Jednačina prave na ravni.

Kao što je poznato, bilo koja tačka na ravni je određena sa dve koordinate u nekom koordinatnom sistemu. Koordinatni sistemi mogu biti različiti u zavisnosti od izbora baze i porekla.

Definicija. Jednačina linije naziva se relacija y = f(x) između koordinata tačaka koje čine ovu pravu.

Imajte na umu da se jednadžba prave može izraziti parametarski, odnosno svaka koordinata svake tačke se izražava kroz neki nezavisni parametar t.

Tipičan primjer je putanja pokretne tačke. U ovom slučaju, ulogu parametra igra vrijeme.

Jednačina prave linije na ravni.

Definicija. Bilo koja prava linija na ravni može se odrediti jednadžbom prvog reda

Ax + Wu + C = 0,

Štaviše, konstante A i B nisu u isto vrijeme jednake nuli, tj. A 2 + B 2  0. Ova jednačina prvog reda se zove opšta jednačina prave linije.

Ovisno o vrijednostima konstanti A, B i C, mogući su sljedeći posebni slučajevi:

C = 0, A  0, B  0 – prava prolazi kroz početak

A = 0, B  0, C  0 (By + C = 0) - prava linija paralelna osi Ox

B = 0, A  0, C  0 (Ax + C = 0) – prava paralelna sa Oy osom

B = C = 0, A  0 – prava linija se poklapa sa Oy osom

A = C = 0, B  0 – prava linija se poklapa sa Osa vola

Jednačina prave linije može se predstaviti u različitim oblicima u zavisnosti od bilo kojeg datog početnog uslova.

Jednačina prave linije iz tačke i vektora normale.

Definicija. U Kartezijanskom pravougaonom koordinatnom sistemu, vektor sa komponentama (A, B) je okomit na pravu liniju datu jednačinom Ax + By + C = 0.

Primjer. Naći jednadžbu prave koja prolazi kroz tačku A(1, 2) okomito na vektor (3, -1).

Sa A = 3 i B = -1, sastavimo jednačinu prave: 3x – y + C = 0. Da bismo pronašli koeficijent C, zamijenimo koordinate date tačke A u rezultirajući izraz.

Dobijamo: 3 – 2 + C = 0, dakle C = -1.

Ukupno: tražena jednačina: 3x – y – 1 = 0.

Jednadžba prave koja prolazi kroz dvije tačke.

Neka su u prostoru date dvije tačke M 1 (x 1, y 1, z 1) i M 2 (x 2, y 2, z 2), tada je jednadžba prave koja prolazi kroz ove tačke:

Ako je bilo koji od nazivnika nula, odgovarajući brojnik treba postaviti jednak nuli.

Na ravni, jednadžba ravne linije koja je gore napisana je pojednostavljena:

ako je x 1  x 2 i x = x 1, ako je x 1 = x 2.

Razlomak
=k se poziva nagib ravno.

Primjer. Naći jednačinu prave koja prolazi kroz tačke A(1, 2) i B(3, 4).

Primjenom gore napisane formule dobijamo:

Jednadžba prave linije koristeći tačku i nagib.

Ako se opšta jednačina prave Ax + By + C = 0 svede na oblik:

i odrediti
, tada se rezultirajuća jednačina zove jednadžba prave linije sa nagibomk.

Jednačina prave linije iz tačke i vektora pravca.

Po analogiji sa tačkom uzimajući u obzir jednadžbu prave linije kroz vektor normale, možete uneti definiciju prave linije kroz tačku i usmeravajući vektor prave linije.

Definicija. Svaki vektor različit od nule ( 1,  2), čije komponente zadovoljavaju uslov A 1 + B 2 = 0 naziva se usmjeravajući vektor prave

Ax + Wu + C = 0.

Primjer. Naći jednadžbu prave sa vektorom smjera (1, -1) i prolazi kroz tačku A(1, 2).

Tražićemo jednačinu željene linije u obliku: Ax + By + C = 0. U skladu sa definicijom, koeficijenti moraju zadovoljiti uslove:

1A + (-1)B = 0, tj. A = B.

Tada jednačina prave linije ima oblik: Ax + Ay + C = 0, ili x + y + C/A = 0.

kod x = 1, y = 2 dobijamo C/A = -3, tj. tražena jednačina:

Jednačina prave linije u segmentima.

Ako je u opštoj jednačini prave Ah + Vu + S = 0 S 0, onda, dijeljenjem sa –S, dobijamo:
ili

, Gdje

Geometrijsko značenje koeficijenata je da koeficijent A je koordinata tačke preseka linije sa Ox osom, i b– koordinata tačke preseka prave linije sa Oy osom.

Primjer. Zadata je opšta jednačina prave x – y + 1 = 0. Naći jednačinu ove prave u segmentima.

C = 1,
, a = -1,b = 1.

Normalna jednadžba prave.

Ako se obje strane jednačine Ax + By + C = 0 podijele brojem
koji se zove normalizujući faktor, onda dobijamo

xcos + ysin - p = 0 –

normalna jednačina prave.

Predznak  faktora normalizacije mora biti odabran tako da S< 0.

p je dužina okomice spuštene od početka do prave, a  je ugao koji ova okomica formira sa pozitivnim smjerom ose Ox.

Primjer. S obzirom na opštu jednačinu prave 12x – 5y – 65 = 0. Treba da napišete Razne vrste jednačine ove prave.

jednadžba ove prave u segmentima:

jednadžba ove prave sa nagibom: (podijelite sa 5)

normalna jednadžba prave:

; cos = 12/13; sin = -5/13; p = 5.

Treba napomenuti da se ne može svaka ravna linija predstaviti jednadžbom u segmentima, na primjer, prave linije paralelne sa osama ili koje prolaze kroz ishodište koordinata.

Primjer. Prava linija odsijeca jednake pozitivne segmente na koordinatnim osama. Napišite jednadžbu za ravnu liniju ako je površina trokuta koji čine ovi segmenti 8 cm 2.

Jednačina prave linije je:
, a = b = 1; ab/2 = 8; a = 4; -4.

a = -4 nije prikladno prema uslovima problema.

Ukupno:
ili x + y – 4 = 0.

Primjer. Napišite jednačinu za pravu liniju koja prolazi kroz tačku A(-2, -3) i ishodište.

Jednačina prave linije je:
, gdje je x 1 = y 1 = 0; x 2 = -2; y2 = -3.

Ugao između pravih linija na ravni.

Definicija. Ako su date dvije prave y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, tada oštar ugao između ovih pravih će se definirati kao

.

Dvije prave su paralelne ako je k 1 = k 2.

Dva prave linije su okomite, ako je k 1 = -1/k 2 .

Teorema. Direktne linije Ax + Wu + C = 0 i A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 su paralelni kada su koeficijenti A proporcionalni 1 =  A, B 1 =  B. Ako i C 1 =  C, tada se linije poklapaju.

Koordinate tačke preseka dve prave nalaze se kao rešenje sistema jednačina ovih pravih.

Jednačina prave koja prolazi kroz datu tačku

okomito na ovu pravu.

Definicija. Prava linija koja prolazi kroz tačku M 1 (x 1, y 1) i okomita na pravu liniju y = kx + b predstavljena je jednadžbom:

Udaljenost od tačke do prave.

Teorema. Ako je data tačka M(x). 0 , y 0 ), tada je rastojanje do prave Ah + Vu + S =0 definisano kao

.

Dokaz. Neka je tačka M 1 (x 1, y 1) osnova okomice spuštene iz tačke M na datu pravu liniju. Tada je rastojanje između tačaka M i M 1:

Koordinate x 1 i y 1 se mogu naći rješavanjem sistema jednadžbi:

Druga jednačina sistema je jednačina prave koja prolazi kroz datu tačku M 0 okomito na datu pravu.

Ako transformišemo prvu jednačinu sistema u oblik:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

tada, rješavanjem, dobijamo:

Zamjenom ovih izraza u jednačinu (1) nalazimo:

.

Teorema je dokazana.

Primjer. Odrediti ugao između pravih: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 = -3; k 2 = 2 tg =
;  = /4.

Primjer. Pokažite da su prave 3x – 5y + 7 = 0 i 10x + 6y – 3 = 0 okomite.

Nalazimo: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, dakle, prave su okomite.

Primjer. Dati su vrhovi trougla A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Naći jednadžbu visine povučene iz vrha C.

Pronalazimo jednačinu stranice AB:
; 4x = 6y – 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Tražena jednačina visine ima oblik: Ax + By + C = 0 ili y = kx + b.

k = . Tada je y =
. Jer visina prolazi kroz tačku C, tada njene koordinate zadovoljavaju ovu jednačinu:
odakle je b = 17. Ukupno:
.

Odgovor: 3x + 2y – 34 = 0.

Analitička geometrija u prostoru.

Jednačina prave u prostoru.

Jednačina prave u prostoru date tački i

vektor smjera.

Uzmimo proizvoljnu liniju i vektor (m, n, p), paralelno sa datom pravom. Vector pozvao vodeći vektor ravno.

Na pravoj liniji uzimamo dvije proizvoljne tačke M 0 (x 0 , y 0 , z 0) i M (x, y, z).

z

M 1

Označimo radijus vektore ovih tačaka kao I , očigledno je da - =
.

Jer vektori
I su kolinearni, onda je relacija tačna
= t, gdje je t neki parametar.

Ukupno možemo napisati: = + t.

Jer ova jednačina je zadovoljena koordinatama bilo koje tačke na pravoj, onda je rezultirajuća jednačina parametarska jednačina prave.

Ova vektorska jednadžba se može predstaviti u koordinatnom obliku:

Transformacijom ovog sistema i izjednačavanjem vrednosti parametra t dobijamo kanonske jednačine prave u prostoru:

.

Definicija. Smjer kosinus direktni su kosinusi smjera vektora , koji se može izračunati pomoću formula:

;

.

Odavde dobijamo: m: n: p = cos : cos : cos.

Zovu se brojevi m, n, p ugaoni koeficijenti ravno. Jer je vektor različit od nule, tada m, n i p ne mogu biti jednaki nuli u isto vrijeme, ali jedan ili dva od ovih brojeva mogu biti jednaki nuli. U ovom slučaju, u jednačini linije, odgovarajući brojioci treba da budu jednaki nuli.

Jednačina prave u prolazu kroz prostor

kroz dve tačke.

Ako na pravoj liniji u prostoru označimo dvije proizvoljne tačke M 1 (x 1, y 1, z 1) i M 2 (x 2, y 2, z 2), tada koordinate ovih tačaka moraju zadovoljiti jednačinu prave dobijeno gore:

.

Osim toga, za tačku M 1 možemo napisati:

.

Zajedno rješavajući ove jednačine dobijamo:

.

Ovo je jednadžba prave koja prolazi kroz dvije tačke u prostoru.

Opšte jednačine prave u prostoru.

Jednačina prave linije se može posmatrati kao jednačina linije preseka dve ravni.

Kao što je gore objašnjeno, ravan u vektorskom obliku može se specificirati jednadžbom:

+ D = 0, gdje je

- normalna ravan; - radijus je vektor proizvoljne tačke na ravni.

Jednačina prave linije na ravni.
Vektor smjera je ravan. Normalni vektor

Prava linija na ravni je jedna od najjednostavnijih geometrijski oblici, poznato vam još od osnovne škole, a danas ćemo naučiti kako se nositi s njim koristeći metode analitičke geometrije. Da biste savladali materijal, morate biti u stanju da izgradite pravu liniju; znati koja jednačina definira pravu liniju, posebno pravu liniju koja prolazi kroz početak koordinata i prave linije paralelne sa koordinatnim osa. Ove informacije možete pronaći u priručniku Grafovi i svojstva elementarnih funkcija, kreirao sam ga za matan, ali odjeljak o linearna funkcija Ispalo je vrlo uspješno i detaljno. Zato, dragi čajnici, prvo se zagrijte tamo. Osim toga, potrebno je imati osnovna znanja o vektori, inače će razumijevanje gradiva biti nepotpuno.

On ovu lekciju Pogledat ćemo načine na koje možete kreirati jednadžbu prave linije na ravni. Preporučujem da ne zanemarite praktične primjere (čak i ako izgledaju vrlo jednostavno), jer ću im pružiti elementarne i važne činjenice, tehničke tehnike koje će biti potrebne u budućnosti, uključujući i druge dijelove više matematike.

• Kako napisati jednačinu prave linije sa ugaonim koeficijentom?
• Kako ?
• Kako pronaći vektor smjera koristeći opštu jednadžbu prave linije?
• Kako napisati jednačinu prave linije date tačku i vektor normale?

i počinjemo:

Jednačina prave linije sa nagibom

Poznati „školski“ oblik jednačine prave linije naziva se jednadžba prave linije sa nagibom. Na primjer, ako je ravna linija data jednadžbom, tada je njen nagib: . Razmotrimo geometrijsko značenje dati koeficijent i kako njegova vrijednost utječe na lokaciju linije:

Na kursu geometrije je to dokazano nagib prave linije je jednak tangenta ugla između pozitivnog smjera osei ovu liniju: , a ugao se „odvrće“ u smjeru suprotnom od kazaljke na satu.

Da ne bih zatrpao crtež, nacrtao sam uglove samo za dvije ravne linije. Razmotrimo „crvenu“ liniju i njen nagib. Prema gore navedenom: ("alfa" ugao je označen zelenim lukom). Za „plavu“ pravu liniju sa ugaonim koeficijentom, jednakost je tačna („beta“ ugao je označen smeđim lukom). A ako je poznat tangent ugla, onda ga je lako pronaći ako je potrebno i sam ugao koristeći inverznu funkciju - arktangens. Kako kažu, trigonometrijska tablica ili mikrokalkulator u vašim rukama. dakle, ugaoni koeficijent karakterizira stepen nagiba prave linije prema osi apscise.

Mogući su sljedeći slučajevi:

1) Ako je nagib negativan: tada linija, grubo govoreći, ide od vrha do dna. Primjeri su "plave" i "maline" ravne linije na crtežu.

2) Ako je nagib pozitivan: tada linija ide odozdo prema gore. Primjeri - "crne" i "crvene" ravne linije na crtežu.

3) Ako je nagib nula: , tada jednačina poprima oblik , a odgovarajuća ravna linija je paralelna sa osom. Primjer je "žuta" ravna linija.

4) Za porodicu linija paralelnih sa osom (nema primera na crtežu, osim same ose), ugaoni koeficijent ne postoji (tangenta od 90 stepeni nije definisana).

Što je veći koeficijent nagiba u apsolutnoj vrijednosti, to je pravolinijski graf strmiji..

Na primjer, razmotrite dvije ravne linije. Ovdje, dakle, prava linija ima strmiji nagib. Da vas podsjetim da modul omogućava ignorisanje znaka, samo nas zanima apsolutne vrijednosti ugaoni koeficijenti.

Zauzvrat, prava linija je strmija od pravih linija .

Obrnuto: što je manji koeficijent nagiba u apsolutnoj vrijednosti, to je ravna linija ravnija.

Za ravne linije nejednakost je tačna, pa je ravna linija ravnija. Dječiji tobogan, kako ne biste zadali modrice i udarce.

Zašto je to potrebno?

Produžite svoju muku Poznavanje gore navedenih činjenica omogućava vam da odmah vidite svoje greške, posebno greške pri konstruisanju grafikona - ako se pokaže da je crtež "očito nešto krivo". Preporučljivo je da vi odmah bilo je jasno da je, na primjer, prava linija vrlo strma i ide odozdo prema gore, a prava linija je vrlo ravna, pritisnuta blizu ose i ide odozgo prema dolje.

U geometrijskim problemima često se pojavljuje nekoliko ravnih linija, pa ih je zgodno nekako označiti.

Oznake: ravne linije su označene malim sa latiničnim slovima: . Popularna opcija je da ih označite istim slovom s prirodnim indeksima. Na primjer, pet linija koje smo upravo pogledali mogu se označiti sa .

Pošto je svaka prava linija jednoznačno određena sa dvije tačke, može se označiti ovim tačkama: itd. Oznaka jasno implicira da tačke pripadaju pravoj.

Vrijeme je da se malo zagrijemo:

Kako napisati jednačinu prave linije sa ugaonim koeficijentom?

Ako je poznata tačka koja pripada određenoj pravoj i ugaoni koeficijent ove prave, tada se jednačina ove prave izražava formulom:

Primjer 1

Napišite jednačinu za pravu s nagibom ako je poznato da ta tačka pripada datoj pravoj.

Rješenje: Sastavimo jednačinu prave linije koristeći formulu . U ovom slučaju:

Odgovori:

Ispitivanje se radi jednostavno. Prvo, pogledamo rezultirajuću jednadžbu i uvjerimo se da je naš nagib na mjestu. Drugo, koordinate tačke moraju zadovoljiti ovu jednačinu. Ubacimo ih u jednačinu:

Dobija se tačna jednakost, što znači da tačka zadovoljava rezultirajuću jednačinu.

Zaključak: Jednačina je pronađena ispravno.

Zamršeniji primjer koji možete riješiti sami:

Primjer 2

Napišite jednadžbu za pravu liniju ako je poznato da je njen ugao nagiba u pozitivnom smjeru ose , a tačka pripada ovoj pravoj liniji.

Ako imate bilo kakvih poteškoća, pročitajte ponovo teorijski materijal. Tačnije, praktičnije, preskačem mnogo dokaza.

Zazvonilo je poslednji poziv, maturalna zabava je prošla, a ispred kapija naše rodne škole čeka nas sama analitička geometrija. Šale su gotove... Ili možda tek počinju =)

Nostalgično mašemo perom prema poznatom i upoznajemo se s opštom jednačinom prave linije. Jer u analitičkoj geometriji se upravo ovo koristi:

Opšta jednačina prava linija ima oblik: , gdje su neki brojevi. Istovremeno, koeficijenti istovremeno nisu jednake nuli, jer jednačina gubi smisao.

Obucimo se u odijelo i povežimo jednačinu sa koeficijentom nagiba. Prvo, pomjerimo sve pojmove na lijevu stranu:

Pojam sa “X” mora se staviti na prvo mjesto:

U principu, jednadžba već ima oblik, ali prema pravilima matematičke etikete, koeficijent prvog člana (u ovom slučaju) mora biti pozitivan. Promjena znakova:

Zapamtite ovo tehnička karakteristika! Prvi koeficijent (najčešće) činimo pozitivnim!

U analitičkoj geometriji, jednadžba prave linije će se gotovo uvijek dati opšti oblik. Pa, ako je potrebno, lako se može svesti na "školski" oblik s kutnim koeficijentom (s izuzetkom ravnih linija paralelnih s ordinatnom osom).

Zapitajmo se šta dosta znate konstruisati pravu liniju? Dva poena. Ali više o ovom incidentu iz djetinjstva, sada se drži pravila strelica. Svaka prava linija ima vrlo specifičan nagib na koji se lako „prilagoditi“. vektor.

Vektor koji je paralelan pravoj naziva se vektor smjera te prave. Očigledno je da svaka ravna linija ima beskonačan broj vektora smjera, i svi će biti kolinearni (kosmjerni ili ne - nije važno).

Vektor smjera ću označiti na sljedeći način: .

Ali jedan vektor nije dovoljan da se konstruiše prava linija, vektor je slobodan i nije vezan ni za jednu tačku na ravni. Stoga je dodatno potrebno znati neku tačku koja pripada pravoj.

Kako napisati jednačinu prave linije koristeći vektor tačke i smjera?

Ako su poznata određena tačka koja pripada pravoj i vektor smjera ove linije, tada se jednadžba ove linije može sastaviti pomoću formule:

Ponekad se zove kanonska jednačina ravno .

Šta raditi kada jedna od koordinata je jednako nuli, razumjet ćemo u praktičnim primjerima u nastavku. Usput, imajte na umu - oboje odjednom koordinate ne mogu biti jednake nuli, jer nulti vektor ne specificira određeni smjer.

Primjer 3

Napišite jednačinu za pravu liniju koristeći tačku i vektor smjera

Rješenje: Sastavimo jednačinu prave linije koristeći formulu. U ovom slučaju:

Koristeći svojstva proporcije rješavamo se razlomaka:

I dovodimo jednačinu do opšti izgled:

Odgovori:

U pravilu nema potrebe za crtanjem u takvim primjerima, već radi razumijevanja:

Na crtežu vidimo početnu tačku, originalni vektor pravca (može se iscrtati iz bilo koje tačke na ravni) i konstruisanu pravu liniju. Usput, u mnogim slučajevima je najpogodnije konstruirati pravu liniju koristeći jednadžbu s kutnim koeficijentom. Lako je transformirati našu jednadžbu u oblik i lako odabrati drugu tačku za konstruiranje prave linije.

Kao što je navedeno na početku pasusa, prava linija ima beskonačno mnogo vektora smjera i svi su kolinearni. Na primjer, nacrtao sam tri takva vektora: . Koji god vektor smjera da odaberemo, rezultat će uvijek biti ista pravolinijska jednadžba.

Kreirajmo jednadžbu prave linije koristeći vektor tačke i smjera:

Rješavanje proporcije:

Podijelite obje strane sa –2 i dobijete poznatu jednačinu:

Zainteresovani mogu testirati vektore na isti način ili bilo koji drugi kolinearni vektor.

Sada da riješimo inverzni problem:

Kako pronaći vektor smjera koristeći opštu jednadžbu prave linije?

Veoma jednostavno:

Ako je prava data opštom jednačinom u pravougaonom koordinatnom sistemu, tada je vektor vektor pravca ove prave.

Primjeri pronalaženja vektora smjera pravih linija:

Izjava nam omogućava da pronađemo samo jedan vektor smjera od beskonačnog broja, ali nam ne treba više. Iako je u nekim slučajevima preporučljivo smanjiti koordinate vektora smjera:

Dakle, jednadžba specificira ravnu liniju koja je paralelna s osi i koordinate rezultirajućeg vektora smjera se prikladno dijele sa –2, dobivajući upravo osnovni vektor kao vektor smjera. Logično.

Slično, jednačina specificira ravnu liniju paralelnu sa osom, a dijeljenjem koordinata vektora sa 5, dobijamo jedinični vektor kao vektor smjera.

Hajde da to uradimo provjera primjera 3. Primjer je krenuo gore, pa vas podsjećam da smo u njemu sastavili jednačinu prave koristeći tačku i vektor smjera

Prvo, koristeći jednadžbu prave linije rekonstruiramo njen vektor smjera: – sve je u redu, dobili smo originalni vektor (u nekim slučajevima rezultat može biti kolinearan vektor prema originalnom, a to je obično lako uočiti po proporcionalnosti odgovarajućih koordinata).

Drugo, koordinate tačke moraju zadovoljiti jednačinu. Zamjenjujemo ih u jednačinu:

Dobijena je tačna jednakost, čemu smo veoma sretni.

Zaključak: Zadatak je ispravno obavljen.

Primjer 4

Napišite jednačinu za pravu liniju koristeći tačku i vektor smjera

Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Rješenje i odgovor nalaze se na kraju lekcije. Vrlo je preporučljivo provjeriti koristeći algoritam o kojem smo upravo govorili. Pokušajte uvijek (ako je moguće) provjeriti nacrt. Glupo je praviti greške tamo gde se one mogu 100% izbeći.

U slučaju da je jedna od koordinata vektora smjera nula, postupite vrlo jednostavno:

Primjer 5

Rješenje: Formula nije prikladna jer je nazivnik na desnoj strani nula. Postoji izlaz! Koristeći svojstva proporcije, prepisujemo formulu u obrazac, a ostatak se kotrlja po dubokoj kolotečini:

Odgovori:

Ispitivanje:

1) Vratite vektor usmjeravanja prave linije:
– rezultirajući vektor je kolinearan s originalnim vektorom smjera.

2) Zamijenite koordinate tačke u jednačinu:

Dobija se tačna jednakost

Zaključak: zadatak je ispravno obavljen

Postavlja se pitanje zašto se zamarati formulom ako postoji univerzalna verzija koja će u svakom slučaju raditi? Dva su razloga. Prvo, formula je u obliku razlomka mnogo bolje zapamćen. I drugo, nedostatak univerzalne formule je to rizik od zabune se značajno povećava prilikom zamjene koordinata.

Primjer 6

Napišite jednačinu za pravu liniju koristeći tačku i vektor smjera.

Ovo je primjer koji možete sami riješiti.

Vratimo se na sveprisutne dvije tačke:

Kako napisati jednačinu prave koristeći dvije tačke?

Ako su poznate dvije tačke, onda se jednačina prave linije koja prolazi kroz ove tačke može sastaviti pomoću formule:

Zapravo, ovo je vrsta formule i evo zašto: ako su poznate dvije tačke, tada će vektor biti vektor smjera date prave. Na lekciji Vektori za lutke smatrali smo najjednostavniji zadatak– kako pronaći koordinate vektora iz dvije tačke. Prema ovom problemu, koordinate vektora pravca su:

Bilješka : tačke se mogu “zamijeniti” i formula se može koristiti . Takvo rješenje će biti ekvivalentno.

Primjer 7

Napišite jednačinu prave linije koristeći dvije tačke .

Rješenje: Koristimo formulu:

Češljanje nazivnika:

I promiješaj špil:

Trenutno je zgodno riješiti se razlomaka. U ovom slučaju, trebate pomnožiti obje strane sa 6:

Otvorite zagrade i prisjetite se jednadžbe:

Odgovori:

Ispitivanje je očigledno - koordinate početnih tačaka moraju zadovoljiti rezultirajuću jednadžbu:

1) Zamijenite koordinate tačke:

Prava jednakost.

2) Zamijenite koordinate tačke:

Prava jednakost.

Zaključak: Jednačina prave je ispravno napisana.

Ako najmanje jedan od tačaka ne zadovoljava jednačinu, potražite grešku.

Vrijedi napomenuti da je grafička provjera u ovom slučaju teška, jer konstruirajte pravu liniju i vidite da li joj tačke pripadaju , nije tako jednostavno.

Napomenut ću još nekoliko tehničkih aspekata rješenja. Možda je u ovom problemu isplativije koristiti formulu ogledala i, na istim tačkama napravi jednačinu:

Manje razlomaka. Ako želite, možete riješiti rješenje do kraja, rezultat bi trebao biti ista jednačina.

Druga stvar je pogledati konačni odgovor i shvatiti da li se može dodatno pojednostaviti? Na primjer, ako dobijete jednačinu , onda je preporučljivo da je smanjite za dva: – jednačina će definirati istu pravu liniju. Međutim, ovo je već tema razgovora relativni položaj linija.

Dobivši odgovor u primjeru 7, za svaki slučaj, provjerio sam da li su SVI koeficijenti jednačine djeljivi sa 2, 3 ili 7. Mada, najčešće se takve redukcije vrše prilikom rješavanja.

Primjer 8

Napišite jednačinu za pravu koja prolazi kroz tačke .

Ovo je primjer nezavisnog rješenja, koje će vam omogućiti bolje razumijevanje i vježbanje tehnika izračunavanja.

Slično kao u prethodnom paragrafu: ako je u formuli jedan od nazivnika (koordinata vektora pravca) postaje nula, onda ga prepisujemo u obliku . Opet, primijetite kako izgleda nespretno i zbunjeno. Ne vidim puno smisla u dovođenju praktični primjeri, pošto smo takav problem već zaista riješili (vidi br. 5, 6).

Direktni normalni vektor (normalni vektor)

Šta je normalno? Jednostavnim riječima, normala je okomita. To jest, vektor normale prave je okomit na datu pravu. Očigledno, svaka ravna linija ima beskonačan broj njih (kao i vektora smjera), a svi normalni vektori prave linije će biti kolinearni (kosmjerni ili ne, nema razlike).

Suočavanje s njima bit će još lakše nego s vodećim vektorima:

Ako je prava data opštom jednačinom u pravougaonom koordinatnom sistemu, tada je vektor normalni vektor ove prave.

Ako se koordinate vektora smjera moraju pažljivo „izvući“ iz jednačine, tada se koordinate vektora normale mogu jednostavno „ukloniti“.

Vektor normale je uvijek ortogonan na vektor smjera linije. Provjerimo ortogonalnost ovih vektora koristeći tačkasti proizvod:

Navest ću primjere sa istim jednadžbama kao i za vektor smjera:

Da li je moguće konstruisati jednačinu prave linije sa jednom tačkom i normalnim vektorom? Osećam to u stomaku, moguće je. Ako je normalni vektor poznat, tada je smjer same prave linije jasno definiran - ovo je „kruta struktura“ s uglom od 90 stepeni.

Kako napisati jednačinu prave linije date tačku i vektor normale?

Ako su poznata određena tačka koja pripada pravoj i vektor normale ove prave, tada se jednačina ove prave izražava formulom:

Ovdje je sve prošlo bez razlomaka i drugih iznenađenja. Ovo je naš normalni vektor. Volim ga. I postovanje =)

Primjer 9

Napišite jednadžbu ravne linije kojoj je data tačka i vektor normale. Pronađite vektor smjera prave.

Rješenje: Koristimo formulu:

Dobijena je opšta jednačina prave linije, hajde da proverimo:

1) “Ukloniti” koordinate vektora normale iz jednačine: – da, zaista, originalni vektor je dobijen iz uslova (ili treba dobiti kolinearni vektor).

2) Provjerimo da li tačka zadovoljava jednačinu:

Prava jednakost.

Nakon što se uvjerimo da je jednačina pravilno sastavljena, završit ćemo drugi, lakši dio zadatka. Izvadimo usmjeravajući vektor prave linije:

Odgovori:

Na crtežu situacija izgleda ovako:

Za potrebe obuke, sličan zadatak za samostalno rješavanje:

Primjer 10

Napišite jednadžbu ravne linije kojoj je data tačka i vektor normale. Pronađite vektor smjera prave.

Završni dio lekcije bit će posvećen manje uobičajenim, ali i važne vrste jednačine prave na ravni

Jednačina prave linije u segmentima.
Jednačina prave u parametarskom obliku

Jednačina prave linije u segmentima ima oblik , gdje su konstante različite od nule. Neke vrste jednadžbi ne mogu se predstaviti u ovom obliku, na primjer, direktna proporcionalnost (pošto je slobodni član jednak nuli i ne postoji način da se dobije jedan na desnoj strani).

Ovo je, slikovito rečeno, jedna „tehnička“ jednačina. Uobičajeni zadatak je da se opšta jednačina prave predstavi kao jednačina prave u segmentima. Kako je to zgodno? Jednadžba linije u segmentima omogućava brzo pronalaženje tačaka presjeka prave s koordinatnim osama, što može biti vrlo važno u nekim problemima više matematike.

Nađimo tačku preseka prave sa osom. Resetujemo „y” i jednačina dobija oblik . Željena tačka se dobija automatski: .

Isto i sa osovinom – tačka u kojoj prava linija seče ordinatnu osu.

Jednačina prave koja prolazi kroz datu tačku u datom pravcu. Jednačina prave koja prolazi kroz dvije date tačke. Ugao između dvije prave linije. Uslov paralelnosti i okomitosti dvije prave. Određivanje tačke preseka dve prave

1. Jednačina prave koja prolazi kroz datu tačku A(x 1 , y 1) u datom pravcu, određenom nagibom k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Ova jednačina definira olovku linija koje prolaze kroz tačku A(x 1 , y 1), koji se naziva centar snopa.

2. Jednačina prave koja prolazi kroz dvije tačke: A(x 1 , y 1) i B(x 2 , y 2), napisano ovako:

Ugaoni koeficijent prave linije koja prolazi kroz dvije date tačke određuje se formulom

3. Ugao između pravih linija A I B je ugao za koji se prva prava linija mora rotirati A oko tačke preseka ovih linija u smeru suprotnom od kazaljke na satu dok se ne poklopi sa drugom linijom B. Ako su dvije prave date jednadžbama sa nagibom

y = k 1 x + B 1 ,

Svojstva prave linije u euklidskoj geometriji.

Kroz bilo koju tačku može se povući beskonačan broj pravih linija.

Kroz bilo koje dvije tačke koje se ne poklapaju može se povući jedna prava linija.

Dvije divergentne prave u ravni ili se sijeku u jednoj tački ili su

paralelno (slijedi iz prethodnog).

U trodimenzionalnom prostoru postoje tri opcije za relativni položaj dvije linije:

• linije se seku;

• prave su paralelne;

• prave se seku.

Pravo linija— algebarska kriva prvog reda: prava linija u Dekartovom koordinatnom sistemu

je dato na ravni jednačinom prvog stepena (linearna jednačina).

Opšta jednačina prave linije.

Definicija. Bilo koja prava linija na ravni može se odrediti jednadžbom prvog reda

Ax + Wu + C = 0,

i konstantan A, B nisu u isto vrijeme jednake nuli. Ova jednačina prvog reda se zove general

jednačina prave linije. Ovisno o vrijednostima konstanti A, B I WITH Mogući su sljedeći posebni slučajevi:

. C = 0, A ≠0, B ≠ 0- prava linija prolazi kroz ishodište

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0)- prava paralelna sa osom Oh

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- prava paralelna sa osom OU

. B = C = 0, A ≠0- prava linija se poklapa sa osom OU

. A = C = 0, B ≠0- prava linija se poklapa sa osom Oh

Jednačina prave linije može se predstaviti u u raznim oblicima zavisno od bilo koje date

početni uslovi.

Jednačina prave linije iz tačke i vektora normale.

Definicija. U kartezijanskom pravougaonom koordinatnom sistemu, vektor sa komponentama (A, B)

okomito na pravu liniju, dato jednačinom

Ax + Wu + C = 0.

Primjer. Naći jednačinu prave koja prolazi kroz tačku A(1, 2) okomito na vektor (3, -1).

Rješenje. Sa A = 3 i B = -1, sastavimo jednačinu prave linije: 3x - y + C = 0. Da pronađemo koeficijent C

Zamenimo koordinate date tačke A u rezultujući izraz. Dobijamo: 3 - 2 + C = 0, dakle

C = -1. Ukupno: tražena jednačina: 3x - y - 1 = 0.

Jednadžba prave koja prolazi kroz dvije tačke.

Neka su u prostoru date dvije tačke M 1 (x 1 , y 1 , z 1) I M2 (x 2, y 2, z 2), Onda jednačina prave,

prolazeći kroz ove tačke:

Ako je bilo koji od nazivnika nula, odgovarajući brojnik treba postaviti jednak nuli. On

ravni, jednadžba ravne linije koja je gore napisana je pojednostavljena:

Ako x 1 ≠ x 2 I x = x 1, Ako x 1 = x 2 .

Razlomak = k pozvao nagib ravno.

Primjer. Naći jednačinu prave koja prolazi kroz tačke A(1, 2) i B(3, 4).

Rješenje. Primjenom gore napisane formule dobijamo:

Jednadžba prave linije koristeći tačku i nagib.

Ako je opšta jednačina prave Ax + Wu + C = 0 voditi do:

i odrediti , tada se rezultirajuća jednačina zove

jednačina prave linije sa nagibom k.

Jednačina prave linije iz tačke i vektora pravca.

Po analogiji sa tačkom koja razmatra jednadžbu prave linije kroz vektor normale, možete ući u zadatak

prava linija kroz tačku i usmjeravajući vektor prave linije.

Definicija. Svaki vektor različit od nule (α 1 , α 2), čije komponente zadovoljavaju uslov

Aα 1 + Bα 2 = 0 pozvao usmjeravajući vektor prave linije.

Ax + Wu + C = 0.

Primjer. Naći jednačinu prave sa vektorom pravca (1, -1) i koja prolazi kroz tačku A(1, 2).

Rješenje. Tražićemo jednadžbu željene linije u obliku: Ax + By + C = 0. prema definiciji,

koeficijenti moraju zadovoljiti sljedeće uslove:

1 * A + (-1) * B = 0, tj. A = B.

Tada jednačina prave linije ima oblik: Ax + Ay + C = 0, ili x + y + C / A = 0.

at x = 1, y = 2 dobijamo C/A = -3, tj. tražena jednačina:

x + y - 3 = 0

Jednačina prave linije u segmentima.

Ako je u opštoj jednačini prave Ah + Vu + S = 0 S≠0, onda, dijeljenjem sa -S, dobijamo:

ili gde

Geometrijsko značenje koeficijenti je da je koeficijent a koordinata tačke preseka

ravno sa osom Oh, A b- koordinata tačke preseka linije sa osom OU.

Primjer. Daje se opšta jednačina prave linije x - y + 1 = 0. Naći jednačinu ove prave u segmentima.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Normalna jednadžba prave.

Ako obje strane jednačine Ax + Wu + C = 0 podijeliti brojem koji se zove

normalizujući faktor, onda dobijamo

xcosφ + ysinφ - p = 0 -normalna jednačina prave.

Predznak ± faktora normalizacije mora biti odabran tako da μ*C< 0.

R- dužina okomice spuštena od početka do prave linije,

A φ - ugao koji formira ova okomita sa pozitivnim smjerom ose Oh.

Primjer. Daje se opšta jednačina prave 12x - 5y - 65 = 0. Potrebno za pisanje različitih vrsta jednačina

ovu pravu liniju.

Jednačina ove prave u segmentima:

Jednačina ove prave sa nagibom: (podijeliti sa 5)

Jednačina prave:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Treba napomenuti da se ne može svaka prava linija predstaviti jednadžbom u segmentima, na primjer, prave,

paralelno sa osama ili prolazeći kroz ishodište.

Ugao između pravih linija na ravni.

Definicija. Ako su data dva reda y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2, zatim oštar ugao između ovih linija

će se definisati kao

Dvije prave su paralelne ako k 1 = k 2. Dvije prave su okomite

Ako k 1 = -1/ k 2 .

Teorema.

Direktno Ax + Wu + C = 0 I A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 paralelno kada su koeficijenti proporcionalni

A 1 = λA, B 1 = λB. Ako takođe S 1 = λS, tada se linije poklapaju. Koordinate tačke preseka dve prave

nalaze se kao rješenje sistema jednačina ovih linija.

Jednačina prave koja prolazi kroz datu tačku okomito na datu pravu.

Definicija. Prava koja prolazi kroz tačku M 1 (x 1, y 1) i okomito na pravu y = kx + b

predstavljena jednačinom:

Udaljenost od tačke do prave.

Teorema. Ako je dat poen M(x 0, y 0), zatim udaljenost do prave linije Ax + Wu + C = 0 definirano kao:

Dokaz. Pusti poentu M 1 (x 1, y 1)- osnova okomice ispuštena iz tačke M za dato

direktno. Zatim udaljenost između tačaka M I M 1:

(1)

Koordinate x 1 I u 1 može se naći kao rješenje sistema jednačina:

Druga jednačina sistema je jednačina prave koja prolazi kroz datu tačku M 0 okomito

data prava linija. Ako transformišemo prvu jednačinu sistema u oblik:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

tada, rješavanjem, dobijamo:

Zamjenom ovih izraza u jednačinu (1) nalazimo:

Teorema je dokazana.

Lekcija iz serije "Geometrijski algoritmi"

Zdravo dragi čitaoče!

Danas ćemo početi da učimo algoritme vezane za geometriju. Činjenica je da u informatici ima dosta olimpijskih problema vezanih za računsku geometriju, a rješavanje takvih problema često izaziva poteškoće.

Tokom nekoliko lekcija razmotrićemo niz elementarnih podzadataka na kojima se zasniva rešavanje većine problema u računarskoj geometriji.

U ovoj lekciji ćemo kreirati program za nalaženje jednačine prave, prolazeći kroz dato dva poena. Za rješavanje geometrijskih problema potrebno nam je određeno poznavanje računske geometrije. Deo lekcije posvetićemo njihovom upoznavanju.

Insights from Computational Geometry

Računarska geometrija je grana računarske nauke koja proučava algoritme za rješavanje geometrijskih problema.

Početni podaci za takve probleme mogu biti skup tačaka na ravni, skup segmenata, poligon (naveden, na primjer, listom njegovih vrhova u smjeru kazaljke na satu) itd.

Rezultat može biti ili odgovor na neko pitanje (kao što je da li tačka pripada segmentu, da li se dva segmenta seku, ...), ili neki geometrijski objekat (na primer, najmanji konveksni poligon koji povezuje date bodove, površina poligona itd.).

Probleme računske geometrije ćemo razmatrati samo na ravni i samo u Dekartovom koordinatnom sistemu.

Vektori i koordinate

Za primjenu metoda računske geometrije potrebno je geometrijske slike prevesti na jezik brojeva. Pretpostavit ćemo da je ravnini dat Dekartov koordinatni sistem, u kojem se smjer rotacije u smjeru suprotnom od kazaljke na satu naziva pozitivnim.

Sada geometrijski objekti dobijaju analitički izraz. Dakle, da biste odredili tačku, dovoljno je navesti njene koordinate: par brojeva (x; y). Segment se može specificirati specificiranjem koordinata njegovih krajeva.

Ali naš glavni alat za rješavanje problema bit će vektori. Dozvolite mi stoga da se prisjetim nekih informacija o njima.

Segment linije AB, što ima poentu A smatra se početkom (točkom primjene) i točkom IN– kraj, nazvan vektor AB i označen je ili ili podebljanim malim slovom, na primjer A .

Da bismo označili dužinu vektora (odnosno, dužinu odgovarajućeg segmenta), koristićemo simbol modula (na primjer, ).

Proizvoljni vektor imat će koordinate jednake razlici između odgovarajućih koordinata njegovog kraja i početka:

,

evo tačaka A I B imaju koordinate respektivno.

Za proračune ćemo koristiti koncept orijentisani ugao, odnosno ugao koji uzima u obzir relativni položaj vektora.

Orijentirani ugao između vektora a I b pozitivan ako je rotacija iz vektora a na vektor b odvija se u pozitivnog smjera(u smjeru suprotnom od kazaljke na satu) i negativan u drugom slučaju. Vidi sl.1a, sl.1b. Takođe se kaže da je par vektora a I b pozitivno (negativno) orijentisan.

Dakle, vrijednost orijentiranog ugla ovisi o redoslijedu u kojem su vektori navedeni i može uzeti vrijednosti u intervalu.

Mnogi problemi u računarskoj geometriji koriste koncept vektorskih (kosih ili pseudoskalarnih) proizvoda vektora.

Vektorski proizvod vektora a i b je proizvod dužina ovih vektora i sinusa ugla između njih:

.

Unakrsni proizvod vektora u koordinatama:

Izraz na desnoj strani je determinanta drugog reda:

Za razliku od definicije date u analitičkoj geometriji, to je skalar.

Potpiši vektorski proizvod određuje položaj vektora jedan u odnosu na drugi:

a I b pozitivno orijentisan.

Ako je vrijednost , tada je par vektora a I b negativno orijentisan.

Unakrsni proizvod nenultih vektora je nula ako i samo ako su kolinearni ( ). To znači da leže na istoj liniji ili na paralelnim linijama.

Pogledajmo nekoliko jednostavnih problema koji su neophodni pri rješavanju složenijih.

Odredimo jednačinu prave iz koordinata dvije tačke.

Jednačina prave koja prolazi kroz dvije različite tačke određene njihovim koordinatama.

Neka su na pravoj date dvije nepodudarne tačke: sa koordinatama (x1; y1) i sa koordinatama (x2; y2). Prema tome, vektor sa početkom u tački i krajem u tački ima koordinate (x2-x1, y2-y1). Ako je P(x, y) proizvoljna tačka na našoj liniji, tada su koordinate vektora jednake (x-x1, y – y1).

Koristeći vektorski proizvod, uslov kolinearnosti vektora i može se napisati na sljedeći način:

One. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

Posljednju jednačinu prepisujemo na sljedeći način:

ax + by + c = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

Dakle, prava linija se može specificirati jednačinom oblika (1).

Zadatak 1. Date su koordinate dvije tačke. Pronađite njen prikaz u obliku ax + by + c = 0.

U ovoj lekciji naučili smo neke informacije o računskoj geometriji. Riješili smo problem nalaženja jednačine prave iz koordinata dvije tačke.

U sljedećoj lekciji ćemo kreirati program za pronalaženje točke presjeka dvije prave date našim jednačinama.

Povratak