Прямая линия - трендовые значения рентабельности (линейный тренд, построенный по данным фактических значений рентабельности).
Пример 14.6. Построим линейный тренд процентных ставок по кредитам на основе статистических данных, опубликованных в Бюллетене банковской статистики № 4 (47) за 1997 г.
Вторым этапом является поиск значений параметров уравнения. Параметры трендовых моделей определяются с помощью системы нормальных уравнений . В случае применения линейного тренда используют следующую систему уравнений, которую решают способом наименьших квадратов
Пример 14.7. Предполагая наличие циклических колебаний , проведем гармонический анализ динамики отклонений от линейного тренда данных о ставках по кредитам (у, - у,).
Линейный тренд хорошо отражает тенденцию изменений при действии множества разнообразных факторов, изменяющихся различным образом по разным закономерностям. Равнодействующая этих факторов при взаимопогашении особенностей отдельных фак-
При b = 1 имеем линейный тренд, b = 2 - параболический и т.п. Степенная форма - гибкая, пригодная для отображения изменений с разной мерой пропорциональности изменений во времени. Жестким условием является обязательное прохождение через начало координат при t = 0, у = 0. Можно усложнить форму тренда у = а + th или у = а + th, но эти уравнения нельзя логарифмировать, трудно вычислять параметры, и они крайне редко применяются.
Для линейного тренда нормальные уравнения МНК имеют вид
В формуле (9.33) суммирование от = -(л-1) 2до/ = (л- 1) 2 в целом формула (9.33) аналогична формуле для линейного тренда (9.29).
Согласно формуле (9.29) параметры линейного тренда равны а = 1894/11 = 172,2 ц/га 2>Л= 486/110 = 4,418 ц/га. Уравнение линейного тренда имеет вид у = 172,2 + 4,418/, где (= 0 в 1987 г. Это означает, что средний фактический и выравненный уровень, отнесенный к середине периода, т.е. к 1991 г., равен 172 ц с 1 га, а среднегодовой прирост составляет 4,418 ц/га в год.
Поскольку по данным табл. 9.4, уже было установлено, что тренд имеет линейную форму , проводим расчет среднегодового абсолютного прироста , т. е. параметра Ъ уравнения линейного тренда сколь-
Колеблемость умеренная, не сильная. Для сравнения приводим показатели (без расчета) по колебаниям урожайности картофеля, данные таблиц 9.1 и 9.5 - отклонение от линейного тренда s(t) = 14,38 ц с 1 га, v(t) = 8,35%.
Для получения достаточно надежных границ прогноза положения тренда, скажем, с вероятностью 0,9 того, что ошибка будет не более указанной, следует среднюю ошибку умножить на величину /-критерия Стьюдента при указанной вероятности (или значимости 1 - 0,9 = 0,1) и при числе степеней свободы , равном, для линейного тренда, N- 2, т. е. 15. Эта величина равна 1,753. Получаем предельную с данной вероятностью ошибку
Другим приемом измерения корреляции в рядах динамики может служить корреляция между теми из цепных показателей рядов, которые являются константами их трендов. При линейных трендах - это цепные абсолютные приросты . Вычислив их по исходным рядам динамики (axl, ayi), находим коэффициент корреляции между абсолютными изменениями по формуле (9.52) или, что более точно, по формуле (9.51), так как средние изменения не равны нулю в отличие от средних отклонений от трендов. Допустимость данного способа основана на том, что разность между соседними уровнями в основном состоит из колебаний, а доля тренда в них невелика, следовательно, искажение корреляции от тренда очень большое при кумулятивном эффекте на протяжении длительного периода , весьма мало - за каждый год в отдельности. Однако нужно помнить, что это справедливо лишь для рядов с с-показателем, существенно меньшим единицы. В нашем примере для ряда урожайности с-по-казатель равен 0,144, для себестоимости он равен 0,350. Коэффициент корреляции цепных абсолютных изменений составил 0,928, что очень близко к коэффициенту корреляции отклонений от трендов.
В одном из предыдущих примеров мы рассмотрели прогноз по объему производства за два месяца некой компании из Дублина. Были получены оценки на 1997 год, при этом использовался линейный тренд и метод сложения . Прогнозные значения даны в тоннах
Значения k для оценки доверительных интервалов прогноза относительно линейного тренда с вероятностью 0,8
Адаптивное моделирование линейного тренда с помощью экспоненциальных скользящих средних.
Алгоритм вычисления параметров линейного тренда
Вычислить в первом приближении параметры линейного тренда
Определить окончательные значения параметров линейного тренда
ЕМА ошибок могут ухудшить качество прогноза. В этом случае при расчете параметров линейного тренда нужно остановиться на шаге 2 этого алгоритма.
LN - линейный тренд, сезонность не учитывается
Если считать, что изменения цен, вопреки соображениям эффективности на продолжительных отрезках времени, определяются многочисленными и часто нелинейными обратными связями , то на основе теории хаоса можно построить улучшенные модели, описывающие влияние прошлого на настоящее (см. -). Драматические обвалы рынка при отсутствии существенных изменений информации, резкие изменения условий доступа и сроков при пересечении компанией какого-то невидимого порога в кредитной сфере - все это проявления нелинейности. Реальное поведение финансовых рынков , скорее, противоречит правилам обращения линейных трендов, чем подтверждает их.
Метод последовательных разностей заключается в следующем если ряд содержит линейный тренд, тогда исходные данные заменяются первыми разностями
Значения Лу не имеют четко выраженной тенденции, они варьируют вокруг среднего уровня, что означает наличие в ряде динамики линейного тренда (линейной тенденции). Аналогичный вывод можно сделать и по ряду х абсолютные приросты не имеют систематической направленности, они примерно стабильны, а следовательно, ряд характеризуется линейной тенденцией.
Это привело к идее измерения корреляции не самих уровней х, иу а первых разностей Дх, = х, - , 6у, - у, - у,.., (при линейных трендах). В общем случае было признано необходимым коррелировать отклонения от трендов (за вычетом циклической компоненты) Еу -у, - %, Ех = х, - %, (у,% - тренды временных рядов).
На графике рис. 5.3 наглядно видно наличие возрастающей тенденции. Возможно существование линейного тренда.
Параметры линейного тренда можно интерпретировать так а - начальный уровень временного ряда в момент времени t = 0 b - средний за период абсолютный прирост уровней ряда. Применительно к данному временному ряду можно сказать, что темпы роста номинальной месячной заработной платы за 10 месяцев 1999 г. изменялись от уровня 82,66% со средним за месяц абсолютным приростом , равным 4,72 проц. пункта. Расчетные по линейному тренду значения уровней временного ряда определяются двумя способами. Во-первых, можно последовательно подставлять в найденное уравнение тренда значения / = 1, 2,..., л, т.е.
Во-вторых, в соответствии с интерпретацией параметров линейного тренда каждый последующий уровень ряда есть сумма предыдущего уровня и среднего цепного абсолютного прироста, т. е.
Таким образом, начальный уровень ряда в соответствии с уравнением экспоненциального тренда составляет 83,96 (сравните с начальным уровнем 82,66 в линейном тренде), а средний цепной коэффициент роста - 1,046. Следовательно, можно сказать, что
В трех предыдущих заметках описаны регрессионные модели, позволяющие прогнозировать отклик по значениям объясняющих переменных. В настоящей заметке мы покажем, как с помощью этих моделей и других статистических методов анализировать данные, собранные на протяжении последовательных временных интервалов. В соответствии с особенностями каждой компании, упомянутой в сценарии, мы рассмотрим три альтернативных подхода к анализу временных рядов.
Материал будет проиллюстрирован сквозным примером: прогнозирование доходов трех компаний . Представьте себе, что вы работаете аналитиком в крупной финансовой компании. Чтобы оценить инвестиционные перспективы своих клиентов, вам необходимо предсказать доходы трех компаний. Для этого вы собрали данные о трех интересующих вас компаниях - Eastman Kodak, Cabot Corporation и Wal-Mart. Поскольку компании различаются по виду деловой активности, каждый временной ряд обладает своими уникальными особенностями. Следовательно, для прогнозирования необходимо применять разные модели. Как выбрать наилучшую модель прогнозирования для каждой компании? Как оценить инвестиционные перспективы на основе результатов прогнозирования?
Обсуждение начинается с анализа ежегодных данных. Демонстрируются два метода сглаживания таких данных: скользящее среднее и экспоненциальное сглаживание. Затем демонстрируется процедура вычисления тренда с помощью метода наименьших квадратов и более сложные методы прогнозирования. В заключение, эти модели распространяются на временные ряды, построенные на основе ежемесячных или ежеквартальных данных.
Скачать заметку в формате или , примеры в формате
Прогнозирование в бизнесе
Поскольку экономические условия с течением времени изменяются, менеджеры должны прогнозировать влияние, которое эти изменения окажут на их компанию. Одним из методов, позволяющих обеспечить точное планирование, является прогнозирование. Несмотря на большое количество разработанных методов, все они преследуют одну и ту же цель - предсказать события, которые произойдут в будущем, чтобы учесть их при разработке планов и стратегии развития компании.
Современное общество постоянно испытывает необходимость в прогнозировании. Например, чтобы выработать правильную политику, члены правительства должны прогнозировать уровни безработицы, инфляции, промышленного производства, подоходного налога отдельных лиц и корпораций. Чтобы определить потребности в оборудовании и персонале, директора авиакомпаний должны правильно предсказать объем авиаперевозок. Для того чтобы создать достаточное количество мест в общежитии, администраторы колледжей или университетов хотят знать, сколько студентов поступят в их учебное заведение в следующем году.
Существуют два общепринятых подхода к прогнозированию: качественный и количественный. Методы качественного прогнозирования особенно важны, если исследователю недоступны количественные данные. Как правило, эти методы носят весьма субъективный характер. Если статистику доступны данные об истории объекта исследования, следует применять методы количественного прогнозирования. Эти методы позволяют предсказать состояние объекта в будущем на основе данных о его прошлом. Методы количественного прогнозирования разделяются на две категории: анализ временных рядов и методы анализа причинно-следственных зависимостей.
Временной ряд - это набор числовых данных, полученных в течение последовательных периодов времени. Метод анализа временных рядов позволяет предсказать значение числовой переменной на основе ее прошлых и настоящих значений. Например, ежедневные котировки акций на Нью-Йоркской фондовой бирже образуют временной ряд. Другим примером временного ряда являются ежемесячные значения индекса потребительских цен, ежеквартальные величины валового внутреннего продукта и ежегодные доходы от продаж какой-нибудь компании.
Методы анализа причинно-следственных зависимостей позволяют определить, какие факторы влияют на значения прогнозируемой переменной. К ним относятся методы множественного регрессионного анализа с запаздывающими переменными, эконометрическое моделирование, анализ лидирующих индикаторов, методы анализа диффузионных индексов и других экономических показателей. Мы расскажем лишь о методах прогнозирования на основе анализа временны х рядов.
Компоненты классической мультипликативной модели временны х рядов
Основное предположение, лежащее в основе анализа временных рядов, состоит в следующем: факторы, влияющие на исследуемый объект в настоящем и прошлом, будут влиять на него и в будущем. Таким образом, основные цели анализа временных рядов заключаются в идентификации и выделении факторов, имеющих значение для прогнозирования. Чтобы достичь этой цели, были разработаны многие математические модели, предназначенные для исследования колебаний компонентов, входящих в модель временного ряда. Вероятно, наиболее распространенной является классическая мультипликативная модель для ежегодных, ежеквартальных и ежемесячных данных. Для демонстрации классической мультипликативной модели временных рядов рассмотрим данные о фактических доходах компании Wm.Wrigley Jr. Company за период с 1982 по 2001 годы (рис. 1).
Рис. 1. График фактического валового дохода компании Wm.Wrigley Jr. Company (млн. долл. в текущих ценах) за период с 1982 по 2001 годы
Как видим, на протяжении 20 лет фактический валовой доход компании имел возрастающую тенденцию. Эта долговременная тенденция называется трендом. Тренд - не единственный компонент временного ряда. Кроме него, данные имеют циклический и нерегулярный компоненты. Циклический компонент описывает колебание данных вверх и вниз, часто коррелируя с циклами деловой активности. Его длина изменяется в интервале от 2 до 10 лет. Интенсивность, или амплитуда, циклического компонента также не постоянна. В некоторые годы данные могут быть выше значения, предсказанного трендом (т.е. находиться в окрестности пика цикла), а в другие годы - ниже (т.е. быть на дне цикла). Любые наблюдаемые данные, не лежащие на кривой тренда и не подчиняющиеся циклической зависимости, называются иррегулярными или случайными компонентами . Если данные записываются ежедневно или ежеквартально, возникает дополнительный компонент, называемый сезонным . Все компоненты временных рядов, характерных для экономических приложений, приведены на рис. 2.
Рис. 2. Факторы, влияющие на временные ряды
Классическая мультипликативная модель временного ряда утверждает, что любое наблюдаемое значение является произведением перечисленных компонентов. Если данные являются ежегодными, наблюдение Y i , соответствующее i -му году, выражается уравнением:
(1) Y i = T i * C i * I i
где T i - значение тренда, C i i -ом году, I i i -ом году.
Если данные измеряются ежемесячно или ежеквартально, наблюдение Y i , соответствующее i-му периоду, выражается уравнением:
(2) Y i = T i *S i *C i *I i
где T i - значение тренда, S i - значение сезонного компонента в i -ом периоде, C i - значение циклического компонента в i -ом периоде, I i - значение случайного компонента в i -ом периоде.
На первом этапе анализа временных рядов строится график данных и выявляется их зависимость от времени. Сначала необходимо выяснить, существует ли долговременное возрастание или убывание данных (т.е. тренд), или временной ряд колеблется вокруг горизонтальной линии. Если тренд отсутствует, то для сглаживания данных можно применить метод скользящих средних или экспоненциального сглаживания.
Сглаживание годовых временных рядов
В сценарии мы упомянули о компании Cabot Corporation. Имея штаб-квартиру в Бостоне, штат Массачусеттс, она специализируется на производстве и продаже химикатов, строительных материалов, продуктов тонкой химии, полупроводников и сжиженного природного газа. Компания имеет 39 заводов в 23 странах. Рыночная стоимость компании составляет около 1,87 млрд. долл. Ее акции котируются на Нью-Йоркской фондовой бирже под аббревиатурой СВТ. Доходы компании за указанный период приведены на рис. 3.
Рис. 3. Доходы компании Cabot Corporation в 1982–2001 годах (млрд. долл.)
Как видим, долговременная тенденция повышения доходов затемнена большим количеством колебаний. Таким образом, визуальный анализ графика не позволяет утверждать, что данные имеют тренд. В таких ситуациях можно применить методы скользящего среднего или экспоненциального сглаживания.
Скользящие средние. Метод скользящих средних весьма субъективен и зависит от длины периода L , выбранного для вычисления средних значений. Для того чтобы исключить циклические колебания, длина периода должна быть целым числом, кратным средней длине цикла. Скользящие средние для выбранного периода, имеющего длину L , образуют последовательность средних значений, вычисленных для последовательностей длины L . Скользящие средние обозначаются символами MA(L) .
Предположим, что мы хотим вычислить пятилетние скользящие средние значения по данным, измеренным в течение n = 11 лет. Поскольку L = 5, пятилетние скользящие средние образуют последовательность средних значений, вычисленных по пяти последовательным значениям временного ряда. Первое из пятилетних скользящих средних значений вычисляется путем суммирования данных о первых пяти годах с последующим делением на пять:
Второе пятилетнее скользящее среднее вычисляется путем суммирования данных о годах со 2-го по 6-й с последующим делением на пять:
Этот процесс продолжается, пока не будет вычислено скользящее среднее для последних пяти лет. Работая с годовыми данными, следует полагать число L (длину периода, выбранного для вычисления скользящих средних) нечетным. В этом случае невозможно вычислить скользящие средние для первых (L – 1)/2 и последних (L – 1)/2 лет. Следовательно, при работе с пятилетними скользящими средними невозможно выполнить вычисления для первых двух и последних двух лет. Год, для которого вычисляется скользящее среднее, должен находиться в середине периода, имеющего длину L . Если n = 11, a L = 5, первое скользящее среднее должно соответствовать третьему году, второе - четвертому, а последнее - девятому. На рис. 4 показаны графики 3- и 7-летних скользящих средних, вычисленные для доходов компании Cabot Corporation за период с 1982 по 2001 годы.
Рис. 4. Графики 3- и 7-летних скользящих средних, вычисленные для доходов компании Cabot Corporation
Обратите внимание на то, что при вычислении трехлетних скользящих средних проигнорированы наблюдаемые значения, соответствующие первому и последнему годам. Аналогично при вычислении семилетних скользящих средних нет результатов для первых и последних трех лет. Кроме того, семилетние скользящие средние намного больше сглаживают временной ряд, чем трехлетние. Это происходит потому, что семилетним скользящим средним соответствует более долгий период. К сожалению, чем больше длина периода, тем меньшее количество скользящих средних можно вычислить и представить на графике. Следовательно, больше семи лет для вычисления скользящих средних выбирать нежелательно, поскольку из начала и конца графика выпадет слишком много точек, что исказит форму временного ряда.
Экспоненциальное сглаживание. Для выявления долговременных тенденций, характеризующих изменения данных, кроме скользящих средних, применяется метод экспоненциального сглаживания. Этот метод позволяет также делать краткосрочные прогнозы (в рамках одного периода), когда наличие долговременных тенденций остается под вопросом. Благодаря этому метод экспоненциального сглаживания обладает значительным преимуществом над методом скользящих средних.
Метод экспоненциального сглаживания получил свое название от последовательности экспоненциально взвешенных скользящих средних. Каждое значение в этой последовательности зависит от всех предыдущих наблюдаемых значений. Еще одно преимущество метода экспоненциального сглаживания над методом скользящего среднего заключается в том, что при использовании последнего некоторые значения отбрасываются. При экспоненциальном сглаживании веса, присвоенные наблюдаемым значениям, убывают со временем, поэтому после выполнения вычислений наиболее часто встречающиеся значения получат наибольший вес, а редкие величины - наименьший. Несмотря на громадное количество вычислений, Excel позволяет реализовать метод экспоненциального сглаживания.
Уравнение, позволяющее сгладить временной ряд в пределах произвольного периода времени i , содержит три члена: текущее наблюдаемое значение Y i , принадлежащее временному ряду, предыдущее экспоненциально сглаженное значение E i –1 и присвоенный вес W .
(3) E 1 = Y 1 E i = WY i + (1 – W)E i–1 , i = 2, 3, 4, …
где E i – значение экспоненциально сглаженного ряда, вычисленное для i -го периода, E i –1 – значение экспоненциально сглаженного ряда, вычисленное для (i – 1)-гo периода, Y i – наблюдаемое значение временного ряда в i -ом периоде, W – субъективный вес, или сглаживающий коэффициент (0 < W < 1).
Выбор сглаживающего коэффициента, или веса, присвоенного членам ряда, является принципиально важным, поскольку он непосредственно влияет на результат. К сожалению, этот выбор до некоторой степени субъективен. Если исследователь хочет просто исключить из временного ряда нежелательные циклические или случайные колебания, следует выбирать небольшие величины W (близкие к нулю). С другой стороны, если временной ряд используется для прогнозирования, необходимо выбрать большой вес W (близкий к единице). В первом случае четко проявляются долговременные тенденции временного ряда. Во втором случае повышается точность краткосрочного прогнозирования (рис. 5).
Рис. 5 Графики экспоненциально сглаженного временного ряда (W=0,50 и W=0,25) для данных о доходах компании Cabot Corporation за период с 1982 по 2001 годы; формулы расчета см. в файле Excel
Экспоненциально сглаженное значение, полученное для i -го временного интервала, можно использовать в качестве оценки предсказанного значения в (i +1)-м интервале:
Для предсказания доходов компании Cabot Corporation в 2002 году на основе экспоненциально сглаженного временного ряда, соответствующего весу W = 0,25, можно использовать сглаженное значение, вычисленное для 2001 года. Из рис. 5 видно, что эта величина равна 1651,0 млн. долл. Когда станут доступными данные о доходах компании в 2002 году, можно применить уравнение (3) и предсказать уровень доходов в 2003 году, используя сглаженное значение доходов в 2002 году:
Пакет анализа Excel способен построить график экспоненциального сглаживания в один клик. Пройдите по меню Данные → Анализ данных и выберите опцию Экспоненциальное сглаживание (рис. 6). В открывшемся окне Экспоненциальное сглаживание задайте параметры. К сожалению, процедура позволяет построить только один сглаженный ряд, поэтому, если вы хотите «поиграть» с параметром W , повторите процедуру.
Рис. 6. Построение графика экспоненциального сглаживания с помощью Пакета анализа
Вычисление трендов с помощью метода наименьших квадратов и прогнозирование
Среди компонентов временного ряда чаще других исследуется тренд. Именно тренд позволяет делать краткосрочные и долгосрочные прогнозы. Для выявления долговременной тенденции изменения временного ряда обычно строят график, на котором наблюдаемые данные (значения зависимой переменной) откладываются на вертикальной оси, а временные интервалы (значения независимой переменной) - на горизонтальной. В этом разделе мы опишем процедуру выявления линейного, квадратичного и экспоненциального тренда с помощью метода наименьших квадратов.
Модель линейного тренда является простейшей моделью, применяемой для прогнозирования: Y i = β 0 + β 1 X i + ε i . Уравнение линейного тренда:
При заданном уровне значимости α нулевая гипотеза отклоняется, если тестовая t -статистика больше верхнего или меньше нижнего критического уровня t -распределения. Иначе говоря, решающее правило формулируется следующим образом: если t > t U или t < t L , нулевая гипотеза Н 0 отклоняется, в противном случае нулевая гипотеза не отклоняется (рис. 14).
Рис. 14. Области отклонения гипотезы для двустороннего критерия значимости параметра авторегрессии А р , имеющего наивысший порядок
Если нулевая гипотеза (А р = 0) не отклоняется, значит, выбранная модель содержит слишком много параметров. Критерий позволяет отбросить старший член модели и оценить авторегрессионную модель порядка р–1 . Эту процедуру следует продолжать до тех пор, пока нулевая гипотеза Н 0 не будет отклонена.
- Выберите порядок р оцениваемой авторегрессионной модели с учетом того, что t -критерий значимости имеет n –2р–1 степеней свободы.
- Сформируйте последовательность переменных р «с запаздыванием» так, чтобы первая переменная запаздывала на один временной интервал, вторая - на два и так далее. Последнее значение должно запаздывать на р временных интервалов (см. рис. 15).
- Примените Пакет анализа Excel для вычисления регрессионной модели, содержащей все р значений временного ряда с запаздыванием.
- Оцените значимость параметра А Р , имеющего наивысший порядок: а) если нулевая гипотеза отклоняется, в авторегрессионную модель можно включать все р параметров; б) если нулевая гипотеза не отклоняется, отбросьте р -ю переменную и повторите п.3 и 4 для новой модели, включающей р–1 параметр. Проверка значимости новой модели основана на t -критерии, количество степеней свободы определяется новым количеством параметров.
- Повторяйте п.3 и 4, пока старший член авторегрессионной модели не станет статистически значимым.
Чтобы продемонстрировать авторегрессионное моделирование, вернемся к анализу временного ряда реальных доходов компании Wm. Wrigley Jr. На рис. 15 показаны данные, необходимые для построения авторегрессионных моделей первого, второго и третьего порядка. Для построения модели третьего порядка необходимы все столбцы этой таблицы. При построении авторегрессионной модели второго порядка последний столбец игнорируется. При построении авторегрессионной модели первого порядка игнорируются два последних столбца. Таким образом, при построении авторегрессионных моделей первого, второго и третьего порядка из 20 переменных исключаются одна, две и три соответственно.
Выбор наиболее точной авторегрессионной модели начинается с модели третьего порядка. Для корректной работы Пакета анализа следует в качестве входного интервала Y указать диапазон В5:В21, а входного интервала для Х – С5:Е21. Данные анализа приведены на рис. 16.
Проверим значимость параметра А 3 , имеющего наивысший порядок. Его оценка а 3 равна –0,006 (ячейка С20 на рис. 16), а стандартная ошибка равна 0,326 (ячейка D20). Для проверки гипотез Н 0: А 3 = 0 и Н 1: А 3 ≠ 0 вычислим t -статистику:
t -критерия с n–2p–1 = 20–2*3–1 = 13 степенями свободы равны: t L =СТЬЮДЕНТ.ОБР(0,025;13) = –2,160; t U =СТЬЮДЕНТ.ОБР(0,975;13) = +2,160. Поскольку –2,160 < t = –0,019 < +2,160 и р = 0,985 > α = 0,05, нулевую гипотезу Н 0 отклонять нельзя. Таким образом, параметр третьего порядка не имеет статистической значимости в авторегрессионной модели и должен быть удален.
Повторим анализ для авторегрессионной модели второго порядка (рис. 17). Оценка параметра, имеющего наивысший порядок, а 2 = –0,205, а ее стандартная ошибка равна 0,276. Для проверки гипотез Н 0: А 2 = 0 и Н 1: А 2 ≠ 0 вычислим t -статистику:
При уровне значимости α = 0,05, критические величины двухстороннего t -критерия с n–2p–1 = 20–2*2–1 = 15 степенями свободы равны: t L =СТЬЮДЕНТ.ОБР(0,025;15) = –2,131; t U =СТЬЮДЕНТ.ОБР(0,975;15) = +2,131. Поскольку –2,131 < t = –0,744 < –2,131 и р = 0,469 > α = 0,05, нулевую гипотезу Н 0 отклонять нельзя. Таким образом, параметр второго порядка не является статистически значимым, и его следует удалить из модели.
Повторим анализ для авторегрессионной модели первого порядка (рис. 18). Оценка параметра, имеющего наивысший порядок, а 1 = 1,024, а ее стандартная ошибка равна 0,039. Для проверки гипотез Н 0: А 1 = 0 и Н 1: А 1 ≠ 0 вычислим t -статистику:
При уровне значимости α = 0,05, критические величины двухстороннего t -критерия с n–2p–1 = 20–2*1–1 = 17 степенями свободы равны: t L =СТЬЮДЕНТ.ОБР(0,025;17) = –2,110; t U =СТЬЮДЕНТ.ОБР(0,975;17) = +2,110. Поскольку –2,110 < t = 26,393 < –2,110 и р = 0,000 < α = 0,05, нулевую гипотезу Н 0 следует отклонить. Таким образом, параметр первого порядка является статистически значимым, и его нельзя удалять из модели. Итак, модель авторегрессии первого порядка лучше других аппроксимирует исходные данные. Используя оценки а 0 = 18,261, а 1 = 1,024 и значение временного ряда за последний год - Y 20 = 1 371,88, можно предсказать величину реальных доходов компании Wm. Wrigley Jr. Company в 2002 г.:
Выбор адекватной модели прогнозирования
Выше были описаны шесть методов прогнозирования значений временного ряда: модели линейного, квадратичного и экспоненциального трендов и авторегрессионные модели первого, второго и третьего порядков. Существует ли оптимальная модель? Какую из шести описанных моделей следует применять для прогнозирования значения временного ряда? Ниже перечислены четыре принципа, которыми необходимо руководствоваться при выборе адекватной модели прогнозирования. Эти принципы основаны на оценках точности моделей. При этом предполагается, что значения временного ряда можно предсказать, изучая его предыдущие значения.
Принципы выбора моделей для прогнозирования:
- Выполните анализ остатков.
- Оцените величину остаточной ошибки с помощью квадратов разностей.
- Оцените величину остаточной ошибки с помощью абсолютных разностей.
- Руководствуйтесь принципом экономии.
Анализ остатков. Напомним, что остатком называется разность между предсказанным и наблюдаемым значением. Построив модель для временного ряда, следует вычислить остатки для каждого из n интервалов. Как показано на рис. 19, панель А, если модель является адекватной, остатки представляют собой случайный компонент временного ряда и, следовательно, распределены нерегулярно. С другой стороны, как показано на остальных панелях, если модель не адекватна, остатки могут иметь систематическую зависимость, не учитывающую либо тренд (панель Б), либо циклический (панель В), либо сезонный компонент (панель Г).
Рис. 19. Анализ остатков
Измерение абсолютной и среднеквадратичной остаточных погрешностей. Если анализ остатков не позволяет определить единственную адекватную модель, можно воспользоваться другими методами, основанными на оценке величины остаточной погрешности. К сожалению, статистики не пришли к консенсусу относительно наилучшей оценки остаточных погрешностей моделей, применяемых для прогнозирования. Исходя из принципа наименьших квадратов, можно сначала провести регрессионный анализ и вычислить стандартную ошибку оценки S XY . При анализе конкретной модели эта величина представляет собой сумму квадратов разностей между фактическим и предсказанным значениями временного ряда. Если модель идеально аппроксимирует значения временного ряда в предыдущие моменты времени, стандартная ошибка оценки равна нулю. С другой стороны, если модель плохо аппроксимирует значения временного ряда в предыдущие моменты времени, стандартная ошибка оценки велика. Таким образом, анализируя адекватность нескольких моделей, можно выбрать модель, имеющую минимальную стандартную ошибку оценки S XY .
Основным недостатком такого подхода является преувеличение ошибок при прогнозировании отдельных значений. Иначе говоря, любая большая разность между величинами Y i и Ŷ i при вычислении суммы квадратов ошибок SSE возводится в квадрат, т.е. увеличивается. По этой причине многие статистики предпочитают применять для оценки адекватности модели прогнозирования среднее абсолютное отклонение (mean absolute deviation - MAD):
При анализе конкретных моделей величина MAD представляет собой среднее значение модулей разностей между фактическим и предсказанными значениями временного ряда. Если модель идеально аппроксимирует значения временного ряда в предыдущие моменты времени, среднее абсолютное отклонение равно нулю. С другой стороны, если модель плохо аппроксимирует такие значения временного ряда, среднее абсолютное отклонение велико. Таким образом, анализируя адекватность нескольких моделей, можно выбрать модель, имеющую минимальное среднее абсолютное отклонение.
Принцип экономии. Если анализ стандартных ошибок оценок и средних абсолютных отклонений не позволяет определить оптимальную модель, можно воспользоваться четвертым методом, основанным на принципе экономии. Этот принцип утверждает, что из нескольких равноправных моделей следует выбирать простейшую.
Среди шести рассмотренных в главе моделей прогнозирования наиболее простыми являются линейная и квадратичная регрессионные модели, а также авторегрессионная модель первого порядка. Остальные модели намного сложнее.
Сравнение четырех методов прогнозирования. Для иллюстрации процесса выбора оптимальной модели вернемся к временному ряду, состоящему из величин реального дохода компании Wm. Wrigley Jr. Company. Сравним четыре модели: линейную, квадратичную, экспоненциальную и авторегрессионную модель первого порядка. (Авторегрессионные модели второго и третьего порядка лишь незначительно улучшают точность прогнозирования значений данного временного ряда, поэтому их можно не рассматривать.) На рис. 20 показаны графики остатков, построенные при анализе четырех методов прогнозирования с помощью Пакета анализа Excel. Делая выводы на основе этих графиков, следует быть осторожным, поскольку временной ряд содержит только 20 точек. Методы построения см. соответствующий лист Excel-файла.
Рис. 20. Графики остатков, построенные при анализе четырех методов прогнозирования с помощью Пакета анализа Excel
Ни одна модель, кроме авторегрессионой модели первого порядка, не учитывает циклический компонент. Именно эта модель лучше других аппроксимирует наблюдения и характеризуется наименее систематической структурой. Итак, анализ остатков всех четырех методов показал, что наилучшей является авторегрессионная модель первого порядка, а линейная, квадратичная и экспоненциальная модели имеют меньшую точность. Чтобы убедиться в этом, сравним величины остаточных погрешностей этих методов (рис. 21). С методикой расчетов можно ознакомиться, открыв Excel-файл. На рис. 21 указаны фактические значения Y i (колонка Реальный доход ), предсказанные значения Ŷ i , а также остатки е i для каждой из четырех моделей. Кроме того, показаны значения S YX и MAD . Для всех четырех моделей величинs S YX и MAD примерно одинаковые. Экспоненциальная модель является относительно худшей, а линейная и квадратичная модели превосходят ее по точности. Как и ожидалось, наименьшие величины S YX и MAD имеет авторегрессионная модель первого порядка.
Рис. 21. Сравнение четырех методов прогнозирования с помощью показателей S YX и MAD
Выбрав конкретную модель прогнозирования, необходимо внимательно следить за дальнейшими изменениями временного ряда. Помимо всего прочего, такая модель создается, чтобы правильно предсказывать значения временного ряда в будущем. К сожалению, такие модели прогнозирования плохо учитывают изменения в структуре временного ряда. Совершенно необходимо сравнивать не только остаточную погрешность, но и точность прогнозирования будущих значений временного ряда, полученную с помощью других моделей. Измерив новую величину Y i в наблюдаемом интервале времени, ее необходимо тотчас же сравнить с предсказанным значением. Если разница слишком велика, модель прогнозирования следует пересмотреть.
Прогнозирование временны х рядов на основе сезонных данных
До сих пор мы изучали временные ряды, состоящие из годовых данных. Однако многие временные ряды состоят из величин, измеряемых ежеквартально, ежемесячно, еженедельно, ежедневно и даже ежечасно. Как показано на рис. 2, если данные измеряются ежемесячно или ежеквартально, следует учитывать сезонный компонент. В этом разделе мы рассмотрим методы, позволяющие прогнозировать значения таких временных рядов.
В сценарии, описанном в начале главы, упоминалась компания Wal-Mart Stores, Inc. Рыночная капитализация компании 229 млрд. долл. Ее акции котируются на Нью-Йоркской фондовой бирже под аббревиатурой WMT. Финансовый год компании заканчивается 31 января, поэтому в четвертый квартал 2002 года включаются ноябрь и декабрь 2001 года, а также январь 2002 года. Временной ряд квартальных доходов компании приведен на рис. 22.
Рис. 22. Квартальные доходы компании Wal-Mart Stores, Inc. (млн. долл.)
Для таких квартальных рядов, как этот, классическая мультипликативная модель, кроме тренда, циклического и случайного компонента, содержит сезонный компонент: Y i = T i * S i * C i * I i
Прогнозирование месячных и временны х рядов с помощью метода наименьших квадратов. Регрессионная модель, включающая сезонный компонент, основана на комбинированном подходе. Для вычисления тренда применяется метод наименьших квадратов, описанный ранее, а для учета сезонного компонента - категорийная переменная (подробнее см. раздел Регрессионные модели с фиктивной переменной и эффекты взаимодействия ). Для аппроксимации временных рядов с учетом сезонных компонентов используется экспоненциальная модель. В модели, аппроксимирующей квартальный временной ряд, для учета четырех кварталов нам понадобились три фиктивные переменные Q 1 , Q 2 и Q 3 , а в модели для месячного временного ряда 12 месяцев представляются с помощью 11 фиктивных переменных. Поскольку в этих моделях в качестве отклика используется переменная logY i , а не Y i , для вычисления настоящих регрессионных коэффициентов необходимо выполнить обратное преобразование.
Чтобы проиллюстрировать процесс построения модели, аппроксимирующей квартальный временной ряд, вернемся к доходам компании Wal-Mart. Параметры экспоненциальной модели, полученные с помощью Пакета анализа Excel, показаны на рис. 23.
Рис. 23. Регрессионный анализ квартальных доходов компании Wal-Mart Stores, Inc.
Видно, что экспоненциальная модель довольно хорошо аппроксимирует исходные данные. Коэффициент смешанной корреляции r 2 равен 99,4% (ячейки J5), скорректированный коэффициент смешанной корреляции - 99,3% (ячейки J6), тестовая F -статистика - 1 333,51 (ячейки M12), а р -значение равно 0,0000. При уровне значимости α = 0,05, каждый регрессионный коэффициент в классической мультипликативной модели временного ряда является статистически значимым. Применяя к ним операцию потенцирования, получаем следующие параметры:
Коэффициенты 
интерпретируются следующим образом.
Используя регрессионные коэффициенты b i , можно предсказать доход, полученный компанией в конкретном квартале. Например, предскажем доход компании для четвертого квартала 2002 года (X i = 35):
log = b 0 + b 1 Х i = 4,265 + 0,016*35 = 4,825
= 10 4,825 = 66 834
Таким образом, согласно прогнозу в четвертом квартале 2002 года компания должна была получить доход, равный 67 млрд. долл. (вряд ли следует делать прогноз с точностью до миллиона). Для того чтобы распространить прогноз на период времени, находящийся за пределами временного ряда, например, на первый квартал 2003 года (X i = 36, Q 1 = 1), необходимо выполнить следующие вычисления:
logŶ i = b 0 + b 1 Х i + b 2 Q 1 = 4,265 + 0,016*36 – 0,093*1 = 4,748
10 4,748 = 55 976
Индексы
Индексы используются в качестве индикаторов, реагирующих на изменения экономической ситуации или деловой активности. Существуют многочисленные разновидности индексов, в частности, индексы цен, количественные индексы, ценностные индексы и социологические индексы. В данном разделе мы рассмотрим лишь индекс цен. Индекс - величина некоторого экономического показателя (или группы показателей) в конкретный момент времени, выраженный в процентах от его значения в базовый момент времени.
Индекс цен. Простой индекс цен отражает процентное изменение цены товара (или группы товаров) в течение заданного периода времени по сравнению с ценой этого товара (или группы товаров) в конкретный момент времени в прошлом. При вычислении индекса цен прежде всего следует выбрать базовый промежуток времени - интервал времени в прошлом, с которым будут производиться сравнения. При выборе базового промежутка времени для конкретного индекса периоды экономической стабильности являются более предпочтительными по сравнению с периодами экономического подъема или спада. Кроме того, базовый промежуток не должен быть слишком удаленным во времени, чтобы на результаты сравнения не слишком сильно влияли изменения технологии и привычек потребителей. Индекс цен вычисляется по формуле:
где I i - индекс цен в i -м году, Р i - цена в i -м году, Р баз - цена в базовом году.
Индекс цен - процентное изменение цены товара (или группы товаров) в заданный период времени по отношению к цене товара в базовый момент времени. В качестве примера рассмотрим индекс цен на неэтилированный бензин в США в промежутке времени с 1980 по 2002 г. (рис. 24). Например:
Рис. 24. Цена галлона неэтилированного бензина и простой индекс цен в США с 1980 по 2002 г. (базовые годы - 1980 и 1995)
Итак, в 2002 г. цена неэтилированного бензина в США была на 4,8% больше, чем в 1980 г. Анализ рис. 24 показывает, что индекс цен в 1981 и 1982 гг. был больше индекса цен в 1980 г., а затем вплоть до 2000 года не превышал базового уровня. Поскольку в качестве базового периода выбран 1980 г., вероятно, имеет смысл выбрать более близкий год, например, 1995 г. Формула для пересчета индекса по отношению к новому базовому промежутку времени:
где I новый - новый индекс цен, I старый - старый индекс цен, I новая база – значение индекса цен в новом базовом году при расчете для старого базового года.
Предположим, что в качестве новой базы выбран 1995 год. Используя формулу (10), получаем новый индекс цен для 2002 года:
Итак, в 2002 г. неэтилированный бензин в США стоил на 13,9% больше, чем в 1995 г.
Невзвешенные составные индексы цен. Несмотря на то что индекс цен на любой отдельный товар представляет несомненный интерес, более важным является индекс цен на группу товаров, позволяющий оценить стоимость и уровень жизни большого количества потребителей. Невзвешенный составной индекс цен, определенный формулой (11), приписывает каждому отдельному виду товаров одинаковый вес. Составной индекс цен отражает процентное изменение цены группы товаров (часто называемой потребительской корзиной) в заданный период времени по отношению к цене этой группы товаров в базовый момент времени.
где t i - номер товара (1, 2, …, n ), n - количество товаров в рассматриваемой группе, - сумма цен на каждый из n товаров в период времени t , - сумма цен на каждый из n товаров в нулевой период времени, - величина невзвешенного составного индекса в период времени t .
На рис. 25 представлены средние цены на три вида фруктов за период с 1980 по 1999 гг. Для вычисления невзвешенного составного индекса цен в разные годы применяется формула (11), считая базовым 1980 год.
Итак, в 1999 г. суммарная цена фунта яблок, фунта бананов и фунта апельсинов на 59,4% превышала суммарную цену на эти фрукты в 1980 г.
Рис. 25. Цены (в долл.) на три вида фруктов и невзвешенный составной индекс цен
Невзвешенный составной индекс цен выражает изменения цен на всю группу товаров с течением времени. Несмотря на то что этот индекс легко вычислять, у него есть два явных недостатка. Во-первых, при вычислении этого индекса все виды товаров считаются одинаково важными, поэтому дорогие товары приобретают излишнее влияние на индекс. Во-вторых, не все товары потребляются одинаково интенсивно, поэтому изменения цен на мало потребляемые товары слишком сильно влияют на невзвешенный индекс.
Взвешенные составные индексы цен. Из-за недостатков невзвешенных индексов цен более предпочтительными являются взвешенные индексы цен, учитывающие различия цен и уровней потребления товаров, образующих потребительскую корзину. Существуют два типа взвешенных составных индексов цен. Индекс цен Лапейрэ , определенный формулой (12), использует уровни потребления в базовом году. Взвешенный составной индекс цен позволяет учесть уровни потребления товаров, образующих потребительскую корзину, присваивая каждому товару определенный вес.
где t - период времени (0, 1, 2, …), i - номер товара (1, 2, …, n ), n i в нулевой период времени, - значение индекса Лапейрэ в период времени t .
Вычисления индекса Лапейрэ показаны на рис. 26; в качестве базового используется 1980 год.
Рис. 26. Цены (в долл.), количество (потребление в фунтах на душу населения) трех видов фруктов и индекс Лапейрэ
Итак, индекс Лапейрэ в 1999 г. равен 154,2. Это свидетельствует от том, что в 1999 году эти три вида фруктов были на 54,2% дороже, чем в 1980 году. Обратите внимание на то, что этот индекс меньше невзвешенного индекса, равного 159,4, поскольку цены на апельсины - фрукты, потребляемые меньше остальных, - выросли больше, чем цена яблок и бананов. Иначе говоря, поскольку цены на фрукты, потребляемые наиболее интенсивно, выросли меньше, чем цены на апельсины, индекс Лапейрэ меньше невзвешенного составного индекса.
Индекс цен Пааше использует уровни потребления товара в текущем, а не базовом периоде времени. Следовательно, индекс Пааше более точно отражает полную стоимость потребления товаров в заданный момент времени. Однако этот индекс имеет два существенных недостатка. Во-первых, как правило, текущие уровни потребления трудно определить. По этой причине многие популярные индексы используют индекс Лапейрэ, а не индекс Пааше. Во-вторых, если цена некоторого конкретного товара, входящего в потребительскую корзину, резко возрастает, покупатели снижают уровень его потребления по необходимости, а не вследствие изменения вкусов. Индекс Пааше вычисляется по формуле:
где t - период времени (0, 1, 2, …), i - номер товара (1, 2, …, n ), n - количество товаров в рассматриваемой группе, - количество единиц товара i в нулевой период времени, - значение индекса Пааше в период времени t .
Вычисления индекса Пааше показаны на рис. 27; в качестве базового используется 1980 год.
Рис. 27. Цены (в долл.), количество (потребление в фунтах на душу населения) трех видов фруктов и индекс Пааше
Итак, индекс Пааше в 1999 г. равен 147,0. Это свидетельствует от том, что в 1999 году эти три вида фруктов были на 47,0% дороже, чем в 1980 году.
Некоторые популярные индексы цен. В бизнесе и экономике используется несколько индексов цен. Наиболее популярным является индекс потребительских цен (Consumer Index Price - CPI). Официально этот индекс называется CPI-U, чтобы подчеркнуть, что он вычисляется для городов (urban), хотя, как правило, его называют просто CPI. Этот индекс ежемесячно публикуется Бюро статистики труда (U. S. Bureau of Labor Statistics) в качестве основного инструмента для измерения стоимости жизни в США. Индекс потребительских цен является составным и взвешенным по методу Лапейрэ. При его вычислении используются цены 400 наиболее широко потребляемых продуктов, видов одежды, транспортных, медицинских и коммунальных услуг. В данный момент при вычислении этого индекса в качестве базового используется период 1982–1984 гг. (рис. 28). Важной функцией индекса CPI является его использование в качестве дефлятора. Индекс CPI используется для пересчета фактических цен в реальные путем умножения каждой цены на коэффициент 100/CPI. Расчеты показывают, что за последние 30 лет среднегодовые темпы инфляции в США составили 2,9%.
Рис. 28. Динамика Consumer Index Price; полные данные см. Excel-файл
Другим важным индексом цен, публикуемым Бюро статистики труда, является индекс цен производителей (Producer Price Index - PPI). Индекс PPI является взвешенным составным индексом, использующим метод Лапейрэ для оценки изменения цен товаров, продаваемых их производителями. Индекс PPI является лидирующим индикатором для индекса CPI. Иначе говоря, увеличение индекса PPI приводит к увеличению индекса CPI, и наоборот, уменьшение индекса PPI приводит к уменьшению индекса CPI. Финансовые индексы, такие как индекс Доу-Джонса для акций промышленных предприятий (Dow Jones Industrial Average - DJIA), S&P 500 и NASDAQ, используются для оценки изменения стоимости акций в США. Многие индексы позволяют оценить прибыльность международных фондовых рынков. К таким индексам относятся индекс Nikkei в Японии, Dax 30 в Германии и SSE Composite в Китае.
Ловушки, связанные с анализом временны х рядов
Значение методологии, использующей информацию о прошлом и настоящем для того, чтобы прогнозировать будущее, более двухсот лет назад красноречиво описал государственный деятель Патрик Генри: «У меня есть лишь одна лампа, освещающая путь, - мой опыт. Только знание прошлого позволяет судить о будущем».
Анализ временных рядов основан на предположении, что факторы, влиявшие на деловую активность в прошлом и влияющие в настоящем, будут действовать и в будущем. Если это правда, анализ временных рядов представляет собой эффективное средство прогнозирования и управления. Однако критики классических методов, основанных на анализе временных рядов, утверждают, что эти методы слишком наивны и примитивны. Иначе говоря, математическая модель, учитывающая факторы, действовавшие в прошлом, не должна механически экстраполировать тренды в будущее без учета экспертных оценок, опыта деловой активности, изменения технологии, а также привычек и потребностей людей. Пытаясь исправить это положение, в последние годы специалисты по эконометрии разрабатывали сложные компьютерные модели экономической активности, учитывающие перечисленные выше факторы.
Тем не менее, методы анализа временных рядов представляют собой превосходный инструмент прогнозирования (как краткосрочного, так и долгосрочного), если они применяются правильно, в сочетании с другими методами прогнозирования, а также с учетом экспертных оценок и опыта.
Резюме. В заметке с помощью анализа временных рядов разработаны модели для прогнозирования доходов трех компаний: Wm. Wrigley Jr. Company, Cabot Corporation и Wal-Mart. Описаны компоненты временного ряда, а также несколько подходов к прогнозированию годовых временных рядов - метод скользящих средних, метод экспоненциального сглаживания, линейная, квадратичная и экспоненциальная модели, а также авторегрессионная модель. Рассмотрена регрессионная модель, содержащая фиктивные переменные, соответствующие сезонному компоненту. Показано применение метода наименьших квадратов для прогнозирования месячных и квартальных временных рядов (рис. 29).
Р степеней свободы утрачиваются при сравнении значений временного ряда.
Статистические расчеты содержания влаги
контрольная работа
2. Уравнение тренда на основе линейной зависимости.
2.1. Основные элементы временного ряда.
Можно построить эконометрическую модель, используя два типа исходных данных:
Данные, характеризующие совокупность различных объектов в определённый момент времени.
Данные, характеризующие один объект за ряд последовательных моментов времени.
Модели, построенные по данным первого типа, называются пространственными. Модели, построенные на основе второго типа данных, называются временными рядами.
Временной ряд - это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов времени. Каждый уровень временного ряда формируется под воздействием большого числа факторов, которые условно можно подразделить на три группы:
Факторы, формирующие тенденцию ряда.
Факторы, формирующие циклические колебания ряда.
Случайные факторы.
При различных сочетаниях в изучаемом явлении или процессе этих факторов зависимость уровней ряда от времени может принимать различные формы.
Во-первых, большинство временных рядов экономических показателей имеют тенденцию, характеризующую совокупное долговременное воздействие множества факторов на динамику изучаемого показателя. Очевидно, что эти факторы, взятые в отдельности, могут оказывать разнонаправленное воздействие на исследуемый показатель. Однако в совокупности они формируют его возрастающую или убывающую тенденцию. На рис. 1. показан временной ряд, содержащий возрастающую тенденцию.
Во-вторых, изучаемый показатель может быть подвержен циклическим колебаниям. Эти колебания могут носить сезонный характер, поскольку экономическая деятельность ряда отраслей экономики зависит от времени года. При наличии больших массивов данных за длительные промежутки времени можно выявить циклические колебания, связанные с общей динамикой конъюнктуры рынка, а также с фазой бизнес цикла, в которой находится экономика страны. На рис. 2. представлен временной ряд, содержащий только сезонную компоненту.
Некоторые временные ряды не содержат тенденции и циклической компоненты, а каждый следующий их уровень базируется как сумма среднего уровня ряда и некоторой случайной компоненты. Пример ряда, содержащего только случайную компоненту, приведён на рис. 3.
Очевидно, что реальные данные не следуют полностью из каких-либо описанных моделей. Чаще всего они содержат все три компоненты. Каждый их уровень формируется под воздействием тенденции, сезонных колебаний и случайной компоненты.
В большинстве случаев фактический уровень временного ряда можно представить как сумму или произведение трендовой, циклической и случайной компонент. Модель, в которой временной ряд представлен как сумма перечисленных компонент, называется аддитивной моделью. Модель, в которой временной ряд представлен как произведение перечисленных компонент, называется мультипликативной моделью.
2.2. Автокорреляция уровней временного ряда.
При наличии во временном ряде тенденции и циклических колебаний значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущих. Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией. Количественно её можно измерить с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми во времени.
Одна из рабочих формул для расчёта коэффициента корреляции имеет вид:
r xy = (x j - x ) * (y j - y ) .
(x j -x) 2 * (y j -y) 2
В качестве переменной x мы рассмотрим ряд y 2 , y 3 , ... y t ; в качестве переменной y рассмотрим ряд y 1 , y 2 , ... y t -1 . Тогда данная формула примет вид:
r 1 = (y t - y 1 ) * (y t-1 - y 2 ) ; где y 1 = y t ; y 2 = y t-1 .
(y t -y 1) 2 * (y t-1 -y 2) 2 n - 1 n - 1
Эту величину называют коэффициентом автокорреляции уровней ряда первого порядка. Число периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называют лагом. С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается.
Свойства коэффициента автокорреляции:
Во-первых, он строится по аналогии с линейным коэффициентом корреляции и таким образом характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда. Поэтому по коэффициенту автокорреляции можно судить о наличии линейной тенденции.
Во-вторых, по знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда.
Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго, и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости её значений от величины лага называется коррелограммой. Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет определить лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, а, следовательно, и лаг, при котором связь между текущим и предыдущим уровнями ряда наиболее тесная, т.е. при помощи анализа автокорреляционной функции и коррелограммы можно выявить структуру ряда.
Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка t, ряд содержит циклические колебания с периодичностью в t моментов времени. Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, можно сделать вывод: либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний, либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ.
2.3. Моделирование тенденции временного ряда.
Одним из наиболее распространённых способов моделирования тенденции временного ряда является построение аналитической функции, характеризующей зависимость уровней ряда от времени, или тренда. Этот способ называют аналитическим выравниванием временного ряда.
Т.к. зависимость от времени может принимать разные формы, для её формализации можно использовать различные виды функции. Для построения трендов чаще всего применяются следующие функции:
Линейный тренд: y t = a + b*t ;
Гипербола:y t = a + b/t ;
Экспоненциальный тренд: y t = e a + b * t ;
Тренд в форме степенной функции: y t = a*t ;
Парабола: y t = a + b 1 *t + b 2 *t 2 + ... + b k *t k ;
Параметры каждого из этих трендов можно определить методом наименьших квадратов, используя в качестве независимой переменной время t = 1, 2, ... ,n , а в качестве зависимой переменной - фактические уровни временного ряда y t . Для нелинейных трендов предварительно проводят стандартную процедуру их линеаризации.
Существует несколько способов определения типа тенденции. К числу наиболее распространённых способов относятся качественный анализ изучаемого процесса, построение и визуальный анализ графика зависимости уровней ряда от времени, расчёт некоторых основных показателей динамики. В этих же целях можно использовать и коэффициенты автокорреляции уровней ряда. Тип тенденции можно определить путем сравнения коэффициентов автокорреляция первого порядка, рассчитанных по исходным и преобразованным уровням ряда. Если временной ряд имеет линейную тенденцию, то его соседние уровни y t и y t -1 тесно коррелируют. В этом случае коэффициент автокорреляции первого порядка уровней исходного ряда должен быть высоким. Если временной ряд содержит не6линейную тенденцию, например, в форме экспоненты, то коэффициент автокорреляции первого порядка по логарифмам уровней исходного ряда будет выше, чем соответствующий коэффициент, рассчитанный по уровням ряда. Чем сильнее выражена нелинейная тенденция в изучаемом временном ряде, тем в большей степени будут различаться значения указанных коэффициентов.
Выбор наилучшего уравнения в случае, если ряд содержит нелинейную тенденцию, можно осуществить путем перебора основных форм тренда, расчета по каждому уравнению скорректированного коэффициента детерминации R и выбора уравнения тренда с максимальным значением скорректированного коэффициента детерминации.
Высокие значения коэффициентов автокорреляции первого, второго и третьего порядков свидетельствуют о том, что ряд содержит тенденцию. Приблизительно равные значения коэффициентов автокорреляции по уровням этого ряда и по логарифмам уровней позволяют сделать следующий вывод: если ряд содержит нелинейную тенденцию, то она выражена в неявной форме. Поэтому для моделирования его тенденции в равной мере целесообразно использовать и линейную, и нелинейную функции, например степенной или экспоненциальный тренд. Для выявления наилучшего уравнения тренда необходимо определить параметры основных видов трендов.
Наиболее простую экономическую интерпретацию имеют параметры линейного и экспоненциального трендов. Параметры линейного тренда:
a - начальный уровень временного ряда в момент времени t = 0;
b - средний за период абсолютный прирост уровней ряда.
Расчётные по линейному тренду значения уровней временного ряда определяются двумя способами. Во-первых, можно последовательно подставлять в найденное уравнение тренда значения t = 1, 2, ..., n. Во-вторых, в соответствии с интерпретацией параметров линейного тренда каждый последующий уровень ряда есть сумма предыдущего уровня и среднего цепного абсолютного прироста.
Задача №1
Десять человек различного возраста имеют следующие параметры:
1. Определить результативный признак.
Рассчитаем зависимость роста от возраста:
Фактор (X): возраст.
Результативный признак (Y): рост.
a*x + b*x 2 = x*y
10*a + 248*b = 1812
248*a + 6492*b = 45023
a = 1812 - 248*b => 1812 - 248*b *248 + 6492*b = 45023
r = x*y - ( x* y)/n = 45023 - (248*1812)/10 =>
(x 2 - (x) 2 /n)*(y 2 - (y) 2 /n) (6492 - 248 2 /10)*(328444 - 1812 2 /10)
r = 0.44 - прямая умеренная связь
r 2 = 0.19 - рост на 19% зависит от возраста
Тест Фишера:
F cp = r 2 * (n - 2)
F cp = 0.19 * (10 - 2) = 1.78
F табл = 5.32
F cp < F табл =>
Рассчитаем зависимость веса от возраста:
Фактор (X): возраст.
Определим параметры линейной функции с помощью системы уравнений:
a*x + b*x 2 = x*y
10*a + 248*b = 753
248*a + 6492*b = 18856
a = 753 - 248*b => 1812 - 248*b *248 + 6492*b = 18856
r = x*y - ( x* y)/n = 18856 - (248*753)/10 =>
(x 2 - (x) 2 /n)*(y 2 - (y) 2 /n) (6492 - 248 2 /10)*(56967 - 753 2 /10)
r = 0.6 - заметная прямая связь
r 2 = 0.36 - вес на 36% зависит от возраста
Тест Фишера:
F cp = r 2 * (n - 2)
F cp = 0.36 * (10 - 2) = 4.5
F табл = 5.32
F cp < F табл => нулевая гипотеза подтвердилась, уравнение статистически незначимо.
Рассчитаем зависимость веса от роста:
Фактор (X): рост.
Результативный признак (Y): вес.
Определим параметры линейной функции с помощью системы уравнений:
a*x + b*x 2 = x*y
10*a + 1812*b = 753
1812*a + 328444*b = 136562
a = 753 - 1812*b => 753 - 1812*b *1812 + 328444*b = 136562
r = x*y - ( x* y)/n = 136562 - (1812*753)/10 =>
(x 2 - (x) 2 /n)*(y 2 - (y) 2 /n) (328444 - 1812 2 /10)*(56967 - 753 2 /10)
r = 0.69 - заметная прямая связь
r 2 = 0.47 - вес на 47% зависит от роста
x = 1812/10 = 181.2
Тест Фишера:
F cp = r 2 * (n - 2)
F cp = 0.47 * (10 - 2) = 7.1
F табл = 5.32
F cp > F табл => нулевая гипотеза не подтвердилась, уравнение имеет экономический смысл.
Тест Стьюдента:
Рассчитаем случайные ошибки:
.
m a = (y - y x ) 2 * x 2 .
n - 2 n*(x -x) 2
m b = (y - y x ) 2 / (n - 2)
m r = 1 - r 2
m a = 138.19 * 328444 = 72
m b = 138.19 / (10 - 2) = 1
m r = 1 - 0.47 = 0.26
t a = a/m a = 120/72 = 1.67
t b = b/m b = 1.08/1 = 1.08
t r = r/m r = 0.69/0.26 = 2.65
t табл = 2.3
Для расчёта доверительного интервала рассчитаем предельную ошибку:
a = t табл - t a = 2.3 - 1.67 = 0.63
b = t табл - t b = 2.3 - 1.08 = 1.22
r = t табл - t r = 2.3 - 2.65 = -0.35
Рассчитаем доверительные интервалы:
a = a a = -121.03 119.77
b = b b = -0.14 2.3
r = r r = 0.34 1.04
Задача №2
При контрольной выборочной проверке процента влажности почвы фермерских хозяйств региона получены следующие данные:
1. С вероятностью 0.95 и 0.99 установить предел, в котором находится средний процент содержания влаги.
2. Сделать выводы.
Генеральная средняя: x = x = 31.1 = 3.8875
Генеральная дисперсия: 2 = (x - x ) 2 = 1.8875 = 0.1261
n 8 .
Средняя квадратическая стандартная ошибка: x = 2 = 0.1261 = 0.126
Предельная ошибка выборки: x = t* x
Из таблицы значений t-критерия Стьюдента:
Для вероятности 0.95, предельная ошибка выборки:
x = 2.4469*0.126 = 0.308
Для вероятности 0.99, предельная ошибка выборки:
x = 3.7074*0.126 = 0.467
Доверительные интервалы:
Предел среднего процента содержания влаги с вероятностью 0.95:
Верхний центральный показатель некоторой линейной системы
Пусть дана система (2) и - ее решение. Рассмотрим семейство функций, Определение 5 : Функция R (t) называется верхней для системы (2), если она ограничена, измерима и осуществляет оценку, Где - норма матрицы Коши линейной системы...
Дифференциальное исчисление
Исходя из определения производной сформулируем следующее правило нахождения производной функции в точке: Чтобы вычислить производную функции f(x) в точке x0 нужно: 1) Найти f(x) - f(x0); 2) составить разностное отношение; 3) вычислить предел...
Дифференциальное исчисление
Исходя из определения производной...
Инвариантные подгруппы бипримарных групп
В заметке (1) исправлена ошибка, допущенная Бернсайдом в работе (2). А именно в (3) доказано, что группа порядка, где и - различные простые числа и, либо обладает характеристической -подгруппой порядка...
Использование современной компьютерной техники и программного обеспечения для решения прикладной задачи из инженерно-буровой практики
Зная значения коэффициентов а0, а1 и а2 можно найти значений y` по формуле, в нашем случае. Различие между экспериментальными и теоретическими данными невелико. Полученные данные позволяет нам найти зависимость, 5...
Линейная сложность циклотомических последовательностей
Пусть последовательность четвертого порядка, то есть, тогда, согласно лемме 1.1, она формируется по правилу: (2.1) Заметим, что правило (2.1) задает последовательность только тогда, когда...
Математическая модель цифрового устройства игры "Крестики-нолики" с человеком
Игровое поле игры в крестики-нолики может быть представлено в виде сетки, состоящей из строк и столбцов. Каждый элемент сетки может находиться в трех состояниях: пустое (начальное), отмечено крестиком, отмечено ноликом...
Методы отсечения
Среди совокупности п неделимых предметов, каждый i-и (i=1,2,…, п) из которых обладает по i-й характеристике показателем и полезностью найти такой набор, который позволяет максимизировать эффективность использования ресурсов величины...
Приближенное решение алгебраических и трансцендентных уравнений. Метод Ньютона
Информация о предыдущих приближениях корня используется для нахождения последующих приближений не только в методе касательных. В качестве примера другого такого метода мы приведём метод...
Статистические расчеты содержания влаги
Практические задачи: 1. Десять человек различного возраста имеют следующие параметры: Возраст, лет 18 20 21 22 22 24 25 26 31 39 Рост, см 174 183 182 180 178 179 185 185 184 182 Вес, кг 65 73 69 74 77 75 78 84 79 79 1...
23.Расчет параметров линейного тренда.
Основной тенденцией развития (трендом) называется плавное и устойчивое изменение уровня явления во времени, свободное от случайных колебаний.
Задача состоит в том, чтобы выявить общую тенденцию в изменении уровней ряда, освобожденную от действия различных случайных факторов. С этой целью ряды динамики подвергаются обработке методами укрупнения интервалов, скользящей средней и аналитического выравнивания.
*Одним из наиболее простых методов изучения основной тенденции в рядах динамики является укрупнение интервалов. Он основан на укрупнении периодов времени, к которым относятся уровни ряда динамики (одновременно уменьшается количество интервалов). Например, ряд ежесуточного выпуска продукции заменяется рядом месячного выпуска продукции и т.д. Средняя, исчисленная по укрупненным^ интервалам, позволяет выявлять направление и характер (ускорение или замедление роста) основной тенденции развития.
* Выявление основной тенденции может осуществляться также методом скользящи (подвижной) средней. Сущность его заключается в том, что исчисляется средний уровень из определенного числа, обычно нечетного (3, 5, 7 и т.д.), первыхтю счету уровней ряда, затем - из такого же числа уровней, но начиная со второго по счету, далее - начиная с третьего и т.д. Таким образом, средняя как бы «скользит» по ряду динамики, передвигаясь на один срок.
на два члена в начале и конце ряда. Он меньше, чем фактический подвержен колебаниям из-за случайных причин, и четче, в виде некоторой плавной линии на графике, выражает основную тенденцию роста урожайности за изучаемый период, связанную с действием долговременно существующих причин и условий развития.
Недостатком сглаживания ряда является «укорачивание» сглаженного ряда по сравнению с фактическим, а следовательно, потеря информации.
Рассмотренные приемы сглаживания динамических рядов (укрупнение интервалов и метод скользящей средней) дают возможность определить лишь общую тенденцию развития явления, более или менее освобожденную от случайных и волнообразных колебаний. Однако получить обобщенную статистическую модель тренда посредством этих методов нельзя.
*Для того чтобы дать количественную модель, выражающую основную тенденцию изменения уровней динамического ряда во времени, используется аналитическое выравнивание ряда динамики.
где yt - уровни динамического ряда, вычисленные по соответствующему аналитическому уравнению на момент времени t.
Определение теоретических (расчетных) уровней yt производится на основе так называемой адекватной математической модели, которая наилучшим образом отображает (аппроксимирует) основную тенденцию ряда динамики. Выбор типа модели зависит от цели исследования и должен быть основан на теоретическом анализе, выявляющем характер развития явления, а также на графическом изображении ряда динамики (линейной диаграмме).
Например, простейшими моделями (формулами), выражающими тенденцию развития, являются:
линейная функция - прямая yt = a0 + a1t,
где a0,a1 - параметры уравнения; t - время;
показательная функция yt = A0A1t
степенная функция - кривая второго порядка (парабола)
В тех случаях, когда требуется особо точное изучение тенденции развития (например, модели тренда для прогнозирования), при выборе вида адекватной функции можно использовать специальные критерии математической статистики.
Расчет параметров функции обычно производится методом наименьших квадратов, в котором в качестве решения принимается точка минимума суммы квадратов отклонений между теоретическими и эмпиричесими уровнями:
где yt - выравненные (расчетные) уровни; yt - фактические уровни.
Параметры уравнения а,-, удовлетворяющие этому условию, могут быть найдены решением системы нормальных уравнений. На основе найденного уравнения тренда вычисляются выравненные уровни. Таким образом, выравнивание ряда динамики заключается в замене фактических уровней у,- плавно изменяющимися уровнями У(, наилучшим образом аппроксимирующилми статистические данные.
Выравнивание по прямой используется, как правило, в тех случаях, когда абсолютные приросты практически постоянны, т. е. когда уровни изменяются в арифметической прогрессии (или близко к ней).
Выравнивание по показательной функции используется в тех случаях, когда ряд отражает развитие в геометрической прогрессии, т. е. когда цепные коэффициенты роста практически постоянны.
Рассмотрим «технику» выравнивания ряда динамики по прямой: yt=a0+a1t
Параметры а0, а1 согласно методу наименьших квадратов находятся решением следующей системы нормальных уравнений, полученной путем алгебраического преобразования условия
где у - фактические (эмпирические) уровни ряда; t - время (порядковый номеа периода или момента времени).
a 0 n + a 1 ∑t = ∑y
a 0 ∑t + a 1 ∑t 2 = ∑y t
и таблица следующего вида:
| t | y | t 2 | y 2 | t y | y(t) |
| 1 | |||||
| ... | ... | ... | ... | ... | ... |
| N | |||||
| ИТОГО | ∑ | ∑ | ∑ | ∑ | ∑ |
Инструкция . Укажите количество данных (количество строк). Полученное решение сохраняется в файле Word и Excel .
Тенденция временного ряда характеризует совокупность факторов, оказывающих долговременное влияние и формирующих общую динамику изучаемого показателя.
Способ отсчета времени от условного начала
Для определения параметров математической функции при анализе тренда в рядах динамики используется способ отсчета времени от условного начала. Он основан на обозначении в ряду динамики показаний времени таким образом, чтобы ∑t i . При этом в ряду динамики с нечетным числом уровней порядковый номер уровня, находящегося в середине ряда, обозначают через нулевое значение и принимают его за условное начало отсчета времени с интервалом +1 всех последующих уровней и –1 всех предыдущих уровней. Например, при обозначения времени будут: –2, –1, 0, +1, +2 . При четном числе уровней порядковые номера верхней половины ряда (от середины) обозначаются числами: –1, –3, –5 , а нижней половины ряда обозначаются +1, +3, +5 .Пример . Статистическое изучение динамики численности населения.
- С помощью цепных, базисных, средних показателей динамики оцените изменение численности, запишите выводы.
- С помощью метода аналитического выравнивания (по прямой и параболе, определив коэффициенты с помощью МНК) выявите основную тенденцию в развитии явления (численность населения Республики Коми). Оцените качество полученных моделей с помощью ошибок и коэффициентов аппроксимации.
- Определите коэффициенты линейного и параболического трендов с помощью средств «Мастера диаграмм». Дайте точечный и интервальный прогнозы численности на 2010 г. Запишите выводы.
| 1990 | 1996 | 2001 | 2002 | 2003 | 2004 | 2005 | 2006 | 2007 | 2008 |
| 1249 | 1133 | 1043 | 1030 | 1016 | 1005 | 996 | 985 | 975 | 968 |
а) Линейное уравнение тренда имеет вид y = bt + a
1. Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов
. Используем способ отсчета времени от условного начала.
Система уравнений МНК для линейного тренда имеет вид:
a 0 n + a 1 ∑t = ∑y
a 0 ∑t + a 1 ∑t 2 = ∑y t
| t | y | t 2 | y 2 | t y |
| -9 | 1249 | 81 | 1560001 | -11241 |
| -7 | 1133 | 49 | 1283689 | -7931 |
| -5 | 1043 | 25 | 1087849 | -5215 |
| -3 | 1030 | 9 | 1060900 | -3090 |
| -1 | 1016 | 1 | 1032256 | -1016 |
| 1 | 1005 | 1 | 1010025 | 1005 |
| 3 | 996 | 9 | 992016 | 2988 |
| 5 | 985 | 25 | 970225 | 4925 |
| 7 | 975 | 49 | 950625 | 6825 |
| 9 | 968 | 81 | 937024 | 8712 |
| 0 | 10400 | 330 | 10884610 | -4038 |
Для наших данных система уравнений примет вид:
10a 0 + 0a 1 = 10400
0a 0 + 330a 1 = -4038
Из первого уравнения выражаем а 0 и подставим во второе уравнение
Получаем a 0 = -12.236, a 1 = 1040
Уравнение тренда:
y = -12.236 t + 1040
Оценим качество уравнения тренда с помощью ошибки абсолютной аппроксимации.
Ошибка аппроксимации в пределах 5%-7% свидетельствует о хорошем подборе уравнения тренда к исходным данным.
б) выравнивание по параболе
Уравнение тренда имеет вид y = at 2 + bt + c
1. Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов.
Система уравнений МНК:
a 0 n + a 1 ∑t + a 2 ∑t 2 = ∑y
a 0 ∑t + a 1 ∑t 2 + a 2 ∑t 3 = ∑yt
a 0 ∑t 2 + a 1 ∑t 3 + a 2 ∑t 4 = ∑yt 2
| t | y | t 2 | y 2 | t y | t 3 | t 4 | t 2 y |
| -9 | 1249 | 81 | 1560001 | -11241 | -729 | 6561 | 101169 |
| -7 | 1133 | 49 | 1283689 | -7931 | -343 | 2401 | 55517 |
| -5 | 1043 | 25 | 1087849 | -5215 | -125 | 625 | 26075 |
| -3 | 1030 | 9 | 1060900 | -3090 | -27 | 81 | 9270 |
| -1 | 1016 | 1 | 1032256 | -1016 | -1 | 1 | 1016 |
| 1 | 1005 | 1 | 1010025 | 1005 | 1 | 1 | 1005 |
| 3 | 996 | 9 | 992016 | 2988 | 27 | 81 | 8964 |
| 5 | 985 | 25 | 970225 | 4925 | 125 | 625 | 24625 |
| 7 | 975 | 49 | 950625 | 6825 | 343 | 2401 | 47775 |
| 9 | 968 | 81 | 937024 | 8712 | 729 | 6561 | 78408 |
| 0 | 10400 | 330 | 10884610 | -4038 | 0 | 19338 | 353824 |
Для наших данных система уравнений имеет вид
10a 0 + 0a 1 + 330a 2 = 10400
0a 0 + 330a 1 + 0a 2 = -4038
330a 0 + 0a 1 + 19338a 2 = 353824
Получаем a 0 = 1.258, a 1 = -12.236, a 2 = 998.5
Уравнение тренда:
y = 1.258t 2 -12.236t+998.5
Ошибка аппроксимации для параболического уравнения тренда.
Поскольку ошибка меньше 7%, то данное уравнение можно использовать в качестве тренда.
Минимальная ошибка аппроксимации при выравнивании по параболе. К тому же коэффициент детерминации R 2 выше чем при линейной. Следовательно, для прогнозирования необходимо использовать уравнение по параболе.
Интервальный прогноз.
Определим среднеквадратическую ошибку прогнозируемого показателя.
m = 1 - количество влияющих факторов в уравнении тренда.
Uy = y n+L ± K
где
L - период упреждения; у n+L - точечный прогноз по модели на (n + L)-й момент времени; n - количество наблюдений во временном ряду; Sy - стандартная ошибка прогнозируемого показателя; T табл - табличное значение критерия Стьюдента для уровня значимости α и для числа степеней свободы, равного n-2
.
По таблице Стьюдента находим Tтабл
T табл (n-m-1;α/2) = (8;0.025) = 2.306
Точечный прогноз, t = 10: y(10) = 1.26*10 2 -12.24*10 + 998.5 = 1001.89 тыс. чел.
1001.89 - 71.13 = 930.76 ; 1001.89 + 71.13 = 1073.02
Интервальный прогноз:
t = 9+1 = 10: (930.76;1073.02)