Red distribucije diskretne slučajne varijable x se zove. Diskretne slučajne varijable

Primjeri rješavanja zadataka na temu “Slučajne varijable”.

Zadatak 1 . Za lutriju je izdato 100 tiketa. Izvučen je jedan dobitak od 50 USD. i deset pobjeda od po 10 USD. Naći zakon raspodjele vrijednosti X - trošak mogućeg dobitka.

Rješenje. Moguće vrijednosti za X: x 1 = 0; x 2 = 10 i x 3 = 50. Pošto postoji 89 „praznih“ karata, onda str 1 = 0,89, vjerovatnoća osvajanja $10. (10 ulaznica) – str 2 = 0,10 i osvojiti 50 USD -p 3 = 0,01. ovako:


	0,89	0,10	0,01

Jednostavna kontrola: .

Zadatak 2. Vjerovatnoća da je kupac unaprijed pročitao reklamu za proizvod je 0,6 (p = 0,6). Selektivna kontrola kvaliteta oglašavanja vrši se anketiranjem kupaca prije prvog koji je unaprijed proučio oglašavanje. Napravi distribucijsku seriju za broj anketiranih kupaca.

Rješenje. Prema uslovima zadatka, p = 0,6. Od: q=1 -p = 0,4. Zamjenom ovih vrijednosti dobijamo: i konstruisati seriju distribucije:


p i		0,24

Zadatak 3. Računar se sastoji od tri nezavisna elementa: sistemske jedinice, monitora i tastature. Sa jednim naglim povećanjem napona, vjerovatnoća kvara svakog elementa je 0,1. Na osnovu Bernoullijeve distribucije izraditi zakon raspodjele za broj neispravnih elemenata za vrijeme napona u mreži.

Rješenje. Hajde da razmotrimo Bernulijeva distribucija(ili binom): vjerovatnoća da n testovima, događaj A će se pojaviti tačno k jednom: , ili:


	q n					str n

IN Vratimo se zadatku.

Moguće vrijednosti za X (broj kvarova):

x 0 =0 – nijedan element nije uspio;

x 1 =1 – kvar jednog elementa;

x 2 =2 – kvar dva elementa;

x 3 =3 – kvar svih elemenata.

Pošto je po uslovu p = 0,1, onda je q = 1 – p = 0,9. Koristeći Bernoullijevu formulu, dobijamo

, ,

, .

Kontrola: .

Dakle, potreban zakon o distribuciji:


	0,729	0,243	0,027	0,001

Problem 4. Proizvedeno 5000 metaka. Verovatnoća da je jedan kertridž neispravan . Kolika je vjerovatnoća da će u cijeloj seriji biti tačno 3 neispravna kertridža?

Rješenje. Primjenjivo Poissonova distribucija: Ova raspodjela se koristi za određivanje vjerovatnoće da, za vrlo velike

broj testova (masovnih testova), u svakom od kojih je vjerovatnoća događaja A vrlo mala, događaj A će se dogoditi k puta: , Gdje .

Ovdje je n = 5000, p = 0,0002, k = 3. Nalazimo , a zatim željenu vjerovatnoću: .

Problem 5. Prilikom pucanja do prvog pogotka sa vjerovatnoćom pogotka p = 0,6 pri ispaljivanju, potrebno je pronaći vjerovatnoću da će doći do pogotka pri trećem metku.

Rješenje. Primijenimo geometrijsku distribuciju: neka se izvode nezavisna ispitivanja, u svakom od kojih događaj A ima vjerovatnoću pojave p (i da se ne dogodi q = 1 – p). Test se završava čim se dogodi događaj A.

Pod takvim uslovima, verovatnoća da će se događaj A desiti u k-tom pokušaju određena je formulom: . Ovdje je p = 0,6; q = 1 – 0,6 = 0,4; k = 3. Dakle, .

Problem 6. Neka je zadan zakon distribucije slučajne varijable X:

Nađi očekivanu vrijednost.

Rješenje. .

Imajte na umu da je vjerovatnoća značenja matematičkog očekivanja prosječna vrijednost slučajne varijable.

Problem 7. Pronađite varijansu slučajne varijable X sa sledeći zakon distribucije:

Rješenje. Evo .

Zakon raspodjele za kvadratnu vrijednost X 2 :

X 2

Potrebna varijansa: .

Disperzija karakterizira mjeru odstupanja (disperzije) slučajne varijable od njenog matematičkog očekivanja.

Problem 8. Neka slučajna vrijednost je dato distribucijom:

			10m

Nađi je numeričke karakteristike.

Rješenje: m, m 2 ,

M 2 , m.

Za slučajnu varijablu X možemo reći bilo šta: njeno matematičko očekivanje je 6,4 m sa varijansom od 13,04 m 2 , ili – njegovo matematičko očekivanje je 6,4 m sa devijacijom od m. Druga formulacija je očito jasnija.

Zadatak 9. Slučajna vrijednost X dato funkcijom distribucije:
.

Pronađite vjerovatnoću da će kao rezultat testa vrijednost X uzeti vrijednost sadržanu u intervalu .

Rješenje. Vjerovatnoća da će X uzeti vrijednost iz datog intervala jednaka je prirastu integralne funkcije u ovom intervalu, tj. . U našem slučaju i , dakle

Zadatak 10. Diskretna slučajna varijabla X je dato zakonom o raspodjeli:

Pronađite funkciju distribucije F(x ) i nacrtajte ga.

Rješenje. Pošto je funkcija distribucije,

Za , To

at ;

Relevantan grafikon:

Problem 11. Kontinuirana slučajna varijabla X dato diferencijalnom funkcijom distribucije: .

Pronađite vjerovatnoću pogotka X po intervalu

Rješenje. Imajte na umu da je ovo poseban slučaj zakona eksponencijalne raspodjele.

Koristimo formulu: .

Zadatak 12. Pronađite numeričke karakteristike diskretne slučajne varijable X određene zakonom distribucije:

–5

X2:

X 2

. , Gdje – Laplace funkcija.

Vrijednosti ove funkcije nalaze se pomoću tablice.

U našem slučaju: .

Iz tabele nalazimo: , dakle:

Dat je niz distribucije diskretne slučajne varijable. Pronađite vjerovatnoću koja nedostaje i nacrtajte funkciju distribucije. Izračunajte matematičko očekivanje i varijansu ove veličine.

Slučajna varijabla X uzima samo četiri vrijednosti: -4, -3, 1 i 2. Uzima svaku od ovih vrijednosti sa određenom vjerovatnoćom. Budući da zbir svih vjerovatnoća mora biti jednak 1, vjerovatnoća koja nedostaje je jednaka:

0,3 + ? + 0,1 + 0,4 = 1,

Sastavimo funkciju distribucije slučajne varijable X. Poznato je da je funkcija distribucije , tada:

dakle,

Nacrtajmo funkciju F(x) .

Matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable jednako je zbiru proizvoda vrijednosti slučajne varijable i odgovarajuće vjerovatnoće, tj.

Pronalazimo varijansu diskretne slučajne varijable koristeći formulu:

PRIMJENA

Elementi kombinatorike

Ovdje: - faktorijel broja

Akcije na događaje

Događaj je svaka činjenica koja se može i ne mora dogoditi kao rezultat nekog iskustva.

Spajanje događaja A I IN- ovaj događaj WITH koji se sastoji od pojave ili događaja A, ili događaji IN, ili oba događaja istovremeno.

Oznaka:
;

Crossing Events A I IN- ovaj događaj WITH, koji se sastoji od istovremene pojave oba događaja.

Oznaka:
;

Klasična definicija vjerovatnoće

Vjerovatnoća događaja A je omjer broja eksperimenata
, povoljan za nastanak nekog događaja A, na ukupan broj eksperimenata
:

Formula za množenje vjerovatnoće

Vjerovatnoća događaja
može se pronaći pomoću formule:

- vjerovatnoća događaja A,

- vjerovatnoća događaja IN,

- vjerovatnoća događaja IN pod uslovom da je događaj A već se dogodilo.

Ako su događaji A i B nezavisni (nastanak jednog ne utiče na pojavu drugog), tada je vjerovatnoća događaja jednaka:

Formula za sabiranje vjerovatnoća

Vjerovatnoća događaja
može se pronaći pomoću formule:

Vjerovatnoća događaja A,

Vjerovatnoća događaja IN,

- vjerovatnoća istovremene pojave događaja A I IN.

Ako su događaji A i B nekompatibilni (ne mogu se dogoditi istovremeno), tada je vjerovatnoća događaja jednaka:

Formula ukupne vjerovatnoće

Neka događaj A može se dogoditi istovremeno sa jednim od događaja
,
, …,
- nazovimo ih hipotezama. Također poznat
- vjerovatnoća izvršenja i-th hipoteza i
- vjerovatnoća pojave događaja A prilikom izvršavanja i-th hipoteza. Zatim vjerovatnoća događaja A može se naći po formuli:

Bernulijeva shema

Neka postoji n nezavisnih testova. Vjerovatnoća nastanka (uspjeha) događaja A u svakom od njih je konstantan i jednak str, vjerovatnoća kvara (tj. da se događaj ne dogodi A) q = 1 - str. Zatim vjerovatnoća pojave k uspjeh u n testovi se mogu naći pomoću Bernoullijeve formule:

Najvjerovatniji broj uspjeha u Bernoullijevoj shemi, ovo je broj pojavljivanja određenog događaja koji ima najveću vjerovatnoću. Može se pronaći pomoću formule:

Slučajne varijable

diskretno kontinuirano

(na primjer, broj djevojčica u porodici sa 5 djece) (na primjer, vrijeme kada čajnik radi ispravno)

Numeričke karakteristike diskretnih slučajnih varijabli

Neka je diskretna veličina data nizom distribucije:

X
R

, , …, - vrijednosti slučajne varijable X;

, , …, su odgovarajuće vrijednosti vjerovatnoće.

Funkcija distribucije

Funkcija distribucije slučajne varijable X naziva se funkcija definirana na cijeloj brojevnoj pravoj i jednaka vjerovatnoća to X biće manje X:

Pitanja za ispit

Događaj. Operacije na slučajnim događajima.

Koncept vjerovatnoće događaja.

Pravila za sabiranje i množenje vjerovatnoća. Uslovne vjerovatnoće.

Formula ukupne vjerovatnoće. Bayesova formula.

Bernoullijeva šema.

Slučajna varijabla, njena funkcija distribucije i distribucijski redovi.

Osnovna svojstva funkcije distribucije.

Očekivana vrijednost. Osobine matematičkog očekivanja.

Disperzija. Osobine disperzije.

Gustoća raspodjele vjerovatnoće jednodimenzionalne slučajne varijable.

Vrste raspodjela: uniformna, eksponencijalna, normalna, binomna i Poissonova raspodjela.

Lokalne i integralne teoreme Moivre-Laplacea.

Zakon i funkcija distribucije sistema dvije slučajne varijable.

Gustoća distribucije sistema dvije slučajne varijable.

Uslovni zakoni distribucije, uslovno matematičko očekivanje.

Zavisne i nezavisne slučajne varijable. Koeficijent korelacije.

Uzorak. Obrada uzorka. Poligon i histogram frekvencije. Empirijska funkcija distribucije.

Koncept procjene parametara distribucije. Zahtjevi za ocjenjivanje. Interval povjerenja. Konstrukcija intervala za procjenu matematičkog očekivanja i standardne devijacije.

Statističke hipoteze. Kriterijumi za saglasnost.

X je dat zakonom distribucije vjerovatnoće: Tada je njegov prosjek standardna devijacija jednako ... 0,80

Rješenje:
Standardna devijacija slučajne varijable X definirana je kao , pri čemu se varijansa diskretne slučajne varijable može izračunati pomoću formule . Zatim , i

Rješenje:
A(nasumično izvučena kugla je crna) primjenjujemo formulu ukupne vjerovatnoće: Evo vjerovatnoće da je bela kugla prebačena iz prve urne u drugu urnu; – vjerovatnoća da je crna kugla prebačena iz prve urne u drugu urnu; – uslovna verovatnoća da je izvučena kugla crna ako je bela kugla prebačena iz prve urne u drugu; – uslovna vjerovatnoća da je izvučena kugla crna ako je crna kugla premještena iz prve urne u drugu.

Diskretna slučajna varijabla X je data zakonom distribucije vjerovatnoće: Zatim vjerovatnoća jednaka...

Rješenje:
Varijanca diskretne slučajne varijable može se izračunati pomoću formule. Onda

Ili . Rješavajući posljednju jednačinu, dobijamo dva korijena i

Tema: Određivanje vjerovatnoće
U seriji od 12 dijelova, ima 5 neispravnih dijelova. Tri dijela su odabrana nasumično. Tada je vjerovatnoća da među odabranim dijelovima nema odgovarajućih dijelova jednaka je...

Rješenje:
Za izračunavanje događaja A (nema odgovarajućih dijelova među odabranim dijelovima), koristimo formulu gdje n m– broj elementarnih ishoda povoljnih za nastanak događaja A. u našem slučaju ukupan broj mogući elementarni ishod jednak je broju načina na koje se tri detalja mogu izdvojiti iz 12 dostupnih, tj.

A ukupan broj povoljnih ishoda jednak je broju načina na koje se iz pet mogu izdvojiti tri neispravna dijela, tj.

Banka izdaje 44% svih kredita pravnim licima, a 56% fizičkim licima. Verovatnoća da entiteta neće otplatiti kredit na vreme, jednak 0,2; a za pojedinca ova vjerovatnoća je 0,1. Tada je vjerovatnoća da će sljedeći kredit biti otplaćen na vrijeme...

0,856

Rješenje:
Za izračunavanje vjerovatnoće događaja A(izdati kredit će biti otplaćen na vrijeme) primijeniti formulu ukupne vjerovatnoće: . Evo vjerovatnoće da je kredit izdat pravnom licu; – vjerovatnoća da je kredit izdat pojedincu; – uslovna vjerovatnoća da će kredit biti otplaćen na vrijeme ako je izdat pravnom licu; – uslovna vjerovatnoća da će kredit biti otplaćen na vrijeme ako je izdat fizičkom licu. Onda

Tema: Zakoni distribucije vjerovatnoće diskretnih slučajnih varijabli
Za diskretnu slučajnu varijablu X

0,655

Tema: Određivanje vjerovatnoće
Dice baca dva puta. Tada je vjerovatnoća da zbir ubačenih bodova nije manji od devet...

Rješenje:
Da bismo izračunali događaj (zbir ubačenih bodova bit će najmanje devet), koristimo formulu , gdje je ukupan broj mogućih elementarnih ishoda testa, i m– broj elementarnih ishoda povoljnih za nastanak događaja A. U našem slučaju to je moguće elementarni ishodi testa, od kojih su povoljni ishodi oblika , , , , , , , i , tj. dakle,

Tema: Zakoni distribucije vjerovatnoće diskretnih slučajnih varijabli

funkcija raspodjele vjerovatnoće ima oblik:

Tada vrijednost parametra može biti jednaka...

			0,7

			0,85
			0,6

Rješenje:
A-prioritet . Stoga, i . Ovi uslovi su zadovoljeni, na primer, vrednošću

Tema: Numeričke karakteristike slučajnih varijabli
Kontinuirana slučajna varijabla je određena funkcijom raspodjele vjerovatnoće:

Tada je njegova varijansa...

Rješenje:
Ova slučajna varijabla je ravnomjerno raspoređena u intervalu. Tada se njegova varijansa može izračunati pomoću formule . To je

Tema: Ukupna vjerovatnoća. Bayesove formule
Prva urna sadrži 6 crnih i 4 bijele kuglice. Druga urna sadrži 2 bijele i 8 crnih kuglica. Jedna lopta je uzeta iz nasumične urne, za koju se ispostavilo da je bijela. Tada je vjerovatnoća da je ova lopta izvučena iz prve urne...

Rješenje:
A(nasumično izvučena lopta je bijela) prema formuli ukupne vjerovatnoće: . Ovdje je vjerovatnoća da je lopta izvučena iz prve urne; je vjerovatnoća da je lopta izvučena iz druge urne; – uslovna vjerovatnoća da je izvučena kugla bijela ako je izvučena iz prve urne; je uslovna vjerovatnoća da je izvučena lopta bijela ako je izvučena iz druge urne.
Onda .
Sada izračunajmo uslovnu vjerovatnoću da je ova lopta izvučena iz prve urne koristeći Bayesovu formulu:

Tema: Numeričke karakteristike slučajnih varijabli
Diskretna slučajna varijabla X je dato zakonom distribucije vjerovatnoće:

Tada je njegova varijansa...

			7,56
			3,2
			3,36
			6,0

Rješenje:
Varijanca diskretne slučajne varijable može se izračunati pomoću formule

Tema: Zakoni distribucije vjerovatnoće diskretnih slučajnih varijabli

Rješenje:
A-prioritet . Onda
a) u , ,
b) na , ,
c) na , ,
d) u , ,
d) u , .
dakle,

Tema: Određivanje vjerovatnoće
Tačka se nasumično baca unutar kruga poluprečnika 4. Tada je vjerovatnoća da će tačka biti izvan kvadrata upisanog u krug je...

Rješenje:
Za izračunavanje događaja (među odabranim dijelovima nema neispravnih dijelova) koristimo formulu gdje n je ukupan broj mogućih elementarnih ishoda testa, i m– broj elementarnih ishoda povoljnih za nastanak događaja. U našem slučaju, ukupan broj mogućih elementarnih ishoda jednak je broju načina na koje se iz 12 dostupnih mogu izdvojiti tri detalja, tj. A ukupan broj povoljnih ishoda jednak je broju načina na koje se iz sedam mogu izdvojiti tri neispravna dijela, tj. dakle,

Tema: Ukupna vjerovatnoća. Bayesove formule

			0,57
			0,43
			0,55
			0,53

Rješenje:
Za izračunavanje vjerovatnoće događaja A
Onda

Tema: Zakoni distribucije vjerovatnoće diskretnih slučajnih varijabli
Diskretna slučajna varijabla je određena zakonom raspodjele vjerovatnoće:

Zatim vjerovatnoća jednaka...

Rješenje:
Koristimo formulu . Onda

Tema: Ukupna vjerovatnoća. Bayesove formule

			0,875
			0,125
			0,105
			0,375

Rješenje:
Prvo izračunajmo vjerovatnoću događaja A
.
.

Tema: Numeričke karakteristike slučajnih varijabli

Tada je njegovo matematičko očekivanje...

Rješenje:
Koristimo formulu . Onda .

Tema: Određivanje vjerovatnoće

Rješenje:

Tema: Numeričke karakteristike slučajnih varijabli
Kontinuirana slučajna varijabla je određena gustinom raspodjele vjerovatnoće . Zatim matematičko očekivanje a i standardna devijacija ove slučajne varijable jednaka je ...

Rješenje:
Gustina raspodjele vjerovatnoće normalno raspoređene slučajne varijable ima oblik , Gdje , . Zbog toga .

Tema: Zakoni distribucije vjerovatnoće diskretnih slučajnih varijabli
Diskretna slučajna varijabla je određena zakonom raspodjele vjerovatnoće:

Zatim vrijednosti a I b može biti jednako...

Rješenje:
Pošto je zbir vjerovatnoća mogućih vrijednosti jednak 1, onda je . Odgovor zadovoljava ovaj uslov: .

Tema: Određivanje vjerovatnoće
Manji krug poluprečnika 5 stavlja se u krug poluprečnika 8. Tada je verovatnoća da će tačka bačena nasumično u veći krug takođe pasti u manji krug je...

Rješenje:
Za izračunavanje vjerovatnoće željenog događaja koristimo formulu, gdje je površina manjeg kruga, a površina većeg kruga. dakle, .

Tema: Ukupna vjerovatnoća. Bayesove formule
Prva urna sadrži 3 crne i 7 bijelih kuglica. Druga urna sadrži 4 bijele i 5 crnih kuglica. Jedna lopta je prebačena iz prve urne u drugu urnu. Tada je vjerovatnoća da će kuglica izvučena nasumično iz druge urne biti bijela...

			0,47
			0,55
			0,35
			0,50

Rješenje:
Za izračunavanje vjerovatnoće događaja A(nasumično izvučena lopta je bela) primenite formulu ukupne verovatnoće: . Evo vjerovatnoće da je bela kugla prebačena iz prve urne u drugu urnu; – vjerovatnoća da je crna kugla prebačena iz prve urne u drugu urnu; – uslovna verovatnoća da je izvučena kugla bela ako je bela kugla prebačena iz prve urne u drugu; – uslovna vjerovatnoća da je izvučena kugla bijela ako se crna kugla pomjeri iz prve urne u drugu.
Onda

Tema: Zakoni distribucije vjerovatnoće diskretnih slučajnih varijabli
Za diskretnu slučajnu varijablu:

funkcija raspodjele vjerovatnoće ima oblik:

Tada vrijednost parametra može biti jednaka...

			0,7

			0,85
			0,6

ZADATAK N 10 prijavi grešku
Tema: Ukupna vjerovatnoća. Bayesove formule
Banka 70% svih kredita izdaje pravnim licima, a 30% fizičkim licima. Verovatnoća da pravno lice neće na vreme otplatiti kredit je 0,15; a za pojedinca ova vjerovatnoća je 0,05. Pristigla je poruka da kredit nije otplaćen. Tada je vjerovatnoća da pravno lice nije vratilo ovaj kredit...

			0,875
			0,125
			0,105
			0,375

Rješenje:
Prvo izračunajmo vjerovatnoću događaja A(izdati kredit neće biti otplaćen na vrijeme) prema formuli ukupne vjerovatnoće: . Evo vjerovatnoće da je kredit izdat pravnom licu; – vjerovatnoća da je kredit izdat licu; – uslovna vjerovatnoća da kredit neće biti otplaćen na vrijeme ako je izdat pravnom licu; – uslovna vjerovatnoća da kredit neće biti otplaćen na vrijeme ako je izdat fizičkom licu. Onda
.
Sada izračunajmo uslovnu vjerovatnoću da ovaj kredit nije otplatio pravno lice, koristeći Bayesovu formulu:
.

ZADATAK N 11 prijavi grešku
Tema: Određivanje vjerovatnoće
U seriji od 12 dijelova, ima 5 neispravnih dijelova. Tri dijela su odabrana nasumično. Tada je vjerovatnoća da među odabranim dijelovima nema odgovarajućih dijelova jednaka je...

Rješenje:
Za izračunavanje događaja (nema odgovarajućih dijelova među odabranim dijelovima), koristimo formulu gdje n je ukupan broj mogućih elementarnih ishoda testa, i m– broj elementarnih ishoda povoljnih za nastanak događaja. U našem slučaju, ukupan broj mogućih elementarnih ishoda jednak je broju načina na koje se iz 12 dostupnih mogu izdvojiti tri detalja, tj. A ukupan broj povoljnih ishoda jednak je broju načina na koje se iz pet mogu izdvojiti tri neispravna dijela, tj. dakle,

ZADATAK N 12 prijavi grešku
Tema: Numeričke karakteristike slučajnih varijabli
Kontinuirana slučajna varijabla je određena gustinom raspodjele vjerovatnoće:

Tada je njegova varijansa...

Rješenje:
Varijanca kontinuirane slučajne varijable može se izračunati pomoću formule

Onda

Tema: Zakoni distribucije vjerovatnoće diskretnih slučajnih varijabli
Diskretna slučajna varijabla je određena zakonom raspodjele vjerovatnoće:

Tada njena funkcija raspodjele vjerovatnoće ima oblik...

Rješenje:
A-prioritet . Onda
a) u , ,
b) na , ,
c) na , ,
d) u , ,
d) u , .
dakle,

Tema: Ukupna vjerovatnoća. Bayesove formule
Postoje tri urne koje sadrže 5 bijelih i 5 crnih kuglica i sedam urni koje sadrže 6 bijelih i 4 crne kugle. Jedna lopta se izvlači iz nasumične urne. Tada je vjerovatnoća da je ova lopta bela...

			0,57
			0,43
			0,55
			0,53

Rješenje:
Za izračunavanje vjerovatnoće događaja A(nasumično izvučena lopta je bela) primenite formulu ukupne verovatnoće: . Ovdje je vjerovatnoća da je lopta izvučena iz prve serije urni; – vjerovatnoća da je lopta izvučena iz druge serije urni; – uslovna vjerovatnoća da je izvučena loptica bijela ako je izvučena iz prve serije urni; – uslovna vjerovatnoća da je izvučena lopta bijela ako je izvučena iz druge serije urni.
Onda .

Tema: Zakoni distribucije vjerovatnoće diskretnih slučajnih varijabli
Diskretna slučajna varijabla je određena zakonom raspodjele vjerovatnoće:

Zatim vjerovatnoća jednaka...

Tema: Određivanje vjerovatnoće
Kocka se baca dvaput. Tada je vjerovatnoća da je zbir izvučenih bodova deset...

kao što je poznato, slučajna varijabla naziva se promjenjiva veličina koja može poprimiti određene vrijednosti ovisno o slučaju. Slučajne varijable označavaju velikim slovima latinica(X, Y, Z), a njihove vrijednosti su označene odgovarajućim malim slovima (x, y, z). Slučajne varijable se dijele na diskontinualne (diskretne) i kontinuirane.

Diskretna slučajna varijabla je slučajna varijabla koja uzima samo konačan ili beskonačan (prebrojiv) skup vrijednosti sa određenim nenultim vjerovatnoćama.

Zakon distribucije diskretne slučajne varijable je funkcija koja povezuje vrijednosti slučajne varijable sa njihovim odgovarajućim vjerovatnoćama. Zakon o raspodjeli može se specificirati na jedan od sljedećih načina.

1 . Zakon distribucije se može dati u tabeli:

gdje je λ>0, k = 0, 1, 2, … .

V) korišćenjem funkcija distribucije F(x) , koji za svaku vrijednost x određuje vjerovatnoću da će slučajna varijabla X poprimiti vrijednost manju od x, tj. F(x) = P(X< x).

Svojstva funkcije F(x)

3 . Zakon distribucije može se grafički specificirati – distributivni poligon (poligon) (vidi problem 3).

Imajte na umu da za rješavanje nekih problema nije potrebno poznavati zakon raspodjele. U nekim slučajevima, dovoljno je znati jedan ili više brojeva koji najviše odražavaju važne karakteristike zakon o distribuciji. To može biti broj koji ima značenje “prosječne vrijednosti” slučajne varijable ili broj koji pokazuje prosječnu veličinu odstupanja slučajne varijable od njene srednje vrijednosti. Brojevi ove vrste nazivaju se numeričkim karakteristikama slučajne varijable.

Osnovne numeričke karakteristike diskretne slučajne varijable :

Matematičko očekivanje (prosječna vrijednost) diskretne slučajne varijable M(X)=Σ x i p i.
Za binomnu distribuciju M(X)=np, za Poissonovu distribuciju M(X)=λ
Disperzija diskretna slučajna varijabla D(X)=M2 ili D(X) = M(X 2)− 2. Razlika X–M(X) naziva se odstupanjem slučajne varijable od njenog matematičkog očekivanja.
Za binomnu distribuciju D(X)=npq, za Poissonovu distribuciju D(X)=λ
Standardna devijacija (standardna devijacija) σ(X)=√D(X).

Primjeri rješavanja zadataka na temu "Zakon distribucije diskretne slučajne varijable"

Zadatak 1.

1000 oslobođeno srećke: za 5 njih je dobitak od 500 rubalja, za 10 – dobitak od 100 rubalja, za 20 – dobitak od 50 rubalja, za 50 – dobitak od 10 rubalja. Odrediti zakon distribucije vjerovatnoće slučajne varijable X - dobitak po listiću.

Rješenje. U skladu sa uslovima zadatka, moguće su sledeće vrednosti slučajne varijable X: 0, 10, 50, 100 i 500.

Broj tiketa bez dobitka je 1000 – (5+10+20+50) = 915, zatim P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

Slično, nalazimo sve ostale vjerovatnoće: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01 , P(X =500) = 5/1000=0,005. Predstavimo rezultujući zakon u obliku tabele:

Nađimo matematičko očekivanje vrijednosti X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

Zadatak 3.

Uređaj se sastoji od tri nezavisna radna elementa. Vjerovatnoća kvara svakog elementa u jednom eksperimentu je 0,1. Napraviti zakon raspodjele za broj neuspjelih elemenata u jednom eksperimentu, konstruirati poligon distribucije. Pronađite funkciju distribucije F(x) i nacrtajte je. Pronađite matematičko očekivanje, varijansu i standardnu devijaciju diskretne slučajne varijable.

Rješenje. 1. Diskretna slučajna varijabla X = (broj neuspjelih elemenata u jednom eksperimentu) ima sljedeće moguće vrijednosti: x 1 = 0 (nijedan element uređaja nije uspio), x 2 = 1 (jedan element nije uspio), x 3 = 2 ( dva elementa nisu uspjela) i x 4 =3 (tri elementa nisu uspjela).

Kvarovi elemenata su nezavisni jedan od drugog, vjerovatnoće kvara svakog elementa su jednake, stoga je primjenjiv Bernulijeva formula . S obzirom na to da prema uslovu, n=3, p=0,1, q=1-p=0,9, određujemo vjerovatnoće vrijednosti:
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0,9 3 = 0,729;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 = 3*0,1*0,9 2 = 0,243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3*0,1 2 *0,9 = 0,027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 =0,1 3 = 0,001;
Provjerite: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Dakle, željeni zakon binomne distribucije X ima oblik:

Crtamo moguće vrijednosti x i duž ose apscise, a odgovarajuće vjerovatnoće p i duž ordinatne ose. Konstruirajmo tačke M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001). Povezivanjem ovih tačaka pravim segmentima dobijamo željeni poligon distribucije.

3. Nađimo funkciju raspodjele F(x) = R(H

Za x ≤ 0 imamo F(x) = R(H<0) = 0;
za 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
za 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
za 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
za x > 3 postojaće F(x) = 1, jer događaj je pouzdan.

Grafikon funkcije F(x)

4. Za binomnu distribuciju X:
- matematičko očekivanje M(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- varijansa D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- standardna devijacija σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.

Definicija 2.3. Slučajna varijabla, označena sa X, naziva se diskretnom ako poprima konačan ili prebrojiv skup vrijednosti, tj. skup – konačan ili prebrojiv skup.

Razmotrimo primjere diskretnih slučajnih varijabli.

1. Dva novčića se bacaju jednom. Broj amblema u ovom eksperimentu je slučajna varijabla X. Njegove moguće vrijednosti su 0,1,2, tj. – konačan skup.

2. Zapisuje se broj poziva hitne pomoći u datom vremenskom periodu. Slučajna vrijednost X– broj poziva. Njegove moguće vrijednosti su 0, 1, 2, 3, ..., tj. =(0,1,2,3,...) je prebrojiv skup.

3. U grupi je 25 učenika. Određenog dana bilježi se broj učenika koji su došli na nastavu - slučajna varijabla X. Njegove moguće vrijednosti: 0, 1, 2, 3, ...,25 tj. =(0, 1, 2, 3, ..., 25).

Iako svih 25 ljudi u primjeru 3 ne može propustiti časove, slučajna varijabla X može uzeti ovu vrijednost. To znači da vrijednosti slučajne varijable imaju različite vjerovatnoće.

Razmotrimo matematički model diskretne slučajne varijable.

Neka se izvede slučajni eksperiment, koji odgovara konačnom ili prebrojivom prostoru elementarnih događaja. Razmotrimo preslikavanje ovog prostora na skup realnih brojeva, tj. dodijelimo svakom elementarnom događaju određeni realni broj , . Skup brojeva može biti konačan ili prebrojiv, tj. ili

Sistem podskupova, koji uključuje bilo koji podskup, uključujući i onaj sa jednom tačkom, formira -algebru numeričkog skupa ( – konačan ili prebrojiv).

Budući da je svaki elementarni događaj povezan sa određenim vjerovatnoćama p i(u slučaju konačnog svega), i , tada se svaka vrijednost slučajne varijable može povezati s određenom vjerovatnoćom p i, takav da .

Neka X je proizvoljan realan broj. Označimo R X (x) vjerovatnoća da je slučajna varijabla X uzeo vrijednost jednaku X, tj. P X (x)=P(X=x). Zatim funkcija R X (x) može uzeti pozitivne vrijednosti samo za te vrijednosti X, koji pripadaju konačnom ili prebrojivom skupu , a za sve ostale vrijednosti vjerovatnoća ove vrijednosti P X (x) = 0.

Dakle, definirali smo skup vrijednosti, -algebru kao sistem bilo kojeg podskupa i za svaki događaj ( X = x) uporedio vjerovatnoću za bilo koje, tj. konstruisao prostor verovatnoće.

Na primjer, prostor elementarnih događaja eksperimenta koji se sastoji od dva puta bacanja simetričnog novčića sastoji se od četiri elementarna događaja: , gdje je

Kada je novčić dvaput bačen, pojavila su se dva repa; kada je novčić dva puta bačen, pala su dva grba;

Prilikom prvog bacanja novčića pojavio se haš, a pri drugom grb;

Prilikom prvog bacanja novčića pojavio se grb, a na drugom znak heš.

Neka je slučajna varijabla X– broj ispadanja rešetke. Definiran je na i skup njegovih vrijednosti . Svi mogući podskupovi, uključujući i one sa jednom tačkom, čine algebru, tj. =(Ø, (1), (2), (0,1), (0,2), (1,2), (0,1,2)).

Vjerovatnoća događaja ( X=x i}, і = 1,2,3, definišemo kao vjerovatnoću pojave događaja koji je njegov prototip:

Dakle, na elementarne događaje ( X = xi) postaviti numeričku funkciju R X, Dakle .

Definicija 2.4. Zakon distribucije diskretne slučajne varijable je skup parova brojeva (x i, r i), gdje su x i moguće vrijednosti slučajne varijable, a r i vjerovatnoće s kojima ona uzima ove vrijednosti, i .

Najjednostavniji oblik specificiranja zakona distribucije diskretne slučajne varijable je tabela koja navodi moguće vrijednosti slučajne varijable i odgovarajuće vjerovatnoće:

			…		…
			…		…

Takva tabela se zove serija distribucije. Da bi serija distribucije dobila više vizuelnog izgleda, prikazana je grafički: na osi Oh tačke x i i iz njih povucite okomite dužine p i. Rezultirajuće tačke se povezuju i dobija se poligon, koji je jedan od oblika zakona raspodele (slika 2.1).

Dakle, da biste naveli diskretnu slučajnu varijablu, morate navesti njene vrijednosti i odgovarajuće vjerovatnoće.

Primjer 2.2. Slot za gotovinu na mašini se aktivira svaki put kada se novčić ubaci sa vjerovatnoćom R. Jednom kada se aktivira, novčići se ne spuštaju. Neka X– broj novčića koji se moraju ubaciti prije nego što se aktivira utor za gotovinu na mašini. Konstruirajte seriju distribucije diskretne slučajne varijable X.

Rješenje. Moguće vrijednosti slučajne varijable X: x 1 = 1, x 2 = 2,..., x k = k, ... Nađimo vjerovatnoće ovih vrijednosti: p 1– vjerovatnoća da će prijemnik novca proraditi prvi put kada se spusti, i p 1 = p; p 2 – vjerovatnoća da će biti učinjena dva pokušaja. Da biste to uradili, potrebno je da: 1) primalac novca ne radi iz prvog pokušaja; 2) u drugom pokušaju je uspjelo. Vjerovatnoća ovog događaja je (1–r)r. Isto tako i tako dalje, . Raspon distribucije X poprimiće formu

	1	2	3	…	To	…
	R	qp	q 2 str		q r -1 str

Imajte na umu da su vjerovatnoće r k formiraju geometrijsku progresiju sa nazivnikom: 1–p=q, q<1, stoga se ova raspodjela vjerovatnoće naziva geometrijski.

Pretpostavimo dalje da je konstruisan matematički model eksperiment opisan diskretnom slučajnom varijablom X, i razmotriti izračunavanje vjerovatnoće pojave proizvoljnih događaja.

Neka proizvoljni događaj sadrži konačan ili prebrojiv skup vrijednosti x i: A= {x 1, x 2,..., x i, ...) .Događaj A može se predstaviti kao unija nespojivih događaja oblika: . Zatim, koristeći Kolmogorovljev aksiom 3 , dobijamo

budući da smo odredili da su vjerovatnoće nastanka događaja jednake vjerovatnoći nastanka događaja koji su njihovi prototipovi. To znači da je vjerovatnoća bilo kojeg događaja , , može se izračunati pomoću formule, budući da se ovaj događaj može predstaviti u obliku unije događaja, gdje .

Zatim funkcija distribucije F(x) = R(–<Х<х) nalazi se po formuli. Iz toga slijedi da je funkcija distribucije diskretne slučajne varijable X je diskontinuirana i raste u skokovima, tj. to je funkcija koraka (slika 2.2):

Ako je skup konačan, tada je broj članova u formuli konačan, ali ako je prebrojiv, onda je broj članova prebrojiv.

Primjer 2.3. Tehnički uređaj se sastoji od dva elementa koji rade nezavisno jedan od drugog. Vjerovatnoća otkaza prvog elementa za vrijeme T je 0,2, a vjerovatnoća otkaza drugog elementa je 0,1. Slučajna vrijednost X– broj neuspjelih elemenata tokom vremena T. Odrediti funkciju distribucije slučajne varijable i nacrtati njen graf.

Rješenje. Prostor elementarnih događaja eksperimenta koji se sastoji od proučavanja pouzdanosti dva elementa tehničkog uređaja određen je sa četiri elementarna događaja , , , : – oba elementa su operativna; – prvi element radi, drugi je neispravan; – prvi element je neispravan, drugi radi; – oba elementa su neispravna. Svaki od elementarnih događaja može se izraziti kroz elementarne događaje prostora I , gdje – prvi element je operativan; – prvi element nije uspio; – drugi element radi; – drugi element je otkazao. Zatim, i pošto elementi tehničkog uređaja rade nezavisno jedan od drugog, onda

8. Kolika je vjerovatnoća da vrijednosti diskretne slučajne varijable pripadaju intervalu?