Upoznao sam ga pod imenom "The Monty Hall Paradox", i wow, riješio drugačije, naime: dokazao da je ovo pseudo-paradoks.

Prijatelji, rado ću poslušati kritike na račun mog pobijanja ovog paradoksa (pseudoparadoksa, ako sam u pravu). I onda ću svojim očima vidjeti da mi je logika šepa, prestat ću zamišljati sebe kao mislioca i razmišljati o tome da svoju vrstu aktivnosti promijenim u lirskiju :o). Dakle, evo sadržaja zadatka. Predloženo rješenje i moje pobijanje su u nastavku.

Zamislite da ste učesnik igre u kojoj se nalazite ispred troja vrata. Voditeljica, za koju se zna da je iskrena, stavila je automobil iza jednih vrata, a po jednu kozu iza druga dva. Nemate informaciju šta je iza kojih vrata.

Domaćin vam kaže: „Prvo morate izabrati jedna od vrata. Nakon toga ću otvoriti jedna od preostalih vrata, iza kojih je koza. Tada ću vam reći da promijenite svoj prvobitni izbor i odaberete preostala zatvorena vrata umjesto onih koje ste prvobitno odabrali. Možete poslušati moj savjet i odabrati druga vrata, ili potvrditi svoj prvobitni izbor. Nakon toga, ja ću otvoriti vrata koja si izabrao i ti ćeš osvojiti sve što je iza tih vrata.”

Vi birate vrata broj 3. Domaćin otvara vrata broj 1 i pokazuje da je iza njih koza. Zatim domaćin traži da odaberete vrata broj 2.

Hoće li vam se šanse za osvajanje automobila povećati ako poslušate njegov savjet?
Paradoks Monty Halla jedan je od poznatih problema u teoriji vjerovatnoće, čije je rješenje na prvi pogled u suprotnosti sa zdravim razumom.
Prilikom rješavanja ovog problema obično razmišljaju ovako: nakon što je vođa otvorio vrata iza kojih se nalazi koza, auto može biti samo iza jednog od dva preostala vrata. Budući da igrač ne može dobiti nikakve dodatne informacije o tome iza kojih vrata se nalazi automobil, vjerovatnoća pronalaska automobila iza svih vrata je ista, a promjena prvobitnog izbora vrata igrača ne daje igraču nikakvu prednost. Međutim, ova linija rezonovanja je netačna.
Ako domaćin uvijek zna koja su vrata iza onoga što je, uvijek otvara jedna od preostalih vrata iza kojih se nalazi koza i uvijek poziva igrača da promijeni svoj izbor, tada je vjerovatnoća da je auto iza vrata koju je igrač izabrao je 1/3, i, shodno tome, vjerovatnoća da je automobil iza preostalih vrata je 2/3. Dakle, promjena početnog izbora povećava šanse igrača za osvajanje automobila za 2 puta. Ovaj zaključak je u suprotnosti sa intuitivnom percepcijom situacije od strane većine ljudi, zbog čega se opisani problem naziva Monty Hall paradoks.

Čini mi se da se šanse neće promijeniti, tj. nema paradoksa.

I evo zašto: prva i druga vrata su izbori nezavisni događaji. To je kao da dvaput bacite novčić: ono što se pojavi drugi put ne zavisi ni na koji način od onoga što ispadne prvi put.

Tako je i ovdje: nakon što otvori vrata s kozom, igrač se nađe unutra novoj situaciji , kada ima 2 vrata i vjerovatnoća izbora automobila ili koze je 1/2.

Još jednom: nakon otvaranja jednih od tri vrata, vjerovatnoća da je automobil iza preostalih vrata je nije jednako 2/3, jer 2/3 je vjerovatnoća da je automobil iza bilo koja 2 vrata. Netačno je pripisivati ​​ovu vjerovatnoću neotvorenim ili otvorenim vratima. Prije otvaranje vrata je bila takva ravnoteža vjerovatnoća, ali poslije otvarajući jedna vrata, sve ove vjerovatnoće postaju beznačajno, jer situacija se promijenila i stoga je potreban novi proračun vjerovatnoće, koji obični ljudi ispravno, odgovor da promjena izbora neće promijeniti ništa.

Dodatak: 1) obrazlažući da:

a) vjerovatnoća pronalaska automobila iza odabranih vrata je 1/3,

b) vjerovatnoća da je automobil iza još dva neizabrana vrata je 2/3,

c) jer vođa je otvorio vrata sa kozom, tada vjerovatnoća od 2/3 ide u potpunosti na jedna neodabrana (i neotvorena) vrata,

i stoga je potrebno promijeniti izbor na druga vrata tako da vjerovatnoća od 1/3 postane 2/3, nije tačno, ali netačno, naime: u stavu "c", jer se u početku vjerovatnoća od 2/3 odnosi na bilo koja dva vrata, uključujući i 2 koja su ostala neotvorena, a pošto su jedna vrata otvorena, onda će se ova vjerovatnoća podijeliti jednako na 2 neotvorena, tj. vjerovatnoća će biti jednaka, a odabir drugih vrata je neće povećati.

2) uslovne vjerovatnoće se računaju ako postoje 2 ili više slučajnih događaja, a za svaki događaj se posebno računa vjerovatnoća, a tek onda se računa vjerovatnoća zajedničkog nastupa 2 ili više događaja. Ovdje je isprva vjerovatnoća pogađanja bila 1/3, ali da biste izračunali vjerovatnoću da automobil nije iza odabranih vrata, već iza onih drugih koja nisu otvorena, ne morate izračunati uvjet vjerovatnoća, ali morate izračunati jednostavna vjerovatnoća, što je jednako 1 od 2, tj. 1/2.

3) Dakle, ovo nije paradoks, već zabluda! (19.11.2009.)

Dodatak 2: Jučer sam došao do najjednostavnijeg objašnjenja za to strategija reizbora je ipak povoljnija(paradoks je tačan!): sa prvim izborom, ulazak u kozu je 2 puta vjerojatniji nego u auto, jer postoje dvije koze, pa prema tome, sa drugim izborom, morate promijeniti izbor. Tako je ocigledno :o)

Ili drugim riječima: ne morate obilježavati koze u autu, već ih odvojite, a čak i vođa pomaže u tome otvaranjem koze. I na početku igre, sa vjerovatnoćom 2 od 3, igrač će uspjeti, tako da nakon izbacivanja koza, morate promijeniti izbor. I ovo je odjednom postalo vrlo očigledno: o)

Dakle, sve što sam do sada napisao je pseudo-pobijanje. Pa, evo još jedne ilustracije činjenice da morate biti skromniji, poštovati tuđe gledište i ne vjerovati uvjeravanjima svoje logike da su njene odluke kristalno logične.

“Postoje tri vrste laži: laži, proklete laži i statistika.” Ova fraza, koju je Mark Tven pripisao britanskom premijeru Benjaminu Dizraeliju, pošteno odražava stav većine prema matematičkim zakonima. Zaista, teorija vjerovatnoće se ponekad pojavi neverovatne činjenice, u koje je na prvi pogled teško povjerovati - a koje, ipak, potvrđuje nauka. “Teorije i prakse” podsjetile su na najpoznatije paradokse.

Monty Hall problem

Upravo je to problem koji je lukavi profesor MIT-a predstavio studentima u filmu Dvadeset jedan. Nakon što ste dali tačan odgovor, glavni lik završava u timu briljantnih mladih matematičara koji pobjeđuju kazina u Las Vegasu.

Klasična formulacija glasi ovako: „Recimo da je određenom igraču ponuđeno da učestvuje u čuvenoj američkoj TV emisiji Let’s Make a Deal, koju vodi Monty Hall, a on treba da izabere jedno od tri vrata. Iza dvoja vrata su koze, iza jednih - Velika nagrada, auto, prezenter zna lokaciju nagrada. Nakon što igrač odabere, domaćin otvara jedna od preostalih vrata, iza kojih se nalazi koza, i poziva igrača da promijeni svoju odluku. Treba li se igrač složiti ili je bolje zadržati svoj prvobitni izbor?”

Evo tipične linije rezonovanja: nakon što je domaćin otvorio jedna od vrata i pokazao kozu, igrač mora izabrati između dva vrata. Auto se nalazi iza jednog od njih, što znači da je vjerovatnoća da ćete ga pogoditi ½. Dakle, nije bitno hoćete li promijeniti svoj izbor ili ne. Pa ipak, teorija vjerovatnoće kaže da možete povećati svoje šanse za pobjedu promjenom odluke. Hajde da shvatimo zašto je to tako.

Da bismo to uradili, vratimo se korak unazad. U trenutku kada smo napravili prvi izbor, vrata smo podijelili na dva dijela: jedan koji smo izabrali i druga dva. Očigledno, vjerovatnoća da se automobil krije iza „naših” vrata je ⅓ - prema tome, auto je iza jednog od dva preostala vrata sa vjerovatnoćom od ⅔. Kada voditelj pokaže da se iza jednih od ovih vrata nalazi koza, ispada da ova ⅔ šansa pada na druga vrata. I to smanjuje izbor igrača na dvoja vrata, iza kojih se jedna (početno odabrana) nalazi automobil s vjerovatnoćom od ⅓, a iza druge - s vjerovatnoćom od ⅔. Izbor postaje očigledan. Što, naravno, ne menja činjenicu da je igrač od samog početka mogao da bira vrata sa automobilom.

Problem tri zatvorenika

Paradoks tri zatvorenika sličan je problemu Monty Halla, iako se odvija u dramatičnijem okruženju. Osuđena su tri zatvorenika (A, B i C). smrtna kazna i stavljen u samicu. Guverner nasumično bira jednog od njih i daje mu pomilovanje. Upravnik zna ko je od njih trojice pomilovan, ali mu je naređeno da to čuva u tajnosti. Zatvorenik A traži od čuvara da mu kaže ime drugog zatvorenika (osim njega) koji će sigurno biti pogubljen: „ako je B pomilovan, reci mi da će biti pogubljen C. Ako je B pomilovan, reci mi da će B biti pogubljen. Ako su oboje pogubljeni, a ja sam pomilovan, bacite novčić i izgovorite bilo koje od ova dva imena.” Upravnik kaže da će zatvorenik B biti pogubljen. Da li zatvorenik A treba da bude sretan?

Tako bi izgledalo. Uostalom, prije nego što je dobio ovu informaciju, vjerovatnoća smrti zatvorenika A bila je ⅔, a sada zna da će jedan od druga dva zatvorenika biti pogubljen - što znači da je vjerovatnoća njegovog pogubljenja smanjena na ½. Ali zapravo, zatvorenik A nije saznao ništa novo: ako ne bude pomilovan, reklo bi mu se ime drugog zatvorenika, a on je već znao da će jedan od dvojice preostalih biti pogubljen. Ako bude imao sreće i pogubljenje bude otkazano, čuće nasumično ime B ili C. Dakle, njegove šanse za spas se ni na koji način nisu promijenile.

Sada zamislite da jedan od preostalih zatvorenika sazna za pitanje zatvorenika A i dobijen odgovor. To će promijeniti njegove stavove o vjerovatnoći pomilovanja.

Ako je zatvorenik B čuo razgovor, znat će da će sigurno biti pogubljen. A ako je zatvorenik B, onda će vjerovatnoća njegovog pomilovanja biti ⅔. Zašto se to dogodilo? Zatvorenik A nije dobio nikakvu informaciju i još uvijek ima ⅓ šanse da bude pomilovan. Zatvorenik B sigurno neće biti pomilovan, a šanse su mu ravne nuli. To znači da je vjerovatnoća da će treći zatvorenik biti pušten ⅔.

Paradoks dve koverte

Ovaj paradoks postao je poznat zahvaljujući matematičaru Martinu Gardneru, a formuliran je na sljedeći način: „Pretpostavimo da su vama i prijatelju ponuđene dvije koverte, od kojih jedna sadrži određeni iznos novca X, a druga dvostruko veći iznos. Samostalno otvarate koverte, brojite novac, a zatim ih možete zamijeniti. Koverte su iste, pa je vjerovatnoća da ćete dobiti kovertu sa manjim iznosom ½. Recimo da otvorite kovertu i nađete 10 dolara u njoj. Stoga je jednako vjerovatno da koverta vašeg prijatelja sadrži 5 ili 20 dolara. Ako se odlučite za zamjenu, možete izračunati očekivanu vrijednost ukupan iznos - odnosno njegova prosječna vrijednost. To je 1/2x5$+1/2x20=12,5$. Dakle, razmjena je korisna za vas. I, najvjerovatnije, vaš prijatelj će razmišljati na isti način. Ali očigledno je da razmena ne može biti korisna za oboje. u čemu je greška?

Paradoks je da sve dok ne otvorite svoju kovertu, vjerovatnoće se ponašaju dobro: zapravo imate 50% šanse da pronađete iznos X u svojoj koverti i 50% šanse da pronađete iznos 2X. A zdrav razum nalaže da informacija o količini koju imate ne može uticati na sadržaj druge koverte.

Međutim, čim otvorite kovertu, situacija se dramatično mijenja (ovaj paradoks je donekle sličan priči o Schrödingerovoj mački, gdje samo prisustvo posmatrača utiče na stanje stvari). Činjenica je da da bi se ispunili uslovi paradoksa, verovatnoća da se u drugoj koverti nađe veći ili manji iznos od vaše mora biti ista. Ali tada je bilo koja vrijednost ove sume od nule do beskonačnosti jednako vjerovatna. A ako postoji jednako vjerojatan beskonačan broj mogućnosti, one se zbrajaju u beskonačnost. A ovo je nemoguće.

Radi jasnoće, možete zamisliti da pronađete jedan cent u svojoj koverti. Očigledno, druga koverta ne može sadržavati polovinu iznosa.

Zanimljivo je da rasprave o rješavanju paradoksa traju do danas. Istovremeno se pokušava i objasniti paradoks iznutra i razviti najbolja strategija ponašanje u takvoj situaciji. Konkretno, profesor Thomas Cover je predložio originalan pristup formiranju strategije - promijeniti ili ne promijeniti omotnicu, vođen nekim intuitivnim očekivanjem. Recimo, ako otvorite kovertu i nađete u njoj 10 dolara - mali iznos po vašoj procjeni - vrijedi ga zamijeniti. A ako se u koverti nalazi, recimo, 1.000 dolara, što prevazilazi vaša najluđa očekivanja, onda nema potrebe za mijenjanjem. Ova intuitivna strategija, ako se od vas redovno traži da odaberete dvije koverte, omogućava vam da povećate svoj ukupni dobitak više od strategije stalnog mijenjanja koverte.

Paradoks dječaka i djevojčice

Ovaj paradoks je također predložio Martin Gardner i formuliran je na sljedeći način: „Gospodin Smith ima dvoje djece. Najmanje jedno dijete je dječak. Kolika je vjerovatnoća da je i drugi dječak?

Čini se da je zadatak jednostavan. Međutim, ako počnete da se bavite time, iskrsava se neobična okolnost: tačan odgovor će se razlikovati ovisno o tome kako izračunamo vjerovatnoću spola drugog djeteta.

Opcija 1

Razmotrimo sve moguće kombinacije u porodicama sa dvoje djece:

Girl/Girl

Girl boy

Dječak/djevojčica

Dječak/Dječak

Opcija djevojka/djevojka nam ne odgovara prema uslovima zadatka. Dakle, za porodicu gospodina Smitha postoje tri podjednako vjerovatne opcije – što znači da je vjerovatnoća da će i drugo dijete biti dječak ⅓. Upravo je to odgovor koji je sam Gardner dao na početku.

Opcija 2

Zamislimo da sretnemo gospodina Smitha na ulici dok šeta sa svojim sinom. Kolika je vjerovatnoća da je i drugo dijete dječak? Pošto pol drugog djeteta nema nikakve veze sa polom prvog, očigledan (i tačan) odgovor je ½.

Zašto se to dešava, jer se čini da se ništa nije promijenilo?

Sve zavisi od toga kako pristupamo pitanju izračunavanja verovatnoće. U prvom slučaju razmotrili smo sve moguće opcije za porodicu Smith. U drugom, smatrali smo da sve porodice potpadaju potrebno stanje"mora postojati jedan dječak." Izračunavanje vjerovatnoće spola drugog djeteta izvršeno je uz ovaj uslov (u teoriji vjerovatnoće to se zove „uslovna vjerovatnoća“), što je dovelo do rezultata različitog od prvog.

12. novembar 2013. u 08:23

Monty Hall paradoks i Excel

• Matematika

Nesretni su oni ljudi koji ne znaju programirati barem na nivou Excel formule! Na primjer, uvijek će im se činiti da su paradoksi teorije vjerovatnoće hirovite matematičara koji nisu u stanju razumjeti pravi zivot. U međuvremenu, teorija vjerovatnoće zapravo modelira stvarne procese, dok ljudska misao često ne može u cijelosti shvati šta se dešava.

Uzmimo Monty Hallov paradoks; ovdje ću dati njegovu formulaciju sa ruske Wikipedije:

Zamislite da ste postali učesnik igre u kojoj trebate izabrati jedno od tri vrata. Iza jednih vrata je auto, a iza druga dva su koze. Odaberete jedna od vrata, na primjer, broj 1, nakon čega vođa, koji zna gdje je auto, a gdje su koze, otvara jedna od preostalih vrata, na primjer, broj 3, iza kojih se nalazi koza. Zatim vas pita da li biste željeli promijeniti svoj izbor i izabrati vrata broj 2. Hoće li vam se povećati šanse za osvajanje automobila ako prihvatite ponudu domaćina i promijenite svoj izbor?

(u ovom slučaju, učesnik igre unaprijed zna sljedeća pravila:

1. auto je jednako vjerovatno postavljen iza bilo koje od 3 vrata;
2. U svakom slučaju, prezenter je dužan otvoriti vrata sa kozom (ali ne onim koju je igrač izabrao) i pozvati igrača da promijeni izbor;
3. ako vođa ima izbor koja od 2 vrata da otvori, on bira bilo koja od njih sa jednakom vjerovatnoćom)

Na prvi pogled koeficijent se ne bi trebao mijenjati (izvinite, ovo za mene više nije paradoks, i više ne mogu smisliti neko pogrešno objašnjenje zašto se šanse neće promijeniti, što bi na prvi pogled izgledalo logično).

Tipično, naratori ovog paradoksa počinju da se upuštaju u složeno rezonovanje ili zatrpavaju čitaoca formulama. Ali ako znate makar malo programiranja, ovo vam ne treba. Možete pokrenuti simulacijske eksperimente i vidjeti koliko često pobjeđujete ili gubite s određenom strategijom.

Zaista, šta je vjerovatnoća? Kada kažu "s datom strategijom, vjerovatnoća pobjede je 1/3" - to znači da ako provedete 1000 eksperimenata, dobit ćete oko 333 od njih. Odnosno, drugim riječima, šanse su "1 prema 3" - ovo je doslovno jedan od tri eksperimenta. “Vjerovatnoća 2/3” je potpuno ista u bukvalno dva od tri slučaja.

Dakle, uradimo eksperiment Monty Halla. Jedan eksperiment se lako uklapa u jedan red Excel tabele: evo ga (datoteka vredi preuzeti da biste videli formule), ovde ću dati opis po kolonama:

A. Broj eksperimenta (radi praktičnosti)

B. Generirajte cjelinu slučajni broj od 1 do 3. Ovo će biti vrata iza kojih je auto skriven

C-E. radi jasnoće, stavio sam "koze" i "automobile" u ove ćelije

F. Sada biramo nasumična vrata (u stvari, možemo stalno birati ista vrata, jer je slučajnost u odabiru vrata za automobil već dovoljna za model - provjerite!)

G. Domaćin sada bira vrata od preostala dva koja će vam otvoriti

H. I ovdje je najvažnije: ne otvara vrata iza kojih je auto, ali ako ste u početku pokazali na vrata sa kozom, otvara jedina moguća vrata sa kozom! Ovo je njegov savjet za vas.

I. Pa, hajde da sada izračunamo šanse. Za sada nećemo mijenjati vrata – tj. Izbrojimo slučajeve kada je kolona B jednaka koloni F. Neka je “1” - pobjednik, a "0" - izgubljen. Tada je zbir ćelija (ćelija I1003) broj pobjeda. Broj bi trebao biti blizu 333 (ukupno radimo 1000 eksperimenata). Zaista, pronalaženje automobila iza svakog od troja vrata je jednako vjerojatan događaj, što znači da je pri odabiru jednih vrata šansa da se pogodi jedna od tri.

J. Neće biti dovoljno! Hajde da promenimo naš izbor.

K. Slično: “1” – pobeda, “0” – poraz. Pa šta je ukupno? A zbroj je broj jednak 1000 minus broj iz ćelije I1003, tj. blizu 667. Da li vas ovo iznenađuje? Da li se još nešto moglo dogoditi? Uostalom, drugi zatvorena vrata dosta! Ako vam prvobitno odabrana vrata daju pobjedu 333 puta od 1000, onda bi vam druga vrata trebala dati pobjedu u svim preostalim slučajevima!

Da li me sada razumete zašto ne vidim paradoks ovde? Ako postoje dvije i samo dvije međusobno isključive strategije, a jedna daje pobjedu s vjerovatnoćom p, onda bi druga trebala dati pobjedu s vjerovatnoćom 1-p, kakav je ovo paradoks?

Ako vam se svidio ovaj post, sada pokušajte da napravite sličnu datoteku za paradoks dječak-djevojčica u sljedećoj formulaciji:

Gospodin Smith je otac dvoje djece. Sreli smo ga kako šeta ulicom sa dječačićem kojeg nam je s ponosom predstavio kao svog sina. Kolika je vjerovatnoća da je i drugo dijete g. Smitha dječak?

Pozdrav iz sunčanog Vijetnama! :) Dođite da radite sa nama! :)

Mnogi od nas su vjerovatno čuli za teoriju vjerovatnoće - posebnu granu matematike koja proučava obrasce slučajnih pojava, slučajnih događaja, kao i njihova svojstva. A samo jedan od problema teorije vjerovatnoće je najzanimljiviji i naizgled kontraintuitivni paradoks Monty Halla, nazvan po voditelju američke TV emisije “Let’s Make A Deal”. Danas želimo da vas upoznamo sa ovim paradoksom.

Definicija Monty Hall paradoksa

Kao problem, Monty Hall paradoks je definisan u obliku opisa navedene igre, među kojima je najčešća formulacija koju je objavio Parade Magazine 1990. godine. Prema njoj, osoba mora da zamisli sebe kao učesnika u igri u kojoj treba da izabere jedna vrata od tri. Iza jednih vrata je auto, a iza ostalih koze. Igrač mora izabrati jedna vrata, na primjer vrata br. 1. I vođa, koji zna šta je iza svakog vrata, otvara jedna od dva ostala vrata, na primjer, vrata br. 3, iza kojih je koza. Nakon toga, domaćin pita igrača da li želi promijeniti svoj prvobitni izbor i izabrati vrata broj 2? Pitanje: Hoće li se šanse igrača za pobjedu povećati ako promijeni svoj izbor?

Ali nakon objavljivanja ove definicije, pokazalo se da je zadatak igrača pomalo pogrešno formuliran, jer Nisu razmotreni svi uslovi. Na primjer, domaćin igre može odabrati strategiju “Monty iz pakla”, nudeći promjenu izbora samo ako je igrač u početku pogodio vrata iza kojih se nalazi automobil. I postaje jasno da će promjena izbora dovesti do 100% gubitka. Stoga je najpopularnija formulacija problema bila sa posebnim uslovom br. 6 iz posebne tabele:

• Jednako je vjerovatno da će automobil biti iza svih vrata
• Domaćin je uvijek dužan otvoriti vrata sa kozom koja nije ona koju je igrač izabrao i ponuditi igraču mogućnost da promijeni izbor
• Voditelj, koji ima priliku da otvori jedno od dva vrata, bira jedno sa jednakom vjerovatnoćom

Analiza paradoksa Monty Halla predstavljena u nastavku razmatra se upravo imajući na umu ovaj uslov. Dakle, analiza paradoksa.

Analiza Monty Hall paradoksa

Postoje tri opcije za razvoj događaja:

Prilikom rješavanja predstavljenog problema obično se daje sljedeće rezonovanje: u svakom slučaju, vođa uklanja jedna vrata sa kozom, stoga je vjerovatnoća da će se iza jednog od dva zatvorena vrata naći ½, bez obzira na izbor je napravljen inicijalno. Međutim, nije. Ideja je da donošenjem prvog izbora učesnik podijeli vrata na A (odabrano), B i C (preostala). Šanse (P) da je automobil iza vrata A su 1/3, a šanse (P) da je iza vrata B i C su 2/3. A šanse za uspjeh pri odabiru vrata B i C izračunavaju se na sljedeći način:

P(B) = 2/3 * ½ = 1/3

P(C) = 2/3 * ½ = 1/3

Gdje je ½ uslovna vjerovatnoća da je automobil iza ovih vrata, s obzirom da auto nije iza vrata koja je igrač izabrao.

Voditelj, otvarajući namjerno izgubljena vrata od preostala dva, obavještava igrača 1 bit informacije i time mijenja uslovne vjerovatnoće za vrata B i C na vrijednosti 1 i 0. Sada će se šanse za uspjeh izračunati na sljedeći način:

P(B) = 2/3*1 = 2/3

P(C) = 2/3*0 = 0

I ispada da ako igrač promijeni svoj početni izbor, onda će mu šanse za uspjeh biti jednake 2/3.

To se objašnjava na sljedeći način: promjenom svog izbora nakon manipulacija vođe, igrač će pobijediti ako je prvobitno odabrao vrata sa kozom, jer voditelj otvara druga vrata sa kozom, a igrač može samo promijeniti vrata. Postoje dva načina da na početku odaberete vrata sa kozom (2/3), odnosno, ako igrač zamijeni vrata, on će pobijediti s vjerovatnoćom od 2/3. Upravo zbog kontradiktornosti ovog zaključka intuitivnoj percepciji problem je dobio status paradoksa.

Intuitivna percepcija sugerira sljedeće: kada prezenter otvori gubitna vrata, igrač se suočava s novim zadatkom, koji na prvi pogled nije vezan za početni izbor, jer koza iza vrata koja je otvorio vođa će u svakom slučaju biti tu, bez obzira da li je igrač u početku izabrao gubitna ili pobjednička vrata. Nakon što vođa otvori vrata, igrač mora ponovo napraviti izbor - ili ostati na prethodnim vratima ili izabrati nova. To znači da igrač donosi novi izbor, a ne mijenja prvobitni. I matematičko rješenje Razmatraju se dva uzastopna i međusobno povezana zadatka izlagača.

Ali morate imati na umu da voditelj otvara vrata upravo ono dvoje koji su ostali, ali ne i onaj koji je igrač izabrao. To znači da se povećava šansa da je auto iza preostalih vrata, jer voditeljka nije odabrala nju. Ako prezenter zna da se iza vrata koja je izabrao igrač nalazi koza, on ih i dalje otvara, čime očigledno smanjuje vjerovatnoću da će igrač izabrati prava vrata, jer će vjerovatnoća uspjeha biti jednaka ½. Ali ovo je igra po drugačijim pravilima.

Evo još jednog objašnjenja: recimo da igrač igra prema gore predstavljenom sistemu, tj. od vrata B ili C uvijek bira ona koja se razlikuju od prvobitnog izbora. Izgubit će ako je prvobitno odabrao vrata s autom, jer kasnije će izabrati vrata sa kozom. U svakom drugom slučaju, igrač će pobijediti ako je prvobitno odabrao opciju gubitka. Međutim, vjerovatnoća da će on to inicijalno izabrati je 2/3, što znači da za uspjeh u igri prvo mora pogriješiti, što je dvostruko veće od vjerovatnoće da će pravilno izabrati.

Treće objašnjenje: zamislite da ne postoje 3 vrata, već 1000. Nakon što je igrač napravio izbor, voditelj uklanja 998 nepotrebnih vrata - ostaju samo dva vrata: ona koju je izabrao igrač i još jedna. Ali šansa da se iza svakih vrata nalazi automobil uopšte nije ½. Najvjerovatnije (0,999%) će automobil biti iza vrata koja igrač nije prvobitno izabrao, tj. iza vrata odabranih od ostalih 999 preostalih nakon prvog izbora. O istom morate razmišljati kada birate između troja vrata, čak i ako se šanse za uspjeh smanjuju i postanu 2/3.

I poslednje objašnjenje je zamena uslova. Recimo da umjesto početnog izbora, recimo, vrata #1, i umjesto da domaćin otvori vrata #2 ili #3, igrač mora napraviti pravi izbor prvi put ako zna da je vjerovatnoća uspjeha sa vrata broj 1 je 33%, ali on ne zna ništa o odsustvu automobila iza vrata br. 2 i br. 3. Iz ovoga proizilazi da će šansa za uspjeh sa zadnjim vratima biti 66%, tj. vjerovatnoća pobjede u dublu.

Ali kakvo će biti stanje ako se voditelj bude ponašao drugačije?

Analiza paradoksa Monty Halla sa drugačijim ponašanjem voditelja

Klasična verzija Monty Hall paradoksa kaže da voditelj emisije uvijek mora dati igraču izbor vrata, bez obzira na to da li je igrač pogodio dobro ili ne. Ali vođa može iskomplikovati svoje ponašanje. Na primjer:

• Voditelj poziva igrača da promijeni svoj izbor ako je u početku ispravan - igrač će uvijek izgubiti ako pristane da promijeni izbor;
• Voditelj poziva igrača da promijeni svoj izbor ako je u početku netačan - igrač će uvijek pobijediti ako se složi;
• Voditelj nasumično otvara vrata, ne znajući šta je gdje - šanse igrača za pobjedu kada promijeni vrata uvijek će biti ½;
• Voditelj otvara vrata sa kozom, ako je igrač zaista izabrao vrata sa jarcem, šanse igrača za pobjedu prilikom promjene vrata uvijek će biti ½;
• Domaćin uvijek otvara vrata s kozom. Ako je igrač odabrao vrata sa automobilom, lijeva vrata sa kozom će se otvoriti sa vjerovatnoćom (q) jednakom p, a desna sa vjerovatnoćom q = 1-p. Ako je vođa otvorio vrata na lijevoj strani, tada se vjerovatnoća pobjede računa kao 1/(1+p). Ako je vođa otvorio vrata sa desne strane, tada je: 1/(1+q). Ali vjerovatnoća da će se vrata sa desne strane otvoriti je: (1+q)/3;
• Uslovi iz gornjeg primjera, ali p=q=1/2 - šanse igrača za pobjedu pri promjeni vrata uvijek će biti 2/3;
• Uslovi iz gornjeg primjera, ali p=1 i q=0. Ako vođa otvori vrata na desnoj strani, tada će igračeva promjena izbora dovesti do pobjede, ako se otvore vrata slijeva, tada će vjerovatnoća pobjede biti jednaka ½;
• Ako domaćin uvijek otvara vrata sa kozom kada igrač odabere vrata sa autom, a sa vjerovatnoćom ½ ako igrač odabere vrata sa kozom, tada će igračeve šanse za pobjedu pri promjeni vrata uvijek biti ½;
• Ako se igra ponavlja mnogo puta, a auto je uvijek iza jednih ili drugih vrata sa istom vjerovatnoćom, plus vođa otvara vrata sa istom vjerovatnoćom, ali vođa zna gdje je auto i uvijek stavlja igrača pred izbor , otvarajući vrata kozom, tada će vjerovatnoća pobjede biti jednaka 1/3;
• Uslovi su iz gornjeg primjera, ali voditelj možda uopće neće otvoriti vrata - šanse igrača za pobjedu će biti 1/3.

Inače, ovo je zanimljivo: paradoks Monty Halla pominje se u filmu Roberta Luketića „Dvadeset i jedan“, romanu Sergeja Lukjanenka „Kluc“, televizijskoj seriji „4isla“, priči Marka Hadona „The Misteriozno ubistvo psa u noći“, strip „XKCD“, a bio je i „heroj „jedna od epizoda TV emisije „Razbijači mitova“.

Povratak