Первообразная.
Первообразную легко понять на примере.
Возьмем функцию у = х 3 . Как мы знаем из предыдущих разделов, производной от х 3 является 3х 2:
(х 3)" = 3х 2 .
Следовательно, из функции у = х
3 мы получаем новую функцию: у
= 3х
2 .
Образно говоря, функция у
= х
3 произвела функцию у
= 3х
2 и является ее «родителем». В математике нет слова «родитель», а есть родственное ему понятие: первообразная.
То есть: функция у = х 3 является первообразной для функции у = 3х 2 .
Определение первообразной:
В нашем примере (х 3)" = 3х 2 , следовательно у = х 3 – первообразная для у = 3х 2 .
Интегрирование.
Как вы знаете, процесс нахождения производной по заданной функции называется дифференцированием. А обратная операция называется интегрированием.
Пример-пояснение :
у = 3х 2 + sin x .
Решение :
Мы знаем, что первообразной для 3х 2 является х 3 .
Первообразной для sin x является –cos x .
Складываем два первообразных и получаем первообразную для заданной функции:
у = х 3 + (–cos x ),
у = х 3 – cos x .
Ответ
:
для функции у
= 3х
2 + sin x
у = х
3 – cos x
.
Пример-пояснение :
Найдем первообразную для функции у = 2 sin x .
Решение :
Замечаем, что k = 2. Первообразной для sin x является –cos x .
Следовательно, для функции у
= 2 sin x
первообразной является функция у
= –2 cos x
.
Коэффициент 2 в функции у = 2 sin x
соответствует коэффициенту первообразной, от которой эта функция образовалась.
Пример-пояснение :
Найдем первообразную для функции y = sin 2x .
Решение :
Замечаем, что k = 2. Первообразной для sin x является –cos x .
Применяем нашу формулу при нахождении первообразной для функции y = cos 2x :
1
y
= - · (–cos 2x
),
2
cos 2x
y
= – ----
2
cos 2x
Ответ
: для функции y
= sin 2x
первообразной является функция y
= – ----
2
(4)
Пример-пояснение .
Возьмем функцию из предыдущего примера: y = sin 2x .
Для этой функции все первообразные имеют вид:
cos 2x
y
= – ---- + C
.
2
Пояснение .
Возьмем первую строчку. Читается она так: если функция y = f(x )равна 0, то первообразной для для нее является 1. Почему? Потому что производная единицы равна нулю: 1" = 0.
В таком же порядке читаются и остальные строчки.
Как выписывать данные из таблицы? Возьмем восьмую строчку:
(-cos x )" = sin x
Пишем вторую часть со знаком производной, затем знак равенства и производную.
Читаем: первообразной для функции sin x является функция -cos x .
Или: функция -cos x является первообразной для функции sin x .
ДокументНекотором промежутке Х. Если для любого хХ F"(x) = f(x), то функция F называется первообразной для функции f на промежутке Х. Первообразную для функции можно попытаться найти...
Первообразной для функции
Документ... . Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке (a;b), если для всех x(a;b) выполняется равенство F(x) = f(x). Например, для функции x2 первообразной будет функция x3 ...
Основы интегрального исчисления Учебное пособие
Учебное пособие... ; 5. Найти интеграл. ; B) ; C) ; D) ; 6. Функция называется первообразной к функции на множестве, если: для всех; в некоторой точке; для всех; в некоторой... интервалом. Определение 1. Функция называется первообразной для функции на множестве, ...
Первообразная Неопределённый интеграл
ДокументИнтегрирования. Первообразная . Непрерывная функция F (x) называется первообразной для функции f (x) на промежутке X , если для каждого F’ (x) = f (x). П р и м е р. Функция F (x) = x 3 является первообразной для функции f (x) = 3x ...
СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ СССР Утверждено Учебно-методическим управлением по высшему образованию ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ (С ПРОГРАММОЙ) для студентов-заочников инженерно-технических специальностей
Методические указанияВопросы для самопроверки Дайте определение первообразной функции . Укажите геометрический смысл совокупности первообразных функций . Что называется неопределенным...
Решение интегралов - задача легкая, но только для избранных. Эта статья для тех, кто хочет научиться понимать интегралы, но не знает о них ничего или почти ничего. Интеграл... Зачем он нужен? Как его вычислять? Что такое определенный и неопределенный интегралы? Если единственное известное вам применение интеграла – доставать крючком в форме значка интеграла что-то полезное из труднодоступных мест, тогда добро пожаловать! Узнайте, как решать интегралы и почему без этого никак нельзя обойтись.
Изучаем понятие "интеграл"
Интегрирование было известно еще в Древнем Египте. Конечно, не в современном виде, но все же. С тех пор математики написали очень много книг по этой теме. Особенно отличились Ньютон и Лейбниц , но суть вещей не изменилась. Как понять интегралы с нуля? Никак! Для понимания этой темы все равно понадобятся базовые знания основ математического анализа. Именно эти фундаментальные сведения о Вы найдете у нас в блоге.
Неопределенный интеграл
Пусть у нас есть какая-то функция f(x) .
Неопределенным интегралом функции f(x) называется такая функция F(x) , производная которой равна функции f(x) .
Другими словами интеграл – это производная наоборот или первообразная. Кстати, о том, как читайте в нашей статье.
Первообразная существует для всех непрерывных функций. Также к первообразной часто прибавляют знак константы, так как производные функций, различающихся на константу, совпадают. Процесс нахождения интеграла называется интегрированием.
Простой пример:
Чтобы постоянно не высчитывать первообразные элементарных функций, их удобно свести в таблицу и пользоваться уже готовыми значениями:
Определенный интеграл
Имея дело с понятием интеграла, мы имеем дело с бесконечно малыми величинами. Интеграл поможет вычислить площадь фигуры, массу неоднородного тела, пройденный при неравномерном движении путь и многое другое. Следует помнить, что интеграл – это сумма бесконечно большого количества бесконечно малых слагаемых.
В качестве примера представим себе график какой-нибудь функции. Как найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции?
С помощью интеграла! Разобьем криволинейную трапецию, ограниченную осями координат и графиком функции, на бесконечно малые отрезки. Таким образом фигура окажется разделена на тонкие столбики. Сумма площадей столбиков и будет составлять площадь трапеции. Но помните, что такое вычисление даст примерный результат. Однако чем меньше и уже будут отрезки, тем точнее будет вычисление. Если мы уменьшим их до такой степени, что длина будет стремиться к нулю, то сумма площадей отрезков будет стремиться к площади фигуры. Это и есть определенный интеграл, который записывается так:
Точки а и b называются пределами интегрирования.
Бари Алибасов и группа "Интеграл"
Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на
Правила вычисления интегралов для чайников
Свойства неопределенного интеграла
Как решать неопределенный интеграл? Здесь мы рассмотрим свойства неопределенного интеграла, которые пригодятся при решении примеров.
- Производная от интеграла равна подынтегральной функции:
- Константу можно выносить из-под знака интеграла:
- Интеграл от суммы равен сумме интегралов. Верно также для разности:
Свойства определенного интеграла
- Линейность:
- Знак интеграла изменяется, если поменять местами пределы интегрирования:
- При любых точках a , b и с :
Мы уже выяснили, что определенный интеграл - это предел суммы. Но как получить конкретное значение при решении примера? Для этого существует формула Ньютона-Лейбница:
Примеры решения интегралов
Ниже рассмотрим несколько примеров нахождения неопределенных интегралов. Предлагаем Вам самостоятельно разобраться в тонкостях решения, а если что-то непонятно, задавайте вопросы в комментариях.
Для закрепления материала посмотрите видео о том, как решаются интегралы на практике. Не отчаиваетесь, если интеграл не дается сразу. Спросите , и они расскажут вам о вычислении интегралов все, что знают сами. С нашей помощью любой тройной или криволинейный интеграл по замкнутой поверхности станет вам по силам.
Рассмотрим движение точки вдоль прямой. Пусть за время t от начала движения точка прошла путь s(t). Тогда мгновенная скорость v(t) равна производной функции s(t), то есть v(t) = s"(t).
В практике встречается обратная задача: по заданной скорости движения точки v(t) найти пройденный ею путь s(t) , то есть найти такую функцию s(t), производная которой равна v(t) . Функцию s(t), такую, что s"(t) = v(t) , называют первообразной функции v(t).
Например, если v(t) = аt
, где а
– заданное число, то функция
s(t) = (аt 2) / 2
v(t),
так как
s"(t) = ((аt 2) / 2) " = аt = v(t).
Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на некотором промежутке, если для всех х из этого промежутка F"(x) = f(x).
Например, функция F(x) = sin x является первообразной функции f(x) = cos x, так как (sin x)" = cos x ; функция F(x) = х 4 /4 является первообразной функции f(x) = х 3 , так как (х 4 /4)" = х 3 .
Рассмотрим задачу.
Задача .
Доказать, что функции х 3 /3, х 3 /3 + 1, х 3 /3 – 4 являются первообразной одной и той же функции f(x) = х 2 .
Решение .
1) Обозначим F 1 (x) = х 3 /3, тогда F" 1 (x) = 3 ∙ (х 2 /3) = х 2 = f(x).
2) F 2 (x) = х 3 /3 + 1, F" 2 (x) = (х 3 /3 + 1)" = (х 3 /3)" + (1)"= х 2 = f(x).
3) F 3 (x) = х 3 /3 – 4, F" 3 (x) = (х 3 /3 – 4)" = х 2 = f(x).
Вообще любая функция х 3 /3 + С, где С – постоянная, является первообразной функции х 2 . Это следует из того, что производная постоянной равна нулю. Этот пример показывает, что для заданной функции ее первообразная определяется неоднозначно.
Пусть F 1 (x) и F 2 (x) – две первообразные одной и той же функции f(x).
Тогда F 1 "(x) = f(x) и F" 2 (x) = f(x).
Производная их разности g(х) = F 1 (x) – F 2 (x) равна нулю, так как g"(х) = F" 1 (x) – F" 2 (x) = f(x) – f(x) = 0.
Если g"(х) = 0 на некотором промежутке, то касательная к графику функции у = g(х) в каждой точке этого промежутка параллельна оси Ох. Поэтому графиком функции у = g(х) является прямая, параллельная оси Ох, т.е. g(х) = С, где С – некоторая постоянная. Из равенств g(х) = С, g(х) = F 1 (x) – F 2 (x) следует, что F 1 (x) = F 2 (x) + С.
Итак, если функция F(x) является первообразной функции f(x) на некотором промежутке, то все первообразные функции f(x) записываются в виде F(x) + С, где С – произвольная постоянная.
Рассмотрим графики всех первообразных заданной функции f(x). Если F(x) – одна из первообразных функции f(x), то любая первообразная этой функции получается прибавлением к F(x) некоторой постоянной: F(x) + С. Графики функций у = F(x) + С получаются из графика у = F(x) сдвигом вдоль оси Оу. Выбором С можно добиться того, чтобы график первообразной проходил через заданную точку.
Обратим внимание на правила нахождения первообразных.
Вспомним, что операцию нахождения производной для заданной функции называют дифференцированием . Обратную операцию нахождения первообразной для данной функции называют интегрированием (от латинского слова «восстанавливать» ).
Таблицу первообразных для некоторых функций можно составить, используя таблицу производных. Например, зная, что (cos x)" = -sin x, получаем (-cos x)" = sin x , откуда следует, что все первообразные функции sin x записываются в виде -cos x + С , где С – постоянная.
Рассмотрим некоторые значения первообразных.
1) Функция: х р, р ≠ -1 . Первообразная: (х р+1) / (р+1) + С.
2) Функция: 1/х, х > 0. Первообразная: ln x + С.
3) Функция: х р, р ≠ -1 . Первообразная: (х р+1) / (р+1) + С.
4) Функция: е х . Первообразная: е х + С.
5) Функция: sin x . Первообразная: -cos x + С.
6) Функция: (kx + b) p , р ≠ -1, k ≠ 0. Первообразная: (((kx + b) p+1) / k(p+1)) + С.
7) Функция: 1/(kx + b), k ≠ 0 . Первообразная: (1/k) ln (kx + b)+ С.
8) Функция: е kx + b , k ≠ 0 . Первообразная: (1/k) е kx + b + С.
9) Функция: sin (kx + b), k ≠ 0 . Первообразная: (-1/k) cos (kx + b) .
10)
Функция: cos (kx + b), k ≠ 0.
Первообразная: (1/k) sin (kx + b).
Правила интегрирования можно получить с помощью правил дифференцирования . Рассмотрим некоторые правила.
Пусть F(x) и G(x) – первообразные соответственно функций f(x) и g(x) на некотором промежутке. Тогда:
1) функция F(x) ± G(x) является первообразной функции f(x) ± g(x);
2) функция аF(x) является первообразной функции аf(x).
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Определение первообразной.
Первообразной функции f(x) на промежутке (a; b) называется такая функция F(x) , что выполняется равенство для любого х из заданного промежутка.
Если принять во внимание тот факт, что производная от константы С
равна нулю, то справедливо равенство . Таким образом, функция f(x)
имеет множество первообразных F(x)+C
, для произвольной константы С
, причем эти первообразные отличаются друг от друга на произвольную постоянную величину.
Определение неопределенного интеграла.
Все множество первообразных функции f(x)
называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается .
Выражение называют подынтегральным выражением , а f(x) – подынтегральной функцией . Подынтегральное выражение представляет собой дифференциал функции f(x) .
Действие нахождения неизвестной функции по заданному ее дифференциалу называется неопределенным интегрированием, потому что результатом интегрирования является не одна функция F(x) , а множество ее первообразных F(x)+C .
На основании свойств производной можно сформулировать и доказать свойства неопределенного интеграла (свойства первообразной).
![](https://i2.wp.com/cleverstudents.ru/integral/images/indefinite_integral_properties/005.png)
Промежуточные равенства первого и второго свойств неопределенного интеграла приведены для пояснения.
Для доказательства третьего и четвертого свойств достаточно найти производные от правых частей равенств:
Эти производные равны подынтегральным функциям, что и является доказательством в силу первого свойства. Оно же используется в последних переходах.
Таким образом, задача интегрирования является обратной задаче дифференцирования, причем между этими задачами очень тесная связь:
- первое свойство позволяет проводить проверку интегрирования. Чтобы проверить правильность выполненного интегрирования достаточно вычислить производную полученного результата. Если полученная в результате дифференцирования функция окажется равной подынтегральной функции, то это будет означать, что интегрирование проведено верно;
- второе свойство неопределенного интеграла позволяет по известному дифференциалу функции найти ее первообразную. На этом свойстве основано непосредственное вычисление неопределенных интегралов.
Рассмотрим пример.
Пример.
Найти первообразную функции , значение которой равно единице при х = 1 .
Решение.
Мы знаем из дифференциального исчисления, что (достаточно заглянуть в таблицу производных основных элементарных функций). Таким образом,
. По второму свойству
. То есть, имеем множество первообразных . При х = 1
получим значение . По условию, это значение должно быть равно единице, следовательно, С = 1
. Искомая первообразная примет вид .
Пример.
Найти неопределенный интеграл и результат проверить дифференцированием.
Решение.
По формуле синуса двойного угла из тригонометрии , поэтому