U fazi pripreme za završni test srednjoškolci treba da usavrše svoje znanje o temi „Eksponencijalne jednačine“. Iskustvo proteklih godina pokazuje da ovakvi zadaci kod školaraca izazivaju određene poteškoće. Dakle, srednjoškolci, bez obzira na stepen pripremljenosti, trebaju temeljito savladati teoriju, zapamtiti formule i razumjeti princip rješavanja ovakvih jednačina. Nakon što su naučili da se nose s ovom vrstom problema, maturanti mogu računati na visoke ocjene prilikom polaganja Jedinstvenog državnog ispita iz matematike.
Pripremite se za ispitno testiranje sa Shkolkovom!
Prilikom pregleda materijala koji su obradili, mnogi učenici se suočavaju s problemom pronalaženja formula potrebnih za rješavanje jednačina. Školski udžbenik nije uvijek pri ruci, a odabir potrebnih informacija o nekoj temi na internetu traje dugo.
Obrazovni portal Shkolkovo poziva studente da koriste našu bazu znanja. Implementiramo potpuno novu metodu pripreme za završni test. Učenjem na našoj web stranici moći ćete prepoznati nedostatke u znanju i obratiti pažnju na one zadatke koji izazivaju najveće poteškoće.
Nastavnici Školkova prikupili su, sistematizirali i predstavili sav materijal potreban za uspješno polaganje Jedinstvenog državnog ispita u najjednostavnijem i najpristupačnijem obliku.
Osnovne definicije i formule su predstavljene u odeljku „Teorijska pozadina“.
Kako biste bolje razumjeli gradivo, preporučujemo da vježbate ispunjavanje zadataka. Pažljivo pregledajte primjere eksponencijalnih jednačina s rješenjima predstavljenim na ovoj stranici da biste razumjeli algoritam proračuna. Nakon toga, nastavite sa izvršavanjem zadataka u odjeljku “Direktoriji”. Možete početi s najjednostavnijim zadacima ili ići direktno na rješavanje složenih eksponencijalnih jednadžbi s nekoliko nepoznanica ili . Baza vježbi na našoj web stranici se stalno dopunjuje i ažurira.
One primjere s indikatorima koji su vam izazvali poteškoće možete dodati u „Favorite“. Na ovaj način možete ih brzo pronaći i razgovarati o rješenju sa svojim učiteljem.
Da biste uspješno položili Jedinstveni državni ispit, učite na portalu Shkolkovo svaki dan!
Rješavanje većine matematičkih problema na ovaj ili onaj način uključuje transformaciju numeričkih, algebarskih ili funkcionalnih izraza. Gore navedeno se posebno odnosi na odluku. U verzijama Jedinstvenog državnog ispita iz matematike, ova vrsta zadatka uključuje, posebno, zadatak C3. Učenje rješavanja C3 zadataka važno je ne samo zbog uspješnog polaganja Jedinstvenog državnog ispita, već i iz razloga što će vam ova vještina biti od koristi prilikom studiranja matematičkog predmeta u srednjoj školi.
Kada ispunjavate C3 zadatke, morate riješiti različite vrste jednačina i nejednačina. Među njima su racionalni, iracionalni, eksponencijalni, logaritamski, trigonometrijski, koji sadrže module (apsolutne vrijednosti), kao i kombinovani. Ovaj članak razmatra glavne vrste eksponencijalnih jednadžbi i nejednačina, kao i različite metode za njihovo rješavanje. O rješavanju drugih vrsta jednadžbi i nejednačina pročitajte u odjeljku “” u člancima posvećenim metodama rješavanja C3 zadataka sa Jedinstvenog državnog ispita iz matematike.
Prije nego počnemo analizirati specifično eksponencijalne jednačine i nejednačine, kao nastavnik matematike, predlažem vam da nadogradite neki teorijski materijal koji će nam trebati.
Eksponencijalna funkcija
Šta je eksponencijalna funkcija?
Funkcija forme y = sjekira, Gdje a> 0 i a≠ 1 se poziva eksponencijalna funkcija.
Basic svojstva eksponencijalne funkcije y = sjekira:
Graf eksponencijalne funkcije
Graf eksponencijalne funkcije je eksponent:
Grafovi eksponencijalnih funkcija (eksponenti)
Rješavanje eksponencijalnih jednačina
Indikativno nazivaju se jednadžbe u kojima se nepoznata varijabla nalazi samo u eksponentima nekih potencija.
Za rješenja eksponencijalne jednačine morate znati i moći koristiti sljedeću jednostavnu teoremu:
Teorema 1. Eksponencijalna jednačina a f(x) = a g(x) (Gdje a > 0, a≠ 1) je ekvivalentno jednačini f(x) = g(x).
Osim toga, korisno je zapamtiti osnovne formule i operacije sa stupnjevima:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}
Primjer 1. Riješite jednačinu:
Rješenje: Koristimo gornje formule i zamjene:
Jednačina tada postaje:
Diskriminanta rezultirajuće kvadratne jednačine je pozitivna:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}
To znači da ova jednadžba ima dva korijena. Nalazimo ih:
Prelazeći na obrnutu zamjenu, dobijamo:
Druga jednadžba nema korijen, jer je eksponencijalna funkcija striktno pozitivna u cijeloj domeni definicije. Rešimo drugu:
Uzimajući u obzir ono što je rečeno u teoremi 1, prelazimo na ekvivalentnu jednačinu: x= 3. Ovo će biti odgovor na zadatak.
odgovor: x = 3.
Primjer 2. Riješite jednačinu:
Rješenje: Jednačina nema ograničenja na raspon dozvoljenih vrijednosti, budući da radikalni izraz ima smisla za bilo koju vrijednost x(eksponencijalna funkcija y = 9 4 -x pozitivan i nije jednak nuli).
Jednačinu rješavamo ekvivalentnim transformacijama koristeći pravila množenja i dijeljenja potencija:
Posljednji prijelaz je izveden u skladu s teoremom 1.
odgovor:x= 6.
Primjer 3. Riješite jednačinu:
Rješenje: obje strane originalne jednačine mogu se podijeliti sa 0,2 x. Ovaj prijelaz će biti ekvivalentan, jer je ovaj izraz veći od nule za bilo koju vrijednost x(eksponencijalna funkcija je striktno pozitivna u svom domenu definicije). Tada jednačina poprima oblik:
odgovor: x = 0.
Primjer 4. Riješite jednačinu:
Rješenje: pojednostavljujemo jednačinu na elementarnu pomoću ekvivalentnih transformacija koristeći pravila dijeljenja i množenja potencija datih na početku članka:
Deljenje obe strane jednačine sa 4 x, kao u prethodnom primjeru, je ekvivalentna transformacija, jer ovaj izraz nije jednak nuli ni za jednu vrijednost x.
odgovor: x = 0.
Primjer 5. Riješite jednačinu:
Rješenje: funkcija y = 3x, koji stoji na lijevoj strani jednačine, raste. Funkcija y = —x-2/3 na desnoj strani jednačine se smanjuje. To znači da ako se grafovi ovih funkcija sijeku, onda najviše jedna tačka. U ovom slučaju, lako je pogoditi da se grafovi sijeku u tački x= -1. Neće biti drugih korijena.
odgovor: x = -1.
Primjer 6. Riješite jednačinu:
Rješenje: pojednostavljujemo jednačinu pomoću ekvivalentnih transformacija, imajući svuda na umu da je eksponencijalna funkcija striktno veća od nule za bilo koju vrijednost x i korištenjem pravila za izračunavanje proizvoda i količnika snaga datih na početku članka:
odgovor: x = 2.
Rješavanje eksponencijalnih nejednačina
Indikativno nazivaju se nejednakosti u kojima je nepoznata varijabla sadržana samo u eksponentima nekih potencija.
Za rješenja eksponencijalne nejednakosti potrebno je poznavanje sljedeće teoreme:
Teorema 2. Ako a> 1, onda nejednakost a f(x) > a g(x) je ekvivalentna nejednakosti istog značenja: f(x) > g(x). Ako je 0< a < 1, то показательное неравенство a f(x) > a g(x) je ekvivalentna nejednakosti sa suprotnim značenjem: f(x) < g(x).
Primjer 7. Riješite nejednačinu:
Rješenje: Predstavimo originalnu nejednakost u obliku:
Podijelimo obje strane ove nejednakosti sa 3 2 x, u ovom slučaju (zbog pozitivnosti funkcije y= 3 2x) predznak nejednakosti se neće promijeniti:
Koristimo zamjenu:
Tada će nejednakost poprimiti oblik:
Dakle, rješenje nejednakosti je interval:
prelazeći na obrnutu zamjenu, dobijamo:
Zbog pozitivnosti eksponencijalne funkcije, lijeva nejednakost je automatski zadovoljena. Koristeći dobro poznato svojstvo logaritma, prelazimo na ekvivalentnu nejednakost:
Pošto je osnova stepena broj veći od jedan, ekvivalentan (prema teoremi 2) je prijelaz na sljedeću nejednakost:
Dakle, konačno smo dobili odgovor:
Primjer 8. Riješite nejednačinu:
Rješenje: Koristeći svojstva množenja i dijeljenja potencija, prepisujemo nejednakost u obliku:
Hajde da predstavimo novu varijablu:
Uzimajući ovu zamjenu u obzir, nejednakost ima oblik:
Pomnožeći brojilac i imenilac razlomka sa 7, dobijamo sljedeću ekvivalentnu nejednakost:
Dakle, sljedeće vrijednosti varijable zadovoljavaju nejednakost t:
Zatim, prelazeći na obrnutu zamjenu, dobijamo:
Pošto je osnova stepena ovde veća od jedan, prelazak na nejednakost će biti ekvivalentan (prema teoremi 2):
Konačno dobijamo odgovor:
Primjer 9. Riješite nejednačinu:
Rješenje:
Obje strane nejednakosti dijelimo izrazom:
Ona je uvijek veća od nule (zbog pozitivnosti eksponencijalne funkcije), tako da nema potrebe mijenjati predznak nejednakosti. Dobijamo:
t se nalazi u intervalu:
Prelazeći na obrnutu zamjenu, nalazimo da se originalna nejednakost dijeli u dva slučaja:
Prva nejednačina nema rješenja zbog pozitivnosti eksponencijalne funkcije. Rešimo drugu:
Primjer 10. Riješite nejednačinu:
Rješenje:
Grane parabole y = 2x+2-x 2 su usmjerene prema dolje, stoga je ograničeno odozgo vrijednošću koju dostiže na svom vrhu:
Grane parabole y = x 2 -2x+2 u indikatoru su usmjereni prema gore, što znači da je ograničen odozdo vrijednošću koju dostiže na svom vrhu:
Istovremeno, ispada da je funkcija ograničena odozdo y = 3 x 2 -2x+2, što je na desnoj strani jednačine. Svoju najmanju vrijednost dostiže u istoj tački kao i parabola u eksponentu, a ova vrijednost je 3 1 = 3. Dakle, izvorna nejednakost može biti istinita samo ako funkcija s lijeve strane i funkcija s desne strane poprime vrijednost , jednako 3 (presjek raspona vrijednosti ovih funkcija je samo ovaj broj). Ovaj uslov je zadovoljen u jednoj tački x = 1.
odgovor: x= 1.
Kako bi naučili odlučivati eksponencijalne jednadžbe i nejednačine, potrebno je stalno trenirati u njihovom rješavanju. U ovom teškom zadatku mogu vam pomoći razna nastavna sredstva, problemske knjige iz osnovne matematike, zbirke takmičarskih zadataka, časovi matematike u školi, kao i individualni časovi sa stručnim mentorom. Od srca ti želim uspjeh u pripremi i odlične rezultate na ispitu.
Sergey Valerievich
P.S. Dragi gosti! Molimo vas da u komentarima ne pišete zahtjeve za rješavanje vaših jednačina. Nažalost, apsolutno nemam vremena za ovo. Takve poruke će biti izbrisane. Molimo pročitajte članak. Možda ćete u njemu pronaći odgovore na pitanja koja vam nisu omogućila da sami riješite svoj zadatak.
Šta je eksponencijalna jednačina? Primjeri.
Dakle, eksponencijalna jednačina... Novi jedinstveni eksponat na našoj općoj izložbi širokog spektra jednačina!) Kao što je gotovo uvijek slučaj, ključna riječ svakog novog matematičkog pojma je odgovarajući pridjev koji ga karakterizira. Tako je ovdje. Ključna riječ u terminu “eksponencijalna jednačina” je riječ "indikativno". Šta to znači? Ova riječ znači da se nalazi nepoznata (x). u smislu bilo kog stepena. I samo tamo! Ovo je izuzetno važno.
Na primjer, ove jednostavne jednadžbe:
3 x +1 = 81
5 x + 5 x +2 = 130
4 2 2 x -17 2 x +4 = 0
Ili čak ova čudovišta:
2 sin x = 0,5
Odmah obratite pažnju na jednu važnu stvar: razlozi stepeni (dole) – samo brojevi. Ali unutra indikatori stepeni (iznad) - širok izbor izraza sa X. Apsolutno bilo koji.) Sve zavisi od specifične jednačine. Ako se odjednom pojavi x negdje drugdje u jednadžbi, pored indikatora (recimo, 3 x = 18 + x 2), tada će takva jednadžba već biti jednačina mješoviti tip. Takve jednačine nemaju jasna pravila za njihovo rješavanje. Stoga ih nećemo razmatrati u ovoj lekciji. Na radost učenika.) Ovdje ćemo razmatrati samo eksponencijalne jednačine u njihovom „čistom“ obliku.
Uopšteno govoreći, ne mogu se jasno riješiti sve, pa čak ni čiste eksponencijalne jednačine. Ali među svom bogatom raznolikošću eksponencijalnih jednačina, postoje određene vrste koje se mogu i trebaju riješiti. Upravo ove vrste jednačina ćemo razmotriti. I sigurno ćemo riješiti primjere.) Pa da se smjestimo i idemo! Kao iu kompjuterskim pucačinama, naše putovanje će se odvijati kroz nivoe.) Od osnovnog do jednostavnog, od jednostavnog do srednjeg i od srednjeg do složenog. Na putu će vas čekati i tajni nivo - tehnike i metode rješavanja nestandardnih primjera. One o kojima nećete čitati u većini školskih udžbenika... Pa, i na kraju, naravno, čeka vas konačni šef u vidu domaće zadaće.)
Nivo 0. Koja je najjednostavnija eksponencijalna jednačina? Rješavanje jednostavnih eksponencijalnih jednadžbi.
Prvo, pogledajmo neke iskrene elementarne stvari. Negdje morate početi, zar ne? Na primjer, ova jednadžba:
2 x = 2 2
Čak i bez ikakvih teorija, jednostavnom logikom i zdravim razumom jasno je da je x = 2. Nema drugog načina, zar ne? Nijedno drugo značenje X nije prikladno... A sada da skrenemo pažnju na zapisnik odluke ova cool eksponencijalna jednadžba:
2 x = 2 2
X = 2
Šta nam se desilo? I dogodilo se sljedeće. Mi smo ga zapravo uzeli i... jednostavno izbacili iste baze (dvojke)! Potpuno izbačen. I, dobra vijest je da smo pogodili!
Da, zaista, ako u eksponencijalnoj jednačini postoje lijevo i desno isto brojeva u bilo kojem stepenu, onda se ti brojevi mogu odbaciti i jednostavno izjednačiti eksponente. Matematika dozvoljava.) I onda možete odvojeno raditi s indikatorima i riješiti mnogo jednostavniju jednačinu. Odlično, zar ne?
Evo ključne ideje za rješavanje bilo koje (da, baš bilo koje!) eksponencijalne jednačine: koristeći identične transformacije, potrebno je osigurati da lijeva i desna strana jednačine budu isto bazni brojevi u raznim stepenima. I tada možete sigurno ukloniti iste baze i izjednačiti eksponente. I radite s jednostavnijom jednadžbom.
Sada se prisjetimo željeznog pravila: moguće je ukloniti identične baze ako i samo ako brojevi s lijeve i desne strane jednačine imaju osnovne brojeve u ponosnoj samoći.
Šta to znači, u sjajnoj izolaciji? To znači bez ikakvih susjeda i koeficijenata. Dopusti mi da objasnim.
Na primjer, u jednadžbi
3 3 x-5 = 3 2 x +1
Trojke se ne mogu ukloniti! Zašto? Jer na lijevoj strani imamo ne samo usamljenu trojku do stepena, već rad 3·3 x-5 . Dodatna tri ometaju: koeficijent, razumiješ.)
Isto se može reći i za jednačinu
5 3 x = 5 2 x +5 x
I ovdje su sve baze iste - pet. Ali na desnoj strani nemamo ni jedan stepen petice: postoji zbir moći!
Ukratko, imamo pravo ukloniti identične baze samo kada naša eksponencijalna jednačina izgleda ovako i samo ovako:
af (x) = a g (x)
Ova vrsta eksponencijalne jednadžbe se naziva najjednostavniji. Ili, naučno, kanonski . I bez obzira kakvu zamršenu jednačinu imamo pred sobom, mi ćemo je, na ovaj ili onaj način, svesti upravo na ovaj najjednostavniji (kanonski) oblik. Ili, u nekim slučajevima, da totalitet jednačine ovog tipa. Tada se naša najjednostavnija jednačina može prepisati u opštem obliku ovako:
F(x) = g(x)
To je sve. Ovo bi bila ekvivalentna konverzija. U ovom slučaju, f(x) i g(x) mogu biti apsolutno bilo koji izrazi sa x. Kako god.
Možda će se posebno radoznali učenik zapitati: zašto, pobogu, tako lako i jednostavno odbacujemo iste osnove s lijeve i desne strane i izjednačavamo eksponente? Intuicija je intuicija, ali šta ako se u nekoj jednadžbi i iz nekog razloga ovaj pristup pokaže netačnim? Da li je uvijek legalno izbaciti iste osnove? Nažalost, da biste dobili rigorozan matematički odgovor na ovo zanimljivo pitanje, morate prilično duboko i ozbiljno zaroniti u opću teoriju strukture i ponašanja funkcija. I malo konkretnije - u fenomenu stroga monotonija. Konkretno, stroga monotonija eksponencijalna funkcijay= sjekira. Budući da je eksponencijalna funkcija i njena svojstva koja su u osnovi rješenja eksponencijalnih jednačina, da.) Detaljan odgovor na ovo pitanje bit će dat u posebnoj posebnoj lekciji posvećenoj rješavanju složenih nestandardnih jednačina korištenjem monotonosti različitih funkcija.)
Objašnjavanje ove tačke u detalje sada bi samo oduvalo umove prosječnog učenika i preplašilo ga prije vremena suhoparnom i teškom teorijom. Neću to učiniti.) Zato što je naš glavni zadatak u ovom trenutku naučite rješavati eksponencijalne jednačine! Najjednostavniji! Stoga, nemojmo još brinuti i hrabro izbacimo iste razloge. Ovo Može, vjerujte mi na riječ!) I tada rješavamo ekvivalentnu jednačinu f(x) = g(x). U pravilu, jednostavniji od originalnog eksponencijala.
Pretpostavlja se, naravno, da ljudi već znaju riješiti barem , i jednadžbe, bez x u eksponentima.) Za one koji još ne znaju kako, slobodno zatvorite ovu stranicu, pratite relevantne linkove i popunite stare praznine. U suprotnom, biće vam teško, da...
Ne govorim o iracionalnim, trigonometrijskim i drugim brutalnim jednačinama koje također mogu nastati u procesu eliminacije temelja. Ali nemojte biti uznemireni, za sada nećemo razmatrati potpunu okrutnost u smislu stepeni: prerano je. Treniraćemo samo na najjednostavnijim jednačinama.)
Pogledajmo sada jednadžbe koje zahtijevaju dodatni napor da ih svedemo na najjednostavnije. Radi razlikovanja, nazovimo ih jednostavne eksponencijalne jednadžbe. Dakle, idemo na sljedeći nivo!
Nivo 1. Jednostavne eksponencijalne jednadžbe. Prepoznajmo diplome! Prirodni pokazatelji.
Ključna pravila u rješavanju eksponencijalnih jednačina su pravila za postupanje sa diplomama. Bez ovog znanja i vještina ništa neće raditi. Avaj. Dakle, ako ima problema sa diplomama, onda ste prvo dobrodošli. Osim toga, trebat će nam i . Ove transformacije (njih dvije!) su osnova za rješavanje svih matematičkih jednačina općenito. I ne samo demonstrativne. Dakle, ko je zaboravio, pogledajte i link: ne stavljam ih samo tamo.
Ali same operacije s moćima i transformacije identiteta nisu dovoljne. Lična opservacija i domišljatost su takođe potrebni. Trebaju nam isti razlozi, zar ne? Stoga ispitujemo primjer i tražimo ih u eksplicitnom ili prikrivenom obliku!
Na primjer, ova jednadžba:
3 2 x – 27 x +2 = 0
Prvi pogled na osnove. Oni su drugačiji! Tri i dvadeset sedam. Ali prerano je za paniku i očaj. Vreme je da se toga setimo
27 = 3 3
Brojevi 3 i 27 su rođaci po stepenu! I bliski.) Stoga, imamo pravo da napišemo:
27 x +2 = (3 3) x+2
Sada povežimo naše znanje o akcije sa stepenom(i upozorio sam te!). Postoji vrlo korisna formula:
(a m) n = a mn
Ako ga sada sprovedete u djelo, funkcionira odlično:
27 x +2 = (3 3) x+2 = 3 3(x +2)
Originalni primjer sada izgleda ovako:
3 2 x – 3 3 (x +2) = 0
Odlično, osnove stepeni su se izravnale. To smo hteli. Pola bitke je gotovo.) Sada pokrećemo osnovnu transformaciju identiteta - pomaknite 3 3(x +2) udesno. Niko nije otkazao elementarne operacije matematike, da.) Dobijamo:
3 2 x = 3 3 (x +2)
Šta nam ova vrsta jednačine daje? I činjenica da je sada naša jednadžba redukovana kanonskom obliku: lijevo i desno se nalaze isti brojevi (trojke) u stepenu. Štaviše, oba tri su u sjajnoj izolaciji. Slobodno uklonite trojke i dobijete:
2x = 3(x+2)
Rešavamo ovo i dobijamo:
X = -6
To je to. Ovo je tačan odgovor.)
Sada razmislimo o rješenju. Šta nas je spasilo u ovom primjeru? Spasilo nas je znanje o moćima troje. Kako tačno? Mi identifikovan broj 27 sadrži šifrovanu trojku! Ovaj trik (kodiranje iste baze pod različitim brojevima) jedan je od najpopularnijih u eksponencijalnim jednačinama! Osim ako nije najpopularniji. Da, i na isti način, usput. Zbog toga su promatranje i sposobnost prepoznavanja potencija drugih brojeva u brojevima toliko važni u eksponencijalnim jednačinama!
Praktični savjeti:
Morate znati moći popularnih brojeva. U lice!
Naravno, svako može podići dva na sedmi stepen ili tri na peti stepen. Ne u mislima, ali barem u nacrtu. Ali u eksponencijalnim jednačinama, mnogo češće nije potrebno dizati na stepen, već radije saznati koji se broj i na koji stepen krije iza broja, recimo, 128 ili 243. A to je složenije od jednostavnog dizanja, složićete se. Osjetite razliku, kako kažu!
Budući da će sposobnost lično prepoznavanja diploma biti korisna ne samo na ovom nivou, već i na sljedećim, evo malog zadatka za vas:
Odredi koje su snage i koji su brojevi brojevi:
4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.
Odgovori (nasumično, naravno):
27 2 ; 2 10 ; 3 6 ; 7 2 ; 2 6 ; 9 2 ; 3 4 ; 4 3 ; 10 2 ; 2 5 ; 3 5 ; 7 3 ; 16 2 ; 2 7 ; 5 3 ; 2 8 ; 6 2 ; 3 3 ; 2 9 ; 2 4 ; 2 2 ; 4 5 ; 25 2 ; 4 4 ; 6 3 ; 8 2 ; 9 3 .
Da da! Nemojte se iznenaditi da ima više odgovora nego zadataka. Na primjer, 2 8, 4 4 i 16 2 su sve 256.
Nivo 2. Jednostavne eksponencijalne jednadžbe. Prepoznajmo diplome! Negativni i frakcioni indikatori.
Na ovom nivou već u potpunosti koristimo naše znanje o stepenu. Naime, u ovaj fascinantan proces uključujemo negativne i frakcijske indikatore! Da da! Moramo povećati svoju moć, zar ne?
Na primjer, ova strašna jednadžba:
/image003.png){kind=small}
Opet, prvi pogled je na temelje. Razlozi su različiti! I ovoga puta nisu ni približno slični jedno drugom! 5 i 0,04... A za eliminaciju baza su potrebne iste... Šta da se radi?
Uredu je! Zapravo, sve je isto, samo je veza između petice i 0,04 vizuelno slabo vidljiva. Kako možemo izaći? Pređimo na broj 0,04 kao običan razlomak! A onda će, vidite, sve ispasti.)
0,04 = 4/100 = 1/25
Vau! Ispostavilo se da je 0,04 1/25! Pa ko bi pomislio!)
Pa kako? Da li je sada lakše vidjeti vezu između brojeva 5 i 1/25? To je to...
A sada prema pravilima radnji sa diplomama sa negativan indikator Možete pisati mirnom rukom:
/image004.png){kind=small}
To je sjajno. Tako smo stigli do iste baze - pet. Sada zamjenjujemo nezgodan broj 0.04 u jednadžbi sa 5 -2 i dobijamo:
/image005.png){kind=small}
Opet, prema pravilima operacija sa stepenima, sada možemo napisati:
(5 -2) x -1 = 5 -2(x -1)
Za svaki slučaj, podsjećam (ako neko ne zna) da osnovna pravila za postupanje sa diplomama vrijede za bilo koji indikatori! Uključujući i negativne.) Dakle, slobodno uzmite i pomnožite indikatore (-2) i (x-1) prema odgovarajućem pravilu. Naša jednačina postaje sve bolja i bolja:
/image006.png){kind=small}
Sve! Osim usamljenih petica, nema ničeg drugog u moćima s lijeve i desne strane. Jednačina je svedena na kanonski oblik. A onda - uz nazubljenu stazu. Uklanjamo petice i izjednačavamo indikatore:
x 2 –6 x+5=-2(x-1)
Primjer je skoro riješen. Ostala je samo matematika osnovne škole - otvorite (ispravno!) zagrade i sakupite sve što je lijevo:
x 2 –6 x+5 = -2 x+2
x 2 –4 x+3 = 0
Riješimo ovo i dobijemo dva korijena:
x 1 = 1; x 2 = 3
To je sve.)
Hajde da razmislimo ponovo. U ovom primjeru, opet smo morali prepoznati isti broj u različitim stepenima! Naime, vidjeti šifriranu peticu u broju 0,04. I ovaj put - u negativan stepen! Kako smo to uradili? Odmah - nema šanse. Ali nakon prelaska sa decimalnog razlomka 0,04 na obični razlomak 1/25, sve je postalo jasno! A onda je cijela odluka prošla kao po satu.)
Stoga, još jedan zeleni praktični savjet.
Ako eksponencijalna jednadžba sadrži decimalne razlomke, onda prelazimo s decimalnih razlomaka na obične razlomke. Mnogo je lakše prepoznati stepene mnogih popularnih brojeva u razlomcima! Nakon prepoznavanja prelazimo sa razlomaka na stepene s negativnim eksponentima.
Imajte na umu da se ovaj trik javlja vrlo, vrlo često u eksponencijalnim jednačinama! Ali osoba nije u temi. Gleda, na primjer, brojeve 32 i 0,125 i uznemiri se. Ne znajući, ovo je jedno te isto dvoje, samo u različitim stepenima... Ali ti već znaš!)
Riješite jednačinu:
/image007.png)
In! Izgleda kao tihi horor... Međutim, izgled vara. Ovo je najjednostavnija eksponencijalna jednadžba, uprkos svom zastrašujućem izgledu. A sada ću vam to pokazati.)
Prvo, pogledajmo sve brojeve u bazama i koeficijentima. Oni su, naravno, različiti, da. Ali ipak ćemo riskirati i pokušati ih ostvariti identičan! Hajde da pokušamo da dođemo do toga isti broj u različitim stepenima. Štaviše, poželjno je da brojevi budu što manji. Dakle, počnimo s dekodiranjem!
Pa, sa četvorkom sve je odmah jasno - to je 2 2. Dobro, to je već nešto.)
Sa frakcijom od 0,25 - još uvijek je nejasno. Treba provjeriti. Koristimo se praktičnim savjetima - prijeđite s decimalnog razlomka na obični razlomak:
0,25 = 25/100 = 1/4
Već mnogo bolje. Jer sada je jasno vidljivo da je 1/4 2 -2. Odlično, a broj 0,25 je također sličan dva.)
Zasada je dobro. Ali najgori broj od svih ostaje - kvadratni korijen od dva!Šta raditi sa ovom paprikom? Može li se i ona predstaviti kao stepen dvojke? I ko zna...
Pa, zaronimo ponovo u našu riznicu znanja o diplomama! Ovoga puta dodatno povezujemo svoja znanja o korenima. Od kursa 9. razreda, ti i ja smo trebali naučiti da se svaki korijen, ako se želi, uvijek može pretvoriti u diplomu sa frakcionim indikatorom.
Volim ovo:
u našem slučaju:
/1.png){kind=small}
Vau! Ispada da je kvadratni korijen od dva 2 1/2. To je to!
To je u redu! Svi naši nezgodni brojevi su se zapravo ispostavili kao šifrovana dva.) Ne raspravljam, negdje vrlo sofisticirano šifrirano. Ali mi također poboljšavamo našu profesionalnost u rješavanju takvih šifri! I tada je sve već očigledno. U našoj jednadžbi zamjenjujemo brojeve 4, 0,25 i korijen dva stepenom dvojke:
/image010.png)
Sve! Osnove svih stupnjeva u primjeru su postale iste - dva. A sada se koriste standardne akcije sa stupnjevima:
a ma n = a m + n
a m:a n = a m-n
(a m) n = a mn
Za lijevu stranu dobijate:
2 -2 ·(2 2) 5 x -16 = 2 -2+2(5 x -16)
Za desnu stranu to će biti:
/image011.png)
A sada naša zla jednačina izgleda ovako:
/image012.png){kind=small}
Za one koji nisu shvatili kako je tačno nastala ova jednadžba, onda ovdje nije pitanje o eksponencijalnim jednačinama. Pitanje je o akcijama sa stepenom. Zamolio sam vas da to hitno ponovite onima koji imaju problema!
Evo cilja! Dobijen je kanonski oblik eksponencijalne jednadžbe! Pa kako? Jesam li te uvjerio da nije sve tako strašno? ;) Uklanjamo dvojke i izjednačavamo indikatore:
/image013.png){kind=small}
Ostaje samo riješiti ovu linearnu jednačinu. Kako? Uz pomoć identičnih transformacija, naravno.) Odlučite što se događa! Pomnožite obe strane sa dva (da biste uklonili razlomak 3/2), pomerite članove sa X ulevo, bez X udesno, donesite slične, brojite - i bićete srećni!
Sve bi trebalo da ispadne prelepo:
X=4
Sada ponovo razmislimo o rješenju. U ovom primjeru pomogao nam je prijelaz iz kvadratni korijen To stepen sa eksponentom 1/2. Štaviše, samo takva lukava transformacija nam je pomogla da stignemo do iste baze (dvije) svuda, što je spasilo situaciju! I, da nije tako, onda bismo imali sve šanse da se zauvek smrznemo i da se nikada ne nosimo sa ovim primerom, da...
Stoga ne zanemarujemo sljedeće praktične savjete:
Ako eksponencijalna jednadžba sadrži korijene, prelazimo s korijena na stepene s razlomačnim eksponentima. Vrlo često samo takva transformacija pojašnjava dalju situaciju.
Naravno, negativne i frakcijske moći su već mnogo složenije od prirodnih moći. Barem sa stanovišta vizualne percepcije i, posebno, prepoznavanja s desna na lijevo!
Jasno je da direktno povećanje, na primjer, dva na stepen -3 ili četiri na stepen -3/2 nije tako veliki problem. Za one koji znaju.)
Ali idi, na primjer, odmah to shvati
0,125 = 2 -3
Or
Ovdje vlada samo praksa i bogato iskustvo, da. I, naravno, jasna ideja, Šta je negativan i razlomak stepen? I praktični savjeti! Da, da, te iste zeleno.) Nadam se da će vam ipak pomoći da se bolje snalazite u čitavom raznolikom nizu diploma i značajno povećati vaše šanse za uspjeh! Zato ih nemojmo zanemariti. Nije slučajno što ponekad pišem zelenom bojom.)
Ali ako se upoznate čak i sa takvim egzotičnim moćima kao što su negativne i razlomke, tada će se vaše sposobnosti u rješavanju eksponencijalnih jednadžbi enormno proširiti i moći ćete rukovati gotovo svim vrstama eksponencijalnih jednadžbi. Pa, ako ne bilo koja, onda 80 posto svih eksponencijalnih jednačina - sigurno! Da, da, ne šalim se!
Dakle, naš prvi dio našeg uvoda u eksponencijalne jednadžbe došao je do svog logičnog zaključka. I, kao srednju vježbu, tradicionalno predlažem malo samorefleksije.)
Vježba 1.
Kako moje riječi o dešifriranju negativnih i razlomaka ne bi bile uzaludne, predlažem da se malo igramo!
Izrazite brojeve kao stepen dvojke:
Odgovori (u neredu):
Desilo se? Odlično! Zatim radimo borbenu misiju - rješavamo najjednostavnije i najjednostavnije eksponencijalne jednadžbe!
Zadatak 2.
Riješite jednačine (svi odgovori su nered!):
5 2x-8 = 25
2 5x-4 – 16 x+3 = 0
odgovori:
x = 16
x 1 = -1; x 2 = 2
x = 5
Desilo se? Zaista, mnogo je jednostavnije!
Zatim rješavamo sljedeću igru:
/image018.png){kind=small}
(2 x +4) x -3 = 0,5 x 4 x -4
35 1-x = 0,2 - x ·7 x
odgovori:
x 1 = -2; x 2 = 2
x = 0,5
x 1 = 3; x 2 = 5
I ovi primjeri su ostali? Odlično! Vi rastete! Zatim evo još nekoliko primjera za grickanje:
/image019.png)
odgovori:
x = 6
x = 13/31
x = -0,75
x 1 = 1; x 2 = 8/3
I da li je ovo odlučeno? Pa, postovanje! Skidam kapu.) To znači da lekcija nije bila uzaludna, a početni nivo rješavanja eksponencijalnih jednačina može se smatrati uspješno savladanim. Sledeći nivoi i složenije jednadžbe su pred nama! I nove tehnike i pristupi. I nestandardni primjeri. I nova iznenađenja.) Sve ovo u sledećoj lekciji!
Je li nešto pošlo po zlu? To znači da su najvjerovatnije problemi u . Ili u . Ili oboje odjednom. Ovde sam nemoćan. Još jednom mogu predložiti samo jedno - ne budite lijeni i pratite linkove.)
Nastavlja se.)
Oprema:
- kompjuter,
- multimedijalni projektor,
- ekran,
- Aneks 1(PowerPoint slajd prezentacija) “Metode rješavanja eksponencijalnih jednačina”
- Dodatak 2(Rješavanje jednadžbe poput "Tri različite baze potencija" u Wordu)
- Dodatak 3(dodaci u Wordu za praktičan rad).
- Dodatak 4(dodaci u Wordu za domaći zadatak).
Tokom nastave
1. Organizaciona faza
- poruka o temi lekcije (napisana na tabli),
- potreba za opštom lekcijom u 10-11 razredu:
Faza pripreme učenika za aktivno učenje
Ponavljanje
Definicija.
Eksponencijalna jednačina je jednačina koja sadrži varijablu s eksponentom (odgovori učenika).
Napomena nastavnika. Eksponencijalne jednadžbe pripadaju klasi transcendentalnih jednačina. Ovo neizgovorivo ime sugerira da se takve jednadžbe, općenito govoreći, ne mogu riješiti u obliku formula.
One se mogu riješiti samo približno numeričkim metodama na računarima. Ali šta je sa ispitnim zadacima? Trik je u tome što ispitivač postavlja problem na takav način da omogućava analitičko rješenje. Drugim riječima, možete (i trebali biste!) izvršiti identične transformacije koje ovu eksponencijalnu jednačinu svode na najjednostavniju eksponencijalnu jednačinu. Ova najjednostavnija jednačina se zove: najjednostavnija eksponencijalna jednadžba. To se rješava logaritmom.
Situacija s rješavanjem eksponencijalne jednadžbe podsjeća na putovanje kroz labirint, koji je posebno izmislio autor zadatka. Iz ovih vrlo općih argumenata slijede vrlo konkretne preporuke.
Za uspješno rješavanje eksponencijalnih jednačina morate:
1. Ne samo da aktivno poznajete sve eksponencijalne identitete, već i pronađite skupove varijabilnih vrijednosti na kojima su ti identiteti definirani, tako da korištenjem ovih identiteta ne dobijete nepotrebne korijene, a još više, ne izgubite rješenja na jednačinu.
2. Aktivno poznavati sve eksponencijalne identitete.
3. Jasno, detaljno i bez grešaka, izvršiti matematičke transformacije jednačina (prenositi članove iz jednog dijela jednačine u drugi, ne zaboravljajući promijeniti predznak, dovesti razlomke u zajednički imenilac, itd.). To se zove matematička kultura. Istovremeno, sami proračuni treba da se rade automatski ručno, a glava treba razmišljati o općoj niti vodilja rješenja. Transformacije se moraju izvršiti što je moguće pažljivije i detaljnije. Samo to garantuje ispravnu odluku bez greške. I zapamtite: mala aritmetička greška može jednostavno stvoriti transcendentnu jednačinu koja se, u principu, ne može riješiti analitički. Ispostavilo se da ste zalutali i udarili u zid lavirinta.
4. Poznavati metode za rješavanje problema (odnosno znati sve puteve kroz labirint rješenja). Da biste se pravilno kretali u svakoj fazi, morat ćete (svjesno ili intuitivno!):
- definisati tip jednadžbe;
- zapamtite odgovarajući tip metoda rješenja zadataka.
Faza generalizacije i sistematizacije proučenog materijala.
Nastavnik zajedno sa učenicima pomoću računara vrši pregled svih vrsta eksponencijalnih jednačina i metoda za njihovo rješavanje, te izrađuje opšti dijagram. (Koristi se obrazovni kompjuterski program L.Ya. Borevskog „Matematički kurs – 2000“, autor PowerPoint prezentacije je T.N. Kuptsova.)
Rice. 1. Na slici je prikazan opšti dijagram svih vrsta eksponencijalnih jednačina.
Kao što se može vidjeti iz ovog dijagrama, strategija za rješavanje eksponencijalnih jednačina je da se data eksponencijalna jednačina svede na jednačinu, prije svega, sa istim osnovama stepeni , a zatim – i sa istim pokazateljima stepena.
Nakon što ste dobili jednačinu sa istim bazama i eksponentima, ovaj eksponent zamjenjujete novom promjenljivom i dobivate jednostavnu algebarsku jednačinu (obično razlomko-racionalnu ili kvadratnu) u odnosu na ovu novu varijablu.
Nakon što riješite ovu jednačinu i izvršite obrnutu zamjenu, na kraju ćete dobiti skup jednostavnih eksponencijalnih jednadžbi koje se mogu riješiti u općem obliku pomoću logaritama.
Ističu se jednadžbe u kojima se nalaze samo proizvodi (parcijalnih) potencija. Koristeći eksponencijalne identitete, moguće je ove jednačine odmah svesti na jednu bazu, posebno na najjednostavniju eksponencijalnu jednačinu.
Pogledajmo kako riješiti eksponencijalnu jednačinu s tri različite baze.
(Ako nastavnik ima obrazovni kompjuterski program L.Ya. Borevskog "Kurs matematike - 2000", onda naravno radimo sa diskom, ako ne, možete napraviti ispis ove vrste jednadžbe iz njega za svaki stol, predstavljeno u nastavku.)
Rice. 2. Plan za rješavanje jednačine.
Rice. 3. Počni rješavati jednačinu
Rice. 4. Završite rješavanje jednačine.
Raditi praktičan rad
Odredite vrstu jednačine i riješite je.
1. 2. 3. 0,125 4. 5. 6.
Sumiranje lekcije
Ocjenjivanje za lekciju.
Kraj lekcije
Za nastavnika
Vježbajte šemu odgovora.
vježba: sa liste jednadžbi izaberite jednačine navedenog tipa (unesite broj odgovora u tabelu):
- Tri različite osnove stepena
- Dvije različite baze - različiti eksponenti
- Osnove potencija - potencije jednog broja
- Iste baze – različiti eksponenti
- Iste osnove stepeni - isti indikatori stepeni
- Proizvod moći
- Dvije različite osnove stepena - isti pokazatelji
- Najjednostavnije eksponencijalne jednadžbe
1. 
(proizvod moći)
2. 
(iste baze - različiti eksponenti)
Eksponencijalne jednadžbe su one u kojima je nepoznata sadržana u eksponentu. Najjednostavnija eksponencijalna jednačina ima oblik: a x = a b, gdje je a> 0, a 1, x je nepoznato.
Glavna svojstva potencija kojima se eksponencijalne jednačine transformišu: a>0, b>0.
Prilikom rješavanja eksponencijalnih jednadžbi koriste se i sljedeća svojstva eksponencijalne funkcije: y = a x, a > 0, a1:
Da biste broj predstavili kao stepen, koristite osnovni logaritamski identitet: b = , a > 0, a1, b > 0.
Zadaci i testovi na temu "Eksponencijalne jednadžbe"
- Eksponencijalne jednadžbe
Lekcije: 4 Zadaci: 21 Testovi: 1
- Eksponencijalne jednadžbe - Važne teme za recenziranje Jedinstvenog državnog ispita iz matematike
Zadaci: 14
- Sistemi eksponencijalnih i logaritamskih jednadžbi - Eksponencijalne i logaritamske funkcije 11. razred
Lekcije: 1 Zadaci: 15 Testovi: 1
- §2.1. Rješavanje eksponencijalnih jednačina
Lekcije: 1 Zadaci: 27
- §7 Eksponencijalne i logaritamske jednačine i nejednačine - Odjeljak 5. Eksponencijalne i logaritamske funkcije, ocjena 10
Lekcije: 1 Zadaci: 17
Da biste uspješno riješili eksponencijalne jednadžbe, morate znati osnovna svojstva potencija, svojstva eksponencijalne funkcije i osnovni logaritamski identitet.
Prilikom rješavanja eksponencijalnih jednadžbi koriste se dvije glavne metode:
- prelazak sa jednačine a f(x) = a g(x) na jednačinu f(x) = g(x);
- uvođenje novih linija.
Primjeri.
1. Jednačine svedene na najjednostavnije. Rješavaju se svođenjem obje strane jednadžbe na stepen s istom bazom.
3 x = 9 x – 2.
Rješenje:
3 x = (3 2) x – 2 ;
3 x = 3 2x – 4 ;
x = 2x –4;
x = 4.
odgovor: 4.
2. Jednačine se rješavaju vađenjem zajedničkog faktora iz zagrada.
Rješenje:
3 x – 3 x – 2 = 24
3 x – 2 (3 2 – 1) = 24
3 x – 2 × 8 = 24
3 x – 2 = 3
x – 2 = 1
x = 3.
odgovor: 3.
3. Jednačine riješene promjenom varijable.
Rješenje:
2 2x + 2 x – 12 = 0
Označavamo 2 x = y.
y 2 + y – 12 = 0
y 1 = - 4; y2 = 3.
a) 2 x = - 4. Jednačina nema rješenja, jer 2 x > 0.
b) 2 x = 3; 2 x = 2 log 2 3 ; x = log 2 3.
odgovor: dnevnik 2 3.
4. Jednačine koje sadrže potencije sa dvije različite (međusobno nesvodljive) baze.
3 × 2 x + 1 - 2 × 5 x – 2 = 5 x + 2 x – 2.
3× 2 x + 1 – 2 x – 2 = 5 x – 2 × 5 x – 2
2 x – 2 × 23 = 5 x – 2
×23
2 x – 2 = 5 x – 2
(5/2) x– 2 = 1
x – 2 = 0
x = 2.
odgovor: 2.
5. Jednačine koje su homogene u odnosu na a x i b x.
Opšti oblik: .
9 x + 4 x = 2,5 × 6 x.
Rješenje:
3 2x – 2,5 × 2 x × 3 x +2 2x = 0 |: 2 2x > 0
(3/2) 2x – 2,5 × (3/2) x + 1 = 0.
Označimo (3/2) x = y.
y 2 – 2,5y + 1 = 0,
y 1 = 2; y 2 = ½. 
odgovor: log 3/2 2; - log 3/2 2.