Случайной величиной называют переменную величину, которая в результате каждого испытания принимает одно заранее неизвестное значение, зависящее от случайных причин. Случайные величины обозначают заглавными латинскими буквами: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ По своему типу случайные величины могут быть дискретными и непрерывными .

Дискретная случайная величина - это такая случайная величина, значения которой могут быть не более чем счетными, то есть либо конечными, либо счетными. Под счетностью имеется ввиду, что значения случайной величины можно занумеровать.

Пример 1 . Приведем примеры дискретных случайных величин:

а) число попаданий в мишень при $n$ выстрелах, здесь возможные значения $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

б) число выпавших гербов при подкидывании монеты, здесь возможные значения $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

в) число прибывших кораблей на борт (счетное множество значений).

г) число вызовов, поступающих на АТС (счетное множество значений).

1. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины.

Дискретная случайная величина $X$ может принимать значения $x_1,\dots ,\ x_n$ с вероятностями $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$. Соответствие между этими значениями и их вероятностями называется законом распределения дискретной случайной величины . Как правило, это соответствие задается с помощью таблицы, в первой строке которой указывают значения $x_1,\dots ,\ x_n$, а во второй строке соответствующие этим значениям вероятности $p_1,\dots ,\ p_n$.

$\begin{array}{|c|c|}
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end{array}$

Пример 2 . Пусть случайная величина $X$ - число выпавших очков при подбрасывании игрального кубика. Такая случайная величина $X$ может принимать следующие значения $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Вероятности всех этих значений равны $1/6$. Тогда закон распределения вероятностей случайной величины $X$:

$\begin{array}{|c|c|}
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end{array}$

Замечание . Поскольку в законе распределения дискретной случайной величины $X$ события $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ образуют полную группу событий, то в сумме вероятности должны быть равны единице, то есть $\sum{p_i}=1$.

2. Математическое ожидание дискретной случайной величины.

Математическое ожидание случайной величины задает ее «центральное» значение. Для дискретной случайной величины математическое ожидание вычисляется как сумма произведений значений $x_1,\dots ,\ x_n$ на соответствующие этим значениям вероятности $p_1,\dots ,\ p_n$, то есть: $M\left(X\right)=\sum^n_{i=1}{p_ix_i}$. В англоязычной литературе используют другое обозначение $E\left(X\right)$.

Свойства математического ожидания $M\left(X\right)$:

1. $M\left(X\right)$ заключено между наименьшим и наибольшим значениями случайной величины $X$.
2. Математическое ожидание от константы равно самой константе, т.е. $M\left(C\right)=C$.
3. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

Пример 3 . Найдем математическое ожидание случайной величины $X$ из примера $2$.

$$M\left(X\right)=\sum^n_{i=1}{p_ix_i}=1\cdot {{1}\over {6}}+2\cdot {{1}\over {6}}+3\cdot {{1}\over {6}}+4\cdot {{1}\over {6}}+5\cdot {{1}\over {6}}+6\cdot {{1}\over {6}}=3,5.$$

Можем заметить, что $M\left(X\right)$ заключено между наименьшим ($1$) и наибольшим ($6$) значениями случайной величины $X$.

Пример 4 . Известно, что математическое ожидание случайной величины $X$ равно $M\left(X\right)=2$. Найти математическое ожидание случайной величины $3X+5$.

Используя вышеуказанные свойства, получаем $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\cdot 2+5=11$.

Пример 5 . Известно, что математическое ожидание случайной величины $X$ равно $M\left(X\right)=4$. Найти математическое ожидание случайной величины $2X-9$.

Используя вышеуказанные свойства, получаем $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\cdot 4-9=-1$.

3. Дисперсия дискретной случайной величины.

Возможные значения случайных величин с равными математическими ожиданиями могут по-разному рассеиваться вокруг своих средних значений. Например, в двух студенческих группах средний балл за экзамен по теории вероятностей оказался равным 4, но в одной группе все оказались хорошистами, а в другой группе - только троечники и отличники. Поэтому возникает необходимость в такой числовой характеристике случайной величины, которая бы показывала разброс значений случайной величины вокруг своего математического ожидания. Такой характеристикой является дисперсия.

Дисперсия дискретной случайной величины $X$ равна:

$$D\left(X\right)=\sum^n_{i=1}{p_i{\left(x_i-M\left(X\right)\right)}^2}.\ $$

В англоязычной литературе используются обозначения $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$. Очень часто дисперсию $D\left(X\right)$ вычисляют по формуле $D\left(X\right)=\sum^n_{i=1}{p_ix^2_i}-{\left(M\left(X\right)\right)}^2$.

Свойства дисперсии $D\left(X\right)$:

1. Дисперсия всегда больше или равна нулю, т.е. $D\left(X\right)\ge 0$.
2. Дисперсия от константы равна нулю, т.е. $D\left(C\right)=0$.
3. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии при условии возведения его в квадрат, т.е. $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\right)$.
4. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, т.е. $D\left(X+Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.
5. Дисперсия разности независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, т.е. $D\left(X-Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.

Пример 6 . Вычислим дисперсию случайной величины $X$ из примера $2$.

$$D\left(X\right)=\sum^n_{i=1}{p_i{\left(x_i-M\left(X\right)\right)}^2}={{1}\over {6}}\cdot {\left(1-3,5\right)}^2+{{1}\over {6}}\cdot {\left(2-3,5\right)}^2+\dots +{{1}\over {6}}\cdot {\left(6-3,5\right)}^2={{35}\over {12}}\approx 2,92.$$

Пример 7 . Известно, что дисперсия случайной величины $X$ равна $D\left(X\right)=2$. Найти дисперсию случайной величины $4X+1$.

Используя вышеуказанные свойства, находим $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0=16D\left(X\right)=16\cdot 2=32$.

Пример 8 . Известно, что дисперсия случайной величины $X$ равна $D\left(X\right)=3$. Найти дисперсию случайной величины $3-2X$.

Используя вышеуказанные свойства, находим $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)=4D\left(X\right)=4\cdot 3=12$.

4. Функция распределения дискретной случайной величины.

Способ представления дискретной случайной величины в виде ряда распределения не является единственным, а главное он не является универсальным, поскольку непрерывную случайную величину нельзя задать с помощью ряда распределения. Существует еще один способ представления случайной величины - функция распределения.

Функцией распределения случайной величины $X$ называется функция $F\left(x\right)$, которая определяет вероятность того, что случайная величина $X$ примет значение, меньшее некоторого фиксированного значения $x$, то есть $F\left(x\right)=P\left(X < x\right)$

Свойства функции распределения :

1. $0\le F\left(x\right)\le 1$.
2. Вероятность того, что случайная величина $X$ примет значения из интервала $\left(\alpha ;\ \beta \right)$, равна разности значений функции распределения на концах этого интервала: $P\left(\alpha < X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\right)$ - неубывающая.
4. ${\mathop{lim}_{x\to -\infty } F\left(x\right)=0\ },\ {\mathop{lim}_{x\to +\infty } F\left(x\right)=1\ }$.

Пример 9 . Найдем функцию распределения $F\left(x\right)$ для закона распределения дискретной случайной величины $X$ из примера $2$.

$\begin{array}{|c|c|}
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end{array}$

Если $x\le 1$, то, очевидно, $F\left(x\right)=0$ (в том числе и при $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X < 1\right)=0$).

Если $1 < x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Если $2 < x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Если $3 < x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Если $4 < x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Если $5 < x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Если $x > 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)+P\left(X=6\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=1$.

Итак, $F(x)=\left\{\begin{matrix}
0,\ при\ x\le 1,\\
1/6,при\ 1 < x\le 2,\\
1/3,\ при\ 2 < x\le 3,\\
1/2,при\ 3 < x\le 4,\\
2/3,\ при\ 4 < x\le 5,\\
5/6,\ при\ 4 < x\le 5,\\
1,\ при\ x > 6.
\end{matrix}\right.$

В теории вероятностей приходится иметь дело со случайными величинами, все значения которых нельзя перебрать. Например, нельзя взять и «перебрать» все значения случайной величины $X$ - время службы часов, поскольку время может измеряться в часах, минутах, секундах, миллисекундах, и т.д. Можно лишь указать некоторый интервал, в пределах которого находятся значения случайной величины.

Непрерывная случайная величина - это случайная величина, значения которой целиком заполняют некоторый интервал.

Функция распределения непрерывной случайной величины

Поскольку перебрать все значения непрерывной случайной величины не представляется возможным, то задать ее можно с помощью функции распределения.

Функцией распределения случайной величины $X$ называется функция $F\left(x\right)$, которая определяет вероятность того, что случайная величина $X$ примет значение, меньшее некоторого фиксированного значения $x$, то есть $F\left(x\right)=P\left(X < x\right)$.

Свойства функции распределения:

1 . $0\le F\left(x\right)\le 1$.

2 . Вероятность того, что случайная величина $X$ примет значения из интервала $\left(\alpha ;\ \beta \right)$, равна разности значений функции распределения на концах этого интервала: $P\left(\alpha < X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$.

3 . $F\left(x\right)$ - неубывающая.

4 . ${\mathop{lim}_{x\to -\infty } F\left(x\right)=0\ },\ {\mathop{lim}_{x\to +\infty } F\left(x\right)=1\ }$.

Пример 1
0,\ x\le 0\\
x,\ 0 < x\le 1\\
1,\ x>1
\end{matrix}\right.$. Вероятность попадания случайной величины $X$ в интервал $\left(0,3;0,7\right)$ можем найти как разность значений функции распределения $F\left(x\right)$ на концах этого интервала, то есть:

$$P\left(0,3 < X < 0,7\right)=F\left(0,7\right)-F\left(0,3\right)=0,7-0,3=0,4.$$

Плотность распределения вероятностей

Функция $f\left(x\right)={F}"(x)$ называется плотностью распределения вероятностей, то есть это производная первого порядка, взятая от самой функции распределения $F\left(x\right)$.

Свойства функции $f\left(x\right)$.

1 . $f\left(x\right)\ge 0$.

2 . $\int^x_{-\infty }{f\left(t\right)dt}=F\left(x\right)$.

3 . Вероятность того, что случайная величина $X$ примет значения из интервала $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ - это $P\left(\alpha < X < \beta \right)=\int^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\right)dx}$. Геометрически это означает, что вероятность попадания случайной величины $X$ в интервал $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ равна площади криволинейной трапеции, которая будет ограничена графиком функции $f\left(x\right)$, прямыми $x=\alpha ,\ x=\beta $ и осью $Ox$.

4 . $\int^{+\infty }_{-\infty }{f\left(x\right)}=1$.

Пример 2 . Непрерывная случайная величина $X$ задана следующей функцией распределения $F(x)=\left\{\begin{matrix}
0,\ x\le 0\\
x,\ 0 < x\le 1\\
1,\ x>1
\end{matrix}\right.$. Тогда функция плотности $f\left(x\right)={F}"(x)=\left\{\begin{matrix}
0,\ x\le 0 \\
1,\ 0 < x\le 1\\
0,\ x>1
\end{matrix}\right.$

Математическое ожидание непрерывной случайной величины

Математическое ожидание непрерывной случайной величины $X$ вычисляется по формуле

$$M\left(X\right)=\int^{+\infty }_{-\infty }{xf\left(x\right)dx}.$$

Пример 3 . Найдем $M\left(X\right)$ для случайной величины $X$ из примера $2$.

$$M\left(X\right)=\int^{+\infty }_{-\infty }{xf\left(x\right)\ dx}=\int^1_0{x\ dx}={{x^2}\over {2}}\bigg|_0^1={{1}\over {2}}.$$

Дисперсия непрерывной случайной величины

Дисперсия непрерывной случайной величины $X$ вычисляется по формуле

$$D\left(X\right)=\int^{+\infty }_{-\infty }{x^2f\left(x\right)\ dx}-{\left}^2.$$

Пример 4 . Найдем $D\left(X\right)$для случайной величины $X$ из примера $2$.

$$D\left(X\right)=\int^{+\infty }_{-\infty }{x^2f\left(x\right)\ dx}-{\left}^2=\int^1_0{x^2\ dx}-{\left({{1}\over {2}}\right)}^2={{x^3}\over {3}}\bigg|_0^1-{{1}\over {4}}={{1}\over {3}}-{{1}\over {4}}={{1}\over{12}}.$$

Числовые характеристики непрерывных случайных величин. Пусть непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения f(x)

Пусть непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения f(x) . Допустим, что все возможные значения случайной величины принадлежат отрезку [a,b ].

Определение. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку , называется определенный интеграл

Если возможные значения случайной величины рассматриваются на всей числовой оси, то математическое ожидание находится по формуле:

При этом, конечно, предполагается, что несобственный интеграл сходится.

Определение. Дисперсией непрерывной случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения.

По аналогии с дисперсией дискретной случайной величины, для практического вычисления дисперсии используется формула:

Определение. Средним квадратичным отклонением называется квадратный корень из дисперсии.

Определение. Модой М 0 дискретной случайной величины называется ее наиболее вероятное значение. Для непрерывной случайной величины мода – такое значение случайной величины, при которой плотность распределения имеет максимум.

Если многоугольник распределения для дискретной случайной величины или кривая распределения для непрерывной случайной величины имеет два или несколько максимумов, то такое распределение называется двухмодальным или многомодальным . Если распределение имеет минимум, но не имеет максимума, то оно называется антимодальным .

Определение. Медианой M D случайной величины Х называется такое ее значение, относительно которого равновероятно получение большего или меньшего значения случайной величины.

Геометрически медиана – абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения делится пополам. Отметим, что если распределение одномодальное, то мода и медиана совпадают с математическим ожиданием.

Определение. Начальным моментом порядка k случайной величины Х называется математическое ожидание величины Х k .

Для дискретной случайной величины: .

.

Начальный момент первого порядка равен математическому ожиданию.

Определение. Центральным моментом порядка k случайной величины Х называется математическое ожидание величины

Для дискретной случайной величины: .

Для непрерывной случайной величины: .

Центральный момент первого порядка всегда равен нулю, а центральный момент второго порядка равен дисперсии. Центральный момент третьего порядка характеризует асимметрию распределения.

Определение. Отношение центрального момента третьего порядка к среднему квадратическому отклонению в третьей степени называется коэффициентом асимметрии .

Определение. Для характеристики островершинности и плосковершинности распределения используется величина, называемая эксцессом .

Кроме рассмотренных величин используются также так называемые абсолютные моменты:

Абсолютный начальный момент: . Абсолютный центральный момент: . Абсолютный центральный момент первого порядка называется средним арифметическим отклонением .

Пример. Для рассмотренного выше примера определить математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.

Пример. В урне 6 белых и 4 черных шара. Из нее пять раз подряд извлекают шар, причем каждый раз вынутый шар возвращают обратно и шары перемешивают. Приняв за случайную величину Х число извлеченных белых шаров, составить закон распределения этой величины, определить ее математическое ожидание и дисперсию.

Т.к. шары в каждом опыте возвращаются обратно и перемешиваются, то испытания можно считать независимыми (результат предыдущего опыта не влияет на вероятность появления или непоявления события в другом опыте).

Таким образом, вероятность появления белого шара в каждом опыте постоянна и равна

Таким образом, в результате пяти последовательных испытаний белый шар может не появиться вовсе, появиться один раз, два, три, четыре или пять раз. Для составления закона распределения надо найти вероятности каждого из этих событий.

1) Белый шар не появился вовсе:

2) Белый шар появился один раз:

3) Белый шар появиться два раза: .

Глава 6. Непрерывные случайные величины.

§ 1. Плотность и функция распределения непрерывной случайной величины.

Множество значений непрерывной случайной величины несчетно и обычно представляет собой некоторый промежуток конечный или бесконечный.

Случайная величина x(w),заданная в вероятностном пространстве {W, S,P}, называется непрерывной (абсолютно непрерывной) W, если существует неотрицательная функция такая, что при любых х функцию распределения Fx(x) можно представить в виде интеграла

Функция называется функцией плотности распределения вероятностей .

Из определения вытекают свойства функции плотности распределения :

1..gif" width="97" height="51">

3. В точках непрерывности плотность распределения равна производной функции распределения: .

4. Плотность распределения определяет закон распределения случайной величины, т. к. определяет вероятность попадания случайной величины на интервал :

5.Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет конкретное значение равна нулю: . Поэтому справедливы следующие равенства:

График функции плотности распределения называется кривой распределения , и площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице. Тогда геометрически значение функции распределения Fx(x) в точке х0 есть площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс и лежащая левее точки х0.

Задача 1. Функция плотности непрерывной случайной величины имеет вид:

Определить константу C, построить функцию распределения Fx(x) и вычислить вероятность .

Решение. Константа C находится из условия Имеем:

откуда C=3/8.

Чтобы построить функцию распределения Fx(x), отметим, что интервал делит область значений аргумента x (числовую ось) на три части: https://pandia.ru/text/78/107/images/image017_17.gif" width="264" height="49">

так как плотность x на полуоси равна нулю. Во втором случае

Наконец, в последнем случае, когда x>2,

Так как плотность обращается в нуль на полуоси . Итак, получена функция распределения

Вероятность вычислим по формуле . Таким образом,

§ 2. Числовые характеристики непрерывной случайной величины

Математическое ожидание для непрерывно распределенных случайных величин определяется по формуле https://pandia.ru/text/78/107/images/image028_11.gif" width="205" height="56 src=">,

если интеграл, стоящий справа, абсолютно сходится.

Дисперсия x может быть вычислена по формуле , а также, как и в дискретном случае, по формуле https://pandia.ru/text/78/107/images/image031_11.gif" width="123" height="49 src=">.

Все свойства математического ожидания и дисперсии , приведенные в главе 5 для дискретных случайных величин, справедливы и для непрерывных случайных величин.

Задача 2 . Для случайной величины x из задачи 1 вычислить математическое ожидание и дисперсию.

Решение.

И значит,

https://pandia.ru/text/78/107/images/image035_9.gif" width="184" height="69 src=">

График плотности равномерного распределения см. на рис. .

Рис.6.2. Функция распределения и плотность распределения. равномерного закона

Функция распределения Fx(x) равномерно распределенной случайной величины равна

Fx(x)=

Математическое ожидание и дисперсия ; .

Показательное (экспоненециальное) распределение. Непрерывная случайная величина x, принимающая неотрицательные значения, имеет показательное распределение с параметром l>0, если плотность распределения вероятностей случайной величины равна

рx(x)=

Рис. 6.3. Функция распределения и плотность распределения показательного закона.

Функция распределения показательного распределения имеет вид

Fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image041_8.gif" width="17" height="41">.gif" width="13" height="15"> и , если ее плотность распределения равна

.

Через обозначается множество всех случайных величин, распределенных по нормальному закону с параметрами параметрами и .

Функция распределения нормально распределенной случайной величины равна

.

Рис. 6.4. Функция распределения и плотность распределения нормального закона

Параметры нормального распределения суть математическое ожидание https://pandia.ru/text/78/107/images/image048_6.gif" width="64 height=24" height="24">

В частном случае, когда https://pandia.ru/text/78/107/images/image050_6.gif" width="44" height="21 src="> нормальное распределение называется стандартным , и класс таких распределений обозначается https://pandia.ru/text/78/107/images/image052_6.gif" width="119" height="49">,

а функция распределения

Такой интеграл не вычислим аналитически (не берется в «квадратурах»), и потому для функции составлены таблицы. Функция связана с введенной в главе 4 функцией Лапласа

,

следующим соотношением . В случае же произвольных значений параметров https://pandia.ru/text/78/107/images/image043_5.gif" width="21" height="21 src="> функция распределения случайной величины связана с функцией Лапласа с помощью соотношения:

.

Поэтому вероятность попадания нормально распределенной случайной величины на интервал можно вычислять по формуле

.

Неотрицательная случайная величина x называется логарифмически нормально распределенной, если ее логарифм h=lnx подчинен нормальному закону. Математическое ожидание и дисперсия логарифмически нормально распределенной случайной величины равны Мx= и Dx=.

Задача 3. Пусть задана случайная величина https://pandia.ru/text/78/107/images/image065_5.gif" width="81" height="23">.

Решение. Здесь и https://pandia.ru/text/78/107/images/image068_5.gif" width="573" height="45">

Распределение Лапласа задается функцией fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image070_5.gif" width="23" height="41"> и эксцесс равен gx=3.

Рис.6.5. Функция плотности распределения Лапласа.

Случайная величина x распределена по закону Вейбулла , если она имеет функцию плотности распределения, равную https://pandia.ru/text/78/107/images/image072_5.gif" width="189" height="53">

Распределению Вейбулла подчиняются времена безотказной работы многих технических устройств. В задачах данного профиля важной характеристикой является интенсивность отказа (коэффициент смертности) l(t) исследуемых элементов возраста t, определяемый соотношением l(t)=. Если a=1, то распределение Вейбулла превращается в экспоненциальное распределение, а если a=2 - в так называемое распределение Рэлея.

Математическое ожидание распределения Вейбулла: -https://pandia.ru/text/78/107/images/image075_4.gif" width="219" height="45 src=">, где Г(а) - функция Эйлера. .

В различных задачах прикладной статистики часто встречаются так называемые «усеченные» распределения. Например, налоговые органы интересуются распределением доходов тех лиц, годовой доход которых превосходит некоторый порог с0, установленный законами о налогообложении. Эти распределения оказываются приближенно совпадающими с распределением Парето. Распределение Парето задается функциями

Fx(x)=P(x.gif" width="44" height="25"> случайной величины x и монотонная дифференцируемая функция ..gif" width="200" height="51">

Здесь https://pandia.ru/text/78/107/images/image081_4.gif" width="60" height="21 src=">.

Задача 4. Случайная величина равномерно распределена на отрезке . Найти плотность случайной величины .

Решение. Из условия задачи следует, что

Далее, функция является монотонной и дифференцируемой функцией на отрезке и имеет обратную функцию , производная которой равна Следовательно,

§ 5. Пара непрерывных случайных величин

Пусть заданы две непрерывные случайные величины x и h. Тогда пара (x, h) определяет «случайную» точку на плоскости. Пару (x, h) называют случайным вектором или двумерной случайной величиной.

Совместной функцией распределения случайных величин x и h и называется функция F(x, y)=Phttps://pandia.ru/text/78/107/images/image093_3.gif" width="173" height="25">. Совместной плотностью распределения вероятностей случайных величин x и h называется функция такая, что .

Смысл такого определения совместной плотности распределения заключается в следующем. Вероятность того, что «случайная точка» (x, h) попадет в область на плоскости, вычисляется как объем трехмерной фигуры – «криволинейного» цилиндра, ограниченного поверхностью https://pandia.ru/text/78/107/images/image098_3.gif" width="211" height="39 src=">

Простейшим примером совместного распределения двух случайных величин является двумерное равномерное распределение на множестве A . Пусть задано ограниченное множество М с площадью Оно определяется как распределение пары (x, h), задаваемое с помощью следующей совместной плотности:

Задача 5. Пусть двумерный случайный вектор (x, h) равномерно распределен внутри треугольника . Вычислить вероятность неравенства x>h.

Решение. Площадь указанного треугольника равна (см. рис. № ?). В силу определения двумерного равномерного распределения совместная плотность случайных величин x, h равна

Событие соответствует множеству на плоскости, т. е. полуплоскости. Тогда вероятность

На полуплоскости B совместная плотность равна нулю вне множества https://pandia.ru/text/78/107/images/image102_2.gif" width="15" height="17">. Таким образом, полуплоскость B разбивается на два множества и https://pandia.ru/text/78/107/images/image110_1.gif" width="17" height="23"> и , причем второй интеграл равен нулю, так как там совместная плотность равна нулю. Поэтому

Если задана совместная плотность распределения для пары (x, h), то плотности и составляющих x и h называются частными плотностями и вычисляются по формулам:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image116_1.gif" width="224" height="23 src=">

Для непрерывно распределенных случайных величин с плотностями рx(х), рh(у) независимость означает, что

Задача 6. В условиях предыдущей задачи определить, независимы ли составляющие случайного вектора x и h?

Решение . Вычислим частные плотности и . Имеем:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image119_1.gif" width="283" height="61 src=">

Очевидно, что в нашем случае https://pandia.ru/text/78/107/images/image121_1.gif" width="64" height="25"> - совместная плотность величин x и h, а j(х, у) - функция двух аргументов, тогда

https://pandia.ru/text/78/107/images/image123_1.gif" width="184" height="152 src=">

Задача 7. В условиях предыдущей задачи вычислить .

Решение. Согласно указанной выше формуле имеем:

.

Представив треугольник в виде

https://pandia.ru/text/78/107/images/image127_1.gif" width="479" height="59">

§ 5. Плотность суммы двух непрерывных случайных величин

Пусть x и h - независимые случайные величины с плотностями https://pandia.ru/text/78/107/images/image128_1.gif" width="43" height="25">. Плотность случайной величины x + h вычисляется по формуле свертки

https://pandia.ru/text/78/107/images/image130_0.gif" width="39" height="19 src=">. Вычислить плотность суммы .

Решение. Так как x и h распределены по показательному закону с параметром , то их плотности равны

Следовательно,

https://pandia.ru/text/78/107/images/image134_0.gif" width="339 height=51" height="51">

Если x<0, то в этой формуле аргумент https://pandia.ru/text/78/107/images/image136_0.gif" width="65" height="25">отрицателен, и потому . Поэтому Если же https://pandia.ru/text/78/107/images/image140_0.gif" width="359 height=101" height="101">

Таким образом, мы получили ответ:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image142_0.gif" width="40" height="41 "> нормально распределена с параметрами 0 и 1. Случайные величины x1 и x2 независимы и имеют нормальные распределения с параметрами а1, и а2, соответственно. Доказать, что x1 + x2 имеет нормальное распределение. Случайные величины x1, x2, ... xn распределены и независимы и имеют одинаковую функцию плотности распределения

.

Найти функцию распределения и плотность распределения величин:

а) h1 = min {x1 , x2, ...xn} ; б) h(2) = max {x1,x2, ... xn }

Случайные величины x1, x2, ... xn независимы и равномерно распределены на отрезке [а, b]. Найти функции распределения и функции плотности распределения величин

x(1) = min {x1,x2, ... xn} и x(2)= max{x1, x2, ...xn}.

Доказать, что Мhttps://pandia.ru/text/78/107/images/image147_0.gif" width="176" height="47">.

Случайная величина распределена по закону Коши Найти: а) коэффициент а; б) функцию распределения; в) вероятность попадания на интервал (-1, 1). Показать, что математическое ожидание x не существует. Случайная величина подчинена закону Лапласа с параметром l (l>0): Найти коэффициент а; построить графики плотности распределения и функции распределения; найти Mx и Dx; найти вероятности событий {|x|< и {çxç<}. Случайная величина x подчинена закону Симпсона на отрезке [-а, а], т. е. график её плотности распределения имеет вид:

Написать формулу для плотности распределения, найти Мx и Dx.

Вычислительные задачи.

Случайная точка А имеет в круге радиуса R равномерное распределение. Найти математическое ожидание и дисперсию расстояния r точки до центра круга. Показать, что величина r2 равномерно распределена на отрезке .

Плотность распределения случайной величины имеет вид:

Вычислить константу C, функцию распределения F(x), и вероятность Плотность распределения случайной величины имеет вид:

Вычислить константу C, функцию распределения F(x), и вероятность Плотность распределения случайной величины имеет вид:
Вычислить константу C, функцию распределения F(x), , дисперсию и вероятность Случайная величина имеет функцию распределения

Вычислить плотность случайной величины, математическое ожидание, дисперсию и вероятность Проверить, что функция =
может быть функцией распределения случайной величины. Найти числовые характеристики этой величины: Mx и Dx. Случайная величина равномерно распределена не отрезке . Выписать плотность распределения. Найти функцию распределения. Найти вероятность попадания случайной величины на отрезок и на отрезок . Плотность распределения x равна

.

Найти постоянную с, плотность распределения h = и вероятность

Р (0,25

Время безотказной работы ЭВМ распределено по показательному закону с параметром l = 0,05 (отказа в час), т. е. имеет функцию плотности

р(х) =.

Решение определенной задачи требует безотказной работы машины в течение 15 минут. Если за время решения задачи произошел сбой, то ошибка обнаруживается только по окончании решения, и задача решается заново. Найти: а) вероятность того, что за время решения задачи не произойдет ни одного сбоя; б) среднее время, за которое будет решена задача.

Стержень длины 24 см ломают на две части; будем считать, что точка излома распределена равномерно по всей длине стержня. Чему равна средняя длина большей части стержня? Отрезок длины 12 см случайным образом разрезается на две части. Точка разреза равномерно распределена по всей длине отрезка. Чему равна средняя длина малой части отрезка? Случайная величина равномерно распределена на отрезке . Найти плотность распределения случайной величины а) h1 = 2x + 1; б) h2 =-ln(1-x); в) h3 = .

Показать, что если x имеет непрерывную функцию распределения

F(x) = P(x

Найти функцию плотности и функцию распределения суммы двух независимых величин x и h c равномерными законами распределения на отрезках и соответственно. Случайные величины x и h независимы и равномерно распределены на отрезках и соответственно. Вычислить плотность суммы x+h. Случайные величины x и h независимы и равномерно распределены на отрезках и соответственно. Вычислить плотность суммы x+h. Случайные величины x и h независимы и равномерно распределены на отрезках и соответственно. Вычислить плотность суммы x+h. Случайные величины независимы и имеют показательное распределение с плотностью . Найти плотность распределения их суммы. Найти распределение суммы независимых случайных величин x и h, где x имеет равномерное на отрезке распределение, а h имеет показательное распределение с параметром l. Найти Р, если x имеет: а) нормальное распределение с параметрами а и s2 ; б) показательное распределение с параметром l; в) равномерное распределение на отрезке [-1;1]. Совместное распределение x, h является равномерным в квадрате
К ={х, у): |х| +|у|£ 2}. Найти вероятность. Являются ли x и h независимыми? Пара случайных величин x и h равномерно распределена внутри треугольника K=. Вычислить плотность x и h. Являются ли эти случайные величины независимыми? Найти вероятность . Случайные величины x и h независимы и равномерно распределены на отрезках и [-1,1]. Найти вероятность . Двумерная случайная величина (x, h) равномерно распределена в квадрате с вершинами (2,0), (0,2), (-2, 0), (0,-2). Найти значение совместной функции распределения в точке (1, -1). Случайный вектор (x, h) равномерно распределен внутри круга радиуса 3 с центром в начале координат. Написать выражение для совместной плотности распределения. Определить, зависимы ли эти случайные величины. Вычислить вероятность . Пара случайных величин x и h равномерно распределена внутри трапеции с вершинами в точках (-6,0), (-3,4), (3,4), (6,0). Найти совместную плотность распределения для этой пары случайных величин и плотности составляющих. Зависимы ли x и h? Случайная пара (x, h) равномерно распределена внутри полукруга . Найти плотности x и h, исследовать вопрос об их зависимости. Совместная плотность двух случайных величин x и h равна .
Найти плотности x, h. Исследовать вопрос о зависимости x и h. Случайная пара (x, h) равномерно распределена на множестве . Найти плотности x и h, исследовать вопрос об их зависимости. Найти М(xh). Случайные величины x и h независимы и распределены по показательному закону с параметром Найти

Случайной величиной называется переменная, которая может принимать те или иные значения в зависимости от различных обстоятельств, и случайная величина называется непрерывной , если она может принимать любое значение из какого-либо ограниченного или неограниченного интервала. Для непрерывной случайной величины невозможно указать все возможные значения, поэтому обозначают интервалы этих значений, которые связаны с определёнными вероятностями.

Примерами непрерывных случайных величин могут служить: диаметр детали, обтачиваемой до заданного размера, рост человека, дальность полёта снаряда и др.

Так как для непрерывных случайных величин функция F (x ), в отличие от дискретных случайных величин , нигде не имеет скачков, то вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю.

Это значит, что для непрерывной случайной величины бессмысленно говорить о распределении вероятностей между её значениями: каждое из них имеет нулевую вероятность. Однако в некотором смысле среди значений непрерывной случайной величины есть "более и менее вероятные". Например, вряд ли у кого-либо возникнет сомнение, что значение случайной величины - роста наугад встреченного человека - 170 см - более вероятно, чем 220 см, хотя и одно, и другое значение могут встретиться на практике.

Функция распределения непрерывной случайной величины и плотность вероятности

В качестве закона распределения, имеющего смысл только для непрерывных случайных величин, вводится понятие плотности распределения или плотности вероятности. Подойдём к нему путём сравнения смысла функции распределения для непрерывной случайной величины и для дискретной случайной величины.

Итак, функцией распределения случайной величины (как дискретной, так и непрерывной) или интегральной функцией называется функция , которая определяет вероятность, что значение случайной величины X меньше или равно граничному значению х .

Для дискретной случайной величины в точках её значений x 1 , x 2 , ..., x i ,... сосредоточены массы вероятностей p 1 , p 2 , ..., p i ,... , причём сумма всех масс равна 1. Перенесём эту интерпретацию на случай непрерывной случайной величины. Представим себе, что масса, равная 1, не сосредоточена в отдельных точках, а непрерывно "размазана" по оси абсцисс Оx с какой-то неравномерной плотностью. Вероятность попадания случайной величины на любой участок Δx будет интерпретироваться как масса, приходящаяся на этот участок, а средняя плотность на этом участке - как отношение массы к длине. Только что мы ввели важное понятие теории вероятностей: плотность распределения.

Плотностью вероятности f (x ) непрерывной случайной величины называется производная её функции распределения:

.

Зная функцию плотности, можно найти вероятность того, что значение непрерывной случайной величины принадлежит закрытому интервалу [a ; b ]:

вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет какое-либо значение из интервала [a ; b ], равна определённому интегралу от её плотности вероятности в пределах от a до b :

.

При этом общая формула функции F (x ) распределения вероятностей непрерывной случайной величины, которой можно пользоваться, если известна функция плотности f (x ) :

.

График плотности вероятности непрерывной случайной величины называется её кривой распределения (рис. ниже).

Площадь фигуры (на рисунке заштрихована), ограниченной кривой, прямыми, проведёнными из точек a и b перпендикулярно оси абсцисс, и осью Ох , графически отображает вероятность того, что значение непрерывной случайной величины Х находится в пределах от a до b .

Свойства функции плотности вероятности непрерывной случайной величины

1. Вероятность того, что случайная величина примет какое-либо значение из интервала (и площадь фигуры, которую ограничивают график функции f (x ) и ось Ох ) равна единице:

2. Функция плотности вероятности не может принимать отрицательные значения:

а за пределами существования распределения её значение равно нулю

Плотность распределения f (x ), как и функция распределения F (x ), является одной из форм закона распределения, но в отличие от функции распределения, она не универсальна: плотность распределения существует только для непрерывных случайных величин.

Упомянем о двух важнейших в практике видах распределения непрерывной случайной величины.

Если функция плотности распределения f (x ) непрерывной случайной величины в некотором конечном интервале [a ; b ] принимает постоянное значение C , а за пределами интервала принимает значение, равное нулю, то такое распределение называется равномерным .

Если график функции плотности распределения симметричен относительно центра, средние значения сосредоточены вблизи центра, а при отдалении от центра собираются более отличающиеся от средних (график функции напоминает разрез колокола), то такое распределение называется нормальным .

Пример 1. Известна функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины:

Найти функцию f (x ) плотности вероятности непрерывной случайной величины. Построить графики обеих функций. Найти вероятность того, что непрерывная случайная величина примет какое-либо значение в интервале от 4 до 8: .

Решение. Функцию плотности вероятности получаем, находя производную функции распределения вероятностей:

График функции F (x ) - парабола:

График функции f (x ) - прямая:

Найдём вероятность того, что непрерывная случайная величина примет какое либо значение в интервале от 4 до 8:

Пример 2. Функция плотности вероятности непрерывной случайной величины дана в виде:

Вычислить коэффициент C . Найти функцию F (x ) распределения вероятностей непрерывной случайной величины. Построить графики обеих функций. Найти вероятность того, что непрерывная случайная величина примет какое-либо значение в интервале от 0 до 5: .

Решение. Коэффициент C найдём, пользуясь свойством 1 функции плотности вероятности:

Таким образом, функция плотности вероятности непрерывной случайной величины:

Интегрируя, найдём функцию F (x ) распределения вероятностей. Если x < 0 , то F (x ) = 0 . Если 0 < x < 10 , то

.

x > 10 , то F (x ) = 1 .

Таким образом, полная запись функции распределения вероятностей:

График функции f (x ) :

График функции F (x ) :

Найдём вероятность того, что непрерывная случайная величина примет какое либо значение в интервале от 0 до 5:

Пример 3. Плотность вероятности непрерывной случайной величины X задана равенством , при этом . Найти коэффициент А , вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет какое-либо значение из интервала ]0, 5[, функцию распределения непрерывной случайной величины X .

Решение. По условию приходим к равенству

Следовательно, , откуда . Итак,

.

Теперь находим вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет какое-либо значение из интервала ]0, 5[:

Теперь получим функцию распределения данной случайной величины:

Пример 4. Найти плотность вероятности непрерывной случайной величины X , которая принимает только неотрицательные значения, а её функция распределения .

← Вернуться