je veći od x je veći od b. To znači da je F1(x) = F(x) + C. C - je bilo koja konstanta i antiderivat za f(x) u datom intervalu. Ovaj iskaz je inverzibilan za funkciju f(x) - 2 antiderivacije se razlikuju samo po konstanti. Na osnovu teoreme integralnog računa, ispada da je svaki neprekidan u intervalu a
Definitivni integral se shvata kao granica u integralnim zbrojima, ili u situaciji date funkcije f(x) definisane na nekoj liniji (a,b) koja ima antiderivat F na sebi, što znači razliku njegovih izraza na krajevima date linije F(b) - F(a).
Kako bih ilustrirao proučavanje ove teme, predlažem da pogledate video. Detaljno govori i pokazuje kako pronaći integrale.
Svaka tabela integrala sama po sebi je vrlo korisna, jer pomaže u rješavanju određene vrste integrala.
Sve mogući tipovi kancelarijski materijal i drugo. Možete kupiti preko online trgovine v-kant.ru. Ili samo slijedite vezu Dopisnica Samara (http://v-kant.ru) kvaliteta i cijene će vas ugodno iznenaditi.
Nabrojimo integrale elementarnih funkcija, koji se ponekad nazivaju tabelarnim:
Bilo koja od gornjih formula može se dokazati uzimanjem derivacije desne strane (rezultat će biti integrand).
Metode integracije
Pogledajmo neke osnovne metode integracije. To uključuje:
1. Metoda razlaganja(direktnu integraciju).
Ova metoda se zasniva na direktnoj upotrebi tabelarnih integrala, kao i na korišćenju svojstava 4 i 5 neodređenog integrala (tj. vađenje konstantnog faktora iz zagrada i/ili predstavljanje integranda kao sume funkcija - dekompozicija integranda u termine).
Primjer 1. Na primjer, da biste pronašli(dx/x 4) možete direktno koristiti tablični integral zax n dx. U stvari, (dx/x 4) =x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.
Pogledajmo još nekoliko primjera.
Primjer 2. Da bismo ga pronašli, koristimo isti integral:
Primjer 3. Da biste ga pronašli morate uzeti
Primjer 4. Da bismo pronašli, predstavljamo funkciju integranda u obliku 
i koristite tablični integral za eksponencijalna funkcija:
Razmotrimo upotrebu zagrada kao konstantan faktor.
Primjer 5.
Pronađimo npr 
. S obzirom na to, dobijamo
Primjer 6. Naći ćemo ga. Zbog 
, koristimo tablični integral 
Dobijamo
U sljedeća dva primjera možete koristiti i integralne zagrade i tablice:
Primjer 7.
(koristimo i 
);
Primjer 8.
(koristimo 
I 
).
Pogledajmo složenije primjere koji koriste integral zbira.
Primjer 9. Na primjer, hajde da pronađemo 
. Da bismo primijenili metodu proširenja u brojiocu, koristimo formulu zbirne kocke , a zatim podijelimo rezultujući polinom sa nazivnikom, član po član.
=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx= 
Treba napomenuti da je na kraju rješenja napisana jedna zajednička konstanta C (a ne zasebne pri integraciji svakog člana). Ubuduće se također predlaže izostavljanje konstanti iz integracije pojedinačnih članova u procesu rješavanja sve dok izraz sadrži barem jedan neodređeni integral (jednu konstantu ćemo napisati na kraju rješenja).
Primjer 10. Naći ćemo 
. Da bismo riješili ovaj problem, hajde da faktorizujemo brojnik (nakon toga možemo smanjiti nazivnik).
Primjer 11. Naći ćemo ga. Ovdje se mogu koristiti trigonometrijski identiteti.
Ponekad, da biste rastavili izraz na termine, morate koristiti složenije tehnike.
Primjer 12. Naći ćemo 
. U integrandu biramo cijeli dio razlomka 
. Onda
Primjer 13. Naći ćemo
2. Metoda zamjene varijable (metoda zamjene)
Metoda se zasniva na sljedećoj formuli: f(x)dx=f((t))`(t)dt, gdje je x =(t) funkcija diferencibilna na intervalu koji se razmatra.
Dokaz. Nađimo izvode u odnosu na varijablu t slijeva i desni delovi formule.
Imajte na umu da se na lijevoj strani nalazi kompleksna funkcija čiji je međuargument x = (t). Stoga, da bismo ga razlikovali u odnosu na t, prvo diferenciramo integral s obzirom na x, a zatim uzimamo derivaciju srednjeg argumenta u odnosu na t.
( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)
Derivat sa desne strane:
(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)
Budući da su ovi derivati jednaki, prema korollaciji Lagrangeovog teorema, lijeva i desna strana formule koja se dokazuje razlikuju se za određenu konstantu. Pošto su sami neodređeni integrali definisani do neodređenog konstantnog člana, ova konstanta se može izostaviti iz konačne notacije. Dokazan.
Uspješna promjena varijable omogućava vam da pojednostavite originalni integral, au najjednostavnijim slučajevima ga svedete na tabelarni. U primjeni ove metode pravi se razlika između metoda linearne i nelinearne zamjene.
a) Metoda linearne supstitucije Pogledajmo primjer.
Primjer 1.
. Neka je onda t= 1 – 2x
dx=d(½ - ½t) = - ½dt
Treba napomenuti da nova varijabla ne mora biti eksplicitno ispisana. U takvim slučajevima se govori o transformaciji funkcije pod diferencijalnim predznakom ili o uvođenju konstanti i varijabli pod diferencijalnim predznakom, tj. O implicitna zamjena varijable.
Primjer 2. Na primjer, pronađimocos(3x + 2)dx. Po svojstvima diferencijala dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), tada jecos(3x + 2)dx =(1/3)cos(3x + 2)d (3x + + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) +C.
U oba razmatrana primjera, linearna supstitucija t=kx+b(k0) korištena je za pronalaženje integrala.
U općem slučaju vrijedi sljedeća teorema.
Teorema linearne zamjene. Neka je F(x) neki antiderivat funkcije f(x). Tadaf(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C, gdje su k i b neke konstante,k0.
Dokaz.
Po definiciji integrala f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C. Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. Uzmimo konstantni faktor k iz predznaka integrala: kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C. Sada možemo podijeliti lijevu i desnu stranu jednakosti na dvije i dobiti tvrdnju koju treba dokazati do oznake konstantnog člana.
Ova teorema kaže da ako u definiciji integrala f(x)dx= F(x) + C umjesto argumenta x zamijenimo izraz (kx+b), to će dovesti do pojave dodatnog faktor 1/k ispred antiderivata.
Koristeći dokazanu teoremu rješavamo sljedeće primjere.
Primjer 3.
Naći ćemo 
. Ovdje je kx+b= 3 –x, tj. k= -1,b= 3. Tada
Primjer 4.
Naći ćemo ga. Herekx+b= 4x+ 3, tj. k= 4,b= 3. Tada
Primjer 5.
Naći ćemo 
. Ovdje je kx+b= -2x+ 7, tj. k= -2,b= 7. Tada
.
Primjer 6. Naći ćemo 
. Ovdje je kx+b= 2x+ 0, tj. k= 2,b= 0.
.
Uporedimo dobijeni rezultat sa primjerom 8, koji je riješen metodom dekompozicije. Rješavajući isti problem koristeći drugu metodu, dobili smo odgovor 
. Uporedimo rezultate: Stoga se ovi izrazi međusobno razlikuju po konstantnom pojmu 
, tj. Dobijeni odgovori nisu u suprotnosti.
Primjer 7. Naći ćemo 
. Odaberimo savršen kvadrat u nazivniku.
U nekim slučajevima, promjena varijable ne reducira integral direktno na tabelarni, ali može pojednostaviti rješenje, što omogućava korištenje metode proširenja u sljedećem koraku.
Primjer 8. Na primjer, hajde da pronađemo 
. Zamijenite t=x+ 2, zatim dt=d(x+ 2) =dx. Onda
,
gdje je C = C 1 – 6 (pri zamjeni izraza (x+ 2) umjesto prva dva člana, dobijamo ½x 2 -2x– 6).
Primjer 9. Naći ćemo 
. Neka je t= 2x+ 1, tada je dt= 2dx;dx= ½dt;x= (t– 1)/2.
Zamijenimo izraz (2x+ 1) za t, otvorimo zagrade i damo slične.
Imajte na umu da smo u procesu transformacija prešli na drugi konstantni pojam, jer grupa konstantnih pojmova mogla bi biti izostavljena tokom procesa transformacije.
b) Metoda nelinearne supstitucije Pogledajmo primjer.
Primjer 1.
. Lett= -x 2. Zatim bi se moglo izraziti x u terminima t, zatim pronaći izraz za dx i implementirati promjenu varijable u željeni integral. Ali u ovom slučaju je lakše učiniti stvari drugačije. Nađimo dt=d(-x 2) = -2xdx. Imajte na umu da je izraz xdx faktor integranda željenog integrala. Izrazimo to iz rezultirajuće jednakostixdx= - ½dt. Onda
Antiderivativna funkcija i neodređeni integral
Činjenica 1. Integracija je inverzno djelovanje diferencijacije, odnosno vraćanje funkcije iz poznatog izvoda ove funkcije. Funkcija je tako vraćena F(x) se zove antiderivativ za funkciju f(x).
Definicija 1. Funkcija F(x f(x) u nekom intervalu X, ako za sve vrijednosti x iz ovog intervala vrijedi jednakost F "(x)=f(x), to je ovu funkciju f(x) je derivat od antiderivativna funkcija F(x). .
Na primjer, funkcija F(x) = grijeh x je antiderivat funkcije f(x) = cos x na cijeloj brojevnoj pravoj, jer za bilo koju vrijednost x (grijeh x)" = (cos x) .
Definicija 2. Neodređeni integral funkcije f(x) je skup svih njegovih antiderivata. U ovom slučaju se koristi notacija
∫
f(x)dx
,gdje je znak ∫ zove se integralni znak, funkcija f(x) – funkcija integranda, i f(x)dx – integrand izraz.
Dakle, ako F(x) – neki antideritiv za f(x) , To
∫
f(x)dx = F(x) +C
Gdje C - proizvoljna konstanta (konstanta).
Da bismo razumjeli značenje skupa antiderivata funkcije kao neodređenog integrala, prikladna je sljedeća analogija. Neka budu vrata (tradicionalna drvena vrata). Njegova funkcija je da "bude vrata". Od čega su vrata napravljena? Od drveta. To znači da je skup antiderivata integranda funkcije “biti vrata”, odnosno njenog neodređenog integrala, funkcija “biti stablo + C”, gdje je C konstanta, koja u ovom kontekstu može označavaju, na primjer, vrstu drveta. Baš kao što su vrata napravljena od drveta pomoću nekih alata, derivat funkcije se „izrađuje“ od antiderivativne funkcije pomoću formule koje smo naučili dok smo proučavali derivaciju .
Tada je tabela funkcija uobičajenih objekata i njihovih odgovarajućih antiderivata ("biti vrata" - "biti drvo", "biti kašika" - "biti metal" itd.) slična tablici osnovnih neodređeni integrali, koji će biti dati u nastavku. Tabela neodređenih integrala navodi uobičajene funkcije sa naznakom antideriva od kojih su ove funkcije „napravljene“. U dijelu zadataka nalaženja neodređenog integrala dati su integrandi koji se mogu direktno integrirati bez većeg napora, odnosno korištenjem tablice neodređenih integrala. U složenijim problemima, integrand se prvo mora transformirati tako da se mogu koristiti tablični integrali.
Činjenica 2. Kada vraćamo funkciju kao antiderivativ, moramo uzeti u obzir proizvoljnu konstantu (konstantu) C, a da ne biste pisali listu antiderivata sa raznim konstantama od 1 do beskonačnosti, potrebno je da napišete skup antiderivata sa proizvoljnom konstantom C, na primjer, ovako: 5 x³+C. Dakle, proizvoljna konstanta (konstanta) je uključena u izraz antiderivata, budući da antiderivat može biti funkcija, na primjer, 5 x³+4 ili 5 x³+3 i kada se diferencira, 4 ili 3, ili bilo koja druga konstanta ide na nulu.
Postavimo problem integracije: za ovu funkciju f(x) pronaći takvu funkciju F(x), čiji derivat jednak f(x).
Primjer 1. Pronađite skup antiderivata funkcije
Rješenje. Za ovu funkciju, antiderivat je funkcija
Funkcija F(x) se naziva antiderivatom za funkciju f(x), ako je derivat F(x) je jednako f(x), ili, što je isto, diferencijal F(x) je jednako f(x) dx, tj.
(2)
Dakle, funkcija je antiderivat funkcije. Međutim, to nije jedini antiderivat za . Oni također služe kao funkcije
Gdje WITH– proizvoljna konstanta. Ovo se može potvrditi diferencijacijom.
Dakle, ako postoji jedan antiderivat za funkciju, onda za nju postoji beskonačan broj antiderivata koji se razlikuju po konstantnom članu. Svi antiderivati za funkciju su napisani u gornjem obliku. Ovo slijedi iz sljedeće teoreme.
Teorema (formalna izjava o činjenici 2). Ako F(x) – antiderivat za funkciju f(x) u nekom intervalu X, zatim bilo koji drugi antiderivat za f(x) na istom intervalu može se predstaviti u obliku F(x) + C, Gdje WITH– proizvoljna konstanta.
U sljedećem primjeru prelazimo na tablicu integrala, koja će biti data u paragrafu 3, nakon svojstava neodređenog integrala. To radimo prije nego što pročitamo cijelu tabelu kako bi suština gore navedenog bila jasna. A nakon tabele i svojstava, mi ćemo ih koristiti u cijelosti tokom integracije.
Primjer 2. Pronađite skupove antiderivativnih funkcija:
Rješenje. Pronalazimo skupove antiderivativnih funkcija od kojih su ove funkcije „napravljene“. Kada spominjemo formule iz tablice integrala, za sada samo prihvatite da takve formule postoje, a samu tablicu neodređenih integrala ćemo proučiti malo dalje.
1) Primjenom formule (7) iz tabele integrala za n= 3, dobijamo
2) Koristeći formulu (10) iz tabele integrala za n= 1/3, imamo
3) Od
onda prema formuli (7) sa n= -1/4 nalazimo
Pod znakom integrala nije zapisana sama funkcija f, i njegov proizvod diferencijalom dx. Ovo se radi prvenstveno kako bi se naznačilo kojom se varijablom traži antiderivat. Na primjer,
,
;
ovdje je u oba slučaja integrand jednak , ali njegovi neodređeni integrali u razmatranim slučajevima ispadaju različiti. U prvom slučaju, ova funkcija se smatra funkcijom varijable x, au drugom - u funkciji od z .
Proces pronalaženja neodređenog integrala funkcije naziva se integracija te funkcije.
Geometrijsko značenje neodređenog integrala
Pretpostavimo da trebamo pronaći krivu y=F(x) a već znamo da je tangenta ugla nagiba tangente u svakoj tački datu funkciju f(x) apscisa ove tačke.
Prema geometrijskog smisla derivacija, tangenta ugla tangente u datoj tački na krivulji y=F(x) jednaka vrijednosti derivata F"(x). Dakle, moramo pronaći takvu funkciju F(x), za koji F"(x)=f(x). Funkcija potrebna u zadatku F(x) je antiderivat od f(x). Uslove problema ne zadovoljava jedna kriva, već porodica krivih. y=F(x)- jedna od takvih krivulja, kao i bilo koja druga kriva se može dobiti iz nje paralelnim prevođenjem duž ose Oy.
Nazovimo graf antiderivatne funkcije od f(x) integralna kriva. Ako F"(x)=f(x), zatim graf funkcije y=F(x) postoji integralna kriva.
Činjenica 3. Neodređeni integral je geometrijski predstavljen porodicom svih integralnih krivulja , kao na slici ispod. Udaljenost svake krive od početka koordinata određena je proizvoljnom integracijskom konstantom C.
Svojstva neodređenog integrala
Činjenica 4. Teorema 1. Izvod neodređenog integrala jednak je integrandu, a njegov diferencijal je jednak integrandu.
Činjenica 5. Teorema 2. Neodređeni integral diferencijala funkcije f(x) jednako funkciji f(x) do konstantnog člana , tj.
(3)
Teoreme 1 i 2 pokazuju da su diferencijacija i integracija međusobno inverzne operacije.
Činjenica 6. Teorema 3. Konstantni faktor u integrandu može se izvaditi iz predznaka neodređenog integrala , tj.
Glavni integrali koje svaki učenik treba da zna
Navedeni integrali su osnova, osnova osnova. Ove formule svakako treba zapamtiti. Prilikom izračunavanja složenijih integrala, morat ćete ih stalno koristiti.
Molimo platite Posebna pažnja na formule (5), (7), (9), (12), (13), (17) i (19). Ne zaboravite da svom odgovoru dodate proizvoljnu konstantu C prilikom integracije!
Integral konstante
∫ A d x = A x + C (1)Integracija funkcije napajanja
Zapravo, bilo je moguće ograničiti se samo na formule (5) i (7), ali se ostali integrali iz ove grupe javljaju toliko često da je vrijedno posvetiti im malo pažnje.
∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = ln | x | +C (5)
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) (7)
Integrali eksponencijalnih funkcija i hiperboličkih funkcija
Naravno, formula (8) (možda najpogodnija za pamćenje) može se smatrati kao poseban slučaj formule (9). Formule (10) i (11) za integrale hiperboličkog sinusa i hiperboličkog kosinusa lako se izvode iz formule (8), ali je bolje zapamtiti ove relacije.
∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)
Osnovni integrali trigonometrijskih funkcija
Greška koju učenici često prave je što brkaju znakove u formulama (12) i (13). Sjećajući se da je derivacija sinusa jednaka kosinsu, iz nekog razloga mnogi ljudi vjeruju da je integral od sinx funkcije jednako cosx. Ovo nije istina! Integral sinusa je jednak "minus kosinus", ali integral cosx je jednak "samo sinus":
∫ sin x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C (15)
Integrali koji se svode na inverzne trigonometrijske funkcije
Formula (16), koja vodi do arktangenta, prirodno je poseban slučaj formule (17) za a=1. Slično, (18) je poseban slučaj (19).
∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) (19)
Složeniji integrali
Također je poželjno zapamtiti ove formule. Također se često koriste, a njihov rezultat je prilično zamoran.
∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x 2 + a 2 | +C (20)
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | +C (21)
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (a > 0) (23)
∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0) (24)
Opća pravila integracije
1) Integral zbira dvije funkcije jednak je zbiru odgovarajućih integrala: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)
2) Integral razlike dvije funkcije jednak je razlici odgovarajućih integrala: ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26)
3) Konstanta se može izvaditi iz predznaka integrala: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)
Lako je vidjeti da je svojstvo (26) jednostavno kombinacija svojstava (25) i (27).
4) Integral od složena funkcija, ako je unutrašnja funkcija linearna: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)
Ovdje je F(x) antiderivat za funkciju f(x). Imajte na umu: ova formula radi samo kada je unutrašnja funkcija Ax + B.
Važno: ne postoji univerzalna formula za integral proizvoda dvije funkcije, kao ni za integral razlomka:
∫ f (x) g (x) d x = ? ∫ f (x) g (x) d x = ? (trideset)
To, naravno, ne znači da se razlomak ili proizvod ne može integrirati. Jednostavno, svaki put kada vidite integral poput (30), morat ćete izmisliti način da se „borite“ protiv njega. U nekim slučajevima će vam pomoći integracija po dijelovima, u drugim ćete morati napraviti promjenu varijable, a ponekad čak mogu pomoći i „školske“ formule algebre ili trigonometrije.
Jednostavan primjer izračunavanja neodređenog integrala
Primjer 1. Pronađite integral: ∫ (3 x 2 + 2 sin x − 7 e x + 12) d xKoristimo formule (25) i (26) (integral zbira ili razlike funkcija jednak je zbiru ili razlici odgovarajućih integrala. Dobijamo: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x + ∫ 12 d x
Podsjetimo da se konstanta može izvaditi iz predznaka integrala (formula (27)). Izraz se pretvara u formu
3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x − 7 ∫ e x d x + 12 ∫ 1 d x
Sada koristimo samo tabelu osnovnih integrala. Trebat ćemo primijeniti formule (3), (12), (8) i (1). Hajde da se integrišemo funkcija snage, sinus, eksponencijalna i konstanta 1. Ne zaboravimo dodati proizvoljnu konstantu C na kraju:
3 x 3 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C
Poslije elementarne transformacije dobijamo konačan odgovor:
X 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C
Testirajte se diferencijacijom: uzmite derivaciju rezultirajuće funkcije i uvjerite se da je jednaka originalnom integralu.
Zbirna tabela integrala
| ∫ A d x = A x + C |
| ∫ x d x = x 2 2 + C |
| ∫ x 2 d x = x 3 3 + C |
| ∫ 1 x d x = 2 x + C |
| ∫ 1 x d x = ln | x | +C |
| ∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C |
| ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) |
| ∫ e x d x = e x + C |
| ∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1) |
| ∫ s h x d x = c h x + C |
| ∫ c h x d x = s h x + C |
| ∫ sin x d x = − cos x + C |
| ∫ cos x d x = sin x + C |
| ∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C |
| ∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C |
| ∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C |
| ∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) |
| ∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C |
| ∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) |
| ∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x 2 + a 2 | +C |
| ∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | +C |
| ∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) |
| ∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (a > 0) |
| ∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0) |
Preuzmite tabelu integrala (II dio) sa ovog linka
Ako studirate na fakultetu, ako imate poteškoća sa višom matematikom ( matematička analiza, linearna algebra, teorija vjerovatnoće, statistika), ako su vam potrebne usluge kvalifikovanog nastavnika, idite na stranicu nastavnika više matematike. Zajedno ćemo riješiti vaše probleme!
Možda će vas zanimati i
Četiri glavne metode integracije su navedene u nastavku.
1)
Pravilo za integraciju zbira ili razlike.
.
Ovdje i ispod u, v, w su funkcije integracione varijable x.
2)
Premještanje konstante izvan predznaka integrala.
Neka je c konstanta nezavisna od x. Tada se može izvaditi iz predznaka integrala.
3)
Varijabilna metoda zamjene.
Razmotrimo neodređeni integral.
Ako možemo pronaći takvu funkciju φ (x) od x, dakle
,
onda, zamjenom varijable t = φ(x) , imamo
.
4)
Formula za integraciju po dijelovima.
,
gdje su u i v funkcije integracione varijable.
Krajnji cilj izračunavanja neodređenih integrala je da se kroz transformacije svede dati integral na najjednostavnije integrale, koji se nazivaju tabelarni integrali. Tablični integrali izražavaju se kroz elementarne funkcije prema poznatim formulama.
Vidi Tabelu integrala >>>
Primjer
Izračunati neodređeni integral
Rješenje
Primećujemo da je integrand zbir i razlika tri člana:
, I .
Primjena metode 1
.
Zatim napominjemo da se integrandi novih integrala množe sa konstantama 5, 4,
I 2
, odnosno. Primjena metode 2
.
U tabeli integrala nalazimo formulu
.
Uz pretpostavku n = 2
, nalazimo prvi integral.
Prepišimo drugi integral u obliku
.
Primećujemo to. Onda
Koristimo treću metodu. Mijenjamo varijablu t = φ (x) = log x.
.
U tabeli integrala nalazimo formulu
Pošto se varijabla integracije može označiti bilo kojim slovom, onda
Prepišimo treći integral u obliku
.
Primjenjujemo formulu integracije po dijelovima.
Hajde da to stavimo.
Onda
;
;
;
;
.
Konačno imamo
.
Sakupimo pojmove sa x 3
.
.
Odgovori
Reference:
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Zbirka zadataka iz više matematike, “Lan”, 2003.