Метод трапеций является одним из методов численного интегрирования. Он позволяет вычислять определенные интегралы с заранее заданной степенью точности.

Поставим перед собой следующую задачу: пусть нам требуется приближенно вычислить определенный интеграл , где подынтегральная функцияy=f(x) непрерывна на

отрезке .

Разобьем отрезок на n равных интервалов длины h точками . В этом случае шаг разбиения находим каки узлы определяем из равенства.

Рассмотрим подынтегральную функцию на элементарных отрезках .

Возможны четыре случая (на рисунке показаны простейшие из них, к которым все сводится при бесконечном увеличении n ):

На каждом отрезке заменим функциюy=f(x) отрезком прямой, проходящей через точки с координатами и. Изобразим их на рисунке синими линиями:

В качестве приближенного значения интеграла возьмем выражение, то есть, примем.

Давайте выясним, что означает в геометрическом смысле записанное приближенное равенство. Это позволит понять, почему рассматриваемый метод численного интегрирования называется методом трапеций.

Мы знаем, что площадь трапеции находится как произведение полу суммы оснований на высоту. Следовательно, в первом случае площадь криволинейной трапеции приближенно равна площади трапеции с основаниями и высотойh , в последнем случае определенный интеграл приближенно равен площади трапеции с основаниямии высотойh , взятой со знаком минус. Во втором и третьем случаях приближенное значение определенного интеграла равно разности площадей красной и синей областей, изображенных на рисунке ниже.

Таким образом, мы подошли к сути метода трапеций , которая состоит в представлении определенного интеграла в виде суммы интегралов видана каждом элементарном отрезке и в последующей приближенной замене.

Формула метода трапеций.

В силу пятого свойства определенного интеграла .

Если вместо интегралов подставить их приближенные значения, то получитсяформула метода трапеций :

Оценка абсолютной погрешности метода трапеций.

Абсолютная погрешность метода трапеций оценивается как.

Графическая иллюстрация метода трапеций.

3. Метод Симпсона (парабол)

Это более совершенный способ – график подынтегральной функции приближается не ломаной линией, а маленькими параболками. Сколько промежуточных отрезков – столько и маленьких парабол. Если взять те же три отрезка, то метод Симпсона даст ещё более точное приближение, чем метод прямоугольников или метод трапеций.

Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке и нам требуется вычислить определенный интеграл .

Разобьем отрезок на n элементарных отрезков длиныточками. Пусть точкиявляются серединами отрезковсоответственно. В этом случае все "узлы" определяются из равенства.

Суть метода парабол.

На каждом интервале подынтегральная функция приближается квадратичной параболой, проходящей через точки. Отсюда и название метода - метод парабол.

Это делается для того, чтобы в качестве приближенного значения определенного интеграла взять, который мы можем вычислить по формуле Ньютона-Лейбница. В этом и заключаетсясуть метода парабол .

Геометрически это выглядит так:

Графическая иллюстрация метода парабол (Симпсона).

Красной линией изображен график функции y=f(x) , синей линией показано приближение графика функции y=f(x) квадратичными параболами на каждом элементарном отрезке разбиения.

Вывод формулы метода Симпсона (парабол).

В силу пятого свойства определенного интеграла имеем .

Для получения формулы метода парабол (Симпсона) нам осталось вычислить .

Пусть (мы всегда можем к этому прийти, проведя соответствующее геометрическое преобразования сдвига для любогоi = 1, 2, ..., n ).

Сделаем чертеж.

Покажем, что через точки проходит только одна квадратичная парабола. Другими словами, докажем, что коэффициентыопределяются единственным образом.

5.3 Метод трапеций

Выведем формулу трапеций так же, как и формулу прямоугольников, из геометрических соображений. Заменим график функции y = f(x) (рис.5.1) ломаной линией (рис.5.7), полученной следующим образом. Из точек a = x 0 , x 1 , x 2 ,…, x n = b проведем ординаты до пересечения с кривой y = f(x). Концы ординат соединим прямолинейными отрезками.

Тогда площадь криволинейной трапеции приближенно можно считать равной площади фигуры, составленной из трапеций. Так как площадь трапеции, построенной на отрезке длины h = , равна h , то, пользуясь этой формулой для i = 0, 2, … , n – 1, получим квадратурную формулу трапеций:

I=»I тр =h= (5.7)

Оценка погрешности. Для оценки погрешности формулы трапеций воспользуемся следующей теоремой.

Теорема 5.2. Пусть функция f дважды непрерывно дифференцируема на отрезке . Тогда для формулы трапеций справедлива следующая оценка погрешности:

| I – I тр | £ h 2 , (5.8)

где M 2 = |f "(x)|.

Пример 5.2.

Вычислим значение интеграла по формуле трапеций (5.7) и сравним полученный результат с результатом примера 5.1.

Используя таблицу значений функции eиз примера 5.1 и производя вычисления по формуле трапеций (5.7), получим: I тр = 0.74621079.

Оценим погрешность полученного значения. В примере (5.1) получили оценку: | f "(x)| £ M 2 = 2. Поэтому по формуле (5.8)

I – I тр | £ (0.1) 2 » 1.7× 10 -3 .

Сравнивая результаты примеров 5.1 и 5.2, видим, что метод средних прямоугольников имеет меньшую погрешность, т.е. он более точный.

5.4 Метод Симпсона (метод парабол)

Заменим график функции y = f(x) на отрезке , i = 0, 2, … , n – 1, параболой, проведенной через точки (x i , f(x i)), (x,f(x)), (x i+ 1 , f(x i+ 1)), где x - середина отрезка . Эта парабола есть интерполяционный многочлен второй степени L 2 (x) с узлами x i , x, x i+ 1 . Нетрудно убедиться, что уравнение этой параболы имеет вид:

f(x) + (x – x) + (x - x) 2 , (5.9)

Проинтегрировав функцию (5.9) на отрезке , получим

I i = » = (f(x i) + 4f(x) + f(x i+ 1)). (5.10)

Суммируя выражение (5.10) по i = 0, 1, 2, … , n – 1, получим квадратурную формулу Симпсона (или формулу парабол):

I =» I С = (f(x 0) + f(x n) + 4 + 2). (5.11)

Оценка погрешности. Для оценки погрешности формулы Симпсона воспользуемся следующей теоремой.

Теорема 5.2. Пусть функция f имеет на отрезке непрерывную производную четвертого порядка f (4) (x). Тогда для формулы Симпсона (5.9) справедлива следующая оценка погрешности:

| I – I С | £ h 4 , (5.12)

где M 4 = | f (4) (x)|.

Замечание. Если число элементарных отрезков, на которые делится отрезок , четно, т.е. n = 2m, то параболы можно проводить через узлы с целыми индексами, и вместо элементарного отрезка длины h рассматривать отрезок длины 2h. Тогда формула Симпсона примет вид:

I » (f(x 0) + f(x 2m) + 4 + 2), (5.13)

а вместо оценки (5.10) будет справедлива следующая оценка погрешности:

| I – I С | £ h 4 , (5.14)

Пример 5.3.

Вычислим значение интеграла по формуле Симпсона (5.11) и сравним полученный результат с результатами примеров 5.1 и 5.2.

Используя таблицу значений функции eиз примера 5.1 и производя вычисления по формуле Симпсона (5.11) , получим:

I С = 0.74682418.

Оценим погрешность полученного значения. Вычислим четвертую производную f (4) (x).

f (4) (x) = (16x 4 – 48x 2 + 12) e, | f (4) (x)| £ 12.

| I – I С | £ (0.1) 4 » 0.42 × 10 -6 .

Сравнивая результаты примеров 5.1, 5.2 и 5.3, видим, что метод Симпсона имеет меньшую погрешность, чем метод средних прямоугольников и метод трапеций.

Вычисление интегралов встречается при моделировании дос­таточно часто. Численные методы обычно применяются при взя­тии неберущихся интегралов от достаточно сложных функций, которые предварительно табулируются, или при интегрировании таблично заданных функций, что в экономических приложениях встречается значительно чаще.

Концепция численного интегрирования.

Все численные методы строятся на том, что подынтегральная функция приближенно заменяется более простой (горизонталь­ной или наклонной прямой, параболой 2-го, 3-го или более высо­кого порядка), от которой интеграл легко берется. В результате получаются формулы интегрирования, называемые квадратур­ными, в виде взвешенной суммы ординат подынтегральной функ­ции в отдельных точках:

Чем меньше интервалы, на которых производят замену, тем точнее вычисляется интеграл. Поэтому исходный отрезок [а, b]для повышения точности делят на несколько равных или нерав­ных интервалов, на каждом из которых применяют формулу ин­тегрирования, а затем складывают результаты.

В большинстве случаев погрешность численного интегриро­вания определяется путем двойного интегрирования: с исходным шагом (шаг определяется путем равномерного деления отрезка b-а на число отрезков n\h=(b-a)/n)u c шагом, увеличенным в 2 раза. Разница вычисленных значений интегралов определяет погрешность.

Сравнение эффективности различных методов проводится по степени полинома, который данным методом интегрируется точ­но, без ошибки. Чем выше степень такого полинома, тем выше точность метода, тем он эффективнее.

К простейшим методам можно отнести методы прямоуголь­ников (левых и правых) и трапеций. В первом случае подынте­гральная функция заменяется горизонтальной прямой (у = с0) со значением ординаты, т.е. значения функции соответственно слева или справа участка, во втором случае - наклонной прямой (у =с 1 х + с 0). Формулы интегрирования при разбиении отрезка [а, b] на n частей с равномерным шагом h соответственно приоб­ретают вид:

Для одного участка интегрирования:

для п участков интегрирования:

Нетрудно заметить, что в методе прямоугольников интеграл вычислится абсолютно точно только при f (х ) = с (const), а в мето­де трапеций - при f (x ) линейной или кусочно-линейной.

На рис. 4 для сравнения приведены примеры прямоугольни­ков при различном числе участков. Наглядно видно, что площадь всех прямоугольников на правом рисунке меньше отличается от площади под кривой f(x), чем на левом.

Рис. 4. Иллюстрация метода левых прямоугольников:

а - с 3 участками разбиения отрезка интегрирования [а, b];

б - с 6 участками разбиения отрезка интегрирования [а, b]

Метод прямоугольников не на­ходит практического применения в силу значительных погрешностей, что тоже видно из рис. 4.

На рис. 5 приведен пример вы­числения интеграла методом тра­пеций. По сравнению с методом прямоугольников метод трапеций более точный, так как трапеция точнее заменяет соответствующую криволинейнуютрапецию, чем прямоугольник. Рис 5.

Погрешность R вычисления интеграла методом трапеций при использовании двойного просчета на практике может быть опре­делена из следующего соотношения:

где I n и I п/2 - соответственно значения интеграла при числе раз­биений п и п/2. Существуют и аналитические выражения для определения погрешности, но они требуют знания второй произ­водной подынтегральной функции, поэтому имеют только теоре­тическое значение. С использованием двойного просчета можно организовать автоматический подбор шага интегрирования (т.е. числа разбиений n) для обеспечения заданной погрешности ин­тегрирования (последовательно удваивая шаг и контролируя по­грешность).

Получим методом левых прямоугольников:

Получим методом правых прямоугольников:

Получим методом трапеций:

Численное интегрирование.

Формулы численного интегрирования.

При решении многих задач, встречающихся в геометрии, технике, экономике, приходится вычислять определенные интегралы.

Если для подынтегральной функции f (x ) найдена первообразнаяF (x ) , то интеграл, как известно, можно вычислить по формуле Ньютона-Лейбница:

(1)

Однако на практике часто не бывает возможности использовать формулу (1), например, в следующих случаях:

если первообразная функция F (x ) не выражается в конечном виде через элементарные функции. Это относится, например, к интегралам:

если аналитическое выражение первообразной функции F (x ) является настолько сложным, что применение формулы (1) становится затруднительным;

если аналитическое выражение подынтегральной функции f (x ) неизвестно, а ее значения задаются таблицей или графиком.

Во всех этих случаях возникает необходимость разработки методов, позволяющих вычислить приближенные значения интегралов без применения формулы (1). В настоящее время известно много формул приближенного интегрирования, называемых также квадратурными формулами (формулы вычисления площадей).

Формула прямоугольников. Вывод этой формулы основан на замене определенного интеграла интегральной суммой. Из анализа известно, что

где
- интегральная сумма для функцииf (x ) на отрезке[ a , b ].

ξ – внутренняя точка отрезка[ a , b ].

Если отрезок [ a , b ] разбить наn равных частей:

а=х 0 , х 1 , …, х п = b ,

∆х i = = h .

Число h называетсяшагом квадратурной формулы. При этом условии получаем:

Если взять в качестве точек ξ i левые концы частичных отрезков:

f(ξ i ) = f(х i ) (i = 0, 1, …, n-1),

Обозначим f (х i ) = у i . Заменяя интеграл интегральной суммой, получим приближенное равенство:

, (2)

называемое формулой прямоугольников (с левыми ординатами).

Если взять в качестве точек ξ i правые концы частичных отрезков:

f (ξ i ) = f (х i ) (i = 1, 2,…, n ),

то получим приближенное равенство:

, (3)

называемое формулой прямоугольников (с правыми ординатами).

Геометрический смысл формулы прямоугольников состоит в том, что криволинейная трапеция заменяется ступенчатой фигурой, составленной из прямоугольников. Приближенное значение интеграла равно площади ступенчатой фигуры.

Пример. Вычислим интеграл, разбив интервал интегрирования на 10 равных частей (n = 10 ). Найдем и запишем в таблицу значения подынтегральной функции

у = в точках деления:

i	х i	у i =	i	х i	у i =

По формуле прямоугольников с левыми ординатами получим:

По формуле прямоугольников с правыми ординатами получим:

Значение, полученное по формуле (1):

Мы видим, что формулы прямоугольников дают грубые приближения.

Так как функция у = является убывающей на отрезке , то формула прямоугольников с левыми ординатами позволяет получить приближенное значение интеграла с избытком, формула прямоугольников с правыми ординатами – с недостатком.

Абсолютную погрешность r формул прямоугольников (2) и (3) можно оценить по формуле:

(4)

Идея вывода квадратурных формул трапеций и Симпсона:

подынтегральной функции f ( x ) поставить в соответствие близкую ей функциюg n ( x ) , которую можно проинтегрировать, и приближенно заменить искомый интегралI интегралом от этой функции.

Формула трапеций. Пусть требуется вычислить интеграл

Обозначим a = x 0 , b = x 1 .

В качестве аппроксимирующей функции g ( x ) выберем линейную функцию и произведем замену подынтегральной функцииf (x ) по формуле линейного интерполирования

f (x ) ≈у 0 +t у 0 ,

у 0 =f (x 0 ) ,у 1 =f (x 1 ) , у 0 =у 1 - у 0 .

В этом случае

, (5)

Известно, что t =

Отсюда х=х 0 + th и dx =hdt .

При х = х 0 t = 0;

при х =х 1 t = 1 .

Переходя к новой переменной t , получим:

(6)

так как у 0 =у 1 –у 0

Формула (6) называется формулой трапеций.

Ее геометрический смысл состоит в том, что на отрезке [х 0 ;х 1 ] криваяу =f(х) заменяется отрезком прямой (хордой), т. е. криволинейная трапеция заменяется прямолинейной.

Значение интеграла, вычисленное по формуле (6), будет равно площади трапеции. На рисунке эта площадь заштрихована.

Как показывает вычислительная практика, при недостаточно малой длине отрезка интегрирования точность результатов, полученных с помощью формулы (6), бывает недостаточной.

Для получения более точного результата поступают следующим образом:

Отрезок интегрирования [а; b ] разбивают на п равных частей точками: х 0 = а, х 1 , х 2 ,…,х n = b . И аппроксимируют кусочно-линейной функцией g п (x) . Применяя формулу (6) на каждом из частичных отрезков интегрирования, получают:

(7)

Сложив равенства, получают формулу, называемую обобщенной формулой трапеций:

(8)

где у i =f(х i ) (i = 0, 1, …, n).

Геометрический смысл этой формулы состоит в том, что кривая - график функции у = f (х) - заменяется ломаной, вписанной в кривую АВ . Площадь криволинейной трапеции заменяется суммой площадей прямолинейных трапеций. Как показывает практика, формула (8) при большом числе точек деления позволяет получать хорошие результаты.

Пример 1. Вычислим по формуле трапеций (8) интеграл , разбив отрезок интегрирования на десять равных частей.

Воспользовавшись данными, занесенными в предыдущую таблицу, получим:

Сравнение полученного результата со значением ln2  0,693147 показывает, что погрешность значения интеграла, вычисленного по обобщенной формуле трапеций, значительно меньше погрешности, допущенной при вычислении этого же интеграла по формуле прямоугольников.

Можно показать, что погрешность результатов, получаемых по обобщенной формуле трапеций, подсчитывается по формуле

(9)

где а <  < b ,

а абсолютная погрешность оценивается следующим образом:

(10)

(11)

Формула Симпсона (формула парабол)

Для вычисления интеграла
разобьем отрезок интегрирования на два равных отрезка:

[х 0 , х 1 ] и[х 1 , х 2 ] (х 0 = а, х 2 =b )

и заменим подынтегральную функцию по формуле квадратичного интерполирования

(12)

где t = .

.

Перейдем к новой переменной интегрирования, учитывая, что

х = х 0 + ht , dx = hdt ,

при х=х 0 t =0

при х=х 2 t =2

(13)

Формула (13) называется формулой Симпсона или формулой парабол.

Ее геометрический смысл состоит в следующем: на отрезке [х 0 , х 2 ] кривая у = f (x ) заменяется квадратной параболой - графиком интерполяционного многочлена. При вычислении по формуле (13) значение интеграла будет численно равно значению площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху дугой параболы, проходящей через точки: [ х 0 , f (х 0 )], [ х 1 , f (х 1 )], [ х 2 , f (х 2 )]

На рисунке сплошной линией изображен график функции f (x ) пунктирной - график многочлена Р 2 (х).

Для получения более точного результата достаточно разбить отрезок интегрирования [а; b ] на четное число (2n ) частей и применить формулу (13) для каждой пары смежных отрезков разбиения:

(14)

Суммируя равенства (14), получим обобщенную формулу Симпсона (парабол):

Пример . Вычислим приближенное значение интеграла по формуле Симпсона. Разбив отрезок интегрирования на десять равных частей и используя данные, содержащиеся в таблице, получим:

Итак,
.

Выше показали, что
.

Абсолютная погрешность найденного значения не превосходит 0,000005.

Сравнение приближенных значений интеграла , вычисленных по разным формулам, показывает, что наиболее точное значение было получено по обобщенной формуле Симпсона и наименее точное - по формуле прямоугольников.

Погрешность r обобщенной формулы Симпсона можно вычислить по формуле

(16)

где а < ξ< b.

Для абсолютной погрешности обобщенной формулы Симпсона можно получить следующую оценку:

где
(17)

Сравнение точности квадратурных формул.

Выше были приведены оценки абсолютной погрешности квадратурных формул:

для формул прямоугольников: |r|
;

для обобщенной формулы трапеции: |r|
;

для обобщенной формулы Симпсона: |r|
,

где М i =
|f (i) (x)|.

Сопоставление этих оценок позволяет сделать следующие выводы:

Т.к. производная порядка n+1 от многочлена степениnравна нулю, то получаем точно значение интеграла: по формулетрапеций , если подынтегральная функция линейна,

по формуле парабол , если подынтегральная функция – многочлен не выше третьей степени.

Погрешность вычислений по формулам прямоугольников обратно пропорциональна n; при использовании формулы трапеций – n 2 ; при использовании формулы Симпсона – n 4 .

Так, например, при увеличении числа частичных отрезков в два раза погрешность вычислений по формуле прямоугольников уменьшается примерно в два раза, по формуле трапеций в 4 раза, по формуле Симпсона в 16 раз.

Для иллюстрации сделанных выводов обратимся к сравнению результатов вычисления интеграла

по различным квадратурным формулам. Для оценки погрешностей вычислим производные функции
.

На отрезке все производные являются монотонными функциями. Абсолютная величина каждой из них достигает своего наибольшего значения при x=0, поэтому М 1 =1, М 2 =2, М 4 =24.

Это позволяет получить при вычислении соответствующие оценки погрешностей:

по формуле прямоугольников r≤0,05;

по формуле трапеций r≤ 0,0017;

по формуле Симпсона r≤ 0,000033.

Сравним полученные результаты, полученные по разным квадратурным формулам со значением ln20,6931472:

по формуле прямоугольников 0,71877;

по формуле трапеций 0,69377;

по формуле Симпсона 0,69315

Видно, что оценки погрешности, как и следовало, ожидать, оказались несколько завышенными.

Итак, из рассмотренных квадратурных формул наибольшую точность дает формула Симпсона, наименьшую - формула прямоугольников.

Практические приемы оценки погрешности вычислений по квадратурным формулам.

Практическое применение полученных выше оценок погрешностей квадратурных формул связано с нахождением производных второго или даже четвертого порядка, что приводит к трудоемким вычислениям в тех случаях, когда подынтегральная функция f (х) задается сложным аналитическим выражением. Если же функция f (х) задана таблицей и ее аналитическое выражение неизвестно, то непосредственное использование этих оценок становится невозможным. С такими случаями обычно и приходится иметь дело при решении практических вычислительных задач.

Если таблица, которой задается подынтегральная функция f(х), содержит практически постоянные первые разности, т. е. f(х) ведет себя примерно как многочлен первой степени, то можно воспользоваться формулой трапеций.

Если же таблица функции f (х) содержит практически постоянные вторые или третьи разности, т. е. если f(х) ведет себя примерно как многочлен второй или третьей степени, то целесообразно использовать формулу Симпсона. Это, как уже отмечалось, связано с тем, что вычисление по формуле трапеций позволяет получить точное значение интеграла при условии линейности подынтегральной функции, а формула Симпсона в том случае, если подынтегральная функция является многочленом не выше третьей степени.

При табличном задании функции f (х) приближенное значение погрешности , получаемой при вычислении интеграла по той или иной квадратурной формуле, находится следующим образом:

1. Вычисление интеграла
выполняется два раза с шагамиh и 2h . Полученные значения интеграла обозначаются соответственно S h и S 2 h .

2. Если предположить, что на рассматриваемом отрезке [а; b] вторая производная f "(x ) изменяется медленно, то при вычислении интеграла по формуле трапеций можно воспользоваться следующим приближенным выражением для погрешности:

(18)

3. В качестве исправленного (приближенного) значения интеграла можно взять следующее значение:

(19)

Если предположить, что на рассматриваемом отрезке [а; b] четвертая производная f (4) (х) изменяется медленно, то при вычислении интеграла по формуле Симпсона можно считать, что погрешность приближенно равна

(20)

В качестве исправленного (приближенного) значения интеграла в этом случае можно взять:

(21)

В вычислительной практике часто пользуются также следующим правилом подсчета верных знаков в полученном результате: считают практически верными все совпадающие цифры значений S h иS 2 h .

Приближенное вычисление площадей плоских фигур

Пусть плоская фигура Р ограничена замкнутым контуром С. Выберем систему координат таким образом, чтобы рассматриваемая фигура лежала в пером квадранте. Будем предполагать, что любая прямая, параллельная осиОу, пересекает контур С не более, чем в двух точках. Спроецируем фигуру Р на осьОх ; в проекции получится отрезок[ a ; b ] .

Пусть А – точка фигуры с абсциссой х = а , В – точка фигуры с абсциссойх = b . Точки А и В разбивают контур С на две кривые верхнюю и нижнюю с уравнениями соответственноy = f (x ) иy = g (x ), гдеf (x ), g (x ) – непрерывные на отрезке[ a ; b ] функции. Обозначим черезР площадь фигуры Р. ПлощадьР будет равна разности площадей двух криволинейных трапеций:

аАтВ b иaAhBb ,

т.е. численно равна разности двух интегралов:

Приближенные значения этих интегралов могут быть вычислены по любой из квадратурных формул.

Разобьем отрезок [а; b ] наn равных частей

[х 0 , х 1 ] , [х 1 , х 2 ], …,[ х п-1 ; х п ]

(а=х 0 , х 1 , …, х п = b ).

Значения подынтегральной функции y = f (x ) - g (x ) будут вычисляться в узлах квадратурной формулы по соотношениям:

y i = f(x i ) - g(x i ) (i = 0, 1, …, п ) .

Очевидно, что

y 0 = f (x 0 ) - g (x 0 ) = 0 и y n = f (x n ) - g (x n ) = 0

Значения y i – длины отрезков ординат в узловых точках, заключенных внутри фигуры Р. Если аналитические выражения функцийf (x ) иg (x ) неизвестны, тоy i можно измерить, пользуясь чертежом.

Общие формулы Ньютона-Котеса

Пусть требуется вычислить определенный интеграл

I =
,

если на отрезке [а; b ] функция задана таблицей спостоянным шагомh :

x i	x 0	x 1	x 2		x n
y i	y 0	y 1	y 2		y n

Подынтегральную функцию заменим первым интерполяционным многочленом Ньютона и получим:

f (x ) = P n (x ) + R n (x ) (22)

где R n (x ) – остаточный член интерполирования. Интегрируя равенство (22), получим:

отбрасывая второе слагаемое в правой части, получим приближенное равенство

, (23)

погрешность которого определяется формулой:

. (24)

Равенство (23) называют квадратурными формулами Ньютона-Котеса. Из формулы (23) прип=1 получается формула трапеций, а прип =2 – формула Симпсона.

Вычисление интегралов простейшим методом Монте-Карло

Каким образом с помощью кучи камней измерить площадь пруда? Предположим, что пруд расположен в центре поля известной площади А. Бросайте камни в пруд произвольным образом так, чтобы они падали в случайных точках в пределах поля, и считайте количество всплесков при попадании камней в пруд. Эта простая процедура является примером метода Монте-Карло.

Выясним подробнее суть этого метода. Пусть дан прямоугольник высотойН и длинойb - a такой, что функцияf (x ) лежит внутри него. Генерируемп пар случайных чиселx i иy i , удовлетворяющих условиямa <= x i <= b и0 <= y i <= H . Доля точек(x i , y i ) , которые удовлетворяют условиюy i <=f (x i ) , представляет собой оценку отношения интеграла от функцииf (x ) к площади прямоугольника. Отсюда оценкаF n в методе "проб и ошибок" определяется выражением

, (4)

где n s – число "всплесков" или точек, лежащих под кривой,п – общее количество точек, а А – площадь прямоугольника.

Другая разновидность метода Монте-Карло основывается на теореме математического анализа, согласно которой определенный интеграл

определяется средним значением подынтегральной функции f (x ) на отрезке[ a ; b ]. Для вычисления этого среднего возьмемx i не с постоянным шагом, а случайным образом и произведемвыборку значенийf (x ) . ОценкаF n одномерного интеграла

Как вычислить определенный интеграл методом трапеций?

Сначала формула в общем виде. Возможно, она будет не всем и не сразу понятна… да Карлссон с вами – практические примеры всё прояснят! Спокойствие. Только спокойствие.

Рассмотрим определенный интеграл , где – функция, непрерывная на отрезке . Проведём разбиение отрезка на равных отрезков:
. При этом, очевидно: (нижний предел интегрирования) и (верхний предел интегрирования). Точки также называют узлами .

Тогда определенный интеграл можно вычислить приближенно по формуле трапеций :
, где:
– длина каждого из маленьких отрезков или шаг ;
– значения подынтегральной функции в точках .

Пример 1

Вычислить приближенно определенный интеграл по формуле трапеций. Результаты округлить до трёх знаков после запятой.

а) Разбив отрезок интегрирования на 3 части.
б) Разбив отрезок интегрирования на 5 частей.

Решение:
а) Специально для чайников я привязал первый пункт к чертежу, который наглядно демонстрировал принцип метода. Если будет трудно, посматривайте на чертёж по ходу комментариев, вот его кусок:

По условию отрезок интегрирования нужно разделить на 3 части, то есть .
Вычислим длину каждого отрезка разбиения: . Параметр , напоминаю, также называется шагом .

Сколько будет точек (узлов разбиения)? Их будет на одну больше , чем количество отрезков:

Таким образом, общая формула трапеций сокращается до приятных размеров:

Для расчетов можно использовать обычный микрокалькулятор:

Обратите внимание, что, в соответствии с условием задачи, все вычисления следует округлять до 3-его знака после запятой .

Окончательно:

Напоминаю, что полученное значение – это приближенное значение площади (см. рисунок выше).

б) Разобьём отрезок интегрирования на 5 равных частей, то есть . Зачем это нужно? Чтобы Фобос-Грунт не падал в океан – увеличивая количество отрезков, мы увеличиваем точность вычислений.

Если , то формула трапеций принимает следующий вид:

Найдем шаг разбиения:
, то есть, длина каждого промежуточного отрезка равна 0,6.

При чистовом оформлении задачи все вычисления удобно оформлять расчетной таблицей:

В первой строке записываем «счётчик»

Как формируется вторая строка, думаю, всем видно – сначала записываем нижний предел интегрирования , остальные значения получаем, последовательно приплюсовывая шаг .

По какому принципу заполняется нижняя строка, тоже, думаю, практически все поняли. Например, если , то . Что называется, считай, не ленись.

В результате:

Ну что же, уточнение, и серьёзное, действительно есть!
Если для 3-х отрезков разбиения , то для 5-ти отрезков . Таким образом, с большой долей уверенности можно утверждать, что, по крайне мере .

Пример 2

Вычислить приближенно определенный интеграл по формуле трапеций с точностью до двух знаков после запятой (до 0,01).

Решение: Почти та же задача, но немного в другой формулировке. Принципиальное отличие от Примера 1 состоит в том, что мы не знаем , НА СКОЛЬКО отрезков разбивать отрезок интегрирования, чтобы получить два верных знака после запятой. Иными словами, мы не знаем значение .

Существует специальная формула, позволяющая определить количество отрезков разбиения, чтобы гарантированно достигнуть требуемой точности, но практике она часто трудноприменима. Поэтому выгодно использовать упрощенный подход.

Сначала отрезок интегрирования разбивается на несколько больших отрезков, как правило, на 2-3-4-5. Разобьем отрезок интегрирования, например, на те же 5 частей. Формула уже знакома:

И шаг, естественно, тоже известен:

Но возникает еще один вопрос, до какого разряда округлять результаты ? В условии же ничего не сказано о том, сколько оставлять знаков после запятой. Общая рекомендация такова: к требуемой точности нужно прибавить 2-3 разряда . В данном случае необходимая точность 0,01. Согласно рекомендации, после запятой для верности оставим пять знаков (можно было и четыре):

В результате:

После первичного результата количество отрезков удваивают . В данном случае необходимо провести разбиение на 10 отрезков. И когда количество отрезков растёт, то в голову приходит светлая мысль, что тыкать пальцами в микрокалькулятор уже как-то надоело. Поэтому еще раз предлагаю закачать и использовать мой калькулятор-полуавтомат (ссылка в начале урока).

Для формула трапеций приобретает следующий вид:

В бумажной версии запись можно спокойно перенести на следующую строчку.

Вычислим шаг разбиения:

Результаты расчётов сведём в таблицу:


При чистовом оформлении в тетрадь длинную таблицу выгодно превратить в двухэтажную.

← Вернуться