Na primjer, evidentira se broj saobraćajnih nesreća sedmično na određenoj dionici puta. Ovaj broj je slučajna varijabla koja može imati sljedeće vrijednosti: (bez gornje granice). Broj saobraćajnih nesreća može biti koliko god želite. Ako uzmemo u obzir neki kratak vremenski period tokom jedne sedmice, recimo minut, onda će se incident ili desiti u tom periodu ili neće. Vjerovatnoća saobraćajne nesreće u jednoj minuti je vrlo mala, a približno je ista za sve minute.
Distribucija vjerovatnoće broja incidenata opisuje se formulom:
gdje je m prosječan broj nesreća sedmično na određenoj dionici puta; e je konstanta jednaka 2,718...
Karakteristične karakteristike podataka za koje najbolji način Odgovarajuća Poissonova distribucija je sljedeća:
1. Svaki mali vremenski interval može se smatrati iskustvom, čiji je rezultat jedna od dvije stvari: ili incident („uspjeh“) ili njegovo odsustvo („neuspjeh“). Intervali su toliko mali da u jednom intervalu može biti samo jedan „uspjeh“, čija je vjerovatnoća mala i konstantna.
2. Broj “uspjeha” u jednom velikom intervalu ne zavisi od njihovog broja u drugom, tj. “uspjesi” su nasumično raspoređeni po vremenskim intervalima.
3. Prosječan broj “uspjeha” je konstantan tokom cijelog vremena. Poissonova raspodjela vjerovatnoće može se koristiti ne samo kada se radi sa slučajnim varijablama u vremenskim intervalima, već i kada se uzimaju u obzir defekti površine ceste po kilometru putovanja ili greške u kucanju po stranici teksta. Opća formula Poissonove distribucije vjerovatnoće:
gdje je m prosječan broj “uspjeha” po jedinici.
U Poissonovim tablicama distribucije vjerovatnoće, vrijednosti su tabelarno prikazane za određene vrijednosti m i
Primjer 2.7. U prosjeku se na telefonskoj centrali naruče tri telefonska razgovora u roku od pet minuta. Kolika je vjerovatnoća da će u roku od pet minuta biti naručeno 0, 1,2, 3, 4 ili više od četiri poziva?
Primijenimo Poissonovu distribuciju vjerovatnoće, jer:
1. Postoji neograničen broj eksperimenata, tj. mali periodi kada se može pojaviti narudžba za telefonski razgovor čija je vjerovatnoća mala i konstantna.
2. Pretpostavlja se da je potražnja za telefonskim pozivima nasumično raspoređena tokom vremena.
3. Smatra se da prosječna telefonski razgovori u bilo kom minutnom vremenskom periodu je isto.
U ovom primjeru, prosječan broj narudžbi je 3 u 5 minuta. Dakle, Poissonova distribucija:
Uz Poissonovu distribuciju vjerovatnoće, znajući prosječan broj “uspjeha” u periodu od 5 minuta (na primjer, kao u primjeru 2.7), da biste saznali prosječan broj “uspjeha” u jednom satu, jednostavno morate pomnožite sa 12. U primjeru 2.7 prosječan broj narudžbi u satu će biti: 3 x 12 = 36. Slično, ako želite da odredite prosječan broj narudžbi u minuti:
Primjer 2.8. U prosjeku se na automatskoj liniji dogodi 3,4 kvara u pet dana radne sedmice. Kolika je vjerovatnoća dva problema svaki dan rada? Rješenje.
Možete primijeniti Poissonovu distribuciju:
1. Postoji neograničen broj eksperimenata, tj. mali vremenski periodi, tokom svakog od kojih se kvar može, ali i ne mora pojaviti na automatskoj liniji. Vjerovatnoća za to za svaki vremenski period je mala i konstantna.
2. Pretpostavlja se da su problemi nasumično raspoređeni u vremenu.
3. Pretpostavlja se da je prosječan broj kvarova tokom bilo kojih pet dana konstantan.
Prosječan broj problema je 3,4 u pet dana. Otuda broj problema po danu:
dakle,
Zakon binomne distribucije primjenjuje se na slučajeve kada je uzet uzorak fiksne veličine. Poissonova distribucija se primjenjuje na slučajeve gdje broj slučajnih događaja koji se dešavaju na određenoj dužini, površini, volumenu ili vremenu, dok je parametar koji određuje distribuciju prosječan broj događaja , ne veličina uzorka P i vjerovatnoća uspjeha R. Na primjer, broj neusklađenosti u uzorku ili broj neusklađenosti po jedinici proizvodnje.
Distribucija vjerovatnoće za broj uspjeha X ima u isto vreme sljedeći pogled:
Ili možemo reći da je diskretna slučajna varijabla X distribuira se prema Poissonovom zakonu ako su njegove moguće vrijednosti 0,1, 2, ...t, ...p, a vjerovatnoća pojave takvih vrijednosti određena je relacijom:
(14)
Gdje m ili λ je neka pozitivna vrijednost koja se zove parametar Poissonove distribucije.
Poissonov zakon se primjenjuje na događaje koji se “rijetko” dešavaju, dok mogućnost drugog uspjeha (na primjer, neuspjeha) ostaje kontinuirana, konstantna je i ne ovisi o broju prethodnih uspjeha ili neuspjeha (kada mi pričamo o tome o procesima koji se razvijaju tokom vremena, to se zove “nezavisnost od prošlosti”). Klasičan primjer, kada se primjenjuje Poissonov zakon, je broj telefonskih poziva na telefonskoj centrali tokom datog vremenskog intervala. Drugi primjeri mogu biti broj mrlja mastila na stranici neuredno napisanog rukopisa ili broj mrlja koje završe na karoseriji automobila dok ga farbaju. Poissonov zakon o distribuciji mjeri broj nedostataka, a ne broj neispravnih proizvoda.
Poissonova distribucija je vođena brojem slučajnih događaja koji se dešavaju u fiksnim vremenskim intervalima ili u fiksnom području prostora.<1 значение P(m) монотонно убывает с ростом m то, a при λ>1 vrijednost P(m) raste T prolazi kroz maksimum blizu /
Karakteristika Poissonove distribucije je da je varijansa jednaka matematičkom očekivanju. Parametri Poissonove distribucije
M(x) = σ 2 = λ (15)
Ova karakteristika Poissonove raspodjele nam omogućava da u praksi tvrdimo da je eksperimentalno dobijena raspodjela slučajna varijabla podliježe Poissonovoj distribuciji ako vrijednosti uzorka matematičko očekivanje a varijanse su približno jednake.
Zakon rijetki događaji koristi se u mašinstvu za selektivnu inspekciju gotovih proizvoda, kada tehničke specifikacije u prihvaćenoj seriji proizvoda dozvoljen je određeni procenat nedostataka (obično mali) q<<0.1.
Ako je vjerovatnoća q događaja A vrlo mala (q≤0,1), a broj pokušaja velik, tada će vjerovatnoća da će se događaj A dogoditi m puta u n pokušaja biti jednaka
,
gdje je λ = M(x) = nq
Da biste izračunali Poissonovu distribuciju, možete koristiti sljedeće rekurentne relacije
I 
(16)
Poissonova distribucija igra važnu ulogu u statističkim metodama osiguranja kvaliteta jer se može koristiti za aproksimaciju hipergeometrijskih i binomnih distribucija.
Takva aproksimacija je prihvatljiva kada , pod uvjetom da qn ima konačnu granicu i q<0.1. Когда p →∞, A r → 0, prosjek n r = t = konst.
Koristeći zakon rijetkih događaja, možete izračunati vjerovatnoću da će uzorak od n jedinica sadržavati: 0,1,2,3, itd. neispravne dijelove, tj. dato m puta. Također možete izračunati vjerovatnoću da se u takvom uzorku pojavi m ili više neispravnih dijelova. Ova vjerovatnoća, na osnovu pravila sabiranja vjerovatnoća, bit će jednaka:
Primjer 1. Serija sadrži neispravne dijelove, čiji je udio 0,1. 10 dijelova se uzimaju uzastopno i pregledavaju, nakon čega se vraćaju u seriju, tj. testovi su nezavisni. Kolika je vjerovatnoća da prilikom provjere 10 dijelova jedan bude neispravan?
Rješenje Iz uslova problema q=0,1; n=10; m=1. Očigledno, p=1-q=0.9.
Dobijeni rezultat može se primijeniti i na slučaj kada se 10 dijelova ukloni zaredom bez vraćanja u seriju. Uz dovoljno veliku seriju, na primjer, 1000 komada, vjerojatnost vađenja dijelova će se zanemariti promijeniti. Stoga se pod takvim uvjetima uklanjanje neispravnog dijela može smatrati događajem koji ne ovisi o rezultatima prethodnih ispitivanja.
Primjer 2. Serija sadrži 1% neispravnih dijelova. Kolika je vjerovatnoća da će uzorak od 50 jedinica proizvoda iz serije sadržavati 0, 1, 2, 3, 4 neispravna dijela?
Rješenje. Ovdje q=0,01, nq=50*0,01=0,5
Dakle, da bi se efektivno koristila Poissonova distribucija kao aproksimacija binoma, neophodno je da je verovatnoća uspeha R bio znatno manji q. a n r = t bio reda veličine jedne (ili više jedinica).
Dakle, u statističkim metodama osiguranja kvaliteta
hipergeometrijski zakon primjenjivo za uzorke bilo koje veličine P i bilo koji nivo neusaglašenosti q ,
binomni zakon i Poissonov zakon su njegovi posebni slučajevi, pod uslovom da n/N<0,1 и
Gdje je λ jednako prosječnom broju pojavljivanja događaja u identičnim nezavisnim ispitivanjima, tj. λ = n × p, gdje je p vjerovatnoća događaja u jednom ispitivanju, e = 2,71828.
Red distribucije Poissonovog zakona ima oblik:
Svrha usluge. Za crtanje se koristi online kalkulator Poissonova distribucija i izračunavanje svih karakteristika serije: matematičko očekivanje, disperzija i standardna devijacija. Izvještaj sa odlukom sastavlja se u Word formatu. U slučaju kada je n veliko i λ = p n > 10, Poissonova formula daje vrlo grubu aproksimaciju i P n (m) se izračunava pomoću lokalne i integralne teoreme Moivre-Laplacea.
Numeričke karakteristike slučajne varijable X
Očekivanje Poissonove distribucijeM[X] = λ
Varijanca Poissonove distribucije
D[X] = λ
Primjer br. 1. Sjeme sadrži 0,1% korova. Kolika je vjerovatnoća da ćete pronaći 5 sjemenki korova ako nasumično odaberete 2000 sjemenki?
Rješenje.
Verovatnoća p je mala, ali je broj n veliki. np = 2 P(5) = λ 5 e -5 /5! = 0,03609
Očekivana vrijednost: M[X] = λ = 2
Disperzija: D[X] = λ = 2
Primjer br. 2. Među sjemenkama raži nalazi se 0,4% sjemena korova. Napraviti zakon raspodjele broja korova sa slučajnim odabirom od 5000 sjemenki. Pronađite matematičko očekivanje i varijansu ove slučajne varijable.
Rješenje. Matematičko očekivanje: M[X] = λ = 0,004*5000 = 20. Disperzija: D[X] = λ = 20
Zakon o distribuciji:
| X | 0 | 1 | 2 | … | m | … |
| P | e -20 | 20e -20 | 200e -20 | … | 20 m e -20 /m! | … |
Primjer br. 3. Na telefonskoj centrali se javlja pogrešna veza sa vjerovatnoćom od 1/200. Pronađite vjerovatnoću da će se između 200 veza dogoditi sljedeće:
a) tačno jedna pogrešna veza;
b) manje od tri neispravne veze;
c) više od dvije neispravne veze.
Rješenje. Prema uslovima zadatka, vjerovatnoća događaja je mala, pa koristimo Poissonovu formulu (15).
a) Dato je: n = 200, p = 1/200, k = 1. Nađimo P 200 (1).
Dobijamo: 
. Tada je P 200 (1) ≈ e -1 ≈ 0,3679.
b) Dato je: n = 200, p = 1/200, k< 3. Найдем P 200 (k < 3).
Imamo: a = 1. 
c) Zadato je: n = 200, p = 1/200, k > 2. Naći P 200 (k > 2).
Ovaj problem se može riješiti jednostavnije: pronađite vjerovatnoću suprotnog događaja, jer u ovom slučaju morate izračunati manje pojmova. Uzimajući u obzir prethodni slučaj, imamo
Razmotrimo slučaj gdje je n dovoljno veliko, a p dovoljno malo; stavimo np = a, gdje je a neki broj. U ovom slučaju, željena vjerovatnoća je određena Poissonovom formulom:
Vjerovatnoća pojave k događaja tokom vremenskog trajanja t također se može naći pomoću Poissonove formule:
gdje je λ intenzitet toka događaja, odnosno prosječan broj događaja koji se pojavljuju u jedinici vremena.
Primjer br. 4. Vjerovatnoća da je dio neispravan je 0,005. Provjereno je 400 dijelova. Navedite formulu za izračunavanje vjerovatnoće da su više od 3 dijela neispravna.
Primjer br. 5. Verovatnoća pojave neispravnih delova tokom masovne proizvodnje je p. odrediti vjerovatnoću da serija od N dijelova sadrži a) tačno tri dijela; b) najviše tri neispravna dijela.
p=0,001; N = 4500
Rješenje.
Verovatnoća p je mala, ali je broj n veliki. np = 4,5< 10. Значит случайная величина Х – распределена по Пуассоновскому распределению. Составим закон.
Slučajna varijabla X ima raspon vrijednosti (0,1,2,...,m). Vjerojatnosti ovih vrijednosti mogu se pronaći pomoću formule:
Nađimo distribucijsku seriju X.
Ovdje λ = np = 4500*0,001 = 4,5
P(0) = e - λ = e -4,5 = 0,01111
P(1) = λe -λ = 4,5e -4,5 = 0,04999 
Tada je vjerovatnoća da serija od N dijelova sadrži tačno tri dijela jednaka: 
Tada je vjerovatnoća da serija od N dijelova ne sadrži više od tri neispravna dijela:
P(x<3) = P(0) + P(1) + P(2) = 0,01111 + 0,04999 + 0,1125 = 0,1736
Primjer br. 6. Automatska telefonska centrala u prosjeku prima N poziva po satu. Odrediti vjerovatnoću da će u datom minutu primiti: a) tačno dva poziva; b) više od dva poziva.
N=18
Rješenje.
U jednoj minuti automatska telefonska centrala u prosjeku prima λ = 18/60 min. = 0,3
Pod pretpostavkom da je slučajni broj X poziva primljenih na PBX u jednoj minuti,
poštuje Poissonov zakon, koristeći formulu ćemo pronaći željenu vjerovatnoću
Nađimo distribucijsku seriju X.
Ovdje λ = 0,3
P(0) = e - λ = e -0,3 = 0,7408
P(1) = λe -λ = 0,3e -0,3 = 0,2222 
Verovatnoća da će primiti tačno dva poziva u datom minutu je:
P(2) = 0,03334
Verovatnoća da će primiti više od dva poziva u datom minutu je:
P(x>2) = 1 – 0,7408 – 0,2222 – 0,03334 = 0,00366
Primjer br. 7. Razmatraju se dva elementa koji rade nezavisno jedan od drugog. Trajanje rada bez otkaza ima eksponencijalnu distribuciju sa parametrom λ1 = 0,02 za prvi element i λ2 = 0,05 za drugi element. Naći vjerovatnoću da će za 10 sati: a) oba elementa raditi bez greške; b) samo vjerovatnoća da element br. 1 neće otkazati za 10 sati:
Odluka.
P 1 (0) = e -λ1*t = e -0,02*10 = 0,8187
Verovatnoća da element br. 2 neće otkazati za 10 sati:
P 2 (0) = e -λ2*t = e -0,05*10 = 0,6065
a) oba elementa će raditi besprijekorno;
P(2) = P 1 (0)*P 2 (0) = 0,8187*0,6065 = 0,4966
b) samo jedan element neće uspjeti.
P(1) = P 1 (0)*(1-P 2 (0)) + (1-P 1 (0))*P 2 (0) = 0,8187*(1-0,6065) + (1-0,8187) *0,6065 = 0,4321
Primjer br. 7. Proizvodnja proizvodi 1% nedostataka. Kolika je vjerovatnoća da od 1100 proizvoda uzetih za istraživanje, ne više od 17 bude odbijeno?
Bilješka: pošto je ovdje n*p =1100*0.01=11 > 10, potrebno je koristiti
Kratka teorija
Neka se izvrše nezavisni testovi, u svakom od kojih je vjerovatnoća da će se događaj dogoditi jednaka . Da bi se odredila vjerovatnoća da će se događaj dogoditi u ovim testovima, koristi se Bernoullijeva formula. Ako je velika, onda koristite ili. Međutim, ova formula nije prikladna ako je mala. U ovim slučajevima (velikim, malim) pribjegavaju asimptotici Poissonova formula.
Postavimo sebi zadatak da pronađemo vjerovatnoću da, za vrlo veliki broj testovima, u svakom od kojih je vjerovatnoća događaja vrlo mala, događaj će se dogoditi tačno jednom. Napravimo važnu pretpostavku: proizvod zadržava konstantnu vrijednost, naime . To znači da prosječan broj pojavljivanja događaja u različitim serijama ispitivanja, tj. za različite vrijednosti, ostaje nepromijenjen.
Primjer rješenja problema
Problem 1
Baza je dobila 10.000 električnih lampi. Verovatnoća da će se lampa pokvariti tokom putovanja je 0,0003. Pronađite vjerovatnoću da će se među primljenim lampama pet lampi pokvariti.
Rješenje
Uslov za primenljivost Poissonove formule:
Ako je vjerojatnost da se događaj dogodi u jednom pokušaju prilično blizu nuli, onda se čak i za velike vrijednosti broja pokušaja vjerojatnost izračunata pomoću Laplaceove lokalne teoreme pokazuje nedovoljno točnom. U takvim slučajevima koristite formulu koju je izveo Poisson.
Neka se pokvari događaj - 5 lampi
Koristimo Poissonovu formulu:
u našem slučaju:
Odgovori
Problem 2
Preduzeće raspolaže sa 1000 komada opreme određeni tip. Vjerovatnoća da će dio opreme pokvariti u roku od sat vremena je 0,001. Napraviti zakon raspodjele za broj kvarova opreme po satu. Pronađite numeričke karakteristike.
Rješenje
Slučajna varijabla - broj kvarova opreme, može imati vrijednosti
Koristimo Poissonov zakon:
Nađimo ove vjerovatnoće:
.Matematičko očekivanje i varijansa slučajne varijable distribuirane prema Poissonovom zakonu jednaki su parametru ove distribucije:
Prosjek trošak rješenja testni rad 700 - 1200 rubalja (ali ne manje od 300 rubalja za cijelu narudžbu). Na cijenu u velikoj mjeri utiče hitnost odluke (od jednog dana do nekoliko sati). Cijena online pomoći za ispit/test je od 1000 rubalja. za rješavanje tiketa.
Zahtjev možete ostaviti direktno u chatu, nakon što ste prethodno poslali uslove zadataka i obavijestili vas o rokovima za rješenje koje vam je potrebno. Vrijeme odgovora je nekoliko minuta.