Kada osoba napravi prve samostalne korake u proučavanju matematičke analize i počne da postavlja neugodna pitanja, više nije tako lako izvući se frazom da je „u kupusu pronađen diferencijalni račun“. Stoga je došlo vrijeme da se odredi i otkrije tajna rođenja tablice izvedenica i pravila diferencijacije. Počelo u članku o značenju izvedenice, koji toplo preporučujem za proučavanje, jer smo tamo upravo pogledali koncept izvedenice i počeli klikati na probleme na temu. Ova ista lekcija ima izraženu praktičnu orijentaciju, štaviše,
primjeri o kojima se govori u nastavku mogu se, u principu, savladati čisto formalno (na primjer, kada nema vremena/želje da se udubljuje u suštinu izvedenice). Također je vrlo poželjno (ali opet nije neophodno) biti u stanju pronaći derivate koristeći „običnu“ metodu – barem na nivou dvije osnovne lekcije: Kako pronaći izvod i Derivat kompleksne funkcije.
Ali postoji jedna stvar bez koje sada definitivno ne možemo, a to je ograničenja funkcije. Morate RAZUMIJETI šta je granica i biti u stanju da ih riješite barem na srednjem nivou. I sve zbog derivata
funkcija u tački određena je formulom:
Da vas podsjetim na oznake i pojmove: oni zovu povećanje argumenta;
– prirast funkcije;
– ovo su JEDAN simboli („delta“ se ne može „otkinuti“ od „X“ ili „Y“).
Očigledno, ono što je „dinamička“ varijabla je konstanta i rezultat je izračunavanja granice 
- broj (ponekad - "plus" ili "minus" beskonačnost).
Kao poentu, možete uzeti u obzir BILO KOJU vrijednost kojoj pripada domenu definicije funkcija u kojoj postoji izvod.
Napomena: klauzula "u kojoj derivat postoji". generalno je značajno! Tako, na primjer, iako je tačka uključena u domenu definicije funkcije, njen izvod
ne postoji tamo. Stoga formula
nije primjenjivo u ovom trenutku
a skraćena formulacija bez rezerve bila bi netačna. Slične činjenice vrijede i za druge funkcije s „prelomima“ u grafu, posebno za arksinus i arkkosinus.
Tako, nakon zamjene , dobivamo drugu radnu formulu:
Obratite pažnju na podmuklu okolnost koja može da zbuni čajnik: u ovoj granici „x”, kao nezavisna varijabla, igra ulogu statistike, a „dinamika” se opet postavlja inkrementom. Rezultat izračunavanja granice
je derivirana funkcija.
Na osnovu gore navedenog, formulišemo uslove za dva tipična problema:
- Nađi derivat u tački, koristeći definiciju derivata.
- Nađi derivirajuća funkcija, koristeći definiciju derivata. Ova verzija je, prema mojim zapažanjima, mnogo češća i bit će joj posvećena glavna pažnja.
Osnovna razlika između zadataka je u tome što u prvom slučaju morate pronaći broj (opciono, beskonačnost), a u drugom –
funkcija Osim toga, derivat možda uopće ne postoji.
Kako ?
Napravite omjer i izračunajte granicu.
Odakle je došlo? tabela derivata i pravila diferencijacije ? Zahvaljujući jedinoj granici
Izgleda kao magija, ali
u stvarnosti - spretnost i bez prevare. Na lekciji Šta je derivat? Počeo sam da gledam konkretne primere gde sam, koristeći definiciju, pronašao izvode linearne i kvadratne funkcije. U svrhu kognitivnog zagrijavanja nastavit ćemo ometati tabela derivata, usavršavanje algoritma i tehničkih rješenja:
U suštini, morate dokazati poseban slučaj izvoda funkcije stepena, koji se obično pojavljuje u tabeli: .
Rješenje je tehnički formalizirano na dva načina. Počnimo s prvim, već poznatim pristupom: ljestve počinju daskom, a funkcija derivacije počinje derivacijom u tački.
Uzmite u obzir neku (konkretnu) tačku kojoj pripada domenu definicije funkcija u kojoj postoji izvod. Postavimo inkrement u ovoj tački (naravno, u okviru obima o/o -ya) i sastavite odgovarajući prirast funkcije:
Izračunajmo granicu:
Neizvesnost 0:0 eliminiše se standardnom tehnikom, razmatranom još u prvom veku pre nove ere. Hajde da se množimo
brojnik i nazivnik za konjugirani izraz 
:
Tehnika rješavanja takve granice detaljno je obrađena u uvodnoj lekciji. o granicama funkcija.
Pošto možete izabrati BILO KOJU tačku intervala kao
Zatim, nakon što smo izvršili zamjenu, dobijamo:
Još jednom da se radujmo logaritmima:
Pronađite izvod funkcije koristeći definiciju izvoda
Rješenje: Razmotrimo drugačiji pristup promoviranju istog zadatka. Potpuno je isto, ali racionalnije u smislu dizajna. Ideja je da se otarasimo
indeks i koristite slovo umjesto slova.
Razmotrimo proizvoljnu tačku kojoj pripada domenu definicije funkciju (interval) i postavite inkrement u njoj. Ali ovdje, usput, kao iu većini slučajeva, možete bez ikakvih rezervi, jer je logaritamska funkcija diferencibilna u bilo kojoj točki u domeni definicije.
Tada je odgovarajući prirast funkcije:
Nađimo derivat:
Jednostavnost dizajna je uravnotežena konfuzijom koja može
javljaju se među početnicima (i ne samo). Uostalom, navikli smo na činjenicu da se slovo "X" mijenja u granici! Ali ovdje je sve drugačije: - starinska statua, i - živi posjetitelj, koji žustro hoda hodnikom muzeja. To jest, "x" je "kao konstanta".
Komentar ću eliminaciju neizvjesnosti korak po korak:
(1)
Korištenje svojstva logaritma
.
(2) U zagradama podijelite brojilac sa nazivnikom član po član.
(3) U nazivniku umjetno množimo i dijelimo sa “x” tako da
iskoristite divnu granicu 
, dok kao infinitezimal djela.
Odgovor: po definiciji derivata:
Ili ukratko:
Predlažem da sami konstruirate još dvije tabele:
Pronađite izvod po definiciji
U ovom slučaju, zgodno je odmah svesti sastavljeni inkrement na zajednički nazivnik. Okvirni uzorak zadatka na kraju lekcije (prvi metod).
Pronađite izvod po definiciji
I ovdje se sve mora svesti na izuzetnu granicu. Rješenje se formalizira na drugi način.
Niz drugih tabelarne izvedenice. Kompletan spisak može se naći u školskom udžbeniku, ili, na primjer, 1. tom Fihtenholca. Ne vidim puno smisla u kopiranju dokaza pravila diferencijacije iz knjiga - oni se također generiraju
formula
Prijeđimo na stvarno naiđene zadatke: Primjer 5
Pronađite izvod funkcije 
, koristeći definiciju derivata
Rješenje: koristite prvi stil dizajna. Razmotrimo neku tačku kojoj pripada i postavimo inkrement argumenta na nju. Tada je odgovarajući prirast funkcije:
Možda neki čitaoci još uvijek nisu u potpunosti razumjeli princip po kojem treba napraviti prirast. Uzmite tačku (broj) i pronađite vrijednost funkcije u njoj: 
, odnosno u funkciju
umjesto "X" trebate zamijeniti. Hajdemo sada
Povećanje kompajlirane funkcije Može biti korisno odmah pojednostaviti. Za što? Olakšajte i skratite rješenje do daljnje granice.
Koristimo formule, otvaramo zagrade i smanjujemo sve što se može smanjiti:
Ćuretina je iznutricana, nema problema sa pečenjem:
na kraju: 
Pošto možemo izabrati bilo koji realan broj kao vrijednost, izvršimo zamjenu i dobijemo 
.
Odgovor : 
a-priorat.
U svrhu provjere, pronađimo derivat koristeći pravila
diferencijacija i tabele:
Uvijek je korisno i ugodno znati tačan odgovor unaprijed, pa je bolje diferencirati predloženu funkciju na „brzi“ način, mentalno ili u nacrtu, na samom početku rješenja.
Naći izvod funkcije po definiciji izvoda
Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Rezultat je očigledan:
Vratimo se stilu #2: Primjer 7
Hajde da odmah saznamo šta bi trebalo da se desi. By pravilo diferencijacije složenih funkcija:
Rješenje: razmotrite proizvoljnu tačku kojoj pripada, postavite inkrement argumenta na nju i napravite inkrement
Nađimo derivat:
(1) Koristimo trigonometrijsku formulu
(2) Ispod sinusa otvaramo zagrade, ispod kosinusa predstavljamo slične pojmove.
(3) Pod sinusom poništavamo članove, pod kosinusom dijelimo brojilac sa nazivnikom član po član.
(4) Zbog neparnosti sinusa izvlačimo „minus“. Ispod kosinusa
ukazujemo da je termin .
(5) Vršimo umjetno množenje u nazivniku kako bismo ga koristili prva divna granica. Time je neizvjesnost eliminisana, hajde da sredimo rezultat.
Odgovor: po definiciji Kao što vidite, glavna poteškoća problema koji se razmatra počiva na tome
kompleksnost sama granica + neznatna originalnost pakovanja. U praksi se javljaju oba načina projektovanja, tako da opisujem oba pristupa što je moguće detaljnije. Oni su ekvivalentni, ali ipak, po mom subjektivnom utisku, za lutke je preporučljivije da se drže opcije 1 sa “X-nula”.
Koristeći definiciju, pronađite derivaciju funkcije
Ovo je zadatak koji treba da rešite sami. Uzorak je dizajniran u istom duhu kao i prethodni primjer.
Pogledajmo rjeđu verziju problema:
Pronađite izvod funkcije u tački koristeći definiciju izvoda.
Prvo, šta bi trebalo da bude suština? Broj Izračunajmo odgovor na standardni način:
Rješenje: sa stanovišta jasnoće, ovaj zadatak je mnogo jednostavniji, jer u formuli, umjesto
uzima se u obzir određena vrijednost.
Postavimo inkrement u tački i sastavimo odgovarajući prirast funkcije:
Izračunajmo derivaciju u tački:
Koristimo vrlo rijetku formulu tangentne razlike 
i još jednom svodimo rješenje na prvo
izuzetna granica:
Odgovor: po definiciji derivacije u tački.
Problem nije tako teško riješiti "općenito" - dovoljno je zamijeniti nokat ili jednostavno ovisno o metodi dizajna. U ovom slučaju, jasno je da rezultat neće biti broj, već izvedena funkcija.
Primjer 10 Koristeći definiciju, pronađite izvod funkcije 
u tački
Ovo je primjer koji možete sami riješiti.
Završni bonus zadatak namijenjen je prvenstveno studentima sa dubljim proučavanjem matematičke analize, ali ni nikom drugom neće škoditi:
Hoće li funkcija biti diferencibilna? 
u točki?
Rješenje: Očigledno je da je djelomično data funkcija kontinuirana u nekoj tački, ali hoće li tamo biti diferencibilna?
Algoritam rješenja, i to ne samo za funkcije po komadima, je sljedeći:
1) Pronađite lijevu derivaciju u datoj tački: .
2) Naći desnu derivaciju u datoj tački: .
3) Ako su jednostrani izvodi konačni i poklapaju se:
, tada je funkcija diferencibilna u točki
geometrijski, ovdje postoji zajednička tangenta (pogledajte teorijski dio lekcije Definicija i značenje izvedenice).
Ako su primljene dvije različite vrijednosti: 
(od kojih se jedan može pokazati beskonačnim), tada funkcija nije diferencibilna u tački.
Ako su obje jednostrane derivacije jednake beskonačnosti
(čak i ako imaju različite predznake), onda funkcija nije
je diferencibilan u tački, ali postoji beskonačan izvod i zajednička vertikalna tangenta na graf (vidi primjer lekcije 5Normalna jednačina) .
U koordinatnoj ravni xOy razmotriti graf funkcije y=f(x). Hajde da popravimo stvar M(x 0 ; f (x 0)). Dodajmo apscisu x 0 prirast Δh. Dobićemo novu apscisu x 0 +Δx. Ovo je apscisa tačke N, a ordinata će biti jednaka f (x 0 +Δx). Promjena apscise povlači za sobom promjenu ordinate. Ova promjena naziva se inkrement funkcije i označava se Δy.
Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0). Kroz tačke M I N nacrtajmo sekantu MN, koji formira ugao φ sa pozitivnim smjerom ose Oh. Odredimo tangentu ugla φ iz pravouglog trougla MPN.
Neka Δh teži nuli. Zatim sekansa MNće težiti da zauzme tangentni položaj MT, i ugao φ postaće ugao α . Dakle, tangenta ugla α je granična vrijednost tangenta ugla φ :
Granica omjera prirasta funkcije i prirasta argumenta, kada potonji teži nuli, naziva se derivacija funkcije u datoj tački:
Geometrijsko značenje derivacije leži u činjenici da je numerički izvod funkcije u datoj tački jednak tangenti ugla koji formira tangenta povučena kroz ovu tačku na datu krivulju i pozitivan smjer ose Oh:
Primjeri.
1. Pronađite prirast argumenta i inkrement funkcije y= x 2, ako je početna vrijednost argumenta bila jednaka 4 , i novi - 4,01 .
Rješenje.
Nova vrijednost argumenta x=x 0 +Δx. Zamenimo podatke: 4.01=4+Δh, otuda i prirast argumenta Δh=4,01-4=0,01. Prirast funkcije, po definiciji, jednak je razlici između nove i prethodne vrijednosti funkcije, tj. Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0). Pošto imamo funkciju y=x2, To Δu=(x 0 +Δx) 2 - (x 0) 2 =(x 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =
2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.
odgovor: povećanje argumenta Δh=0,01; povećanje funkcije Δu=0,0801.
Povećanje funkcije se može naći drugačije: Δy=y (x 0 +Δx) -y (x 0)=y(4.01) -y(4)=4.01 2 -4 2 =16.0801-16=0.0801.
2. Pronađite ugao nagiba tangente na graf funkcije y=f(x) u tački x 0, Ako f "(x 0) = 1.
Rješenje.
Vrijednost derivacije u tački tangente x 0 i je vrijednost tangente ugla tangente (geometrijsko značenje derivacije). Imamo: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°, jer tg45°=1.
odgovor: tangenta na graf ove funkcije formira ugao s pozitivnim smjerom ose Ox jednak 45°.
3. Izvedite formulu za izvod funkcije y=x n.
Diferencijacija je akcija pronalaženja derivacije funkcije.
Prilikom pronalaženja izvoda koristite formule koje su izvedene na osnovu definicije derivacije, na isti način na koji smo izveli formulu za stepen izvoda: (x n)" = nx n-1.
Ovo su formule.
Tabela derivata Lakše je zapamtiti izgovaranjem verbalnih formulacija:
1. Derivat konstantne veličine je nula.
2. X prost je jednak jedan.
3. Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka derivacije.
4. Izvod stepena jednak je umnošku eksponenta ovog stepena za stepen sa istom bazom, ali je eksponent jedan manji.
5. Izvod korijena jednak je jedinici podijeljenoj sa dva jednaka korijena.
6. Derivat jedinice podijeljen sa x jednak je minus jedan podijeljen sa x na kvadrat.
7. Izvod sinusa jednak je kosinsu.
8. Derivat kosinusa je jednak minus sinus.
9. Izvod tangente jednak je jedinici podijeljenoj s kvadratom kosinusa.
10. Derivat kotangensa jednak je minus jedan podijeljen kvadratom sinusa.
Mi predajemo pravila diferencijacije.
1.
Izvod algebarskog zbira jednak je algebarskom zbiru izvoda članova.
2. Izvod proizvoda jednak je umnošku izvoda prvog faktora i drugog plus proizvod prvog faktora i izvoda drugog.
3. Derivat “y” podijeljen sa “ve” jednak je razlomku u kojem je brojilac “y prost pomnožen sa “ve” minus “y pomnožen sa ve prostim”, a nazivnik je “ve na kvadrat”.
4. Poseban slučaj formule 3.
Datum: 20.11.2014
Šta je derivat?
Tabela derivata.
Derivat je jedan od glavnih koncepata više matematike. U ovoj lekciji ćemo predstaviti ovaj koncept. Upoznajmo se, bez strogih matematičkih formulacija i dokaza.
Ovo poznanstvo će vam omogućiti da:
Razumjeti suštinu jednostavnih zadataka s izvedenicama;
Uspješno riješite ove najjednostavnije zadatke;
Pripremite se za ozbiljnije lekcije o izvedenicama.
Prvo - prijatno iznenađenje.)
Stroga definicija derivacije zasniva se na teoriji granica i stvar je prilično komplikovana. Ovo je uznemirujuće. Ali praktična primjena derivata, u pravilu, ne zahtijeva tako opsežno i duboko znanje!
Da biste uspješno obavili većinu zadataka u školi i na fakultetu, dovoljno je znati samo nekoliko termina- razumjeti zadatak, i samo nekoliko pravila- da to rešim. To je sve. Ovo me čini srećnim.
Hajde da počnemo da se upoznajemo?)
Termini i oznake.
U osnovnoj matematici postoji mnogo različitih matematičkih operacija. Zbrajanje, oduzimanje, množenje, stepenovanje, logaritam itd. Ako ovim operacijama dodate još jednu operaciju, elementarna matematika postaje viša. Ova nova operacija se zove diferencijaciju. O definiciji i značenju ove operacije raspravljat ćemo u zasebnim lekcijama.
Ovdje je važno razumjeti da je diferencijacija jednostavno matematička operacija nad funkcijom. Uzimamo bilo koju funkciju i, prema određenim pravilima, transformiramo je. Rezultat će biti nova funkcija. Ova nova funkcija se zove: derivat.
Diferencijacija- radnja na funkciji.
Derivat- rezultat ove akcije.
Baš kao što je npr. suma- rezultat sabiranja. Or privatni- rezultat podjele.
Poznavajući pojmove, možete barem razumjeti zadatke.) Formulacije su sljedeće: pronaći derivaciju funkcije; uzeti derivat; razlikovati funkciju; izračunaj derivat i tako dalje. Ovo je sve isto. Naravno, postoje i složeniji zadaci, gdje će nalaženje derivacije (diferencijacije) biti samo jedan od koraka u rješavanju problema.
Izvod je označen crticom u gornjem desnom uglu funkcije. Volim ovo: y" ili f"(x) ili S"(t) i tako dalje.
Čitanje igrik stroke, ef stroke from x, es stroke from te, pa razumes...)
Promet također može ukazivati na derivaciju određene funkcije, na primjer: (2x+3)", (x 3 )" , (sinx)" itd. Često se derivati označavaju pomoću diferencijala, ali nećemo razmatrati takvu notaciju u ovoj lekciji.
Pretpostavimo da smo naučili da razumijemo zadatke. Ostaje samo da naučite kako ih riješiti.) Da vas podsjetim još jednom: pronalaženje derivacije je transformacija funkcije prema određenim pravilima. Iznenađujuće, vrlo je malo ovih pravila.
Da biste pronašli derivaciju funkcije, trebate znati samo tri stvari. Tri stuba na kojima stoji sva diferencijacija. Evo ova tri stuba:
1. Tabela derivacija (formule diferencijacije).
3. Derivat kompleksne funkcije.
Počnimo redom. U ovoj lekciji ćemo pogledati tabelu izvedenica.
Tabela derivata.
U svijetu postoji beskonačan broj funkcija. Među ovim setom nalaze se funkcije koje su najvažnije za praktičnu upotrebu. Ove funkcije se nalaze u svim zakonima prirode. Od ovih funkcija, kao od cigli, možete konstruirati sve ostale. Ova klasa funkcija se zove elementarne funkcije. Upravo se te funkcije izučavaju u školi - linearne, kvadratne, hiperbola itd.
Diferencijacija funkcija "od nule", tj. Na osnovu definicije derivata i teorije granica, ovo je prilično radno intenzivna stvar. I matematičari su ljudi, da, da!) Pa su pojednostavili svoj (i nama) život. Izračunali su izvode elementarnih funkcija prije nas. Rezultat je tabela derivata, gdje je sve spremno.)
Evo ga, ova ploča za najpopularnije funkcije. Na lijevoj strani je elementarna funkcija, na desnoj strani je njen izvod.
| Funkcija y |
Derivat funkcije y y" |
|
| 1 | C (konstantna vrijednost) | C" = 0 |
| 2 | x | x" = 1 |
| 3 | x n (n - bilo koji broj) | (x n)" = nx n-1 |
| x 2 (n = 2) | (x 2)" = 2x | |
 |
||
 |
 |
|
| 4 | sin x | (sin x)" = cosx |
| cos x | (cos x)" = - sin x | |
| tg x |  |
|
| ctg x |  |
|
| 5 | arcsin x |  |
| arccos x |  |
|
| arctan x |  |
|
| arcctg x |  |
|
| 4 | a x |  |
| e x | ||
| 5 | log a x |  |
| ln x ( a = e) |
Preporučujem da obratite pažnju na treću grupu funkcija u ovoj tabeli derivata. Derivat funkcije stepena je jedna od najčešćih formula, ako ne i najčešća! Shvaćate li nagovještaj?) Da, preporučljivo je znati tablicu izvedenica napamet. Usput, ovo nije tako teško kao što se čini. Pokušajte riješiti više primjera, sama tabela će se zapamtiti!)
Pronalaženje tablične vrijednosti derivacije, kao što razumijete, nije najteži zadatak. Stoga vrlo često u takvim zadacima postoje dodatni čipovi. Ili u tekstu zadatka, ili u originalnoj funkciji, koje kao da nema u tabeli...
Pogledajmo nekoliko primjera:
1. Naći izvod funkcije y = x 3
Ne postoji takva funkcija u tabeli. Ali postoji derivat funkcije moći u opštem obliku (treća grupa). U našem slučaju n=3. Zato zamjenjujemo tri umjesto n i pažljivo zapisujemo rezultat:
(x 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2
To je to.
odgovor: y" = 3x 2
2. Pronađite vrijednost izvoda funkcije y = sinx u tački x = 0.
Ovaj zadatak znači da prvo morate pronaći derivaciju sinusa, a zatim zamijeniti vrijednost x = 0 u ovu istu izvedenicu. Upravo tim redosledom! U suprotnom, desi se da odmah zamjene nulu u originalnu funkciju... Od nas se traži da pronađemo ne vrijednost originalne funkcije, već vrijednost njen derivat. Izvod je, da vas podsjetim, nova funkcija.
Pomoću tablete nalazimo sinus i odgovarajuću derivaciju:
y" = (sin x)" = cosx
Zamjenjujemo nulu u izvod:
y"(0) = cos 0 = 1
Ovo će biti odgovor.
3. Razlikujte funkciju:
Šta, nadahnjuje?) Ne postoji takva funkcija u tabeli izvedenica.
Dozvolite mi da vas podsjetim da je diferenciranje funkcije jednostavno pronaći izvod ove funkcije. Ako zaboravite elementarnu trigonometriju, traženje derivacije naše funkcije je prilično problematično. Tabela ne pomaže...
Ali ako vidimo da je naša funkcija kosinus dvostrukog ugla, onda sve ide na bolje odmah!
Da da! Zapamtite to transformiranje originalne funkcije prije diferencijacije sasvim prihvatljivo! I dešava se da život čini mnogo lakšim. Koristeći kosinusnu formulu dvostrukog ugla:
One. naša lukava funkcija nije ništa drugo do y = cosx. A ovo je tabela funkcija. Odmah dobijamo:
odgovor: y" = - sin x.
Primjer za napredne maturante i studente:
4. Pronađite izvod funkcije:
U tabeli derivata, naravno, nema takve funkcije. Ali ako se sjetite elementarne matematike, operacija sa potencijama... Onda je sasvim moguće pojednostaviti ovu funkciju. Volim ovo:
A x na stepen jedne desetine je već tabelarna funkcija! Treća grupa, n=1/10. Pišemo direktno prema formuli:
To je sve. Ovo će biti odgovor.
Nadam se da je sve jasno sa prvim stubom diferencijacije - tabelom izvedenica. Ostaje da se pozabavimo sa dva preostala kita. U sljedećoj lekciji naučit ćemo pravila diferencijacije.
Napravite omjer i izračunajte granicu.
Odakle je došlo? tabela derivata i pravila diferencijacije? Zahvaljujući jedinoj granici. Čini se kao magija, ali u stvarnosti je to lukavstvo i nikakva prevara. Na lekciji Šta je derivat? Počeo sam da gledam konkretne primere gde sam, koristeći definiciju, pronašao izvode linearne i kvadratne funkcije. U svrhu kognitivnog zagrijavanja nastavit ćemo ometati tabela derivata, usavršavanje algoritma i tehničkih rješenja:
Primjer 1
U suštini, morate dokazati poseban slučaj izvoda funkcije stepena, koji se obično pojavljuje u tabeli: .
Rješenje tehnički formalizovan na dva načina. Počnimo s prvim, već poznatim pristupom: ljestve počinju daskom, a funkcija derivacije počinje derivacijom u tački.
Hajde da razmotrimo neki(specifična) tačka kojoj pripada domenu definicije funkcija u kojoj postoji izvod. Postavimo inkrement u ovoj tački (naravno, u okviru obimao/o
-ja) i sastaviti odgovarajući prirast funkcije:
Izračunajmo granicu:
Neizvesnost 0:0 eliminiše se standardnom tehnikom, razmatranom još u prvom veku pre nove ere. Pomnožite brojilac i imenilac konjugiranim izrazom 
:
Tehnika rješavanja takve granice detaljno je obrađena u uvodnoj lekciji. o granicama funkcija.
Budući da možete odabrati BILO KOJU tačku intervala kao kvalitetu, onda, nakon što izvršite zamjenu, dobijamo:
Odgovori
Još jednom da se radujmo logaritmima:
Primjer 2
Pronađite izvod funkcije koristeći definiciju izvoda
Rješenje: Razmotrimo drugačiji pristup promoviranju istog zadatka. Potpuno je isto, ali racionalnije u smislu dizajna. Ideja je da se riješite indeksa na početku rješenja i koristite slovo umjesto slova.
Hajde da razmotrimo proizvoljno tačka kojoj pripada domenu definicije funkciju (interval) i postavite inkrement u njoj. Ali ovdje, usput, kao iu većini slučajeva, možete bez ikakvih rezervi, jer je logaritamska funkcija diferencibilna u bilo kojoj točki u domeni definicije.
Tada je odgovarajući prirast funkcije:
Nađimo derivat:
Jednostavnost dizajna uravnotežena je konfuzijom koja može nastati kod početnika (i ne samo). Uostalom, navikli smo na činjenicu da se slovo "X" mijenja u granici! Ali ovdje je sve drugačije: - starinska statua, i - živi posjetitelj, koji žustro hoda hodnikom muzeja. To jest, "x" je "kao konstanta".
Komentar ću eliminaciju neizvjesnosti korak po korak:
(1) Koristimo svojstvo logaritma 
.
(2) U zagradama podijelite brojilac sa nazivnikom član po član.
(3) U nazivniku, umjetno množimo i dijelimo sa “x” da bismo iskoristili izuzetna granica 
, dok kao infinitezimal izdvaja.
Odgovori: po definiciji derivata:
Ili ukratko:
Predlažem da sami konstruirate još dvije tabele:
Primjer 3
U ovom slučaju, zgodno je odmah svesti sastavljeni inkrement na zajednički nazivnik. Okvirni uzorak zadatka na kraju lekcije (prvi metod).
Primjer 3:Rješenje
: razmotriti neku tačku
, koji pripada domeni definicije funkcije
. Postavimo inkrement u ovoj tački
i sastaviti odgovarajući prirast funkcije:
Nađimo izvod u tački
:
Pošto kao a
možete odabrati bilo koju tačku
domena funkcije
, To
I
Odgovori
:
po definiciji derivata
Primjer 4
Pronađite izvod po definiciji
I ovdje sve treba svesti na divna granica. Rješenje se formalizira na drugi način.
Niz drugih tabelarne izvedenice. Kompletan spisak može se naći u školskom udžbeniku, ili, na primjer, 1. tom Fihtenholca. Ne vidim puno smisla u kopiranju dokaza pravila diferencijacije iz knjiga - oni su također generirani formulom.
Primjer 4:Rješenje
, pripada
, i postavite inkrement u njemu
Nađimo derivat:
Koristeći divnu granicu
Odgovori
:
a-priorat
Primjer 5
Pronađite izvod funkcije 
, koristeći definiciju derivata
Rješenje: koristimo prvi stil dizajna. Hajde da razmotrimo neku tačku koja pripada , i odredimo prirast argumenta u njoj. Tada je odgovarajući prirast funkcije:
Možda neki čitaoci još uvijek nisu u potpunosti razumjeli princip po kojem treba napraviti prirast. Uzmite tačku (broj) i pronađite vrijednost funkcije u njoj: 
, odnosno u funkciju umjesto"X" treba zamijeniti. Sada također uzimamo vrlo specifičan broj i također ga zamjenjujemo u funkciju umjesto"iksa": . Zapisujemo razliku, a ona je neophodna u potpunosti staviti u zagrade.
Povećanje kompajlirane funkcije Može biti korisno odmah pojednostaviti. Za što? Olakšajte i skratite rješenje do daljnje granice.
Koristimo formule, otvaramo zagrade i smanjujemo sve što se može smanjiti: 
Ćuretina je iznutricana, nema problema sa pečenjem:
na kraju: 
Pošto možemo izabrati bilo koji realan broj kao vrijednost, izvršimo zamjenu i dobijemo 
.
Odgovori: a-priorat.
U svrhu provjere, pronađimo izvedenicu koristeći pravila diferencijacije i tabele:
Uvijek je korisno i ugodno znati tačan odgovor unaprijed, pa je bolje diferencirati predloženu funkciju na „brzi“ način, mentalno ili u nacrtu, na samom početku rješenja.
Primjer 6
Naći izvod funkcije po definiciji izvoda
Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Rezultat je očigledan:
Primjer 6:Rješenje
: razmotriti neku tačku
, pripada
, i postavite inkrement argumenta u njemu
. Tada je odgovarajući prirast funkcije:
Izračunajmo derivaciju:
ovako: 
Jer kao
tada možete izabrati bilo koji realan broj
I
Odgovori
:
a-priorat.
Vratimo se stilu #2:
Primjer 7
Hajde da odmah saznamo šta bi trebalo da se desi. By pravilo diferencijacije složenih funkcija:
Rješenje: razmotrite proizvoljnu tačku koja pripada , postavite inkrement argumenta na njoj i sastavite inkrement funkcije:
Nađimo derivat: 
(1) Upotreba trigonometrijska formula 
.
(2) Ispod sinusa otvaramo zagrade, ispod kosinusa dajemo slične pojmove.
(3) Pod sinusom smanjujemo članove, pod kosinusom dijelimo brojilac sa nazivnikom član po član.
(4) Zbog neparnosti sinusa izbacujemo “minus”. Pod kosinusom označavamo da je termin .
(5) Vršimo umjetno množenje u nazivniku kako bismo ga koristili prva divna granica. Time je neizvjesnost eliminisana, hajde da sredimo rezultat.
Odgovori: a-priory
Kao što vidite, glavna poteškoća problema koji se razmatra leži u složenosti samog ograničenja + blagoj jedinstvenosti pakovanja. U praksi se javljaju oba načina projektovanja, tako da opisujem oba pristupa što je moguće detaljnije. Oni su ekvivalentni, ali ipak, po mom subjektivnom utisku, za lutke je preporučljivije da se drže opcije 1 sa “X-nula”.
Primjer 8
Koristeći definiciju, pronađite derivaciju funkcije
Primjer 8:Rješenje
: uzeti u obzir proizvoljnu tačku
, pripada
, postavimo inkrement u njemu
i sastavi prirast funkcije:
Nađimo derivat:
Koristimo trigonometrijsku formulu
i prva izuzetna granica:
Odgovori
:
a-priorat
Pogledajmo rjeđu verziju problema:
Primjer 9
Nađite izvod funkcije u tački koristeći definiciju izvoda.
Prvo, šta bi trebalo da bude suština? Broj
Izračunajmo odgovor na standardni način: 
Rješenje: sa stanovišta jasnoće, ovaj zadatak je mnogo jednostavniji, jer formula umjesto toga uzima u obzir određenu vrijednost.
Postavimo inkrement u tački i sastavimo odgovarajući prirast funkcije:
Izračunajmo derivaciju u tački:
Koristimo vrlo rijetku formulu tangentne razlike 
i još jednom svodimo rješenje na prva divna granica:
Odgovori: po definiciji derivacije u tački.
Problem nije tako teško riješiti "općenito" - dovoljno je zamijeniti ili jednostavno ovisno o metodi dizajna. U ovom slučaju, jasno je da rezultat neće biti broj, već izvedena funkcija.
Primjer 10
Koristeći definiciju, pronađite derivaciju funkcije 
u tački (od kojih se jedna može pokazati beskonačnom), koju sam već opisao općenito teorijska lekcija o derivatu.
Neke djelomično definirane funkcije se također mogu razlikovati na "spojnim" točkama grafa, na primjer, catdog 
ima zajedničku derivaciju i zajedničku tangentu (x-osa) u tački. Krivulja, ali se može razlikovati po ! Zainteresovani mogu to sami provjeriti koristeći upravo riješen primjer.
©2015-2019 stranica
Sva prava pripadaju njihovim autorima. Ova stranica ne tvrdi autorstvo, ali omogućava besplatno korištenje.
Datum kreiranja stranice: 11.06.2017
Zadatak B9 daje graf funkcije ili derivacije iz kojeg trebate odrediti jednu od sljedećih veličina:
- Vrijednost derivacije u nekoj tački x 0,
- Maksimalne ili minimalne tačke (ekstremalne tačke),
- Intervali rastućih i opadajućih funkcija (intervali monotonosti).
Funkcije i derivacije predstavljene u ovom problemu su uvijek kontinuirane, čineći rješenje mnogo lakšim. Unatoč činjenici da zadatak pripada dijelu matematičke analize, mogu ga obaviti i najslabiji učenici, jer ovdje nije potrebno duboko teorijsko znanje.
Da biste pronašli vrijednost derivacije, ekstremnih tačaka i intervala monotonosti, postoje jednostavni i univerzalni algoritmi - svi će biti razmotreni u nastavku.
Pažljivo pročitajte uslove zadatka B9 da ne napravite glupe greške: ponekad naiđete na prilično dugačke tekstove, ali postoji nekoliko važnih uslova koji utiču na tok rešenja.
Proračun vrijednosti derivata. Metoda u dve tačke
Ako je problemu zadan graf funkcije f(x), tangentan na ovaj graf u nekoj tački x 0, i potrebno je pronaći vrijednost derivacije u ovoj tački, primjenjuje se sljedeći algoritam:
- Pronađite dvije “adekvatne” tačke na tangentnom grafu: njihove koordinate moraju biti cijeli broj. Označimo ove tačke kao A (x 1 ; y 1) i B (x 2 ; y 2). Ispravno zapišite koordinate - ovo je ključna točka u rješenju, a svaka greška ovdje će dovesti do pogrešnog odgovora.
- Poznavajući koordinate, lako je izračunati prirast argumenta Δx = x 2 − x 1 i prirast funkcije Δy = y 2 − y 1 .
- Konačno, nalazimo vrijednost izvoda D = Δy/Δx. Drugim riječima, trebate podijeliti prirast funkcije s prirastom argumenta - i to će biti odgovor.
Napomenimo još jednom: tačke A i B moraju se tražiti upravo na tangenti, a ne na grafu funkcije f(x), kao što se često dešava. Tangentna linija će nužno sadržavati najmanje dvije takve točke - inače problem neće biti ispravno formuliran.
Razmotrite tačke A (−3; 2) i B (−1; 6) i pronađite priraštaje:
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.
Nađimo vrijednost izvoda: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.
Zadatak. Na slici je prikazan grafik funkcije y = f(x) i tangenta na nju u tački sa apscisom x 0. Pronađite vrijednost izvoda funkcije f(x) u tački x 0 .
Razmotrite tačke A (0; 3) i B (3; 0), pronađite priraštaje:
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.
Sada nalazimo vrijednost izvoda: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.
Zadatak. Na slici je prikazan grafik funkcije y = f(x) i tangenta na nju u tački sa apscisom x 0. Pronađite vrijednost izvoda funkcije f(x) u tački x 0 .
Razmotrite tačke A (0; 2) i B (5; 2) i pronađite priraštaje:
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.
Ostaje pronaći vrijednost derivacije: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.
Iz posljednjeg primjera možemo formulirati pravilo: ako je tangenta paralelna s osom OX, derivacija funkcije u tački tangentnosti je nula. U ovom slučaju ne morate ništa da brojite - samo pogledajte grafikon.
Obračun maksimalnih i minimalnih bodova
Ponekad, umjesto grafa funkcije, zadatak B9 daje graf derivacije i zahtijeva pronalaženje maksimalne ili minimalne tačke funkcije. U ovoj situaciji metoda u dvije točke je beskorisna, ali postoji drugi, još jednostavniji algoritam. Prvo, hajde da definišemo terminologiju:
- Tačka x 0 naziva se maksimalnom tačkom funkcije f(x) ako u nekom susjedstvu ove tačke vrijedi sljedeća nejednakost: f(x 0) ≥ f(x).
- Tačka x 0 naziva se minimalnom tačkom funkcije f(x) ako u nekom susjedstvu ove tačke vrijedi sljedeća nejednakost: f(x 0) ≤ f(x).
Da biste pronašli maksimalnu i minimalnu točku iz grafa derivacije, samo slijedite ove korake:
- Ponovo nacrtajte graf derivata, uklanjajući sve nepotrebne informacije. Kao što pokazuje praksa, nepotrebni podaci samo ometaju odluku. Stoga označavamo nule derivacije na koordinatnoj osi - i to je to.
- Saznajte predznake izvoda na intervalima između nula. Ako je za neku tačku x 0 poznato da je f'(x 0) ≠ 0, tada su moguće samo dvije opcije: f'(x 0) ≥ 0 ili f'(x 0) ≤ 0. Predznak izvoda je lako odrediti iz originalnog crteža: ako graf derivacije leži iznad ose OX, tada je f'(x) ≥ 0. I obrnuto, ako graf derivacije leži ispod ose OX, tada je f'(x) ≤ 0.
- Ponovo provjeravamo nule i predznake derivacije. Gdje se predznak mijenja iz minusa u plus je minimalna tačka. Suprotno tome, ako se predznak derivacije promijeni iz plusa u minus, ovo je maksimalna tačka. Brojanje se uvijek vrši s lijeva na desno.
Ova šema radi samo za kontinuirane funkcije - nema drugih u zadatku B9.
Zadatak. Na slici je prikazan graf derivacije funkcije f(x) definisane na intervalu [−5; 5]. Pronađite minimalnu tačku funkcije f(x) na ovom segmentu.
Oslobodimo se nepotrebnih informacija i ostavimo samo granice [−5; 5] i nule izvoda x = −3 i x = 2.5. Također primjećujemo znakove:
Očigledno, u tački x = −3 predznak izvoda se mijenja iz minusa u plus. Ovo je minimalna tačka.
Zadatak. Na slici je prikazan graf derivacije funkcije f(x) definisane na intervalu [−3; 7]. Pronađite maksimalnu tačku funkcije f(x) na ovom segmentu.
Precrtajmo graf, ostavljajući samo granice [−3; 7] i nule izvoda x = −1,7 i x = 5. Zabilježimo predznake izvoda na rezultirajućem grafu. Imamo:
Očigledno, u tački x = 5 znak derivacije se mijenja sa plusa na minus - ovo je maksimalna tačka.
Zadatak. Na slici je prikazan graf derivacije funkcije f(x), definisane na intervalu [−6; 4]. Odrediti broj maksimalnih tačaka funkcije f(x) koje pripadaju segmentu [−4; 3].
Iz uslova zadatka proizilazi da je dovoljno razmotriti samo dio grafa ograničen segmentom [−4; 3]. Stoga gradimo novi graf na kojem označavamo samo granice [−4; 3] i nule izvoda unutar njega. Naime, tačke x = −3,5 i x = 2. Dobijamo:
Na ovom grafu postoji samo jedna maksimalna tačka x = 2. U toj tački se predznak derivacije menja sa plus na minus.
Mala napomena o tačkama sa necelobrojnim koordinatama. Na primjer, u posljednjem zadatku razmatrana je tačka x = −3,5, ali sa istim uspjehom možemo uzeti x = −3,4. Ako je problem pravilno sastavljen, takve promjene ne bi trebale utjecati na odgovor, jer točke „bez određenog mjesta stanovanja“ ne učestvuju direktno u rješavanju problema. Naravno, ovaj trik neće raditi s cijelim točkama.
Pronalaženje intervala rastućih i opadajućih funkcija
U takvom problemu, kao što su tačke maksimuma i minimuma, predlaže se korištenje grafa derivacije za pronalaženje područja u kojima se sama funkcija povećava ili smanjuje. Prvo, hajde da definišemo šta je povećanje i smanjenje:
- Kaže se da funkcija f(x) raste na segmentu ako je za bilo koje dvije tačke x 1 i x 2 iz ovog segmenta tačna sljedeća tvrdnja: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . Drugim riječima, što je veća vrijednost argumenta, veća je vrijednost funkcije.
- Kaže se da je funkcija f(x) opadajuća na segmentu ako je za bilo koje dvije tačke x 1 i x 2 iz ovog segmenta tačna sljedeća tvrdnja: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2) . One. Veća vrijednost argumenta odgovara manjoj vrijednosti funkcije.
Formulirajmo dovoljne uslove za povećanje i smanjenje:
- Da bi kontinuirana funkcija f(x) porasla na segmentu, dovoljno je da njen izvod unutar segmenta bude pozitivan, tj. f’(x) ≥ 0.
- Da bi se kontinuirana funkcija f(x) smanjila na segmentu , dovoljno je da njen izvod unutar segmenta bude negativan, tj. f’(x) ≤ 0.
Prihvatimo ove izjave bez dokaza. Tako dobijamo šemu za pronalaženje intervala rasta i opadanja, koja je u mnogome slična algoritmu za izračunavanje ekstremnih tačaka:
- Uklonite sve nepotrebne informacije. U originalnom grafu derivacije nas prvenstveno zanimaju nule funkcije, pa ćemo ostaviti samo njih.
- Označite predznake izvoda na razmacima između nula. Gdje je f’(x) ≥ 0, funkcija raste, a gdje je f’(x) ≤ 0, ona opada. Ako problem postavlja ograničenja na varijablu x, dodatno ih označavamo na novom grafu.
- Sada kada znamo ponašanje funkcije i ograničenja, ostaje da izračunamo količinu potrebnu za zadatak.
Zadatak. Na slici je prikazan graf derivacije funkcije f(x) definisane na intervalu [−3; 7.5]. Naći intervale opadanja funkcije f(x). U svom odgovoru navedite zbir cijelih brojeva uključenih u ove intervale.
Kao i obično, hajde da ponovo nacrtamo graf i označimo granice [−3; 7.5], kao i nule izvoda x = −1.5 i x = 5.3. Zatim bilježimo znakove derivacije. Imamo:
Pošto je izvod negativan na intervalu (− 1,5), ovo je interval opadajuće funkcije. Ostaje da se zbroje svi cijeli brojevi koji se nalaze unutar ovog intervala:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.
Zadatak. Na slici je prikazan grafik derivacije funkcije f(x), definisane na intervalu [−10; 4]. Naći intervale povećanja funkcije f(x). U svom odgovoru navedite dužinu najvećeg od njih.
Oslobodimo se nepotrebnih informacija. Ostavimo samo granice [−10; 4] i nule izvoda kojih je ovoga puta bilo četiri: x = −8, x = −6, x = −3 i x = 2. Označimo predznake izvoda i dobijemo sljedeću sliku:
Zanimaju nas intervali rastuće funkcije, tj. gdje je f’(x) ≥ 0. Postoje dva takva intervala na grafu: (−8; −6) i (−3; 2). Izračunajmo njihove dužine:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.
Pošto treba da nađemo dužinu najvećeg intervala, kao odgovor zapisujemo vrednost l 2 = 5.