Интегрирование по частям в неопределенном интеграле. Метод интегрирования по частям

Интегрирование по частям - метод, применяемый для решения определенных и неопределенных интегралов, когда одна из подынтегральных функций легко интегрируема, а другая дифференцируема. Достаточно распространенный метод нахождения интегралов как неопределенных, так и определенных. Главный признак, когда нужно использовать его - это состоящая из произведения двух функций некоторая функция, которую нельзя проинтегрировать в упор.

Формула

Для того, чтобы успешно использовать данный метод необходимо разобрать и выучить формулы.

Формула интегрирования по частям в неопределенном интеграле:

$$ \int udv = uv - \int vdu $$

Формула интегрирования по частям в определенном интеграле:

$$ \int \limits_{a}^{b} udv = uv \bigg |_{a}^{b} - \int \limits_{a}^{b} vdu $$

Примеры решений

Рассмотрим на практике примеры решений интегрирования по частям, которые часто предлагаются преподавателями на контрольных работах. Обратите внимание, что под значком интеграла стоит произведение двух функций. Это как признак того, что для решения подойдет данный метод.

Пример 1
Найти интеграл $ \int xe^xdx $
Решение
Видим, что подынтегральная функция состоит из двух функций, одна из которых при дифференцировании моментально превращается в единицу, а другая легко интегрируется. Для решения интеграла воспользуемся методом интегрирования по частям. Положим, $ u = x \rightarrow du=dx $, а $ dv = e^x dx \rightarrow v=e^x $ Подставляем найденные значения в первую формулу интегрирования и получаем: $$ \int xe^x dx = xe^x - \int e^x dx = xe^x - e^x + C $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
Ответ
$$ \int xe^x dx = xe^x - e^x + C $$

Пример 4
Вычислить интеграл $ \int \limits_0 ^1 (x+5) 3^x dx $
Решение
По аналогии с предыдущими решенными примерами разберемся какую функцию без проблем интегрировать, какую дифференцировать. Обращаем внимание, что если продифференцировать $ (x+5) $, то произойдет автоматическое преобразования этого выражения в единицу, что нам будет "на руку". Поэтом поступаем так: $$ u=x+5 \rightarrow du=dx, dv=3^x dx \rightarrow v=\frac{3^x}{ln3} $$ Теперь все неизвестные функции стали найдены и могут быть поставлены во вторую формулу интегрирования по частям для определенного интеграла. $$ \int \limits_0 ^1 (x+5) 3^x dx = (x+5) \frac{3^x}{\ln 3} \bigg \|_0 ^1 - \int \limits_0 ^1 \frac{3^x dx}{\ln 3} = $$ $$ = \frac{18}{\ln 3} - \frac{5}{\ln 3} - \frac{3^x}{\ln^2 3}\bigg\| _0 ^1 = \frac{13}{\ln 3} - \frac{3}{\ln^2 3}+\frac{1}{\ln^2 3} = \frac{13}{\ln 3}-\frac{4}{\ln^2 3} $$
Ответ
$$ \int\limits_0 ^1 (x+5)3^x dx = \frac{13}{\ln 3}-\frac{4}{\ln^2 3} $$

Решение интегралов - задача легкая, но только для избранных. Эта статья для тех, кто хочет научиться понимать интегралы, но не знает о них ничего или почти ничего. Интеграл... Зачем он нужен? Как его вычислять? Что такое определенный и неопределенный интегралы? Если единственное известное вам применение интеграла – доставать крючком в форме значка интеграла что-то полезное из труднодоступных мест, тогда добро пожаловать! Узнайте, как решать интегралы и почему без этого никак нельзя обойтись.

Изучаем понятие "интеграл"

Интегрирование было известно еще в Древнем Египте. Конечно, не в современном виде, но все же. С тех пор математики написали очень много книг по этой теме. Особенно отличились Ньютон и Лейбниц , но суть вещей не изменилась. Как понять интегралы с нуля? Никак! Для понимания этой темы все равно понадобятся базовые знания основ математического анализа. Сведения о , необходимые и для понимания интегралов, уже есть у нас в блоге.

Неопределенный интеграл

Пусть у нас есть какая-то функция f(x) .

Неопределенным интегралом функции f(x) называется такая функция F(x) , производная которой равна функции f(x) .

Другими словами интеграл – это производная наоборот или первообразная. Кстати, о том, как читайте в нашей статье.

Первообразная существует для всех непрерывных функций. Также к первообразной часто прибавляют знак константы, так как производные функций, различающихся на константу, совпадают. Процесс нахождения интеграла называется интегрированием.

Простой пример:

Чтобы постоянно не высчитывать первообразные элементарных функций, их удобно свести в таблицу и пользоваться уже готовыми значениями:

Определенный интеграл

Имея дело с понятием интеграла, мы имеем дело с бесконечно малыми величинами. Интеграл поможет вычислить площадь фигуры, массу неоднородного тела, пройденный при неравномерном движении путь и многое другое. Следует помнить, что интеграл – это сумма бесконечно большого количества бесконечно малых слагаемых.

В качестве примера представим себе график какой-нибудь функции. Как найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции?

С помощью интеграла! Разобьем криволинейную трапецию, ограниченную осями координат и графиком функции, на бесконечно малые отрезки. Таким образом фигура окажется разделена на тонкие столбики. Сумма площадей столбиков и будет составлять площадь трапеции. Но помните, что такое вычисление даст примерный результат. Однако чем меньше и уже будут отрезки, тем точнее будет вычисление. Если мы уменьшим их до такой степени, что длина будет стремиться к нулю, то сумма площадей отрезков будет стремиться к площади фигуры. Это и есть определенный интеграл, который записывается так:

Точки а и b называются пределами интегрирования.

Бари Алибасов и группа "Интеграл"

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на

Правила вычисления интегралов для чайников

Свойства неопределенного интеграла

Как решать неопределенный интеграл? Здесь мы рассмотрим свойства неопределенного интеграла, которые пригодятся при решении примеров.

Производная от интеграла равна подынтегральной функции:

Константу можно выносить из-под знака интеграла:

Интеграл от суммы равен сумме интегралов. Верно также для разности:

Свойства определенного интеграла

Линейность:

Знак интеграла изменяется, если поменять местами пределы интегрирования:

При любых точках a , b и с :

Мы уже выяснили, что определенный интеграл - это предел суммы. Но как получить конкретное значение при решении примера? Для этого существует формула Ньютона-Лейбница:

Примеры решения интегралов

Ниже рассмотрим несколько примеров нахождения неопределенных интегралов. Предлагаем самостоятельно разобраться в тонкостях решения, а если что-то непонятно, задавайте вопросы в комментариях.

Для закрепления материала посмотрите видео о том, как решаются интегралы на практике. Не отчаиваетесь, если интеграл не дается сразу. Обратитесь в профессиональный сервис для студентов, и любой тройной или криволинейный интеграл по замкнутой поверхности станет вам по силам.

Ранее мы по заданной функции, руководствуясь различными формулами и правилами, находили ее производную. Производная имеет многочисленные применения: это скорость движения (или, обобщая, скорость протекания любого процесса); угловой коэффициент касательной к графику функции; с помощью производной можно исследовать функцию на монотонность и экстремумы; она помогает решать задачи на оптимизацию.

Но наряду с задачей о нахождении скорости по известному закону движения встречается и обратная задача - задача о восстановлении закона движения по известной скорости. Рассмотрим одну из таких задач.

Пример 1. По прямой движется материальная точка, скорость ее движения в момент времени t задается формулой v=gt. Найти закон движения.
Решение. Пусть s = s(t) - искомый закон движения. Известно, что s"(t) = v(t). Значит, для решения задачи нужно подобрать функцию s = s(t), производная которой равна gt. Нетрудно догадаться, что $s(t) = \frac{gt^2}{2} $. В самом деле
$s"(t) = \left(\frac{gt^2}{2} \right)" = \frac{g}{2}(t^2)" = \frac{g}{2} \cdot 2t = gt $
Ответ: $s(t) = \frac{gt^2}{2} $

Сразу заметим, что пример решен верно, но неполно. Мы получили $s(t) = \frac{gt^2}{2} $. На самом деле задача имеет бесконечно много решений: любая функция вида $s(t) = \frac{gt^2}{2} + C $, где C - произвольная константа, может служить законом движения, поскольку $\left(\frac{gt^2}{2} +C \right)" = gt $

Чтобы задача стала более определенной, нам надо было зафиксировать исходную ситуацию: указать координату движущейся точки в какой-либо момент времени, например при t = 0. Если, скажем, s(0) = s 0 , то из равенства s(t) = (gt 2)/2 + C получаем: s(0) = 0 + С, т. е. C = s 0 . Теперь закон движения определен однозначно: s(t) = (gt 2)/2 + s 0 .

В математике взаимно обратным операциям присваивают разные названия, придумывают специальные обозначения, например: возведение в квадрат (х 2) и извлечение квадратного корня ($\sqrt{x} $), синус (sin x) и арксинус (arcsin x) и т. д. Процесс нахождения производной по заданной функции называют дифференцированием , а обратную операцию, т. е. процесс нахождения функции по заданной производной, - интегрированием .

Сам термин «производная» можно обосновать «по-житейски»: функция у = f(x) «производит на свет» новую функцию у" = f"(x). Функция у = f(x) выступает как бы в качестве «родителя», но математики, естественно, не называют ее «родителем» или «производителем», они говорят, что это, по отношению к функции у" = f"(x), первичный образ, или первообразная.

Определение. Функцию y = F(x) называют первообразной для функции y = f(x) на промежутке X, если для $x \in X $ выполняется равенство F"(x) = f(x)

На практике промежуток X обычно не указывают, но подразумевают (в качестве естественной области определения функции).

Приведем примеры.
1) Функция у = х 2 является первообразной для функции у = 2х, поскольку для любого х справедливо равенство (x 2)" = 2х
2) Функция у = х 3 является первообразной для функции у = 3х 2 , поскольку для любого х справедливо равенство (x 3)" = 3х 2
3) Функция у = sin(x) является первообразной для функции y = cos(x), поскольку для любого x справедливо равенство (sin(x))" = cos(x)

При нахождении первообразных, как и производных, используются не только формулы, но и некоторые правила. Они непосредственно связаны с соответствующими правилами вычисления производных.

Мы знаем, что производная суммы равна сумме производных. Это правило порождает соответствующее правило нахождения первообразных.

Правило 1. Первообразная суммы равна сумме первообразных.

Мы знаем, что постоянный множитель можно вынести за знак производной. Это правило порождает соответствующее правило нахождения первообразных.

Правило 2. Если F(x) - первообразная для f(x), то kF(x) - первообразная для kf(x).

Теорема 1. Если y = F(x) - первообразная для функции y = f(x), то первообразной для функции у = f(kx + m) служит функция $y=\frac{1}{k}F(kx+m) $

Теорема 2. Если y = F(x) - первообразная для функции y = f(x) на промежутке X, то у функции у = f(x) бесконечно много первообразных, и все они имеют вид y = F(x) + C.

Методы интегрирования

Метод замены переменной (метод подстановки)

Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (то есть подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся. Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой.
Пусть требуется вычислить интеграл $\textstyle \int F(x)dx $. Сделаем подстановку $x= \varphi(t) $ где $\varphi(t) $ - функция, имеющая непрерывную производную.
Тогда $dx = \varphi " (t) \cdot dt $ и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой:
$\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt $

Интегрирование выражений вида $\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx $

Если m нечётное, m > 0, то удобнее сделать подстановку sin x = t.
Если n нечётное, n > 0, то удобнее сделать подстановку cos x = t.
Если n и m чётные, то удобнее сделать подстановку tg x = t.

Интегрирование по частям

Интегрирование по частям - применение следующей формулы для интегрирования:
$\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du $
или:
$\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx $

Таблица неопределённых интегралов (первообразных) некоторых функций

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac{1}{x} dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $$ \int \frac{dx}{\cos^2 x} = \text{tg} x +C $$ $$ \int \frac{dx}{\sin^2 x} = -\text{ctg} x +C $$ $$ \int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \text{arcsin} x +C $$ $$ \int \frac{dx}{1+x^2} = \text{arctg} x +C $$ $$ \int \text{ch} x dx = \text{sh} x +C $$ $$ \int \text{sh} x dx = \text{ch} x +C $$

Калькулятор решает интегралы c описанием действий ПОДРОБНО на русском языке и бесплатно!

Решение неопределённых интегралов

Это онлайн сервис в один шаг :

Решение определённых интегралов

Это онлайн сервис в один шаг :

Ввести подинтегральное выражение (подинтегральную функцию)
Ввести нижний предел для интеграла
Ввести верхний предел для интеграла

Решение двойных интегралов

Ввести подинтегральное выражение (подинтегральную функцию)

Решение несобственных интегралов

Ввести подинтегральное выражение (подинтегральную функцию)
Введите верхнюю область интегрирования (или + бесконечность)
Ввести нижнюю область интегрирования (или - бесконечность)

Перейти: Онлайн сервис "Несобственный интеграл" →

Решение тройных интегралов

Ввести подинтегральное выражение (подинтегральную функцию)
Ввести нижний и верхний пределы для первой области интегрирования
Ввести нижний и верхний предел для второй области интегрирования
Ввести нижний и верхний предел для третьей области интегрирования

Перейти: Онлайн сервис "Тройной интеграл" →

Данный сервис позволяет проверить свои вычисления на правильность

Возможности

Поддержка всех возможных математических функций: синус, косинус, экспонента, тангенс, котангенс, корень квадратный и кубический, степени, показательные и другие.
Есть примеры для ввода, как для неопределённых интегралов, так и для несобственных и определённых.
Исправляет ошибки в ведённых вами выражениях и предлагает свои варианты для ввода.
Численное решение для определённых и несобственных интегралов (в том числе для двойных и тройных интегралов).
Поддержка комплексных чисел, а также различных параметров (вы можете указывать в подинтегральном выражении не только переменную интегрирования, но и другие переменные-параметры)

Формула интегрирования по частям имеет вид:
.

Метод интегрирования по частям состоит в применении этой формулы. При практическом применении стоит отметить, что u и v являются функциями от переменной интегрирования. Пусть переменная интегрирования обозначена как x (символ после знака дифференциала d в конце записи интеграла) . Тогда u и v являются функциями от x : u(x) и v(x) .
Тогда
, .
И формула интегрирования по частям принимает вид:
.

То есть подынтегральная функция должна состоять из произведения двух функций:
,
одну из которых обозначаем как u: g(x) = u , а у другой должен вычисляться интеграл (точнее находиться первообразная):
, тогда dv = f(x) dx .

В некоторых случаях f(x) = 1 . То есть в интеграле
,
можно положить g(x) = u, x = v .

Резюме

Итак, в данном методе, формулу интегрирования по частям стоит запомнить и применять в двух видах:
;
.

Интегралы, вычисляющиеся интегрированием по частям

Интегралы, содержащие логарифм и обратные тригонометрические (гиперболические) функции

По частям часто интегрируются интегралы, содержащие логарифм и обратные тригонометрические или гиперболические функции. При этом ту часть, которая содержит логарифм или обратные тригонометрические (гиперболические) функции обозначают через u , оставшуюся часть - через dv .

Вот примеры таких интегралов, которые вычисляются методом интегрирования по частям:
, , , , , , .

Интегралы, содержащие произведение многочлена и sin x, cos x или e x

По формуле интегрирования частям находятся интегралы вида:
, , ,
где P(x) – многочлен от x . При интегрировании, многочлен P(x) обозначают через u , а e ax dx , cos ax dx или sin ax dx - через dv .

Вот примеры таких интегралов:
, , .

Примеры вычисления интегралов методом интегрирования по частям

Примеры интегралов, содержащих логарифм и обратные тригонометрические функции

Пример

Вычислить интеграл:

Подробное решение

Здесь подынтегральное выражение содержит логарифм. Делаем подстановки
u = ln x ,
dv = x 2 dx .
Тогда
,
.

Вычисляем оставшийся интеграл:
.
Тогда
.
В конце вычислений нужно обязательно добавить постоянную C , поскольку неопределенный интеграл - это множество всех первообразных. Также ее можно было добавлять и в промежуточных вычислениях, но это лишь загромождало бы выкладки.

Более короткое решение

Можно представить решение и в более коротком варианте. Для этого не нужно делать подстановки с u и v , а можно сгруппировать сомножители и применить формулу интегрирования по частям во втором виде.

Ответ

Примеры интегралов, содержащих произведение многочлена и sin x, cos x или ex

Пример

Вычислить интеграл:
.

Решение

Введем экспоненту под знак дифференциала:
e - x dx = - e - x d(-x) = - d(e - x) .

Интегрируем по частям.
.
Также применяем метод интегрирования по частям.
.
.
.
Окончательно имеем.