Problem nalaženja rješenja za sistem od n nelinearnih algebarskih ili transcendentalnih jednadžbi sa n nepoznatih oblika
f 1(x 1, x 2, … x n) = 0, | ||
f 2(x 1, x 2, … x n) = 0, | ||
…………………… |
||
f n (x 1 ,x 2 ,… x n ) = 0, |
široko razmatrana u računarskoj praksi. Slični sistemi jednačina mogu nastati, na primjer, tokom numeričkog modeliranja nelinearnih fizičkih sistema u fazi traženja njihovih stacionarnih stanja. U velikom broju slučajeva sistemi oblika (6.1) se dobijaju indirektno, u procesu rešavanja nekog drugog računarskog problema. Na primjer, kada pokušavate minimizirati funkciju nekoliko varijabli, možete tražiti one točke u višedimenzionalnom prostoru gdje je gradijent funkcije nula. U ovom slučaju potrebno je riješiti sistem jednačina (6.1) sa lijevom stranom - projekcijama gradijenta na koordinatne ose.
U vektorskoj notaciji, sistem (6.1) se može zapisati u kompaktnijem obliku
vektorski stupac funkcija, simbol () T označava operaciju transponiranja
Pronalaženje rješenja za sistem nelinearnih jednačina je mnogo složeniji zadatak od rješavanja jedne nelinearne jednačine. Ipak, brojne iterativne metode za rješavanje nelinearnih jednačina mogu se proširiti na sisteme nelinearnih jednačina.
Jednostavna metoda iteracije
Jednostavna metoda iteracije za sisteme nelinearnih jednačina je u suštini generalizacija istoimene metode za jednu jednačinu. Zasnovan je na činjenici da se sistem jednačina (6.1) svodi na oblik
x 1= g 1(x 1, x 2, … , x n) , x 2= g 2(x 1, x 2, … , x n) ,
……………………
x n= g n(x 1 , x 2 , … , x n) ,
a iteracije se izvode prema formulama
x 1 (k + 1 )= g 1 (x 1 (k ), x 2 (k ), ... , x n (k )), x 2 (k + 1 )= g 2 (x 1 (k ), x 2 (k ), … , x n (k )) ,
……………………………
x n (k + 1)= g n (x 1 (k), x 2 (k), ..., x n (k)).
Ovdje gornji indeks označava aproksimacijski broj. Iterativni proces (6.3) počinje nekom početnom aproksimacijom
(x 1 (0) ,x 2 (0) ,… ,x n (0) ) i nastavite dok se moduli ne povećaju
svi argumenti nakon jedne k-iteracije neće postati manji od date vrijednosti ε : x i (k + 1 ) − x i (k )< ε дляi = 1,2,… ,n .
Iako jednostavna metoda iteracije vodi direktno do rješenja i lako se programira, ona ima dva značajna nedostatka. Jedna od njih je spora konvergencija. Drugi je da ako je početna aproksimacija odabrana daleko od pravog rješenja (X 1,X 2,…,X n), tada će konvergencija
metoda nije zagarantovana. Jasno je da problem izbora početne aproksimacije, koji nije jednostavan ni za jednu jednačinu, postaje veoma složen za nelinearne sisteme.
Riješite sistem nelinearnih jednačina:
(x... | ) =0 | |||
F n (x 1 ... | x n) = 0 . | |||
Ne postoje direktne metode za rješavanje nelinearnih sistema opšteg oblika. Samo u nekim slučajevima sistem (4.1) se može riješiti direktno. Na primjer, u slučaju dvije jednačine, ponekad je moguće izraziti jednu nepoznatu u terminima druge i tako svesti problem na rješavanje jedne nelinearne jednačine u odnosu na jednu nepoznatu.
Iterativne metode se obično koriste za rješavanje sistema nelinearnih jednačina.
Newtonova metoda
U slučaju jedne jednačine F(x) = 0, algoritam Njutnove metode je lako dobijen upisivanjem tangentnih jednačina na krivu y = F(x). Newtonova metoda za sisteme jednačina zasniva se na korištenju ekspanzije funkcija F 1 (x 1 ...x n) u Taylorov red, te pojmova koji sadrže
postojeći derivati drugog (i višeg reda) se odbacuju. Neka su približne vrijednosti nepoznanica sistema (4.1) jednake
odgovoran a 1 ,a 2 ,....,a n . Zadatak je pronaći inkremente (po
uređivanja) na ove vrijednosti | x 1 ,x 2 ,..., | x n , zahvaljujući čemu je rješenje sistema |
|
teme će biti napisane kao: | |||
x 1= a 1+ x 1, | x 2= a 2+ | x 2, .... ,x n = a n + x n. | |
Proširimo lijeve strane jednadžbe (4.1) uzimajući u obzir proširenje Taylorovog reda, ograničavajući se samo na linearne članove relativne
tačno povećava: | ||||||
F1 (x1 ... xn ) ≈ F1 (a1 ... an ) + | ∂ F 1 | x 1+ | + ∂ F 1 | xn, |
||
∂x | ∂x | |||||
F2 (x1 ... xn ) ≈ F2 (a1 ... an ) + | ∂ F 2 | x 1+ | ∂ F 2 | xn, |
||
∂x | ∂x | |||||
................................... | ||||||
F n(x 1 ... x n) ≈ F n(a 1 ... a n) + | ∂Fn | x 1+ | ∂Fn | xn |
||
∂x | ∂x | |||||
Zamjenom u sistem (4.1) dobijamo sljedeći sistem linearnosti algebarske jednačine u vezi povećanja:
∂ F 1 | ∂ F 1 | + ∂ F 1 | = −F , |
||||||
∂x | ∂x | ∂x | |||||||
∂ F 2 | ∂ F 2 | ∂ F 2 | = −F , |
||||||
∂x | ∂x | ∂x | |||||||
.............................. | |||||||||
∂Fn | ∂Fn | ∂Fn | = −F . |
||||||
∂x | ∂x | ∂x | |||||||
Vrijednosti F 1... | derivati | obračunavaju se na |
|||||||
x 2 = a 2, …x n = a n.
Odrednica sistema (4.3) je Jakobijan:
∂ F 1 | ∂ F 1 |
|
∂x | ∂x |
|
∂ F 2 | ∂ F 2 |
|
J = ∂x | ∂x. |
|
… … … …
∂ F n… … ∂ F n∂ x 1 ∂ x n
x 1= a 1,
Za postojanje jedino rešenje Jakobijan sistema mora biti različit od nule na svakoj iteraciji.
Dakle, iterativni proces rješavanja sistema jednadžbi Newtonovom metodom sastoji se od određivanja priraštaja x 1 , x 2 , ..., x n do vrijednosti nepoznatih na svakoj iteraciji rješavanjem sistema linearnih algebarskih jednadžbi ( 4.3). Brojanje se zaustavlja ako svi priraštaji postanu mali u apsolutnoj vrijednosti: maxx i< ε . В ме-
U Newtonovoj metodi, dobar izbor početne aproksimacije je također važan kako bi se osigurala dobra konvergencija. Konvergencija se pogoršava kako se broj jednačina u sistemu povećava.
Kao primjer, razmotrite korištenje Newtonove metode za rješavanje sistema od dvije jednačine:
∂ ∂ F 1. x
Količine na desnoj strani izračunate su pri x = a,y = b.
Ako su uslovi ispunjeni | y−b | < εи | x−a | za dato M, onda |
|||||
prikazane su vrijednosti x i y, | inače | dolazi do izlaza |
|||||||
x ,y ,M . | |||||||||
Rješavanje nelinearnih jednadžbi Newtonovom metodom
Za rješavanje problema s električnom energijom postoji nekoliko modifikacija metode. Oni omogućavaju povećanje brzine konvergencije iterativnog procesa i smanjenje vremena izračunavanja.
Osnove dostojanstvo metoda - ima brzu konvergenciju.
Ideja metode sastoji se od sekvencijalne zamjene pri svakoj iteraciji izračunavanja originalnog nelinearnog sistema jednadžbi sa nekim pomoćnim linearnim sistemom jednadžbi, čije rješenje nam omogućava da dobijemo sljedeću aproksimaciju nepoznatih, bliže željenom rješenju ( linearizacija).
Razmotrimo nelinearnu jednačinu u opšti pogled:
Traženo rješenje jednačine je tačka u kojoj kriva siječe x-osu.
Postavili smo početnu aproksimaciju nepoznatog x(0). Odredite vrijednost funkcije u ovom trenutku w(x(0)) i nacrtajte tangentu na krivu u tački B. Tačka presjeka ove tangente sa x-osom određuje sljedeću aproksimaciju nepoznate x (1) itd.
Proširimo jednačinu (1) u Taylorov red u blizini tačke x(0). Razmotrimo termine proširenja koji sadrže samo prvi izvod:
(2)
x – x (0) = Δx- amandman na nepoznato. Ako ga definiramo, možemo odrediti sljedeću aproksimaciju.
Iz (2) određujemo amandman 
(3)
Zatim sledeća aproksimacija: 
(5)
Slično dobijamo To-e aproksimacije:
Ovo rekurentna formula Newtonove metode za rješavanje nelinearnih jednačina. Omogućava vam da odredite sljedeće aproksimacije nepoznatih.
Formula (6) se može dobiti na drugi način sa slike:
Iterativni proces konvergira ako se smanjuje i približava 0 . Rezultat se postiže ako .
Komentar geometrijske interpretacije
Iterativni korak metode svodi se na zamjenu krivulje pravom linijom, koja je opisana lijevom stranom jednačine (2). Tangenta je na krivu u tački . Ovaj proces se zove linearizacija. Točka presjeka tangente na krivulju sa osom X daje još jednu aproksimaciju nepoznatog. Stoga se ova metoda zove tangentna metoda.
primjer:
primjer:
Da bi se ovom metodom odredili svi korijeni nelinearne jednadžbe, potrebno je na bilo koji način odrediti približno lokaciju ovih korijena i postaviti početne aproksimacije blizu njih.
Jednostavan način za određivanje područja na kojem se nalaze korijeni je tabelarno.
Newtonov iteracijski proces ne konvergira, ako su početne aproksimacije odabrane tako da:
Proces ili ne konvergira ili konvergira vrlo slabo.
Newton-Raphsonova metoda za rješavanje SNAU
Raphson je pokazao da je Newtonov iterativni metod predložen za rješavanje jedan nelinearni jednačine, može se koristiti za rješavanje sistemima nelinearne jednačine.
Istovremeno, za rješavanje sistema nelinearnih jednačina potrebno je uzeti u obzir skup (vektor) umjesto jedne nepoznate nepoznato:
umjesto jedne rezidualne jednačine, razmatramo vektor ostataka jednačine sistema:
Jedan izvod u (6) je zamijenjen matrica derivata. Operacija dijeljenja u (6) zamjenjuje se množenjem sa obrnuto matrica derivata. U ovom slučaju, Newton-Raphsonova metoda se razlikuje od Newtonove metode po prijelazu s jednodimenzionalnog problema na multidimenzionalni.
Razmotrimo sistem realnih nelinearnih algebarskih jednadžbi:
(7)
Može se napisati u matričnom obliku:
Gdje X= x 2 – vektor – kolona nepoznatih;
w 1 (x 1, x 2, ... x n)
W = w 2 (x 1, x 2, ... x n) – vektorska funkcija.
w n (x 1, x 2, ... x n)
Neka 
- početne aproksimacije nepoznatih. Proširimo svaku jednačinu sistema (7) u Tejlorov red u blizini tačke X (0), odnosno izvršit ćemo približnu zamjenu originalnih nelinearnih jednadžbi linearnim u kojima je sačuvan samo 1. izvod (linearizacija). Kao rezultat, sistem jednačina (7) ima oblik:
(9)
Kao rezultat smo dobili sistem linearnih jednačina(linearizirani sistem), u kojem su nepoznanice korekcije . Koeficijenti za nepoznate u ovom sistemu su prvi izvodi jednačina w j originalnog nelinearnog sistema za sve nepoznate Xi.. Oni formiraju matricu koeficijenata – Jacobijeva matrica:
= 
Svaki red matrice sastoji se od prvih izvoda sljedeće jednačine nelinearnog sistema u odnosu na sve nepoznate.
Zapišimo linearizirani sistem (9) u matričnom obliku:
(10)
Evo vektora reziduala jednadžbi originalnog sistema. Njegovi elementi se dobijaju supstitucijom uzastopnih aproksimacija nepoznatih u jednačine nelinearnog sistema;
- Jakobijanska matrica. Njegovi elementi su prvi parcijalni derivati svih jednačina originalnog sistema u odnosu na sve nepoznanice;
- vektor korekcije do željenih nepoznanica. Na svakoj iteraciji može se napisati:
Sistem (10), uzimajući u obzir prihvaćenu notaciju, može se napisati:
(12)
Ovaj sistem linearno u vezi sa amandmanima ΔH (k).
Sistem (13) je linearizirani sistem jednačina koji zamjenjuje originalni SNAU u svakom koraku iterativnog procesa.
Sistem (13) može se riješiti bilo kojim na poznat način, kao rezultat nalazimo vektor korekcije. Tada iz (11) možemo naći sledeći pristupi nepoznato:
To. svaki iterativni korak proces se sastoji u rješavanju linearnog sistema (13) i određivanju sljedeće aproksimacije iz (14).
Iz (11) i (12) možemo dobiti opšte formula recidiva(u matričnom obliku), što odgovara Newton-Raphson metodi:
(15)
Ima strukturu koja odgovara formuli (6).
Formula (15) se koristi u praktičnim proračunima rijetko, budući da je ovdje potrebno invertirati Jacobian matricu (velike dimenzije) pri svakoj iteraciji proračuna. U realnim proračunima korekcije se određuju kao rezultat rješavanja linearnog sistema (13).
Kontrola završetka Izvodimo iterativni proces koristeći vektor reziduala:
Ovaj uslov mora biti zadovoljen za ostatke svima jednačine sistema.
Algoritam za rješavanje SNAU pomoću Newton-Raphsonove metode
1. Određivanje vektora početnih aproksimacija nepoznatih.
Podešavanje tačnosti proračuna є , ostali parametri proračuna
2. Određivanje reziduala nelinearnih jednačina u tački aproksimacije;
2.3. Određivanje elemenata Jakobijanske matrice u tački sljedeće aproksimacije nepoznatih;
2.4. Rješenje lineariziranog sistema (13) bilo kojom poznatom metodom. Utvrđivanje amandmana na nepoznate.
2.5. Određivanje sljedeće aproksimacije nepoznatih u skladu sa (14).
2.6. Praćenje završetka procesa iteracije u skladu sa (16). Ako uslov nije ispunjen, vratite se na korak 2.
primjer:
Riješite SLAE koristeći Newton-Raphsonovu metodu:
(rješenje X 1 = X 2 =2)
Zapišimo jednadžbe u obliku reziduala:
Definiramo elemente Jakobijanske matrice:
Jakobijanska matrica:
Hajde da implementiramo algoritam Newton-Raphsonove metode:
1) Prva iteracija:
Početne aproksimacije 
Ostaci 
Jakobijanska matrica: 
Linearizovani sistem jednačina:
1. aproksimacija nepoznatih:
2) Druga iteracija
3) Treća iteracija:
… ……… …… …… …… ……..
Rješavanje sistema stabilnih jednačina pomoću Newton-Raphsonove metode
Nelinearna jednadžba stacionarnog stanja u obliku bilansa snaga za th čvor ima oblik:
(17)
Ovo je jednadžba sa kompleksnim nepoznanicama i koeficijentima. Da bi takve jednadžbe oblika (17) bilo je moguće odlučiti pomoću Newton-Raphsonove metode, oni se transformiraju: stvarni i imaginarni dijelovi su odvojeni. Kao rezultat, svaka složena jednadžba oblika (17) se raspada na dvije realne jednadžbe koje odgovaraju ravnoteži aktivne i jalove snage u čvoru:
Ovdje su specificirane moći u čvoru;
Nepoznate komponente napona na čvorovima. Oni su potrebni
utvrđeno kao rezultat proračuna.
Na desnoj strani jednadžbe (18) je izračunata ukupna snaga strujanja u granama koje se približavaju th čvoru.
Zapišimo ove jednačine (18) u obliku ostaci:
Ostaci jednadžbi (19) odgovaraju izračunatim neravnoteža aktivna i jalova snaga u čvoru.
Ostaci opisuju način rada čvorova і i nelinearne su funkcije nepoznatih napona u čvorovima. Potrebno je da -> 0.
Sistem ćemo rješavati Newton-Raphsonovom metodom 2n jednadžbe oblika (19), odnosno da biste riješili problem izračunavanja stacionarnog stanja električne mreže pomoću Newton-Raphsonove metode, potrebno je:
1) formiraju sistem 2n jednačine oblika (19) za sve čvorove električne mreže, osim za balansne;
2) organizovati iterativni proces Newton-Raphsonove metode
da se reši ovaj sistem jednačina. Kao rezultat odluke
dobijamo potrebne komponente naprezanja u čvorovima.
Zapišimo ovaj sistem jednačina u opštem obliku:
(20)
Dobili smo sistem od 2 nelinearna rezidualne jednačine sa 2 nepoznate, koje. Nepoznate komponente u njemu su naponske komponente - moduli i uglovi.
Da biste riješili sistem (20) pomoću Newton-Raphsonove metode, potrebno je pisati pomoćni linearizovani sistem jednadžbi oblika (13), rešavanjem kojeg pri svakoj iteraciji određujemo korekcije nepoznanica:
(21)
Uzimajući u obzir prihvaćenu notaciju, sistem (21) se može napisati:
(22)
gdje je Jacobijeva matrica, njeni elementi su parcijalni derivati jednadžbi sistema (20) u odnosu na sve nepoznanice - komponente napona 
Vektor reziduala jednadžbi sistema (20). Njihove vrijednosti se dobivaju zamjenom uzastopnih aproksimacija nepoznatih u jednačine;
Vektor korekcija nepoznatih:
; Δɨ i = Ө i (k+1) - Ө i (k), ΔU i = U i (k+1) - U i (k) .
Za određivanje elemenata Jacobian matrice koristimo se analitička diferencijacija, tj. Svaku jednačinu sistema (20) razlikujemo prema traženim veličinama – uglovima i modulima naprezanja. Da biste formirali Jacobian matricu, morate dobiti analitičke izraze za derivacije sljedećeg vrste:
1) Derivat jednačine zaostalog za aktivnu snagu th čvora u odnosu na ugao napona istog čvora: ;
2) Derivat jednačine zaostalog za aktivnu snagu th čvora u odnosu na naponski ugao susednog j- th čvor: ;
3) Derivat ostatka aktivne snage thog čvora po modulu napona istog čvora: ;
4) Derivat ostatka aktivne snage thog čvora po modulu napona susednog čvora: ;
Slično se određuju još četiri vrste derivacija - derivacije iz jednačina ostatka jalove snage th čvora za sve nepoznanice:
5) ; 6) ; 7) ; 8) .
Uzimajući ove derivate u obzir, Jacobijeva matrica se može napisati u opštem obliku:
(23)
Hajde da definišemo analitičke izraze za derivate, diferenciranje jednadžbi sistema (20) s obzirom na nepoznate veličine. izgledaju kao:
(24)
Jakobijanska matrica V opšti slučaj- kvadratna matrica, simetrična, sa dimenzijom , njeni elementi su parcijalni derivati reziduala jednadžbi (debalans snaga) u odnosu na sve nepoznanice.
Ako čvorovi nisu međusobno povezani, tada će odgovarajuće derivacije matrice, Jacobian matrice, smještene izvan dijagonale, biti jednake nuli (slično matrici provodljivosti) - jer u odgovarajućim formulama (24) međusobna provodljivost y ij je faktor i. y ij =0.
Svaki red matrice je derivat naredne jednačine sistema (20).
Prisutnost posebnih čvorova u modeliranom mrežnom dijagramu (čvorovi podrške i balansiranja, FM čvorovi) utiče na struktura sistem jednadžbi stacionarnog stanja i o strukturi Jakobijanske matrice:
1. Za čvorove sa fiksiranje modula naponi (FM), u kojima su zadane i nepoznate i , iz Jacobian matrice isključeno linija derivata (od Q i nije specificirano, onda se ne može sastaviti jednadžba ravnoteže jalove snage (18), (19) i stupac derivacija (pošto naponski modul U i je poznato i isključeno je sa liste nepoznatih).
2. Za čvorove podrške i balansiranja, odgovarajući redovi i stupci matrice su isključeni;
3. Ako čvorovi nisu direktno povezani, odgovarajuće derivacije u matrici su jednake nuli.
Jakobijanska matrica se može podijeliti na četiri blok:
1) - derivati iz jednačina neravnoteže aktivan snaga (20) by uglovi stres;
2) - derivati jednačina neravnoteže aktivan power by moduli stres;
3) - derivati jednačina neravnoteže reaktivan snaga (20) by uglovi stres;
4) - derivati jednačina neravnoteže reaktivan power by moduli stres.
To su matrične ćelije parcijalnih izvoda neravnoteža aktivnih i reaktivnih snaga pod nepoznatim uglovima i naponskim modulima. Općenito, ovo su kvadratne matrice dimenzija n×n.
Uzimajući ovo u obzir, Jacobian matrica se može predstaviti kao blok matrice:
Gdje 
podvektor nepoznatih veličina.
Uzimajući ovo u obzir, onda se linearizovani sistem jednačina (22) može zapisati u obliku:
. (25)
Rješavanje ovoga linearni sistem jednadžbe (po bilo kojoj poznatoj metodi) na
Za svaku iteraciju metode nalazimo ispravke nepoznanica, a zatim
redovno približava se nepoznato:
(26)
Sljedeća aproksimacija nepoznanica također se može dobiti korištenjem formula iteracije Newton-Raphsonova metoda, slična (15):
- 
· (27)
Ovo zahtijeva invertiranje Jacobian matrice pri svakoj iteraciji - glomazna računska operacija.
Algoritam za rješavanje sistema stabilnih jednadžbi pomoću Newton-Raphsonove metode
1. Postavljanje početnih vrijednosti nepoznatih napona. Kao početne aproksimacije prihvatamo: , tj. nazivni naponi čvorova;
2. Postavljanje uvjeta proračuna: tačnost ε , maksimalan broj iteracija, koeficijenti ubrzanja itd.
3. Određivanje reziduala jednačina u skladu sa jednačinama (20) uz uzastopne aproksimacije nepoznanica;
4. Određivanje elemenata Jacobijeve matrice u skladu sa (24) uzastopnim aproksimacijama nepoznatih;
5. Rješavanje lineariziranog sistema jednadžbi (25) i određivanje korekcija nepoznanica;
6. Određivanje sljedećih aproksimacija nepoznatih u skladu sa (26);
7. Provjera završetka procesa iteracije:
Preostale vrijednosti jednadžbi za sve čvorove moraju biti manje od navedene točnosti.
Ako uslov nije ispunjen, vratite se na tačku 3 i ponovite proračun sa novim aproksimacijama nepoznatih.
Postoji broj modifikacije Newton-Raphsonove metode. Uključujući:
1. Modificirana Newton-Raphsonova metoda.
Jacobian matrica se izračunava jednom za početne vrijednosti nepoznatih. U narednim iteracijama to je prihvaćeno konstantan. Ovo značajno smanjuje količinu izračunavanja na svakoj iteraciji, ali povećava broj iteracija.
2. Podijeljena Newton-Raphsonova metoda.
Derivati oblika su vrlo mali i njihove vrijednosti se mogu zanemariti. Kao rezultat, u Jakobijanskoj matrici ostaju dva bloka - 1. i 4. i sistem (25) koji se sastoji od jednadžbi raspada u dva nezavisna sistema dimenzija. Svaki od ovih sistema rješava se odvojeno od drugog. To dovodi do smanjenja količine proračuna i potrebne memorije računara.
Federalna agencija za obrazovanje
Sochi Državni univerzitet turizam i odmaralište
fakultet informacione tehnologije i matematičari
Katedra za opštu matematiku
Nastavni rad u disciplini
"Newtonova metoda i njene modifikacije za rješavanje sistema nelinearnih jednačina"
Izvedeno:
Student 3. godine
grupe 06-INF
Lavrenko M.V.
Provjereno:
vanredni profesor, kandidat
pedagoške nauke
U vezi sa razvojem nove računarske tehnologije, inženjerska praksa se danas sve više susreće matematički problemi, čije je tačno rješenje vrlo teško ili nemoguće dobiti. U tim slučajevima obično se pribjegava jednom ili drugom približnom proračunu. Zbog toga aproksimativne i numeričke metode matematička analiza primljeno za poslednjih godinaširoko rasprostranjen razvoj i postali su izuzetno važni.
U ovom rad na kursu Razmatrana je poznata Newtonova metoda i njena modifikacija za rješavanje sistema nelinearnih jednačina. Rješavanje sistema nelinearnih jednačina jedan je od teških problema računske matematike. Teškoća je odrediti da li sistem ima rješenje, i, ako ima, koliko. Proučava se konvergencija osnovne i pojednostavljene Newtonove metode i metode dobivene Newtonovom metodom korištenjem iterativnog procesa za približnu inverziju Jacobijevih matrica.
Oni također ukratko opisuju: metode lažne pozicije, metodu sekante, Steffensenovu metodu, za koju se često ispostavi da je najbolji izbor za rješavanje sistema nelinearnih jednačina umjesto metode sekante ili metode lažnog položaja.
Njutnova poznata metoda je jedna od najpoznatijih efikasne metode rješavanje raznih nelinearnih problema. Formula proračuna metode može se dobiti različitim pristupima. Pogledajmo dva od njih.
1) Metoda tangente.
Izvedemo proračunsku formulu metode za rješavanje nelinearne jednačine
iz jednostavnih geometrijskih razmatranja. Neka je zadana početna aproksimacija korijenu. U tački s koordinatama povlačimo tangentu na graf funkcije i uzimamo apscisu točke presjeka ove tangente sa osom kao novu aproksimaciju. Slično, uzimamo apscisu tačke preseka sa osom tangente povučene na graf u tački sa koordinatama kao aproksimaciju. Nastavljajući ovaj proces dalje, dobijamo niz
blizu korena. Jednadžba tangente povučene na graf funkcije
u tački ima oblik: . (1.1)Uz pretpostavku jednakosti (1.1)
, primjećujemo da kada je ispunjen uslov apscise, tačka presjeka tangente sa osom zadovoljava jednakost: . (1.2)Izražavanje iz toga
, dobijamo formulu za proračun Newtonova metoda :
, . (1.3)
Zbog ove geometrijske interpretacije ova metoda se često naziva tangentna metoda .
Neka je potrebno riješiti sistem jednačina
(1) - dati, nelinearni (uključujući i linearne) funkcije realne vrijednosti P realne varijable
. Nakon što je odredio,
, ovaj sistem (2.1) se može zapisati jednom jednačinom
(2)u odnosu na vektorsku funkciju F vektorski argument x. Dakle, originalni problem se može smatrati problemom o nulama nelinearne karte
U ovoj formulaciji, to je direktna generalizacija glavnog problema iz prethodnog poglavlja - problema konstruisanja metoda za pronalaženje nula jednodimenzionalnih nelinearnih preslikavanja. Zapravo, ovo je isti problem, samo u prostorima veće dimenzije. Stoga je moguće ili rekonstruisati metode za njegovo rješavanje na osnovu gore razvijenih pristupa ili izvršiti formalni prijenos proračunskih formula izvedenih za skalarni slučaj. U svakom slučaju, treba voditi računa o valjanosti određenih operacija nad vektorskim varijablama i vektorskim funkcijama, kao i o konvergenciji iterativnih procesa dobijenih na ovaj način. Često su teoreme konvergencije za ove procese trivijalne generalizacije odgovarajućih rezultata dobijenih za metode za rješavanje skalarnih jednačina. Međutim, ne mogu se svi rezultati i sve metode prenijeti iz slučaja. P= 1 u slučaju P≥2. Na primjer, metode dihotomije ovdje više neće raditi, jer skup vektora nije uređen. Istovremeno, tranzicija iz n= 1 do n ≥ 2 unosi svoje specifičnosti u problem pronalaženja nula nelinearnog preslikavanja, uzimajući u obzir što dovodi do novih metoda i raznih modifikacija postojećih. Konkretno, velika varijabilnost metoda za rješavanje nelinearnih sistema povezana je s različitim načinima na koje se mogu riješiti linearni algebarski problemi koji nastaju tokom linearizacije korak po korak date nelinearne vektorske funkcije. F ( x ).2) Metoda linearizacije.
2. Newtonova metoda za rješavanje sistema nelinearnih jednačina.
Ova metoda ima mnogo bržu konvergenciju od jednostavne iteracijske metode. Newtonova metoda za sistem jednadžbi (1.1) zasniva se na korištenju proširenja funkcije
, Gdje 
(2.1)
u Tejlorovom nizu, sa terminima koji sadrže drugi ili više visoke narudžbe derivati se odbacuju. Ovaj pristup omogućava da se rješenje jednog nelinearnog sistema (1.1) zamijeni rješenjem većeg broja linearnih sistema.
Dakle, riješit ćemo sistem (1.1) Newtonovom metodom. U regiji D izaberite bilo koju tačku 
i nazvati je nultom aproksimacijom tačnog rješenja originalnog sistema. Proširimo sada funkcije (2.1) u Taylorov red u susjedstvu tačke . Imat će
Jer leve strane (2.2) moraju nestati prema (1.1), a zatim i desne strane (2.2) takođe moraju nestati. Dakle, iz (2.2) imamo
Sve parcijalne derivacije u (2.3) moraju se izračunati u tački .
(2.3) je sistem linearnih algebarskih jednadžbi za nepoznate.Ovaj sistem se može riješiti Cramerovom metodom ako je njegova glavna determinanta različita od nule i veličine se mogu naći
Sada možemo precizirati nultu aproksimaciju konstruiranjem prve aproksimacije sa koordinatama
one. 
. (2.6)
Hajde da saznamo da li je aproksimacija (2.6) dobijena sa dovoljnim stepenom tačnosti. Da bismo to učinili, provjerimo stanje
, 
(2.7)
Gdje 
unaprijed određen mali pozitivan broj (tačnost s kojom se sistem (1.1) mora riješiti). Ako je uslov (2.7) zadovoljen, onda biramo (2.6) kao aproksimativno rješenje sistema (1.1) i završavamo proračune. Ako uslov (2.7) nije zadovoljen, tada izvodimo sljedeću radnju. U sistemu (2.3), umjesto 
uzmimo ažurirane vrijednosti
, (2.8)
one. hajde da uradimo sledeće
. (2.9)
Nakon ovoga, sistem (2.3) će biti sistem linearnih algebarskih jednadžbi za veličine. Odredivši ove veličine, sljedeća druga aproksimacija 
do rješenja sistema (1.1) nalazimo pomoću formula
Sada provjerimo uslov (2.7) 
Ako je ovaj uslov ispunjen, onda završavamo proračune uzimajući drugu aproksimaciju kao približno rješenje sistema (1.1) 
. Ako ovaj uslov nije ispunjen, nastavljamo s konstruiranjem sljedeće aproksimacije, uzimajući u obzir (2.3) 
Potrebno je graditi aproksimacije sve dok uslov nije zadovoljen.
Radne formule Njutnove metode za rešavanje sistema (1.1) mogu se zapisati u obliku.
Izračunaj sekvencu
Evo 
su rješenje za sistem
Formulirajmo algoritam proračuna koristeći formule (2.11)-(2.13).
1. Odaberimo nultu aproksimaciju koja pripada području D.
2. U sistemu linearnih algebarskih jednačina (2.13) postavljamo 
,A .
3. Riješimo sistem (2.13) i pronađemo količine 
.
4. U formule (2.12) stavljamo 
i izračunajte komponente sljedeće aproksimacije.
5. Provjerimo uslov (2.7) za: (Pogledajte algoritam za izračunavanje maksimuma od nekoliko veličina.)
6. Ako je ovaj uslov ispunjen, onda završavamo proračune odabirom aproksimacije kao približnog rješenja sistema (1.1). Ako ovaj uvjet nije ispunjen, prijeđite na korak 7.
7. Stavimo 
za sve .
8. Izvršimo korak 3, stavljanje 
.
Geometrijski, ovaj algoritam se može napisati kao:
Algoritam. Izračunavanje maksimuma od nekoliko veličina.
Primjer. Razmotrimo korištenje Newtonove metode za rješavanje sistema od dvije jednačine.
Koristeći Newtonov metod, riješite sljedeći sistem nelinearnih jednačina do određene preciznosti
, (2.14)
Evo 
. Odaberimo nultu aproksimaciju 
, koji pripada domenu D. Konstruirajmo sistem linearnih algebarskih jednadžbi (2.3). Ona će izgledati
(2.15)
Označimo
Rešimo sistem (2.15) u odnosu na nepoznanice 
, na primjer Cramer metoda. Zapisujemo Cramerove formule u obliku
(2.17)
gdje je glavna determinanta sistema (2.15)
(2.18)
a pomoćne determinante sistema (2.15) imaju oblik
.
Pronađene vrijednosti zamjenjujemo u (2.16) i nalazimo komponente prve aproksimacije 
na rješenje sistema (2.15).
Hajde da proverimo stanje
, (2.19)
ako je ovaj uslov ispunjen, onda završavamo proračune uzimajući prvu aproksimaciju kao približno rješenje sistema (2.15), tj. 
. Ako uslov (2.19) nije zadovoljen, postavljamo 
, 
a mi ćemo izgraditi novi sistem linearne algebarske jednadžbe (2.15). Nakon što smo ga riješili, nalazimo drugu aproksimaciju 
. Hajde da to proverimo. Ako je ovaj uslov zadovoljen, tada biramo kao približno rješenje sistema (2.15) 
. Ako uslov na nije zadovoljen, postavljamo 
, 
i konstruišite sledeći sistem (2.15) da biste pronašli 
itd.
Zadaci
Svi zadaci zahtijevaju:
Napraviti program za numeričku implementaciju metode prema predloženom algoritmu.
Dobijte rezultate proračuna.
Provjerite svoje rezultate.
Dat je sistem dvije nelinearne jednačine.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10.
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
.
Poglavlje 3. Numeričke metode za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina (SLAE).
Cilj rada. Upoznavanje sa nekim aproksimativnim metodama za rešavanje SLAE-a i njihovom numeričkom implementacijom na računaru.
Preliminarne napomene. Sve metode za rješavanje SLAE obično se dijele na dvije velike grupe. Prva grupa uključuje metode koje se obično nazivaju tačnima. Ove metode nam omogućavaju da pronađemo za bilo koji sistem tačne vrijednosti nepoznanice nakon konačnog broja aritmetičkih operacija, od kojih se svaka izvodi tačno.
U drugu grupu spadaju sve metode koje nisu tačne. Zovu se iterativni, numerički ili približni. Tačno rješenje, kada se koriste takve metode, dobija se kao rezultat beskonačnog procesa aproksimacija. Atraktivna karakteristika takvih metoda je njihova samoispravka i lakoća implementacije na PC-u.
Razmotrimo neke približne metode za rješavanje SLAE i konstruiramo algoritme za njihovu numeričku implementaciju. Dobićemo približno rješenje SLAE s tačnošću , gdje je neki vrlo mali pozitivan broj.
1. Metoda iteracije.
Neka je SLAE dat u obliku
(1.1)
Ovaj sistem se može zapisati u matričnom obliku
, (1.2)
Gdje 
- matrica koeficijenata za nepoznate u sistemu (1.1), 
- kolona slobodnih članova, 
- kolona nepoznanica sistema (1.1).
. (1.3)
Rešimo sistem (1.1) metodom iteracije. Da bismo to učinili, izvršit ćemo sljedeće korake.
Prvo. Odaberimo nultu aproksimaciju
(1.4)
na tačno rješenje (1.3) sistema (1.1). Komponente nulte aproksimacije mogu biti bilo koji brojevi. Ali zgodnije je uzeti bilo koju nulu za komponente nulte aproksimacije 
, ili slobodni uslovi sistema (1.1) 
Drugo. Komponente nulte aproksimacije zamjenjujemo u desna strana sistema (1.1) i izračunaj
(1.5)
Količine lijevo u (1.5) su komponente prve aproksimacije 
Radnje koje su rezultirale prvom aproksimacijom nazivaju se iteracija.
Treće. Provjerimo nultu i prvu aproksimaciju za
(1.6)
Ako su svi uslovi (1.6) ispunjeni, tada za približno rješenje sistema (1.1) biramo ili , ili nije bitno, jer razlikuju se jedno od drugog samo za i završimo proračune. Ako barem jedan od uslova (1.6) nije ispunjen, prelazimo na sljedeću radnju.
Četvrto. Izvršimo sljedeću iteraciju, tj. u desnu stranu sistema (1.1) zamjenjujemo komponente prve aproksimacije i izračunavamo komponente druge aproksimacije 
, Gdje
Peto. Hajde da proverimo 
i na , tj. Provjerimo uslov (1.6) za ove aproksimacije. Ako su svi uslovi (1.6) ispunjeni, tada ćemo za približno rješenje sistema (1.1) izabrati ili , ili nije bitno, jer razlikuju se jedni od drugih za ne više od . U suprotnom ćemo konstruisati sljedeću iteraciju zamjenom komponenti druge aproksimacije u desnu stranu sistema (1.1).
Iteracije se moraju izgraditi do dvije susjedne aproksimacije 
i međusobno će se razlikovati za ne više od .
Radna formula metoda iteracije za rješavanje sistema (1.1) može se zapisati u obliku
Algoritam za numeričku implementaciju formule (1.7) može biti sljedeći.
Dovoljni uslovi za konvergenciju metode iteracije za sistem (1.1) imaju oblik
1. 
, .
2. 
, 
.
3. 
2. Jednostavna metoda iteracije.
Neka je sistem linearnih algebarskih jednadžbi (SLAE) dat u obliku
(2.1)
Da bi se sistem (2.1) riješio jednostavnim iteracijskim metodom, prvo se mora svesti na oblik
(2.2)
U sistemu (2.2) 
-ta jednačina je -ta jednačina sistema (2.1), riješena u odnosu na -tu nepoznatu ( 
).
Metoda za rješavanje sistema (2.1), koja se sastoji od njegovog svođenja na sistem (2.2) nakon čega slijedi rješavanje sistema (2.2) korištenjem iteracijske metode, naziva se jednostavna metoda iteracije za sistem (2.1).
Tako će radne formule jednostavne iteracijske metode za rješavanje sistema (2.1) imati oblik
(2.3)
Formule (2.3) se mogu napisati u obliku
Algoritam za numeričku implementaciju jednostavne iteracijske metode za sistem (2.1) prema formulama (2.4) može biti sljedeći.
Ovaj algoritam se može napisati geometrijski.
Dovoljni uslovi za konvergenciju jednostavne iteracijske metode za sistem (2.1) imaju oblik
1. 
, .
2. 
, 
.
3. 
3. Stacionarna Seidelova metoda.
Seidelova metoda za rješavanje SLAE razlikuje se od metode iteracije po tome što nakon što smo pronašli neku aproksimaciju za -tu komponentu, odmah je koristimo da pronađemo sljedeću 
, 
, …, 
-th komponenta. Ovaj pristup omogućava veću stopu konvergencije Seidelove metode u poređenju sa metodom iteracije.
Neka je SLAE dat u obliku
(3.1)
Neka 
- nulta aproksimacija do tačnog rješenja 
sistemi (3.1). I neka se nađe 
th aproksimacija 
. Hajde da definišemo komponente 
th aproksimacija pomoću formula
(3.2)
Formule (3.2) se mogu napisati u kompaktnom obliku
, 
, 
(3.3)
Algoritam za numeričku implementaciju Seidelove metode za rješavanje sistema (3.1) korištenjem formula (3.3) može biti sljedeći.
1. Odaberimo npr. 
, 
2. Stavimo .
3. Izračunajmo za sve.
4. Provjerićemo uslove za sve 
.
5. Ako su ispunjeni svi uslovi iz stava 4, onda ćemo izabrati jedno ili kao približno rješenje sistema (3.1) i završiti proračune. Ako barem jedan uvjet u koraku 4 nije ispunjen, prijeđite na korak 6.
6. Spustimo ga i pređimo na korak 3.
Ovaj algoritam se može napisati geometrijski.
Dovoljan uslov za konvergenciju Seidelove metode za sistem (3.1) ima oblik 
, .
4. Nestacionarna Seidelova metoda.
Ova metoda rješavanja SLAE (3.1) omogućava još veću brzinu konvergencije Seidelove metode.
Hajde da nekako pronađemo komponente th aproksimacije i th aproksimacije za sistem (3.1).
Izračunajmo vektor korekcije
Izračunajmo vrijednosti
, (4.2)
Složimo količine 
, u opadajućem redoslijedu.
Istim redosledom prepisujemo jednačine u sistemu (3.1) i nepoznanice u ovom sistemu: Linearnoalgebra I nelinearni ... MenadžmentZa laboratorija radiBy ... metodološki instrukcije ZapraktičnoradiBy Zastudenti ...
Obrazovna literatura (prirodna i tehnička) 2000-2011 OP ciklus – 10 godina CD ciklus – 5 godina
Književnost... Prirodnonauke općenito 1. Astronomija [Tekst]: priručnik Za ... Numeričkimetode: Linearnoalgebra I nelinearni ... MenadžmentZa laboratorija radiBy ... metodološki instrukcije ZapraktičnoradiBy disciplina "Ekonomika transporta" Zastudenti ...
- prirodne nauke (1)
Tutorial... menadžmentZastudenti i nastavnici, namijenjeni Za koristiti ne samo za učenje metoderad... proizvodnja praktično vještine korištenja stvarnih podataka. Metodički preporuke By ispunjenje testa radBy ovo...
- prirodne nauke - fizičke i matematičke nauke - hemijske nauke - nauke o zemlji (geodetske geofizičke geološke i geografske nauke)
Dokument... Zastudentiprirodno- ... radiBy disciplina "Genetika i selekcija", posvećena trenutni problemi ovo nauke. Sistematizovana samostalna PosaostudentiBy teorijski i praktično ... linearno, nelinearni, dinamičan. Sve metode ...
- prirodne nauke - fizičke i matematičke nauke - hemijske nauke - nauke o zemlji (geodetske geofizičke geološke i geografske nauke) (7)
Spisak udžbenikaEreminova determinanta linearno I nelinearnialgebra : linearno I nelinearni programiranje: novo metoda/ Eremin, Mihail... Zastudenti i nastavnici geoloških specijalnosti na univerzitetima. kh-1 1794549 99. D3 P 693 PraktičnomenadžmentBy ...