Основы решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка (ЛНДУ-2) с постоянными коэффициентами (ПК)
ЛНДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами $p$ и $q$ имеет вид $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$, где $f\left(x\right)$ - непрерывная функция.
В отношении ЛНДУ 2-го с ПК справедливы два следующих утверждения.
Предположим, что некоторая функция $U$ является произвольным частным решением неоднородного дифференциального уравнения. Предположим также, что некоторая функция $Y$ является общим решением (ОР) соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения (ЛОДУ) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$. Тогда ОР ЛНДУ-2 равно сумме указанных частного и общего решений, то есть $y=U+Y$.
Если правая часть ЛНДУ 2-го порядка представляет собой сумму функций, то есть $f\left(x\right)=f_{1} \left(x\right)+f_{2} \left(x\right)+...+f_{r} \left(x\right)$, то сначала можно найти ЧР $U_{1} ,U_{2} ,...,U_{r} $, которые соответствуют каждой из функций $f_{1} \left(x\right),f_{2} \left(x\right),...,f_{r} \left(x\right)$, а уже после этого записать ЧР ЛНДУ-2 в виде $U=U_{1} +U_{2} +...+U_{r} $.
Решение ЛНДУ 2-го порядка с ПК
Очевидно, что вид того или иного ЧР $U$ данного ЛНДУ-2 зависит от конкретного вида его правой части $f\left(x\right)$. Простейшие случаи поиска ЧР ЛНДУ-2 сформулированы в виде четырех следующих правил.
Правило № 1.
Правая часть ЛНДУ-2 имеет вид $f\left(x\right)=P_{n} \left(x\right)$, где $P_{n} \left(x\right)=a_{0} \cdot x^{n} +a_{1} \cdot x^{n-1} +...+a_{n-1} \cdot x+a_{n} $, то есть называется многочленом степени $n$. Тогда его ЧР $U$ ищут в виде $U=Q_{n} \left(x\right)\cdot x^{r} $, где $Q_{n} \left(x\right)$ - другой многочлен той же степени, что и $P_{n} \left(x\right)$, а $r$ - количество корней характеристического уравнения соответствующего ЛОДУ-2, равных нулю. Коэффициенты многочлена $Q_{n} \left(x\right)$ находят методом неопределенных коэффициентов (НК).
Правило № 2.
Правая часть ЛНДУ-2 имеет вид $f\left(x\right)=e^{\alpha \cdot x} \cdot P_{n} \left(x\right)$, где $P_{n} \left(x\right)$ представляет собой многочлен степени $n$. Тогда его ЧР $U$ ищут в виде $U=Q_{n} \left(x\right)\cdot x^{r} \cdot e^{\alpha \cdot x} $, где $Q_{n} \left(x\right)$ - другой многочлен той же степени, что и $P_{n} \left(x\right)$, а $r$ - количество корней характеристического уравнения соответствующего ЛОДУ-2, равных $\alpha $. Коэффициенты многочлена $Q_{n} \left(x\right)$ находят методом НК.
Правило № 3.
Правая часть ЛНДУ-2 имеет вид $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right)$, где $a$, $b$ и $\beta $ - известные числа. Тогда его ЧР $U$ ищут в виде $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right)\right)\cdot x^{r} $, где $A$ и $B$ - неизвестные коэффициенты, а $r$ - количество корней характеристического уравнения соответствующего ЛОДУ-2, равных $i\cdot \beta $. Коэффициенты $A$ и $B$ находят методом НК.
Правило № 4.
Правая часть ЛНДУ-2 имеет вид $f\left(x\right)=e^{\alpha \cdot x} \cdot \left$, где $P_{n} \left(x\right)$ - многочлен степени $n$, а $P_{m} \left(x\right)$ - многочлен степени $m$. Тогда его ЧР $U$ ищут в виде $U=e^{\alpha \cdot x} \cdot \left\cdot x^{r} $, где $Q_{s} \left(x\right)$ и $R_{s} \left(x\right)$ - многочлены степени $s$, число $s$ - максимальное из двух чисел $n$ и $m$, а $r$ - количество корней характеристического уравнения соответствующего ЛОДУ-2, равных $\alpha +i\cdot \beta $. Коэффициенты многочленов $Q_{s} \left(x\right)$ и $R_{s} \left(x\right)$ находят методом НК.
Метод НК состоит в применении следующего правила. Для того чтобы найти неизвестные коэффициенты многочлена, которые входят в состав частного решения неоднородного дифференциального уравнения ЛНДУ-2, необходимо:
- подставить ЧР $U$, записанное в общем виде, в левую часть ЛНДУ-2;
- в левой части ЛНДУ-2 выполнить упрощения и сгруппировать члены с одинаковыми степенями $x$;
- в полученном тождестве приравнять коэффициенты при членах с одинаковыми степенями $x$ левой и правой частей;
- решить полученную систему линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов.
Пример 1
Задача: найти ОР ЛНДУ-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^{3\cdot x} $. Найти также ЧР, удовлетворяющее начальным условиям $y=6$ при $x=0$ и $y"=1$ при $x=0$.
Записываем соответствующее ЛОДУ-2: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.
Характеристическое уравнение: $k^{2} -3\cdot k-18=0$. Корни характеристического уравнения: $k_{1} =-3$, $k_{2} =6$. Эти корни действительны и различны. Таким образом, ОР соответствующего ЛОДУ-2 имеет вид: $Y=C_{1} \cdot e^{-3\cdot x} +C_{2} \cdot e^{6\cdot x} $.
Правая часть данного ЛНДУ-2 имеет вид $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^{3\cdot x} $. В ней необходимо рассматривать коэффициент показателя степени экспоненты $\alpha =3$. Этот коэффициент не совпадает ни с одним из корней характеристического уравнения. Поэтому ЧР данного ЛНДУ-2 имеет вид $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^{3\cdot x} $.
Будем искать коэффициенты $A$, $B$ методом НК.
Находим первую производную ЧР:
$U"=\left(A\cdot x+B\right)^{{"} } \cdot e^{3\cdot x} +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left(e^{3\cdot x} \right)^{{"} } =$
$=A\cdot e^{3\cdot x} +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^{3\cdot x} =\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^{3\cdot x} .$
Находим вторую производную ЧР:
$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^{{"} } \cdot e^{3\cdot x} +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^{3\cdot x} \right)^{{"} } =$
$=3\cdot A\cdot e^{3\cdot x} +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^{3\cdot x} =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^{3\cdot x} .$
Подставляем функции $U""$, $U"$ и $U$ вместо $y""$, $y"$ и $y$ в данное ЛНДУ-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^{3\cdot x}. $ При этом, поскольку экспонента $e^{3\cdot x} $ входит как множитель во все составляющие, то её можно опустить. Получаем:
$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$
Выполняем действия в левой части полученного равенства:
$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$
Применяем метод НК. Получаем систему линейных уравнений с двумя неизвестными:
$-18\cdot A=36;$
$3\cdot A-18\cdot B=12.$
Решение этой системы таково: $A=-2$, $B=-1$.
ЧР $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^{3\cdot x} $ для нашей задачи выглядит следующим образом: $U=\left(-2\cdot x-1\right)\cdot e^{3\cdot x} $.
ОР $y=Y+U$ для нашей задачи выглядит следующим образом: $y=C_{1} \cdot e^{-3\cdot x} +C_{2} \cdot e^{6\cdot x} +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot e^{3\cdot x} $.
С целью поиска ЧР, удовлетворяющего заданным начальным условиям, находим производную $y"$ ОР:
$y"=-3\cdot C_{1} \cdot e^{-3\cdot x} +6\cdot C_{2} \cdot e^{6\cdot x} -2\cdot e^{3\cdot x} +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^{3\cdot x} .$
Подставляем в $y$ и $y"$ начальные условия $y=6$ при $x=0$ и $y"=1$ при $x=0$:
$6=C_{1} +C_{2} -1; $
$1=-3\cdot C_{1} +6\cdot C_{2} -2-3=-3\cdot C_{1} +6\cdot C_{2} -5.$
Получили систему уравнений:
$C_{1} +C_{2} =7;$
$-3\cdot C_{1} +6\cdot C_{2} =6.$
Решаем её. Находим $C_{1} $ по формуле Крамера, а $C_{2} $ определяем из первого уравнения:
$C_{1} =\frac{\left|\begin{array}{cc} {7} & {1} \\ {6} & {6} \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc} {1} & {1} \\ {-3} & {6} \end{array}\right|} =\frac{7\cdot 6-6\cdot 1}{1\cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1} =\frac{36}{9} =4; C_{2} =7-C_{1} =7-4=3.$
Таким образом, ЧР данного дифференциального уравнения имеет вид: $y=4\cdot e^{-3\cdot x} +3\cdot e^{6\cdot x} +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot e^{3\cdot x} $.
На лекции изучаются ЛНДУ – линейные неоднородные дифференциальные уравнения. Рассматривается структура общего решения, решение ЛНДУ методом вариации произвольных постоянных, решение ЛНДУ с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида. Рассматриваемые вопросы применяются при изучении вынужденных колебаний в физике, электротехнике и электронике, теории автоматического управления.
1. Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения 2 порядка.
Рассмотрим сначала линейное неоднородное уравнение произвольного порядка:
С учетом обозначения можно записать:
При этом будем полагать, что коэффициенты и правая часть этого уравнения непрерывны на некотором интервале.
Теорема. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения в некоторой области есть сумма любого его решения и общего решения соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения.
Доказательство. Пусть Y – некоторое решение неоднородного уравнения.
Тогда при подстановке этого решения в исходное уравнение получаем тождество:
Пусть
- фундаментальная система решений
линейного однородного уравнения
.
Тогда общее решение однородного уравнения
можно записать в виде:
В частности, для линейного неоднородного дифференциального уравнения 2 порядка структура общего решения имеет вид:
где
- фундаментальная система решений
соответствующего однородного уравнения,
а
- какое-либо частное решение неоднородного
уравнения.
Таким образом, для решения линейного неоднородного дифференциального уравнения необходимо найти общее решение соответствующего однородного уравнения и каким- то образом отыскать одно частное решение неоднородного уравнения. Обычно оно находится подбором. Способы подбора частного решения рассмотрим в следующих вопросах.
2. Метод вариации
На практике удобно применять метод вариации произвольных постоянных.
Для этого сначала находят общее решение соответствующего однородного уравнения в виде:
Затем, полагая коэффициенты C i функциями от х , ищется решение неоднородного уравнения:
Можно доказать, что для нахождения функций C i (x ) надо решить систему уравнений:
Пример.
Решить уравнение
Решаем
линейное однородное уравнение
Решение неоднородного уравнения будет иметь вид:
Составляем систему уравнений:
Решим эту систему:
Из соотношения найдем функциюА(х).
Теперь находим В(х).
Подставляем полученные значения в формулу общего решения неоднородного уравнения:
Окончательный
ответ:
Вообще говоря, метод вариации произвольных постоянных пригоден для нахождения решений любого линейного неоднородного уравнения. Но т.к. нахождение фундаментальной системы решений соответствующего однородного уравнения может быть достаточно сложной задачей, этот метод в основном применяется для неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами.
3. Уравнения с правой частью специального вида
Представляется возможным представить вид частного решения в зависимости от вида правой части неоднородного уравнения.
Различают следующие случаи:
I. Правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:
где - многочлен степениm .
Тогда частное решение ищется в виде:
Здесь Q (x ) - многочлен той же степени, что и P (x ) , но с неопределенными коэффициентами, а r – число, показывающее сколько раз число является корнем характеристического уравнения для соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения.
Пример.
Решить уравнение
.
Решим
соответствующее однородное уравнение:
Теперь найдем частное решение исходного неоднородного уравнения.
Сопоставим правую часть уравнения с видом правой части, рассмотренным выше.
Частное
решение ищем в виде:
,
где
Т.е.
Теперь определим неизвестные коэффициенты А и В .
Подставим частное решение в общем виде в исходное неоднородное дифференциальное уравнение.
Итого,
частное решение:
Тогда общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения:
II. Правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:
Здесь Р 1 (х) и Р 2 (х) – многочлены степени m 1 и m 2 соответственно.
Тогда частное решение неоднородного уравнения будет иметь вид:
где
число r
показывает сколько раз число
является корнем характеристического
уравнения для соответствующего
однородного уравнения, аQ
1
(x
)
и
Q
2
(x
)
– многочлены степени не выше m
,
где m
-
большая из степеней m
1
и m
2
.
Сводная таблица видов частных решений
для различных видов правых частей
|
Правая часть дифф.уравнения |
характеристического уравнения |
Виды частного |
|
|
|
1. Число не является корнем характеристического уравнения |
|
|
|
2.
Число – корень характеристического
уравнения кратности
|
|
||
|
|
1.
Число
|
|
|
|
2.
Число
|
|
||
|
1.
Числа
|
|
||
|
2.
Числа
|
|
||
|
1.
Числа
| |||
|
2.
Числа
|
не является корнем характеристического
уравнения
является корнем характеристического
уравнения кратности
являются корнями характеристического
уравнения кратности
не являются корнями характеристического
уравнения кратности
являются корнями характеристического
уравнения кратности
Заметим, что если правая часть уравнения является комбинацией выражений рассмотренного выше вида, то решение находится как комбинация решений вспомогательных уравнений, каждое из которых имеет правую часть, соответствующую выражению, входящему в комбинацию.
Т.е.
если уравнение имеет вид:
,
то частное решение этого уравнения
будет
гдеу
1
и
у
2
– частные решения вспомогательных
уравнений
и
Для иллюстрации решим рассмотренный выше пример другим способом.
Пример.
Решить уравнение
Правую часть дифференциального уравнения представим в виде суммы двух функций f 1 (x ) + f 2 (x ) = x + (- sinx ).
Составим и решим характеристическое уравнение:
Получаем:
Т.е.
Итого:
Т.е.
искомое частное решение имеет вид:
Общее решение неоднородного дифференциального уравнения:
Рассмотрим примеры применения описанных методов.
Пример
1..
Решить уравнение
Составим характеристическое уравнение для соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения:
Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения в виде:
Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов.
Подставляя в исходное уравнение, получаем:
Частное
решение имеет вид:
Общее
решение линейного неоднородного
уравнения:
Пример.
Решить уравнение
Характеристическое уравнение:
Общее
решение однородного уравнения:
Частное
решение неоднородного уравнения:
.
Находим производные и подставляем их в исходное неоднородное уравнение:
Получаем общее решение неоднородного дифференциального уравнения:
|
Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами |
|
Структура общего решения Линейное неоднородное уравнение данного типа имеет вид: где p , q − постоянные числа (которые могут быть как действительными, так и комплексными). Для каждого такого уравнения можно записать соответствующее однородное уравнение :
Теорема : Общее решение неоднородного уравнения является суммой общего решения y 0 (x ) соответствуюшего однородного уравнения и частного решения y 1 (x ) неоднородного уравнения:
Ниже мы рассмотрим два способа решения неоднородных дифференциальных уравнений. Метод вариации постоянных Если общее решение y 0 ассоциированного однородного уравнения известно, то общее решение неоднородного уравнения можно найти, используя метод вариации постоянных . Пусть общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид: Вместо постоянных C 1 и C 2 будем рассматривать вспомогательные функции C 1 (x ) и C 2 (x ). Будем искать эти функции такими, чтобы решение удовлетворяло неоднородному уравнению с правой частью f (x ). Неизвестные функции C 1 (x ) и C 2 (x ) определяются из системы двух уравнений:
Метод неопределенных коэффициентов Правая часть f (x ) неоднородного дифференциального уравнения часто представляет собой многочлен, экспоненциальную или тригонометрическую функцию, или некоторую комбинацию указанных функций. В этом случае решение удобнее искать с помощью метода неопределенных коэффициентов . Подчеркнем, что данный метод работает лишь для ограниченного класса функций в правой части, таких как  В обоих случаях выбор частного решения должен соответствовать структуре правой части неоднородного дифференциального уравнения. В случае 1, если число α в экспоненциальной функции совпадает с корнем характеристического уравнения, то частное решение будет содержать дополнительный множитель x s , где s − кратность корня α в характеристическом уравнении. В случае 2, если число α + βi совпадает с корнем характеристического уравнения, то выражение для частного решения будет содержать дополнительный множитель x . Неизвестные коэффициенты можно определить подстановкой найденного выражения для частного решения в исходное неоднородное дифференциальное уравнение. Принцип суперпозиции Если правая часть неоднородного уравнения представляет собой сумму нескольких функций вида то частное решение дифференциального уравнения также будет являться суммой частных решений, построенных отдельно для каждого слагаемого в правой части. |
|
Пример 1 |
|
Решить дифференциальное уравнение y"" + y = sin(2x ). Решение. Сначала мы решим соответствующее однородное уравнение y"" + y = 0. В данном случае корни характеристического уравнения являтся чисто мнимыми: Следовательно, общее решение однородного уравнения определяется выражением Вернемся снова к неоднородному уравнению. Будем искать его решение в виде используя метод вариации постояных. Функции C 1 (x ) и C 2 (x ) можно найти из следующей системы уравнений:
Выразим производную C 1 " (x ) из первого уравнения:
Подставляя во второе уравнение, находим производную C 2 " (x ):
Отсюда следует, что Интегрируя выражения для производных C 1 " (x ) и C 2 " (x ), получаем: где A 1 , A 2 − постоянные интегрирования. Теперь подставим найденные функции C 1 (x ) и C 2 (x ) в формулу для y 1 (x ) и запишем общее решениенеоднородного уравнения:
|
|
Пример 2 |
|
Найти общее решение уравнения y"" + y" −6y = 36x . Решение. Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов. Правая часть заданного уравнения представляет собой линейную функцию f (x ) = ax + b . Поэтому будем искать частное решение в виде Производные равны:
Подставляя это в дифференциальное уравнение, получаем:
Последнее уравнение является тождеством, то есть справедливо для всех x , поэтому приравняем коэффициенты при слагаемых с одинаковыми степенями x в левой и правой части: Из полученной системы находим: A = −6, B = −1. В результате, частное решение записывается в виде Теперь найдем общее решение однородного дифференциального уравнения. Вычислим корни вспомогательного характеристического уравнения: Следовательно, общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид: Итак, общее решение исходного неоднородного уравнения выражается формулой |
Общий интеграл ДУ.
Решить дифференциальное уравнение
Но самое забавное, что уже известен ответ: , точнее, надо еще добавить константу: Общий интеграл является решением дифференциального уравнения .
Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решений
Метод вариации произвольных постоянных применяется для решения неоднородных дифференциальных уравнений. Данный урок предназначен для тех студентов, кто уже более или менее хорошо ориентируется в теме. Если вы только-только начинаете знакомиться с ДУ, т.е. являетесь чайником, то рекомендую начать с первого урока: Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений . А если уже-уже заканчиваете, пожалуйста, отбросьте возможное предвзятое мнение, что метод сложный. Потому что он простой.
В каких случаях применяется метод вариации произвольных постоянных?
1) Метод вариации произвольной постояннОЙ можно использовать при решении линейного неоднородного ДУ 1-го порядка . Коль скоро уравнение первого порядка, то и постоянная (константа) тоже одна.
2) Метод вариации произвольнЫХ постоянных используют для решения некоторых линейных неоднородных уравнений второго порядка . Здесь варьируются две постоянные (константы).
Логично предположить, что урок будет состоять из двух параграфов…. Вот написал это предложение, и минут 10 мучительно думал, какую бы еще умную хрень добавить для плавного перехода к практическим примерам. Но почему-то мыслей после праздников нет никаких, хотя вроде и не злоупотреблял ничем. Поэтому сразу примемся за первый параграф.
Метод вариации произвольной постоянной для линейного неоднородного уравнения первого порядка
Перед рассмотрением метода вариации произвольной постоянной желательно быть знакомым со статьей Линейные дифференциальные уравнения первого порядка . На том уроке мы отрабатывали первый способ решения неоднородного ДУ 1-го порядка. Этот первый способ решения, напоминаю, называется метод замены или метод Бернулли (не путать с уравнением Бернулли !!!)
Сейчас мы рассмотрим второй способ решения – метод вариации произвольной постоянной. Я приведу всего три примера, причем возьму их из вышеупомянутого урока. Почему так мало? Потому что на самом деле решение вторым способом будет очень похоже на решение первым способом. Кроме того, по моим наблюдениям, метод вариации произвольных постоянных применяется реже метода замены.
Пример 1
Найти общее решение дифференциального уравнения (Диффур из Примера №2 урока Линейные неоднородные ДУ 1-го порядка )
Решение: Данное уравнение является линейным неоднородным и имеет знакомый вид:
На первом этапе необходимо решить более простое уравнение: То есть, тупо обнуляем правую часть – вместо пишем ноль. Уравнение я буду называть вспомогательным уравнением .
В данном примере нужно решить следующее вспомогательное уравнение:
Перед нами уравнение с разделяющимися переменными , решение которого (надеюсь) уже не представляет для вас сложностей:
Таким образом: – общее решение вспомогательного уравнения .
На втором шаге заменим константу некоторой пока ещё неизвестной функцией , которая зависит от «икс»:
Отсюда и название метода – варьируем константу . Как вариант, константа может быть некоторой функцией , которую нам предстоит сейчас найти.
В исходном неоднородном уравнении проведём замену:
Подставим и в уравнение :
Контрольный момент – два слагаемых в левой части сокращаются . Если этого не происходит, следует искать ошибку выше.
В результате замены получено уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные и интегрируем.
Какая благодать, экспоненты тоже сокращаются:
К найденной функции приплюсовываем «нормальную» константу :
На заключительном этапе вспоминаем про нашу замену:
Функция только что найдена!
Таким образом, общее решение:
Ответ:
общее
решение:
Если вы распечатаете два способа решения, то легко заметите, что в обоих случаях мы находили одни и те же интегралы. Отличие лишь в алгоритме решения.
Теперь что-нибудь посложнее, второй пример я тоже прокомментирую:
Пример 2
Найти общее решение дифференциального уравнения (Диффур из Примера №8 урока Линейные неоднородные ДУ 1-го порядка )
Решение: Приведем уравнение к виду :
Обнулим правую часть и решим вспомогательное уравнение:
Разделяем переменные и интегрируем: Общее решение вспомогательного уравнения:
В неоднородном уравнении проведём замену:
По правилу дифференцирования произведения:
Подставим и в исходное неоднородное уравнение :
Два
слагаемых в левой части сокращаются,
значит, мы на верном пути:
Интегрируем по частям. Вкусная буква из формулы интегрирования по частям у нас уже задействована в решении, поэтому используем, например, буквы «а» и «бэ»:
В итоге:
Теперь вспоминаем проведённую замену:
Ответ: общее решение:
Метод вариации произвольных постоянных для линейного неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Часто приходилось слышать мнение, что метод вариации произвольных постоянных для уравнения второго порядка – штука не из легких. Но я предполагаю следующее: скорее всего, метод многим кажется трудным, поскольку встречается не так часто. А в действительности особых сложностей нет – ход решения чёткий, прозрачный, понятный. И красивый.
Для освоения метода желательно уметь решать неоднородные уравнения второго порядка способом подбора частного решения по виду правой части. Данный способ подробно рассмотрен в статье Неоднородные ДУ 2-го порядка . Вспоминаем, что линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:
Метод подбора, который рассматривался на вышеупомянутом уроке, проходит лишь в ограниченном ряде случаев, когда в правой части находятся многочлены, экспоненты, синусы, косинусы. Но что делать, когда справа, например, дробь, логарифм, тангенс? В такой ситуации на помощь как раз и приходит метод вариации постоянных.
Пример 4
Найти
общее решение дифференциального
уравнения второго порядка
Решение: В правой части данного уравнения находится дробь, поэтому сразу можно сказать, что метод подбора частного решения не прокатывает. Используем метод вариации произвольных постоянных.
Ничто не предвещает грозы, начало решения совершенно обычное:
Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:
Составим
и решим характеристическое уравнение:
–
получены сопряженные комплексные корни,
поэтому общее решение:
Обратите внимание на запись общего решения – если есть скобки, то их раскрываем.
Теперь проделываем практически тот же трюк, что и для уравнения первого порядка: варьируем константы , заменяя их неизвестными функциями . То есть,общее решение неоднородного уравнения будем искать в виде:
Где – пока ещё неизвестные функции.
Похоже на свалку бытовых отходов, но сейчас всё рассортируем.
В качестве неизвестных выступают производные функций . Наша цель – найти производные , причем найденные производные должны удовлетворять и первому и второму уравнению системы.
Откуда берутся «игреки»? Их приносит аист. Смотрим на полученное ранее общее решение и записываем:
Найдем производные:
С левыми частями разобрались. Что справа?
– это правая часть исходного уравнения, в данном случае:
Данная статья раскрывает вопрос о решении линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Будет рассмотрена теория вместе с примерами приведенных задач. Для расшифровки непонятных терминов необходимо обращаться к теме об основных определениях и понятиях теории дифференциальных уравнений.
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение (ЛНДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами вида y "" + p · y " + q · y = f (x) , где произвольными числами являются p и q , а имеющаяся функция f (х) непрерывная на интервале интегрирования x .
Перейдем к формулировке теоремы общего решения ЛНДУ.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Теорема общего решения ЛДНУ
Теорема 1Общим решением, находящимся на интервале х, неоднородного дифференциального уравнения вида y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + . . . + f 0 (x) · y = f (x) с непрерывными коэффициентами интегрирования на x интервале f 0 (x) , f 1 (x) , . . . , f n - 1 (x) и непрерывной функцией f (x) равняется сумме общего решения y 0 , которое соответствует ЛОДУ и каким-нибудь частным решением y ~ , где исходным неоднородным уравнением является y = y 0 + y ~ .
Отсюда видно, что решение такого уравнения второго порядка имеет вид y = y 0 + y ~ . Алгоритм нахождения y 0 рассмотрен в статье о линейных однородных дифференциальных уравнениях второго порядка с постоянными коэффициентами. После чего следует переходить к определению y ~ .
Выбор частного решения ЛНДУ зависит от вида имеющейся функции f (x) , располагающейся в правой части уравнения. Для этого необходимо рассмотреть отдельно решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка при постоянных коэффициентах.
Когда f (x) считается за многочлен n -ой степени f (x) = P n (x) , отсюда следует, что частное решение ЛНДУ находим по формуле вида y ~ = Q n (x) · x γ , где Q n (x) является многочленом степени n , r – это количество нулевых корней характеристического уравнения. Значение y ~ является частным решением y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) , тогда имеющиеся коэффициенты, которые определены многочленом
Q n (x) , отыскиваем при помощи метода неопределенных коэффициентов из равенства y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .
Пример 1
Вычислить по теореме Коши y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .
Решение
Иначе говоря, необходимо перейти к частному решению линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами y "" - 2 y " = x 2 + 1 , которое будет удовлетворять заданным условиям y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .
Общим решением линейного неоднородного уравнения является сумма общего решения, которое соответствует уравнению y 0 или частному решению неоднородного уравнения y ~ , то есть y = y 0 + y ~ .
Для начала найдем общее решение для ЛНДУ, а после чего – частное.
Перейдем к нахождению y 0 . Запись характеристического уравнения поможет найти корни. Получаем, что
k 2 - 2 k = 0 k (k - 2) = 0 k 1 = 0 , k 2 = 2
Получили, что корни различные и действительные. Поэтому запишем
y 0 = C 1 e 0 x + C 2 e 2 x = C 1 + C 2 e 2 x .
Найдем y ~ . Видно, что правая часть заданного уравнения является многочленом второй степени, тогда один из корней равняется нулю. Отсюда получим, что частным решением для y ~ будет
y ~ = Q 2 (x) · x γ = (A x 2 + B x + C) · x = A x 3 + B x 2 + C x , где значения А, В, С принимают неопределенные коэффициенты.
Найдем их из равенства вида y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 .
Тогда получим, что:
y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C " - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 A x 2 + x (6 A - 4 B) + 2 B - 2 C = x 2 + 1
Приравняв коэффициенты с одинаковыми показателями степеней x , получим систему линейных выражений - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1 . При решении любым из способов найдем коэффициенты и запишем: A = - 1 6 , B = - 1 4 , C = - 3 4 и y ~ = A x 3 + B x 2 + C x = - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x .
Эта запись называется общим решением исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Для нахождения частного решения, которое удовлетворяет условиям y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 , требуется определить значения C 1 и C 2 , исходя из равенства вида y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .
Получаем, что:
y (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y " (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x " x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4
Работаем с полученной системой уравнений вида C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4 , где C 1 = 3 2 , C 2 = 1 2 .
Применив теорему Коши, имеем, что
y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x
Ответ: 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .
Когда функция f (x) представляется в виде произведения многочлена со степенью n и экспоненты f (x) = P n (x) · e a x , тогда отсюда получаем, что частным решением ЛНДУ второго порядка будет уравнение вида y ~ = e a x · Q n (x) · x γ , где Q n (x) является многочленом n -ой степени, а r – количеством корней характеристического уравнения, равняющиеся α .
Коэффициенты, принадлежащие Q n (x) находятся по равенству y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .
Пример 2
Найти общее решение дифференциального уравнения вида y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x .
Решение
Уравнение общего вида y = y 0 + y ~ . Указанное уравнение соответствует ЛОДУ y "" - 2 y " = 0 . По предыдущему примеру видно, что его корни равняются k 1 = 0 и k 2 = 2 и y 0 = C 1 + C 2 e 2 x по характеристическому уравнению.
Видно, что правой частью уравнения является x 2 + 1 · e x . Отсюда ЛНДУ находится через y ~ = e a x · Q n (x) · x γ , где Q n (x) , являющимся многочленом второй степени, где α = 1 и r = 0 , потому как у характеристического уравнения отсутствует корень, равный 1 . Отсюда получаем, что
y ~ = e a x · Q n (x) · x γ = e x · A x 2 + B x + C · x 0 = e x · A x 2 + B x + C .
А, В, С являются неизвестными коэффициентами, которые можно найти по равенству y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x .
Получили, что
y ~ " = e x · A x 2 + B x + C " = e x · A x 2 + B x + C + e x · 2 A x + B = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x · 2 A x + 2 A + B = = e x · A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C
y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x ⇔ e x · A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 · e x ⇔ e x · - A x 2 - B x + 2 A - C = (x 2 + 1) · e x ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = 1 · x 2 + 0 · x + 1
Показатели при одинаковых коэффициентах приравниваем и получаем систему линейных уравнений. Отсюда и находим А, В, С:
A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 ⇔ A = - 1 B = 0 C = - 3
Ответ: видно, что y ~ = e x · (A x 2 + B x + C) = e x · - x 2 + 0 · x - 3 = - e x · x 2 + 3 является частным решением ЛНДУ, а y = y 0 + y = C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3 - общим решением для неоднородного дифуравнения второго порядка.
Когда функция записывается как f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x , а А 1 и В 1 являются числами, тогда частным решением ЛНДУ считается уравнение вида y ~ = A cos β x + B sin β x · x γ , где А и В считаются неопределенными коэффициентами, а r числом комплексно сопряженных корней, относящихся к характеристическому уравнению, равняющимся ± i β . В этом случае поиск коэффициентов проводится по равенству y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .
Пример 3
Найти общее решение дифференциального уравнения вида y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .
Решение
Перед написанием характеристического уравнения находим y 0 . Тогда
k 2 + 4 = 0 k 2 = - 4 k 1 = 2 i , k 2 = - 2 i
Имеем пару комплексно сопряженных корней. Преобразуем и получим:
y 0 = e 0 · (C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x)) = C 1 cos 2 x + C 2 sin (2 x)
Корни из характеристического уравнения считаются сопряженной парой ± 2 i , тогда f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x) . Отсюда видно, что поиск y ~ будет производиться из y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) · x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) · x . Неизвестные коэффициенты А и В будем искать из равенства вида y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .
Преобразуем:
y ~ " = ((A cos (2 x) + B sin (2 x) · x) " = = (- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) · x + A cos (2 x) + B sin (2 x) y ~ "" = ((- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) · x + A cos (2 x) + B sin (2 x)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) · x - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) · x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x)
Тогда видно, что
y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) · x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sin (2 x)) · x = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x)
Необходимо приравнять коэффициенты синусов и косинусов. Получаем систему вида:
4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = - 3 4 B = 1 4
Следует, что y ~ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) · x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) · x .
Ответ: общим решением исходного ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами считается
y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) · x
Когда f (x) = e a x · P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x) , тогда y ~ = e a x · (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) · x γ . Имеем, что r – это число комплексно сопряженных пар корней, относящихся к характеристическому уравнению, равняются α ± i β , где P n (x) , Q k (x) , L m (x) и N m (x) являются многочленами степени n , k , т, m , где m = m a x (n , k) . Нахождение коэффициентов L m (x) и N m (x) производится, исходя из равенства y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .
Пример 4
Найти общее решение y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x · ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) .
Решение
По условию видно, что
α = 3 , β = 5 , P n (x) = - 38 x - 45 , Q k (x) = - 8 x + 5 , n = 1 , k = 1
Тогда m = m a x (n , k) = 1 . Производим нахождение y 0 , предварительно записав характеристическое уравнение вида:
k 2 - 3 k + 2 = 0 D = 3 2 - 4 · 1 · 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1 , k 2 = 3 + 1 2 = 2
Получили, что корни являются действительными и различными. Отсюда y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x . Далее необходимо искать общее решение, исходя из неоднородного уравнения y ~ вида
y ~ = e α x · (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) · x γ = = e 3 x · ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) · x 0 = = e 3 x · ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))
Известно, что А, В, С являются коэффициентами, r = 0 , потому как отсутствует пара сопряженных корней, относящихся к характеристическому уравнению с α ± i β = 3 ± 5 · i . Данные коэффициенты находим из полученного равенства:
y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) "" - - 3 (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))
Нахождение производной и подобных слагаемых дает
E 3 x · ((15 A + 23 C) · x · sin (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) · sin (5 x) + + (23 A - 15 C) · x · cos (5 x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) · cos (5 x)) = = - e 3 x · (38 · x · sin (5 x) + 45 · sin (5 x) + + 8 · x · cos (5 x) - 5 · cos (5 x))
После приравнивания коэффициентов получаем систему вида
15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 D = 1
Из всего следует, что
y ~ = e 3 x · ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) = = e 3 x · ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))
Ответ: теперь получено общее решение заданного линейного уравнения:
y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x · ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))
Алгоритм решения ЛДНУ
Определение 1Любой другой вид функции f (x) для решения предусматривает соблюдение алгоритма решения:
- нахождение общего решения соответствующего линейного однородного уравнения, где y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2 , где y 1 и y 2 являются линейно независимыми частными решениями ЛОДУ, С 1 и С 2 считаются произвольными постоянными;
- принятие в качестве общего решения ЛНДУ y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2 ;
- определение производных функции через систему вида C 1 " (x) + y 1 (x) + C 2 " (x) · y 2 (x) = 0 C 1 " (x) + y 1 " (x) + C 2 " (x) · y 2 " (x) = f (x) , а нахождение функций C 1 (x) и C 2 (x) посредствам интегрирования.
Пример 5
Найти общее решение для y "" + 36 y = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x .
Решение
Переходим к написанию характеристического уравнения, предварительно записав y 0 , y "" + 36 y = 0 . Запишем и решим:
k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i , k 2 = - 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , y 2 (x) = sin (6 x)
Имеем, что запись общего решения заданного уравнения получит вид y = C 1 (x) · cos (6 x) + C 2 (x) · sin (6 x) . Необходимо перейти к определению производных функций C 1 (x) и C 2 (x) по системе с уравнениями:
C 1 " (x) · cos (6 x) + C 2 " (x) · sin (6 x) = 0 C 1 " (x) · (cos (6 x)) " + C 2 " (x) · (sin (6 x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) · cos (6 x) + C 2 " (x) · sin (6 x) = 0 C 1 " (x) (- 6 sin (6 x) + C 2 " (x) (6 cos (6 x)) = = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x
Необходимо произвести решение относительно C 1 " (x) и C 2 " (x) при помощи любого способа. Тогда запишем:
C 1 " (x) = - 4 sin 2 (6 x) + 2 sin (6 x) cos (6 x) - 6 e 6 x sin (6 x) C 2 " (x) = 4 sin (6 x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)
Каждое из уравнений следует проинтегрировать. Тогда запишем получившиеся уравнения:
C 1 (x) = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4
Отсюда следует, что общее решение будет иметь вид:
y = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 · cos (6 x) + + - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4 · sin (6 x) = = - 2 x · cos (6 x) - x · sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 · cos (6 x) + C 4 · sin (6 x)
Ответ: y = y 0 + y ~ = - 2 x · cos (6 x) - x · sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 · cos (6 x) + C 4 · sin (6 x)
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter