Haotično kretanje Brownovih čestica u tekućini ili plinu primjer je slučajnih šetnji. Teoriju Brownovog kretanja razvili su A. Einstein i M. Smoluchowski 1905-1906.

Problem slučajnog hoda jedan je od široko proučavanih problema u teoriji vjerojatnosti i ima mnoge druge primjene.

6.1. Obrasci nasumičnih šetnji

Obrasci nasumičnih hoda mogu se razumjeti korištenjem jednostavnog modela koji se lako može implementirati kompjuterom.

N čestica (koje su u početnom trenutku, radi pogodnosti zapažanja, raspoređene po y-osi) se pomiču u uzastopnim koracima ∆x duž x-ose. Svaki korak svake čestice bira se nasumično i nezavisno od ostalih koraka. Međutim, distribucija vjerovatnoće za odabir bilo kojeg koraka je ista. Pretpostavimo da su pomaci u suprotne strane jednako vjerovatno. To znači da je prosječan pomak

Značenje ove jednakosti je da je aritmetička sredina pomaka ∆x vrlo veliki brojčestica se približava nuli kako se ovaj broj povećava. Ovako se dalje shvata usrednjavanje. Ponekad se takve prosječne vrijednosti nazivaju a priori 19. Osim toga, koristit ćemo “posmatrane prosjeke” - aritmetičke prosjeke za dati broj čestica (obično vrlo veliki). “Uočeni prosječni” pomak čestice ∆x n je mali, ali nije jednak nuli.

Nakon svakog koraka, čestice će se „širiti“ dalje od y ose. Neka x(k) označava koordinate određene čestice nakon k koraka. Onda

Usrednjavajući ovu jednakost (opet preko skupa čestica), dobijamo

x (k + 1) =x (k) ,

one. prosječna vrijednost x (k) se ne mijenja od koraka do koraka i stoga je jednaka x (0) = 0. Uočena vrijednost x n za veliki broj čestica

Prethodno smo pretpostavili da je vjerovatnoća dobijanja glava 1/2.

će biti blizu nule (ovdje je x j koordinata j-te čestice)20.

Širina trake duž koje su čestice raspoređene nakon k-tog koraka može se prikladno okarakterizirati vrijednošću x 2 (k). Da bismo saznali zavisnost ove vrijednosti od broja koraka, kvadratujmo jednakost (2) i prosjek:

Zbog nezavisnosti x (k) i ∆x, imamo

x (k)∆x =x (k) ∆x = 0.

Označimo (∆x )2 =a 2 . Iz (4) slijedi

x 2 (k + 1) =x 2 (k) +a 2,

one. srednji kvadrat koordinate raste sa svakim korakom za iznos a 2 . znači,

varira otprilike proporcionalno broju koraka.

Raspodjela čestica u pojasu koji oni zauzimaju detaljnije je karakterizirana funkcijom raspodjele f (x), koja određuje koncentraciju čestica; dW = f (x)dx

– vjerovatnoća da će koordinata j-te čestice nakon k-tog koraka biti u intervalux ≤ x j ≤ x +dx. Teorija slučajnog hoda daje, za dovoljno veliki broj koraka, Gausovu raspodjelu

Promatrana funkcija raspodjele se dobiva dijeljenjem x-ose na konačne intervale i brojanjem broja čestica u svakom od njih. Rezultat proračuna je grafički predstavljen kao krivulja koraka – histogram (slika 7).

Obratimo pažnju na jedno svojstvo zavisnosti (5). Ako vremenske korake povećamo za l puta, onda slijedi prosječni kvadrat pomaka za jedan korak 2 u skladu sa

20 Za dati broj čestica N, ovo vrijedi i za ne previše velika soba stepenice

Rice. 7. Raspodjela čestica tokom difuzije (histogram i teorijska kriva)

6.2. Procjena parametara kretanja Brownove čestice u tekućini

Izložimo procjene za stvarno Brownovo kretanje. Prosječna brzina haotičnog kretanja Brownove čestice v T određena je na isti način kao i prosječna brzina molekula, relacijom

Ako je brzina čestice blizu termičke, v v T , tada je sila prirodno mnogo manja, a njena odstupanja od prosječne vrijednosti −αv su vrlo značajna.

21 Za kuglu poluprečnika R u tečnosti sa koeficijentom viskoznosti η prema Stokesovom zakonu

α = 6 πηR.

Upravo su ta odstupanja odgovorna za neprekidno haotično kretanje čestice. Ako mi pričamo o tome o takvom kretanju, onda se τ iz (9) može shvatiti kao procjena vremena nakon kojeg čestica „zaboravlja“ početni smjer kretanja. Ali ista vrijednost daje grubu procjenu vremenskog intervala tokom kojeg čestica "pamti" smjer kretanja. (Možda bi za procjenu vremena „zagarantovanog zaborava“ vrijedilo uzeti 2τ, a za procjenu vremena zagarantovanog očuvanja pravca τ/ 2, ali nas ne zanimaju „zagarantovana“ vremena, već prosječna vremena, pa pretpostavit ćemo da koeficijenti 2, 1/2 itd. leže izvan prihvaćene tačnosti procjena.)

Za vrijeme τ čestica putuje putanjom jednakog reda veličine

Možemo smatrati pomake čestica u različitim vremenskim intervalima reda τ slučajnim, slično prethodno razmatranom ∆x, samo usmjerenim ne duž x ose, već u proizvoljnom smjeru (na primjer, kao tri istovremena i nezavisna pomaka duž tri koordinatne ose). Kretanje čestice tokom vremena t τ može se podijeliti na k t/τ takvih koraka. Pomak čestice tokom vremena t procjenjuje se analogno sa (5):

gdje je D koeficijent difuzije22. Uzimajući u obzir (8), (9), (11)

D k α B T .(13)

Ako su u početku čestice bile koncentrisane u nekom malom volumenu, onda su se vremenom širile sve dalje i dalje, zauzimajući područje veličine r(t).

Relacije oblika (12), (13) koje su dobili Ajnštajn i Smoluhovski poslužile su kao osnova za Perinove eksperimente, tokom kojih je određena masa atoma i koje je „naučna zajednica“ prihvatila kao ubedljiv dokaz postojanja atoma. .

Gore opisane obrasce treba shvatiti kao granični slučaj koji odgovara posmatranju beskonačnog broja čestica. Implementacija slučajnog hoda konačnog broja čestica koje izvode Brownovo kretanje (stvarno ili „kompjutersko“) pokazuje samo približno ispunjenje ovih relacija.

22 Za slučajne šetnje u smjeru x ose, umjesto (12) imamo x 2 (t) = 2 D t.

Kada se razmatraju slučajna hodanja, stanje sistema se radi jasnoće tumači kao položaj pokretne „čestice“.

Jednodimenzionalni slučajni hod je Markovljev lanac čiji se prostor stanja sastoji od konačnog ili beskonačnog skupa cijelih brojeva; ako je čestica u stanju I, onda u jednom koraku može ili otići u jedno od svojih susjednih stanja ili ostati u stanju.Ako je prostor stanja skup nenegativnih cijelih brojeva, tada je matrica vjerojatnosti prijelaza slučajnog hoda ima formu

Gdje . Brojevi imaju sljedeće značenje: ako onda kada

promjene su očigledne.

Naziv “slučajna šetnja” za ovu vrstu procesa podržava činjenica da njegova implementacija opisuje put “potpuno pijane” osobe koja nasumično napravi korak naprijed ili nazad.

Kapital igrača koji učestvuje u nizu igara kockanje, često se opisuje kao proces slučajnog hoda. Pretpostavimo da igrač A, koji ima kapital, igra sa beskonačno bogatim partnerom, a vjerovatnoća da će dobiti igru ​​i povećati svoj kapital za jedan je jednaka, a vjerovatnoća da će izgubiti i time smanjiti svoj kapital za jedan je jednak . Zavisnost verovatnoće pobede i poraza od odražava moguću zavisnost uslova igre od kapitala. Dakle, možemo se složiti da, jednom u stanju O (koje odgovara propasti igrača A), proces ostaje u ovom stanju, tj. proces u kojem je veličina kapitala igrača nakon utakmica proces slučajnog hoda. Ovaj proces je poznat kao "problem kockarske propasti".

Nasumično hodanje sa odgovara identičnim ponovljenim serijama; ako su tada u svakoj utakmici šanse igrača A jasno poželjnije. U pogl. 3 pokazaćemo da u ovom slučaju, sa vjerovatnoćom gdje je njegov početni kapital, igrač A bankrotira (izgubi svoj kapital) i sa vjerovatnoćom će se njegov kapital neograničeno povećavati. Ako je, međutim, igra jasno od koristi vlasnicima kockarnice, i gotovo sigurno (sa vjerovatnoćom 1) će igrač A propasti ako igra dovoljno dugo. Igrač A je osuđen na propast (sa vjerovatnoćom 1) čak i u slučaju kada je igra bezopasna, tj.

Ako partner, igrač, također započne igru ​​s ograničenim kapitalom y, tada se kapital igrača A opet opisuje Markovim lancem. Međutim, ovaj lanac ima konačan skup stanja gdje su početna stanja igrača, respektivno. Razlika se tumači kao kapital igrača B nakon utakmica. Ako je remi dozvoljen među ishodima svake igre, tada matrica prelaznih verovatnoća lanca ima oblik

Kao i do sada, postoji mogućnost da igrač A, koji ima kapital, u narednoj utakmici poveća (smanji) za jedan. Imajte na umu da, u skladu sa matricom vjerovatnoća tranzicije (2.3), kapital igrača A (stanje procesa), koji je dostigao vrijednost a ili se okrenuo na 0, ostaje u tim stanjima zauvijek. Kažemo da je igrač A u kvaru ako je proces dostigao stanje 0; ako proces završi u stanju a, onda kažemo da je igrač uništen

Slučajne šetnje pokazuju se korisnim ne samo za opisivanje situacija u igri, već služe i kao dobri modeli fizički procesi, posebno difuziju čestica. Ako čestica doživi slučajne sudare, tada je njen položaj podložan nasumičnim fluktuacijama, iako je putanja koju opisuje kontinuirana. Ako budući položaj (tačnije, njena raspodjela vjerovatnoće) čestice zavisi samo od njenog sadašnjeg položaja, onda je proces u kojem je trenutni položaj čestice markovski. Diskretna aproksimacija takvog kontinuiranog kretanja odgovara slučajnom hodanju. Simetrično nasumično hodanje je klasični diskretni analog Brownovog kretanja (vidi § 2 Poglavlja 1). Pod simetričnim slučajnim hodanjem na skupu svih cijelih brojeva podrazumijevamo Markovljev lanac sa prostorom stanja koji je skup svih cijelih brojeva, s elementima matrice vjerovatnoća tranzicije oblika

Gdje . Obično je simetrični slučajni hod Markovljev lanac sa

Proučavanje nekih fizičkih modela dovodi nas do razmatranja slučajnih šetnji na skupu nenegativnih cijelih brojeva. Moguće je klasifikovati takve procese na osnovu svojstava nultog stanja. Neka je slučajni hod opisan matricom (2.2). Ako (a samim tim i ), tada nulto stanje ima svojstva reflektirajućeg ekrana. Kad god čestica dođe u nulto stanje, kao rezultat sljedećeg prijelaza završava u stanju 1. Ovo odgovara situaciji kada postoji elastični zid na nuli i čestica se odbija od njega bez ikakvih zaostalih efekata.

Ako se tada nulto stanje ponaša kao ekran koji upija. Jednom u nultom stanju, čestica ostaje

u njemu zauvek. Ako je tada nulto stanje djelomično reflektirajući ekran.

Ako je slučajno hodanje ograničeno na konačan broj stanja, recimo oba ekstremna stanja 0 i a, nezavisno iu bilo kojoj kombinaciji, mogu biti reflektirajući, apsorbirajući ili djelomično reflektirajući ekrani. Već smo se bavili slučajem kada su stanja 0 i a apsorbirala [vidi (2.3)].

Klasični model difuzije kroz membranu je Ehrenfestov model. Model je opisan kao proces slučajnog hoda sa konačnim brojem stanja, pri čemu su ekstremna stanja a i a reflektirajući ekrani. Matrica vjerovatnoće prijelaza je data na sljedeći način:

Fizička interpretacija ovog modela je sljedeća. Postoje dvije urne koje zajedno sadrže 2a kugle. Pretpostavimo da urna A sadrži kuglice. U svakom pokušaju, jedna kuglica se nasumično bira i prenosi u drugu urnu; Štaviše, svaka od loptica ima istu vjerovatnoću kao i sve ostale, bez obzira u kojoj se urni nalazi. Svaki test dovodi do promjene stanja 1) sistema. Karakterističan smjer kretanja loptica bit će od urne sa veća koncentracija u urnu sa manjom koncentracijom. Ehrenfestov model se u nekim slučajevima može koristiti za proučavanje fizičkih sistema pod uticajem obnavljajućih sila, čija je veličina proporcionalna udaljenosti od ravnotežnog položaja.

Klasični simetrično-dimenzionalni slučajni hod definiran je na sljedeći način. Prostor stanja procesa je cjelobrojna rešetka u (n-dimenzionalnom euklidskom prostoru), čije su točke skupovi cijelih brojeva oblika. Prijelazne vjerovatnoće su definirane na sljedeći način:

Slično jednodimenzionalnom slučaju, -dimenzionalni simetrični slučajni hod je diskretni analog -dimenzionalnog Brownovog kretanja.

Postoji još jedan zanimljiv zadatak, u rješavanju kojih se ne može bez koncepta vjerovatnoće. Ovo je problem "slučajnog hoda". U svom najjednostavnijem obliku, ovaj zadatak izgleda ovako: Zamislite igru ​​u kojoj igrač, počevši od tačke x = 0, može da se kreće ili napred (do tačke x) ili unazad (do tačke -x) u svakom potezu, a odluka o tome gde da ide se donosi potpuno nasumično, pa, na primjer, bacanjem novčića. Kako opisati rezultat takvog pokreta? U više opšti oblik ovaj problem opisuje kretanje atoma (ili drugih čestica) u gasu - takozvano Brownovo kretanje - ili stvaranje grešaka u mjerenjima. Vidjet ćete kako je problem slučajnog hoda usko povezan s gore opisanim eksperimentom bacanja novčića.

Prvo, pogledajmo neke primjere nasumičnih šetnji. Mogu se opisati "čistim" napredovanjem D N , u N koraka. On sl. 6.5 Prikazana su tri primjera nasumičnog hodanja.

Šta se može reći o takvom pokretu? Pa, prije svega, moglo bi se zapitati: dokle ćemo u prosjeku stići? Moramo očekivati ​​da prosečne promocije uopšte neće biti, jer mi jednaka vjerovatnoća možemo ići naprijed i nazad. Međutim, čini se da kako se N povećava, sve je vjerovatnije da ćemo lutati negdje dalje i dalje od početne točke. Stoga se postavlja pitanje: kolika je prosječna apsolutna udaljenost, odnosno kolika je prosječna vrijednost |D|? Međutim, zgodnije je raditi ne sa |D|, već sa D 2 ; ova količina je pozitivna i za pozitivno i za negativno kretanje i stoga može poslužiti i kao razumna mjera takvih slučajnih šetnji.

Može se pokazati da je očekivana vrijednost D 2 N jednostavno N, broj preduzetih koraka. Usput, pod „očekivanom vrijednošću“ podrazumijevamo najvjerovatniju vrijednost (pogođenu najbolji način), što se može smatrati očekivanim prosjekom velikog broja ponovljenih procesa hodanja. Ova vrijednost je označena kao i naziva se i "srednji kvadrat udaljenosti". Nakon jednog koraka D2 je uvijek jednako +1, dakle sigurno = 1. (Svugdje će se birati jedan korak po jedinici udaljenosti, pa stoga u budućnosti neću pisati jedinice dužine.)

Očekivana vrijednost D 2 N za N > 1 može se dobiti iz D N -1 . Ako se nakon (N - 1) koraka nađemo na udaljenosti od D N -1, onda će još jedan korak dati ili D N = D N -1 + 1, ili D N = D N -1 - 1. Ili za kvadrate

Ako se proces ponovi veliki broj puta, onda očekujemo da će se svaka od ovih mogućnosti pojaviti sa vjerovatnoćom 1/2, tako da će prosječna očekivana vrijednost jednostavno biti aritmetička sredina ovih vrijednosti, odnosno očekivana vrijednost D 2 N biće jednostavno D 2 n- 1 + 1. Ali kolika je vrijednost D 2 n-1, odnosno koju vrijednost očekujemo? Jednostavno, po definiciji je jasno da bi to trebala biti “prosječna očekivana vrijednost” , Dakle

Ako se sada toga sjetimo = 1, onda dobijamo vrlo jednostavan rezultat:

Odstupanje od početne pozicije može se okarakterisati veličinom tipa udaljenosti (a ne kvadratom udaljenosti); da biste to uradili, samo trebate izdvojiti Kvadratni korijen od D< 2 N >i dobijemo takozvanu "srednju kvadratnu udaljenost" Dsk:

Već smo rekli da su nasumične šetnje vrlo slične eksperimentu bacanja novčića s kojim smo započeli ovo poglavlje. Ako zamislimo da je svaki pokret naprijed ili nazad određen pojavom “glava” ili “repova”, onda je D N . jednostavno će biti jednako N 0 - N P , tj. razlika u broju glava i repova. Ili pošto je N 0 + N P = N (gdje je N ukupan broj bacanja), onda je D N = 2N 0 - N. Zapamtite da smo ranije već dobili izraz za očekivanu distribuciju vrijednosti Ne [tada je označeno sa k ; vidi jednačinu (6.5)]. Pa, pošto je N jednostavno konstanta, sada je ista raspodjela ispala i za D. (Gubitak svake „glave“ znači da nema „repova“, pa se faktor 2 pojavljuje u vezi između N 0 i D .) Dakle, na Sl. 6.2, graf istovremeno predstavlja distribuciju udaljenosti koje možemo preći u 30 slučajnih koraka (k = 15 odgovara D = 0, a k = 16 odgovara D = 2, itd.).

Odstupanje N 0 od očekivane vrijednosti N/2 će biti jednako

odakle dobijamo standardnu ​​devijaciju

Prisjetimo se sada našeg rezultata za D ck. Očekujemo da bi prosječna udaljenost prijeđena u 30 koraka trebala biti √30 = 5,5, odakle bi prosječno odstupanje k od 15 trebalo biti 5,5:2 ≈ 2,8. Imajte na umu da je prosječna poluširina naše krive na Sl. 6.2 (tj. poluširina "zvona" je negdje u sredini) približno je jednaka 3, što je u skladu s ovim rezultatom.

Sada smo u mogućnosti da razmotrimo pitanje koje smo do sada izbegavali. Kako znamo da li je naš novčić “pošten”? Sada možemo, barem djelimično, odgovoriti. Ako je novčić “fer”, onda očekujemo da će pola vremena iskrsnuti “glave”, tj.

Istovremeno, očekuje se da se stvarni broj grla razlikuje od N/2 za iznos reda √N/2, odnosno, ako govorimo o udjelu odstupanja, jednak je

tj. što je N veći, to je bliži polovini odnosa N0/N.

On sl. 6.6 brojevi N 0 /N su izdvojeni za ona bacanja novčića o kojima smo ranije govorili. Kao što vidite, kako se N povećava, kriva se sve više približava 0,5. Ali, nažalost, ne postoji garancija da će za bilo koju datu seriju ili kombinaciju serija uočeno odstupanje biti blizu očekivanog odstupanja. Uvijek postoji konačna vjerovatnoća da će doći do velike fluktuacije - velikog broja glava ili repova - koja će proizvesti proizvoljno veliko odstupanje. Jedino što se može reći je da ako su odstupanja blizu očekivanih 1/2√N (recimo, za faktor 2 ili 3), onda nema razloga da se novčić smatra „falsifikovanim“ (ili da partner vara).

Još nismo razmatrali slučajeve kada za novčić ili neki drugi ispitni objekt sličan novčiću (u smislu da su moguća dva ili više pouzdano nepredvidivih ishoda posmatranja, na primjer kamen koji može pasti samo na jednu od dvije strane) , ima dovoljno razloga za vjerovanje da vjerovatnoće različitih ishoda nisu jednake. Definisali smo vjerovatnoću P(O) kao omjer /N. Ali šta treba da uzmemo kao vrednost? ? Kako možete saznati šta se očekuje! U mnogim slučajevima, najbolje što možete učiniti je izbrojati broj glava u koje uđete velike serije testiraj i uzmi = N 0 (uočeno). (Kako možete očekivati ​​nešto drugo?) Mora se shvatiti, međutim, da različiti posmatrači i različite serije testova mogu dati drugačiju vrijednost za P(O) od naše. Međutim, treba očekivati ​​da se svi ovi različiti odgovori neće razlikovati za više od 1/2√N [ako je P(O) blizu polovine]. Eksperimentalni fizičari obično kažu da "eksperimentalno pronađena" vjerovatnoća ima "grešku" i zapisuju je kao

Ova notacija implicira da postoji određena “prava” vjerovatnoća, koja se u principu može izračunati, ali da različite fluktuacije dovode do greške u njenom eksperimentalnom određivanju. Međutim, ne postoji način da se ovi argumenti učine logički dosljednim. Na kraju krajeva, bolje je da shvatite da je vjerovatnoća u nekom smislu subjektivna stvar, da je uvijek zasnovana na nekoj nesigurnosti našeg znanja i da njena vrijednost varira kako se mijenjaju.

Opisivanje kretanja čestice u određenom faznom prostoru pod uticajem nekog slučajnog mehanizma. Fazni prostor je obično d-dimenzionalan ili cjelobrojan u njemu. Slučajni mehanizmi mogu biti različiti; češće razmatraju sisteme generisane zbrajanjem nezavisnih slučajne varijable ili Markovljevi lanci. Tačna općeprihvaćena definicija S. b. br.
Putanja protozoa S. b. u slučaju d=l opisuju se početnim položajem S 0 =0 i nizom suma

Gdje X i nezavisni su i imaju Bernulija

Značenje S n može se tumačiti kao pobjeda jednog od dva igrača nakon p-igara u igri, u kojoj ovaj igrač osvaja jednu rublju u svakoj od partija sa vjerovatnoćom . i izgubi ga sa vjerovatnoćom 1- R. Ako se igra igra bacanjem simetričnog novčića, tada treba postaviti p = 1/2 (simetrično hodanje, vidi Bernoulli walk). Pod pretpostavkom da je početni kapital 1. igrača jednak b, a početni kapital 2. igrača jednak a, igra će se završiti kada lutajuća čestica (sa koordinatama S 1, S 2, ...) prvi put dodirne jedan od nivoa a ili -b. U ovom slučaju, jedan od igrača će bankrotirati. Ovaj klasik problem propasti, u kojem se barijere u tačkama a i -b mogu smatrati apsorbirajućim.
U aplikacijama koje se odnose na queuing teorija,čestica u blizini barijera a i -b=0 može se ponašati drugačije: na primjer, ako a=, b=0, zatim pozicija Z n+ 1 lutajuća čestica u trenutku n+1 u skladu sa (1) opisana je relacijom

a barijera u tački 0 se može pozvati. odlaganje. Postoje i druge mogućnosti ponašanja čestica u blizini barijera.
Ako je a = onda dobijaju zadatke za S. b. sa jednom granicom. Ako a=b= tada dobijaju neograničeno S. b. Studija opisane S. b. obično se dešava korišćenjem aparata diskretnih Markovljevih lanaca i, posebno, proučavanjem odgovarajućih jednadžbi konačnih razlika. Neka, na primjer, UK je propast 1. igrača u problemu propasti ako je njegov kapital jednak k, a ukupni kapital oba igrača je fiksan i jednak a+b. Zatim iz formule za ukupnu vjerovatnoću (preko prvog skoka) slijedi da i k zadovoljava jednačinu

i granični uslovi u a=0, u-b= 1. Odavde dobijamo

Druga od ovih formula pokazuje da je čak i bezazlena

Matematička enciklopedija. - M.: Sovjetska enciklopedija. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Pogledajte šta je "RANDOM WALK" u drugim rječnicima:

Teorija slučajnog hoda, teorija u kojoj promjene vrijednosti vrijednosnih papira nasumično fluktuiraju oko njihove objektivne cijene, suprotstavlja se teoriji tehnička analiza. Sadržaj 1 Jednodimenzionalni diskretni slučajni hod ... Wikipedia

nasumično hodanje- atsitiktinis klajojimas statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. random walk vok. zufällige Irrfahrt, f; zufällige Schrittfolge, f rus. random walk, n pranc. kemijski aléatoire, m; errance, f; marche aléatoire, f … Fizikos terminų žodynas

Slučajni hod generisan Bernulijevim pokusima. Koristeći primjer B. b. Moguće je objasniti određene osnovne karakteristike općenitijih slučajnih šetnji. Konkretno, već u ovome najjednostavnija šema pojavljuju se svojstva slučajnosti, paradoksalno sa stanovišta...... Mathematical Encyclopedia

Problem propasti igrača je problem iz polja teorije vjerovatnoće. Detaljno razmatra ruski matematičar A. N. Shiryaev u monografiji "Vjerovatnoća" ... Wikipedia

Igra koja ima karakter procesa koji se odvija u diskretnom vremenu na uređenom skupu nalik stablu (koji se naziva i drvo). Final P. i. pozvao sistem gde je 1) I skup igrača (|I| = n); 2) X je konačno stablo čiji se vrhovi nazivaju ... ... Mathematical Encyclopedia

Homogeni Markovljev proces X(t), gdje je T aditivna podpolugrupa realne ose R sa vrijednostima u topološkoj. prostor. sa topologijom i Borelovom algebrom, prelazna funkcija P(t, x, B), koja ima određeno svojstvo glatkoće... Mathematical Encyclopedia

Ovaj izraz ima druga značenja, pogledajte Monte Carlo (značenja). Monte Carlo metoda (Monte Carlo metode, MMK) opšti naziv grupe numeričke metode, zasnovan na dobijanju velikog broja implementacija stohastičkih (slučajnih) ... ... Wikipedia

Monte Karlo metoda (Monte Carlo metode, MMK) je opšti naziv grupe numeričkih metoda zasnovanih na dobijanju velikog broja realizacija stohastičkog (slučajnog) procesa, koji se formira na način da je njegov verovatnoća... . .. Wikipedia

KOJI JE OVO “NASLUČAJNO ŠETANJE”?

Čartizam je star koliko i egipatski papirusi. Metoda slučajnog hoda također ima drevne korijene, ali je u svom gotovom obliku mlada koliko i kompjuteri. Čartizam pokušava pronaći neki red u onome što se dešava - metoda "slučajnog hoda" tvrdi da reda nema. A ako su zagovornici teorije slučajnog hoda u pravu, onda će čartisti uskoro ostati bez posla, a svi analitičari su vrijednosne papire skupili su se prijeteći oblaci.

Zagovornici „slučajnog hoda“ su uglavnom univerzitetski profesori koji rade na poslovnom i ekonomskom fakultetu. Oni dobro vladaju složenim matematičkim jezikom i uživaju da ga koriste. Štaviše, članci o „slučajnom hodanju“ koje su napisali ovi naučnici jednostavno moraju biti potpuno nerazumljivi za neupućene i prezasićeni matematičkim simbolima kako bi ostavili pravi utisak na svoje kolege. Ako želite vidjeti kako to izgleda, pokušajte pročitati časopis “Kyklos” – u njemu ima više od jednog ili dva takva članka. Tamo se može pronaći opsežan materijal koji se odnosi na temu koja nas zanima. Ali naći ćemo ga u zbirci “The Random Nature of Prices in the Stock Exchange” (izdavač Massachusetts Institute of Technology, urednik profesor Paul Kutner), i u 16. broju “Izabranih radova Poslovnog fakulteta Univerzitet u Čikagu“, u radu profesora Eugenea Feima „Slučajni hod primenjen na cene na berzi“.

Šta je "slučajno hodanje"? Ne mogu razumjeti pola članaka o ovoj temi, jer je moje znanje o Bulovoj algebri ograničeno, a moje znanje o stohastičkim nizovima je nula. Ali nakon niza razgovora sa tipovima iz slučajnog hoda, sinulo mi je da se cijeli trik može sažeti u jednu jedinu rečenicu. Kasnije je profesor Kutner, preko jednog od mojih prijatelja, prenio da je moja katedra sasvim prikladna, pa je stoga, bez ikakvih jednačina, S i D, predstavljam ovdje.

Cijene nemaju pamćenje, a jučer nema veze sa sutra. Svaki novi dan počinje sa vjerovatnoćom 50/50. Jučerašnje cijene su već uključivale sve detalje od jučerašnjeg dana. Ili, kako je rekao profesor Feima, " prošloj istoriji serija (promena u ceni akcija) ne može se koristiti za predviđanje budućnosti na bilo koji racionalan način. Buduće kretanje nivoa cijena u cjelini ili cijene pojedinačne imovine nije ništa predvidljivije od kretanja niza slučajnih brojeva.”

Naravno, nisu samo univerzitetski profesori ti koji se bave neredom kako bi se pobijedilo tržište. Senator Thomas J. McIntyre, demokrata iz New Hampshirea i član moćnog Senatskog bankarskog odbora, jednog dana je donio sa sobom običnu zidnu pikado dasku. Priložio je spisak kompanija sa berze i počeo da baca pikado. Odabir akcija dart je nadmašio ogromnu većinu portfelja zajedničkih fondova. (Tako su strelice senatora McIntyrea potvrdile svjedočenje teoretičara slučajnog hoda, profesora Paula Samuelsona sa MIT-a i Henry Wallich sa Yalea, dato na saslušanjima u Senatu na kojima se raspravljalo o zakonodavstvu o zajedničkim fondovima.) Ako tako velike puške kao što su profesori Samuelson i Wallich, plus bankarski Senat odbor toliko ozbiljno shvata „nasumični hod“ da bi svi ostali trebali dobro razmisliti: na kraju krajeva, ako je „slučajni hod“ zaista Istina, onda je vrijednost svih grafikona i svih investicijskih savjeta nula – a to može vrlo ozbiljno utjecati pravila igre.

Znaš li to: broker binarnih opcija Binomo redovno obavlja za svoje klijente turniri uz besplatnu registraciju i prave novčane nagrade.

Prva pretpostavka "slučajnog hoda" je da je tržište - kao što je Njujorška berza - "efikasno" tržište, to jest tržište na kojem su brojke racionalne, a investitori koji traže profit se takmiče jedni s drugima sa približno jednakim brojem pristup informacijama i pokušaj utvrđivanja budućeg ponašanja cijena.

Druga osnovna teza je da dionice imaju intrinzičnu vrijednost - "ravnotežnu cijenu" u govoru ekonomista - i da u svakom trenutku cijena dionice može biti dobar pokazatelj njene intrinzične vrijednosti, koja općenito ovisi o profitabilnosti te dionice. . Ali budući da niko ne može sa sigurnošću reći koja je stvarna vrijednost, onda, kako kaže profesor Feima, “radnje mnogih konkurentskih učesnika trebale bi uzrokovati da trenutna cijena dionice nasumično luta oko svoje stvarne vrijednosti.”

Zagovornici "slučajnog hoda" testirali su svoju teoriju naspram "empirijskih dokaza". Svrha studije je bila da se matematički demonstrira da se uzastopne promene cena dešavaju nezavisno jedna od druge. Evo fragmenta jednog od tekstova - samo da vas stvarno uplašim. Njegov autor je bio profesor MIT-a William Steiger, a sam rad je objavljen u zbirci “The Random Nature of Prices on the Stock Exchange”.

„Test se zasniva na distribuciji uzorkovanja statistike koja se odnosi na čisto slučajne šetnje, čiju sam prirodu ranije formulisao. Uzimajući t kao omjer (slučajna varijabla) raspona odstupanja od prave linije koja povezuje prvu i posljednju vrijednost segmenta kontinualnog slučajnog hoda sa uzorkom standardne devijacije prirasta, ova distribucija definira vjerovatnoću P „gdje je t manje ili jednako bilo kojem t.

Razmotrimo sljedeći stohastički proces. Pretpostavimo to

U slučaju da ovo ranije niste znali, govorimo o serijskim koeficijentima korelacije - i ja imam isti osjećaj kada ih gledam kao i vi. Drugi pristup problemu je testiranje mehaničkih pravila trgovanja da se vidi da li daju bolje rezultate od puke kupovine i držanja dionica. Profesor Sidney Alexander sa MIT-a je, na primjer, isprobao sve vrste filtera, koristeći rezultate testa da zaključi šta bi se dogodilo ako bi se poštovala drugačija mehanička pravila licitiranja.

(Filter od 5 posto funkcionira ovako: ako dionica poraste za 5 posto u bilo kojem danu, kupite je i držite je dok cijena ne padne 5 posto od posljednjeg maksimuma. Tada biste je trebali prodati i nastaviti s kratkim rastom. sve dok cijena na zatvaranju ne bude barem 5 posto viša od posljednje najniže cijene. U ovom trenutku pokrijte ono što ste prodali i počnite kupovati.)

Kao što vidite, filter se zapravo bavi analizom trenda i mjerenjem kretanja cijena. Profesor Alexander izvještava o testiranju filtera u rasponu od 1 do 50 posto (pogledajte Kretanje cijena na špekulativnim tržištima: Trendovi i nasumične šetnje). Ispostavilo se da jednostavno kupovina i držanje dionica dosljedno daje bolje rezultate od korištenja bilo kojeg od filtera.

Stoga, zagovornici slučajnog hoda tvrde da je izjava kao što je "akcija sa utvrđenim trendom vjerovatnije da će nastaviti da se kreće tim trendom" apsolutna besmislica. Šanse da li će se trend akcija nastaviti ili ne su pedeset-pedeset.

Isto se može reći i za bacanje novčića. Ako bacite novčić pet puta i on skoči glavom pet puta zaredom, kolike su šanse da će se otvoriti šesti put? Ako bacite novčić sto puta, a on iskrsne sto puta zaredom, kolike su šanse da će stoti put iskrsnuti glavom? Istih pedeset-pedeset.

“Ako model slučajnog hoda adekvatno opisuje stvarnost,” kaže profesor Feima, “onda rad tehničkog analitičara, poput rada astrologa, nema stvarnu vrijednost.”

Zagovornici slučajnog hoda su posebno agresivni prema chartistima. Kao što sam već rekao, jedan profesor nasumične šetnje bukvalno se ugušio svojim desertom u mojoj kući kada se neko usudio reći da bi možda dijagrame trebalo shvatiti ozbiljno. (Sada je pravilo u našoj porodici da svi zagovornici slučajnog hodanja moraju završiti svoj desert prije nego što se može pokrenuti tema grafikona i dijagrama.) Još jedan profesor kojeg poznajem, apologeta slučajnog hoda, počeo je bacati novčić sa svojim studentima, griješi glave za pluseve i repove za minus. Zatim su napravili grafikon, stavljajući krstić kada je iskrsnuo na glavama i nulu kada je došao na rep. A šta ti misliš? Rezultat je klasična tic-tac-toe karta, sa svim bitnim elementima: glava i ramena, preokreti, dupli vrhovi i sve ostalo.

Ali zagovornici slučajnog hoda ne prestaju da napadaju čartiste. Namjeravaju da ozbiljno uznemire i fundamentalističke analitičare. Ovako razmišljaju u ovom slučaju.

Postoje neslaganja između stvarne cijene i stvarne intrinzične vrijednosti dionice. Analitičar prikuplja sve informacije koje su mu dostupne i, koristeći svo svoje znanje i talente, progovara za kupovinu ili, u skladu s tim, prodaju. Njegovi postupci pomažu da se smanji postojeći jaz između cijene i intrinzične vrijednosti. I što su analitičari bolji i sofisticiraniji, to više u većoj meri neutraliziraju se jer tržište postaje sve „efikasnije“. A „efikasno“ tržište je jasno konzistentno sa modelom slučajnog hoda, gde se suštinska vrednost već uzima u obzir i odražava se u ceni.

Jasno je da će analitičar koji je korak ispred ostalih, na efikasnom tržištu, premašiti ukupan prosječan rezultat svojih kolega, ali stvar je u tome da su svi analitičari uvjereni da su njihove sposobnosti i profesionalnost iznad prosjeka. Učinak analitičara bi trebao stalno biti veći od učinka nasumično odabranog portfelja imovine iste prirode, makar samo zato što svaki analitičar ima 50 posto šanse da nadmaši nasumični uzorak, čak i ako je potpuni idiot ili umjesto toga koristi pikado kliznog pravila.

Svijet slučajnog hoda je hladan, oštar i vrlo negativan svijet. Pristalice ove teorije vjeruju u postojanje intrinzične vrijednosti dionice, ali nam to ništa ne olakšava, jer se dionice prodaju po njihovoj intrinzičnoj vrijednosti – šta god da razumijemo pod ovim pojmom – samo u onim trenucima kada tržište prelazi ovu oznaku, krećući se gore ili dolje. Drugim riječima, intrinzična vrijednost se ispostavlja kao ispravna referentna tačka u istom smislu u kojem zaustavljeni sat pokazuje pravo vrijeme dva puta dnevno.

Kao što već znamo, postoji jedanaest hiljada analitičara vrijednosnih papira - i, naravno, mnogo hiljada chartista. Chartisti ne vjeruju u nasumično hodanje jer bi takvo uvjerenje obesmislilo njihov rad - kakav profesionalac uživa u saznanju da pikado radi jednako efikasno kao i on? Što se tiče analitičara, oni vjeruju da nasumično hodanje ne igra nikakvu ulogu jer im njihova svijest i intuicija omogućavaju da budu ispred. Nijedan od njih ne ulazi ozbiljno u matematički dokaz teorije slučajnog hoda. Ako bi to uradili i prihvatili iznesene argumente, mogli bi prihvatiti neki gubitak plate i preći na nastavu u poslovnim školama, ali do sada nije bilo značajnijeg ishoda u tom pravcu.

U prilog skepticima možemo samo još jednom apelirati na premisu da je razmjena razumno „efikasna“, odnosno da je riječ o tržištu na kojem su brojke racionalne i profitno orijentisani investitori međusobno se takmiče. Međutim, vrlo je vjerovatno da investitori – pa čak i hladni, strogi, profesionalni investicijski menadžeri – nisu racionalni, ili nisu 100 posto racionalni. Možda više vole da imaju profit i osećaj; da nisu sami u svojim odlukama nego da imaju maksimalan profit i da doživljavaju stalnu anksioznost. Investitor u model slučajnog hoda ponaša se sa sumnjivom dosljednošću kao „homo economicus“, a mi smo već više puta tvrdili da „homo“ ipak nije baš „ekonomikus“. Kao što je lord Kejns rekao: „Ne postoji ništa pogubnije od racionalne strategije ulaganja u iracionalnom svetu.

Do sada niko nije uspeo da ugura emocije u serijske koeficijente korelacije i analizu serijskih testova. Apsolutno je tačno da, statistički gledano, sutrašnja cijena akcija nema nikakve veze sa njenom jučerašnjom. Ali ljudi, Gomila, su obdareni sjećanjem koje pokriva i taj i ovaj dan. Vjerovatno ste primijetili nešto što je jednako zajedničko svijetu slučajnog hoda kao i svijetu grafikona i grafikona: nijedan svijet nema mjesta za ljude. Postoje cijene, postoje šanse, postoji prošlost (ili je nema - ovisno o tome koje se od dvije teorije pridržavate). Drvo biskupa Berklija pada u šumi i stvara strašnu buku, iako tu buku nema ko da čuje.

Ako je berza zaista igra, onda se igra može igrati bez ikakvih unutrašnjih vrijednosti. A ako jedno od pravila Igre kaže da drvo biskupa Berklija pada kada svi odluče da je palo, onda nema ni potrebe za samim drvetom. Ako štampari nastave da štampaju berze, Njujorška berza nastavi da se otvara, a banke nastave da štampaju brojke o dividendi s vremena na vreme, onda cela Igra ostaje na mestu, čak i ako sve čeličane, skladišta i željeznice misteriozno nestao - pod uslovom da niko od učesnika Igre ne zna za to.

Pristalice slučajnog hoda za više složeni dokazi oni koji su u pravu u vezi sa svojim teorijama okreću se kompjuterima, nadajući se da će dobiti dodatnu moć i autoritet. Tehnički analitičari se takođe okreću kompjuterima, pokrećući selekcije i filtere koji ne postavljaju samo cene na zatvaranju, već i uspone i padove, pokretne proseke itd. - općenito, prema bilo kojem zamislivom serijskom omjeru količina. Ali kompjutere programiraju ljudi; mašine ne mogu da misle svojom glavom. Dakle, isti kompjuteri ne proizvode iste dokaze. Prvi izazov matematičkom jeziku teorije slučajnog hoda postavljen je u Konceptu relativne snage Robergea Levyja - a odgovor na njega na istom jeziku vjerovatno se negdje sprema.

Utjecaj teorije slučajnog hoda trebao bi biti koristan po definiciji jednostavno zato što tjera svakoga da provjerava i još jednom provjerava svoje rezultate umjesto da prihvata mitove i generalizacije o vjeri. Ali u isto vrijeme - tu ništa ne nagovještavam - među pristašama slučajnog hoda ima vrlo malo bogatih ljudi, kao što ih je malo među čartistima. S druge strane, ima vrlo uspješnih investitora koji nemaju formulisane sisteme. Možda su samo ušli u niz sretnih zanata, možda su racionalniji ili imaju bolji pristup informacijama. Ili su možda oni – a to je nešto što surov svijet statistike ne želi uzeti u obzir – jednostavno bolji stručnjaci za ljudsku psihologiju.

Zagovornici slučajnog hoda ne tvrde jednoglasno da je berza slučajni hod. Neki priznaju: ne, to nije sasvim tačno - makar samo zato što je tržište daleko od savršenog, od potpune "efikasnosti". Drugim riječima, zato što na njemu ima ljudi. „Moj model“, piše profesor Kutner, „u potpunosti je u skladu s onim kako ja vidim čitanje grafikona na Wall Streetu. Poput indijskih iscjelitelja koji su otkrili tablete za smirenje, šamane sa Wall Streeta, bez ikakvih naučne metode, uz pomoć svoje magije i dalje nešto proizvode, nemajući pojma šta su proizveli i kako to funkcionira.” Profesor Alexander zaključuje jedan od svojih radova na ovaj način: „Na špekulativnom tržištu, čini se da cijena slijedi princip nasumične šetnje tokom vremena, ali njeno kretanje, jednom započeto, ima tendenciju da se nastavi.”

Ali na osnovu kretanja, koje teži da se nastavi, već je moguće konstruisati dijagram. („Rezultati statističara u proučavanju slučajnog hoda u dugom vremenskom intervalu nisu u suprotnosti sa neslučajnim trendovima u intervalu kretanja koji se dešava“, piše profesor Alexander.)

Da budemo pošteni, trebali biste primijeniti pristrasnost već spomenutu u ovoj knjizi i na grafikone i na slučajni hod. Nakratko smo se dotakli dijagrama, ali tehnički rad pokriva, osim kretanja cijena, i druge faktore (obim prodaje, njen rast, pad, itd.), što nam dijagrami spremno demonstriraju. Moja pristranost, koju sam već priznao, je ljubav prema “kumulativnoj zaradi”, koja se uredno uklapa u stari fundamentalistički koncept pod nazivom “Sadašnja vrijednost budućih zarada”. I to je samo na korak od klasične fundamentalističke teorije „Sadašnja vrijednost budućih dividendi“. Nema sumnje da je ideja unutrašnje vrijednosti utkana u rastuću zaradu, ali igra se može igrati sa unutrašnjom vrijednošću. A ako je berza igra, onda pokušaji statističara da unište grafikone i grafikone uopće nisu tako strašni kako se čine. Čartisti, zajedno, postaju ozbiljna tržišna snaga sama po sebi. Možda samo pripadaju iracionalnoj i još neodmjerenoj australopitečkoj strani tržišta.

Postoji još jedna pritužba koju treba uputiti akademskim istraživačima: oni imaju tendenciju da drže predavanja na jeziku koji slušalac ne govori, npr. kvadratne jednačine. “Postoji neobičan paradoks u odnosu između matematike i stava investitora prema dionicama,” piše Benjamin Graham, doajen finansijske analize, u svojoj knjizi Inteligentni investitor. Graham nastavlja:

“Vjeruje se da matematika daje tačne i pouzdane rezultate. Ali na berzi, što je matematika sofisticiranija i složenija, to su zaključci koje iz njih izvodimo nepouzdaniji i spekulativniji. U svih svojih četrdeset četiri godine iskustva na Wall Streetu, nikada nisam vidio pouzdanu kalkulaciju vrijednosti dionica ili srodnu strategiju ulaganja koja bi išla dalje od jednostavne aritmetike ili najosnovnije algebre. Ako igra uključuje matematička analiza ili viša algebra – to je uvijek znak da autor pokušava zamijeniti iskustvo teorijom.”

Kao što možete očekivati, s obzirom na moju pristrasnost, lako se slažem sa doajenom finansijske analize ovdje. Štaviše. Čini mi se da čak i kada bi pristalice slučajnog hoda objavile da su pronašli besprijekoran matematički dokaz slučajne prirode berzanskih procesa, ja bih i dalje vjerovao da dugoročno budući profit utiče na trenutnu cijenu , a kratkoročno su dominantni faktor. Ono što će ostati je neuhvatljivi australopitekus – karakter i raspoloženje gomile.

Povratak