Za početak, podsjetimo se sljedeće definicije:
Razmotrimo sljedeću situaciju. Neka varijante populacije imaju normalnu distribuciju sa matematičkim očekivanjem $a$ i standardnom devijacijom $\sigma$. Srednja vrijednost uzorka u ovom slučaju će se smatrati slučajnom varijablom. Kada je količina $X$ normalno raspoređena, srednja vrijednost uzorka također će biti normalno raspoređena s parametrima
Nađimo interval pouzdanosti koji pokriva vrijednost $a$ sa pouzdanošću od $\gamma $.
Da bismo to učinili, potrebna nam je jednakost
Iz toga dobijamo
Odavde možemo lako pronaći $t$ iz tablice vrijednosti funkcije $F\left(t\right)$ i, kao posljedicu, pronaći $\delta $.
Prisjetimo se tablice vrijednosti funkcije $F\left(t\right)$:
Slika 1. Tabela vrijednosti funkcije $F\left(t\right).$
Integral pouzdanosti za procjenu matematičkog očekivanja za nepoznati $(\mathbf \sigma )$
U ovom slučaju koristićemo ispravljenu vrijednost varijanse $S^2$. Zamjenom $\sigma $ sa $S$ u gornjoj formuli dobijamo:
Primjeri problema za pronalaženje intervala povjerenja
Primjer 1
Neka veličina $X$ ima normalnu distribuciju sa varijansom $\sigma =4$. Neka veličina uzorka bude $n=64$, a pouzdanost $\gamma =0,95$. Pronađite interval pouzdanosti za procjenu matematičko očekivanje ove distribucije.
Moramo pronaći interval ($\overline(x)-\delta ,\overline(x)+\delta)$.
Kao što smo vidjeli gore
\[\delta =\frac(\sigma t)(\sqrt(n))=\frac(4t)(\sqrt(64))=\frac(\t)(2)\]
Parametar $t$ se može naći iz formule
\[F\left(t\right)=\frac(\gamma )(2)=\frac(0.95)(2)=0.475\]
Iz tabele 1 nalazimo da je $t=1.96$.
Interval povjerenja– granične vrijednosti statističke veličine koja će, sa datom sigurnošću γ, biti u ovom intervalu prilikom uzorkovanja veće količine. Označava se kao P(θ - ε. U praksi, izaberite verovatnoća poverenjaγ od vrijednosti koje su prilično bliske jedinici: γ = 0,9, γ = 0,95, γ = 0,99.Svrha usluge. Koristeći ovu uslugu, možete odrediti:
- interval povjerenja za opću srednju vrijednost, interval povjerenja za varijansu;
- interval povjerenja za standardnu devijaciju, interval povjerenja za generalni udio;
Primjer br. 1. Na kolektivnoj farmi, od ukupnog stada od 1000 ovaca, 100 ovaca je podvrgnuto selektivnoj kontroli. Kao rezultat, utvrđeno je prosječno šišanje vune od 4,2 kg po ovci. Odrediti s vjerovatnoćom od 0,99 srednju kvadratnu grešku uzorka pri određivanju prosječnog striženja vune po ovci i granice unutar kojih se nalazi vrijednost striženja ako je varijansa 2,5. Uzorak se ne ponavlja.
Primjer br. 2. Iz serije uvezenih proizvoda na pošti Moskovske sjeverne carine uzeto je 20 uzoraka proizvoda „A“ slučajnim ponovljenim uzorkovanjem. Kao rezultat ispitivanja, utvrđen je prosječni sadržaj vlage proizvoda „A“ u uzorku, koji se pokazao jednakim 6% sa standardnom devijacijom od 1%.
Odrediti sa vjerovatnoćom 0,683 granice prosječnog sadržaja vlage proizvoda u cijeloj seriji uvezenih proizvoda.
Primjer br. 3. Anketa od 36 studenata pokazala je da je prosječan broj udžbenika koji su pročitali tokom školske godine jednak 6. Pod pretpostavkom da broj udžbenika koji student pročita po semestru ima normalan zakon raspodjele sa standardnom devijacijom jednakom 6, naći : A) sa pouzdanošću od 0,99 intervalne procjene za matematičko očekivanje ovog slučajna varijabla; B) s kojom vjerovatnoćom možemo reći da će prosječan broj udžbenika koje student pročita po semestru, izračunat iz ovog uzorka, odstupiti od matematičkog očekivanja u apsolutnoj vrijednosti za najviše 2.
Klasifikacija intervala povjerenja
Po vrsti parametra koji se procjenjuje:
Po vrsti uzorka:
- Interval pouzdanosti za beskonačan uzorak;
- Interval pouzdanosti za konačni uzorak;
Izračunavanje prosječne greške uzorkovanja za slučajno uzorkovanje
Nesklad između vrijednosti indikatora dobijenih iz uzorka i odgovarajućih parametara opće populacije naziva se greška reprezentativnosti.Oznake glavnih parametara opće populacije i populacije uzorka.
| Formule prosječne greške uzorkovanja | |||
| ponovna selekcija | ponovite odabir | ||
| za prosjek | za dionicu | za prosjek | za dionicu |
 |
|||
Formule za izračunavanje veličine uzorka koristeći metodu čisto slučajnog uzorkovanja
I dr. Sve su to procjene njihovih teorijskih analoga, do kojih bi se moglo doći ako ne uzorak, već opća populacija. Ali nažalost, opća populacija je vrlo skupa i često nedostupna.
Koncept intervalne procjene
Svaka procjena uzorka ima neku širinu, jer je slučajna varijabla ovisno o vrijednostima u određenom uzorku. Stoga, za pouzdanije statističke zaključke, treba znati ne samo tačku, već i interval koji velika vjerovatnoća γ (gama) pokriva evaluirani indikator θ (teta).
Formalno, to su dvije takve vrijednosti (statistika) T 1 (X) I T 2 (X), Šta T 1< T 2 , za koji na datom nivou vjerovatnoće γ ispunjen je uslov:
Ukratko, vjerovatno je γ ili više pravi indikator je između tačaka T 1 (X) I T 2 (X), koje se nazivaju donja i gornja granica interval povjerenja.
Jedan od uslova za konstruisanje intervala poverenja je njegova maksimalna uskost, tj. trebalo bi da bude što kraće. Želja je sasvim prirodna, jer... istraživač pokušava preciznije lokalizirati lokaciju željenog parametra.
Iz toga slijedi da interval povjerenja mora pokriti maksimalne vjerovatnoće distribucije. a sama procjena treba da bude u centru.
Odnosno, vjerovatnoća odstupanja (pravog indikatora od procjene) naviše je jednaka vjerovatnoći odstupanja naniže. Takođe treba napomenuti da za asimetrične distribucije interval sa desne strane nije jednak intervalu lijevo.
Slika iznad jasno pokazuje da što je veća vjerovatnoća povjerenja, širi je interval – direktna veza.
Ovo je bio kratak uvod u teoriju intervalne procjene nepoznatih parametara. Pređimo na pronalaženje granica povjerenja za matematička očekivanja.
Interval pouzdanosti za matematička očekivanja
Ako su originalni podaci raspoređeni na , tada će prosjek biti normalna vrijednost. Ovo proizilazi iz pravila da linearna kombinacija normalnih vrijednosti također ima normalnu distribuciju. Stoga bismo za izračunavanje vjerovatnoća mogli koristiti matematički aparat zakona normalne distribucije.
Međutim, to će zahtijevati poznavanje dva parametra – očekivanja i varijanse, koji su obično nepoznati. Možete, naravno, koristiti procjene umjesto parametara (aritmetička sredina i ), ali tada distribucija prosjeka neće biti sasvim normalna, već će biti malo spljoštena prema dolje. Ovu činjenicu je pametno primetio građanin Vilijam Goset iz Irske, objavljujući svoje otkriće u martu 1908. godine u časopisu Biometrica. Zbog tajnosti, Gosset se potpisao kao Student. Tako se pojavila Studentova t-distribucija.
Međutim, normalna distribucija podataka, koju koristi K. Gauss u analizi grešaka u astronomskim opservacijama, izuzetno je rijetka u zemaljskom životu i prilično je teško uspostaviti (za visoku tačnost potrebno je oko 2 hiljade opservacija). Stoga je najbolje odbaciti pretpostavku normalnosti i koristiti metode koje ne zavise od distribucije izvornih podataka.
Postavlja se pitanje: kakva je distribucija aritmetičke sredine ako se ona izračunava iz podataka nepoznate distribucije? Odgovor daje dobro poznata u teoriji vjerovatnoće Centralna granična teorema(CPT). U matematici postoji nekoliko njegovih varijanti (kroz duge godine formulacija je pojašnjena), ali se svi, grubo rečeno, svode na konstataciju da je iznos velika količina nezavisne slučajne varijable poštuju zakon normalne distribucije.
Prilikom izračunavanja aritmetičke sredine koristi se zbir slučajnih varijabli. Odavde ispada da aritmetička sredina ima normalnu distribuciju, u kojoj je očekivanje očekivanje originalnih podataka, a varijansa je .
Pametni ljudi znamo kako dokazati CLT, ali ćemo to provjeriti uz pomoć eksperimenta provedenog u Excelu. Hajde da simuliramo uzorak od 50 ravnomjerno raspoređenih slučajnih varijabli (koristeći Excel funkcije SLUČAJ IZMEĐU). Zatim ćemo napraviti 1000 takvih uzoraka i izračunati aritmetičku sredinu za svaki. Pogledajmo njihovu distribuciju.
Može se vidjeti da je raspodjela prosjeka bliska normalnom zakonu. Ako se veličina uzorka i broj povećaju, sličnost će biti još bolja.
Sada kada smo svojim očima vidjeli valjanost CLT-a, možemo, koristeći , izračunati intervale povjerenja za aritmetičku sredinu, koji pokrivaju pravu srednju vrijednost ili matematičko očekivanje sa datom vjerovatnoćom.
Da biste postavili gornju i donju granicu, morate znati parametre normalne distribucije. U pravilu ih nema, pa se koriste procjene: aritmetička sredina I varijansa uzorka. Ponavljam, ova metoda daje dobru aproksimaciju samo sa velikim uzorcima. Kada su uzorci mali, često se preporučuje korištenje Studentove distribucije. Ne vjerujte! Studentova raspodjela za srednju vrijednost se javlja samo kada su izvorni podaci normalno raspoređeni, odnosno gotovo nikada. Stoga je bolje odmah postaviti minimalnu traku za količinu potrebnih podataka i koristiti asimptotski ispravne metode. Kažu da je dovoljno 30 opservacija. Uzmite 50 - nećete pogriješiti.
T 1.2– donja i gornja granica intervala pouzdanosti
– aritmetička sredina uzorka
s 0– standardna devijacija uzorka (nepristrasna)
n - veličina uzorka
γ – vjerovatnoća pouzdanosti (obično jednaka 0,9, 0,95 ili 0,99)
c γ =Φ -1 ((1+γ)/2)– inverzna vrijednost standardne normalne funkcije raspodjele. Jednostavno rečeno, ovo je broj standardnih grešaka od aritmetičke sredine do donje ili gornje granice (ove tri vjerovatnoće odgovaraju vrijednostima 1,64, 1,96 i 2,58).
Suština formule je da se uzme aritmetička sredina i onda se od nje izdvoji određeni iznos ( sa γ) standardne greške ( s 0 /√n). Sve se zna, uzmi i razmisli.
Prije široke upotrebe osobnih računala, koristili su za dobivanje vrijednosti normalne funkcije distribucije i njene inverzne. Oni se i sada koriste, ali je efikasnije okrenuti se gotovim Excel formule. Svi elementi iz gornje formule ( , i ) mogu se lako izračunati u Excelu. Ali postoji gotova formula za izračunavanje intervala povjerenja - TRUST.NORM. Njegova sintaksa je sljedeća.
POVJERENJE.NORMA(alfa;standard_isključeno;veličina)
alfa– nivo značaja ili nivo samopouzdanja, što je u prethodno usvojenoj notaciji jednako 1- γ, tj. vjerovatnoća da je matematičkaočekivanje će biti izvan intervala pouzdanosti. Sa nivoom pouzdanosti od 0,95, alfa je 0,05, itd.
standard_off– standardna devijacija podataka uzorka. Nema potrebe za izračunavanjem standardne greške; sam Excel će podijeliti s korijenom od n.
veličina– veličina uzorka (n).
Rezultat funkcije NORMA POVJERENJA je drugi član iz formule za izračunavanje intervala povjerenja, tj. poluinterval Shodno tome, donja i gornja tačka su prosjek ± dobijena vrijednost.
Tako je moguće konstruisati univerzalni algoritam za izračunavanje intervala poverenja za aritmetičku sredinu, koji ne zavisi od distribucije originalnih podataka. Cijena univerzalnosti je njena asimptotičnost, tj. potreba za korištenjem relativno velikih uzoraka. Međutim, u godinama moderne tehnologije prikupljanje potrebne količine podataka obično nije teško.
Testiranje statističkih hipoteza korištenjem intervala povjerenja
(modul 111)
Jedan od glavnih problema koji se rješavaju u statistici je. Njegova suština je ukratko sljedeća. Pretpostavlja se, na primjer, da je očekivanje opšte populacije jednako nekoj vrijednosti. Zatim se konstruiše distribucija srednjih vrednosti uzorka koje se mogu posmatrati za dato očekivanje. Zatim gledaju gdje se u ovoj uslovnoj raspodjeli nalazi pravi prosjek. Ako prelazi prihvatljive granice, onda je pojava takvog prosjeka vrlo malo vjerojatna, a ako se eksperiment ponovi jednom, gotovo je nemoguće, što je u suprotnosti s postavljenom hipotezom koja se uspješno odbacuje. Ako prosjek ne prelazi kritični nivo, hipoteza se ne odbacuje (ali ni dokazana!).
Dakle, uz pomoć intervala pouzdanosti, u našem slučaju za očekivanje, možete testirati i neke hipoteze. To je vrlo lako uraditi. Recimo da je aritmetička sredina za određeni uzorak jednaka 100. Testira se hipoteza da je očekivana vrijednost, recimo, 90. Odnosno, ako pitanje postavimo primitivno, to zvuči ovako: može li to biti sa istinitim vrijednost srednje vrijednosti jednaka 90, ispostavilo se da je posmatrani prosjek 100?
Da biste odgovorili na ovo pitanje, dodatno će vam trebati informacije o standardnoj devijaciji i veličini uzorka. Recimo standardna devijacija je 30, a broj zapažanja je 64 (tako da se korijen može lako izdvojiti). Onda standardna greška prosjek je 30/8 ili 3,75. Da biste izračunali interval pouzdanosti od 95%, moraćete da dodate dve standardne greške na svaku stranu srednje vrednosti (tačnije, 1,96). Interval pouzdanosti će biti približno 100±7,5 ili od 92,5 do 107,5.
Dalje obrazloženje je sljedeće. Ako vrijednost koja se testira spada u interval pouzdanosti, to nije u suprotnosti s hipotezom, jer spada u granice slučajnih fluktuacija (sa vjerovatnoćom od 95%). Ako tačka koja se provjerava je izvan intervala pouzdanosti, onda je vjerovatnoća takvog događaja vrlo mala, u svakom slučaju ispod prihvatljivog nivoa. To znači da se hipoteza odbacuje kao kontradiktorna uočenim podacima. U našem slučaju hipoteza o očekivanoj vrijednosti je izvan intervala pouzdanosti (testirana vrijednost od 90 nije uključena u interval 100±7,5), pa je treba odbaciti. Odgovarajući na prethodno primitivno pitanje, treba reći: ne, ne može, u svakom slučaju, to se dešava izuzetno rijetko. Često ukazuju na specifičnu vjerovatnoću pogrešnog odbacivanja hipoteze (p-nivo), a ne na navedeni nivo na kojem je konstruisan interval pouzdanosti, već o tome drugi put.
Kao što možete vidjeti, konstruiranje intervala povjerenja za prosjek (ili matematičko očekivanje) nije teško. Glavna stvar je shvatiti suštinu, a onda će stvari krenuti dalje. U praksi, većina slučajeva koristi interval pouzdanosti od 95%, što je otprilike dvije standardne greške široke na obje strane srednje vrijednosti.
To je sve za sada. Sve najbolje!
Interval pouzdanosti za matematička očekivanja - ovo je interval izračunat iz podataka koji sa poznatom vjerovatnoćom sadrži matematičko očekivanje opće populacije. Prirodna procjena za matematičko očekivanje je aritmetička sredina njegovih promatranih vrijednosti. Zbog toga ćemo tokom čitave lekcije koristiti pojmove „prosjek“ i „prosječna vrijednost“. U problemima izračunavanja intervala pouzdanosti, odgovor koji se najčešće traži je nešto poput „Interval pouzdanosti prosječnog broja [vrijednosti u određenom problemu] je od [manje vrijednosti] do [ veća vrijednost]". Koristeći interval pouzdanosti, možete procijeniti ne samo prosječne vrijednosti, već i udio određene karakteristike populacije. Prosječne vrijednosti, varijansa, standardna devijacija a greške kroz koje ćemo doći do novih definicija i formula raspravlja se u lekciji Karakteristike uzorka i populacije .
Tačkaste i intervalne procjene srednje vrijednosti
Ako je srednja vrijednost populacije procijenjena brojem (tačkom), onda za procjenu nepoznato prosječne veličine opšte populacije uzima se specifičan prosjek, koji se izračunava na osnovu uzorka opservacija. U ovom slučaju, vrijednost uzorka srednje vrijednosti - slučajne varijable - ne poklapa se sa srednjom vrijednošću opće populacije. Stoga, kada pokazujete srednju vrijednost uzorka, morate istovremeno naznačiti grešku uzorkovanja. Mjera greške uzorkovanja je standardna greška, koja se izražava u istim jedinicama kao i srednja vrijednost. Stoga se često koristi sljedeća notacija: .
Ako procjenu prosjeka treba povezati sa određenom vjerovatnoćom, onda se parametar od interesa u populaciji mora procijeniti ne jednim brojem, već intervalom. Interval pouzdanosti je interval u kojem, sa određenom vjerovatnoćom P nalazi se vrijednost indikatora procijenjenog stanovništva. Interval povjerenja u kojem je vjerovatno P = 1 - α pronađena je slučajna varijabla, izračunata na sljedeći način:
,
α = 1 - P, koji se može naći u dodatku gotovo svake knjige o statistici.
U praksi, populacijska srednja vrijednost i varijansa nisu poznate, pa se varijansa populacije zamjenjuje varijansom uzorka, a populacijska srednja vrijednost uzorkom. Stoga se interval pouzdanosti u većini slučajeva izračunava na sljedeći način:
.
Formula intervala pouzdanosti može se koristiti za procjenu srednje vrijednosti populacije ako
- poznata je standardna devijacija populacije;
- ili je standardna devijacija populacije nepoznata, ali je veličina uzorka veća od 30.
Srednja vrijednost uzorka je nepristrasna procjena srednje vrijednosti populacije. Zauzvrat, varijansa uzorka 
nije nepristrasna procjena varijanse populacije. Da bi se dobila nepristrasna procjena varijanse populacije u formuli varijanse uzorka, veličina uzorka n treba zamijeniti sa n-1.
Primjer 1. Od 100 nasumično odabranih kafića u određenom gradu prikupljena je informacija da je prosječan broj zaposlenih u njima 10,5 sa standardnom devijacijom od 4,6. Odredite interval pouzdanosti od 95% za broj zaposlenih u kafiću.
gdje je kritična vrijednost standardne normalne distribucije za nivo značajnosti α = 0,05 .
Tako se interval povjerenja od 95% za prosječan broj zaposlenih u kafiću kretao od 9,6 do 11,4.
Primjer 2. Za slučajni uzorak iz populacije od 64 opservacije, izračunate su sljedeće ukupne vrijednosti:
zbir vrijednosti u zapažanjima,
zbir kvadrata odstupanja vrijednosti od prosjeka 
.
Izračunajte 95% interval pouzdanosti za matematičko očekivanje.
Izračunajmo standardnu devijaciju:
,
Izračunajmo prosječnu vrijednost:
.
Zamjenjujemo vrijednosti u izraz za interval povjerenja:
gdje je kritična vrijednost standardne normalne distribucije za nivo značajnosti α = 0,05 .
Dobijamo:
Tako se interval pouzdanosti od 95% za matematičko očekivanje ovog uzorka kretao od 7,484 do 11,266.
Primjer 3. Za slučajni uzorak populacije od 100 opservacija, izračunata srednja vrijednost je 15,2, a standardna devijacija je 3,2. Izračunajte interval pouzdanosti od 95% za očekivanu vrijednost, a zatim 99% interval pouzdanosti. Ako snaga uzorka i njena varijacija ostanu nepromijenjene, a koeficijent pouzdanosti raste, hoće li se interval povjerenja suziti ili proširiti?
Ove vrijednosti zamjenjujemo u izraz za interval povjerenja:
gdje je kritična vrijednost standardne normalne distribucije za nivo značajnosti α = 0,05 .
Dobijamo:
.
Tako se interval pouzdanosti od 95% za srednju vrijednost ovog uzorka kretao od 14,57 do 15,82.
Ponovo zamjenjujemo ove vrijednosti u izraz za interval povjerenja:
gdje je kritična vrijednost standardne normalne distribucije za nivo značajnosti α = 0,01 .
Dobijamo:
.
Tako se interval pouzdanosti od 99% za srednju vrijednost ovog uzorka kretao od 14,37 do 16,02.
Kao što vidimo, kako se koeficijent pouzdanosti povećava, tako se povećava i kritična vrijednost standardne normalne distribucije, pa se početna i završna tačka intervala nalaze dalje od srednje vrijednosti, a samim tim raste i interval povjerenja za matematičko očekivanje. .
Tačkaste i intervalne procjene specifične težine
Udio nekog atributa uzorka može se tumačiti kao bodovna procjena udjela str iste karakteristike u opštoj populaciji. Ako ovu vrijednost treba povezati s vjerovatnoćom, tada treba izračunati interval pouzdanosti specifične težine str karakteristika u populaciji sa vjerovatnoćom P = 1 - α :
.
Primjer 4. U nekom gradu postoje dva kandidata A I B kandiduju se za gradonačelnika. Anketirano je nasumično 200 stanovnika grada, od kojih je 46% odgovorilo da bi glasalo za kandidata A, 26% - za kandidata B a 28% ne zna za koga će glasati. Odredite interval povjerenja od 95% za udio stanovnika grada koji podržavaju kandidata A.
možeš koristiti ovaj obrazac traži da pronađeš željeni zadatak. Unesite riječ, frazu iz zadatka ili njegov broj, ako ga znate.
Intervali povjerenja: lista rješenja problema
Intervali povjerenja: teorija i problemi
Razumijevanje intervala povjerenja
Hajde da ukratko predstavimo koncept intervala poverenja, koji
1) procjenjuje neki parametar numeričkog uzorka direktno iz podataka samog uzorka,
2) pokriva vrijednost ovog parametra sa vjerovatnoćom γ.
Interval povjerenja za parametar X(sa vjerovatnoćom γ) naziva se interval oblika , takav da 
, a vrijednosti se na neki način izračunavaju iz uzorka.
Obično se u primijenjenim problemima vjerovatnoća pouzdanosti uzima jednakom γ = 0,9; 0,95; 0,99.
Razmotrimo neki uzorak veličine n, napravljen od opće populacije, raspoređene vjerovatno prema normalnom zakonu distribucije. Hajde da pokažemo koje formule se koriste za pronalaženje intervali povjerenja za parametre distribucije- matematičko očekivanje i disperzija (standardna devijacija).
Interval pouzdanosti za matematička očekivanja
Slučaj 1. Varijanca distribucije je poznata i jednaka je . Zatim interval pouzdanosti za parametar a ima oblik: 
t određena iz Laplaceove tabele raspodjele prema relaciji
Slučaj 2. Varijanca distribucije je nepoznata, izračunata iz uzorka tačka procene disperzija Zatim interval pouzdanosti za parametar a ima oblik: 
, gdje je prosjek uzorka izračunat iz uzorka, parametar t utvrđeno iz tabele raspodjele studenata
Primjer. Na osnovu podataka 7 mjerenja određene veličine utvrđeno je da je prosjek rezultata mjerenja jednak 30, a varijansa uzorka jednaka 36. Odrediti granice unutar kojih, sa pouzdanošću od 0,99, pravo značenje izmjerena količina.
Rješenje. Naći ćemo 
. Tada se granice pouzdanosti za interval koji sadrži pravu vrijednost izmjerene vrijednosti mogu pronaći pomoću formule: , gdje je srednja vrijednost uzorka, je varijansa uzorka. Zamijenimo sve vrijednosti i dobijemo: 
Interval pouzdanosti za varijansu
Vjerujemo da je, općenito govoreći, matematičko očekivanje nepoznato, a poznata je samo tačkasta nepristrasna procjena varijanse. Tada interval pouzdanosti ima oblik: 
, Gdje 
- kvantile distribucije određene iz tabela.
Primjer. Na osnovu podataka 7 testova pronađena je procenjivačka vrednost za standardnu devijaciju s=12. Naći, sa vjerovatnoćom 0,9, širinu intervala povjerenja konstruiranog za procjenu disperzije.
Rješenje. Interval pouzdanosti za nepoznatu varijansu populacije može se pronaći pomoću formule:
Zamenimo i dobijemo: 
Tada je širina intervala povjerenja 465,589-71,708=393,881.
Interval pouzdanosti za vjerovatnoću (proporcija)
Slučaj 1. Neka su veličina uzorka i frakcija uzorka (relativna frekvencija) poznati u zadatku. Tada interval povjerenja za opći udio (prava vjerovatnoća) ima oblik: 
, gdje je parametar t se određuje iz Laplaceove tablice raspodjele korištenjem relacije.
Slučaj 2. Ako je u zadatku dodatno poznata ukupna veličina populacije iz koje je uzorak uzet, interval povjerenja za opći udio (prava vjerovatnoća) može se pronaći pomoću prilagođene formule: 
.
Primjer. Poznato je da će pronaći granice unutar kojih će se vjerovatno nalaziti opći udio.
Rješenje. Koristimo formulu:
Nađimo parametar iz stanja 
, dobijamo Substitute u formulu:
Drugi primjeri problema matematičke statistike naći ćete na stranici