Теория вероятностей – это раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.
Долгое время теория вероятностей не имела четкого определения. Оно было сформулировано лишь в 1929 году. Возникновение теории вероятностей как науки относят к средним векам и первым попыткам математического анализа азартных игр (орлянка, кости, рулетка). Французские математики XVII века Блез Паскаль и Пьер Ферма, исследуя прогнозирование выигрыша в азартных играх, открыли первые вероятностные закономерности, возникающие при бросании костей.
Теория вероятности возникла как наука из убеждения, что в основе массовых случайных событий лежат определенные закономерности. Теория вероятности изучает данные закономерности.
Теория вероятностей занимается изучением событий, наступление которых достоверно неизвестно. Она позволяет судить о степени вероятности наступления одних событий по сравнению с другими.
Например: определить однозначно результат выпадения «орла» или «решки» в результате подбрасывания монеты нельзя, но при многократном подбрасывании выпадает примерно одинаковое число «орлов» и «решек», что означает, что вероятность того, что выпадет «орел» или «решка», равна 50%.
Испытанием в этом случае называется реализация определенного комплекса условий, то есть в данном случае подбрасывание монеты. Испытание может воспроизводиться неограниченное количество раз. При этом комплекс условий включает в себя случайные факторы.
Результатом испытания является событие . Событие бывает:
- Достоверное (всегда происходит в результате испытания).
- Невозможное (никогда не происходит).
- Случайное (может произойти или не произойти в результате испытания).
Например, при подбрасывании монеты невозможное событие - монета станет на ребро, случайное событие - выпадение «орла» или «решки». Конкретный результат испытания называется элементарным событием . В результате испытания происходят только элементарные события. Совокупность всех возможных, различных, конкретных исходов испытаний называется пространством элементарных событий .
Основные понятия теории
Вероятность - степень возможности происхождения события. Когда основания для того, чтобы какое-нибудь возможное событие произошло в действительности, перевешивают противоположные основания, то это событие называют вероятным, в противном случае - маловероятным или невероятным.
Случайная величина - это величина, которая в результате испытания может принять то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно. Например: число на пожарную станцию за сутки, число попадания при 10 выстрелах и т.д.
Случайные величины можно разделить на две категории.
- Дискретной случайной величиной называется такая величина, которая в результате испытания может принимать определенные значения с определенной вероятностью, образующие счетное множество (множество, элементы которого могут быть занумерованы). Это множество может быть как конечным, так и бесконечным. Например, количество выстрелов до первого попадания в цель является дискретной случайной величиной, т.к. эта величина может принимать и бесконечное, хотя и счетное количество значений.
- Непрерывной случайной величиной называется такая величина, которая может принимать любые значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Очевидно, что количество возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.
Вероятностное пространство - понятие, введенное А.Н. Колмогоровым в 30-х годах XX века для формализации понятия вероятности, которое дало начало бурному развитию теории вероятностей как строгой математической дисциплине.
Вероятностное пространство - это тройка (иногда обрамляемая угловыми скобками: , где
Это произвольное множество, элементы которого называются элементарными событиями, исходами или точками;
- сигма-алгебра подмножеств , называемых (случайными) событиями;
- вероятностная мера или вероятность, т.е. сигма-аддитивная конечная мера, такая что .
Теорема Муавра-Лапласа - одна из предельных теорем теории вероятностей, установлена Лапласом в 1812 году. Она утверждает, что число успехов при многократном повторении одного и того же случайного эксперимента с двумя возможными исходами приблизительно имеет нормальное распределение. Она позволяет найти приближенное значение вероятности.
Если при каждом из независимых испытаний вероятность появления некоторого случайного события равна () и - число испытаний, в которых фактически наступает, то вероятность справедливости неравенства близка (при больших ) к значению интеграла Лапласа.
Функция распределения в теории вероятностей - функция, характеризующая распределение случайной величины или случайного вектора; вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее или равное х, где х - произвольное действительное число. При соблюдении известных условий полностью определяет случайную величину.
Математическое ожидание - среднее значение случайной величины (это распределение вероятностей случайной величины, рассматривается в теории вероятностей). В англоязычной литературе обозначается через , в русской - . В статистике часто используют обозначение .
Пусть задано вероятностное пространство и определенная на нем случайная величина . То есть, по определению, - измеримая функция. Тогда, если существует интеграл Лебега от по пространству , то он называется математическим ожиданием, или средним значением и обозначается .
Дисперсия случайной величины - мера разброса данной случайной величины, т. е. ее отклонения от математического ожидания. Обозначается в русской литературе и в зарубежной. В статистике часто употребляется обозначение или . Квадратный корень из дисперсии называется среднеквадратичным отклонением, стандартным отклонением или стандартным разбросом.
Пусть - случайная величина, определенная на некотором вероятностном пространстве. Тогда
где символ обозначает математическое ожидание.
В теории вероятностей два случайных события называются независимыми , если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого. Аналогично, две случайные величины называют зависимыми , если значение одной из них влияет на вероятность значений другой.
Простейшая форма закона больших чисел – это теорема Бернулли, утверждающая, что если вероятность события одинакова во всех испытаниях, то с увеличением числа испытаний частота события стремится к вероятности события и перестает быть случайной.
Закон больших чисел в теории вероятностей утверждает, что среднее арифметическое конечной выборки из фиксированного распределения близко к теоретическому среднему математическому ожиданию этого распределения. В зависимости от вида сходимости различают слабый закон больших чисел, когда имеет место сходимость по вероятности, и усиленный закон больших чисел, когда имеет место сходимость почти наверняка.
Общий смысл закона больших чисел - совместное действие большого числа одинаковых и независимых случайных факторов приводит к результату, в пределе не зависящему от случая.
На этом свойстве основаны методы оценки вероятности на основе анализа конечной выборки. Наглядным примером является прогноз результатов выборов на основе опроса выборки избирателей.
Центральные предельные теоремы - класс теорем в теории вероятностей, утверждающих, что сумма достаточно большого количества слабо зависимых случайных величин, имеющих примерно одинаковые масштабы (ни одно из слагаемых не доминирует, не вносит в сумму определяющего вклада), имеет распределение, близкое к нормальному.
Так как многие случайные величины в приложениях формируются под влиянием нескольких слабо зависимых случайных факторов, их распределение считают нормальным. При этом должно соблюдаться условие, что ни один из факторов не является доминирующим. Центральные предельные теоремы в этих случаях обосновывают применение нормального распределения.
События, которые происходят реально или в нашем воображении, можно разделить на 3 группы. Это достоверные события, которые обязательно произойдут, невозможные события и случайные события. Теория вероятностей изучает случайные события, т.е. события, которые могут произойти или не произойти. В данной статье будет представлена в кратком виде теория вероятности формулы и примеры решения задач по теории вероятности, которые будут в 4 задании ЕГЭ по математике (профильный уровень).
Зачем нужна теория вероятности
Исторически потребность исследования этих проблем возникла в XVII веке в связи с развитием и профессионализацией азартных игр и появлением казино. Это было реальное явление, которое требовало своего изучения и исследования.
Игра в карты, кости, рулетку создавала ситуации, когда могло произойти любое из конечного числа равновозможных событий. Возникла необходимость дать числовые оценки возможности наступления того или иного события.
В XX веке выяснилось, что эта, казалось бы, легкомысленная наука играет важную роль в познании фундаментальных процессов, протекающих в микромире. Была создана современная теория вероятностей.
Основные понятия теории вероятности
Объектом изучения теории вероятностей являются события и их вероятности. Если событие является сложным, то его можно разбить на простые составляющие, вероятности которых найти несложно.
Суммой событий А и В называется событие С, заключающееся в том, что произошло либо событие А, либо событие В, либо события А и В одновременно.
Произведением событий А и В называется событие С, заключающееся в том, что произошло и событие А и событие В.
События А и В называется несовместными, если они не могут произойти одновременно.
Событие А называется невозможным, если оно не может произойти. Такое событие обозначается символом .
Событие А называется достоверным, если оно обязательно произойдет. Такое событие обозначается символом .
Пусть каждому событию А поставлено в соответствие число P{А). Это число P(А) называется вероятностью события А, если при таком соответствии выполнены следующие условия.
Важным частным случаем является ситуация, когда имеется равновероятных элементарных исходов, и произвольные из этих исходов образуют события А. В этом случае вероятность можно ввести по формуле . Вероятность, введенная таким образом, называется классической вероятностью. Можно доказать, что в этом случае свойства 1-4 выполнены.
Задачи по теории вероятностей, которые встречаются на ЕГЭ по математике, в основном связаны с классической вероятностью. Такие задачи могут быть очень простыми. Особенно простыми являются задачи по теории вероятностей в демонстрационных вариантах. Легко вычислить число благоприятных исходов , прямо в условии написано число всех исходов .
Ответ получаем по формуле .
Пример задачи из ЕГЭ по математике по определению вероятности
На столе лежат 20 пирожков — 5 с капустой, 7 с яблоками и 8 с рисом. Марина хочет взять пирожок. Какова вероятность, что она возьмет пирожок с рисом?
Решение.
Всего равновероятных элементарных исходов 20, то есть Марина может взять любой из 20 пирожков. Но нам нужно оценить вероятность того, что Марина возьмет пирожок с рисом, то есть , где А — это выбор пирожка с рисом. Значит у нас количество благоприятных исходов (выборов пирожков с рисом) всего 8. Тогда вероятность будет определяться по формуле:
Независимые, противоположные и произвольные события
Однако в открытом банке заданий стали встречаться и более сложные задания. Поэтому обратим внимание читателя и на другие вопросы, изучаемые в теории вероятностей.
События А и В называется независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от того, произошло ли другое событие.
Событие B состоит в том, что событие А не произошло, т.е. событие B является противоположным к событию А. Вероятность противоположного события равна единице минус вероятность прямого события,т.е. .
Теоремы сложения и умножения вероятностей, формулы
Для произвольных событий А и В вероятность суммы этих событий равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного события, т.е. .
Для независимых событий А и В вероятность произведения этих событий равна произведению их вероятностей, т.е. в этом случае .
Последние 2 утверждения называются теоремами сложения и умножения вероятностей.
Не всегда подсчет числа исходов является столь простым. В ряде случаев необходимо использовать формулы комбинаторики. При этом наиболее важным является подсчет числа событий, удовлетворяющих определенным условиям. Иногда такого рода подсчеты могут становиться самостоятельными заданиями.
Сколькими способами можно усадить 6 учеников на 6 свободных мест? Первый ученик займет любое из 6 мест. Каждому из этих вариантов соответствует 5 способов занять место второму ученику. Для третьего ученика остается 4 свободных места, для четвертого - 3, для пятого - 2, шестой займет единственное оставшееся место. Чтобы найти число всех вариантов, надо найти произведение , которое обозначается символом 6! и читается «шесть факториал».
В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа перестановок из п элементов В нашем случае .
Рассмотрим теперь другой случай с нашими учениками. Сколькими способами можно усадить 2 учеников на 6 свободных мест? Первый ученик займет любое из 6 мест. Каждому из этих вариантов соответствует 5 способов занять место второму ученику. Чтобы найти число всех вариантов, надо найти произведение .
В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа размещений из n элементов по k элементам
В нашем случае .
И последний случай из этой серии. Сколькими способами можно выбрать трех учеников из 6? Первого ученика можно выбрать 6 способами, второго - 5 способами, третьего - четырьмя. Но среди этих вариантов 6 раз встречается одна и та же тройка учеников. Чтобы найти число всех вариантов, надо вычислить величину: . В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа сочетаний из элементов по элементам:
В нашем случае .
Примеры решения задач из ЕГЭ по математике на определение вероятности
Задача 1. Из сборника под ред. Ященко.
На тарелке 30 пирожков: 3 с мясом, 18 с капустой и 9 с вишней. Саша наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней.
.
Ответ: 0,3.
Задача 2. Из сборника под ред. Ященко.
В каждой партии из 1000 лампочек в среднем 20 бракованных. Найдите вероятность того, что наугад взятая лампочка из партии будет исправной.
Решение: Количество исправных лампочек 1000-20=980. Тогда вероятность того, что взятая наугад лампочка из партии будет исправной:
Ответ: 0,98.
Вероятность того, что на тестировании по математике учащийся У. верно решит больше 9 задач, равна 0,67. Вероятность того, что У. верно решит больше 8 задач, равна 0,73. Найдите вероятность того, что У. верно решит ровно 9 задач.
Если мы вообразим числовую прямую и на ней отметим точки 8 и 9, то мы увидим, что условие «У. верно решит ровно 9 задач» входит в условие «У. верно решит больше 8 задач», но не относится к условию «У. верно решит больше 9 задач».
Однако, условие «У. верно решит больше 9 задач» содержится в условии «У. верно решит больше 8 задач». Таким образом, если мы обозначим события: «У. верно решит ровно 9 задач» — через А, «У. верно решит больше 8 задач» — через B, «У. верно решит больше 9 задач» через С. То решение будет выглядеть следующим образом:
Ответ: 0,06.
На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Тригонометрия», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос по теме «Внешние углы», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
Давайте подумаем какие у нас даны события. Нам даны два несовместных события. То есть либо вопрос будет относиться к теме «Тригонометрия», либо к теме «Внешние углы». По теореме вероятности вероятность несовместных событий равна сумме вероятностей каждого события, мы должны найти сумму вероятностей этих событий, то есть:
Ответ: 0,35.
Помещение освещается фонарём с тремя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,29. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.
Рассмотрим возможные события. У нас есть три лампочки, каждая из которых может перегореть или не перегореть независимо от любой другой лампочки. Это независимые события.
Тогда укажем варианты таких событий. Примем обозначения: — лампочка горит, — лампочка перегорела. И сразу рядом подсчитаем вероятность события. Например, вероятность события, в котором произошли три независимых события «лампочка перегорела», «лампочка горит», «лампочка горит»: , где вероятность события «лампочка горит» подсчитывается как вероятность события, противоположного событию «лампочка не горит», а именно: .
Заметим, что благоприятных нам несовместных событий всего 7. Вероятность таких событий равна сумме вероятностей каждого из событий: .
Ответ: 0,975608.
Еще одну задачку вы можете посмотреть на рисунке:
Таким образом, мы с вами поняли, что такое теория вероятности формулы и примеры решения задач по которой вам могут встретиться в варианте ЕГЭ.
Вероятность наступления события в некотором испытании равна отношению , где:
Общее число всех равновозможных , элементарных исходов данного испытания, которые образуют полную группу событий ;
Количество элементарных исходов, благоприятствующих событию .
Задача 1
В урне находится 15 белых, 5 красных и 10 чёрных шаров. Наугад извлекается 1 шар, найти вероятность того, что он будет: а) белым, б) красным, в) чёрным.
Решение : важнейшей предпосылкой для использования классического определения вероятности является возможность подсчёта общего количества исходов .
Всего в урне: 15 + 5 + 10 = 30 шаров, и, очевидно, справедливы следующие факты:
Извлечение любого шара одинаково возможно (равновозможность исходов) , при этом исходы элементарны и образуют полную группу событий (т.е. в результате испытания обязательно будет извлечён какой-то один из 30-ти шаров) .
Таким образом, общее число исходов:
Рассмотрим событие: - из урны будет извлечён белый шар. Данному событию благоприятствуют элементарных
исходов, поэтому по классическому определению:
- вероятность того, то из урны будет извлечён белый шар.
Как ни странно, даже в такой простой задаче можно допустить серьёзную неточность. Где здесь подводный камень? Здесь некорректно рассуждать, что «раз половина шаров белые, то вероятность извлечения белого шара » . В классическом определении вероятности речь идёт об ЭЛЕМЕНТАРНЫХ исходах, и дробь следует обязательно прописать!
С другими пунктами аналогично, рассмотрим следующие события:
Из урны будет извлечён красный шар;
- из урны будет извлечён чёрный шар.
Событию благоприятствует 5 элементарных исходов, а событию - 10 элементарных исходов. Таким образом, соответствующие вероятности:
Типичная проверка многих задач по терверу осуществляется с помощью теоремы о сумме вероятностей событий, образующих полную группу . В нашем случае события образуют полную группу, а значит, сумма соответствующих вероятностей должна обязательно равняться единице: .
Проверим, так ли это: , в чём и хотелось убедиться.
Ответ
: 
На практике распространён «скоростной» вариант оформления решения :
Всего: 15 + 5 + 10 = 30 шаров в урне. По классическому определению:
- вероятность того, то из урны будет извлечён белый шар;
- вероятность того, то из урны будет извлечён красный шар;
- вероятность того, то из урны будет извлечён чёрный шар.
Ответ
:
Задача 2
В магазин поступило 30 холодильников, пять из которых имеют заводской дефект. Случайным образом выбирают один холодильник. Какова вероятность того, что он будет без дефекта?
Задача 3
Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры, но помнит, что одна из них - ноль, а другая - нечётная. Найти вероятность того, что он наберёт правильный номер.
Примечание : ноль - это чётное число (делится на 2 без остатка)
Решение : сначала найдём общее количество исходов. По условию, абонент помнит, что одна из цифр - ноль, а другая цифра - нечётная. Здесь рациональнее не мудрить с комбинаторикой и воспользоваться методом прямого перечисления исходов . То есть, при оформлении решения просто записываем все комбинации:
01, 03, 05, 07, 09
10, 30, 50, 70, 90
И подсчитываем их - всего: 10 исходов.
Благоприятствующий исход один: верный номер.
По классическому определению:
- вероятность того, что абонент наберёт правильный номер
Ответ : 0,1
Продвинутая задача для самостоятельного решения:
Задача 4
Абонент забыл пин - код к своей сим-карте, однако помнит, что он содержит три «пятёрки», а одна из цифр - то ли «семёрка», то ли «восьмёрка». Какова вероятность успешной авторизации с первой попытки?
Здесь ещё можно развить мысль о вероятности того, что абонента ждёт кара в виде пук-кода, но, к сожалению, рассуждения уже выйдут за рамки данного урока
Решение и ответ внизу.
Иногда перечисление комбинаций оказывается весьма кропотливым занятием. В частности, так обстоят дела в следующей, не менее популярной группе задач, где подкидываются 2 игральных кубика (реже - большее количество) :
Задача 5
Найти вероятность того, что при бросании двух игральных костей в сумме выпадет:
а) пять очков;
б) не более четырёх очков;
в) от 3-х до 9 очков включительно.
Решение : найдём общее количество исходов:
Способами может выпасть грань 1-го кубика и
способами может выпасть грань 2-го кубика; по правилу умножения комбинаций
, всего: 
возможных комбинаций. Иными словами, каждая
грань 1-го кубика может составить упорядоченную
пару с каждой
гранью 2-го кубика. Условимся записывать такую пару в виде , где - цифра, выпавшая на 1-м кубике, - цифра, выпавшая на 2-м кубике.
Например:
На первом кубике выпало 3 очка, на втором - 5 очков, сумма очков: 3 + 5 = 8;
- на первом кубике выпало 6 очков, на втором - 1 очко, сумма очков: 6 + 1 = 7;
- на обеих костях выпало 2 очка, сумма: 2 + 2 = 4.
Очевидно, что наименьшую сумму даёт пара , а наибольшую - две «шестёрки».
а) Рассмотрим событие: - при бросании двух игральных костей выпадет 5 очков. Запишем и подсчитаем количество исходов, которые благоприятствуют данному событию:
Итого: 4 благоприятствующих исхода. По классическому определению:
- искомая вероятность.
б) Рассмотрим событие: - выпадет не более 4-х очков. То есть, либо 2, либо 3, либо 4 очка. Снова перечисляем и подсчитываем благоприятствующие комбинации, слева я буду записывать суммарное количество очков, а после двоеточия - подходящие пары:
Итого: 6 благоприятствующих комбинаций. Таким образом:
- вероятность того, что выпадет не более 4-х очков.
в) Рассмотрим событие: - выпадет от 3-х до 9 очков включительно. Здесь можно пойти прямой дорогой, но… что-то не хочется. Да, некоторые пары уже перечислены в предыдущих пунктах, но работы все равно предстоит многовато.
Как лучше поступить? В подобных случаях рациональным оказывается окольный путь. Рассмотрим противоположное событие : - выпадет 2 или 10 или 11 или 12 очков.
В чём смысл? Противоположному событию благоприятствует значительно меньшее количество пар:
Итого: 7 благоприятствующих исходов.
По классическому определению:
- вероятность того, что выпадет меньше трёх или больше 9-ти очков.
Особо щепетильные люди могут перечислить все 29 пар, выполнив тем самым проверку.
Ответ
: 
В следующей задаче повторим таблицу умножения:
Задача 6
Найти вероятность того, что при броске двух игральных костей произведение очков:
а) будет равно семи;
б) окажется не менее 20-ти;
в) будет чётным.
Краткое решение и ответ в конце урока.
Задача 7
В лифт 20-этажного дома на первом этаже зашли 3 человека. И поехали. Найти вероятность того, что:
а) они выйдут на разных этажах;
б) двое выйдут на одном этаже;
в) все выйдут на одном этаже.
Решение : вычислим общее количество исходов: способами может выйти из лифта 1-й пассажир и способами - 2-й пассажир и способами - третий пассажир. По правилу умножения комбинаций: возможных исходов. То есть, каждый этаж выхода 1-го человека может комбинироваться с каждым этажом выхода 2-го человека и с каждым этажом выхода 3-го человека.
Второй способ основан на размещениях с повторениями
:
- кому как понятнее.
а) Рассмотрим событие: - пассажиры выйдут на разных этажах. Вычислим количество благоприятствующих исходов:
способами могут выйти 3 пассажира на разных этажах. Рассуждения по формуле проведите самостоятельно.
По классическому определению:
в) Рассмотрим событие: - пассажиры выйдут на одном этаже. Данному событию благоприятствуют исходов и по классическому определению, соответствующая вероятность: 
.
Заходим с чёрного хода:
б) Рассмотрим событие: - два человека выйдут на одном этаже (и, соответственно, третий - на другом) .
События образуют полную группу (считаем, что в лифте никто не уснёт и лифт не застрянет , а значит, .
В результате, искомая вероятность:
Таким образом, теорема о сложении вероятностей событий, образующих полную группу , может быть не только удобной, но и стать самой настоящей палочкой-выручалочкой!
Ответ :
Когда получаются большие дроби, то хорошим тоном будет указать их приближенные десятичные значения. Обычно округляют до 2-3-4-х знаков после запятой.
Поскольку события пунктов «а», «бэ», «вэ» образуют полную группу, то есть смысл выполнить контрольную проверку, причём, лучше с приближенными значениями:
Что и требовалось проверить.
Иногда по причине погрешности округлений может получиться 0,9999 либо 1,0001, в этом случае одно из приближенных значений следуют «подогнать» так, чтобы в сумме нарисовалась «чистая» единица.
Самостоятельно:
Задача 8
Подбрасывается 10 монет. Найти вероятность того, что:
а) на всех монетах выпадет орёл;
б) на 9 монетах выпадет орёл, а на одной - решка;
в) орёл выпадет на половине монет.
Задача 9
На семиместную скамейку случайным образом рассаживается 7 человек. Какова вероятность того, что два определённых человека окажутся рядом?
Решение
: с общим количеством исходов проблем не возникает:
способами могут рассесться 7 человек на скамейке.
Но вот как подсчитать количество благоприятствующих исходов? Тривиальные формулы не подходят и единственный путь - это логические рассуждения. Сначала рассмотрим ситуацию, когда Саша и Маша оказались рядом на левом краю скамейки:
Очевидно, что порядок имеет значение: слева может сидеть Саша, справа Маша и наоборот. Но это ещё не всё - для каждого
из этих двух случаев остальные люди могут рассесться на свободных местах способами. Выражаясь комбинаторно, Сашу и Машу можно переставить на соседних местах способами и
для каждой такой перестановки других людей можно переставить способами.
Таким образом, по правилу умножения комбинаций, выходит благоприятствующих исходов.
Но и это ещё не всё! Перечисленные факты справедливы для каждой
пары соседних мест: 
Интересно отметить, что если скамейку «скруглить» (соединяя левое и правое место)
, то образуется дополнительная, седьмая пара соседних мест. Но не будем отвлекаться. Согласно тому же принципу умножения комбинаций, получаем окончательное количество благоприятствующих исходов:
По классическому определению: 
- вероятность того, что два определённых человека окажутся рядом.
Ответ :
Задача 10
На шахматную доску из 64 клеток ставят наудачу две ладьи белого и чёрного цвета. С какой вероятностью они не будут «бить» друг друга?
Справка : шахматная доска имеет размер клеток; черная и белая ладьи «бьют» друг друга, когда располагаются на одной горизонтали или на одной вертикали
Обязательно выполните схематический чертёж доски, а ещё лучше, если неподалёку есть шахматы. Одно дело рассуждения на бумаге, и совсем другое - когда расставляешь фигуры собственными руками.
Задача 11
Какова вероятность того, что в четырех сданных картах будет один туз и один король?
Вычислим общее количество исходов. Сколькими способами можно извлечь 4 карты из колоды? Наверное, все поняли, что речь идёт о количестве сочетаний
:
способами можно выбрать 4 карты из колоды.
Теперь считаем благоприятствующие исходы. По условию, в выборке из 4-х карт должен быть один туз, один король и, о чём не сказано открытым текстом, - две другие карты :
Способами можно извлечь одного туза;
способами можно выбрать одного короля.
Исключаем из рассмотрения тузов и королей: 36 - 4 - 4 = 28
способами можно извлечь две другие карты.
По правилу умножения комбинаций:
способами можно извлечь искомую комбинацию карт (1-го туза и
1-го короля и
две другие карты).
Прокомментирую комбинационный смысл записи другим способом:
каждый
туз комбинируется с каждым
королем и с каждой
возможной парой других карт.
По классическому определению:
- вероятность того, что среди четырех сданных карт будет один туз и один король.
Если хватает времени и терпения, максимально сокращайте большие дроби.
Ответ :
Более простая задача для самостоятельного решения:
Задача 12
В ящике находится 15 качественных и 5 бракованных деталей. Наудачу извлекаются 2 детали.
Найти вероятность того, что:
а) обе детали будут качественными;
б) одна деталь будет качественной, а одна - бракованной;
в) обе детали бракованны.
События перечисленных пунктов образуют полную группу, поэтому проверка здесь напрашивается сама собой. Краткое решение и ответ в конце урока. А вообще, всё самое интересное только начинается!
Задача 13
Студент знает ответы на 25 экзаменационных вопросов из 60-ти. Какова вероятность сдать экзамен, если для этого необходимо ответить не менее чем на 2 из 3-х вопросов?
Решение : итак, расклад таков: всего 60 вопросов, среди которых 25 «хороших» и, соответственно, 60 - 25 = 35 «плохих». Ситуация шаткая и не в пользу студента. Давайте узнаем, насколько хороши его шансы:
способами можно выбрать 3 вопроса из 60-ти (общее количество исходов)
.
Для того чтобы сдать экзамен, нужно ответить на 2 или 3 вопроса. Считаем благоприятствующие комбинации:
Способами можно выбрать 2 «хороших» вопроса и один «плохой»;
способами можно выбрать 3 «хороших» вопроса.
По правилу сложения комбинаций
:
способами можно выбрать благоприятствующую для сдачи экзамена комбинацию 3-х вопросов (без разницы с двумя или тремя «хорошими» вопросами)
.
По классическому определению:
Ответ :
Задача 14
Игроку в покер сдаётся 5 карт. Найти вероятность того, что:
а) среди этих карт будет пара десяток и пара валетов;
б) игроку будет сдан флеш (5 карт одной масти);
в) игроку будет сдано каре (4 карты одного номинала).
Какую из перечисленных комбинаций вероятнее всего получить?
! Внимание!
Если в условии задан подобный вопрос, то на него необходимо
дать ответ.
Справка
: в покер традиционно играют 52-х карточной колодой, которая содержит карты 4-х мастей номиналом от «двоек» до тузов.
Покер - игра самая что ни на есть математическая (кто играет, тот знает), в которой можно обладать заметным преимуществом перед менее квалифицированными соперниками.
Решения и ответы :
Задача 2: Решение
: 30 - 5 = 25 холодильников не имеют дефекта.
- вероятность того, что наугад выбранный холодильник не имеет дефекта.
Ответ
:
Задача 4: Решение
: найдём общее число исходов:
способами можно выбрать место, на котором расположена сомнительная цифра и на каждом
из этих 4-х мест могут располагаться 2 цифры (семёрка или восьмёрка). По правилу умножения комбинаций, общее число исходов: 
.
Как вариант, в решении можно просто перечислить все исходы (благо их немного):
7555, 8555, 5755, 5855, 5575, 5585, 5557, 5558
Благоприятствующий исход один (правильный пин-код).
Таким образом, по классическому определению:
- вероятность того, что абонент авторизируется с 1-й попытки
Ответ
:
Задача 6: Решение
Задача 6:
Решение
: найдём общее количество исходов:
способами могут выпасть цифры на 2-х кубиках.
а) Рассмотрим событие:
- при броске двух игральных костей произведение очков будет равно семи. Для данного события не существует благоприятствующих исходов,
, т.е. это событие является невозможным.
б) Рассмотрим событие:
- при броске двух игральных костей произведение очков окажется не менее 20-ти. Данному событию благоприятствуют следующие исходы:
Итого: 8
По классическому определению:
- искомая вероятность.
в) Рассмотрим противоположные события:
- произведение очков будет чётным;
- произведение очков будет нечётным.
Перечислим все исходы, благоприятствующие событию :
Итого: 9 благоприятствующих исходов.
По классическому определению вероятности:
Противоположные события образуют полную группу, поэтому:
- искомая вероятность.
Ответ
:
Задача 8:
Решение
способами могут упасть 2 монеты.
Другой путь:
способами может упасть 1-ая монета
и
способами может упасть 2-ая монета
и
…
и
способами может упасть 10-ая монета. По правилу умножения комбинаций, 10 монет могут упасть
способами.
а) Рассмотрим событие:
- на всех монетах выпадет орёл. Данному событию благоприятствует единственный исход, по классическому определению вероятности:
.
б) Рассмотрим событие:
- на 9 монетах выпадет орёл, а на одной - решка.
Существует
монет, на которых может выпасть решка. По классическому определению вероятности:
.
в) Рассмотрим событие:
- орёл выпадет на половине монет.
Существует
уникальных комбинаций из пяти монет, на которых может выпасть орёл. По классическому определению вероятности:
Ответ
:
Задача 10:
Решение
: вычислим общее количество исходов:
способами можно расставить двух ладей на доске.
Другой вариант оформления:
способами можно выбрать две клетки шахматной доски
и
способами поставить белую и чёрную ладью
в каждом
из 2016 случаев. Таким образом, общее число исходов:
.
Теперь подсчитаем исходы, в которых ладьи «бьют» друг друга. Рассмотрим 1-ую горизонталь. Очевидно, что фигуры можно расставить на ней произвольным образом, например, так:
Кроме того, ладей можно переставить. Придаём рассуждениям числовую форму:
способами можно выбрать две клетки
и
способами переставить ладей
в каждом
из 28 случаев. Всего:
возможных расположений фигур на горизонтали.
Короткая версия оформления:
способами можно разместить белую и чёрную ладью на 1-й горизонтали.
Проведённые рассуждения справедливы
для каждой
горизонтали, поэтому количество комбинаций следует умножить на восемь:
. Кроме того, аналогичная история справедлива для любой из восьми вертикалей. Вычислим итоговое количество расстановок, в которых фигуры «бьют» друг друга:
Тогда в оставшихся вариантах расстановки ладьи не будут «бить» друг друга:
4032 - 896 = 3136
По классическому определению вероятности:
- вероятность того, что наугад поставленные на доску белая и чёрная ладья не будут «бить» друг друга.
Ответ :
Задача 12:
Решение
: всего: 15 + 5 = 20 деталей в ящике. Вычислим общее число исходов:
способами можно извлечь 2 детали из ящика.
а) Рассмотрим событие:
- обе извлечённые детали будут качественными.
способами можно извлечь 2 качественные детали.
По классическому определению вероятности:
б) Рассмотрим событие:
- одна деталь будет качественной, а одна - бракованной.
способами можно извлечь 1 качественную деталь
и
1 бракованную.
По классическому определению:
в) Рассмотрим событие:
- обе извлечённые детали бракованны.
способами можно извлечь 2 бракованные детали.
По классическому определению:
Проверка
: вычислим сумму вероятностей событий, образующих полную группу:
, что и требовалось проверить.
Ответ
:
А сейчас возьмём в руки уже знакомое и безотказное орудие учёбы - игральный кубик с полной группой событий
, которые состоят в том, что при его броске выпадут 1, 2, 3, 4, 5 и 6 очков соответственно.
Рассмотрим событие - в результате броска игральной кости выпадет не менее пяти очков. Данное событие состоит в двух несовместных исходах: (выпадет 5 или
6 очков)
- вероятность того, что в результате броска игральной кости выпадет не менее пяти очков.
Рассмотрим событие , состоящее в том, что выпадет не более 4-х очков и найдем его вероятность. По теореме сложения вероятностей несовместных событий:
Возможно, некоторые читатели ещё не до конца осознали суть несовместности. Вдумаемся ещё раз: студент не может ответить на 2 вопроса из 3-х и в то же самое время ответить на все 3 вопроса. Таким образом, события и - несовместны.
Теперь, пользуясь классическим определением , найдём их вероятности:
Факт успешной сдачи экзамена выражается суммой (ответ на 2 вопроса из 3-х или
на все вопросы)
. По теореме сложения вероятностей несовместных событий:
- вероятность того, что студент сдаст экзамен.
Этот способ решения совершенно равноценен, выбирайте, какой больше нравится.
Задача 1
Магазин получил продукцию в ящиках с четырех оптовых складов: четыре с 1-го, пять со 2-го, семь с 3-го и четыре с 4-го. Случайным образом выбран ящик для продажи. Какова вероятность того, что это будет ящик с первого или третьего склада.
Решение : всего получено магазином: 4 + 5 + 7 + 4 = 20 ящиков.
В данной задаче удобнее воспользоваться «быстрым» способом оформления без расписывания событий большими латинскими буквами. По классическому определению:
- вероятность того, что для продажи будет выбран ящик с 1-го склада;
- вероятность того, что для продажи будет выбран ящик с 3-го склада.
По теореме сложения несовместных событий:
- вероятность того, что для продажи будет выбран ящик с первого или третьего склада.
Ответ : 0,55
Безусловно, задача разрешима и чисто через классическое определение вероятности путём непосредственного подсчёта кол-ва благоприятствующих исходов (4 + 7 = 11), но рассмотренный способ ничем не хуже. И даже чётче.
Задача 2
В коробке 10 красных и 6 синих пуговиц. Наудачу извлекаются две пуговицы. Какова вероятность того, что они будут одноцветными?
Аналогично - здесь можно использовать комбинаторное правило суммы , но мало ли … вдруг кто-то его запамятовал. Тогда на помощь придёт теорема сложения вероятностей несовместных событий!
При оценки вероятности наступления какого-либо случайного события очень важно предварительно хорошо представлять, зависит ли вероятность () наступления интересующего нас события от того, как развиваются остальные события.
В случае классической схемы, когда все исходы равновероятны, мы уже можем оценить значения вероятности интересующего нас отдельного события самостоятельно. Мы можем сделать это даже в том случае, если событие является сложной совокупностью нескольких элементарных исходов. А если несколько случайных событий происходит одновременно или последовательно? Как это влияет на вероятность реализации интересующего нас события?
Если я несколько раз кидаю игральную кость, и хочу, чтобы выпала "шестерка", а мне все время не везет, значит ли это, что надо увеличивать ставку, потому что, согласно теории вероятностей, мне вот-вот должно повезти? Увы, теория вероятности не утверждает ничего подобного. Ни кости, ни карты, ни монетки не умеют запоминать, что они продемонстрировали нам в прошлый раз. Им совершенно не важно, в первый раз или в десятый раз сегодня я испытываю свою судьбу. Каждый раз, когда я повторяю бросок, я знаю только одно: и на этот раз вероятность выпадения "шестерки" снова равна одной шестой. Конечно, это не значит, что нужная мне цифра не выпадет никогда. Это означает лишь то, что мой проигрыш после первого броска и после любого другого броска - независимые события.
События А и В называются независимыми , если реализация одного из них никак не влияет на вероятность другого события. Например, вероятности поражения цели первым из двух орудий не зависят от того, поразило ли цель другое орудие, поэтому события "первое орудие поразило цель" и "второе орудие поразило цель" независимы.
Если два события А и В независимы, и вероятность каждого из них известна, то вероятность одновременного наступления и события А, и события В (обозначается АВ) можно посчитать, воспользовавшись следующей теоремой.
Теорема умножения вероятностей для независимых событий
P(AB) = P(A)*P(B) - вероятность одновременного наступления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.Пример. Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны: р 1 =0,7; р 2 =0,8. Найти вероятность попадания при одном залпе обоими орудиями одновременно.
Решение: как мы уже видели события А (попадание первого орудия) и В (попадание второго орудия) независимы, т.е. Р(АВ)=Р(А)*Р(В)=р 1 *р 2 =0,56.
Что произойдет, с нашими оценками, если исходные события не являются
независимыми? Давайте немного изменим предыдущий пример.
Пример. Два стрелка на соревнованиях стреляют по мишеням, причем, если один из них стреляет метко, то соперник начинает нервничать, и его результаты ухудшаются. Как превратить эту житейскую ситуацию в математическую задачу и наметить пути ее решения? Интуитивно понятно, что надо каким-то образом разделить два варианта развития событий, составить по сути дела два сценария, две разные задачи. В первом случае, если соперник промахнулся, сценарий будет благоприятный для нервного спортсмена и его меткость будет выше. Во втором случае, если соперник прилично реализовал свой шанс, вероятность поразить мишень для второго спортсмена снижается.
Для разделения возможных сценариев (их часто называют гипотезами) развития
событий мы будем часто использовать схему "дерева вероятностей".
Эта схема похожа по смыслу на дерево решений, с которым Вам, наверное, уже
приходилось иметь дело. Каждая ветка представляет собой отдельный сценарий
развития событий, только теперь она имеет собственное значение так называемой
условной
вероятности
(q 1 , q 2 , q 1 -1, q 2 -1).
Эта схема очень удобна для анализа последовательных случайных событий.
Остается выяснить еще один немаловажный вопрос: откуда берутся исходные значения вероятностей в реальных ситуациях ? Ведь не с одними же монетами и игральными костями работает теория вероятностей? Обычно эти оценки берутся из статистики, а когда статистические сведения отсутствуют, мы проводим собственное исследование. И начинать его нам часто приходится не со сбора данных, а с вопроса, какие сведения нам вообще нужны.
Пример. Допустим, нам надо оценить в городе с населением в сто тысяч жителей объем рынка для нового товара, который не является предметом первой необходимости, например, для бальзама по уходу за окрашенными волосами. Рассмотрим схему "дерева вероятностей". При этом значение вероятности на каждой "ветке" нам надо приблизительно оценить. Итак, наши оценки емкости рынка:
1) из всех жителей города женщин 50%,
2) из всех женщин только 30% красят волосы часто,
3) из них только 10% пользуются бальзамами для окрашенных волос,
4) из них только 10% могут набраться смелости попробовать новый товар,
5) из них 70% обычно покупает все не у нас, а у наших конкурентов.
Решение:
По закону
перемножения вероятностей, определяем вероятность интересующего нас события А
={житель города покупает у нас этот новый
бальзам}=0,00045.
Умножим это значение вероятности на число жителей города. В результате имеем всего 45 потенциальных покупательниц, а если учесть, что одного пузырька этого средства хватает на несколько месяцев, не слишком оживленная получается торговля.
И все-таки польза от наших оценок есть.
Во-первых, мы можем сравнивать прогнозы разных бизнес-идей, на схемах у них будут разные "развилки", и, конечно, значения вероятности тоже будут разные.
Во-вторых, как мы уже говорили, случайная величина не потому называется случайной, что она совсем ни от чего не зависит. Просто ее точное значение заранее не известно. Мы знаем, что среднее количество покупателей может быть увеличено (например, с помощью рекламы нового товара). Так что имеет смысл сосредоточить усилия на тех "развилках", где распределение вероятностей нас особенно не устраивает, на тех факторах, на которые мы в состоянии повлиять.
Рассмотрим еще один количественный пример исследования покупательского поведения.
Пример. За день продовольственный рынок посещает в среднем 10000 человек. Вероятность того, что посетитель рынка заходит в павильон молочных продуктов, равна 1/2. Известно, что в этом павильоне в среднем продается в день 500 кг различных продуктов.
Можно ли утверждать, что средняя покупка в павильоне весит всего 100 г?
Обсуждение. Конечно, нельзя. Понятно, что не каждый, кто заходил в павильон, в результате что-то там купил.
Как показано на схеме, чтобы ответить на вопрос о среднем весе покупки, мы
должны найти ответ на вопрос, какова вероятность того, что человек, зашедший
в павильон, что-нибудь там купит. Если таких данных в нашем распоряжении не
имеется, а нам они нужны, придется их получить самим, понаблюдав некоторое
время за посетителями павильона. Допустим, наши наблюдения показали, что
только пятая часть посетителей павильона что-то покупает.
Как только эти оценки нами получены, задача становится уже простой. Из 10000 человек, пришедших на рынок, 5000 зайдут в павильон молочных продуктов, покупок будет только 1000. Средний вес покупки равен 500 грамм. Интересно отметить, что для построения полной картины происходящего, логика условных "ветвлений" должна быть определена на каждом этапе нашего рассуждения так же четко, как если бы мы работали с "конкретной" ситуацией, а не с вероятностями.
Задачи для самопроверки
1. Пусть есть электрическая цепь, состоящая из n последовательно соединенных элементов, каждый из которых работает независимо от остальных.
Известна вероятность p невыхода из строя каждого элемента. Определите
вероятность исправной работы всего участка цепи (событие А).
2. Студент знает 20 из 25 экзаменационных вопросов. Найдите вероятность того, что студент знает предложенные ему экзаменатором три вопроса.
3. Производство состоит из четырех последовательных этапов, на каждом из которых работает оборудование, для которого вероятности выхода из строя в течение ближайшего месяца равны соответственно р 1 , р 2 , р 3 и р 4 . Найдите вероятность того, что за месяц не случится ни одной остановки производства из-за неисправности оборудования.
Хотите узнать, какие математические шансы на успех вашей ставки? Тогда для вас есть две хорошие новости. Первая: чтобы посчитать проходимость, не нужно проводить сложные расчеты и тратить большое количество времени. Достаточно воспользоваться простыми формулами, работа с которыми займёт пару минут. Вторая: после прочтения этой статьи вы с лёгкостью сможете рассчитывать вероятность прохода любой вашей сделки.
Чтобы верно определить проходимость, нужно сделать три шага:
- Рассчитать процент вероятности исхода события по мнению букмекерской конторы;
- Вычислить вероятность по статистическим данным самостоятельно;
- Узнать ценность ставки, учитывая обе вероятности.
Рассмотрим подробно каждый из шагов, применяя не только формулы, но и примеры.
Быстрый переход
Подсчёт вероятности, заложенной в букмекерские коэффициенты
Первый шаг – необходимо узнать, с какой вероятностью оценивает шансы на тот или иной исход сам букмекер. Ведь понятно, что кэфы букмекерские конторы не ставят просто так. Для этого пользуемся следующей формулой:
P Б =(1/K)*100%,
где P Б – вероятность исхода по мнению букмекерской конторы;
K – коэффициент БК на исход.
Допустим, на победу лондонского Арсенала в поединке против Баварии коэффициент 4. Это значит, что вероятность его виктории БК расценивают как (1/4)*100%=25%. Или же Джокович играет против Южного. На победу Новака множитель 1.2, его шансы равны (1/1.2)*100%=83%.
Так оценивает шансы на успех каждого игрока и команды сама БК. Осуществив первый шаг, переходим ко второму.
Расчёт вероятности события игроком
Второй пункт нашего плана – собственная оценка вероятности события. Так как мы не можем учесть математически такие параметры как мотивация, игровой тонус, то воспользуемся упрощённой моделью и будем пользоваться только статистикой предыдущих встреч. Для расчёта статистической вероятности исхода применяем формулу:
P И =(УМ/М)*100%,
где P И – вероятность события по мнению игрока;
УМ – количество успешных матчей, в которых такое событие происходило;
М – общее количество матчей.
Чтобы было понятней, приведём примеры. Энди Маррей и Рафаэль Надаль сыграли между собой 14 матчей. В 6 из них был зафиксирован тотал меньше 21 по геймам, в 8 – тотал больше. Необходимо узнать вероятность того, что следующий поединок будет сыгран на тотал больше: (8/14)*100=57%. Валенсия сыграла на Месталье против Атлетико 74 матча, в которых одержала 29 побед. Вероятность победы Валенсии: (29/74)*100%=39%.
И это все мы узнаем только благодаря статистике предыдущих игр! Естественно, что на какую-то новую команду или игрока такую вероятность просчитать не получится, поэтому такая стратегия ставок подойдет только для матчей, в которых соперники встречаются не первый раз. Теперь мы умеем определять букмекерскую и собственную вероятности исходов, и у нас есть все знания, чтобы перейти к последнему шагу.
Определение ценности ставки
Ценность (валуйность) пари и проходимость имеют непосредственную связь: чем выше валуйность, тем выше шанс на проход. Рассчитывается ценность следующим образом:
V= P И *K-100%,
где V – ценность;
P И – вероятность исхода по мнению беттера;
K – коэффициент БК на исход.
Допустим, мы хотим поставить на победу Милана в матче против Ромы и подчитали, что вероятность победы «красно-черных» 45%. Букмекер предлагает нам на это исход коэффициент 2.5. Будет ли такое пари ценным? Проводим расчёты: V=45%*2.5-100%=12.5%. Отлично, перед нами ценная ставка с хорошими шансами на проход.
Возьмём другой случай. Мария Шарапова играет против Петры Квитовой. Мы хотим заключить сделку на победу Марии, вероятность которой по нашим расчетам 60%. Конторы предлагают на этот исход множитель 1.5. Определяем валуйность: V=60%*1.5-100=-10%. Как видим, ценности эта ставка не представляет и от неё следует воздержаться.
