Diskretna vrijednost x je data sljedećim zakonima raspodjele. Zakon distribucije diskretne slučajne varijable

Dat je niz distribucije diskretne slučajne varijable. Pronađite vjerovatnoću koja nedostaje i nacrtajte funkciju distribucije. Izračunati očekivanu vrijednost i disperzija ove količine.

Slučajna varijabla X uzima samo četiri vrijednosti: -4, -3, 1 i 2. Uzima svaku od ovih vrijednosti sa određenom vjerovatnoćom. Budući da zbir svih vjerovatnoća mora biti jednak 1, vjerovatnoća koja nedostaje je jednaka:

0,3 + ? + 0,1 + 0,4 = 1,

Sastavimo funkciju distribucije slučajne varijable X. Poznato je da je funkcija distribucije , tada:

dakle,

Nacrtajmo funkciju F(x) .

Matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable jednako je zbiru proizvoda vrijednosti slučajne varijable i odgovarajuće vjerovatnoće, tj.

Pronalazimo varijansu diskretne slučajne varijable koristeći formulu:

PRIMJENA

Elementi kombinatorike

Ovdje: - faktorijel broja

Akcije na događaje

Događaj je svaka činjenica koja se može, ali i ne mora dogoditi kao rezultat nekog iskustva.

Spajanje događaja A I IN- ovaj događaj WITH koji se sastoji od pojave ili događaja A, ili događaji IN, ili oba događaja istovremeno.

Oznaka:
;

Crossing Events A I IN- ovaj događaj WITH, koji se sastoji od istovremene pojave oba događaja.

Oznaka:
;

Klasična definicija vjerovatnoće

Vjerovatnoća događaja A je omjer broja eksperimenata
, povoljan za nastanak nekog događaja A, To ukupan broj eksperimenti
:

Formula za množenje vjerovatnoće

Vjerovatnoća događaja
može se pronaći pomoću formule:

- vjerovatnoća događaja A,

- vjerovatnoća događaja IN,

- vjerovatnoća događaja IN pod uslovom da je događaj A već se dogodilo.

Ako su događaji A i B nezavisni (nastanak jednog ne utiče na pojavu drugog), tada je vjerovatnoća događaja jednaka:

Formula za sabiranje vjerovatnoća

Vjerovatnoća događaja
može se pronaći pomoću formule:

Vjerovatnoća događaja A,

Vjerovatnoća događaja IN,

- vjerovatnoća istovremene pojave događaja A I IN.

Ako su događaji A i B nekompatibilni (ne mogu se dogoditi istovremeno), tada je vjerovatnoća događaja jednaka:

Formula ukupne vjerovatnoće

Neka događaj A može se dogoditi istovremeno sa jednim od događaja
,
, …,
- nazovimo ih hipotezama. Također poznat
- vjerovatnoća izvršenja i-th hipoteza i
- vjerovatnoća pojave događaja A prilikom izvršavanja i-th hipoteza. Zatim vjerovatnoća događaja A može se naći po formuli:

Bernulijeva shema

Neka postoji n nezavisnih testova. Vjerovatnoća nastanka (uspjeha) događaja A u svakom od njih je konstantan i jednak str, vjerovatnoća kvara (tj. da se događaj ne dogodi A) q = 1 - str. Zatim vjerovatnoća pojave k uspjeh u n testovi se mogu naći pomoću Bernoullijeve formule:

Najvjerovatniji broj uspjeha u Bernoullijevoj shemi, ovo je broj pojavljivanja određenog događaja koji ima najveću vjerovatnoću. Može se pronaći pomoću formule:

Slučajne varijable

diskretno kontinuirano

(na primjer, broj djevojčica u porodici sa 5 djece) (na primjer, vrijeme kada čajnik radi ispravno)

Numeričke karakteristike diskretnih slučajnih varijabli

Neka je diskretna veličina data nizom distribucije:

X
R

, , …, - vrijednosti slučajne varijable X;

, , …, su odgovarajuće vrijednosti vjerovatnoće.

Funkcija distribucije

Funkcija distribucije slučajne varijable X naziva se funkcija definirana na cijeloj brojevnoj pravoj i jednaka vjerovatnoća to X biće manje X:

Pitanja za ispit

Događaj. Operacije na slučajnim događajima.

Koncept vjerovatnoće događaja.

Pravila za sabiranje i množenje vjerovatnoća. Uslovne vjerovatnoće.

Formula ukupne vjerovatnoće. Bayesova formula.

Bernulijeva shema.

Slučajna varijabla, njena funkcija distribucije i distribucijski redovi.

Osnovna svojstva funkcije distribucije.

Očekivana vrijednost. Osobine matematičkog očekivanja.

Disperzija. Osobine disperzije.

Gustoća raspodjele vjerovatnoće jednodimenzionalne slučajne varijable.

Vrste raspodjela: uniformna, eksponencijalna, normalna, binomna i Poissonova raspodjela.

Lokalne i integralne teoreme Moivre-Laplacea.

Zakon i funkcija distribucije sistema dvije slučajne varijable.

Gustoća distribucije sistema dvije slučajne varijable.

Uslovni zakoni distribucije, uslovno matematičko očekivanje.

Zavisne i nezavisne slučajne varijable. Koeficijent korelacije.

Uzorak. Obrada uzorka. Poligon i histogram frekvencije. Empirijska funkcija distribucije.

Koncept procjene parametara distribucije. Zahtjevi za ocjenjivanje. Interval povjerenja. Konstrukcija intervala za procjenu matematičkog očekivanja i standardne devijacije.

Statističke hipoteze. Kriterijumi za saglasnost.

X; značenje F(5); vjerovatnoća da je slučajna varijabla Xće uzeti vrijednosti iz segmenta. Konstruirajte poligon distribucije.

Funkcija distribucije F(x) diskretne slučajne varijable je poznata X:

Postavite zakon raspodjele slučajne varijable X u obliku tabele.

Dat je zakon raspodjele slučajne varijable X:

X	–28	–20	–12	–4
str	0,22	0,44	0,17	0,1	0,07

Vjerovatnoća da trgovina ima certifikate kvalitete za cijeli asortiman proizvoda je 0,7. Komisija je provjerila dostupnost certifikata u četiri lokala u okruženju. Napraviti zakon o distribuciji, izračunati matematičko očekivanje i disperziju broja prodavnica u kojima nisu pronađeni sertifikati kvaliteta tokom pregleda.

Za određivanje prosječnog vremena gorenja električnih svjetiljki u seriji od 350 identičnih kutija, za ispitivanje je uzeta po jedna električna lampa iz svake kutije. Odozdo procijeniti vjerovatnoću da se prosječno trajanje gorenja odabranih električnih sijalica razlikuje od prosječnog trajanja gorenja cijele serije u apsolutnoj vrijednosti za manje od 7 sati, ako se zna da je standardna devijacija trajanja gorenja električnih sijalica u svaka kutija je manje od 9 sati.

Na telefonskoj centrali dolazi do neispravne veze sa vjerovatnoćom od 0,002. Pronađite vjerovatnoću da će se između 500 veza dogoditi sljedeće:

Pronađite funkciju distribucije slučajne varijable X. Konstruirajte grafove funkcija i . Izračunajte matematičko očekivanje, varijansu, mod i medijan slučajne varijable X.

Automatska mašina pravi valjke. Vjeruje se da je njihov promjer normalno raspoređena slučajna varijabla sa srednjom vrijednošću od 10 mm. Kolika je standardna devijacija ako je, s vjerovatnoćom od 0,99, prečnik u rasponu od 9,7 mm do 10,3 mm.

Uzorak A: 6 9 7 6 4 4

Uzorak B: 55 72 54 53 64 53 59 48

42 46 50 63 71 56 54 59

54 44 50 43 51 52 60 43

50 70 68 59 53 58 62 49

59 51 52 47 57 71 60 46

55 58 72 47 60 65 63 63

58 56 55 51 64 54 54 63

56 44 73 41 68 54 48 52

52 50 55 49 71 67 58 46

50 51 72 63 64 48 47 55

Opcija 17.

Od 35 dijelova, 7 je nestandardnih. Pronađite vjerovatnoću da će se dva nasumično uzeta dijela ispostaviti kao standardna.

Bacaju tri kockice. Nađite vjerovatnoću da je zbir bodova na oborenim stranama višekratnik broja 9.

Riječ “AVANTURA” je sastavljena od kartica, na svakoj je napisano po jedno slovo. Karte se miješaju i vade jedna po jedna bez vraćanja. Odrediti vjerovatnoću da slova izdvojena po redoslijedu pojavljivanja formiraju riječ: a) AVANTURA; b) ZATVORENIK.

Urna sadrži 6 crnih i 5 bijelih kuglica. 5 loptica se nasumično izvlači. Pronađite vjerovatnoću da među njima ima:

2 bijele kuglice;
manje od 2 bijele kuglice;
barem jednu crnu loptu.

A u jednom testu je jednako 0,4. Pronađite vjerovatnoće sljedećih događaja:

događaj A pojavljuje se 3 puta u seriji od 7 nezavisnih ispitivanja;
događaj A pojavit će se najmanje 220 niti više od 235 puta u seriji od 400 ispitivanja.

Fabrika je u bazu poslala 5.000 proizvoda dobrog kvaliteta. Vjerovatnoća oštećenja svakog proizvoda u transportu je 0,002. Pronađite vjerovatnoću da se ne više od 3 proizvoda ošteti tokom putovanja.

Prva urna sadrži 4 bijele i 9 crnih kuglica, a druga urna sadrži 7 bijelih i 3 crne kuglice. Iz prve urne nasumično se izvlače 3 lopte, a iz druge urne 4. Nađite vjerovatnoću da su sve izvučene kuglice iste boje.

Dat je zakon raspodjele slučajne varijable X:

Izračunajte njegovo matematičko očekivanje i varijansu.

U kutiji je 10 olovaka. 4 olovke se izvlače nasumično. Slučajna vrijednost X– broj plavih olovaka među odabranim. Naći zakon njegove raspodjele, početne i centralne momente 2. i 3. reda.

Odjel tehnička kontrola provjerava 475 proizvoda na nedostatke. Vjerovatnoća da je proizvod neispravan je 0,05. Pronađite, sa vjerovatnoćom 0,95, granice unutar kojih će biti sadržan broj neispravnih proizvoda među testiranim.

Na telefonskoj centrali dolazi do neispravne veze sa vjerovatnoćom od 0,003. Pronađite vjerovatnoću da će se između 1000 veza dogoditi sljedeće:

najmanje 4 neispravne veze;
više od dvije pogrešne veze.

Slučajna varijabla je određena funkcijom gustoće distribucije:

Pronađite funkciju distribucije slučajne varijable X. Konstruirajte grafove funkcija i . Izračunajte matematičko očekivanje, varijansu, mod i medijan slučajne varijable X.

Slučajna varijabla je određena funkcijom distribucije:

Po uzorku A riješiti sljedeće probleme:

kreirati niz varijacija;

· prosjek uzorka;

· varijansa uzorka;

Mod i medijan;

Uzorak A: 0 0 2 2 1 4

izračunati numeričke karakteristike varijantne serije:

· prosjek uzorka;

· varijansa uzorka;

standardna devijacija uzorka;

· mod i medijan;

Uzorak B: 166 154 168 169 178 182 169 159

161 150 149 173 173 156 164 169

157 148 169 149 157 171 154 152

164 157 177 155 167 169 175 166

167 150 156 162 170 167 161 158

168 164 170 172 173 157 157 162

156 150 154 163 143 170 170 168

151 174 155 163 166 173 162 182

166 163 170 173 159 149 172 176

Opcija 18.

Među 10 srećke 2 pobjeđuju. Pronađite vjerovatnoću da će od pet nasumično uzetih listića jedna biti pobjednička.

Bacaju se tri kockice. Nađite vjerovatnoću da je zbir ubačenih bodova veći od 15.

Riječ “PERIMETAR” sastoji se od kartica, od kojih svaka ima po jedno slovo napisano. Karte se miješaju i vade jedna po jedna bez vraćanja. Odrediti vjerovatnoću da izvađena slova formiraju riječ: a) PERIMETAR; b) METER.

Urna sadrži 5 crnih i 7 bijelih kuglica. 5 loptica se nasumično izvlači. Pronađite vjerovatnoću da među njima ima:

4 bijele kuglice;
manje od 2 bijele kuglice;
barem jednu crnu loptu.

Vjerovatnoća da se dogodi neki događaj A u jednom ogledu je jednako 0,55. Pronađite vjerovatnoće sljedećih događaja:

događaj A pojavit će se 3 puta u nizu od 5 izazova;
događaj A pojavit će se najmanje 130 niti više od 200 puta u seriji od 300 ispitivanja.

Vjerovatnoća da se limenka konzervirane robe razbije je 0,0005. Pronađite vjerovatnoću da će od 2000 limenki dvije imati curenje.

Prva urna sadrži 4 bijele i 8 crnih kuglica, a druga urna sadrži 7 bijelih i 4 crne kuglice. Dvije kuglice se nasumično izvlače iz prve urne, a tri kugle se nasumično izvlače iz druge urne. Pronađite vjerovatnoću da su sve izvučene kuglice iste boje.

Među delovima koji pristižu na montažu, 0,1% je neispravnih sa prve mašine, 0,2% sa druge, 0,25% sa treće i 0,5% sa četvrte. Omjeri produktivnosti mašine su 4:3:2:1. Nasumično uzet dio pokazao se standardnim. Odrediti vjerovatnoću da je dio napravljen na prvoj mašini.

Dat je zakon raspodjele slučajne varijable X:

Izračunajte njegovo matematičko očekivanje i varijansu.

Električar ima tri sijalice od kojih svaka ima kvar sa vjerovatnoćom 0,1.Sijalice se ušrafljuju u grlo i pali se struja. Kada se struja uključi, neispravna sijalica odmah pregori i zamjenjuje se drugom. Naći zakon raspodjele, matematičko očekivanje i disperziju broja testiranih sijalica.

Vjerovatnoća pogađanja mete je 0,3 za svaki od 900 nezavisnih hitaca. Koristeći Čebiševljevu nejednakost, procijenite vjerovatnoću da će meta biti pogođena najmanje 240 puta, a najviše 300 puta.

Na telefonskoj centrali dolazi do neispravne veze sa vjerovatnoćom od 0,002. Pronađite vjerovatnoću da će se između 800 veza dogoditi sljedeće:

najmanje tri neispravne veze;
više od četiri neispravne veze.

Slučajna varijabla je određena funkcijom gustoće distribucije:

Pronađite funkciju raspodjele slučajne varijable X. Nacrtajte grafove funkcija i . Izračunajte matematičko očekivanje, varijansu, mod i medijan slučajne varijable X.

Slučajna varijabla je određena funkcijom distribucije:

Po uzorku A riješiti sljedeće probleme:

kreirati niz varijacija;
izračunati relativne i akumulirane frekvencije;
sastaviti empirijsku funkciju distribucije i nacrtati je;
izračunati numeričke karakteristike serije varijacija:

· prosjek uzorka;

· varijansa uzorka;

standardna devijacija uzorka;

· mod i medijan;

Uzorak A: 4 7 6 3 3 4

Koristeći uzorak B, riješite sljedeće probleme:

kreirajte grupiranu seriju varijacija;
izgraditi histogram i poligon frekvencija;
izračunati numeričke karakteristike serije varijacija:

· prosjek uzorka;

· varijansa uzorka;

standardna devijacija uzorka;

· mod i medijan;

Uzorak B: 152 161 141 155 171 160 150 157

154 164 138 172 155 152 177 160

168 157 115 128 154 149 150 141

172 154 144 177 151 128 150 147

143 164 156 145 156 170 171 142

148 153 152 170 142 153 162 128

150 146 155 154 163 142 171 138

128 158 140 160 144 150 162 151

163 157 177 127 141 160 160 142

159 147 142 122 155 144 170 177

Opcija 19.

1. Na gradilištu radi 16 žena i 5 muškaraca. 3 osobe su odabrane nasumično koristeći njihove brojeve osoblja. Pronađite vjerovatnoću da će svi odabrani ljudi biti muškarci.

2. Bacaju se četiri novčića. Nađite vjerovatnoću da će samo dva novčića imati „grb“.

3. Riječ “PSIHOLOGIJA” je sastavljena od kartica, od kojih svaka ima po jedno slovo napisano. Karte se miješaju i vade jedna po jedna bez vraćanja. Odrediti vjerovatnoću da izvađena slova formiraju riječ: a) PSIHOLOGIJA; b) OSOBLJE.

4. Urna sadrži 6 crnih i 7 bijelih kuglica. 5 loptica se nasumično izvlači. Pronađite vjerovatnoću da među njima ima:

a. 3 bijele kuglice;

b. manje od 3 bijele kuglice;

c. najmanje jednu bijelu loptu.

5. Vjerovatnoća nastanka događaja A u jednom ogledu je jednako 0,5. Pronađite vjerovatnoće sljedećih događaja:

a. događaj A pojavljuje se 3 puta u seriji od 5 nezavisnih ispitivanja;

b. događaj A pojavit će se najmanje 30 i ne više od 40 puta u seriji od 50 ispitivanja.

6. Postoji 100 mašina iste snage, koje rade nezavisno jedna od druge u istom režimu, u kojem im je pogon uključen 0,8 radnih sati. Kolika je vjerovatnoća da će se u bilo kojem trenutku uključiti od 70 do 86 mašina?

7. Prva urna sadrži 4 bijele i 7 crnih kuglica, a druga urna sadrži 8 bijelih i 3 crne kuglice. Iz prve urne se nasumično izvlače 4 kuglice, a iz druge 1 kugla. Nađite vjerovatnoću da se među izvučenim kuglicama nalaze samo 4 crne kuglice.

8. Salon automobila dnevno prima automobile tri marke u količinama: „Moskvič“ – 40%; "Oka" - 20%; "Volga" - 40% svih uvezenih automobila. Među automobilima Moskvich, 0,5% ima uređaj protiv krađe, Oka – 0,01%, Volga – 0,1%. Pronađite vjerovatnoću da automobil odveden na pregled ima uređaj za zaštitu od krađe.

9. Brojevi i biraju se nasumično na segmentu. Odrediti vjerovatnoću da ovi brojevi zadovolje nejednakosti.

10. Dat je zakon raspodjele slučajne varijable X:

X
str	0,1	0,2	0,3	0,4

Pronađite funkciju distribucije slučajne varijable X; značenje F(2); vjerovatnoća da je slučajna varijabla Xće uzeti vrijednosti iz intervala . Konstruirajte poligon distribucije.

kao što je poznato, slučajna varijabla naziva se promjenjiva veličina koja može poprimiti određene vrijednosti ovisno o slučaju. Slučajne varijable označavaju velikim slovima latinica(X, Y, Z), a njihove vrijednosti su označene odgovarajućim malim slovima (x, y, z). Slučajne varijable se dijele na diskontinualne (diskretne) i kontinuirane.

Diskretna slučajna varijabla je slučajna varijabla koja uzima samo konačan ili beskonačan (prebrojiv) skup vrijednosti sa određenim nenultim vjerovatnoćama.

Zakon distribucije diskretne slučajne varijable je funkcija koja povezuje vrijednosti slučajne varijable sa njihovim odgovarajućim vjerovatnoćama. Zakon o raspodjeli može se specificirati na jedan od sljedećih načina.

1 . Zakon distribucije se može dati u tabeli:

gdje je λ>0, k = 0, 1, 2, … .

V) korišćenjem funkcija distribucije F(x) , koji za svaku vrijednost x određuje vjerovatnoću da će slučajna varijabla X poprimiti vrijednost manju od x, tj. F(x) = P(X< x).

Svojstva funkcije F(x)

3 . Zakon distribucije može se grafički specificirati – distributivni poligon (poligon) (vidi problem 3).

Imajte na umu da za rješavanje nekih problema nije potrebno poznavati zakon raspodjele. U nekim slučajevima, dovoljno je znati jedan ili više brojeva koji najviše odražavaju važne karakteristike zakon o distribuciji. To može biti broj koji ima značenje “prosječne vrijednosti” slučajne varijable ili broj koji pokazuje prosječnu veličinu odstupanja slučajne varijable od njene srednje vrijednosti. Brojevi ove vrste nazivaju se numeričkim karakteristikama slučajne varijable.

Osnovne numeričke karakteristike diskretne slučajne varijable :

Matematičko očekivanje (prosječna vrijednost) diskretne slučajne varijable M(X)=Σ x i p i.
Za binomnu distribuciju M(X)=np, za Poissonovu distribuciju M(X)=λ
Disperzija diskretna slučajna varijabla D(X)=M2 ili D(X) = M(X 2)− 2. Razlika X–M(X) naziva se odstupanjem slučajne varijable od njenog matematičkog očekivanja.
Za binomnu distribuciju D(X)=npq, za Poissonovu distribuciju D(X)=λ
Standardna devijacija (standardna devijacija) σ(X)=√D(X).

Primjeri rješavanja zadataka na temu "Zakon distribucije diskretne slučajne varijable"

Zadatak 1.

Izdato je 1000 lutrijskih listića: njih 5 će osvojiti 500 rubalja, 10 će osvojiti 100 rubalja, 20 će osvojiti 50 rubalja, 50 će osvojiti 10 rubalja. Odrediti zakon distribucije vjerovatnoće slučajne varijable X - dobitak po listiću.

Rješenje. U skladu sa uslovima zadatka, moguće su sledeće vrednosti slučajne varijable X: 0, 10, 50, 100 i 500.

Broj tiketa bez dobitka je 1000 – (5+10+20+50) = 915, zatim P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

Slično, nalazimo sve ostale vjerovatnoće: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01 , P(X =500) = 5/1000=0,005. Predstavimo rezultujući zakon u obliku tabele:

Nađimo matematičko očekivanje vrijednosti X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

Zadatak 3.

Uređaj se sastoji od tri nezavisna radna elementa. Vjerovatnoća kvara svakog elementa u jednom eksperimentu je 0,1. Napraviti zakon raspodjele za broj neuspjelih elemenata u jednom eksperimentu, konstruirati poligon distribucije. Pronađite funkciju distribucije F(x) i nacrtajte je. Pronađite matematičko očekivanje, varijansu i standardnu devijaciju diskretne slučajne varijable.

Rješenje. 1. Diskretna slučajna varijabla X = (broj neuspjelih elemenata u jednom eksperimentu) ima sljedeće moguće vrijednosti: x 1 = 0 (nijedan element uređaja nije uspio), x 2 = 1 (jedan element nije uspio), x 3 = 2 ( dva elementa nisu uspjela) i x 4 =3 (tri elementa nisu uspjela).

Kvarovi elemenata su nezavisni jedan od drugog, vjerovatnoće kvara svakog elementa su jednake, stoga je primjenjiv Bernulijeva formula . S obzirom na to da prema uslovu, n=3, p=0,1, q=1-p=0,9, određujemo vjerovatnoće vrijednosti:
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0,9 3 = 0,729;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 = 3*0,1*0,9 2 = 0,243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3*0,1 2 *0,9 = 0,027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 =0,1 3 = 0,001;
Provjerite: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Dakle, željeni zakon binomne distribucije X ima oblik:

Crtamo moguće vrijednosti x i duž ose apscise, a odgovarajuće vjerovatnoće p i duž ordinatne ose. Konstruirajmo tačke M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001). Povezivanjem ovih tačaka pravim segmentima dobijamo željeni poligon distribucije.

3. Nađimo funkciju raspodjele F(x) = R(H

Za x ≤ 0 imamo F(x) = R(H<0) = 0;
za 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
za 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
za 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
za x > 3 postojaće F(x) = 1, jer događaj je pouzdan.

Grafikon funkcije F(x)

4. Za binomnu distribuciju X:
- matematičko očekivanje M(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- varijansa D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- prosek standardna devijacijaσ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.

Slučajna varijabla Varijabla se naziva varijabla koja, kao rezultat svakog testa, poprima jednu prethodno nepoznatu vrijednost, ovisno o slučajnim razlozima. Slučajne varijable se označavaju velikim latiničnim slovima: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Prema svom tipu, slučajne varijable mogu biti diskretno I kontinuirano.

Diskretna slučajna varijabla- ovo je slučajna varijabla čije vrijednosti ne mogu biti više od prebrojive, odnosno konačne ili prebrojive. Pod prebrojivosti podrazumijevamo da se vrijednosti slučajne varijable mogu numerisati.

Primjer 1 . Evo primjera diskretnih slučajnih varijabli:

a) broj pogodaka u metu sa $n$ hitaca, ovdje su moguće vrijednosti $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

b) broj ispuštenih amblema prilikom bacanja novčića, ovdje su moguće vrijednosti $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

c) broj brodova koji pristižu na brod (prebrojiv skup vrijednosti).

d) broj poziva koji stižu na PBX (brojivi skup vrijednosti).

1. Zakon distribucije vjerovatnoće diskretne slučajne varijable.

Diskretna slučajna varijabla $X$ može uzeti vrijednosti $x_1,\dots ,\ x_n$ sa vjerovatnoćama $p\left(x_1\right),\ \dots ,\p\left(x_n\right)$. Korespondencija između ovih vrijednosti i njihovih vjerovatnoća naziva se zakon raspodjele diskretne slučajne varijable. Po pravilu, ova korespondencija se navodi pomoću tabele, čiji prvi red označava vrednosti $x_1,\dots ,\ x_n$, a drugi red sadrži verovatnoće $p_1,\dots,\ p_n$ koje odgovaraju ove vrednosti.

$\begin(niz)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end(niz)$

Primjer 2 . Neka slučajna varijabla $X$ bude broj bačenih poena prilikom bacanja kockice. Takva slučajna varijabla $X$ može imati sljedeće vrijednosti: $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Vjerovatnoće svih ovih vrijednosti su jednake $1/6$. Zatim zakon distribucije vjerovatnoće slučajne varijable $X$:

$\begin(niz)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end(niz)$

Komentar. Pošto u zakonu distribucije diskretne slučajne varijable $X$ događaji $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ čine kompletnu grupu događaja, onda zbir vjerovatnoća mora biti jednak jedinici, tj. \sum(p_i)=1$.

2. Matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable.

Očekivanje slučajne varijable postavlja njegovo „centralno“ značenje. Za diskretnu slučajnu varijablu, matematičko očekivanje se izračunava kao zbir proizvoda vrijednosti $x_1,\dots ,\ x_n$ i vjerovatnoća $p_1,\dots,\ p_n$ koje odgovaraju ovim vrijednostima, tj. : $M\left(X\right)=\suma ^n_(i=1)(p_ix_i)$. U literaturi na engleskom jeziku koristi se još jedna notacija $E\left(X\right)$.

Osobine matematičkog očekivanja$M\lijevo(X\desno)$:

$M\left(X\right)$ leži između najmanje i najveće vrijednosti slučajne varijable $X$.
Matematičko očekivanje konstante jednako je samoj konstanti, tj. $M\lijevo(C\desno)=C$.
Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka matematičkog očekivanja: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
Matematičko očekivanje zbira slučajnih varijabli jednako je zbiru njihovih matematičkih očekivanja: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
Matematičko očekivanje proizvoda nezavisnih slučajnih varijabli jednako je proizvodu njihovih matematičkih očekivanja: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

Primjer 3 . Nađimo matematičko očekivanje slučajne varijable $X$ iz primjera $2$.

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\preko (6))+2\cdot ((1)\over (6) )+3\cdot ((1)\preko (6))+4\cdot ((1)\cdot (6))+5\cdot ((1)\preko (6))+6\cdot ((1 )\preko (6))=3.5.$$

Možemo primijetiti da $M\left(X\right)$ leži između najmanje ($1$) i najveće ($6$) vrijednosti slučajne varijable $X$.

Primjer 4 . Poznato je da je matematičko očekivanje slučajne varijable $X$ jednako $M\left(X\right)=2$. Pronađite matematičko očekivanje slučajne varijable $3X+5$.

Koristeći gornja svojstva, dobijamo $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ cdot 2 +5=11$.

Primjer 5 . Poznato je da je matematičko očekivanje slučajne varijable $X$ jednako $M\left(X\right)=4$. Pronađite matematičko očekivanje slučajne varijable $2X-9$.

Koristeći gornja svojstva, dobijamo $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.

3. Disperzija diskretne slučajne varijable.

Moguće vrijednosti slučajnih varijabli sa jednakim matematičkim očekivanjima mogu se različito raspršiti oko svojih prosječnih vrijednosti. Na primjer, u dvije grupe studenata prosječna ocjena na ispitu iz teorije vjerovatnoće je bila 4, ali u jednoj grupi su svi bili dobri učenici, au drugoj su bili samo studenti C i odlični učenici. Stoga postoji potreba za numeričkom karakteristikom slučajne varijable koja bi pokazala širenje vrijednosti slučajne varijable oko njenog matematičkog očekivanja. Ova karakteristika je disperzija.

Varijanca diskretne slučajne varijable$X$ je jednako:

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2).\ $$

U engleskoj literaturi koristi se oznaka $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$. Vrlo često se varijansa $D\left(X\right)$ izračunava pomoću formule $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\) lijevo(X \desno)\desno))^2$.

Svojstva disperzije$D\lijevo(X\desno)$:

Varijanca je uvijek veća ili jednaka nuli, tj. $D\levo(X\desno)\ge 0$.
Varijanca konstante je nula, tj. $D\lijevo(C\desno)=0$.
Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka disperzije pod uslovom da je na kvadrat, tj. $D\left(CX\desno)=C^2D\left(X\right)$.
Varijanca zbira nezavisnih slučajnih varijabli jednaka je zbiru njihovih varijansi, tj. $D\lijevo(X+Y\desno)=D\lijevo(X\desno)+D\lijevo(Y\desno)$.
Varijanca razlike između nezavisnih slučajnih varijabli jednaka je zbiru njihovih varijansi, tj. $D\lijevo(X-Y\desno)=D\lijevo(X\desno)+D\lijevo(Y\desno)$.

Primjer 6 . Izračunajmo varijansu slučajne varijable $X$ iz primjera $2$.

$$D\left(X\desno)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2)=((1)\preko (6))\cdot (\left(1-3.5\desno))^2+((1)\preko (6))\cdot (\left(2-3.5\right))^2+ \dots +( (1)\preko (6))\cdot (\lijevo(6-3,5\desno))^2=((35)\preko (12))\cca 2,92.$$

Primjer 7 . Poznato je da je varijansa slučajne varijable $X$ jednaka $D\left(X\right)=2$. Pronađite varijansu slučajne varijable $4X+1$.

Koristeći gornja svojstva, nalazimo $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ lijevo(X\desno)=16\cdot 2=32$.

Primjer 8 . Poznato je da je varijansa slučajne varijable $X$ jednaka $D\left(X\right)=3$. Pronađite varijansu slučajne varijable $3-2X$.

Koristeći gornja svojstva, nalazimo $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ lijevo(X\desno)=4\cdot 3=12$.

4. Funkcija distribucije diskretne slučajne varijable.

Metoda predstavljanja diskretne slučajne varijable u obliku distributivnog niza nije jedina, i što je najvažnije, nije univerzalna, jer se kontinuirana slučajna varijabla ne može specificirati pomoću distributivnog niza. Postoji još jedan način predstavljanja slučajne varijable - funkcija distribucije.

Funkcija distribucije slučajna varijabla $X$ naziva se funkcija $F\left(x\right)$, koja određuje vjerovatnoću da će slučajna varijabla $X$ poprimiti vrijednost manju od neke fiksne vrijednosti $x$, odnosno $F\ lijevo(x\desno)=P\lijevo(X< x\right)$

Svojstva funkcije distribucije:

$0\le F\levo(x\desno)\le 1$.
Vjerovatnoća da će slučajna varijabla $X$ uzeti vrijednosti iz intervala $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ jednaka je razlici između vrijednosti funkcije distribucije na krajevima ovog interval: $P\levo(\alfa< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
$F\left(x\right)$ - neopadajuće.
$(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \desno)=1\ )$.

Primjer 9 . Nađimo funkciju raspodjele $F\left(x\right)$ za zakon raspodjele diskretne slučajne varijable $X$ iz primjera $2$.

$\begin(niz)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(niz)$

Ako je $x\le 1$, onda je, očigledno, $F\left(x\right)=0$ (uključujući za $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X< 1\right)=0$).

Ako $1< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Ako $2< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Ako $3< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Ako $4< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Ako $5< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Ako je $x > 6$, onda je $F\left(x\desno)=P\left(X=1\desno)+P\left(X=2\desno)+P\left(X=3\desno) +P\levo(X=4\desno)+P\levo(X=5\desno)+P\levo(X=6\desno)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1/6+1/6=1$.

Dakle, $F(x)=\left\(\begin(matrica)
0,\ na\ x\le 1,\\
1/6, na\ 1< x\le 2,\\
1/3,\ at\ 2< x\le 3,\\
1/2, na\ 3< x\le 4,\\
2/3,\ at\ 4< x\le 5,\\
5/6,\ at\ 4< x\le 5,\\
1,\ za\ x > 6.
\end(matrix)\right.$

Jedan od najvažnijih koncepata u teoriji vjerovatnoće je koncept slučajna varijabla.

Slučajno pozvao veličina, koji kao rezultat testiranja poprima određene moguće vrijednosti koje su unaprijed nepoznate i zavise od slučajnih razloga koji se ne mogu unaprijed uzeti u obzir.

Slučajne varijable su označene velikim slovima latinice X, Y, Z itd. ili velikim slovima latinice sa desnim donjim indeksom, i vrijednostima koje slučajne varijable mogu uzeti - odgovarajućim malim slovima latinice x, y, z itd.

Koncept slučajne varijable usko je povezan s konceptom slučajnog događaja. Veza sa slučajnim događajem leži u činjenici da je usvajanje određene numeričke vrijednosti od strane slučajne varijable slučajan događaj karakteriziran vjerovatnoćom .

U praksi postoje dvije glavne vrste slučajnih varijabli:

1. Diskretne slučajne varijable;

2. Kontinuirane slučajne varijable.

Slučajna varijabla je numerička funkcija slučajnih događaja.

Na primjer, slučajna varijabla je broj bodova dobijenih prilikom bacanja kockice ili visina učenika koji je nasumično odabran iz studijske grupe.

Diskretne slučajne varijable nazivaju se slučajne varijable koje uzimaju samo vrijednosti udaljene jedna od druge koje se mogu unaprijed navesti.

Zakon distribucije(funkcija distribucije i red raspodjele ili gustina vjerovatnoće) u potpunosti opisuju ponašanje slučajne varijable. Ali u nizu problema dovoljno je poznavati neke numeričke karakteristike veličine koja se proučava (na primjer, njenu prosječnu vrijednost i moguće odstupanje od nje) da bi se odgovorilo na postavljeno pitanje. Razmotrimo glavne numeričke karakteristike diskretnih slučajnih varijabli.

Zakon distribucije diskretne slučajne varijable svaka relacija se zove , uspostavljanje veze između mogućih vrijednosti slučajne varijable i njihovih odgovarajućih vjerovatnoća .

Zakon raspodjele slučajne varijable može se predstaviti kao stolovi:

			…	…
			…	…

Zbir vjerovatnoća svih mogućih vrijednosti slučajne varijable jednak je jedan, tj.

Zakon distribucije se može prikazati grafički: moguće vrijednosti slučajne varijable su iscrtane duž apscisne ose, a vjerovatnoće ovih vrijednosti su nacrtane duž ordinatne ose; rezultirajuće tačke su povezane segmentima. Konstruirana polilinija se zove distributivni poligon.

Primjer. Lovac sa 4 patrone puca na divljač dok ne izvrši prvi pogodak ili ne potroši sve metke. Vjerovatnoća da se pogodi pri prvom udarcu je 0,7, sa svakim sljedećim se smanjuje za 0,1. Napraviti zakon raspodjele za broj metaka koje je potrošio lovac.

Rješenje. Pošto lovac, koji ima 4 metke, može ispaliti četiri metka, onda je slučajna varijabla X- broj metaka koje lovac potroši može imati vrijednosti 1, 2, 3, 4. Da bismo pronašli odgovarajuće vjerovatnoće, uvodimo događaje:

- “udari sa ja - oh pucao”, ;

- „promaši kada ja - om shot”, a događaji i su nezavisni u parovima.

Prema problemskim uslovima imamo:

Koristeći teoremu množenja za nezavisne događaje i teoremu sabiranja za nekompatibilne događaje, nalazimo:

(lovac je pogodio metu prvim hicem);

(lovac je pogodio metu drugim hicem);

(lovac je pogodio metu trećim hicem);

(lovac je pogodio metu četvrtim hicem ili promašio sva četiri puta).

Provjerite: - tačno.

Dakle, zakon distribucije slučajne varijable X ima oblik:


	0,7	0,18	0,06	0,06

Primjer. Radnik upravlja sa tri mašine. Vjerovatnoća da u roku od sat vremena prva mašina neće zahtijevati podešavanje je 0,9, druga - 0,8, treća - 0,7. Napraviti zakon raspodjele za broj mašina koje će zahtijevati podešavanje u roku od sat vremena.

Rješenje. Slučajna vrijednost X- broj mašina koje će zahtevati podešavanje u roku od jednog sata može imati vrednosti 0,1, 2, 3. Da bismo pronašli odgovarajuće verovatnoće, uvodimo događaje:

- “i- mašina će zahtevati podešavanje u roku od sat vremena,” ;

- “i- mašina neće zahtevati podešavanje u roku od sat vremena,” .

Prema uslovima problema imamo:

, .