Racionalni broj je broj koji se može predstaviti kao razlomak, gdje 
. Q je skup svih racionalnih brojeva.
Racionalni brojevi se dijele na: pozitivne, negativne i nule.
Svaki racionalni broj može biti povezan s jednom tačkom na koordinatnoj liniji. Relacija “više ulijevo” za tačke odgovara odnosu “manje od” za koordinate ovih tačaka. Može se primijetiti da je svaki negativan broj manji od nule i svaki pozitivan broj; Od dva negativna broja manji je onaj čija je veličina veća. Dakle, -5.3<-4.1, т.к. |5.3|>|4.1|.
Svaki racionalni broj se može predstaviti kao periodični decimalni razlomak. Na primjer, .
Algoritmi za operacije nad racionalnim brojevima slijede iz pravila predznaka za odgovarajuće operacije nad nultim i pozitivnim razlomcima. U Q se vrši dijeljenje osim dijeljenja nulom.
Bilo koja linearna jednadžba, tj. jednadžba oblika ax+b=0, gdje je , rješiva na skupu Q, ali ne bilo koja kvadratna jednadžba oblika 
, rješivo u racionalnim brojevima. Nema svaka tačka na koordinatnoj liniji racionalnu tačku. Još krajem 6. veka p.n.e. n. e u Pitagorinoj školi je dokazano da dijagonala kvadrata nije srazmjerna njegovoj visini, što je jednako tvrdnji: „Jednačina nema racionalne korijene.“ Sve navedeno dovelo je do potrebe proširenja skupa Q, te je uveden koncept iracionalnog broja. Skup iracionalnih brojeva označimo slovom J
.
Na koordinatnoj liniji imam iracionalne koordinate sve tačke koje nemaju racionalne koordinate. , gdje su r skupovi realnih brojeva. Decimalni razlomci su univerzalni način za određivanje realnih brojeva. Periodične decimale definiraju racionalne brojeve, a neperiodične decimale definiraju iracionalne brojeve. Dakle, 2,03(52) je racionalan broj, 2,03003000300003... (period svakog narednog broja “3” se piše još jedna nula) je iracionalan broj.
Skupovi Q i R imaju svojstva pozitivnosti: između bilo koja dva racionalna broja postoji racionalni broj, na primjer, esoi a Za bilo koji iracionalan broj α
možete navesti racionalnu aproksimaciju i sa nedostatkom i sa viškom sa bilo kojom tačnošću: a< α
Operacija uzimanja korijena nekih racionalnih brojeva rezultira iracionalnim brojevima. Izdvajanje korijena prirodnog stepena je algebarska operacija, tj. njegovo uvođenje je povezano sa rješenjem algebarske jednadžbe oblika Aritmetički korijen (skraćeno korijen) n-tog stepena nenegativnog broja a je nenegativan broj b, koji je korijen jednačine. N-ti korijen broja je označen simbolom. Kada je n=2, stepen korijena 2 nije naznačen: . Na primjer, jer 2 2 =4 i 2>0; , jer 3 3 =27 i 3>0; ne postoji jer -4<0. Za n=2k i a>0, korijeni jednadžbe (1) su zapisani kao i . Na primjer, korijeni jednadžbe x 2 =4 su 2 i -2. Za n neparan, jednadžba (1) ima jedinstveni korijen za bilo koje . Ako je a≥0, onda je korijen ove jednadžbe. Ako a<0, то –а>0 i korijen je jednadžbe. Dakle, jednačina x 3 = 27 ima korijen. Ranije smo pokazali da je $1\frac25$ blizu $\sqrt2$. Ako je tačno jednako $\sqrt2$, . Tada je omjer $\frac(1\frac25)(1)$, koji se može pretvoriti u cjelobrojni omjer $\frac75$ množenjem vrha i dna razlomka sa 5, i bio bi željena vrijednost. Ali, nažalost, $1\frac25$ nije tačna vrijednost $\sqrt2$. Tačniji odgovor, $1\frac(41)(100)$, daje nam relaciju $\frac(141)(100)$. Još veću preciznost postižemo kada izjednačimo $\sqrt2$ sa $1\frac(207)(500)$. U ovom slučaju, omjer u cijelim brojevima će biti jednak $\frac(707)(500)$. Ali $1\frac(207)(500)$ nije tačna vrijednost kvadratnog korijena od 2. Grčki matematičari su potrošili mnogo vremena i truda da izračunaju tačnu vrijednost $\sqrt2$, ali nikada nisu uspjeli. Nisu bili u stanju da omjer $\frac(\sqrt2)(1)$ predstave kao omjer cijelih brojeva. Konačno, veliki grčki matematičar Euklid je dokazao da koliko god se povećava tačnost proračuna, nemoguće je dobiti tačnu vrijednost $\sqrt2$. Ne postoji razlomak koji će, kada se kvadrira, dati rezultat 2. Kažu da je Pitagora prvi došao do ovog zaključka, ali je ova neobjašnjiva činjenica toliko zadivila naučnika da se zakleo i zakleo se od svojih učenika da će se držati tajna ovog otkrića. Međutim, ove informacije možda nisu istinite. Ali ako se broj $\frac(\sqrt2)(1)$ ne može predstaviti kao omjer cijelih brojeva, onda nema broja koji sadrži $\sqrt2$, na primjer $\frac(\sqrt2)(2)$ ili $\frac (4)(\sqrt2)$ se također ne može predstaviti kao omjer cijelih brojeva, jer se svi takvi razlomci mogu pretvoriti u $\frac(\sqrt2)(1)$ pomnoženo nekim brojem. Dakle, $\frac(\sqrt2)(2)=\frac(\sqrt2)(1) \times \frac12$. Ili $\frac(\sqrt2)(1) \times 2=2\frac(\sqrt2)(1)$, što se može pretvoriti množenjem vrha i dna sa $\sqrt2$ da se dobije $\frac(4) (\sqrt2)$. (Trebalo bi zapamtiti da bez obzira na to koji je broj $\sqrt2$, ako ga pomnožimo sa $\sqrt2$ dobijamo 2.) Svi cijeli i razlomci brojevi, i pozitivni i negativni, su racionalni. Kako se ispostavilo, većina kvadratnih korijena su iracionalni brojevi. Samo brojevi u nizu kvadratnih brojeva imaju racionalne kvadratne korijene. Ovi brojevi se nazivaju i savršeni kvadrati. Racionalni brojevi su također razlomci napravljeni od ovih savršenih kvadrata. Na primjer, $\sqrt(1\frac79)$ je racionalan broj jer je $\sqrt(1\frac79)=\frac(\sqrt16)(\sqrt9)=\frac43$ ili $1\frac13$ (4 je korijen kvadratni korijen od 16, a 3 je kvadratni korijen od 9). Definicija prirodnih brojeva su pozitivni cijeli brojevi. Prirodni brojevi se koriste za brojanje objekata i za mnoge druge svrhe. Ovo su brojevi: Ovo je prirodan niz brojeva. Zbir prirodnih brojeva je prirodan broj. Dakle, sabiranje prirodnih brojeva a i b: Proizvod prirodnih brojeva je prirodan broj. Dakle, proizvod prirodnih brojeva a i b: c je uvijek prirodan broj. Razlika prirodnih brojeva Ne postoji uvijek prirodan broj. Ako je minus veći od oduzetog, onda je razlika prirodnih brojeva prirodan broj, inače nije. Količnik prirodnih brojeva nije uvijek prirodan broj. Ako za prirodne brojeve a i b gdje je c prirodan broj, to znači da je a djeljiv sa b. U ovom primjeru, a je dividenda, b je djelitelj, c je količnik. Delitelj prirodnog broja je prirodan broj kojim je prvi broj djeljiv s cjelinom. Svaki prirodan broj je djeljiv sa jednim i samim sobom. Prosti prirodni brojevi su djeljivi samo sa jedan i sami sa sobom. Ovdje mislimo na potpuno podijeljeno. Primjer, brojevi 2; 3; 5; 7 je samo djeljivo sa jednim i samim sobom. Ovo su jednostavni prirodni brojevi. Jedan se ne smatra prostim brojem. Brojevi koji su veći od jedan i koji nisu prosti nazivaju se složeni brojevi. Primjeri složenih brojeva: Jedan se ne smatra složenim brojem. Skup prirodnih brojeva sastoji se od jedan, prostih i složenih brojeva. Skup prirodnih brojeva označava se latiničnim slovom N. Svojstva sabiranja i množenja prirodnih brojeva: komutativno svojstvo sabiranja asocijativno svojstvo sabiranja (a + b) + c = a + (b + c); komutativno svojstvo množenja asocijativno svojstvo množenja (ab) c = a (bc); distributivno svojstvo množenja A (b + c) = ab + ac; Cijeli brojevi su prirodni brojevi, nula i suprotnosti prirodnim brojevima. Suprotnost prirodnim brojevima su negativni cijeli brojevi, na primjer: 1; -2; -3; -4;... Skup cijelih brojeva je označen latiničnim slovom Z. Racionalni brojevi su cijeli brojevi i razlomci. Svaki racionalni broj se može predstaviti kao periodični razlomak. primjeri: 1,(0); 3,(6); 0,(0);... Iz primjera je jasno da je svaki cijeli broj periodični razlomak s periodom nula. Svaki racionalni broj može se predstaviti kao razlomak m/n, gdje je m cijeli broj, a n prirodan broj. Zamislimo broj 3,(6) iz prethodnog primjera kao takav razlomak. Drevni matematičari su već znali za segment jedinične dužine: znali su, na primjer, nesamjerljivost dijagonale i stranice kvadrata, što je ekvivalentno iracionalnosti broja. Iracionalni su: Pretpostavimo suprotno: on je racionalan, odnosno predstavljen je u obliku nesvodljivog razlomka, gdje su i cijeli brojevi. Kvadirajmo pretpostavljenu jednakost: Iz toga slijedi da je čak i čak i . Neka bude tamo gde je celina. Onda Stoga, čak znači čak i . Našli smo da su i parni, što je u suprotnosti sa ireducibilnošću razlomka . To znači da je prvobitna pretpostavka bila netačna i da je to iracionalan broj. Pretpostavimo suprotno: racionalan je, odnosno predstavljen je kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi. Od , i može se izabrati da bude pozitivan. Onda Ali paran i neparan. Dobijamo kontradikciju. Koncept iracionalnih brojeva implicitno su usvojili indijski matematičari u 7. veku pre nove ere, kada je Manava (oko 750 pne - oko 690 pne) shvatio da se kvadratni koreni nekih prirodnih brojeva, kao što su 2 i 61, ne mogu eksplicitno izraziti . Prvi dokaz postojanja iracionalnih brojeva obično se pripisuje Hipasu od Metaponta (oko 500. pne), Pitagorejcu koji je pronašao ovaj dokaz proučavajući dužine stranica pentagrama. U vrijeme Pitagorejaca vjerovalo se da postoji jedna jedinica dužine, dovoljno mala i nedjeljiva, koja ulazi u bilo koji segment cijeli broj puta. Međutim, Hipas je tvrdio da ne postoji jedinstvena jedinica dužine, jer pretpostavka o njenom postojanju dovodi do kontradikcije. On je pokazao da ako hipotenuza jednakokračnog pravokutnog trougla sadrži cijeli broj jediničnih segmenata, onda taj broj mora biti i paran i neparan. Dokaz je izgledao ovako: Grčki matematičari su ovaj omjer nesamjerljivih veličina nazvali alogos(neizrecivo), ali prema legendi nisu odali dužno poštovanje Hipasu. Postoji legenda da je Hipas došao do otkrića dok je bio na pomorskom putovanju i da su ga drugi pitagorejci bacili preko palube “zbog stvaranja elementa svemira koji negira doktrinu da se svi entiteti u svemiru mogu svesti na cijele brojeve i njihove omjere.” Otkriće Hipasa predstavljalo je ozbiljan problem za pitagorejsku matematiku, uništavajući temeljnu pretpostavku da su brojevi i geometrijski objekti jedno i neodvojivo. - π
Dakle, skup iracionalnih brojeva je razlika I = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (I) =\mathbb (R) \backslash \mathbb (Q) ) skupovi realnih i racionalnih brojeva. Postojanje iracionalnih brojeva, tačnije segmenata, nesamerljivih sa segmentom jedinične dužine, bilo je poznato već starim matematičarima: poznavali su, na primer, nesamerljivost dijagonale i stranice kvadrata, što je ekvivalentno iracionalnost broja 2 (\displaystyle (\sqrt (2))). Svaki iracionalni broj je ili algebarski ili transcendentalan. Skup algebarskih brojeva je prebrojiv skup. Pošto je skup realnih brojeva neprebrojiv, skup iracionalnih brojeva je nebrojiv. Skup iracionalnih brojeva je skup druge kategorije. Kvadirajmo pretpostavljenu jednakost: Koncept iracionalnih brojeva su implicitno usvojili indijski matematičari u 7. veku pre nove ere, kada je Manava (oko 750-690 pne) shvatio da se kvadratni koreni nekih prirodnih brojeva, kao što su 2 i 61, ne mogu eksplicitno izraziti [
] . Prvi dokaz postojanja iracionalnih brojeva, tačnije postojanja nesamjerljivih segmenata, obično se pripisuje pitagorejskom Hipasu iz Metaponta (otprilike 470. godine prije Krista). U vrijeme Pitagorejaca vjerovalo se da postoji jedna jedinica dužine, dovoljno mala i nedjeljiva, koja uključuje cijeli broj puta u bilo kojem segmentu [
] . Ne postoje tačni podaci o tome koji je broj Hipas dokazao iracionalnim. Prema legendi, pronašao ga je proučavajući dužine stranica pentagrama. Stoga je razumno pretpostaviti da je to bio zlatni rez, jer je to omjer dijagonale i strane u pravilnom peterokutu. Grčki matematičari su ovaj omjer nesamjerljivih veličina nazvali alogos(neizrecivo), ali prema legendi nisu odali dužno poštovanje Hipasu. Postoji legenda da je Hipas došao do otkrića dok je bio na pomorskom putovanju i da su ga drugi pitagorejci bacili u vodu „zbog stvaranja elementa svemira koji negira doktrinu da se svi entiteti u svemiru mogu svesti na cijele brojeve i njihove omjere“. Otkriće Hipasa predstavljalo je ozbiljan problem za pitagorejsku matematiku, uništavajući temeljnu pretpostavku da su brojevi i geometrijski objekti jedno i neodvojivo. Kasnije je Eudoks iz Knida (410. ili 408. pne - 355. ili 347. pne) razvio teoriju proporcija koja je uzela u obzir i racionalne i iracionalne odnose. Ovo je poslužilo kao osnova za razumijevanje fundamentalne suštine iracionalnih brojeva. Količina se počela posmatrati ne kao broj, već kao oznaka entiteta, kao što su segmenti linija, uglovi, površine, zapremine, vremenski intervali - entiteti koji se mogu neprekidno menjati (u modernom smislu reči). Veličine su suprotstavljene brojevima, koji se mogu mijenjati samo “skokovima” s jednog broja na drugi, na primjer, sa 4 na 5. Brojevi se sastoje od najmanje nedjeljive veličine, dok se količine mogu neograničeno smanjivati. Budući da nijedna kvantitativna vrijednost nije bila u korelaciji sa veličinom, Eudoxus je mogao pokriti i srazmjerne i nesamjerljive veličine kada je razlomak definirao kao omjer dvije veličine, a proporciju kao jednakost dva razlomka. Uklanjanjem kvantitativnih vrijednosti (brojeva) iz jednačina, izbjegao je zamku da iracionalnu veličinu mora nazvati brojem. Eudoksova teorija omogućila je grčkim matematičarima da ostvare nevjerovatan napredak u geometriji, dajući im neophodnu logičku osnovu za rad s nesamjerljivim veličinama. Deseta knjiga Euklidovih elemenata posvećena je klasifikaciji iracionalnih veličina. Srednji vijek je obilježen usvajanjem koncepata kao što su nula, negativni brojevi, cijeli brojevi i razlomci, prvo od strane indijskih, a potom i kineskih matematičara. Kasnije su se pridružili arapski matematičari koji su prvi razmatrali negativne brojeve kao algebarske objekte (zajedno s pozitivnim brojevima), što je omogućilo razvoj discipline koja se danas zove algebra. Arapski matematičari spojili su drevne grčke koncepte "broja" i "veličine" u jednu, opštiju ideju o realnim brojevima. Bili su kritični prema Euklidovim idejama o odnosima; nasuprot tome, razvili su teoriju odnosa proizvoljnih veličina i proširili koncept broja na odnose kontinuiranih veličina. U svom komentaru na Euklidovu knjigu 10 elemenata, perzijski matematičar Al Makhani (oko 800. n.e.) je istražio i klasifikovao kvadratne iracionalne brojeve (brojeve oblika) i opštije kubične iracionalne brojeve. Definisao je racionalne i iracionalne veličine, koje je nazvao iracionalnim brojevima. Lako je operirao ovim objektima, ali je o njima govorio kao o zasebnim objektima, na primjer: Za razliku od Euklidovog koncepta da su količine prvenstveno segmenti linija, Al Makhani je smatrao da su cijele brojeve i razlomke racionalne veličine, a kvadratni i kubni korijeni iracionalni. Uveo je i aritmetički pristup skupu iracionalnih brojeva, jer je upravo on pokazao iracionalnost sljedećih veličina: Egipatski matematičar Abu Kamil (oko 850. CE - oko 930. CE) bio je prvi koji je smatrao da je prihvatljivo prepoznati iracionalne brojeve kao rješenja kvadratnih jednačina ili kao koeficijente u jednačinama - općenito u kvadratnom ili kubičnom obliku korijena, kao i korijena četvrtog stepena. U 10. veku, irački matematičar Al Hašimi je izveo opšte dokaze (umesto vizuelnih geometrijskih demonstracija) iracionalnosti proizvoda, količnika i rezultata drugih matematičkih transformacija nad iracionalnim i racionalnim brojevima. Al Khazin (900. AD - 971. AD) daje sljedeću definiciju racionalne i iracionalne količine: Mnoge od ovih ideja su kasnije usvojili evropski matematičari nakon prevođenja arapskih tekstova na latinski u 12. veku. Al Hassar, arapski matematičar iz Magreba koji se specijalizirao za islamske zakone o nasljeđivanju, uveo je modernu simboličku matematičku notaciju za razlomke u 12. stoljeću, dijeleći brojilac i nazivnik horizontalnom crtom. Ista notacija se tada pojavila u Fibonačijevim delima u 13. veku. Tokom XIV-XVI vijeka. Madhava iz Sangamagrama i predstavnici Kerala škole astronomije i matematike istraživali su beskonačne nizove koji konvergiraju određenim iracionalnim brojevima, kao što je π, a također su pokazali iracionalnost određenih trigonometrijskih funkcija. Jestadeva je ove rezultate predstavio u knjizi Yuktibhaza. (dokazujući istovremeno postojanje transcendentnih brojeva), čime se preispituje Euklidov rad na klasifikaciji iracionalnih brojeva. Radovi na ovu temu objavljeni su 1872 Kontinuirane razlomke, usko povezane s iracionalnim brojevima (nastavljeni razlomak koji predstavlja dati broj je beskonačan ako i samo ako je broj iracionalan), prvi je istražio Cataldi 1613. godine, a zatim je ponovo skrenuo pažnju u Ojlerovom djelu i u početkom 19. veka - u delima Lagranža. Dirichlet je također dao značajan doprinos razvoju teorije kontinuiranih razlomaka. Godine 1761. Lambert je koristio kontinuirane razlomke da to pokaže π (\displaystyle \pi ) nije racionalan broj, a takođe i to e x (\displaystyle e^(x)) I tg x (\displaystyle \operatorname (tg) x) su iracionalni za bilo koji racionalan različit od nule x (\displaystyle x). Iako se Lambertov dokaz može nazvati nepotpunim, općenito se smatra prilično rigoroznim, posebno s obzirom na vrijeme kada je napisan. Legendre je 1794., nakon što je uveo Bessel-Cliffordovu funkciju, pokazao da π 2 (\displaystyle \pi ^(2)) iracionalno, odakle dolazi iracionalnost? π (\displaystyle \pi ) slijedi trivijalno (racionalni broj na kvadrat bi dao racionalan). Postojanje transcendentnih brojeva je dokazao Liouville 1844-1851. Kasnije je Georg Cantor (1873) pokazao njihovo postojanje koristeći drugačiji metod, i tvrdio da svaki interval realnog niza sadrži beskonačan broj transcendentnih brojeva. Charles Hermite je to dokazao 1873. godine e transcendentalno, a Ferdinand Lindemann je 1882. godine, na osnovu ovog rezultata, pokazao transcendentnost π (\displaystyle \pi ) Književnost
. Ako je n neparno, tj. n=2k+1, gdje je , tada jednačina ima jedan korijen. Ako je n paran, n=2k, gdje je , tada za a=0 jednadžba ima jedan korijen x=0, za<0 корней нет, при a>0 ima dva korijena koja su suprotna jedan drugom. Vađenje korijena je obrnuta operacija podizanja na prirodni stepen.
Pošto se broj $\sqrt2$ ne može predstaviti kao omjer cijelih brojeva, on se zove iracionalan broj. S druge strane, pozivaju se svi brojevi koji se mogu predstaviti kao omjer cijelih brojeva racionalno.Integers
Da li je nula prirodan broj? Ne, nula nije prirodan broj.
Koliko prirodnih brojeva ima? Postoji beskonačan broj prirodnih brojeva.
Koji je najmanji prirodan broj? Jedan je najmanji prirodan broj.
Koji je najveći prirodni broj? Nemoguće ga je odrediti, jer postoji beskonačan broj prirodnih brojeva.Cijeli brojevi
Racionalni brojevi
Primjeri dokaza iracionalnosti
Koren od 2
Binarni logaritam broja 3
e
Priča
vidi takođe
Bilješke
Numerički sistemi
Brojanje
setoviPrirodni brojevi () Cijeli brojevi () Svojstva
Algebarski i transcendentalni brojevi
Priča
Antika
Srednje godine
Neka jedinična količina bude sadržana u datoj količini jednom ili više puta, tada ova [data] količina odgovara cijelom broju... Svaka količina koja je polovina, ili trećina, ili četvrtina jedinične količine, ili, kada u poređenju sa jediničnom količinom, tri petine je racionalna količina. I općenito, svaka količina koja se odnosi na jedinicu kao što je jedan broj s drugim je racionalna. Ako se veličina ne može predstaviti kao više ili kao dio (l/n), ili više dijelova (m/n) jedinične dužine, ona je iracionalna, odnosno neizreciva osim uz pomoć korijena.