Rješavanje jednostavnih trigonometrijskih jednadžbi.
Rješavanje trigonometrijskih jednačina bilo kojeg nivoa složenosti na kraju se svodi na rješavanje najjednostavnijih trigonometrijskih jednačina. I u ovome se trigonometrijski krug opet ispostavlja kao najbolji asistent.
Prisjetimo se definicija kosinusa i sinusa.
Kosinus ugla je apscisa (tj. koordinata duž ose) tačke na jediničnom krugu koja odgovara rotaciji kroz dati ugao.
Sinus ugla je ordinata (tj. koordinata duž ose) tačke na jediničnom krugu koja odgovara rotaciji kroz dati ugao.
Pozitivan smjer kretanja na trigonometrijskom krugu je u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Rotacija od 0 stepeni (ili 0 radijana) odgovara tački sa koordinatama (1;0)
Koristimo ove definicije za rješavanje jednostavnih trigonometrijskih jednadžbi.
1. Riješite jednačinu
Ovu jednačinu zadovoljavaju sve vrijednosti ugla rotacije koje odgovaraju tačkama na kružnici čija je ordinata jednaka .
Označimo tačku sa ordinatom na ordinatnoj osi:
Nacrtajte vodoravnu liniju paralelnu s x-osi dok se ne siječe s kružnicom. Dobijamo dvije tačke koje leže na kružnici i imaju ordinatu. Ove tačke odgovaraju uglovima rotacije u i radijanima:
Ako, ostavljajući tačku koja odgovara kutu rotacije po radijanu, obiđemo puni krug, tada ćemo doći do točke koja odgovara kutu rotacije po radijanu i ima istu ordinatu. To jest, ovaj kut rotacije također zadovoljava našu jednačinu. Možemo napraviti onoliko „praznih“ okretaja koliko želimo, vraćajući se na istu tačku, a sve ove vrijednosti uglova će zadovoljiti našu jednadžbu. Broj obrtaja u praznom hodu će biti označen slovom (ili). Budući da možemo napraviti ove okrete iu pozitivnom iu negativnom smjeru, (ili) možemo poprimiti bilo koje cjelobrojne vrijednosti.
To jest, prva serija rješenja originalne jednadžbe ima oblik:
, , - skup cijelih brojeva (1)
Slično, druga serija rješenja ima oblik:
, Gdje , . (2)
Kao što ste mogli pretpostaviti, ova serija rješenja temelji se na tački na kružnici koja odgovara kutu rotacije za .
Ove dvije serije rješenja mogu se kombinirati u jedan unos:
Ako uzmemo (tj. čak) u ovom unosu, onda ćemo dobiti prvu seriju rješenja.
Ako uzmemo (tj. neparno) u ovom unosu, onda ćemo dobiti drugu seriju rješenja.
2. Sada riješimo jednačinu
Pošto je ovo apscisa tačke na jediničnom krugu dobijenom rotacijom kroz ugao, tačku označavamo apscisom na osi:
Nacrtajte okomitu liniju paralelnu osi dok se ne siječe s kružnicom. Dobićemo dve tačke koje leže na kružnici i imaju apscisu. Ove tačke odgovaraju uglovima rotacije u i radijanima. Podsjetimo da kada se krećemo u smjeru kazaljke na satu dobivamo negativan kut rotacije:
Zapišimo dvije serije rješenja:
,
,
(Do željene tačke dolazimo tako što idemo iz glavnog punog kruga, tj.
Kombinirajmo ove dvije serije u jedan unos:
3. Riješite jednačinu
Tangentna linija prolazi kroz tačku sa koordinatama (1,0) jedinične kružnice paralelne sa OY osom
Označimo tačku na njoj ordinatom jednakom 1 (tražimo tangentu čiji su uglovi jednaki 1):
Povežimo ovu tačku sa ishodištem koordinata pravom linijom i označimo tačke preseka linije jediničnim krugom. Točke preseka prave linije i kružnice odgovaraju uglovima rotacije na i :
Budući da točke koje odgovaraju uglovima rotacije koje zadovoljavaju našu jednadžbu leže jedna od druge na udaljenosti od radijana, rješenje možemo napisati na sljedeći način:
4. Riješite jednačinu
Prava kotangensa prolazi kroz tačku sa koordinatama jedinične kružnice paralelne osi.
Označimo tačku sa apscisom -1 na liniji kotangensa:
Povežimo ovu tačku sa ishodištem prave linije i nastavimo je dok se ne ukrsti sa kružnicom. Ova ravna linija će presjeći krug u tačkama koje odgovaraju uglovima rotacije u i radijanima:
Budući da su ove točke odvojene jedna od druge razmakom jednakom , možemo zapisati općenito rješenje ove jednadžbe na sljedeći način:
U navedenim primjerima koji ilustruju rješenje najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi korištene su tablične vrijednosti trigonometrijskih funkcija.
Međutim, ako desna strana jednadžbe sadrži vrijednost koja nije tabela, tada vrijednost zamjenjujemo u opšte rješenje jednadžbe:
POSEBNA RJEŠENJA:
Označimo tačke na kružnici čija je ordinata 0:
Označimo jednu tačku na kružnici čija je ordinata 1:
Označimo jednu tačku na krugu čija je ordinata jednaka -1:
Budući da je uobičajeno naznačiti vrijednosti najbliže nuli, rješenje pišemo na sljedeći način:
Označimo tačke na kružnici čija je apscisa jednaka 0:
5.
Označimo jednu tačku na kružnici čija je apscisa jednaka 1:
Označimo jednu tačku na kružnici čija je apscisa jednaka -1:
I malo složeniji primjeri:
1.
Sinus je jednak jedan ako je argument jednak
Argument našeg sinusa je jednak, pa dobijamo:
Podijelimo obje strane jednakosti sa 3:
odgovor:
2.
Kosinus je nula ako je argument kosinusa jednak
Argument našeg kosinusa je jednak , pa dobijamo:
Izrazimo , da bismo to učinili prvo se pomaknemo udesno sa suprotnim predznakom:
Pojednostavimo desnu stranu:
Podijelite obje strane sa -2:
Imajte na umu da se predznak ispred pojma ne mijenja, jer k može poprimiti bilo koju cjelobrojnu vrijednost.
odgovor:
I na kraju, pogledajte video lekciju "Odabir korijena u trigonometrijskoj jednadžbi pomoću trigonometrijskog kruga"
Ovo završava naš razgovor o rješavanju jednostavnih trigonometrijskih jednadžbi. Sljedeći put ćemo razgovarati o tome kako odlučiti.
Koncepti sinusa (), kosinusa (), tangente (), kotangensa () neraskidivo su povezani sa konceptom ugla. Da bismo dobro razumjeli ove, na prvi pogled, složene pojmove (koji kod mnogih školaraca izazivaju stanje užasa), i da bismo bili sigurni da „đavo nije tako strašan kao što je naslikan“, krenimo od na samom početku i razumjeti pojam ugla.
Koncept ugla: radijan, stepen
Pogledajmo sliku. Vektor se „okrenuo“ u odnosu na tačku za određenu količinu. Dakle, mjera ove rotacije u odnosu na početnu poziciju će biti ugao.
Šta još trebate znati o pojmu ugla? Pa, naravno, jedinice ugla!
Ugao, kako u geometriji tako i u trigonometriji, može se mjeriti u stepenima i radijanima.
Ugao (jedan stepen) je centralni ugao u krugu koji je savijen kružnim lukom jednak delu kruga. Dakle, cijeli krug se sastoji od “komada” kružnih lukova, ili je ugao opisan krugom jednak.
Odnosno, gornja slika prikazuje ugao jednak, to jest, ovaj ugao počiva na kružnom luku veličine obima.
Ugao u radijanima je centralni ugao u krugu sastavljen kružnim lukom čija je dužina jednaka poluprečniku kružnice. Pa, jesi li shvatio? Ako ne, hajde da to shvatimo iz crteža.
Dakle, slika prikazuje ugao jednak radijanu, odnosno ovaj ugao počiva na kružnom luku čija je dužina jednaka poluprečniku kruga (dužina je jednaka dužini ili je poluprečnik jednak dužina luka). Dakle, dužina luka se izračunava po formuli:
Gdje je centralni ugao u radijanima.
Pa, znajući ovo, možete li odgovoriti koliko radijana sadrži ugao koji opisuje krug? Da, za ovo morate zapamtiti formulu za obim. evo nje:
Pa, hajde sada da povežemo ove dvije formule i otkrijemo da je ugao opisan kružnicom jednak. To jest, korelacijom vrijednosti u stepenima i radijanima, dobijamo to. Odnosno, . Kao što vidite, za razliku od "stepeni", riječ "radijan" je izostavljena, jer je jedinica mjere obično jasna iz konteksta.
Koliko radijana ima? Tako je!
Jasno? Onda samo naprijed i popravi to:
Imate poteškoća? Onda pogledaj odgovori:
Pravokutni trokut: sinus, kosinus, tangenta, kotangens ugla
Dakle, shvatili smo koncept ugla. Ali šta je sinus, kosinus, tangent i kotangens ugla? Hajde da to shvatimo. Da bismo to učinili, pomoći će nam pravokutni trokut.
Kako se zovu stranice pravouglog trougla? Tako je, hipotenuza i kateta: hipotenuza je strana koja leži nasuprot pravog kuta (u našem primjeru to je stranica); noge su dvije preostale strane i (one susjedne pravom kutu), a ako uzmemo u obzir noge u odnosu na ugao, onda je noga susjedna noga, a noga je suprotna. Dakle, hajde da odgovorimo na pitanje: šta su sinus, kosinus, tangent i kotangens ugla?
Sinus ugla- ovo je omjer suprotnog (udaljenog) kraka prema hipotenuzi.
U našem trouglu.
Kosinus ugla- ovo je omjer susjedne (bliske) noge i hipotenuze.
U našem trouglu.
Tangenta ugla- ovo je omjer suprotne (udaljene) strane prema susjednoj (bliskoj).
U našem trouglu.
Kotangens ugla- ovo je omjer susjedne (bliske) noge i suprotne (daleke).
U našem trouglu.
Ove definicije su neophodne zapamti! Da biste lakše zapamtili koju nogu podijeliti na šta, morate to jasno razumjeti tangenta I kotangens samo noge sjede, a hipotenuza se pojavljuje samo u sinus I kosinus. A onda možete smisliti lanac asocijacija. Na primjer, ovaj:
Kosinus→dodir→dodir→susedni;
Kotangens→dodir→dodir→susedni.
Prije svega, morate zapamtiti da sinus, kosinus, tangenta i kotangens, jer omjeri strana trokuta ne ovise o dužinama ovih stranica (pod istim kutom). Ne vjerujem? Zatim se uvjerite gledajući sliku:
Razmotrimo, na primjer, kosinus ugla. Po definiciji, iz trougla: , ali možemo izračunati kosinus ugla iz trougla: . Vidite, dužine stranica su različite, ali vrijednost kosinusa jednog ugla je ista. Dakle, vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa ovise isključivo o veličini ugla.
Ako razumijete definicije, samo naprijed i konsolidirajte ih!
Za trokut prikazan na donjoj slici nalazimo.
Pa, jesi li dobio? Zatim pokušajte sami: izračunajte isto za ugao.
Jedinični (trigonometrijski) krug
Razumijevajući koncepte stupnjeva i radijana, razmatrali smo krug s polumjerom jednakim. Takav krug se zove single. Bit će vrlo korisno kada proučavate trigonometriju. Stoga, pogledajmo to malo detaljnije.
Kao što vidite, ovaj krug je konstruisan u kartezijanskom koordinatnom sistemu. Polumjer kružnice je jednak jedan, dok središte kružnice leži na početku koordinata, početni položaj radijus vektora je fiksiran duž pozitivnog smjera ose (u našem primjeru to je radijus).
Svaka tačka na kružnici odgovara dva broja: koordinata ose i koordinata ose. Koji su to koordinatni brojevi? I općenito, kakve veze oni imaju sa temom o kojoj je riječ? Da bismo to učinili, moramo se sjetiti razmatranog pravokutnog trokuta. Na gornjoj slici možete vidjeti dva cijela pravokutna trougla. Zamislite trougao. Pravougaona je jer je okomita na osu.
Čemu je jednak trougao? Tako je. Osim toga, znamo da je radijus jedinične kružnice, što znači . Zamijenimo ovu vrijednost u našu formulu za kosinus. Evo šta se dešava:
Čemu je jednak trougao? Pa, naravno! Zamijenite vrijednost radijusa u ovu formulu i dobijete:
Dakle, možete li reći koje koordinate ima tačka koja pripada kružnici? Pa, nema šanse? Šta ako to shvatite i ako su to samo brojevi? Kojoj koordinati odgovara? Pa, naravno, koordinate! I kojoj koordinati odgovara? Tako je, koordinate! Dakle, tačka.
Čemu su onda i čemu jednaki? Tako je, upotrijebimo odgovarajuće definicije tangente i kotangensa i dobijemo to, a.
Šta ako je ugao veći? Na primjer, kao na ovoj slici:
Šta se promijenilo u ovom primjeru? Hajde da to shvatimo. Da bismo to učinili, okrenimo se ponovo pravokutnom trokutu. Razmotrimo pravougaoni trougao: ugao (kao susedni ugao). Koje su vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa za ugao? Tako je, pridržavamo se odgovarajućih definicija trigonometrijskih funkcija:
Pa, kao što vidite, vrijednost sinusa ugla i dalje odgovara koordinati; vrijednost kosinusa ugla - koordinata; i vrijednosti tangenta i kotangensa na odgovarajuće omjere. Dakle, ovi odnosi se primjenjuju na bilo koju rotaciju radijus vektora.
Već je spomenuto da je početni položaj radijus vektora duž pozitivnog smjera ose. Do sada smo ovaj vektor rotirali u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, ali šta će se dogoditi ako ga okrenemo u smjeru kazaljke na satu? Ništa neobično, dobit ćete i ugao određene vrijednosti, ali samo on će biti negativan. Dakle, kada se radijus vektor okrene suprotno od kazaljke na satu, dobijamo pozitivni uglovi, a pri rotaciji u smjeru kazaljke na satu - negativan.
Dakle, znamo da je cijela revolucija radijus vektora oko kružnice ili. Da li je moguće rotirati radijus vektor na ili na? Pa, naravno da možete! U prvom slučaju, dakle, radijus vektor će napraviti jedan puni okret i zaustaviti se na poziciji ili.
U drugom slučaju, odnosno radijus vektor će napraviti tri puna okretaja i zaustaviti se na poziciji ili.
Dakle, iz gornjih primjera možemo zaključiti da uglovi koji se razlikuju za ili (gdje je bilo koji cijeli broj) odgovaraju istom položaju radijus vektora.
Slika ispod prikazuje ugao. Ista slika odgovara uglu itd. Ova lista se može nastaviti u nedogled. Svi ovi uglovi se mogu napisati općom formulom ili (gdje je bilo koji cijeli broj)
Sada, znajući definicije osnovnih trigonometrijskih funkcija i koristeći jedinični krug, pokušajte odgovoriti koje su vrijednosti:
Evo jediničnog kruga koji će vam pomoći:
Imate poteškoća? Onda hajde da shvatimo. Dakle, znamo da:
Odavde određujemo koordinate tačaka koje odgovaraju određenim mjerama uglova. Pa, počnimo redom: ugao na odgovara tački s koordinatama, dakle:
Ne postoji;
Dalje, pridržavajući se iste logike, saznajemo da uglovi u odgovaraju tačkama sa koordinatama, respektivno. Znajući to, lako je odrediti vrijednosti trigonometrijskih funkcija u odgovarajućim točkama. Prvo pokušajte sami, a zatim provjerite odgovore.
odgovori:
Ne postoji
Ne postoji
Ne postoji
Ne postoji
Tako možemo napraviti sljedeću tabelu:
Nema potrebe da pamtite sve ove vrednosti. Dovoljno je zapamtiti korespondenciju između koordinata točaka na jediničnom krugu i vrijednosti trigonometrijskih funkcija:
Ali vrijednosti trigonometrijskih funkcija uglova u i, date u donjoj tabeli, mora se zapamtiti:
Nemojte se plašiti, sada ćemo vam pokazati jedan primjer prilično jednostavno zapamtiti odgovarajuće vrijednosti:
Za korištenje ove metode važno je zapamtiti vrijednosti sinusa za sve tri mjere ugla (), kao i vrijednost tangente kuta. Poznavajući ove vrijednosti, prilično je jednostavno vratiti cijelu tablicu - vrijednosti kosinusa se prenose u skladu sa strelicama, odnosno:
Znajući to, možete vratiti vrijednosti za. Brojilac " " će se poklopiti i nazivnik " " će se podudarati. Vrijednosti kotangensa se prenose u skladu sa strelicama prikazanim na slici. Ako ovo razumijete i zapamtite dijagram sa strelicama, tada će biti dovoljno zapamtiti sve vrijednosti iz tabele.
Koordinate tačke na kružnici
Da li je moguće pronaći tačku (njene koordinate) na kružnici, poznavajući koordinate centra kruga, njegovog polumjera i kuta rotacije?
Pa, naravno da možete! Hajde da ga izvadimo opšta formula za pronalaženje koordinata tačke.
Na primjer, evo kruga ispred nas:
Dato nam je da je tačka centar kružnice. Poluprečnik kružnice je jednak. Potrebno je pronaći koordinate tačke dobijene rotacijom tačke po stepenima.
Kao što se vidi sa slike, koordinata tačke odgovara dužini segmenta. Dužina segmenta odgovara koordinati centra kruga, odnosno jednaka je. Dužina segmenta se može izraziti pomoću definicije kosinusa:
Onda imamo to za koordinate tačke.
Koristeći istu logiku, nalazimo vrijednost y koordinate za tačku. dakle,
Dakle, općenito se koordinate tačaka određuju formulama:
Koordinate centra kruga,
polumjer kruga,
Ugao rotacije radijusa vektora.
Kao što vidite, za jedinični krug koji razmatramo, ove formule su značajno smanjene, budući da su koordinate centra jednake nuli, a radijus jednak jedan:
Pa, hajde da isprobamo ove formule vježbajući pronalaženje tačaka na kružnici?
1. Pronađite koordinate tačke na jediničnom krugu dobijene rotacijom tačke.
2. Pronađite koordinate tačke na jediničnom krugu dobijene rotacijom tačke.
3. Pronađite koordinate tačke na jediničnom krugu dobijene rotacijom tačke.
4. Tačka je centar kružnice. Poluprečnik kružnice je jednak. Potrebno je pronaći koordinate tačke dobijene rotacijom početnog radijus vektora za.
5. Tačka je centar kružnice. Poluprečnik kružnice je jednak. Potrebno je pronaći koordinate tačke dobijene rotacijom početnog radijus vektora za.
Imate problema s pronalaženjem koordinata tačke na kružnici?
Riješite ovih pet primjera (ili budite dobri u njihovom rješavanju) i naučit ćete ih pronaći!
1.
Možete to primijetiti. Ali znamo šta odgovara punoj revoluciji početne tačke. Tako će željena tačka biti u istoj poziciji kao i pri okretanju. Znajući to, nalazimo tražene koordinate tačke:
2. Jedinični krug je centriran u tački, što znači da možemo koristiti pojednostavljene formule:
Možete to primijetiti. Znamo šta odgovara dva puna okretanja početne tačke. Tako će željena tačka biti u istoj poziciji kao i pri okretanju. Znajući to, nalazimo tražene koordinate tačke:
Sinus i kosinus su tablične vrijednosti. Prisjećamo se njihovog značenja i dobijamo:
Dakle, željena tačka ima koordinate.
3. Jedinični krug je centriran u tački, što znači da možemo koristiti pojednostavljene formule:
Možete to primijetiti. Opišimo dotični primjer na slici:
Radijus čini uglove jednake i sa osom. Znajući da su tablične vrijednosti kosinusa i sinusa jednake, i utvrdivši da kosinus ovdje ima negativnu vrijednost, a sinus pozitivnu vrijednost, imamo:
O takvim primjerima se detaljnije govori kada se proučavaju formule za redukciju trigonometrijskih funkcija u ovoj temi.
Dakle, željena tačka ima koordinate.
4.
Ugao rotacije radijusa vektora (prema uslovu)
Da bismo odredili odgovarajuće znakove sinusa i kosinusa, konstruiramo jedinični krug i kut:
Kao što vidite, vrijednost je, odnosno, pozitivna, a vrijednost, odnosno negativna. Poznavajući tablične vrijednosti odgovarajućih trigonometrijskih funkcija, dobijamo da:
Zamijenimo dobivene vrijednosti u našu formulu i pronađemo koordinate:
Dakle, željena tačka ima koordinate.
5. Za rješavanje ovog problema koristimo formule u općem obliku gdje
Koordinate središta kruga (u našem primjeru,
Radijus kruga (prema uslovu)
Ugao rotacije radijusa vektora (prema uslovu).
Zamijenimo sve vrijednosti u formulu i dobijemo:
i - tabelarne vrijednosti. Prisjetimo se i zamijenimo ih u formulu:
Dakle, željena tačka ima koordinate.
SAŽETAK I OSNOVNE FORMULE
Sinus ugla je omjer suprotnog (dalekog) kraka i hipotenuze.
Kosinus ugla je omjer susjednog (bliskog) kraka i hipotenuze.
Tangent ugla je omjer suprotne (daleke) strane i susjedne (bliske) strane.
Kotangens ugla je omjer susjedne (bliske) strane i suprotne (daleke) strane.
– sigurno će biti zadataka iz trigonometrije. Trigonometrija se često ne sviđa zbog potrebe da se nagura ogroman broj teških formula, koje vrve od sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa. Stranica je već jednom davala savjete kako zapamtiti zaboravljenu formulu, koristeći primjer Eulerove i Peel formule.
I u ovom članku pokušat ćemo pokazati da je dovoljno čvrsto poznavati samo pet jednostavnih trigonometrijskih formula, a ostale imati općenito razumijevanje i izvoditi ih dok idete. To je kao sa DNK: molekul ne pohranjuje potpune nacrte gotovog živog bića. Umjesto toga, sadrži upute za sastavljanje od dostupnih aminokiselina. Dakle, u trigonometriji, poznavajući neke opšte principe, sve potrebne formule ćemo dobiti iz malog skupa onih koje moramo imati na umu.
Oslonićemo se na sledeće formule:
Iz formula za sinusne i kosinusne sume, znajući za parnost kosinusne funkcije i neparnost sinusne funkcije, zamjenjujući -b umjesto b, dobijamo formule za razlike:
- Sinus razlike: grijeh(a-b) = grijehacos(-b)+cosagrijeh(-b) = grijehacosb-cosagrijehb
- Kosinus razlike: cos(a-b) = cosacos(-b)-grijehagrijeh(-b) = cosacosb+grijehagrijehb
Stavljajući a = b u iste formule, dobijamo formule za sinus i kosinus dvostrukih uglova:
- Sinus dvostrukog ugla: grijeh2a = grijeh(a+a) = grijehacosa+cosagrijeha = 2grijehacosa
- Kosinus dvostrukog ugla: cos2a = cos(a+a) = cosacosa-grijehagrijeha = cos2 a-grijeh2 a
Formule za druge višestruke uglove dobivaju se na sličan način:
- Sinus trostrukog ugla: grijeh3a = grijeh(2a+a) = grijeh2acosa+cos2agrijeha = (2grijehacosa)cosa+(cos2 a-grijeh2 a)grijeha = 2grijehacos2 a+grijehacos2 a-grijeh 3 a = 3 grijehacos2 a-grijeh 3 a = 3 grijeha(1-grijeh2 a)-grijeh 3 a = 3 grijeha-4grijeh 3a
- Kosinus trostrukog ugla: cos3a = cos(2a+a) = cos2acosa-grijeh2agrijeha = (cos2 a-grijeh2 a)cosa-(2grijehacosa)grijeha = cos 3 a- grijeh2 acosa-2grijeh2 acosa = cos 3 a-3 grijeh2 acosa = cos 3 a-3(1- cos2 a)cosa = 4cos 3 a-3 cosa
Prije nego krenemo dalje, pogledajmo jedan problem.
Dato: ugao je oštar.
Pronađite njegov kosinus ako
Rješenje koje je dao jedan učenik:
Jer , To grijeha= 3,a cosa = 4.
(Iz matematičkog humora)
Dakle, definicija tangente ovu funkciju povezuje i sa sinusom i sa kosinusom. Ali možete dobiti formulu koja povezuje tangentu samo sa kosinusom. Da bismo ga izveli, uzimamo glavni trigonometrijski identitet: grijeh 2 a+cos 2 a= 1 i podijelite ga sa cos 2 a. Dobijamo:
Dakle, rješenje ovog problema bi bilo:
(Budući da je ugao oštar, prilikom vađenja korijena uzima se znak +)
Formula za tangens zbroja je još jedna formula koju je teško zapamtiti. Hajde da to izbacimo ovako:
Odmah prikazano i
Iz kosinusne formule za dvostruki ugao možete dobiti formule sinusa i kosinusa za pola ugla. Da biste to učinili, na lijevoj strani formule kosinusa dvostrukog kuta:
cos2
a = cos 2
a-grijeh 2
a
dodajemo jednu, a desno - trigonometrijsku jedinicu, tj. zbir kvadrata sinusa i kosinusa.
cos2a+1 = cos2 a-grijeh2 a+cos2 a+grijeh2 a
2cos 2
a = cos2
a+1
Izražavanje cosa kroz cos2
a i promjenom varijabli dobijamo:
Znak se uzima u zavisnosti od kvadranta.
Slično, oduzimanjem jedan od lijeve strane jednakosti i zbira kvadrata sinusa i kosinusa s desne, dobivamo:
cos2a-1 = cos2 a-grijeh2 a-cos2 a-grijeh2 a
2grijeh 2
a = 1-cos2
a
I konačno, da bismo pretvorili zbir trigonometrijskih funkcija u proizvod, koristimo sljedeću tehniku. Recimo da trebamo predstaviti zbir sinusa kao proizvod grijeha+grijehb. Hajde da uvedemo varijable x i y tako da je a = x+y, b+x-y. Onda
grijeha+grijehb = grijeh(x+y)+ grijeh(x-y) = grijeh x cos y+ cos x grijeh y+ grijeh x cos y- cos x grijeh y=2 grijeh x cos y. Izrazimo sada x i y u terminima a i b.
Budući da je a = x+y, b = x-y, onda . Zbog toga
Možete se odmah povući
- Formula za particionisanje produkti sinusa i kosinusa V iznos: grijehacosb = 0.5(grijeh(a+b)+grijeh(a-b))
Preporučujemo da sami vježbate i izvodite formule za pretvaranje razlike sinusa i zbira i razlike kosinusa u proizvod, kao i za dijeljenje proizvoda sinusa i kosinusa u zbir. Nakon što ste završili ove vježbe, temeljito ćete savladati vještinu izvođenja trigonometrijskih formula i nećete se izgubiti ni na najtežem testu, olimpijadi ili testiranju.
Hajde da razumemo jednostavne koncepte: sinus i kosinus i proračun kosinus na kvadrat i sinus na kvadrat.
Sinus i kosinus se proučavaju u trigonometriji (proučavanju pravokutnih trokuta).
Stoga, prvo, prisjetimo se osnovnih pojmova pravokutnog trokuta:
Hipotenuza- strana koja uvek leži nasuprot pravog ugla (ugao od 90 stepeni). Hipotenuza je najduža stranica pravouglog trougla.
Preostale dvije stranice u pravokutnom trokutu se zovu noge.
Takođe treba da zapamtite da su tri ugla u trouglu uvek zbir od 180°.
A sada idemo na kosinus i sinus ugla alfa (∠α)(ovo se može nazvati bilo kojim indirektnim uglom u trokutu ili koristiti kao oznaka x - "x", što ne mijenja suštinu).
Sinus ugla alfa (sin ∠α)- ovo je stav suprotno krak (strana suprotna odgovarajućem uglu) na hipotenuzu. Ako pogledate sliku, onda sin ∠ABC = AC / BC
Kosinus ugla alfa (cos ∠α)- stav susjedni na ugao kateta prema hipotenuzi. Gledajući ponovo gornju sliku, cos ∠ABC = AB / BC
I samo kao podsjetnik: kosinus i sinus nikada neće biti veći od jedan, budući da je svaki kotrljaj kraći od hipotenuze (a hipotenuza je najduža stranica bilo kojeg trokuta, jer se najduža stranica nalazi nasuprot najvećem kutu u trokutu) .
Kosinus na kvadrat, sinus na kvadrat
Pređimo sada na osnovne trigonometrijske formule: izračunavanje kosinusa na kvadrat i sinusa na kvadrat.
Da biste ih izračunali, trebali biste zapamtiti osnovni trigonometrijski identitet:
sin 2 α + cos 2 α = 1(sinus kvadrat plus kosinus kvadrat jednog ugla uvijek je jednak jedan).
Iz trigonometrijskog identiteta izvodimo zaključke o sinusima:
sin 2 α = 1 - cos 2 α
sinusni kvadrat alfa jednak je jedan minus kosinus dvostrukog ugla alfa i sve ovo podijelite sa dva.
sin 2 α = (1 – cos(2α)) / 2
Iz trigonometrijskog identiteta izvodimo zaključke o kosinusu:
cos 2 α = 1 - sin 2 α
ili složeniju verziju formule: kosinus kvadrat alfa jednak je jedan plus kosinus dvostrukog ugla alfa i također podijelite sve sa dva.
cos 2 α = (1 + cos(2α)) / 2
Ove dvije složenije formule za sinus na kvadrat i kosinus na kvadrat nazivaju se i "smanjenje snage za kvadratne trigonometrijske funkcije". One. postojao je drugi stepen, spustili su ga na prvi i proračuni su postali praktičniji.
Ako konstruišemo jediničnu kružnicu sa centrom na početku i postavimo proizvoljnu vrednost za argument x 0 i brojite od ose Ox ugao x 0, tada ovaj ugao na jediničnom krugu odgovara određenoj tački A(sl. 1) i njegovu projekciju na osu Oh biće poenta M. Dužina sekcije OM jednak apsolutnoj vrijednosti apscise tačke A. Zadana vrijednost argumenta x 0 mapirana vrijednost funkcije y=cos x 0 poput apscisa tačaka A. Shodno tome, tačka IN(x 0 ;at 0) pripada grafu funkcije at=cos X(Sl. 2). Ako je poenta A je desno od ose OU, Trenutni sinus će biti pozitivan, ali ako je ulijevo bit će negativan. Ali u svakom slučaju, tačka A ne može napustiti krug. Dakle, kosinus leži u rasponu od –1 do 1:
–1 = cos x = 1.
Dodatna rotacija pod bilo kojim uglom, višestruka od 2 str, vraća tačku A na isto mjesto. Stoga funkcija y = cos xstr:
cos( x+ 2str) = cos x.
Ako uzmemo dvije vrijednosti argumenta, jednake po apsolutnoj vrijednosti, ali suprotne po predznaku, x i - x, pronađite odgovarajuće tačke na kružnici Sjekira I Sjekira. Kao što se može videti na sl. 3 njihova projekcija na osu Oh je ista tačka M. Zbog toga
cos(- x) = cos ( x),
one. kosinus je parna funkcija, f(–x) = f(x).
To znači da možemo istražiti svojstva funkcije y=cos X na segmentu , a zatim uzeti u obzir njen paritet i periodičnost.
At X= 0 bodova A leži na osi Oh, njegova apscisa je 1, pa je stoga cos 0 = 1. Sa povećanjem X dot A kreće se po krugu gore i lijevo, njegova projekcija je, naravno, samo lijevo, a pri x = str/2 kosinus postaje jednak 0. Tačka A u ovom trenutku se diže na svoju maksimalnu visinu, a zatim nastavlja da se kreće ulijevo, ali se već spušta. Njegova apscisa se smanjuje sve dok ne dostigne najmanju vrijednost jednaku –1 at X= str. Dakle, na intervalu funkcija at=cos X monotono opada sa 1 na –1 (sl. 4, 5).
Iz pariteta kosinusa slijedi da na intervalu [– str, 0] funkcija monotono raste sa –1 na 1, uzimajući nultu vrijednost na x =–str/2. Ako uzmete nekoliko perioda, dobićete talasastu krivulju (slika 6).
Dakle, funkcija y=cos x uzima nulte vrijednosti u tačkama X= str/2 + kp, Gdje k – bilo koji cijeli broj. Maksimumi jednaki 1 se postižu u bodovima X= 2kp, tj. u koracima od 2 str, a minimumi jednaki –1 u tačkama X= str + 2kp.
Funkcija y = sin x.
Na kutu kruga jedinice x 0 odgovara tački A(sl. 7), i njegovu projekciju na osu OU biće poenta N.Z vrijednost funkcije y 0 = grijeh x 0 definisan kao ordinata tačke A. Dot IN(ugao x 0 ,at 0) pripada grafu funkcije y= grijeh x(Sl. 8). Jasno je da je funkcija y = grijeh x periodično, njegov period je 2 str:
grijeh( x+ 2str) = grijeh ( x).
Za dvije vrijednosti argumenata, X I - , projekcije njihovih odgovarajućih tačaka Sjekira I Sjekira po osi OU nalazi simetrično u odnosu na tačku O. Zbog toga
grijeh(- x) = –sin ( x),
one. sinus je neparna funkcija, f(– x) = –f( x) (Sl. 9).
Ako je poenta A rotirati u odnosu na tačku O pod uglom str/2 suprotno od kazaljke na satu (drugim riječima, ako je kut X povećati za str/2), tada će njegova ordinata na novom položaju biti jednaka apscisi u starom. Što znači
grijeh( x+ str/2) = cos x.
Inače, sinus je kosinus "kasni". str/2, budući da će se bilo koja vrijednost kosinusa “ponoviti” u sinusu kada se argument poveća za str/2. A da biste napravili sinusni graf, dovoljno je pomaknuti kosinusni graf za str/2 desno (slika 10). Izuzetno važno svojstvo sinusa izražava se jednakošću
Geometrijsko značenje jednakosti može se vidjeti sa Sl. 11. Evo X - ovo je pola luka AB, kao u X - polovina odgovarajućeg akorda. Očigledno je da kako se tačke približavaju A I IN dužina tetive se sve više približava dužini luka. Iz iste je slike lako izvesti nejednakost
|sin x| x|, tačno za bilo koje X.
Matematičari formulu (*) nazivaju izuzetnom granicom. Iz toga, posebno, proizilazi taj grijeh X» X at small X.
Funkcije at= tg x, y=ctg X. Druge dvije trigonometrijske funkcije, tangenta i kotangens, najlakše se definiraju kao omjeri sinusa i kosinusa koji su nam već poznati:
Kao i sinus i kosinus, tangent i kotangens su periodične funkcije, ali su im periodi jednaki str, tj. oni su upola manji od sinusa i kosinusa. Razlog za to je jasan: ako i sinus i kosinus promijene predznake, onda se njihov omjer neće promijeniti.
Pošto nazivnik tangente sadrži kosinus, tangenta nije definisana u onim tačkama gde je kosinus 0 - kada X= str/2 +kp. U svim ostalim tačkama se monotono povećava. Direktno X= str/2 + kp za tangente su vertikalne asimptote. U tačkama kp tangenta i nagib su 0 i 1, respektivno (slika 12).
Kotangens nije definiran gdje je sinus 0 (kada x = kp). U ostalim tačkama opada monotono i pravim linijama x = kp – njegove vertikalne asimptote. U tačkama x = p/2 +kp kotangens postaje 0, a nagib u ovim tačkama je jednak –1 (slika 13).
Paritet i periodičnost.
Funkcija se poziva čak i ako f(–x) = f(x). Funkcije kosinusa i sekansa su parne, a funkcije sinusa, tangenta, kotangensa i kosekansa su neparne:
| sin (–α) = – sin α | tan (–α) = – tan α |
| cos (–α) = cos α | ctg (–α) = – ctg α |
| sek (–α) = sek α | cosec (–α) = – cosec α |
Svojstva parnosti proizlaze iz simetrije tačaka P a i R-a (Sl. 14) u odnosu na osu X. Sa takvom simetrijom, ordinata tačke mijenja predznak (( X;at) ide u ( X; –u)). Sve funkcije - periodična, sinusna, kosinusna, sekantna i kosekantna imaju period od 2 str, i tangenta i kotangensa - str:
| greh (α + 2 kπ) = sin α | cos(α+2 kπ) = cos α |
| tg(α+ kπ) = tan α | krevetac (α+ kπ) = cotg α |
| sek (α + 2 kπ) = sec α | cosec(α+2 kπ) = cosec α |
Periodičnost sinusa i kosinusa proizlazi iz činjenice da su sve tačke P a+2 kp, Gdje k= 0, ±1, ±2,…, poklapaju se, a periodičnost tangente i kotangensa je zbog činjenice da su tačke P a+ kp naizmjenično padaju u dvije dijametralno suprotne tačke kruga, dajući istu tačku na tangentnoj osi.
Glavna svojstva trigonometrijskih funkcija mogu se sažeti u tablicu:
| Funkcija | Domain | Višestruka značenja | Paritet | Područja monotonije ( k= 0, ± 1, ± 2,…) |
| grijeh x | –Ґ x Ґ | [–1, +1] | odd | povećava sa x O((4 k – 1) str /2, (4k + 1) str/2), opada na x O((4 k + 1) str /2, (4k + 3) str/2) |
| cos x | –Ґ x Ґ | [–1, +1] | čak | Povećava se sa x O((2 k – 1) str, 2kp), smanjuje se na x O(2 kp, (2k + 1) str) |
| tg x | x № str/2 + p k | (–Ґ , +Ґ ) | odd | povećava sa x O((2 k – 1) str /2, (2k + 1) str /2) |
| ctg x | x № p k | (–Ґ , +Ґ ) | odd | smanjuje se na x O ( kp, (k + 1) str) |
| sec x | x № str/2 + p k | (–Ґ , –1] I [+1, +Ґ ) | čak | Povećava se sa x O(2 kp, (2k + 1) str), smanjuje se na x O((2 k– 1) p , 2 kp) |
| cosec x | x № p k | (–Ґ , –1] I [+1, +Ґ ) | odd | povećava sa x O((4 k + 1) str /2, (4k + 3) str/2), opada na x O((4 k – 1) str /2, (4k + 1) str /2) |
Formule redukcije.
Prema ovim formulama, vrijednost trigonometrijske funkcije argumenta a, gdje str/2 a p , može se svesti na vrijednost argument funkcije a , gdje je 0 a p /2, bilo isto ili komplementarno s njom.
| Argument b |  -a |
+a | str-a | str+a | +a | +a | 2str-a |
| grijeh b | cos a | cos a | sin a | –sin a | –cos a | –cos a | –sin a |
| cos b | sin a | –sin a | –cos a | –cos a | –sin a | sin a | cos a |
Stoga su u tablicama trigonometrijskih funkcija vrijednosti date samo za oštre kutove, a dovoljno je da se ograničimo, na primjer, na sinus i tangent. U tabeli su prikazane samo najčešće korištene formule za sinus i kosinus. Iz njih je lako dobiti formule za tangente i kotangense. Prilikom izvođenja funkcije iz argumenta forme kp/2 ± a, gdje k– cijeli broj, na funkciju argumenta a:
1) ime funkcije je sačuvano ako kčak i mijenja se u "komplementarno" if k odd;
2) znak na desnoj strani poklapa se sa predznakom reducibilne funkcije u tački kp/2 ± a ako je ugao a oštar.
Na primjer, kada bacate ctg (a – str/2) vodimo računa da a – str/2 na 0 a p /2 leži u četvrtom kvadrantu, gdje je kotangens negativan, a prema pravilu 1 mijenjamo naziv funkcije: ctg (a – str/2) = –tg a .
Formule sabiranja.
Formule za više uglova.
Ove formule su izvedene direktno iz formula za dodavanje:
sin 2a = 2 sin a cos a ;
cos 2a = cos 2 a – sin 2 a = 2 cos 2 a – 1 = 1 – 2 sin 2 a ;
sin 3a = 3 sin a – 4 sin 3 a;
cos 3a = 4 cos 3 a – 3 cos a ;
Formulu za cos 3a koristio je François Viète prilikom rješavanja kubne jednadžbe. On je prvi pronašao izraze za cos n a i grijeh n a, koji su kasnije na jednostavniji način dobijeni iz Moivreove formule.
Ako zamijenite a sa /2 u formulama dvostrukog argumenta, one se mogu pretvoriti u formule za pola ugla:
Univerzalne supstitucijske formule.
Koristeći ove formule, izraz koji uključuje različite trigonometrijske funkcije istog argumenta može se prepisati kao racionalni izraz jedne funkcije tg (a /2), što može biti korisno pri rješavanju nekih jednadžbi:
 |
|
 |
 |
Formule za pretvaranje suma u proizvode i proizvoda u zbrojeve.
Prije pojave kompjutera, ove formule su korištene za pojednostavljenje proračuna. Proračuni su rađeni pomoću logaritamskih tablica, a kasnije - kliznog ravnala, jer logaritmi su najpogodniji za množenje brojeva, pa su svi originalni izrazi dovedeni u oblik pogodan za logaritmizaciju, tj. da radi, na primjer:
2 sin a sin b = cos ( a–b) – cos ( a+b);
2cos a cos b=cos( a–b) + cos ( a+b);
2 sin a cos b= grijeh ( a–b) + sin ( a+b).
Formule za tangentne i kotangensne funkcije mogu se dobiti iz gore navedenog.
Formule za smanjenje stepena.
Iz formula višestrukih argumenata izvedene su sljedeće formule:
| sin 2 a = (1 – cos 2a)/2; | cos 2 a = (1 + cos 2a )/2; |
| sin 3 a = (3 sin a – sin 3a)/4; | cos 3 a = (3 cos a + cos 3 a )/4. |
Koristeći ove formule, trigonometrijske jednačine se mogu svesti na jednačine nižih stupnjeva. Na isti način možemo izvesti formule redukcije za veće snage sinusa i kosinusa.
| Derivati i integrali trigonometrijskih funkcija | |
| (grijeh x)` = cos x; | (cos x)` = –sin x; |
| (tg x)` = ; | (ctg x)` = – ; |
| t sin x dx= –cos x + C; | t cos x dx= grijeh x + C; |
| t tg x dx= –ln|cos x| + C; | t ctg x dx = U|grijehu x| + C; |
Svaka trigonometrijska funkcija u svakoj tački svoje domene definicije je kontinuirana i beskonačno diferencibilna. Štaviše, derivati trigonometrijskih funkcija su trigonometrijske funkcije, a kada se integrišu, dobijaju se i trigonometrijske funkcije ili njihovi logaritmi. Integrali racionalnih kombinacija trigonometrijskih funkcija su uvijek elementarne funkcije.
Predstavljanje trigonometrijskih funkcija u obliku stepena niza i beskonačnih proizvoda.
Sve trigonometrijske funkcije mogu se proširiti u nizove stepena. U ovom slučaju, funkcije sin x bcos x prikazani su u redovima. konvergentan za sve vrednosti x:
Ove serije se mogu koristiti za dobijanje približnih izraza za sin x i cos x pri malim vrijednostima x:
kod | x| p/2;
na 0 x| str
(B n – Bernulijevi brojevi).
funkcije grijeha x i cos x može se predstaviti u obliku beskonačnih proizvoda:
Trigonometrijski sistem 1, cos x,sin x, cos 2 x, grijeh 2 x,¼,cos nx,sin nx, ¼, oblici na segmentu [– str, str] ortogonalni sistem funkcija, koji omogućava predstavljanje funkcija u obliku trigonometrijskih nizova.
definirani su kao analitički nastavci odgovarajućih trigonometrijskih funkcija realnog argumenta u kompleksnu ravan. Da, greh z i cos z može se definirati korištenjem niza za sin x i cos x, ako umjesto toga x staviti z:
Ovi nizovi se konvergiraju preko cijele ravni, pa grijeh z i cos z- cjelokupne funkcije.
Tangenta i kotangens se određuju formulama:
tg funkcije z i ctg z– meromorfne funkcije. tg poles z i sec z– jednostavna (1. reda) i nalazi se na tačkama z = p/2 + pn, poles ctg z i cosec z– također jednostavan i smješten na tačkama z = p n, n = 0, ±1, ±2,…
Sve formule koje vrijede za trigonometrijske funkcije realnog argumenta vrijede i za složeni argument. posebno,
grijeh(- z) = –sin z,
cos(- z) = cos z,
tg(- z) = –tg z,
ctg(- z) = –ctg z,
one. parni i neparni paritet su očuvani. Formule se također čuvaju
grijeh( z + 2str) = grijeh z, (z + 2str) = cos z, (z + str) = tg z, (z + str) = ctg z,
one. periodičnost je takođe očuvana, a periodi su isti kao i za funkcije realnog argumenta.
Trigonometrijske funkcije se mogu izraziti u terminima eksponencijalne funkcije čisto imaginarnog argumenta:
nazad, e iz izraženo u terminima cos z i grijeh z prema formuli:
e iz=cos z + i grijeh z
Ove formule se nazivaju Eulerove formule. Leonhard Euler ih je razvio 1743.
Trigonometrijske funkcije se također mogu izraziti u terminima hiperboličkih funkcija:
z = –i sh iz, cos z = ch iz, z = –i th iz.
gdje su sh, ch i th hiperbolički sinus, kosinus i tangent.
Trigonometrijske funkcije kompleksnog argumenta z = x + iy, Gdje x I y– realni brojevi, mogu se izraziti kroz trigonometrijske i hiperboličke funkcije realnih argumenata, na primjer:
grijeh( x + iy) = grijeh x ch y + i cos x sh y;
cos( x + iy) = cos x ch y + i grijeh x sh y.
Sinus i kosinus kompleksnog argumenta mogu uzeti realne vrijednosti veće od 1 u apsolutnoj vrijednosti. Na primjer:
Ako nepoznati ugao ulazi u jednačinu kao argument trigonometrijskih funkcija, tada se jednačina naziva trigonometrijska. Takve jednačine su toliko uobičajene da su njihove metode rješenja su vrlo detaljna i pažljivo osmišljena. WITH Koristeći različite tehnike i formule, trigonometrijske jednadžbe se svode na jednačine oblika f(x)= a, Gdje f– bilo koja od najjednostavnijih trigonometrijskih funkcija: sinus, kosinus, tangent ili kotangens. Zatim izrazi argument x ovu funkciju kroz njenu poznatu vrijednost A.
Pošto su trigonometrijske funkcije periodične, to je isto A iz raspona vrijednosti postoji beskonačno mnogo vrijednosti argumenta, a rješenja jednadžbe se ne mogu napisati kao jedna funkcija A. Stoga se u domenu definicije svake od glavnih trigonometrijskih funkcija odabire dio u kojem uzima sve svoje vrijednosti, svaka samo jednom, a funkcija inverzna njoj nalazi se u ovom dijelu. Takve funkcije se označavaju dodavanjem prefiksnog luka (luka) imenu originalne funkcije, a nazivaju se inverzno trigonometrijskim funkcije ili jednostavno lučne funkcije.
Inverzne trigonometrijske funkcije.
Za grijeh X, cos X, tg X i ctg X mogu se definirati inverzne funkcije. Shodno tome, označeni su arcsin X(čitaj "arcsine" x"), arcos x, arktan x i arcctg x. Po definiciji, arcsin X postoji takav broj y,Šta
grijeh at = X.
Slično za druge inverzne trigonometrijske funkcije. Ali ova definicija pati od neke nepreciznosti.
Ako odražavate grijeh X, cos X, tg X i ctg X u odnosu na simetralu prvog i trećeg kvadranta koordinatne ravni, tada funkcije, zbog svoje periodičnosti, postaju dvosmislene: beskonačan broj uglova odgovara istom sinusu (kosinus, tangent, kotangens).
Da biste se riješili dvosmislenosti, dio krivulje širine od str, u ovom slučaju je neophodno da se održava korespondencija jedan-na-jedan između argumenta i vrijednosti funkcije. Odabrane su oblasti u blizini ishodišta koordinata. Za sinusni in Kao "jedan-na-jedan interval" uzimamo segment [- str/2, str/2], na kojoj se sinus monotono povećava od –1 do 1, za kosinus – segment, za tangentu i kotangens intervali (– str/2, str/2) i (0, str). Svaka kriva na intervalu se reflektuje u odnosu na simetralu i sada se mogu odrediti inverzne trigonometrijske funkcije. Na primjer, neka je data vrijednost argumenta x 0 , tako da je 0 J x 0 Ј 1. Zatim vrijednost funkcije y 0 = arcsin x 0 postojaće samo jedno značenje at 0 , takav da - str/2 J at 0 Ј str/2 i x 0 = grijeh y 0 .
Dakle, arcsin je funkcija arcsina A, definisan na intervalu [–1, 1] i jednak za svaki A do takve vrijednosti, - str/2 a p /2 da je sin a = A. Vrlo je zgodno predstaviti ga pomoću jediničnog kruga (slika 15). Kada | a| 1 na kružnici postoje dvije tačke sa ordinatom a, simetrično oko ose u. Jedan od njih odgovara uglu a= arcsin A, a drugi je ugao p - a. WITH uzimajući u obzir periodičnost sinusa, rješavanje jednačine sin x= A je napisano kako slijedi:
x =(–1)n arcsin a + 2p n,
Gdje n= 0, ±1, ±2,...
Ostale jednostavne trigonometrijske jednadžbe mogu se riješiti na isti način:
cos x = a, –1 =a= 1;
x =±arcos a + 2p n,
Gdje P= 0, ±1, ±2,... (Sl. 16);
tg X = a;
x= arktan a + str n,
Gdje n = 0, ±1, ±2,... (Sl. 17);
ctg X= A;
X= arcctg a + str n,
Gdje n = 0, ±1, ±2,... (Sl. 18).
Osnovna svojstva inverznih trigonometrijskih funkcija:
arcsin X(Sl. 19): domen definicije – segment [–1, 1]; raspon – [– str/2, str/2], monotono rastuća funkcija;
arccos X(Sl. 20): domen definicije – segment [–1, 1]; raspon – ; monotono opadajuća funkcija;
arctg X(Sl. 21): domen definicije – svi realni brojevi; raspon vrijednosti – interval (– str/2, str/2); monotono rastuća funkcija; ravno at= –str/2 i y = p /2 – horizontalne asimptote;
arcctg X(Sl. 22): domen definicije – svi realni brojevi; raspon vrijednosti – interval (0, str); monotono opadajuća funkcija; ravno y= 0 i y = p– horizontalne asimptote.
Za bilo koga z = x + iy, Gdje x I y su realni brojevi, primjenjuju se nejednakosti
½| e\e y–e-y| ≤|grijeh z|≤½( e y +e-y),
½| e y–e-y| ≤|cos z|≤½( e y +e -y),
od kojih na y® Ґ slijede asimptotske formule (ujednačeno u odnosu na x)
|sin z| » 1/2 e |y| ,
|cos z| » 1/2 e |y| .
Trigonometrijske funkcije su se prvi put pojavile u vezi s istraživanjima u astronomiji i geometriji. Omjeri segmenata u trokutu i krugu, koji su u suštini trigonometrijske funkcije, nalaze se već u 3. stoljeću. BC e. u radovima matematičara antičke Grčke – Euklid, Arhimed, Apolonije iz Perge i drugi, međutim, ovi odnosi nisu bili samostalan predmet proučavanja, pa nisu proučavali trigonometrijske funkcije kao takve. Prvobitno su se smatrali segmentima i u ovom obliku su ih koristili Aristarh (kraj 4. - 2. polovina 3. veka pne), Hiparh (2. vek pne), Menelaj (1. vek nove ere). ) i Ptolomej (2. vek n.e.) kada rješavanje sfernih trouglova. Ptolomej je sastavio prvu tabelu tetiva za oštre uglove svakih 30" sa tačnošću od 10 –6. Ovo je bila prva tabela sinusa. Kao omjer, funkcija sin a nalazi se već u Aryabhati (kraj 5. stoljeća). Funkcije tg a i ctg a nalaze se kod al-Batanija (2. polovina 9. - ranog 10. veka) i Abul-Vefe (10. vek), koji takođe koristi sec a i cosec a... Aryabhata je već znao formulu ( sin 2 a + cos 2 a) = 1, kao i formule za sin i cos poluugla, uz pomoć kojih sam napravio tabele sinusa za uglove kroz 3°45"; na osnovu poznatih vrijednosti trigonometrijskih funkcija za najjednostavnije argumente. Bhaskara (12. vek) je dao metodu za konstruisanje tabela u terminima 1 koristeći formule za sabiranje. Formule za pretvaranje zbira i razlike trigonometrijskih funkcija različitih argumenata u proizvod izveli su Regiomontanus (15. stoljeće) i J. Napier u vezi s potonjim izumom logaritama (1614). Regiomontan je dao tablicu vrijednosti sinusa u terminima 1". Proširivanje trigonometrijskih funkcija u nizove stepena dobio je I. Newton (1669). Teoriju trigonometrijskih funkcija u njen moderni oblik doveo je L. Euler ( 18. vijek). Posjeduje njihovu definiciju za realne i kompleksne argumente, sada prihvaćenu simboliku, uspostavljajući veze sa eksponencijalnom funkcijom i ortogonalnošću sistema sinusa i kosinusa.