Как было сказано ранее, примерами распределений вероятностей непрерывной случайной величины Х являются:
- равномерное распределение вероятностей непрерывной случайной величины;
- показательное распределение вероятностей непрерывной случайной величины;
- нормальное распределение вероятностей непрерывной случайной величины.
Дадим понятие равномерного и показательного законов распределения, формулы вероятности и числовые характеристики рассматриваемых функций.
| Показатель | Раномерный закон распределения | Показательный закон распределения |
|---|---|---|
| Определение | Равномерным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, плотность которого сохраняет постоянное значение на отрезке и имеет вид | Показательным (экспоненциальным) называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, которое описывается плотностью, имеющей вид |
 где λ – постоянная положительная величина |
||
| Функция распределения |  |
 |
| Вероятность попадания в интервал |  |
 |
| Математическое ожидание |  |
|
| Дисперсия |  |
|
| Среднее квадратическое отклонение |  |
Примеры решения задач по теме «Равномерный и показательный законы распределения»
Задача 1.
Автобусы идут строго по расписанию. Интервал движения 7 мин. Найти: а) вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус менее двух минут; б) вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус не менее трех минут; в) математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины X – времени ожидания пассажира.
Решение. 1. По условию задачи непрерывная случайная величина X={время ожидания пассажира} равномерно распределена между приходами двух автобусов. Длина интервала распределения случайной величины Х равна b-a=7, где a=0, b=7.
2. Время ожидания будет менее двух минут, если случайная величина X попадает в интервал (5;7).
Вероятность попадания в заданный интервал найдем по формуле:
Р(х 1 <Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a)
.
Р(5 < Х < 7) = (7-5)/(7-0) = 2/7 ≈ 0,286.
3. Время ожидания будет не менее трех минут (т.е. от трех до семи мин.), если случайная величина Х попадает в
интервал (0;4). Вероятность попадания в заданный интервал найдем по формуле:
Р(х 1 <Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a)
.
Р(0 < Х < 4) = (4-0)/(7-0) = 4/7 ≈ 0,571.
4. Математическое ожидание непрерывной, равномерно распределенной случайной величины X – времени ожидания пассажира, найдем по формуле: М(Х)=(a+b)/2 . М(Х) = (0+7)/2 = 7/2 = 3,5.
5. Среднее квадратическое отклонение непрерывной, равномерно распределенной случайной величины X – времени ожидания пассажира, найдем по формуле: σ(X)=√D=(b-a)/2√3 . σ(X)=(7-0)/2√3=7/2√3≈2,02.
Задача 2.
Показательное распределение задано при x ≥ 0 плотностью f(x) = 5e – 5x. Требуется: а) записать выражение для функции распределения; б) найти вероятность того, что в результате испытания X попадает в интервал (1;4); в) найти вероятность того, что в результате испытания X ≥ 2 ; г) вычислить M(X), D(X), σ(X).
Решение. 1. Поскольку по условию задано показательное распределение , то из формулы плотности распределения вероятностей случайной величины X получаем λ = 5. Тогда функция распределения будет иметь вид:
2. Вероятность того, что в результате испытания X попадает в интервал (1;4) будем находить
по формуле:
P(a < X < b) = e −λa − e −λb
.
P(1 < X < 4) = e −5*1 − e −5*4 = e −5 − e −20 .
3. Вероятность того, что в результате испытания X ≥ 2 будем находить по формуле:
P(a < X < b) = e −λa − e −λb при a=2, b=∞.
Р(Х≥2) = P(1< X < 4) = e −λ*2 − e −λ*∞ = e −2λ − e −∞ =
e −2λ - 0 = e −10 (т.к. предел e −х при х стремящемся к ∞ равен нулю).
4. Находим для показательного распределения:
- математическое ожидание по формуле M(X) =1/λ = 1/5 = 0,2;
- дисперсию по формуле D(X) = 1/ λ 2 = 1/25 = 0,04;
- среднее квадратическое отклонение по формуле σ(Х) = 1/λ = 1/5 = 1,2.
Распределение вероятностей непрерывной случайной величины X , принимающей все значения из отрезка , называется равномерным , если её плотность вероятности на этом отрезке постоянна, а вне его равна нулю. Таким образом, плотность вероятности непрерывной случайной величины X , распределённой равномерно на отрезке , имеет вид:
Определим математическое ожидание , дисперсию и для случайной величины с равномерным распределением.
, 
, 
.
Пример. Все значения равномерно распределённой случайной величины лежат на отрезке . Найти вероятность попадания случайной величины в промежуток (3;5) .
a=2, b=8, 
.
Биномиальное распределение
Пусть производится n испытаний, причём вероятность появления события A в каждом испытании равна p и не зависит от исхода других испытаний (независимые испытания). Так как вероятность наступления события A в одном испытании равна p , то вероятность его ненаступления равна q=1-p .
Пусть событие A наступило в n испытаниях m раз. Это сложное событие можно записать в виде произведения:
.
Тогда вероятность того, что при n испытаниях событие A наступит m раз , вычисляется по формуле:
или 
(1)
Формула (1) называется формулой Бернулли .
Пусть X – случайная величина, равная числу появлений события A в n испытаниях, которая принимает значения с вероятностями:
Полученный закон распределения случайной величины называется законом биномиального распределения .
| X | m | n | ||||
| P |
Математическое ожидание , дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайных величин, распределённых по биномиальному закону, определяются по формулам:
, , .
Пример. По мишени производятся три выстрела, причём вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,8. Рассматривается случайная величина X – число попаданий в мишень. Найти её закон распределения, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
p=0,8
, q=0,2
, n=3
, 
, , 
.
- вероятность 0 попаданий;
Вероятность одного попадания;
Вероятность двух попаданий;
- вероятность трёх попаданий.
Получаем закон распределения:
| X | ||||
| P | 0,008 | 0,096 | 0,384 | 0,512 |
Задачи
1. Монету бросают 7 раз. Найти вероятность того, что 4 раза она упадёт гербом вверх.
2. Монету бросают 8 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет не более трёх раз.
3. Вероятность попадания в цель при стрельбе из орудия p=0,6. Найти математическое ожидание общего числа попаданий, если будет произведено 10 выстрелов.
4. Найти математическое ожидание числа лотерейных билетов, на которые выпадут выигрыши, если приобретено 20 билетов, причём вероятность выигрыша по одному билету равна 0,3.
Равномерным считается распределение, при котором все значения случайной величины (в области ее существования, к примеру, в интервале ) равновероятны. Функция распределения для такой случайной величины имеет вид:
Плотность распределения: 
1
Рис. Графики функции распределения (слева) и плотности распределения (справа).
Равномерное распределение - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Равномерное распределение" 2017, 2018.
Основные дискретные распределения случайных величин Определение 1. Случайная величина Х, принимающая значения 1, 2, …, n, имеет равномерное распределение, если Pm = P(Х = m) = 1/n, m = 1, …, n. Очевидно, что. Рассмотрим следующую задачу.В урне имеется N шаров, из них M шаров белого... .
Законы распределения непрерывных случайных величин Определение 5. Непрерывная случайная величина Х, принимающая значение на отрезке , имеет равномерное распределение, если плотность распределения имеет вид. (1) Нетрудно убедиться, что, . Если случайная величина... .
Равномерным считается распределение, при котором все значения случайной величины (в области ее существования, например, в интервале ) равновероятны. Функция распределения для такой случайной величины имеет вид: Плотность распределения: F(x) f(x) 1 0 a b x 0 a b x ... .
Нормальный законы распределения Равномерный, показательный и Функция плотности вероятности равномерного закона такова: (10.17) где a и b – данные числа, a < b; a и b – это параметры равномерного закона. Найдем функцию распределения F(x)... .
Равномерное распределение вероятностей является простейшим и может быть как дискретным, так и непрерывным. Дискретное равномерное распределение – это такое распределение, для которого вероятность каждого из значений СВ одна и та же, то есть: где N – количество... .
Определение 16.Непрерывная случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке , если на этом отрезке плотность распределения данной случайной величины постоянна, а вне его равна нулю, то есть (45) График плотности для равномерного распределения изображен...
С помощью которого моделируются многие реальные процессы. И самый такой распространённый пример – это график движения общественного транспорта. Предположим, что некий автобус (троллейбус / трамвай) ходит с интервалом в 10 минут, и вы в случайный момент времени подошли к остановке. Какова вероятность того, что автобус подойдёт в течение 1 минуты? Очевидно, 1/10-я. А вероятность того, что придётся ждать 4-5 минут? Тоже . А вероятность того, что автобус придётся ждать более 9 минут? Одна десятая!
Рассмотрим некоторый конечный
промежуток, пусть для определённости это будет отрезок . Если случайная величина
обладает постоянной
плотностью распределения вероятностей
на данном отрезке и нулевой плотностью вне него, то говорят, что она распределена равномерно
. При этом функция плотности будет строго определённой:
И в самом деле, если длина отрезка (см. чертёж)
составляет , то значение неизбежно равно – дабы получилась единичная площадь прямоугольника, и было соблюдено известное свойство
:
Проверим его формально:
, ч.т.п. С вероятностной точки зрения это означает, что случайная величина достоверно
примет одно из значений отрезка …, эх, становлюсь потихоньку занудным старикашкой =)
Суть равномерности состоит в том, что какой бы внутренний промежуток фиксированной длины мы ни рассмотрели (вспоминаем «автобусные» минуты) – вероятность того, что случайная величина примет значение из этого промежутка будет одной и той же. На чертеже я заштриховал троечку таких вероятностей – ещё раз заостряю внимание, что они определяются площадями , а не значениями функции !
Рассмотрим типовое задание:
Пример 1
Непрерывная случайная величина задана своей плотностью распределения:
Найти константу , вычислить и составить функцию распределения. Построить графики . Найти
Иными словами, всё, о чём только можно было мечтать:)
Решение
: так как на интервале (конечном промежутке)
, то случайная величина имеет равномерное распределение, и значение «цэ» можно отыскать по прямой формуле 
. Но лучше общим способом – с помощью свойства:
…почему лучше? Чтобы не было лишних вопросов;)
Таким образом, функция плотности:
Выполним чертёж. Значения невозможны
, и поэтому жирные точки ставятся внизу:
В качестве экспресс-проверки вычислим площадь прямоугольника:
, ч.т.п.
Найдём математическое ожидание , и, наверное, вы уже догадываетесь, чему оно равно. Вспоминаем «10-минутный» автобус: если случайным образом подходить к остановке много-много дней упаси, то в среднем его придётся ждать 5 минут.
Да, именно так – матожидание должно находиться ровно посерединке «событийного» промежутка:
, как и предполагалось.
Дисперсию вычислим по формуле
. И вот тут нужен глаз да глаз при вычислении интеграла:
Таким образом, дисперсия
: 
Составим функцию распределения
. Здесь ничего нового:
1) если , то и 
;
2) если , то и:
3) и, наконец, при 
, поэтому:
В результате:
Выполним чертёж:
На «живом» промежутке функция распределения растёт
линейно
, и это ещё один признак, что перед нами равномерно распределённая случайная величина. Ну, ещё бы, ведь производная
линейной функции
– есть константа.
Требуемую вероятность можно вычислить двумя способами, с помощью найденной функции распределения:
либо с помощью определённого интеграла от плотности:
Кому как нравится.
И здесь ещё можно записать ответ
: ,
, графики построены по ходу решения.
…«можно», потому что за его отсутствие обычно не карают. Обычно;)
Для вычисления и равномерной случайной величины существуют специальные формулы, которые я предлагаю вам вывести самостоятельно:
Пример 2
Непрерывная случайная величина задана плотностью 
.
Вычислить математическое ожидание и дисперсию. Результаты максимально упростить (формулы сокращённого умножения в помощь) .
Полученные формулы удобно использовать для проверки, в частности, проверьте только что прорешанную задачу, подставив в них конкретные значения «а» и «б». Краткое решение внизу страницы.
И в заключение урока мы разберём парочку «текстовых» задач:
Пример 3
Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания прибора округляются до ближайшего целого деления. Считая, что погрешности округлений распределены равномерно, найти вероятность того, что при очередном измерении она не превзойдёт 0,04.
Для лучшего понимания решения представим, что это какой-нибудь механический прибор со стрелкой, например, весы с ценой деления 0,2 кг, и нам предстоит взвесить кота в мешке. Но не в целях выяснить его упитанность – сейчас будет важно, ГДЕ между двумя соседними делениями остановится стрелка.
Рассмотрим случайную величину – расстояние стрелки от ближайшего левого деления. Или от ближайшего правого, это не принципиально.
Составим функцию плотности распределения вероятностей:
1) Так как расстояние не может быть отрицательным, то на интервале . Логично.
2) Из условия следует, что стрелка весов с равной вероятностью
может остановиться в любом месте между делениями*
, включая сами деления, и поэтому на промежутке :
* Это существенное условие. Так, например, при взвешивании кусков ваты или килограммовых пачек соли равномерность будет соблюдаться на куда более узких промежутках.
3) И поскольку расстояние от БЛИЖАЙШЕГО левого деления не может быть больше, чем 0,2, то при тоже равна нулю.
Таким образом:
Следует отметить, что о функции плотности нас никто не спрашивал, и её полное построения я привёл исключительно в познавательных цепях. При чистовом оформлении задачи достаточно записать только 2-й пункт.
Теперь ответим на вопрос задачи. Когда погрешность округления до ближайшего деления не превзойдёт 0,04? Это произойдёт тогда, когда стрелка остановится не далее чем на 0,04 от левого деления справа
или
не далее чем на 0,04 от правого деления слева
. На чертеже я заштриховал соответствующие площади:
Осталось найти эти площади с помощью интегралов
. В принципе, их можно вычислить и «по-школьному» (как площади прямоугольников), но простота не всегда находит понимание;)
По теореме сложения вероятностей несовместных событий
:
– вероятность того, что ошибка округления не превзойдёт 0,04 (40 грамм для нашего примера)
Легко видеть, что максимально возможная погрешность округления составляет 0,1 (100 грамм) и поэтому вероятность того, что ошибка округления не превзойдёт 0,1 равна единице.
Ответ : 0,4
В других источниках информации встречаются альтернативные объяснения / оформление этой задачи, и я выбрал вариант, который показался мне наиболее понятным. Особое внимание нужно обратить на то, что в условии речь может идти о погрешностях НЕ округлений, а о случайных погрешностях измерений, которые, как правило (но не всегда) , распределены по нормальному закону . Таким образом, всего лишь одно слово может в корне изменить решение! Будьте начеку и вникайте в смысл.
И коль скоро всё идёт по кругу, то ноги нас приносят на ту же автобусную остановку:
Пример 4
Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию и интервалом 7 минут. Составить функцию плотности случайной величины – времени ожидании очередного автобуса пассажиром, который наудачу подошёл к остановке. Найти вероятность того, что он будет ждать автобус не более трёх минут. Найти функцию распределения и пояснить её содержательный смысл.
В качестве примера непрерывной случайной величины рассмотрим случайную величину X, равномерно распределенную на интервале (a; b). Говорят, что случайная величина X равномерно распределена на промежутке (a; b), если ее плотность распределения непостоянна на этом промежутке:
Из условия нормировки определим значение константы c . Площадь под кривой плотности распределения должна быть равна единице, но в нашем случае - это площадь прямоугольника с основанием (b - α) и высотой c (рис. 1).
Рис. 1 Плотность равномерного распределения
Отсюда находим значение постоянной c:
Итак, плотность равномерно распределенной случайной величины равна
Найдем теперь функцию распределения по формуле:
1) для 
2) для
3) для 0+1+0=1.
Таким образом,
Функция распределения непрерывна и не убывает (рис. 2).
Рис. 2 Функция распределения равномерно распределенной случайной величины
Найдем математическое ожидание равномерно распределенной случайной величины по формуле:
Дисперсия равномерного распределения рассчитывается по формуле и равна
Пример №1
. Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0.2 . Показания прибора округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка: а) меньшая 0.04 ; б) большая 0.02
Решение. Ошибка округления есть случайная величина, равномерно распределенная на промежутке между соседними целыми делениями. Рассмотрим в качестве такого деления интервал (0; 0,2) (рис. а). Округление может проводиться как в сторону левой границы - 0, так и в сторону правой - 0,2, значит, ошибка, менее либо равная 0,04, может быть сделана два раза, что необходимо учесть при подсчете вероятности:
P = 0,2 + 0,2 = 0,4
Для второго случая величина ошибки может превышать 0,02 также с обеих границ деления, то есть она может быть либо больше 0,02, либо меньше 0,18.
Тогда вероятность появления такой ошибки:
Пример №2 . Предполагалось, что о стабильности экономической обстановки в стране (отсутствии войн, стихийных бедствий и т. д.) за последние 50 лет можно судить по характеру распределения населения по возрасту: при спокойной обстановке оно должно быть равномерным . В результате проведенного исследования, для одной из стран были получены следующие данные.
Имеются ли основания полагать, что в стране была нестабильная обстановка?Решение проводим с помощью калькулятора Проверка гипотез . Таблица для расчета показателей.
| Группы | Середина интервала, x i | Кол-во, f i | x i * f i | Накопленная частота, S | |x - x ср |*f | (x - x ср) 2 *f | Частота, f i /n |
| 0 - 10 | 5 | 0.14 | 0.7 | 0.14 | 5.32 | 202.16 | 0.14 |
| 10 - 20 | 15 | 0.09 | 1.35 | 0.23 | 2.52 | 70.56 | 0.09 |
| 20 - 30 | 25 | 0.1 | 2.5 | 0.33 | 1.8 | 32.4 | 0.1 |
| 30 - 40 | 35 | 0.08 | 2.8 | 0.41 | 0.64 | 5.12 | 0.08 |
| 40 - 50 | 45 | 0.16 | 7.2 | 0.57 | 0.32 | 0.64 | 0.16 |
| 50 - 60 | 55 | 0.13 | 7.15 | 0.7 | 1.56 | 18.72 | 0.13 |
| 60 - 70 | 65 | 0.12 | 7.8 | 0.82 | 2.64 | 58.08 | 0.12 |
| 70 - 80 | 75 | 0.18 | 13.5 | 1 | 5.76 | 184.32 | 0.18 |
| 1 | 43 | 20.56 | 572 | 1 |
Средняя взвешенная
Показатели вариации .
Абсолютные показатели вариации .
Размах вариации - разность между максимальным и минимальным значениями признака первичного ряда.
R = X max - X min
R = 70 - 0 = 70
Дисперсия - характеризует меру разброса около ее среднего значения (мера рассеивания, т.е. отклонения от среднего).
Среднее квадратическое отклонение .
Каждое значение ряда отличается от среднего значения 43 не более, чем на 23.92
Проверка гипотез о виде распределения .
4. Проверка гипотезы о равномерном распределении генеральной совокупности.
Для того чтобы проверить гипотезу о равномерном распределении X,т.е. по закону: f(x) = 1/(b-a) в интервале (a,b)
надо:
1. Оценить параметры a и b - концы интервала, в котором наблюдались возможные значения X, по формулам (через знак * обозначены оценки параметров):
2. Найти плотность вероятности предполагаемого распределения f(x) = 1/(b * - a *)
3. Найти теоретические частоты:
n 1 = nP 1 = n = n*1/(b * - a *)*(x 1 - a *)
n 2 = n 3 = ... = n s-1 = n*1/(b * - a *)*(x i - x i-1)
n s = n*1/(b * - a *)*(b * - x s-1)
4. Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона, приняв число степеней свободы k = s-3, где s - число первоначальных интервалов выборки; если же было произведено объединение малочисленных частот, следовательно, и самих интервалов, то s - число интервалов, оставшихся после объединения.
Решение:
1. Найдем оценки параметров a * и b * равномерного распределения по формулам:
2. Найдем плотность предполагаемого равномерного распределения:
f(x) = 1/(b * - a *) = 1/(84.42 - 1.58) = 0.0121
3. Найдем теоретические частоты:
n 1 = n*f(x)(x 1 - a *) = 1 * 0.0121(10-1.58) = 0.1
n 8 = n*f(x)(b * - x 7) = 1 * 0.0121(84.42-70) = 0.17
Остальные n s будут равны:
n s = n*f(x)(x i - x i-1)
| i | n i | n * i | n i - n * i | (n i - n* i) 2 | (n i - n * i) 2 /n * i |
| 1 | 0.14 | 0.1 | 0.0383 | 0.00147 | 0.0144 |
| 2 | 0.09 | 0.12 | -0.0307 | 0.000943 | 0.00781 |
| 3 | 0.1 | 0.12 | -0.0207 | 0.000429 | 0.00355 |
| 4 | 0.08 | 0.12 | -0.0407 | 0.00166 | 0.0137 |
| 5 | 0.16 | 0.12 | 0.0393 | 0.00154 | 0.0128 |
| 6 | 0.13 | 0.12 | 0.0093 | 8.6E-5 | 0.000716 |
| 7 | 0.12 | 0.12 | -0.000701 | 0 | 4.0E-6 |
| 8 | 0.18 | 0.17 | 0.00589 | 3.5E-5 | 0.000199 |
| Итого | 1 | 0.0532 |
Поэтому критическая область для этой статистики всегда правосторонняя: }