Profesionalni kladioničar mora dobro razumjeti kvote, brzo i ispravno procijeniti vjerovatnoću događaja po koeficijentu i, ako je potrebno, biti u mogućnosti pretvoriti kvote iz jednog formata u drugi. U ovom priručniku ćemo govoriti o tome koje vrste koeficijenata postoje, a također ćemo koristiti primjere da pokažemo kako možete izračunajte vjerovatnoću koristeći poznati koeficijent i obrnuto.
Koje vrste kvota postoje?
Postoje tri glavne vrste kvota koje kladionice nude igračima: decimalne kvote, fractional kvote(engleski) i Američki izgledi. Najčešći koeficijenti u Evropi su decimalni. IN sjeverna amerika Američke kvote su popularne. Razlomke su najviše tradicionalni izgled, oni odmah odražavaju informaciju o tome koliko je potrebno uložiti da biste dobili određeni iznos.
Decimalne kvote
Decimala ili se još zovu evropske kvote je poznati format brojeva predstavljen sa decimalni tačna do stotih, a ponekad čak i hiljaditih. Primjer decimalne kvote je 1,91. Izračunavanje profita u slučaju decimalnih koeficijenata je vrlo jednostavno; potrebno je samo da pomnožite iznos vaše opklade sa ovim koeficijentom. Na primjer, u utakmici “Manchester United” - “Arsenal” pobjeda “Manchester United” je postavljena sa koeficijentom 2,05, remi se procjenjuje sa koeficijentom 3,9, a pobjeda “Arsenala” je jednaka 2.95. Recimo da smo uvjereni da će United pobijediti i kladili smo se na 1000$ na njih. Tada se naš mogući prihod izračunava na sljedeći način:
2.05 * $1000 = $2050;
Zaista nije tako komplikovano, zar ne?! Mogući prihodi se računaju na isti način kada se kladite na remi ili pobjedu Arsenala.
Izvlačenje: 3.9 * $1000 = $3900;
pobjeda Arsenala: 2.95 * $1000 = $2950;
Kako izračunati vjerovatnoću događaja koristeći decimalne kvote?
Sada zamislite da trebamo odrediti vjerovatnoću događaja na osnovu decimalnih kvota koje je postavila kladionica. Ovo se takođe radi veoma jednostavno. Da bismo to učinili, podijelimo jedan sa ovim koeficijentom.
Uzmimo postojeće podatke i izračunajmo vjerovatnoću svakog događaja:
Pobjeda Manchester Uniteda: 1 / 2.05 = 0,487 = 48,7%;
Izvlačenje: 1 / 3.9 = 0,256 = 25,6%;
pobjeda Arsenala: 1 / 2.95 = 0,338 = 33,8%;
Razlomci (engleski)
Kao što ime kaže frakcioni koeficijent predstavljeno obična frakcija. Primjer engleske kvote je 5/2. Brojač razlomka sadrži broj koji predstavlja potencijalni iznos neto dobitka, a nazivnik sadrži broj koji označava iznos na koji se mora uložiti da bi se dobio ovaj dobitak. Jednostavno rečeno, moramo se kladiti na $2 dolara da osvojimo $5. Kvote 3/2 znače da ćemo morati da se kladimo na 2$ kako bismo dobili 3$ u neto dobitku.
Kako izračunati vjerovatnoću događaja koristeći razlomke?
Također nije teško izračunati vjerovatnoću događaja koristeći razlomke, samo je potrebno podijeliti imenilac zbirom brojnika i nazivnika.
Za razlomak 5/2 izračunavamo vjerovatnoću: 2 / (5+2) = 2 / 7 = 0,28 = 28%;
Za razlomak 3/2 izračunavamo vjerovatnoću:
Američki izgledi
Američki izgledi nepopularan u Evropi, ali veoma popularan u Severnoj Americi. možda, ovaj tip koeficijenti je najkompleksniji, ali to je samo na prvi pogled. U stvari, u ovoj vrsti koeficijenata nema ništa komplikovano. Hajde da sada sve to shvatimo po redu.
Glavna karakteristika američkih kvota je da mogu biti bilo koje pozitivno, tako negativan. Primjer američkih kvota - (+150), (-120). Američka kvota (+150) znači da da bismo zaradili $150 moramo se kladiti $100. Drugim riječima, pozitivan američki koeficijent odražava potencijalnu neto zaradu pri opkladi od 100 dolara. Negativne američke kvote odražavaju iznos opklade koji je potrebno napraviti da bi se dobio neto dobitak od 100 dolara. Na primjer, koeficijent (-120) nam govori da ćemo klađenjem od 120 dolara dobiti 100 dolara.
Kako izračunati vjerovatnoću događaja koristeći američke kvote?
Vjerovatnoća događaja koristeći američki koeficijent izračunava se pomoću sljedećih formula:
(-(M)) / (((M)) + 100), gdje je M negativan američki koeficijent;
100/(P+100), gdje je P pozitivan američki koeficijent;
Na primjer, imamo koeficijent (-120), tada se vjerovatnoća izračunava na sljedeći način:
(-(M)) / (((M)) + 100); zamijenite vrijednost (-120) za “M”;
(-(-120)) / ((-(-120)) + 100 = 120 / (120 + 100) = 120 / 220 = 0,545 = 54,5%;
Dakle, vjerovatnoća događaja sa američkim kvotama (-120) iznosi 54,5%.
Na primjer, imamo koeficijent (+150), tada se vjerovatnoća izračunava na sljedeći način:
100/(P+100); zamijenite vrijednost (+150) za “P”;
100 / (150 + 100) = 100 / 250 = 0,4 = 40%;
Dakle, vjerovatnoća događaja sa američkim kvotama (+150) iznosi 40%.
Kako, znajući postotak vjerovatnoće, to pretvoriti u decimalni koeficijent?
Da biste izračunali decimalni koeficijent na osnovu poznatog procenta verovatnoće, potrebno je da podelite 100 sa verovatnoćom događaja u procentima. Na primjer, vjerovatnoća događaja je 55%, tada će decimalni koeficijent ove vjerovatnoće biti jednak 1,81.
100 / 55% = 1,81
Kako, znajući postotak vjerovatnoće, to pretvoriti u razlomački koeficijent?
Da biste izračunali koeficijent razlomka na osnovu poznatog procenta vjerovatnoće, trebate oduzeti jedan od dijeljenja 100 sa vjerovatnoćom događaja u procentima. Na primjer, ako imamo postotak vjerovatnoće od 40%, onda će razlomak ove vjerovatnoće biti jednak 3/2.
(100 / 40%) - 1 = 2,5 - 1 = 1,5;
Koeficijent frakcije je 1,5/1 ili 3/2.
Kako, znajući postotak vjerovatnoće, to pretvoriti u američki koeficijent?
Ako je vjerovatnoća događaja veća od 50%, tada se izračunavanje vrši pomoću formule:
- ((V) / (100 - V)) * 100, gdje je V vjerovatnoća;
Na primjer, ako je vjerovatnoća događaja 80%, tada će američki koeficijent ove vjerovatnoće biti jednak (-400).
- (80 / (100 - 80)) * 100 = - (80 / 20) * 100 = - 4 * 100 = (-400);
Ako je vjerovatnoća događaja manja od 50%, tada se izračunavanje vrši pomoću formule:
((100 - V) / V) * 100, gdje je V vjerovatnoća;
Na primjer, ako imamo postotak vjerovatnoće događaja od 20%, tada će američki koeficijent ove vjerovatnoće biti jednak (+400).
((100 - 20) / 20) * 100 = (80 / 20) * 100 = 4 * 100 = 400;
Kako pretvoriti koeficijent u drugi format?
Postoje slučajevi kada je potrebno pretvoriti kvote iz jednog formata u drugi. Na primjer, imamo razlomak od 3/2 i moramo ga pretvoriti u decimalni. Da bismo pretvorili razlomačnu kvotu u decimalne kvote, prvo odredimo vjerovatnoću događaja s razlomkom, a zatim ovu vjerovatnoću pretvorimo u decimalne kvote.
Vjerovatnoća događaja sa razlomkom 3/2 je 40%.
2 / (3+2) = 2 / 5 = 0,4 = 40%;
Pretvorimo sada verovatnoću događaja u decimalni koeficijent da bismo to uradili, podelimo 100 sa verovatnoćom događaja u procentima:
100 / 40% = 2.5;
Dakle, razlomci od 3/2 su jednaki decimalnim kvotama od 2,5. Na sličan način, na primjer, američke kvote se pretvaraju u razlomke, decimalne u američke, itd. Najteže u svemu tome su samo kalkulacije.
Postoji čitava klasa eksperimenata za koje se vjerovatnoće njihovih mogućih ishoda mogu lako procijeniti direktno iz uslova samog eksperimenta. Da bi se to postiglo, potrebno je da različiti ishodi eksperimenta imaju simetriju i, prema tome, objektivno jednako mogući.
Razmotrimo, na primjer, iskustvo bacanja kockice, tj. simetrična kocka, na čijim stranama je označen različit broj tačaka: od 1 do 6.
Zbog simetrije kocke, postoji razlog da se svih šest mogućih ishoda eksperimenta smatra jednako mogućim. To nam daje za pravo da pretpostavimo da će se prilikom višestrukog bacanja kockice svih šest strana pojaviti približno podjednako često. Ova pretpostavka, za pravilno napravljenu kost, zaista je opravdana iskustvom; kada se kockica baca više puta, svaka njena strana se pojavljuje u približno jednoj šestini svih slučajeva bacanja, a odstupanje ovog razlomka od 1/6 je manje od veći broj sprovedeni su eksperimenti. Imajući na umu da se pretpostavlja da je vjerovatnoća pouzdanog događaja jednaka jedan, prirodno je dodijeliti vjerovatnoću jednaku 1/6 gubitku svakog pojedinačnog lica. Ovaj broj karakteriše neka objektivna svojstva ovog slučajnog fenomena, odnosno svojstvo simetrije šest mogućih ishoda eksperimenta.
Za svaki eksperiment u kojem su mogući ishodi simetrični i jednako mogući, može se primijeniti slična tehnika, koja se zove direktno izračunavanje vjerovatnoća.
Simetrija mogućih ishoda eksperimenta obično se uočava samo u veštački organizovanim eksperimentima, kao što je kockanje. Budući da je teorija vjerovatnoće dobila svoj početni razvoj upravo u šemama kockanja, tehnika direktnog izračunavanja vjerovatnoća, koja je istorijski nastala uporedo s pojavom matematičke teorije slučajnih pojava, dugo vremena smatrala se fundamentalnom i bila je osnova takozvane “klasične” teorije vjerovatnoće. Istovremeno, eksperimenti koji nisu imali simetriju mogućih ishoda su umjetno svedeni na „klasičnu“ shemu.
Uprkos ograničenom obimu praktične primjene ove sheme još uvijek je od nekog interesa, jer je upravo kroz eksperimente koji imaju simetriju mogućih ishoda, i kroz događaje povezane s takvim eksperimentima, najlakše upoznati se sa osnovnim svojstvima vjerovatnoća. Prvo ćemo se pozabaviti ovakvim događajima koji omogućavaju direktno izračunavanje vjerovatnoća.
Hajde da prvo uvedemo neke pomoćne koncepte.
1. Kompletna grupa događaja.
Rečeno je da je nekoliko događaja u ovo iskustvočine kompletnu grupu događaja ako se barem jedan od njih nužno mora pojaviti kao rezultat eksperimenta.
Primjeri događaja koji čine kompletnu grupu:
3) pojavljivanje 1,2,3,4,5,6 poena pri bacanju kockice;
4) pojavu bele kugle i pojavu crne kugle prilikom vađenja jedne kugle iz urne koja sadrži 2 bele i 3 crne kugle;
5) nema grešaka u kucanju, jednu, dve, tri ili više od tri greške prilikom provere stranice štampanog teksta;
6) najmanje jedan pogodak i najmanje jedan promašaj sa dva udarca.
2. Nekompatibilni događaji.
Za nekoliko događaja se kaže da su nekompatibilni u datom iskustvu ako se dva od njih ne mogu dogoditi zajedno.
Primjeri nekompatibilnih događaja:
1) gubitak grba i gubitak brojeva pri bacanju novčića;
2) pogodak i promašaj pri ispaljivanju;
3) pojavljivanje 1,3, 4 poena jednim bacanjem kocke;
4) tačno jedan kvar, tačno dva kvara, tačno tri kvara tehničkog uređaja za deset sati rada.
3. Jednako mogući događaji.
Nekoliko događaja u datom eksperimentu naziva se jednako mogućim ako, prema uvjetima simetrije, postoji razlog vjerovati da nijedan od ovih događaja nije objektivno mogući od drugog.
Primjeri jednako mogućih događaja:
1) gubitak grba i gubitak brojeva pri bacanju novčića;
2) pojavljivanje 1,3, 4, 5 poena pri bacanju kocke;
3) izgled karte sa rombama, srcima, batinom kada se karta izvadi iz špila;
4) izgled lopte sa brojem 1, 2, 3 kada se jedna kuglica uzme iz urne koja sadrži 10 prenumeriranih loptica.
Postoje grupe događaja koje imaju sva tri svojstva: čine kompletnu grupu, nekompatibilni su i podjednako mogući; na primjer: izgled grba i brojeva pri bacanju novčića; pojavljivanje 1, 2, 3, 4, 5, 6 poena prilikom bacanja kocke. Događaji koji formiraju takvu grupu nazivaju se slučajevi (inače poznati kao "šansi").
Ako bilo koje iskustvo u svojoj strukturi ima simetriju mogućih ishoda, onda slučajevi predstavljaju iscrpan sistem jednako mogućih i međusobno isključivih ishoda iskustva. Za takvo iskustvo se kaže da se „svodi na obrazac slučajeva” (inače poznat kao „uzorak urni”).
Obrazac slučajeva prvenstveno se odvija u umjetno organiziranim eksperimentima, u kojima je unaprijed i svjesno osigurana ista mogućnost ishoda eksperimenta (kao, na primjer, u kockanju). Za takve eksperimente moguće je direktno izračunati vjerovatnoće na osnovu procjene udjela takozvanih „povoljnih“ slučajeva u ukupnom broju slučajeva.
Slučaj se naziva povoljnim (ili “povoljnim”) za određeni događaj ako nastanak ovog slučaja povlači za sobom i nastanak ovog događaja.
Na primjer, prilikom bacanja kocke moguće je šest slučajeva: pojavljivanje 1, 2, 3, 4, 5, 6 bodova. Od toga je događaj - pojava parnog broja bodova - povoljan u tri slučaja: 2, 4, 6 i preostala tri su nepovoljna.
Ako se iskustvo svede na uzorak slučajeva, onda se vjerovatnoća događaja u datom eksperimentu može procijeniti relativnim udjelom povoljnih slučajeva. Vjerovatnoća događaja se izračunava kao omjer broja povoljnih slučajeva i ukupnog broja slučajeva:
gdje je P(A) vjerovatnoća događaja; – ukupan broj slučajevi; – broj slučajeva koji pogoduju događaju.
Budući da je broj povoljnih slučajeva uvijek između 0 i (0 za nemogući događaj i za određeni događaj), vjerovatnoća događaja izračunata pomoću formule (2.2.1) je uvijek racionalan pravi razlomak:
Formula (2.2.1), takozvana “klasična formula” za izračunavanje vjerovatnoća, dugo se pojavljuje u literaturi kao definicija vjerovatnoće. Trenutno, kada definišu (objašnjavaju) verovatnoću, obično polaze od drugih principa, direktno povezujući pojam verovatnoće sa empirijskim konceptom učestalosti; formula (2.2.1) je sačuvana samo kao formula za direktno izračunavanje verovatnoće, pogodna ako i samo ako se iskustvo svede na šemu slučajeva, tj. ima simetriju mogućih ishoda.
“Nesreće nisu slučajne”... Zvuči kao nešto što je filozof rekao, ali u stvari, proučavanje slučajnosti je sudbina velike nauke matematike. U matematici se slučajnošću bavi teorija vjerovatnoće. U članku će biti predstavljene formule i primjeri zadataka, kao i glavne definicije ove nauke.
Šta je teorija vjerovatnoće?
Teorija vjerovatnoće je jedna od matematičkih disciplina koja proučava slučajne događaje.
Da bude malo jasnije, dajmo mali primjer: Ako bacite novčić prema gore, on može pasti na glavu ili rep. Dok je novčić u zraku, obje ove vjerovatnoće su moguće. Odnosno, vjerovatnoća mogućih posljedica je 1:1. Ako se jedna izvuče iz špila od 36 karata, tada će vjerovatnoća biti označena kao 1:36. Čini se da se ovdje nema šta istraživati i predviđati, pogotovo uz pomoć matematičke formule. Međutim, ako određenu radnju ponovite mnogo puta, možete identificirati određeni obrazac i na osnovu njega predvidjeti ishod događaja u drugim uvjetima.
Da sumiramo sve navedeno, teorija vjerovatnoće u klasičnom smislu proučava mogućnost pojave jednog od mogućih događaja u numeričkoj vrijednosti.
Sa stranica istorije
Teorija vjerojatnosti, formule i primjeri prvih zadataka pojavili su se u dalekom srednjem vijeku, kada su se prvi put pojavili pokušaji predviđanja ishoda kartaških igara.
U početku, teorija vjerovatnoće nije imala nikakve veze s matematikom. To je bilo opravdano empirijskim činjenicama ili svojstvima događaja koji su se mogli reproducirati u praksi. Prvi radovi iz ove oblasti kao matematičke discipline pojavili su se u 17. veku. Osnivači su bili Blaise Pascal i Pierre Fermat. Dugo su proučavali kockanje i uočili određene obrasce o kojima su odlučili da ispričaju javnosti.
Istu tehniku je izmislio Christiaan Huygens, iako nije bio upoznat s rezultatima istraživanja Pascala i Fermata. On je uveo koncept „teorije vjerovatnoće“, formule i primjere koji se smatraju prvima u historiji discipline.
Radovi Jacoba Bernoullija, Laplaceove i Poissonove teoreme takođe su od velikog značaja. Učinili su teoriju vjerovatnoće više poput matematičke discipline. Teorija vjerojatnosti, formule i primjeri osnovnih zadataka dobili su svoj današnji oblik zahvaljujući Kolmogorovljevim aksiomima. Kao rezultat svih promjena, teorija vjerovatnoće je postala jedna od matematičkih grana.
Osnovni koncepti teorije vjerovatnoće. Događaji
Glavni koncept ove discipline je “događaj”. Postoje tri vrste događaja:
- Pouzdan. One koje će se ipak dogoditi (novčić će pasti).
- Nemoguće. Događaji koji se neće dogoditi ni pod kojim okolnostima (novčić će ostati visjeti u zraku).
- Slučajno. One koje će se desiti ili se neće desiti. Na njih mogu uticati različiti faktori koje je veoma teško predvideti. Ako govorimo o novčiću, onda postoje nasumični faktori koji mogu utjecati na rezultat: fizičke karakteristike novčića, njegov oblik, izvorni položaj, sila bacanja itd.
Svi događaji u primjerima su navedeni velikim slovima sa latiničnim slovima, s izuzetkom P, koji ima drugačiju ulogu. Na primjer:
- A = "studenti su došli na predavanje."
- Ā = “studenti nisu došli na predavanje.”
U praktičnim zadacima događaji se obično zapisuju riječima.
Jedan od najvažnije karakteristike događaji - njihova jednaka mogućnost. Odnosno, ako bacite novčić, sve opcije za početni pad su moguće dok ne padne. Ali događaji takođe nisu podjednako mogući. Ovo se dešava kada neko namerno utiče na ishod. Na primjer, "označeno" karte za igranje ili kockice u kojima je pomaknut centar gravitacije.
Događaji također mogu biti kompatibilni i nekompatibilni. Kompatibilni događaji ne isključuju pojavu jedni drugih. Na primjer:
- A = "student je došao na predavanje."
- B = "student je došao na predavanje."
Ovi događaji su nezavisni jedan od drugog i pojava jednog od njih ne utiče na pojavu drugog. Nekompatibilni događaji su definisani činjenicom da pojava jednog isključuje pojavu drugog. Ako govorimo o istom novčiću, onda gubitak "repova" onemogućava pojavu "glava" u istom eksperimentu.
Akcije na događaje
Događaji se mogu umnožavati i sabirati u skladu s tim, u disciplinu se uvode logički spojevi “AND” i “OR”.
Iznos je određen činjenicom da se ili događaj A ili B, ili dva, mogu dogoditi istovremeno. U slučaju da su nekompatibilni, zadnja opcija nemoguće, ili A ili B će biti izbačeni.
Umnožavanje događaja se sastoji u pojavi A i B u isto vrijeme.
Sada možemo dati nekoliko primjera kako bismo bolje zapamtili osnove, teoriju vjerojatnosti i formule. Primjeri rješavanja problema u nastavku.
Vježba 1: Kompanija učestvuje na konkursu za dobijanje ugovora za tri vrste radova. Mogući događaji koji se mogu dogoditi:
- A = "firma će dobiti prvi ugovor."
- A 1 = "firma neće primiti prvi ugovor."
- B = "firma će dobiti drugi ugovor."
- B 1 = “firma neće dobiti drugi ugovor”
- C = "firma će dobiti treći ugovor."
- C 1 = "firma neće dobiti treći ugovor."
Koristeći akcije na događaje, pokušat ćemo izraziti sljedeće situacije:
- K = “kompanija će dobiti sve ugovore.”
U matematičkom obliku, jednačina će imati sljedeći pogled: K = ABC.
- M = “kompanija neće dobiti nijedan ugovor.”
M = A 1 B 1 C 1.
Hajde da zakomplikujemo zadatak: H = "kompanija će dobiti jedan ugovor." Kako se ne zna koji će ugovor kompanija dobiti (prvi, drugi ili treći), potrebno je zabilježiti cijeli niz mogućih događaja:
H = A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.
A 1 BC 1 je niz događaja u kojima firma ne prima prvi i treći ugovor, ali prima drugi. Drugi mogući događaji snimljeni su odgovarajućom metodom. Simbol υ u disciplini označava vezu „ILI“. Ako gornji primjer prevedemo na ljudski jezik, kompanija će dobiti ili treći ugovor, ili drugi, ili prvi. Na sličan način možete zapisati i druge uslove u disciplini “Teorija vjerovatnoće”. Gore navedene formule i primjeri rješavanja problema pomoći će vam da to učinite sami.
Zapravo, vjerovatnoća
Možda je u ovoj matematičkoj disciplini vjerovatnoća događaja centralni koncept. Postoje 3 definicije vjerovatnoće:
- klasična;
- statistički;
- geometrijski.
Svaki od njih ima svoje mjesto u proučavanju vjerovatnoće. Uglavnom se koriste teorija vjerojatnosti, formule i primjeri (9. razred). klasična definicija, što zvuči ovako:
- Vjerovatnoća situacije A jednaka je omjeru broja ishoda koji pogoduju njenom nastanku i broja svih mogućih ishoda.
Formula izgleda ovako: P(A)=m/n.
A je zapravo događaj. Ako se pojavi slučaj suprotan od A, može se napisati kao Ā ili A 1 .
m je broj mogućih povoljnih slučajeva.
n - svi događaji koji se mogu dogoditi.
Na primjer, A = "izvuci kartu srčane boje." U standardnom špilu ima 36 karata, od kojih je 9 od srca. U skladu s tim, formula za rješavanje problema će izgledati ovako:
P(A)=9/36=0,25.
Kao rezultat toga, vjerovatnoća da će karta srčane boje biti izvučena iz špila bit će 0,25.
Ka višoj matematici
Sada je postalo malo poznato šta je teorija vjerovatnoće, formule i primjeri rješavanja problema koji se pojavljuju školski program. Međutim, teorija vjerovatnoće se nalazi iu višoj matematici, koja se predaje na univerzitetima. Najčešće operišu geometrijskim i statističkim definicijama teorije i složenim formulama.
Teorija vjerovatnoće je veoma interesantna. Bolje je početi proučavati formule i primjere (viša matematika) male - sa statističkom (ili frekvencijskom) definicijom vjerovatnoće.
Statistički pristup nije u suprotnosti sa klasičnim, već ga neznatno proširuje. Ako je u prvom slučaju bilo potrebno odrediti s kojom vjerovatnoćom će se događaj dogoditi, onda je u ovoj metodi potrebno naznačiti koliko će se često događati. Ovdje se uvodi novi koncept “relativne frekvencije” koji se može označiti sa W n (A). Formula se ne razlikuje od klasične:
Ako se za predviđanje izračunava klasična formula, onda se statistička izračunava prema rezultatima eksperimenta. Uzmimo za primjer mali zadatak.
Odjel za tehnološku kontrolu provjerava kvalitetu proizvoda. Među 100 proizvoda utvrđeno je da su 3 loše kvalitete. Kako pronaći vjerovatnoću frekvencije kvalitetnog proizvoda?
A = "izgled kvalitetnog proizvoda."
W n (A)=97/100=0,97
Dakle, frekvencija kvalitetnog proizvoda je 0,97. Odakle ti 97? Od 100 proizvoda koji su provjereni, utvrđeno je da su 3 proizvoda lošeg kvaliteta. Od 100 oduzimamo 3 i dobijemo 97, ovo je količina kvalitetne robe.
Malo o kombinatorici
Druga metoda teorije vjerovatnoće naziva se kombinatorika. Njegov osnovni princip je da ako se određeni izbor A može napraviti m Različiti putevi, a izbor B je na n različitih načina, tada se izbor A i B može izvršiti množenjem.
Na primjer, postoji 5 puteva koji vode od grada A do grada B. Postoje 4 puta od grada B do grada C. Na koliko načina možete stići od grada A do grada C?
Jednostavno je: 5x4=20, odnosno na dvadeset različitih načina možete doći od tačke A do tačke C.
Hajde da zakomplikujemo zadatak. Na koliko načina postoji polaganje karata u pasijansu? U špilu se nalazi 36 karata - ovo je početna tačka. Da biste saznali broj načina, morate „oduzeti“ jednu po jednu kartu od početne tačke i množiti.
To jest, 36x35x34x33x32...x2x1= rezultat ne stane na ekran kalkulatora, tako da se jednostavno može označiti kao 36!. Potpišite "!" pored broja označava da se cijeli niz brojeva množi zajedno.
U kombinatorici postoje koncepti kao što su permutacija, postavljanje i kombinacija. Svaki od njih ima svoju formulu.
Uređeni skup elemenata skupa naziva se raspored. Postavljanje se može ponavljati, odnosno jedan element se može koristiti više puta. I bez ponavljanja, kada se elementi ne ponavljaju. n su svi elementi, m su elementi koji učestvuju u postavljanju. Formula za postavljanje bez ponavljanja će izgledati ovako:
A n m =n!/(n-m)!
Veze od n elemenata koje se razlikuju samo po redosledu postavljanja nazivaju se permutacije. U matematici to izgleda ovako: P n = n!
Kombinacije od n elemenata od m su ona jedinjenja u kojima je važno koji su elementi bili i koliki je njihov ukupan broj. Formula će izgledati ovako:
A n m =n!/m!(n-m)!
Bernulijeva formula
U teoriji vjerovatnoće, kao i u svakoj disciplini, postoje radovi istaknutih istraživača u svojoj oblasti koji su je doveli do novi nivo. Jedan od ovih radova je Bernoullijeva formula, koja vam omogućava da odredite vjerovatnoću da će se određeni događaj dogoditi pod nezavisnim uvjetima. Ovo sugerira da pojava A u eksperimentu ne ovisi o pojavi ili nepostojanju istog događaja u ranijim ili kasnijim ispitivanjima.
Bernulijeva jednačina:
P n (m) = C n m ×p m ×q n-m.
Vjerovatnoća (p) pojave događaja (A) je konstantna za svako ispitivanje. Vjerovatnoća da će se situacija dogoditi tačno m puta u n broj eksperimenata izračunat će se prema gore prikazanoj formuli. Shodno tome, postavlja se pitanje kako saznati broj q.
Ako se događaj A dogodi p broj puta, prema tome, možda se neće dogoditi. Jedinica je broj koji se koristi za označavanje svih ishoda situacije u disciplini. Dakle, q je broj koji označava mogućnost da se događaj ne dogodi.
Sada znate Bernoullijevu formulu (teoriju vjerovatnoće). U nastavku ćemo razmotriti primjere rješavanja problema (prvi nivo).
Zadatak 2: Posjetilac trgovine će obaviti kupovinu sa vjerovatnoćom 0,2. 6 posetilaca je samostalno ušlo u radnju. Kolika je vjerovatnoća da će posjetitelj obaviti kupovinu?
Rješenje: Pošto je nepoznato koliko posjetitelja treba da izvrši kupovinu, jedan ili svih šest, potrebno je izračunati sve moguće vjerovatnoće koristeći Bernoullijevu formulu.
A = "posjetilac će izvršiti kupovinu."
U ovom slučaju: p = 0,2 (kako je navedeno u zadatku). Prema tome, q=1-0,2 = 0,8.
n = 6 (pošto u radnji ima 6 kupaca). Broj m će varirati od 0 (ni jedan kupac neće izvršiti kupovinu) do 6 (svi posjetioci trgovine će nešto kupiti). Kao rezultat, dobijamo rješenje:
P 6 (0) = C 0 6 ×p 0 ×q 6 =q 6 = (0,8) 6 = 0,2621.
Nijedan od kupaca neće izvršiti kupovinu sa vjerovatnoćom 0,2621.
Kako se još koristi Bernoullijeva formula (teorija vjerovatnoće)? Primjeri rješavanja problema (drugi nivo) u nastavku.
Nakon gornjeg primjera, postavljaju se pitanja gdje su C i r otišli. U odnosu na p, broj na stepen od 0 će biti jednak jedan. Što se tiče C, može se naći po formuli:
C n m = n! /m!(n-m)!
Budući da je u prvom primjeru m = 0, respektivno, C = 1, što u principu ne utiče na rezultat. Koristeći nova formula, hajde da pokušamo da saznamo kolika je verovatnoća da dva posetioca kupe robu.
P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0,2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.
Teorija vjerovatnoće nije tako komplikovana. Bernoullijeva formula, čiji su primjeri prikazani gore, izravan je dokaz za to.
Poissonova formula
Poissonova jednačina se koristi za izračunavanje slučajnih situacija male vjerovatnoće.
osnovna formula:
P n (m)=λ m /m! × e (-λ) .
U ovom slučaju λ = n x p. Evo jednostavne Poissonove formule (teorija vjerovatnoće). U nastavku ćemo razmotriti primjere rješavanja problema.
Zadatak 3: Fabrika je proizvela 100.000 delova. Pojava neispravnog dijela = 0,0001. Kolika je vjerovatnoća da će u seriji biti 5 neispravnih dijelova?
Kao što vidite, brak je malo vjerojatan događaj i stoga se za izračunavanje koristi Poissonova formula (teorija vjerovatnoće). Primjeri rješavanja problema ove vrste se ne razlikuju od drugih zadataka u disciplini, u datu formulu zamjenjujemo potrebne podatke:
A = "slučajno odabrani dio će biti neispravan."
p = 0,0001 (prema uslovima zadatka).
n = 100000 (broj delova).
m = 5 (neispravni dijelovi). Zamjenjujemo podatke u formulu i dobivamo:
100000 R (5) = 10 5 /5! X e -10 = 0,0375.
Baš kao i Bernulijeva formula (teorija vjerojatnosti), primjeri rješenja za koje su napisani gore, Poissonova jednačina ima nepoznato e. U stvari, može se naći po formuli:
e -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n .
Međutim, postoje posebne tablice koje sadrže gotovo sve vrijednosti e.
De Moivre-Laplaceova teorema
Ako je u Bernoullijevoj shemi broj pokušaja dovoljno velik, a vjerovatnoća pojave događaja A u svim šemama ista, tada se vjerovatnoća pojave događaja A određeni broj puta u nizu testova može naći pomoću Laplaceova formula:
R n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).
X m = m-np/√npq.
Da biste bolje zapamtili Laplaceovu formulu (teorija vjerojatnosti), primjeri problema su u nastavku koji će vam pomoći.
Prvo, pronađimo X m, zamijenimo podatke (svi su gore navedeni) u formulu i dobijemo 0,025. Pomoću tabela nalazimo broj ϕ(0,025), čija je vrijednost 0,3988. Sada možete zamijeniti sve podatke u formulu:
P 800 (267) = 1/√(800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 = 3/40 x 0,3988 = 0,03.
Dakle, vjerovatnoća da će letak raditi tačno 267 puta je 0,03.
Bayesova formula
Bayesova formula (teorija vjerojatnosti), primjeri rješavanja problema uz pomoć kojih će biti dati u nastavku, je jednadžba koja opisuje vjerovatnoću događaja na osnovu okolnosti koje bi mogle biti povezane s njim. Osnovna formula je sljedeća:
P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).
A i B su određeni događaji.
P(A|B) je uslovna verovatnoća, to jest, događaj A se može dogoditi pod uslovom da je događaj B istinit.
P (B|A) - uslovna vjerovatnoća događaja B.
Dakle, završni dio kratkog kursa “Teorija vjerovatnoće” je Bayesova formula, primjeri rješenja problema s kojima su u nastavku.
Zadatak 5: U magacin su doneti telefoni tri firme. Istovremeno, udeo telefona koji se proizvodi u prvoj fabrici je 25%, u drugoj - 60%, u trećoj - 15%. Takođe je poznato da je prosečan procenat neispravnih proizvoda u prvoj fabrici 2%, u drugoj - 4%, au trećoj - 1%. Morate pronaći vjerovatnoću da će slučajno odabrani telefon biti neispravan.
A = "slučajno odabran telefon."
B 1 - telefon koji je proizvela prva fabrika. Shodno tome, pojavit će se uvodni B 2 i B 3 (za drugu i treću tvornicu).
Kao rezultat dobijamo:
P (B 1) = 25%/100% = 0,25; P(B 2) = 0,6; P (B 3) = 0,15 - tako smo pronašli vjerovatnoću svake opcije.
Sada morate pronaći uslovne vjerovatnoće željenog događaja, odnosno vjerovatnoću neispravnih proizvoda u kompanijama:
P (A/B 1) = 2%/100% = 0,02;
P(A/B 2) = 0,04;
P (A/B 3) = 0,01.
Sada zamenimo podatke u Bayesovu formulu i dobijemo:
P (A) = 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 = 0,0305.
Članak predstavlja teoriju vjerojatnosti, formule i primjere rješavanja problema, ali ovo je samo vrh ledenog brega jedne ogromne discipline. I nakon svega napisanog, logično će se postaviti pitanje da li je teorija vjerovatnoće potrebna u životu. Za običnog čoveka Teško je odgovoriti, bolje je pitati nekoga ko je to iskoristio za osvajanje džekpota više puta.
U početku, kao samo zbirka informacija i empirijskih zapažanja o igri kockica, teorija vjerovatnoće je postala temeljna nauka. Prvi koji su mu dali matematički okvir bili su Fermat i Pascal.
Od razmišljanja o vječnom do teorije vjerovatnoće
Dva pojedinca kojima teorija vjerovatnoće duguje mnoge od svojih temeljnih formula, Blaise Pascal i Thomas Bayes, poznati su kao duboko religiozni ljudi, a potonji je prezbiterijanski sveštenik. Očigledno je želja ove dvojice naučnika da dokažu pogrešno mišljenje o tome da izvesna Fortuna daje sreću svojim miljenicima dala podsticaj istraživanjima u ovoj oblasti. Uostalom, u stvari, bilo koji kockanje sa svojim pobedama i porazima, to je samo simfonija matematičkih principa.
Zahvaljujući strasti Chevalier de Merea, koji je bio podjednako kockar i čovjek koji nije bio ravnodušan prema nauci, Pascal je bio primoran da pronađe način da izračuna vjerovatnoću. De Merea je zanimalo sljedeće pitanje: „Koliko puta trebate baciti dvije kockice u paru da bi vjerovatnoća da dobijete 12 poena veća od 50%?“ Drugo pitanje, koje je gospodina veoma zanimalo: „Kako podijeliti opkladu između učesnika u nedovršenoj igri?“ Naravno, Pascal je uspješno odgovorio na oba pitanja de Merea, koji je postao nesvjesni inicijator razvoja teorije vjerovatnoće. Zanimljivo je da je ličnost de Merea ostala poznata na ovim prostorima, a ne u literaturi.
Ranije nijedan matematičar nikada nije pokušao izračunati vjerovatnoće događaja, jer se vjerovalo da je to samo rješenje za nagađanje. Blez Paskal dao je prvu definiciju verovatnoće događaja i pokazao da je to specifična brojka koja se može matematički opravdati. Teorija vjerovatnoće je postala osnova za statistiku i široko se koristi u modernoj nauci.
Šta je slučajnost
Ako uzmemo u obzir test koji se može ponoviti beskonačan broj puta, onda možemo definirati slučajni događaj. Ovo je jedan od mogućih ishoda eksperimenta.
Iskustvo je izvođenje određenih radnji u stalnim uslovima.
Da bismo mogli raditi s rezultatima eksperimenta, događaji se obično označavaju slovima A, B, C, D, E...
Vjerovatnoća slučajnog događaja
Da bismo započeli matematički dio vjerovatnoće, potrebno je definirati sve njene komponente.
Vjerovatnoća događaja je numerička mjera mogućnosti da se neki događaj (A ili B) dogodi kao rezultat nekog iskustva. Vjerovatnoća se označava kao P(A) ili P(B).
U teoriji vjerovatnoće razlikuju:
- pouzdan zagarantovano je da će se događaj dogoditi kao rezultat iskustva P(Ω) = 1;
- nemoguće događaj se nikada ne može dogoditi P(Ø) = 0;
- nasumično događaj se nalazi između pouzdanog i nemogućeg, odnosno verovatnoća njegovog nastanka je moguća, ali nije zagarantovana (verovatnoća slučajnog događaja je uvek u opsegu 0≤R(A)≤ 1).
Odnosi između događaja
Uzimaju se u obzir i jedan i zbir događaja A+B, kada se događaj računa kada je barem jedna od komponenti, A ili B, ili obje, A i B, ispunjena.
U međusobnoj vezi događaji mogu biti:
- Jednako moguće.
- Kompatibilan.
- Nekompatibilno.
- Suprotnost (međusobno isključiva).
- Zavisni.
Ako se dva događaja mogu dogoditi sa jednakom vjerovatnoćom, onda oni podjednako moguće.
Ako pojava događaja A ne svede na nulu vjerovatnoću pojave događaja B, onda kompatibilan.
Ako se događaji A i B nikada ne događaju istovremeno u istom iskustvu, onda se oni nazivaju nekompatibilno. bacanje novčića - dobar primjer: pojavljivanje glava je automatski nepojavljivanje glava.
Vjerovatnoća za zbir takvih nekompatibilnih događaja sastoji se od zbira vjerovatnoća svakog od događaja:
P(A+B)=P(A)+P(B)
Ako pojava jednog događaja onemogućava nastanak drugog, onda se oni nazivaju suprotnim. Tada se jedan od njih označava kao A, a drugi - Ā (čita se kao “ne A”). Pojava događaja A znači da se Ā nije dogodilo. Ova dva događaja čine potpunu grupu sa zbirom vjerovatnoća jednakim 1.
Zavisni događaji međusobno utiču, smanjujući ili povećavajući verovatnoću jedan drugog.
Odnosi između događaja. Primjeri
Koristeći primjere, mnogo je lakše razumjeti principe teorije vjerovatnoće i kombinacije događaja.
Eksperiment koji će se izvoditi sastoji se od vađenja loptica iz kutije, a rezultat svakog eksperimenta je elementaran ishod.
Događaj je jedan od mogućih ishoda eksperimenta - crvena lopta, plava lopta, lopta sa brojem šest, itd.
Test br. 1. Uključeno je 6 loptica, od kojih su tri plave sa neparnim brojevima na sebi, a ostale tri crvene sa parnim brojevima.
Test br. 2. Uključeno 6 lopti plave boje sa brojevima od jedan do šest.
Na osnovu ovog primjera možemo imenovati kombinacije:
- Pouzdan događaj. Na španskom Događaj broj 2 „dobi plavu kuglu“ je pouzdan, jer je verovatnoća njegovog nastanka jednaka 1, pošto su sve kuglice plave i ne može biti promašaja. Dok je događaj "dobiti loptu sa brojem 1" slučajan.
- Nemoguć događaj. Na španskom Broj 1 sa plavim i crvenim kuglicama, događaj „dobijanja ljubičaste kuglice“ je nemoguć, jer je vjerovatnoća njegovog nastanka 0.
- Jednako mogući događaji. Na španskom Broj 1, podjednako su mogući događaji „dobiti loptu sa brojem 2“ i „dobiti loptu sa brojem 3“, a događaji „dobiti loptu sa parnim brojem“ i „dobiti loptu sa brojem 2 ” imaju različite vjerovatnoće.
- Kompatibilni događaji. Dobiti šesticu dva puta zaredom dok bacate kocku je kompatibilan događaj.
- Nekompatibilni događaji. Na istom španskom Broj 1, događaji „dobiti crvenu loptu” i „dobiti loptu sa neparnim brojem” ne mogu se kombinovati u istom iskustvu.
- Suprotni događaji. Većina sjajan primjer Ovo je bacanje novčića, gdje je izvlačenje glava ekvivalentno ne izvlačenju repa, a zbir njihovih vjerovatnoća je uvijek 1 (cijela grupa).
- Zavisni događaji. Dakle, na španskom Br. 1, možete postaviti cilj da izvučete crvenu loptu dva puta zaredom. Da li će biti preuzet prvi put ili ne utiče na vjerovatnoću da će biti preuzet drugi put.
Vidi se da prvi događaj značajno utiče na vjerovatnoću drugog (40% i 60%).
Formula vjerovatnoće događaja
Prelazak sa proricanja sudbine na precizne podatke odvija se prevođenjem teme u matematičku ravan. To jest, prosudbe o slučajnom događaju kao što je „velika verovatnoća” ili „minimalna verovatnoća” mogu se prevesti u specifične numeričke podatke. Već je dozvoljeno procjenjivati, upoređivati i unositi takav materijal u složenije proračune.
Sa računske tačke gledišta, određivanje vjerovatnoće događaja je omjer broja elementarnih pozitivnih ishoda i broja svih mogućih ishoda iskustva u vezi sa određenim događajem. Verovatnoća je označena sa P(A), gde P označava reč „verovatno“, što je sa francuskog prevedeno kao „verovatnoća“.
Dakle, formula za vjerovatnoću događaja je:
Gdje je m broj povoljnih ishoda za događaj A, n je zbir svih mogućih ishoda za ovo iskustvo. U ovom slučaju, vjerovatnoća događaja uvijek leži između 0 i 1:
0 ≤ P(A)≤ 1.
Proračun vjerovatnoće događaja. Primjer
Uzmimo španski. Br. 1 sa loptama, što je ranije opisano: 3 plave kuglice sa brojevima 1/3/5 i 3 crvene kuglice sa brojevima 2/4/6.
Na osnovu ovog testa može se razmotriti nekoliko različitih problema:
- A - crvena lopta ispada. Postoje 3 crvene kuglice, a postoji ukupno 6 opcija najjednostavniji primjer, u kojem je vjerovatnoća događaja jednaka P(A)=3/6=0,5.
- B - bacanje parnog broja. Postoje 3 parna broja (2,4,6), a ukupan broj mogućih numeričkih opcija je 6. Vjerovatnoća ovog događaja je P(B)=3/6=0,5.
- C - pojavljivanje broja većeg od 2. Postoje 4 takve opcije (3,4,5,6) od ukupnog broja mogućih ishoda od 6. Vjerovatnoća događaja C jednaka je P(C)=4 /6=0,67.
Kao što se može vidjeti iz proračuna, događaj C ima veću vjerovatnoću, jer je broj vjerovatnih pozitivnih ishoda veći nego u A i B.
Nekompatibilni događaji
Takvi događaji ne mogu se pojaviti istovremeno u istom iskustvu. Kao na španskom Broj 1 nemoguće je dobiti plavu i crvenu loptu u isto vrijeme. Odnosno, možete dobiti ili plavu ili crvenu loptu. Na isti način, paran i neparan broj se ne mogu pojaviti u kocki istovremeno.
Vjerovatnoća dva događaja se smatra vjerovatnoćom njihovog zbira ili proizvoda. Zbir takvih događaja A+B smatra se događajem koji se sastoji od pojave događaja A ili B, a njihov proizvod AB je pojava oba. Na primjer, pojavljivanje dvije šestice odjednom na stranama dvije kocke u jednom bacanju.
Zbir više događaja je događaj koji pretpostavlja nastanak barem jednog od njih. Proizvodnja nekoliko događaja je zajednička pojava svih njih.
U teoriji vjerovatnoće, po pravilu, upotreba veznika "i" označava zbir, a veznik "ili" - množenje. Formule sa primjerima pomoći će vam da shvatite logiku sabiranja i množenja u teoriji vjerojatnosti.
Vjerovatnoća zbira nespojivih događaja
Ako se uzme u obzir vjerovatnoća nekompatibilnih događaja, tada je vjerovatnoća zbira događaja jednaka sabiranju njihovih vjerovatnoća:
P(A+B)=P(A)+P(B)
Na primjer: hajde da izračunamo vjerovatnoću da na španskom. Broj 1 sa plavim i crvenim kuglicama pojaviće se broj između 1 i 4. Računaćemo ne u jednoj akciji, već zbirom verovatnoća elementarnih komponenti. Dakle, u takvom eksperimentu postoji samo 6 kuglica ili 6 od svih mogućih ishoda. Brojevi koji zadovoljavaju uslov su 2 i 3. Verovatnoća dobijanja broja 2 je 1/6, verovatnoća dobijanja broja 3 je takođe 1/6. Vjerovatnoća da dobijete broj između 1 i 4 je:
Vjerovatnoća zbira nekompatibilnih događaja cijele grupe je 1.
Dakle, ako u eksperimentu s kockom zbrojimo vjerovatnoće pojavljivanja svih brojeva, rezultat će biti jedan.
To vrijedi i za suprotne događaje, na primjer u eksperimentu s novčićem, gdje je jedna strana događaj A, a druga suprotan događaj Ā, kao što je poznato,
P(A) + P(Ā) = 1
Vjerovatnoća nastanka nekompatibilnih događaja
Množenje vjerovatnoće se koristi kada se razmatra pojava dva ili više nekompatibilnih događaja u jednom opažanju. Vjerovatnoća da će se događaji A i B u njemu pojaviti istovremeno jednaka je proizvodu njihovih vjerovatnoća, ili:
P(A*B)=P(A)*P(B)
Na primjer, vjerovatnoća da na španskom Br. 1, kao rezultat dva pokušaja, dva puta će se pojaviti plava lopta, jednaka
Odnosno, vjerovatnoća da se dogodi događaj kada se, kao rezultat dva pokušaja izvlačenja loptica, izvuku samo plave kuglice je 25%. Vrlo je lako napraviti praktične eksperimente na ovom problemu i vidjeti da li je to zaista slučaj.
Zajednički događaji
Događaji se smatraju zajedničkim kada se nastanak jednog od njih može poklopiti s pojavom drugog. Unatoč činjenici da su zajednički, razmatra se vjerovatnoća nezavisnih događaja. Na primjer, bacanje dvije kockice može dati rezultat kada se na obje pojavi broj 6 Iako su se događaji poklopili i pojavili u isto vrijeme, oni su nezavisni jedan od drugog - samo jedna šestica može ispasti, druga kockica nema. uticaj na to.
Vjerovatnoća zajedničkih događaja smatra se vjerovatnoćom njihovog zbira.
Vjerovatnoća zbira zajedničkih događaja. Primjer
Vjerovatnoća zbira događaja A i B, koji su međusobno povezani, jednaka je zbiru vjerovatnoća događaja minus vjerovatnoća njihovog nastanka (odnosno njihovog zajedničkog nastupa):
R zglob (A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)
Pretpostavimo da je vjerovatnoća da jednim udarcem pogodite metu 0,4. Tada događaj A pogađa metu u prvom pokušaju, B - u drugom. Ovi događaji su zajednički, jer je moguće da možete pogoditi metu i prvim i drugim hicima. Ali događaji nisu zavisni. Kolika je vjerovatnoća da ćete pogoditi metu sa dva hica (barem jednim)? prema formuli:
0,4+0,4-0,4*0,4=0,64
Odgovor na pitanje je: “Vjerovatnoća da ćete pogoditi metu sa dva hica je 64%”.
Ova formula za vjerovatnoću događaja može se primijeniti i na nekompatibilne događaje, gdje je vjerovatnoća zajedničkog nastupa događaja P(AB) = 0. To znači da se vjerovatnoća zbira nekompatibilnih događaja može smatrati posebnim slučajem. predložene formule.
Geometrija vjerovatnoće radi jasnoće
Zanimljivo je da se vjerovatnoća zbira zajedničkih događaja može predstaviti kao dvije oblasti A i B koje se međusobno seku. Kao što se može vidjeti sa slike, površina njihovog spoja jednaka je ukupnoj površini minus površina njihovog sjecišta. Ovo geometrijsko objašnjenje čini naizgled nelogičnu formulu razumljivijom. Zapiši to geometrijska rješenja- nije neuobičajeno u teoriji vjerovatnoće.
Određivanje vjerovatnoće zbira mnogih (više od dva) zajedničkih događaja je prilično glomazno. Da biste ga izračunali, morate koristiti formule koje su predviđene za ove slučajeve.
Zavisni događaji
Događaji se nazivaju zavisnim ako pojava jednog (A) od njih utiče na vjerovatnoću pojave drugog (B). Štaviše, uzima se u obzir uticaj i pojave događaja A i njegovog nenastupanja. Iako se događaji po definiciji nazivaju zavisnim, samo jedan od njih je zavisan (B). Uobičajena vjerovatnoća je označena kao P(B) ili vjerovatnoća nezavisnih događaja. U slučaju zavisnih događaja uvodi se novi koncept - uslovna verovatnoća P A (B), koja je verovatnoća zavisnog događaja B, podložna nastanku događaja A (hipoteza), od kojeg zavisi.
Ali događaj A je takođe slučajan, tako da ima i vjerovatnoću koja je potrebna i može se uzeti u obzir u izvršenim proračunima. Sljedeći primjer će pokazati kako raditi sa zavisnim događajima i hipotezom.
Primjer izračunavanja vjerovatnoće zavisnih događaja
Dobar primjer za izračunavanje zavisnih događaja bio bi standardni špil karata.
Koristeći špil od 36 karata kao primjer, pogledajmo zavisne događaje. Moramo odrediti vjerovatnoću da će druga karta izvučena iz špila biti od dijamanata ako je prva izvučena karta:
- Bubnovaya.
- Drugačija boja.
Očigledno, vjerovatnoća drugog događaja B zavisi od prvog A. Dakle, ako je prva opcija tačna, da u špilu ima 1 karta (35) i 1 romb (8) manje, vjerovatnoća događaja B:
R A (B) =8/35=0,23
Ako je druga opcija tačna, onda špil ima 35 karata, a pun broj dijamanata (9) je i dalje zadržan, tada je vjerovatnoća sljedećeg događaja B:
R A (B) =9/35=0,26.
Može se vidjeti da ako je događaj A uvjetovan činjenicom da je prva karta dijamant, onda se vjerovatnoća događaja B smanjuje i obrnuto.
Umnožavanje zavisnih događaja
Vođeni prethodnim poglavljem, prihvatamo prvi događaj (A) kao činjenicu, ali u suštini je on slučajne prirode. Vjerovatnoća ovog događaja, odnosno izvlačenja dijamanta iz špila karata, jednaka je:
P(A) = 9/36=1/4
Budući da teorija ne postoji sama za sebe, već je namijenjena da služi praktičnim svrhama, pošteno je napomenuti da je ono što je najčešće potrebno vjerovatnoća proizvodnje zavisnih događaja.
Prema teoremi o proizvodu vjerovatnoća zavisnih događaja, vjerovatnoća pojave zajednički zavisnih događaja A i B jednaka je vjerovatnoći jednog događaja A, pomnoženoj sa uslovnom vjerovatnoćom događaja B (zavisnog od A):
P(AB) = P(A) *P A(B)
Zatim, u primjeru špila, vjerovatnoća da se izvuku dvije karte sa odijelom dijamanata je:
9/36*8/35=0,0571, ili 5,7%
I vjerovatnoća da se prvo ne izvuku dijamanti, a zatim dijamanti, jednaka je:
27/36*9/35=0,19 ili 19%
Može se vidjeti da je vjerovatnoća da se dogodi događaj B veća pod uvjetom da je prva izvučena karta druge boje osim dijamanata. Ovaj rezultat je sasvim logičan i razumljiv.
Ukupna vjerovatnoća događaja
Kada problem sa uslovnim verovatnoćama postane višestruk, ne može se izračunati korišćenjem konvencionalnih metoda. Kada postoji više od dvije hipoteze, odnosno A1, A2,…, A n, ..formira kompletnu grupu događaja:
- P(A i)>0, i=1,2,…
- A i ∩ A j =Ø,i≠j.
- Σ k A k =Ω.
Dakle, formula za ukupnu vjerovatnoću za događaj B at puna grupa slučajni događaji A1,A2,…,I n je jednako:
Pogled u budućnost
Vjerovatnoća slučajnog događaja je izuzetno neophodna u mnogim oblastima nauke: ekonometriji, statistici, fizici itd. Pošto se neki procesi ne mogu opisati deterministički, budući da su sami po sebi vjerovatnoće, potrebne su posebne radne metode. Teorija vjerovatnoće događaja može se koristiti u bilo kojoj tehnološkoj oblasti kao način da se utvrdi mogućnost greške ili kvara.
Možemo reći da prepoznavanjem vjerovatnoće na neki način činimo teorijski korak u budućnost, gledajući je kroz prizmu formula.
TEMA 1 . Klasična formula kalkulacije verovatnoće.
Osnovne definicije i formule:
Eksperiment čiji se ishod ne može predvidjeti naziva se nasumični eksperiment(SE).
Događaj koji se može ili ne mora dogoditi u datom SE naziva se slučajni događaj.
Elementarni ishodi događaji koji ispunjavaju uslove nazivaju se:
1. kod bilo koje implementacije SE javlja se jedan i samo jedan elementarni ishod;
2. svaki događaj je određena kombinacija, određeni skup elementarnih ishoda.
Skup svih mogućih elementarnih ishoda u potpunosti opisuje SE. Takav skup se obično naziva prostor elementarnih ishoda(PEI). Izbor PEI za opisivanje datog SE je dvosmislen i zavisi od problema koji se rešava.
P(A) = n(A)/n,
gdje je n ukupan broj jednako mogućih ishoda,
n (A) – broj ishoda koji čine događaj A, kako još kažu, povoljan za događaj A.
Riječi “nasumično”, “nasumično”, “nasumično” garantuju jednaku mogućnost elementarnih ishoda.
Rješavanje tipičnih primjera
Primjer 1. Iz urne koja sadrži 5 crvenih, 3 crne i 2 bijele kuglice izvlače se 3 kuglice nasumično. Pronađite vjerovatnoće događaja:
A– „sve izvučene lopte su crvene“;
IN– „sve izvučene lopte su iste boje“;
WITH– “među izvađenim ima tačno 2 crna.”
Rješenje:
Elementarni ishod ovog SE je trostruka (poremećena!) kuglica. Dakle, ukupan broj ishoda je broj kombinacija: n == 120 (10 = 5 + 3 + 2).
Događaj A sastoji se samo od onih trojki koje su izvučene iz pet crvenih loptica, tj. n(A)==10.
Događaj IN Pored 10 crvenih trojki, povoljne su i crne trojke čiji je broj = 1. Dakle: n (B)=10+1=11.
Događaj WITH Prednost imaju one trojke koje sadrže 2 crne i jednu necrnu. Svaki način odabira dvije crne lopte može se kombinirati sa odabirom jedne ne-crne lopte (od sedam). Dakle: n (C) = = 3 * 7 = 21.
dakle: P(A) = 10/120; P(B) = 11/120; R(S) = 21/120.
Primjer 2. U uslovima prethodnog zadatka, pretpostavićemo da kuglice svake boje imaju svoju numeraciju, počevši od 1. Nađite verovatnoće događaja:
D– „maksimalni izdvojeni broj je 4”;
E– “Maksimalni izdvojeni broj je 3.”
Rješenje:
Da bismo izračunali n(D), možemo pretpostaviti da urna ima jednu kuglu sa brojem 4, jednu loptu sa većim brojem i 8 kuglica (3k+3h+2b) sa manjim brojevima. Događaj D Favoriziraju se one trojke loptica koje obavezno sadrže lopticu sa brojem 4 i 2 loptice s manjim brojevima. Prema tome: n(D) = 
P(D) = 28/120.
Da bismo izračunali n (E), uzimamo u obzir: u urni se nalaze dvije kuglice sa brojem 3, dvije sa većim brojevima i šest kuglica sa manjim brojevima (2k+2h+2b). Događaj E sastoji se od dva tipa trojki:
1. jedna lopta sa brojem 3 i dve sa manjim brojevima;
2.dve lopte sa brojem 3 i jedna sa manjim brojem.
Prema tome: n(E)= 
P(E) = 36/120.
Primjer 3. Svaka od M različitih čestica nasumično se baca u jednu od N ćelija. Pronađite vjerovatnoće događaja:
A– sve čestice su pale u drugu ćeliju;
IN– sve čestice su pale u jednu ćeliju;
WITH– svaka ćelija ne sadrži više od jedne čestice (M £ N);
D– sve ćelije su zauzete (M =N +1);
E– druga ćelija sadrži tačno To čestice.
Rješenje:
Za svaku česticu postoji N načina da se uđe u određenu ćeliju. Prema osnovnom principu kombinatorike za M čestica imamo N *N *N *…*N (M puta). Dakle, ukupan broj ishoda u ovom SE n = N M .
Za svaku česticu imamo jednu priliku da uđemo u drugu ćeliju, dakle n (A) = 1*1*…*1= 1 M = 1, i P(A) = 1/ N M.
Ući u jednu ćeliju (za sve čestice) znači ubaciti svakoga u prvu, ili svakoga u drugu, itd. svi u Nth. Ali svaka od ovih N opcija može se implementirati na jedan način. Stoga je n (B)=1+1+…+1(N -puta)=N i R(V)=N/N M.
Događaj C znači da svaka čestica ima jedan manji broj opcija za smještaj od prethodne čestice, a prva može pasti u bilo koju od N ćelija. Zbog toga:
n (C) = N *(N -1)*…*(N +M -1) i R(S) = 
U konkretnom slučaju sa M =N: R(S)=
Događaj D znači da jedna od ćelija sadrži dvije čestice, a svaka od (N -1) preostalih ćelija sadrži jednu česticu. Da bismo pronašli n (D) razmišljamo ovako: odaberite ćeliju u kojoj će biti dvije čestice, to se može učiniti na =N načina; tada ćemo odabrati dvije čestice za ovu ćeliju, postoje načini da to učinimo. Nakon toga, preostale (N -1) čestice rasporedimo jednu po jednu u preostale (N -1) ćelije, za to postoji (N -1)! načine.
Dakle, n(D) = 
.
Broj n(E) se može izračunati na sljedeći način: To čestice za drugu ćeliju se mogu uraditi na načine, preostale (M – K) čestice se nasumično raspoređuju po (N -1) ćeliji (N -1) na M-K načine. Zbog toga: