Ранговая корреляция Спирмена (корреляция рангов). Ранговая корреляция Спирмена - самый простой способ определения степени связи между факторами. Название метода свидетельствует о том, что связь определяют между рангами, то есть рядами полученных количественных значений, ранжированных в порядке убывания или возрастания. Надо иметь в виду, что, во-первых, ранговое корреляцию Не рекомендуется проводить, если связь пар меньше четырех и больше двадцати; во-вторых, ранговая корреляция позволяет определять связь и в другом случае, если значение имеют полуколичественный характер, то есть не имеют числового выражения, отражают четкий порядок следования этих величин; в-третьих, ранговое корреляцию целесообразно применять в тех случаях, когда достаточно получить приблизительные данные. Пример расчета коэффициента ранговой корреляции для определения вопрос: замеряют вопросник X и Y подобные личностные качества испытуемых. С помощью двух вопросников (X и Y), которые требуют альтернативных ответов "да" или "нет", получили первичные результаты - ответы 15 испытуемых (N = 10). Результаты подали в виде суммы утвердительных ответов отдельно для вопросника X и для вопросника В. Эти результаты сведены в табл. 5.19.
Таблица 5.19. Табулирование первичных результатов для расчета коэффициента ранговой корреляции по Спирмену (р) *
Анализ сводной корреляционной матрицы. Метод корреляционных плеяд.
Пример. В табл. 6.18 приведены интерпретации одиннадцати переменных, которые тестируют по методике Векслера. Данные получили на однородной выборке в возрасте от 18 до 25 лет (n = 800).
Перед расслаиванием корреляционную матрицу целесообразно ранжировать. Для этого в исходной матрицы вычисляют средние значения коэффициентов корреляции каждой переменной со всеми остальными.
Затем по табл. 5.20 определяют допустимые уровни расслоение корреляционной матрицы при заданных доверительной вероятности 0,95 и n - количества
Таблица 6.20. Восходящая корреляционная матрица
| Переменные | 1 | 2 | 3 | 4 | бы | 0 | 7 | 8 | 0 | 10 | 11 | M (rij) | Ранг |
| 1 | 1 | 0,637 | 0,488 | 0,623 | 0,282 | 0,647 | 0,371 | 0,485 | 0,371 | 0,365 | 0,336 | 0,454 | 1 |
| 2 | 1 | 0,810 | 0,557 | 0,291 | 0,508 | 0,173 | 0,486 | 0,371 | 0,273 | 0,273 | 0,363 | 4 | |
| 3 | 1 | 0,346 | 0,291 | 0,406 | 0,360 | 0,818 | 0,346 | 0,291 | 0,282 | 0,336 | 7 | ||
| 4 | 1 | 0,273 | 0,572 | 0,318 | 0,442 | 0,310 | 0,318 | 0,291 | 0,414 | 3 | |||
| 5 | 1 | 0,354 | 0,254 | 0,216 | 0,236 | 0,207 | 0,149 | 0,264 | 11 | ||||
| 6 | 1 | 0,365 | 0,405 | 0,336 | 0,345 | 0,282 | 0,430 | 2 | |||||
| 7 | 1 | 0,310 | 0,388 | 0,264 | 0,266 | 0,310 | 9 | ||||||
| 8 | 1 | 0,897 | 0,363 | 0,388 | 0,363 | 5 | |||||||
| 9 | 1 | 0,388 | 0,430 | 0,846 | 6 | ||||||||
| 10 | 1 | 0,336 | 0,310 | 8 | |||||||||
| 11 | 1 | 0,300 | 10 |
Обозначения: 1 - общая осведомленность; 2 - понятийнисть; 3 - внимательность; 4 - вдатнисть К обобщения; б - непосредственное запоминание (на цифрах) 6 - уровень освоения родном языке; 7 - скорость овладения сенсомоторном навыками (кодирование символами) 8 - наблюдательность; 9 - комбинаторные способности (к анализу и синтезу) 10 - способность к организации частей в осмысленное целое; 11 - способность к эвристического синтеза; M (rij) - среднее значение коэффициентов корреляции переменной с остальными переменных наблюдений (в нашем случае n = 800): r (0) - значение нулевой "Рассекая" плоскости - минимальная значимая абсолютная величина коэффициента корреляции (n - 120, r (0) = 0,236; n = 40, r (0) = 0,407) | Δr | - допустимый шаг расслоения (n = 40, | Δr | = 0,558) в - допустимое количество уровней расслоения (n = 40, s = 1 ; n = 120, s = 2); r (1), r (2), ..., r (9) - абсолютное значение секущей плоскости (n = 40, r (1) = 0,965).
Для n = 800 находим значение гтип и границ ги после чего Расслаивающая ранжированы корреляционную матрицу, выделяя корреляционные плеяды внутри слоев, или отделяем части корреляционной матрицы, вырисовывая объединения корреляционных плеяд для вышележащих слоев (рис. 5.5).
Содержательный анализ полученных плеяд выходит за пределы математической статистики. Надо отметить два формальные показатели, которые помогают при содержательной интерпретации плеяд. Одним существенным показателем служит степень вершины, то есть количество ребер, примыкающих к вершине. Переменная с наибольшим количеством ребер является "ядром" плеяды и ее можно рассматривать как индикатор остальных переменных этой плеяды. Другой существенный показатель - плотность связи. Переменная может иметь меньше связей в одной плеяде, но теснее, и больше связей в другой плеяде, однако менее тесных.
Предсказания и оценки. Уравнение у = b1x + b0 называется общим уравнением прямой. Оно свидетельствует о том, что пары точек (x, y), которые
Рис. 5.5. Корреляционные плеяды, полученные расслоением матрицы
лежат на некоторой прямой, связанные так, что для любого значения х величину в в находящегося с ним в паре, можно найти, умножив х на некоторое число b1 добавив вторых, число b0 к этому произведению.
Коэффициент регрессии позволяет определить степень изменения следственной фактора при изменении причинного фактора на одну единицу. Абсолютные величины характеризуют зависимость между переменными факторами по их абсолютными значениями. Коэффициент регрессии вычисляют по формуле:
Планирование и анализ экспериментов. Планирование и анализ экспериментов - это третья важная отрасль статистических методов, разработанных для нахождения и проверки причинных связей между переменными.
Для исследования многофакторных зависимостей в последнее время все чаще используют методы математического планирования эксперимента.
Возможность одновременного варьирования всеми факторами позволяет: а) уменьшить количество опытов;
б) свести ошибку эксперимента к минимуму;
в) упростить обработку полученных данных;
г) обеспечить наглядность и легкость по сравнению результатов.
Каждый фактор может приобретать некоторую соответствующее количество различных значений, которые называются уровнями и обозначают -1, 0 и 1. Фиксированный набор уровней факторов определяет условия одного из возможных опытов.
Совокупность всех возможных сочетаний вычисляют по формуле:
Полным факторным экспериментом называется эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов. Полные факторные эксперименты могут обладать свойством ортогональности. При ортогональном планировании факторы в эксперименте является некоррелированными, коэффициенты регрессии, которые высчитывают в итоге, определяют независимо друг от друга.
Важным преимуществом метода математического планирования эксперимента является его универсальность, пригодность во многих областях исследований.
Рассмотрим пример сравнения влияния некоторых факторов на формирование уровня психического напряжения в регулировщиков цветных телевизоров.
В основу эксперимента положен ортогональный План 2 три (три фактора изменяются на двух уровнях).
Эксперимент проводили с полным части 2 +3 с трехкратным повторением.
Ортогональное планирование базируется на построении уравнения регрессии. Для трех факторов оно выглядит так:
Обработка результатов в этом примере включает:
а) построение ортогонального плана 2 +3 таблице для расчета;
б) вычисления коэффициентов регрессии;
в) проверку их значимости;
г) интерпретацию полученных данных.
Для коэффициентов регрессии упомянутого уравнения надо было поставить N = 2 3 = 8 вариантов, чтобы иметь возможность оценить значимость коэффициентов, где количество повторений К равнялось 3.
Составлена матрица планирования эксперимента выглядела.
Студента-психолога (социолога, менеджера, управленца и др.) нередко интересует, как связаны между собой две или большее количество переменных в одной или нескольких изучаемых группах.
В математике для описания связей между переменными величинами используют понятие функции F, которая ставит в соответствие каждому определенному значению независимой переменной X определенное значение зависимой переменной Y. Полученная зависимость обозначается как Y=F(X).
При этом виды корреляционных связей между измеренными признаками могут быть различны: так, корреляция бывает линейной и нелинейной, положительной и отрицательной. Она линейна - если с увеличением или уменьшением одной переменной X,вторая переменная Y в среднем либо также растет, либо убывает. Она нелинейна, если при увеличении одной величины характер изменения второй не линеен, а описывается другими законами.
Корреляция будет положительной, если с увеличением переменной X переменная Y в среднем также увеличивается, а если с увеличением X переменная Y имеет в среднем тенденцию к уменьшению, то говорят о наличии отрицательной корреляции. Возможна ситуация, когда между переменными невозможно установить какую-либо зависимость. В этом случае говорят об отсутствии корреляционной связи.
Задача корреляционного анализа сводится к установлению направления (положительное или отрицательное) и формы (линейная, нелинейная) связи между варьирующими признаками, измерению ее тесноты, и, наконец, к проверке уровня значимости полученных коэффициентов корреляции.
Коэффициент корреляции рангов, предложенный К. Спирменом, относится к непараметрическим показателям связи между переменными, измеренными в ранговой шкале. При расчете этого коэффициента не требуется никаких предположений о характере распределений признаков в генеральной совокупности. Этот коэффициент определяет степень тесноты связи порядковых признаков, которые в этом случае представляют собой ранги сравниваемых величин.
Ранговый коэффициент линейной корреляции Спирмена подсчитывается по формуле:
где n - количество ранжируемых признаков (показателей, испытуемых);
D - разность между рангами по двум переменным для каждого испытуемого;
D2 - сумма квадратов разностей рангов.
Критические значения коэффициента корреляции рангов Спирмена представлены ниже:
Величина коэффициента линейной корреляции Спирмена лежит в интервале +1 и -1. Коэффициент линейной корреляции Спирмена может быть положительным и отрицательным, характеризуя направленность связи между двумя признаками, измеренными в ранговой шкале.
Если коэффициент корреляции по модулю оказывается близким к 1, то это соответствует высокому уровню связи между переменными. Так, в частности, при корреляции переменной величины с самой собой величина коэффициента корреляции будет равна +1. Подобная связь характеризует прямо пропорциональную зависимость. Если же значения переменной X будут распложены в порядке возрастания, а те же значения (обозначенные теперь уже как переменная Y) будут располагаться в порядке убывания, то в этом случае корреляция между переменными Х и Y будет равна точно -1. Такая величина коэффициента корреляции характеризует обратно пропорциональную зависимость.
Знак коэффициента корреляции очень важен для интерпретации полученной связи. Если знак коэффициента линейной корреляции - плюс, то связь между коррелирующими признаками такова, что большей величине одного признака (переменной) соответствует большая величина другого признака (другой переменной). Иными словами, если один показатель (переменная) увеличивается, то соответственно увеличивается и другой показатель (переменная). Такая зависимость носит название прямо пропорциональной зависимости.
Если же получен знак минус, то большей величине одного признака соответствует меньшая величина другого. Иначе говоря, при наличии знака минус, увеличению одной переменной (признака, значения) соответствует уменьшение другой переменной. Такая зависимость носит название обратно пропорциональной зависимости. При этом выбор переменной, которой приписывается характер (тенденция) возрастания - произволен. Это может быть как переменная X, так и переменная Y. Однако если считается, что увеличивается переменная X, то переменная Y будет соответственно уменьшаться, и наоборот.
Рассмотрим пример корреляции Спирмена.
Психолог выясняет, как связаны между собой индивидуальные показатели готовности к школе, полученные до начала обучения в школе у 11 первоклассников и их средняя успеваемость в конце учебного года.
Для решения этой задачи были проранжированы, во-первых, значения показателей школьной готовности, полученные при поступлении в школу, и, во-вторых, итоговые показатели успеваемости в конце года у этих же учащихся в среднем. Результаты представим в таблице:
Подставляем полученные данные в вышеприведенную формулу, и производим расчет. Получаем:
Для нахождения уровня значимости обращаемся к таблице «Критические значения коэффициента корреляции рангов Спирмена,» в которой приведены критические значения для коэффициентов ранговой корреляции.
Строим соответствующую «ось значимости»:
Полученный коэффициент корреляции совпал с критическим значением для уровня значимости в 1%. Следовательно, можно утверждать, что показатели школьной готовности и итоговые оценки первоклассников связаны положительной корреляционной зависимостью - иначе говоря, чем выше показатель школьной готовности, тем лучше учится первоклассник. В терминах статистических гипотез психолог должен отклонить нулевую (Н0) гипотезу о сходстве и принять альтернативную (Н1) о наличии различий, которая говорит о том, что связь между показателями школьной готовности и средней успеваемостью отлична от нуля.
Корреляция спирмена. Корреляционный анализ по методу спирмена. Ранги спирмена. Коэффициент корреляции Спирмена. Ранговая корреляция Спирмена
Назначение рангового коэффициента корреляции
Метод ранговой корреляции Спирмена позволяет определить тесноту (силу) и направление корреляционной связи между двумя признаками или двумя профилями {иерархиями) признаков.
Описание метода
Для подсчета ранговой корреляции необходимо располагать двумя рядами значений, которые могут быть проранжированы. Такими рядами значений могут быть:
1) два признака, измеренные в одной и той же группе испытуемых;
2) две индивидуальные иерархии признаков, выявленные у двух испытуемых по одному и тому же набору признаков (например, личностные профили по 16-факторному опроснику Р. Б. Кеттелла, иерархии ценностей по методике Р. Рокича, последовательности предпочтений в выборе из нескольких альтернатив и др.);
3) две групповые иерархии признаков;
4) индивидуальная и групповая иерархии признаков.
Вначале показатели ранжируются отдельно по каждому из признаков. Как правило, меньшему значению признака начисляется меньший ранг.
Рассмотрим случай 1 (два признака). Здесь ранжируются индивидуальные значения по первому признаку, полученные разными испытуемыми, а затем индивидуальные значения по второму признаку.
Если два признака связаны положительно, то испытуемые, имеющие низкие ранги по одному из них, будут иметь низкие ранги и по другому, а испытуемые, имеющие высокие ранги по одному из признаков, будут иметь по другому признаку также высокие ранги. Для подсчета r s необходимо определить разности (d) между рангами, полученными данным испытуемым по обоим признакам. Затем эти показатели d определенным образом преобразуются и вычитаются из 1. Чем меньше разности между рангами, тем больше будет r s , тем ближе он будет к +1.
Если корреляция отсутствует, то все ранги будут перемешаны и между ними не будет никакого соответствия. Формула составлена так, что вэтом случае r s , окажется близким к 0.
В случае отрицательной корреляции низким рангам испытуемых по одному признаку будут соответствовать высокие ранги по другому признаку, и наоборот.
Чем больше несовпадение между рангами испытуемых по двумя переменным, тем ближе r s к -1.
Рассмотрим случай 2 (два индивидуальных профиля). Здесь ранжируются индивидуальные значения, полученные каждым из 2-х испытуемым по определенному (одинаковому для них обоих) набору признаков. Первый ранг получит признак с самым низким значением; второй ранг - признак с более высоким значением и т.д. Очевидно, что все признаки должны быть измерены в одних и тех же единицах, иначе ранжирование невозможно. Например, невозможно проранжировать показатели по личностному опроснику Кеттелла (16PF ), если они выражены в "сырых" баллах, поскольку по разным факторам диапазоны значений различны: от 0 до 13, от 0 до 20 и от 0 до 26. Мы не можем сказать, какой из факторов будет занимать первое место по выраженности, пока не приведем все значения к единой шкале (чаще всего это шкала стенов).
Если индивидуальные иерархии двух испытуемых связаны положительно, то признаки, имеющие низкие ранги у одного из них, будут иметь низкие ранги и у другого, и наоборот. Например, если у одного испытуемого фактор Е (доминантность) имеет самый низкий ранг, то иу другого испытуемого он должен иметь низкий ранг, если у одного испытуемого фактор С (эмоциональная устойчивость) имеет высший ранг, то и другой испытуемый должен иметь по этому фактору высокий ранг и т.д.
Рассмотрим случай 3 (два групповых профиля). Здесь ранжируются среднегрупповые значения, полученные в 2-х группах испытуемых по определенному, одинаковому для двух групп, набору признаков. В дальнейшем линия рассуждений такая же, как и в предыдущих двух случаях.
Рассмотрим случай 4 (индивидуальный и групповой профили). Здесь ранжируются отдельно индивидуальные значения испытуемого исреднегрупповые значения по тому же набору признаков, которые получены, как правило, при исключении этого отдельного испытуемого - он не участвует в среднегрупповом профиле, с которым будет сопоставляться его индивидуальный профиль. Ранговая корреляция позволит проверить, насколько согласованы индивидуальный и групповой профили.
Во всех четырех случаях значимость полученного коэффициента корреляции определяется по количеству ранжированных значений N. В первом случае это количество будет совпадать с объемом выборки п. Во втором случае количеством наблюдений будет количество признаков, составляющих иерархию. В третьем и четвертом случае N - это также количество сопоставляемых признаков, а не количество испытуемых в группах. Подробные пояснения даны в примерах.
Если абсолютная величина r s достигает критического значения или превышает его, корреляция достоверна.
Гипотезы
Возможны два варианта гипотез. Первый относится к случаю 1, второй - к трем остальным случаям.
Первый вариант гипотез
H 0: Корреляция между переменными А и Б не отличается от нуля.
H 1: Корреляция между переменными А и Б достоверно отличается от нуля.
Второй вариант гипотез
H 0: Корреляция между иерархиями А и Б не отличается от нуля.
H 1: Корреляция между иерархиями А и Б достоверно отличается от нуля.
Графическое представление метода ранговой корреляции
Чаще всего корреляционную связь представляют графически в виде облака точек или в виде линий, отражающих общую тенденцию размещения точек в пространстве двух осей: оси признака А и признака Б (см. Рис. 6.2).
Попробуем изобразить ранговую корреляцию в виде двух рядов ранжированных значений, которые попарно соединены линиями (Рис. 6.3). Если ранги по признаку А и по признаку Б совпадают, то между ними оказывается горизонтальная линия, если ранги не совпадают, то линия становится наклонной. Чем больше несовпадение рангов, тем более наклонной становится линия. Слева на Рис. 6.3 отображена максимально высокая положительная корреляция (r в =+1,0) - практически это "лестница". В центре отображена нулевая корреляция - плетенка с неправильными переплетениями. Все ранги здесь перепутаны. Справа отображена максимально высокая отрицательная корреляция (r s =-1,0) -паутина с правильным переплетением линий.
Рис. 6.3. Графическое представление ранговой корреляции:
а) высокая положительная корреляция;
б) нулевая корреляция;
в) высокая отрицательная корреляция
Ограничения коэффициента ранговой корреляции
1. По каждой переменной должно быть представлено не менее 5 наблюдений. Верхняя граница выборки определяется имеющимися таблицами критических значений (Табл.XVI Приложения 1), а именно N ≤40.
2. Коэффициент ранговой корреляции Спирмена r s при большом количестве одинаковых рангов по одной или обеим сопоставляемым переменным дает огрубленные значения. В идеале оба коррелируемых ряда должны представлять собой две последовательности несовпадающих значений. В случае, если это условие не соблюдается, необходимо вносить поправку на одинаковые ранги. Соответствующая формула дана в примере 4.
Пример 1 - корреляция между двумя признаками
Висследовании, моделирующем деятельность авиадиспетчера (Одерышев Б.С., Шамова Е.П., Сидоренко Е.В., Ларченко Н.Н., 1978), группа испытуемых, студентов физического факультета ЛГУ проходила подготовку перед началом работы на тренажере. Испытуемые должны были решать задачи по выбору оптимального типа взлетно-посадочной полосы для заданного типа самолета. Связано ли количество ошибок, допущенных испытуемыми в тренировочной сессии, с показателями вербального и невербального интеллекта, измеренными по методике Д. Векслера?
Таблица 6.1
Показатели количества ошибок в тренировочной сессии и показатели уровня вербального и невербального интеллекта у студентов-физиков (N=10)
|
Испытуемый |
Количество ошибок |
Показатель вербального интеллекта |
Показатель невербального интеллекта |
|
Сначала попробуем ответить на вопрос, связаны ли между собой показатели количества ошибок и вербального интеллекта.
Сформулируем гипотезы.
H 0: Корреляция между показателем количества ошибок в тренировочной сессии и уровнем вербального интеллекта не отличается от нуля.
H 1 : Корреляция между показателем количества ошибок в тренировочной сессии и уровнем вербального интеллекта статистически значимо отличается от нуля.
Далее нам необходимо проранжировать оба показателя, Приписывая меньшему значению меньший ранг, затем подсчитать разности между рангами, которые получил каждый испытуемый по двум переменным (признакам), и возвести эти разности в квадрат. Произведем все необходимые расчеты в таблице.
В Табл. 6.2 в первой колонке слева представлены значения по показателю количества ошибок; в следующей колонке - их ранги. В третьей колонке слева представлены значения по показателю вербального интеллекта; в следующем столбце - их ранги. В пятом слева представлены разности d между рангом по переменной А (количество ошибок) и переменной Б (вербальный интеллект). В последнем столбце представлены квадраты разностей - d 2 .
Таблица 6.2
Расчет d 2 для рангового коэффициента корреляции Спирмена r s при сопоставлении показателей количества ошибок и вербального интеллекта у студентов-физиков (N=10)
|
Испытуемый |
Переменная А количество ошибок |
Переменная Б вербальный интеллект. |
d (ранг А - |
J 2 |
|||||||
|
Индивидуальные значения |
Индивидуальные значения | ||||||||||
Коэффициент ранговой корреляции Спирмена подсчитывается по формуле:
где d - разность между рангами по двум переменным для каждого испытуемого;
N - количество ранжируемых значений, в. данном случае количество испытуемых.
Рассчитаем эмпирическое значение r s:
Полученное эмпирическое значение г s близко к 0. И все же определим критические значения r s при N=10 по Табл. XVI Приложения 1:
Ответ: H 0 принимается. Корреляция между показателем количества ошибок в тренировочной сессии и уровнем вербального интеллекта не отличается от нуля.
Теперь попробуем ответить на вопрос, связаны ли между собой показатели количества ошибок и невербального интеллекта.
Сформулируем гипотезы.
H 0: Корреляция между показателем количества ошибок в тренировочной сессии и уровнем невербального интеллекта не отличается от 0.
H 1: Корреляция между показателем количества ошибок в тренировочной сессии и уровнем невербального интеллекта статистически значимо отличается от 0.
Результаты ранжирования и сопоставления рангов представлены в Табл. 6.3.
Таблица 6.3
Расчет d 2 для рангового коэффициента корреляции Спирмена r s при сопоставлении показателей количества ошибок и невербального интеллекта у студентов-физиков (N=10)
|
Испытуемый |
Переменная А количество ошибок |
Переменная Е невербальный интеллект |
d (ранг А - |
d 2 |
|||
|
Индивидуальные |
Индивидуальные | ||||||
|
значения |
значения | ||||||
Мы помним, что для определения значимости r s неважно, является ли он положительным или отрицательным, важна лишь его абсолютная величина. В данном случае:
r s
эмп Ответ:
H 0
принимается. Корреляция между показателем
количества ошибок в тренировочной
сессии и уровнем невербального интеллекта
случайна, r s
не отличается от 0. Вместе
с тем, мы можем обратить внимание на
определенную тенденцию отрицательной
связи
между этими двумя переменными. Возможно,
мы смогли бы ее подтвердить на статистически
значимом уровне, если бы увеличили объем
выборки. Пример 2 - корреляция
между индивидуальными профилями
В исследовании,
посвященном проблемам ценностной
реориента-ции, выявлялись иерархии
терминальных ценностей по методике М.
Рокича у родителей и их взрослых детей
(Сидоренко Е.В., 1996). Ранги терминальных
ценностей, полученные при обследовании
пары мать-дочь (матери - 66 лет, дочери -
42 года) представлены в Табл. 6.4. Попытаемся
определить, как эти ценностные иерархии
коррелируют друг с другом. Таблица 6.4
Ранги терминальных
ценностей по списку М.Рокича в
индивидуальных иерархиях матери и
дочери Терминальные ценности Ранг ценностей в Ранг ценностей в d
2
иерархии матери иерархии дочери 1 Активная деятельная жизнь 2 Жизненная
мудрость 3 Здоровье 4 Интересная
работа 5 Красота
природы и искусство 7 Материально
обеспеченная жизнь 8 Наличие хороших и
верных друзей 9 Общественное
признание 10 Познание 11 Продуктивная
жнзнь 12 Развитие 13 Развлечения 14 Свобода 15 Счастливая семейная жизнь 16 Счастье
других 17 Творчество 18 Уверенность
в себе Сформулируем
гипотезы. H 0:
Корреляция
между иерархиями терминальных ценностей
матери и дочери не отличается от нуля. H 1:
Корреляция между иерархиями терминальных
ценностей матери и дочери статистически
значимо отличается от нуля. Поскольку
ранжирование ценностей предполагается
самой процедурой исследования, нам
остается лишь подсчитать разности между
рангами 18 ценностей в двух иерархиях.
В 3-м и 4-м столбцах Табл. 6.4 представлены
разности d
и
квадраты этих разностей d
2
.
Определяем
эмпирическое значение r s
по формуле: где d
-
разности между рангами по каждой из
переменных, в данном случае по каждой
из терминальных ценностей; N
-
количество переменных, образующих
иерархию, в данном случае количество
ценностей. Для данного примера: По
Табл. XVI
Приложения 1 определяем критические
значения: Ответ:
H 0
отвергается.
Принимается H 1 .
Корреляция между иерархиями терминальных
ценностей матери и дочери статистически
значима (р<0,01) и является положительной. По данным Табл.
6.4 мы можем определить, что основные
расхождения приходятся на ценности
"Счастливая семейная жизнь",
"Общественное признание" и
"Здоровье", ранги остальных ценностей
достаточно близки. Пример 3 - корреляция
между двумя групповыми иерархиями
Джозеф
Вольпе в книге, написанной совместно с
сыном (Wolpe
J.,
Wolpe
D.,
1981) приводит упорядоченный перечень из
наиболее часто встречающихся у
современного человека "бесполезных",
по его обозначению, страхов, которые
не несут сигнального значения и лишь
мешают полноценно жить и действовать.
В отечественном исследовании, проведенном
М.Э. Раховой (1994) 32 испытуемых должны
были по 10-балльной шкале оценить,
насколько актуальным для них является
тот или иной вид страха из перечня
Вольпе 3 .
Обследованная выборка состояла из
студентов Гидрометеорологического и
Педагогического институтов
Санкт-Петербурга: 15 юношей и 17 девушек
в возрасте от 17 до 28 лет, средний возраст
23 года. Данные, полученные
по 10-балльной шкале, были усреднены по
32 испытуемым, и средние проранжированы.
В Табл. 6.5 представлены ранговые
показатели, полученные Дж. Вольпе и М.
Э. Раховой. Совпадают ли ранговые
последовательности 20 видов страха? Сформулируем
гипотезы. H 0:
Корреляция
между упорядоченными перечнями видов
страха в американской и отечественных
выборках не отличается от нуля. H 1:
Корреляция между упорядоченными
перечнями видов страха в американской
и отечественной выборках статистически
значимо отличается от нуля. Все расчеты,
связанные с вычислением и возведением
в квадрат разностей между рангами разных
видов страха в двух выборках, представлены
в Табл. 6.5. Таблица 6.5
Расчет
d
для
рангового коэффициента корреляции
Спирмена при сопоставлении упорядоченных
перечней видов страха в американской
и отечественной выборках Виды страха Ранг в американской выборке Ранг в российской Страх
публичного выступления Страх
полета Страх
совершить ошибку Страх
неудачи Страх
неодобрения Страх
отвержения Страх
злых люден Страх
одиночества Страх
крови Страх
открытых ран Страх
дантиста Страх
уколов Страх
прохождения тестов Страх
полиции ^милиции) Страх
высоты Страх
собак Страх
пауков Страх
искалеченных людей Страх
больниц Страх
темноты Определяем
эмпирическое значение
r s: По
Табл. XVI
Приложения 1 определяем критические
значения г s
при N=20: Ответ:
H 0
принимается. Корреляция между
упорядоченными перечнями видов страха
в американской и отечественной выборках
не достигает уровня статистической
значимости, т. е. значимо не отличается
от нуля. Пример
4 - корреляция между индивидуальным и
среднегрупповым профилями
Выборке
петербуржцев в возрасте от 20
до
78
лет
(31
мужчина, 46 женщин),
уравновешенной по возрасту таким
образом, что лица в возрасте старше 55
лет составляли в
ней
50% 4 ,
предлагалось ответить на вопрос: "Какой
уровень развития каждого из перечисленных
ниже качеств необходим для депутата
Городского собрания Санкт-Петербурга?"
(Сидоренко Е.В., Дерманова И.Б., Анисимова
О.М., Витенберг Е.В., Шульга А.П., 1994).
Оценка
производилась по 10-балльной шкале.
Параллельно с этим обследовалась выборка
из депутатов и кандидатов в депутаты
в Городское собрание Санкт-Петербурга
(n=14).
Индивидуальная диагностика политических
деятелей и претендентов производилась
с помощью Оксфордской системы
экспресс-видеодиагностики по тому же
набору личностных качеств, который
предъявлялся выборке избирателей. В Табл.
6.6 представлены средние значения,
полученные для каждого из качеств в
выборке
избирателей ("эталонный ряд") и
индивидуальные значения одного из
депутатов Городского собрания. Попытаемся
определить, насколько индивидуальный
профиль депутата К-ва коррелирует с
эталонным профилем. Таблица 6.6
Усредненные
эталонные оценки избирателей (п=77) и
индивидуальные показатели депутата
К-ва по 18 личностным качествам
экспресс-видеодиагностики Наименование качества Усредненные эталонные
оценки избирателей Индивидуальные показатели депутата
К-ва 1. Общий уровень культуры 2. Обучаемость 4. Способность к творчеству нового 5.. Самокритичность 6. Ответственность 7. Самостоятельность 8. Энергия, активность 9. Целеустремленность 10. Выдержка, самообладание И. Стойкость 12. Личностная зрелость 13. Порядочность 14. Гуманизм 15. Умение общаться с людьми 16. Терпимость к чужому мнению 17. Гибкость поведения 18. Способность производить благоприятное
впечатление Таблица 6.7
Расчет
d
2
для
рангового коэффициента корреляции
Спирмена между эталонным и индивидуальным
профилями личностных качеств депутата Наименование качества ранг качества в эталонном профиле Ряд 2: ранг качества в индивидуальном
профиле d
2
1 Ответственность 2 Порядочность 3 Умение общаться с людьми 4 Выдержка, самообладание 5 Общий уровень культуры 6 Энергия, активность 8 Самокритичность 9 Самостоятельность 10 Личностная зрелость И Целеустремленность 12 Обучаемость 13 Гуманизм 14 Терпимость к чужому мнению 15 Стойкость 16 Гибкость поведения 17 Способность производить благоприятное
впечатление 18 Способность к творчеству нового Как
видно из Табл. 6.6, оценки избирателей и
индивидуальные показатели депутата
варьируют в разных диапазонах.
Действительно оценки избирателей были
получены по 10-балльной шкале, а
индивидуальные показатели по
экспресс-видеодиагностике измеряются
по 20-ти балльной шкале. Ранжирование
позволяет нам перевести обе шкалы
измерения в единую шкалу, где единицей
измерения будет 1 ранг, а максимальное
значение составит 18 рангов. Ранжирование, как
мы помним, необходимо произвести отдельно
по каждому ряду значений. В данном случае
целесообразно начислять большему
значению меньший ранг, чтобы сразу можно
было увидеть, на каком месте по значимости
(для избирателей) или по выраженности
(у депутата) находится то или иное
качество. Результаты
ранжирования представлены в Табл. 6.7.
Качества перечислены в последовательности,
отражающей эталонный профиль. Сформулируем
гипотезы. H 0:
Корреляция между индивидуальным профилем
депутата К-ва и эталонным профилем,
построенным по оценкам избирателей, не
отличается от нуля. H 1:
Корреляция между индивидуальным профилем
депутата К-ва и эталонным профилем,
построенным по оценкам избирателей,
статистически значимо отличается
от нуля. Поскольку в обоих сопоставляемых
ранговых рядах присутствуют группы одинаковых
рангов, перед подсчетом коэффициента
ранговой корреляции
необходимо внести поправки на одинаковые
ранги Т а
и Т
b
: где а
-
объем
каждой группы одинаковых рангов в
ранговом ряду А,
b
-
объем
каждой группы одинаковых рангов в
ранговом ряду В. В
данном случае, в ряду А (эталонный
профиль) присутствует одна группа
одинаковых рангов - качества "обучаемость"
и "гуманизм" имеют один и тот же
ранг 12,5; следовательно, а
=2. T а =(2 3 -2)/12=0,50. В ряду
В (индивидуальный профиль) присутствует
две группы одинаковых рангов, при этом
b
1
=2
и
b
2
=2.
T a =[(2 3 -2)+(2 3 -2)]/12=1,00 Для
подсчета эмпирического значения r s
используем формулу В данном случае: Заметим,
что если бы поправка на одинаковые ранги
нами не вносилась, то величина r s
была бы лишь на (на 0,0002) выше: При
больших количествах одинаковых рангов
изменения г 5
могут оказаться гораздо более
существенными. Наличие одинаковых
рангов означает меньшую степень
дифференцированное™ упорядоченных
переменных и, следовательно, меньшую
возможность оценить степень связи между
ними (Суходольский Г.В., 1972, с.76). По
Табл. XVI
Приложения 1 определяем критические
значения г, при N=18: Ответ:
Hq
отвергается.
Корреляция между индивидуальным профилем
депутата К-ва и эталонным профилем,
отвечающим требованиям избирателей,
статистически значима (р<0,05) и является
положительной. Из
Табл. 6.7 видно, что депутат К-в имеет
более низкий ранг по шкалам Умения
общаться с людьми и более высокие ранги
по шкалам Целеустремленности и Стойкости,
чем это предписывается избирательским
эталоном. Этими расхождениями, главным
образом, и объясняется некоторое снижение
полученного r s . Сформулируем
общий алгоритм подсчета r s . Коэффициент ранговой корреляции Спирмена – это непараметрический метод, который используется с целью статистического изучения связи между явлениями. В этом случае определяется фактическая степень параллелизма между двумя количественными рядами изучаемых признаков и дается оценка тесноты установленной связи с помощью количественно выраженного коэффициента. Данный критерий был разработан и предложен для проведения корреляционного анализа в 1904 году Чарльзом Эдвардом Спирменом
, английским психологом, профессором Лондонского и Честерфилдского университетов. Коэффициент ранговой корреляции Спирмена используется для выявления и оценки тесноты связи между двумя рядами сопоставляемых количественных показателей
. В том случае, если ранги показателей, упорядоченных по степени возрастания или убывания, в большинстве случаев совпадают (большему значению одного показателя соответствует большее значение другого показателя - например, при сопоставлении роста пациента и его массы тела
), делается вывод о наличии прямой
корреляционной связи. Если ранги показателей имеют противоположную направленность (большему значению одного показателя соответствует меньшее значение другого - например, при сопоставлении возраста и частоты сердечных сокращений
), то говорят об обратной
связи между показателями. В связи с тем, что коэффициент является методом непараметрического анализа
, проверка на нормальность распределения не требуется. Сопоставляемые показатели могут быть измерены как в непрерывной шкале
(например, число эритроцитов в 1 мкл крови), так и в порядковой
(например, баллы экспертной оценки от 1 до 5). Эффективность и качество оценки методом Спирмена снижается, если разница между различными значениями какой-либо из измеряемых величин достаточно велика. Не рекомендуется использовать коэффициент Спирмена, если имеет место неравномерное распределение значений измеряемой величины. Расчет коэффициента ранговой корреляции Спирмена включает следующие этапы: При использовании коэффициента ранговой корреляции условно оценивают тесноту связи между признаками, считая значения коэффициента равные 0,3 и менее - показателями слабой тесноты связи; значения более 0,4, но менее 0,7 - показателями умеренной тесноты связи, а значения 0,7 и более - показателями высокой тесноты связи. Статистическая значимость полученного коэффициента оценивается при помощи t-критерия Стьюдента. Если расчитанное значение t-критерия меньше табличного при заданном числе степеней свободы, статистическая значимость наблюдаемой взаимосвязи - отсутствует. Если больше, то корреляционная связь считается статистически значимой. Дисциплина "высшая математика" у некоторых вызывает неприятие, так как поистине не всем дано ее понять. Но те, кому посчастливилось изучать этот предмет и решать задачи, используя различные уравнения и коэффициенты, могут похвастаться практически полной в ней осведемленности. В психологической науке существует не только гуманитарная направленность, но и определенные формулы и способы для математической проверки выдвигаемой в ходе исследований гипотезы. Для этого применяются различные коэффициенты. Это распространенное измерение по определению тесноты связи между какими-либо двумя признаками. Коэффициент еще называют непараметрическим методом. Он показывает статистику связи. То есть мы знаем, например, что у ребенка агрессия и раздражительность связаны между собой, а коэффициент корреляции рангов Спирмена показывает статистическую математическую связь этих двух признаков. Естественно, что для всех математических определений или величин существуют свои формулы, по которым они вычисляются. Ею обладает и коэффициент корреляции Спирмена. Формула у него следующая: С первого взгляда формула не совсем понятна, но если разобраться, все очень легко вычисляется: Для применения рангового коэффициента необходимо, чтобы количественные данные признака были проранжированы, то есть им был присвоен определенный номер в зависимости от места, на котором расположен признак, и от его значения. Доказано, что два ряда признаков, выраженных в числовом виде, несколько параллельны между собой. Коэффициент ранговой корреляции Спирмена определяет степень этой параллельности, тесноты связи признаков. Для математической операции по расчету и определению связи признаков с помощью указанного коэффициента нужно произвести некоторые действия: К основным свойствам коэффициента Спирмена относят следующие: Для проверки связи признаков между собой необходимо выполнить определенные действия: Самой первой наукой, где активно использовался этот коэффициент, была психология. Ведь это наука, не основывающаяся на цифрах, однако для доказательства каких-либо важных гипотез, касающихся развития отношений, черт характера людей, знаний студентов, требуется статистическое подтверждение выводов. Также его используют в экономике, в частности, при валютных оборотах. Здесь оцениваются признаки без статистики. Очень удобен коэффициент ранговой корреляции Спирмена в этой области применения тем, что оценка производится независимо от распределения переменных, так как они заменяются ранговым числом. Активно применяется коэффициент Спирмена в банковском деле. Социология, политология, демография и другие науки также используют его в своих исследованиях. Результаты получаются быстро и максимально точно. Удобно и быстро используется коэффициент корреляции Спирмена в Excel. Здесь существуют специальные функции, которые помогают быстро получить необходимые значения. Кроме того, что мы узнали про коэффициент корреляции Спирмена, существуют еще различные корреляционные коэффициенты, позволяющие измерить, оценить качественные признаки, связь между количественными признаками, тесноту связи между ними, представленными в ранговой шкале. Это такие коэффициенты, как биссериальный, рангово-биссериальный, контенгенции, ассоциации, и так далее. Коэффициент Спирмена очень точно показывает тесноту связи, в отличие от всех остальных методов ее математического определения.
1. История разработки коэффициента ранговой корреляции
2. Для чего используется коэффициент Спирмена?
Коэффициент корреляции Спирмена обладает следующими свойствами:
3. В каких случаях можно использовать коэффициент Спирмена?
4. Как рассчитать коэффициент Спирмена?
5. Как интерпретировать значение коэффициента Спирмена?
Коэффициент корреляции Спирмена
Как вычисляется ранговый коэффициент?
Область применения математической меры связи
Свойства коэффициента корреляции
Как проверить полученное значение?
Где лучше использовать эту величину
Какие еще коэффициенты корреляции существуют?