Moguće je odrediti dužinu segmenta Različiti putevi. Da biste saznali kako pronaći dužinu segmenta, dovoljno je imati ravnalo ili znati posebne formule za izračunavanje.
Dužina segmenta pomoću ravnala
Da bismo to učinili, primjenjujemo ravnalo s milimetarskim podjelama na segment konstruiran na ravni, a početna točka mora biti poravnata s nulom skale ravnala. Zatim na ovoj skali označite lokaciju krajnje tačke ovog segmenta. Rezultirajući broj podjela cijele skale bit će dužina segmenta, izražena u cm i mm.
Metoda ravnih koordinata
Ako su koordinate segmenta (x1;y1) i (x2;y2) poznate, onda njegovu dužinu treba izračunati na sljedeći način. Koordinate prve tačke treba oduzeti od koordinata na ravni druge tačke. Rezultat bi trebao biti dva broja. Svaki od ovih brojeva mora biti kvadriran, a zatim se mora naći zbir ovih kvadrata. Iz rezultirajućeg broja treba izdvojiti Kvadratni korijen, što će biti rastojanje između tačaka. Pošto su ove tačke krajevi segmenta, ova vrednost će biti njegova dužina.
Pogledajmo primjer kako pronaći dužinu segmenta koristeći koordinate. Postoje koordinate dvije tačke (-1;2) i (4;7). Kada pronađemo razliku između koordinata tačaka, dobijamo sledeće vrednosti: x = 5, y = 5. Rezultirajući brojevi će biti koordinate segmenta. Zatim kvadriramo svaki broj i nađemo zbir rezultata, jednak je 50. Uzimamo kvadratni korijen ovog broja. Rezultat je: 5 korijena od 2. Ovo je dužina segmenta.
Metoda koordinata u prostoru
Da biste to učinili, morate razmotriti kako pronaći dužinu vektora. To će biti segment u Euklidskom prostoru. Nalazi se na skoro isti način kao i dužina segmenta na ravni. Vektor je konstruisan u različitim ravnima. Kako pronaći dužinu vektora?
- Pronađite koordinate vektora; da biste to učinili, trebate oduzeti koordinate njegove početne točke od koordinata njegove krajnje točke.
- Nakon toga, trebate kvadrirati svaku vektorsku koordinatu.
- Zatim zbrajamo koordinate na kvadrat.
- Da biste pronašli dužinu vektora, morate uzeti kvadratni korijen zbira kvadrata koordinata.
Pogledajmo algoritam proračuna koristeći primjer. Potrebno je pronaći koordinate vektora AB. Tačke A i B imaju sljedeće koordinate: A (1;6;3) i B (3;-1;7). Početak vektora leži u tački A, kraj se nalazi u tački B. Dakle, da bismo pronašli njegove koordinate, potrebno je oduzeti koordinate tačke A od koordinata tačke B: (3 - 1; -1 - 6;7 - 3) = (2;- 7:4).
Sada kvadriramo svaku koordinatu i saberemo ih: 4+49+16=69. Konačno, uzima kvadratni korijen datog broja. Teško ga je izdvojiti, pa rezultat pišemo ovako: dužina vektora jednaka je korijenu od 69.
Ako vam nije važno da sami izračunate dužinu segmenata i vektora, već vam je potreban samo rezultat, onda možete koristiti online kalkulator, na primjer, ovaj.
Sada, nakon proučavanja ovih metoda i razmatranja prikazanih primjera, možete lako pronaći dužinu segmenta u bilo kojem problemu.
U ovom članku ćemo govoriti o pronalaženju koordinata sredine segmenta iz koordinata njegovih krajeva. Prvo ćemo dati potrebne koncepte, zatim ćemo dobiti formule za pronalaženje koordinata sredine segmenta, a u zaključku ćemo razmotriti rješenja tipični primjeri i zadatke.
Navigacija po stranici.
Koncept sredine segmenta.
Da bismo uveli pojam sredine segmenta, potrebne su nam definicije segmenta i njegove dužine.
Koncept segmenta se uči na časovima matematike u petom razredu. srednja škola kako slijedi: ako uzmemo dvije proizvoljne nepodudarne točke A i B, na njih primijenimo ravnalo i povučemo pravu od A do B (ili od B do A), onda ćemo dobiti segment AB(ili segment B A). Tačke A i B se nazivaju krajevi segmenta. Treba imati na umu da su segment AB i segment BA isti segment.
Ako se odsječak AB nastavi beskonačno u oba smjera od krajeva, onda dobivamo ravno AB(ili direktni VA). Odsječak AB je dio prave AB, zatvoren između tačaka A i B. Dakle, segment AB je unija tačaka A, B i skupa svih tačaka prave AB koja se nalazi između tačaka A i B. Ako uzmemo proizvoljnu tačku M prave AB, koja se nalazi između tačaka A i B, onda kažemo da je tačka M laži na segmentu AB.
Dužina segmenta AB je rastojanje između tačaka A i B na datoj skali (odsječak jedinične dužine). Dužinu segmenta AB označit ćemo kao .
Definicija.
Dot C se zove središnja tačka segmenta AB, ako leži na segmentu AB i nalazi se na ista udaljenost sa njegovih krajeva.
To jest, ako je tačka C središte segmenta AB, onda ona leži na njoj i.
Dalje, naš će zadatak biti pronaći koordinate sredine segmenta AB, ako su koordinate tačaka A i B date na koordinatnoj liniji ili u pravokutnom koordinatnom sistemu.
Koordinata sredine segmenta na koordinatnoj liniji.
Neka nam je dana koordinata Ox i dvije nepodudarne točke A i B na njoj, koje odgovaraju realnim brojevima i . Neka je tačka C središte segmenta AB. Nađimo koordinate tačke C.
Pošto je tačka C sredina segmenta AB, tačna je jednakost. U preseku udaljenosti od tačke do tačke na koordinatnoj liniji, pokazali smo da je rastojanje između tačaka jednako modulu razlike njihovih koordinata, dakle, . Onda 
ili 
. Od jednakosti 
nalazimo koordinatu sredine segmenta AB na koordinatnoj liniji: 
- jednaka je polovini zbira koordinata krajeva segmenta. Iz druge jednakosti dobijamo , što je nemoguće, pošto smo uzeli divergentne tačke A i B.
dakle, formula za pronalaženje koordinata sredine segmenta AB sa krajevima ima oblik .
Koordinate sredine segmenta na ravni.
Hajde da uvedemo pravougaoni Dekartov koordinatni sistem Oxyz na ravni. Neka su nam date dvije tačke i znamo da je tačka C sredina segmenta AB. Nađimo koordinate i tačke C.
Po konstrukciji, ravno 
paralelne, kao i paralelne prave 
, dakle, po Talesova teorema iz jednakosti segmenata AC i CB slijedi jednakost segmenata i , kao i segmenata i . Prema tome, tačka je središte segmenta, a a središte segmenta. Zatim, na osnovu prethodnog stava ovog člana I 
.
Koristeći ove formule, možete izračunati koordinate sredine segmenta AB u slučajevima kada tačke A i B leže na jednoj od koordinatnih osa ili na pravoj liniji okomitoj na jednu od koordinatnih osa. Ostavimo ove slučajeve bez komentara i damo grafičke ilustracije.
dakle, sredina segmenta AB na ravni sa krajevima u tačkama i ima koordinate 
.
Koordinate sredine segmenta u prostoru.
Neka se pravougaoni koordinatni sistem Oxyz uvede u trodimenzionalni prostor i navedu dvije tačke 
I 
. Dobijmo formule za pronalaženje koordinata tačke C, koja je središte segmenta AB.
Hajde da razmotrimo opšti slučaj.
Neka su i projekcije tačaka A, B i C na koordinatne ose Ox, Oy i Oz, redom.
Prema Talesovoj teoremi, dakle, tačke su sredine segmenata 
respektivno. Zatim (vidi prvi pasus ovog članka). Dakle, dobili smo formule za izračunavanje koordinata sredine segmenta iz koordinata njegovih krajeva u prostoru.
Ove formule se mogu primijeniti i u slučajevima kada tačke A i B leže na jednoj od koordinatnih osa ili na pravoj liniji okomitoj na jednu od koordinatnih osa, kao i ako tačke A i B leže u jednoj od koordinatnih ravnina ili u ravan paralelna jednoj od ravni koordinatnih ravni.
Koordinate sredine segmenta kroz koordinate vektora radijusa njegovih krajeva.
Formule za pronalaženje koordinata sredine segmenta mogu se lako dobiti okretanjem vektorskoj algebri.
Neka je pravougaoni Dekartov koordinatni sistem Oxy dat na ravni i tačka C je središte segmenta AB, i .
Prema geometrijskoj definiciji operacija nad vektorima, jednakost 
(tačka C je presečna tačka dijagonala paralelograma izgrađenog na vektorima i , odnosno tačka C je sredina dijagonale paralelograma). U koordinatama vektora članka u pravougaonom koordinatnom sistemu, otkrili smo da su koordinate radijus vektora tačke jednake koordinatama ove tačke, dakle, 
. Zatim, izvršivši odgovarajuće operacije na vektorima u koordinatama, imamo . Kako možemo zaključiti da tačka C ima koordinate .
Apsolutno slično, koordinate sredine segmenta AB mogu se pronaći kroz koordinate njegovih krajeva u prostoru. U ovom slučaju, ako je C sredina segmenta AB i , tada imamo 
.
Pronalaženje koordinata sredine segmenta, primjeri, rješenja.
U mnogim problemima morate koristiti formule da pronađete koordinate sredine segmenta. Pogledajmo rješenja najtipičnijih primjera.
Počnimo s primjerom koji samo zahtijeva primjenu formule.
Primjer.
Na ravni su date koordinate dvije tačke 
. Pronađite koordinate sredine segmenta AB.
Rješenje.
Neka je tačka C središte segmenta AB. Njegove koordinate jednake su polovini zbira odgovarajućih koordinata tačaka A i B: 
Dakle, sredina segmenta AB ima koordinate.
Članak u nastavku će pokriti pitanja pronalaženja koordinata sredine segmenta ako su koordinate njegovih ekstremnih tačaka dostupne kao početni podaci. Ali prije nego počnemo proučavati ovo pitanje, uvedemo nekoliko definicija.
Yandex.RTB R-A-339285-1 Definicija 1
Segment linije– prava linija koja spaja dvije proizvoljne tačke, koje se nazivaju krajevi segmenta. Kao primjer, neka su to tačke A i B i, shodno tome, segment A B.
Ako se odsječak A B nastavi u oba smjera od tačaka A i B, dobićemo pravu liniju A B. Tada je segment A B dio rezultirajuće prave linije, ograničen tačkama A i B. Segment A B objedinjuje tačke A i B, koje su njegovi krajevi, kao i skup tačaka između njih. Ako, na primjer, uzmemo bilo koju proizvoljnu tačku K koja leži između tačaka A i B, možemo reći da tačka K leži na segmentu A B.
Definicija 2
Dužina sekcije– rastojanje između krajeva segmenta u datoj skali (segment jedinične dužine). Označimo dužinu segmenta A B na sljedeći način: A B .
Definicija 3
Sredina segmenta– tačka koja leži na segmentu i jednako udaljena od njegovih krajeva. Ako je sredina segmenta A B označena točkom C, tada će biti tačna jednakost: A C = C B
Početni podaci: koordinatna linija O x i nepodudarne tačke na njoj: A i B. Ove tačke odgovaraju realnim brojevima x A i x B . Tačka C je sredina segmenta A B: potrebno je odrediti koordinate x C .
Pošto je tačka C središte segmenta A B, jednakost će biti tačna: | A C | = | C B | . Udaljenost između tačaka određena je modulom razlike njihovih koordinata, tj.
| A C | = | C B | ⇔ x C - x A = x B - x C
Tada su moguće dvije jednakosti: x C - x A = x B - x C i x C - x A = - (x B - x C)
Iz prve jednakosti izvodimo formulu za koordinate tačke C: x C = x A + x B 2 (pola zbroja koordinata krajeva segmenta).
Iz druge jednakosti dobijamo: x A = x B, što je nemoguće, jer u izvornim podacima - nepodudarne tačke. dakle, formula za određivanje koordinata sredine segmenta A B sa krajevima A (x A) i B(xB):
Rezultirajuća formula će biti osnova za određivanje koordinata sredine segmenta na ravni ili u prostoru.
Početni podaci: pravougaoni koordinatni sistem na O x y ravni, dvije proizvoljne nepodudarne tačke sa date koordinate A x A , y A i B x B , y B . Tačka C je sredina segmenta A B. Potrebno je odrediti x C i y C koordinate za tačku C.
Uzmimo za analizu slučaj kada se tačke A i B ne poklapaju i ne leže na istoj koordinatnoj pravoj ili pravoj okomitoj na jednu od osa. A x , A y ; B x, B y i C x, C y - projekcije tačaka A, B i C na koordinatne ose (prave O x i O y).
Prema konstrukciji, prave A A x, B B x, C C x su paralelne; linije su takođe paralelne jedna s drugom. Zajedno s tim, prema Talesovoj teoremi, iz jednakosti A C = C B slijede jednakosti: A x C x = C x B x i A y C y = C y B y, a one zauzvrat ukazuju da je tačka C x sredina segmenta A x B x, a C y je sredina segmenta A y B y. A onda, na osnovu formule dobijene ranije, dobijamo:
x C = x A + x B 2 i y C = y A + y B 2
Iste formule mogu se koristiti u slučaju kada tačke A i B leže na istoj koordinatnoj liniji ili pravoj okomitoj na jednu od osa. Ponašanje detaljna analiza Ovaj slučaj nećemo razmatrati, razmatraćemo ga samo grafički:
Sumirajući sve navedeno, koordinate sredine segmenta A B na ravni sa koordinatama krajeva A (x A , y A) I B(xB, yB) definisani su kao:
(x A + x B 2 , y A + y B 2)
Početni podaci: koordinatni sistem O x y z i dvije proizvoljne tačke sa datim koordinatama A (x A, y A, z A) i B (x B, y B, z B). Potrebno je odrediti koordinate tačke C, koja je sredina segmenta A B.
A x , A y , A z ; B x , B y , B z i C x , C y , C z - projekcije svih datih tačaka na ose koordinatnog sistema.
Prema Talesovoj teoremi, sljedeće jednakosti su tačne: A x C x = C x B x , A y C y = C y B y , A z C z = C z B z
Prema tome, tačke C x , C y , C z su sredine segmenata A x B x , A y B y , A z B z , respektivno. onda, Za određivanje koordinata sredine segmenta u prostoru, ispravne su sljedeće formule:
x C = x A + x B 2, y c = y A + y B 2, z c = z A + Z B 2
Rezultirajuće formule su također primjenjive u slučajevima kada tačke A i B leže na jednoj od koordinatnih linija; na pravoj liniji okomitoj na jednu od osi; u jednoj koordinatnoj ravni ili ravni okomitoj na jednu od koordinatnih ravnina.
Određivanje koordinata sredine segmenta preko koordinata vektora radijusa njegovih krajeva
Formula za pronalaženje koordinata sredine segmenta može se izvesti i prema algebarskoj interpretaciji vektora.
Početni podaci: pravougaoni Dekartov koordinatni sistem O x y, tačke sa datim koordinatama A (x A, y A) i B (x B, x B). Tačka C je sredina segmenta A B.
Prema geometrijskoj definiciji djelovanja na vektore, vrijedit će sljedeća jednakost: O C → = 1 2 · O A → + O B → . Tačka C u ovom slučaju je presjek dijagonala paralelograma konstruiranog na osnovu vektora O A → i O B →, tj. tačka sredine dijagonala.Koordinate radijus vektora tačke jednake su koordinatama tačke, tada su tačne jednakosti: O A → = (x A, y A), O B → = (x B , y B). Izvršimo neke operacije nad vektorima u koordinatama i dobijemo:
O C → = 1 2 · O A → + O B → = x A + x B 2 , y A + y B 2
Dakle, tačka C ima koordinate:
x A + x B 2 , y A + y B 2
Analogno se određuje formula za pronalaženje koordinata sredine segmenta u prostoru:
C (x A + x B 2, y A + y B 2, z A + z B 2)
Primjeri rješavanja zadataka za pronalaženje koordinata sredine segmenta
Među problemima koji podrazumevaju korišćenje gore dobijenih formula postoje oni kod kojih je direktno pitanje izračunavanje koordinata sredine segmenta, i oni koji podrazumevaju dovođenje datih uslova na ovo pitanje: pojam „medijana“ često se koristi, cilj je pronaći koordinate jedne od krajeva segmenta, a česti su i problemi simetrije čije rješenje općenito ne bi trebalo uzrokovati poteškoće nakon proučavanja ove teme. Pogledajmo tipične primjere.
Primjer 1
Početni podaci: na ravni - tačke sa datim koordinatama A (- 7, 3) i B (2, 4). Potrebno je pronaći koordinate sredine segmenta A B.
Rješenje
Označimo sredinu segmenta A B tačkom C. Njegove koordinate će se odrediti kao polovina zbira koordinata krajeva segmenta, tj. tačke A i B.
x C = x A + x B 2 = - 7 + 2 2 = - 5 2 y C = y A + y B 2 = 3 + 4 2 = 7 2
Odgovori: koordinate sredine segmenta A B - 5 2, 7 2.
Primjer 2
Početni podaci: poznate su koordinate trougla A B C: A (- 1, 0), B (3, 2), C (9, - 8). Potrebno je pronaći dužinu medijane A M.
Rješenje
- Prema uslovima zadatka, A M je medijana, što znači da je M središte segmenta B C . Prije svega, nađimo koordinate sredine segmenta B C, tj. M bodova:
x M = x B + x C 2 = 3 + 9 2 = 6 y M = y B + y C 2 = 2 + (- 8) 2 = - 3
- Pošto sada znamo koordinate oba kraja medijane (tačke A i M), možemo koristiti formulu da odredimo udaljenost između tačaka i izračunamo dužinu medijane A M:
A M = (6 - (- 1)) 2 + (- 3 - 0) 2 = 58
odgovor: 58
Primjer 3
Početni podaci: u pravougaonom koordinatnom sistemu trodimenzionalnog prostora dat je paralelepiped A B C D A 1 B 1 C 1 D 1. Date su koordinate tačke C 1 (1, 1, 0), a definisana je i tačka M, koja je središte dijagonale B D 1 i ima koordinate M (4, 2, - 4). Potrebno je izračunati koordinate tačke A.
Rješenje
Dijagonale paralelepipeda se sijeku u jednoj tački, koja je središte svih dijagonala. Na osnovu ove tvrdnje možemo imati na umu da je tačka M, poznata iz uslova zadatka, središte segmenta A C 1. Na osnovu formule za pronalaženje koordinata sredine segmenta u prostoru, nalazimo koordinate tačke A: x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 x M - x C 1 = 2 4 - 1 + 7 y M = y A + y C 1 2 ⇒ y A = 2 y M - y C 1 = 2 2 - 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 ⇒ z A = 2 z M - z C 1 = 2 · (- 4) - 0 = - 8
odgovor: koordinate tačke A (7, 3, - 8).
Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter
Dužina, kao što je već napomenuto, označena je znakom modula.
Ako su date dvije točke ravnine i , tada se dužina segmenta može izračunati pomoću formule
Ako su date dvije točke u prostoru i, tada se dužina segmenta može izračunati pomoću formule
Bilješka: Formule će ostati ispravne ako se odgovarajuće koordinate zamijene: I , ali prva opcija je standardnija
Primjer 3
Rješenje: prema odgovarajućoj formuli:
odgovor: 
Radi jasnoće, napraviću crtež 
Segment linije - ovo nije vektor, i, naravno, ne možete ga nigdje pomjeriti. Osim toga, ako crtate u mjerilu: 1 jedinica. = 1 cm (dve ćelije sveske), onda se dobijeni odgovor može proveriti običnim lenjirom direktnim merenjem dužine segmenta.
Da, rješenje je kratko, ali ima još par u njemu važne tačke da razjasnim:
Prvo, u odgovoru stavljamo dimenziju: „jedinice“. Uslov ne kaže ŠTA je, milimetri, centimetri, metri ili kilometri. Stoga bi matematički ispravno rješenje bila opća formulacija: “jedinice” – skraćeno kao “jedinice”.
Drugo, da ponovimo školskog materijala, što je korisno ne samo za razmatrani problem:
obratite pažnju na važna tehnika – uklanjanje množitelja ispod korijena. Kao rezultat proračuna, imamo rezultat i dobar matematički stil uključuje uklanjanje faktora ispod korijena (ako je moguće). Detaljnije proces izgleda ovako: 
. Naravno, ostaviti odgovor kakav jeste ne bi bila greška – ali bi to svakako bio nedostatak i težak argument za prepirku od strane nastavnika.
Evo i drugih uobičajenih slučajeva: 
Često je dovoljno u korenu veliki broj, Na primjer . Šta učiniti u takvim slučajevima? Pomoću kalkulatora provjeravamo da li je broj djeljiv sa 4: . Da, bilo je potpuno podijeljeno, dakle: 
. Ili se broj može ponovo podijeliti sa 4? . ovako: 
. Posljednja cifra broja je neparna, tako da dijeljenje sa 4 po treći put očigledno neće raditi. Pokušajmo podijeliti sa devet: . Kao rezultat:
Spreman.
zaključak: ako ispod korijena dobijemo broj koji se ne može izdvojiti kao cjelina, onda pokušavamo ukloniti faktor ispod korijena - pomoću kalkulatora provjeravamo da li je broj djeljiv sa: 4, 9, 16, 25, 36, 49, itd.
Prilikom rješavanja raznih problema često se susreću s korijenima; uvijek pokušajte da izvučete faktore ispod korijena kako biste izbjegli nižu ocjenu i nepotrebne probleme sa finaliziranjem rješenja na osnovu komentara nastavnika.
Ponovimo i kvadratne korijene i druge potencije: 
Pravila za radnje sa stepenom in opšti pogled može se naći u školskom udžbeniku algebre, ali mislim da je iz navedenih primjera već sve ili skoro sve jasno.
Zadatak za samostalno rješenje sa segmentom u prostoru:
Primjer 4
Poeni i su dati. Pronađite dužinu segmenta.
Rješenje i odgovor nalaze se na kraju lekcije.
Postoji čitava grupa zadataka (uključenih u ispitne vrste zadataka) povezanih sa koordinatnom ravninom. To su zadaci koji počinju od onih najosnovnijih, koji se rješavaju usmeno (određivanje ordinate ili apscise dati poen, ili tačke simetrične date i druge), završavajući zadacima koji zahtijevaju kvalitetno znanje, razumijevanje i dobre vještine (zadaci vezani za nagib prave).
Postepeno ćemo ih sve razmotriti. U ovom članku ćemo početi s osnovama. Ovo jednostavni zadaci odrediti: apscisu i ordinatu tačke, dužinu segmenta, sredinu segmenta, sinus ili kosinus ugla nagiba prave linije.Većina ljudi neće biti zainteresovana za ove zadatke. Ali smatram potrebnim da ih predstavim.
Činjenica je da ne idu svi u školu. Mnogi ljudi polažu Jedinstveni državni ispit 3-4 ili više godina nakon diplomiranja, a nejasno se sjećaju što su apscisa i ordinata. Analizirat ćemo i druge zadatke u vezi s koordinatnom ravninom, nemojte je propustiti, pretplatite se na ažuriranja bloga. Sada n malo teorije.
Konstruirajmo tačku A na koordinatnoj ravni sa koordinatama x=6, y=3.
Kažu da je apscisa tačke A jednaka šest, ordinata tačke A jednaka je tri.
Jednostavnije rečeno, osa je osa apscisa, a osa y je osa ordinata.
To jest, apscisa je tačka na x osi u koju se projektuje tačka data na koordinatnoj ravni; Ordinata je tačka na osi y na koju je projektovana navedena tačka.
Dužina segmenta na koordinatnoj ravni
Formula za određivanje dužine segmenta ako su poznate koordinate njegovih krajeva:
Kao što vidite, dužina segmenta je dužina hipotenuze u pravokutnom trokutu sa jednakim kracima
X B - X A i U B - U A
* * *
Sredina segmenta. Njene koordinate.
Formula za pronalaženje koordinata sredine segmenta:
Jednačina prave koja prolazi kroz dvije date tačke
Formula za jednadžbu prave linije koja prolazi kroz dvije date tačke ima oblik:
gdje je (x 1; y 1) i (x 2; y 2 ) koordinate datih tačaka.
Zamjenom vrijednosti koordinata u formulu, ona se svodi na oblik:
y = kx + b, gdje je k nagib prave
Ova informacija će nam trebati kada rješavamo drugu grupu problema vezanih za koordinatnu ravan. Biće članak o tome, nemojte ga propustiti!
Šta još možete dodati?
Ugao nagiba prave linije (ili segmenta) je ugao između ose oX i ove prave linije, u rasponu od 0 do 180 stepeni.
Razmotrimo zadatke.
Iz tačke (6;8) okomita se spušta na osu ordinata. Pronađite ordinatu osnove okomice.
Osnova okomice spuštene na os ordinate imat će koordinate (0;8). Ordinata je jednaka osam.
Odgovor: 8
Pronađite udaljenost od tačke A sa koordinatama (6;8) na ordinatu.
Udaljenost od tačke A do ordinatne ose jednaka je apscisi tačke A.
Odgovor: 6.
A(6;8) u odnosu na osu Ox.
Tačka simetrična tački A u odnosu na osu oX ima koordinate (6;– 8).
Ordinata je jednaka minus osam.
Odgovor: – 8
Naći ordinatu tačke simetrične na tačku A(6;8) u odnosu na porijeklo.
Tačka simetrična tački A u odnosu na ishodište ima koordinate (– 6;– 8).
Njegova ordinata je – 8.
Odgovor: –8
Pronađite apscisu sredine segmenta koji spaja tačkeO(0;0) i A(6;8).
Da bi se riješio problem, potrebno je pronaći koordinate sredine segmenta. Koordinate krajeva našeg segmenta su (0;0) i (6;8).
Računamo pomoću formule:
Dobili smo (3;4). Apscisa je jednaka tri.
Odgovor: 3
*Apscisa sredine segmenta može se odrediti bez računanja pomoću formule tako što se ovaj segment konstruiše na koordinatnoj ravni na listu papira u kvadratu. Ćelije će lako odrediti sredinu segmenta.
Pronađite apscisu sredine segmenta koji spaja tačke A(6;8) i B(–2;2).
Da bi se riješio problem, potrebno je pronaći koordinate sredine segmenta. Koordinate krajeva našeg segmenta su (–2;2) i (6;8).
Računamo pomoću formule:
Dobili smo (2;5). Apscisa je jednaka dva.
Odgovor: 2
*Apscisa sredine segmenta može se odrediti bez računanja pomoću formule konstruisanjem ovog segmenta na koordinatnoj ravni na listu papira u kvadratu.
Odrediti dužinu segmenta koji povezuje tačke (0;0) i (6;8).
Dužina segmenta na datim koordinatama njegovih krajeva izračunava se po formuli:
u našem slučaju imamo O(0;0) i A(6;8). znači,
* Redoslijed koordinata pri oduzimanju nije bitan. Možete oduzeti apscisu i ordinatu tačke A od apscise i ordinate tačke O:
Odgovor:10
Pronađite kosinus nagiba segmenta koji povezuje tačke O(0;0) i A(6;8), sa x-osom.
Ugao nagiba segmenta je ugao između ovog segmenta i ose oX.
Iz tačke A spuštamo okomitu na osu oX:
To jest, ugao nagiba segmenta je ugaoVRIV pravougaonog trougla ABO.
Kosinus oštar ugao u pravouglom trouglu je
omjer susjednog kraka i hipotenuze
Moramo pronaći hipotenuzuOA.
Prema Pitagorinoj teoremi:U pravokutnom trokutu kvadrat hipotenuze jednak je zbiru kvadrata kateta.
Dakle, kosinus ugla nagiba je 0,6
Odgovor: 0.6
Iz tačke (6;8) okomita se spušta na osu apscise. Pronađite apscisu osnove okomice.
Kroz tačku (6;8) povučena je prava paralelna osi apscise. Naći ordinatu njegove tačke preseka sa osom OU.
Pronađite udaljenost od tačke A sa koordinatama (6;8) do ose apscise.
Pronađite udaljenost od tačke A sa koordinatama (6;8) do ishodišta.
