Zavisnost varijable y od varijable x, u kojoj svaka vrijednost x odgovara jednoj vrijednosti y, naziva se funkcija. Za označavanje koristite oznaku y=f(x). Svaka funkcija ima niz osnovnih svojstava, kao što su monotonost, parnost, periodičnost i druga.
Pogledajte bliže svojstvo pariteta.
Funkcija y=f(x) se poziva čak i ako zadovoljava sljedeća dva uslova:
2. Vrijednost funkcije u tački x, koja pripada domeni definicije funkcije, mora biti jednaka vrijednosti funkcije u tački -x. To jest, za bilo koju tačku x mora biti zadovoljena sljedeća jednakost iz domena definicije funkcije: f(x) = f(-x).
Grafikon parne funkcije
Ako nacrtate graf parne funkcije, on će biti simetričan u odnosu na Oy os.
Na primjer, funkcija y=x^2 je parna. Hajde da to proverimo. Domen definicije je cijela numerička osa, što znači da je simetrična oko tačke O.
Uzmimo proizvoljan x=3. f(x)=3^2=9.
f(-x)=(-3)^2=9. Stoga je f(x) = f(-x). Dakle, oba uslova su ispunjena, što znači da je funkcija parna. Ispod je graf funkcije y=x^2.
Slika pokazuje da je graf simetričan u odnosu na Oy os.
Grafikon neparne funkcije
Funkcija y=f(x) naziva se neparnom ako zadovoljava sljedeća dva uslova:
1. Područje definicije date funkcije mora biti simetrično u odnosu na tačku O. To jest, ako neka tačka a pripada domeni definicije funkcije, tada odgovarajuća tačka -a također mora pripadati domeni definicije date funkcije.
2. Za bilo koju tačku x, iz domena definicije funkcije mora biti zadovoljena sljedeća jednakost: f(x) = -f(x).
Graf neparne funkcije je simetričan u odnosu na tačku O - ishodište koordinata. Na primjer, funkcija y=x^3 je neparna. Hajde da to proverimo. Domen definicije je cijela numerička osa, što znači da je simetrična oko tačke O.
Uzmimo proizvoljan x=2. f(x)=2^3=8.
f(-x)=(-2)^3=-8. Stoga je f(x) = -f(x). Dakle, oba uslova su ispunjena, što znači da je funkcija neparna. Ispod je graf funkcije y=x^3.
Slika jasno pokazuje da je neparna funkcija y=x^3 simetrična u odnosu na ishodište.
Studija funkcije.
1) D(y) – Definicijski domen: skup svih tih vrijednosti varijable x. za koje algebarski izrazi f(x) i g(x) imaju smisla.
Ako je funkcija data formulom, tada se domen definicije sastoji od svih vrijednosti nezavisne varijable za koje formula ima smisla.
2) Svojstva funkcije: parno/neparno, periodičnost:
Odd I čak pozivaju se funkcije čiji su grafovi simetrični u odnosu na promjene predznaka argumenta.
Neparna funkcija- funkcija koja mijenja vrijednost na suprotnu kada se promijeni predznak nezavisne varijable (simetrično u odnosu na centar koordinata).
Ravnomjerna funkcija- funkcija koja ne mijenja svoju vrijednost kada se promijeni predznak nezavisne varijable (simetrično u odnosu na ordinatu).
Ni parna ni neparna funkcija (opća funkcija)- funkcija koja nema simetriju. Ova kategorija uključuje funkcije koje ne spadaju u prethodne 2 kategorije.
Pozivaju se funkcije koje ne pripadaju nijednoj od gore navedenih kategorija ni paran ni neparan(ili opće funkcije).
Neparne funkcije
Neparni stepen gdje je proizvoljan cijeli broj.
Čak i funkcije
Čak i stepen gdje je proizvoljan cijeli broj.
Periodična funkcija- funkcija koja ponavlja svoje vrijednosti u nekom regularnom intervalu argumenata, odnosno ne mijenja svoju vrijednost kada se argumentu doda neki fiksni broj različit od nule ( period funkcije) u cijelom domenu definicije.
3) Nule (korijeni) funkcije su tačke u kojima ona postaje nula.
Pronalaženje tačke preseka grafika sa osom Oy. Da biste to učinili, potrebno je izračunati vrijednost f(0). Nađite i tačke preseka grafika sa osom Ox, zašto pronaći korijene jednadžbe f(x) = 0 (ili provjerite da nema korijena).
Tačke u kojima graf siječe osu se nazivaju nule funkcije. Da biste pronašli nule funkcije potrebno je riješiti jednačinu, odnosno pronaći ta značenja "x", pri čemu funkcija postaje nula.
4) Intervali postojanosti znakova, znakova u njima.
Intervali u kojima funkcija f(x) održava predznak.
Interval konstantnosti znaka je interval u svakoj tački od kojih funkcija je pozitivna ili negativna.
IZNAD x-ose.
ISPOD osovine.
5) Kontinuitet (tačke diskontinuiteta, priroda diskontinuiteta, asimptote).
Kontinuirana funkcija- funkcija bez “skokova”, to jest ona u kojoj male promjene u argumentu dovode do malih promjena u vrijednosti funkcije.
Removable Break Points
Ako je granica funkcije postoji, ali funkcija nije definirana u ovom trenutku ili se granica ne poklapa s vrijednošću funkcije u ovoj točki:
,
tada se poziva tačka uklonjiva tačka prekida funkcije (u kompleksnoj analizi, uklonjiva singularna tačka).
Ako “ispravimo” funkciju na tački uklonjivog diskontinuiteta i stavimo 
, tada dobijamo funkciju koja je kontinuirana u datoj tački. Ova operacija na funkciji se poziva proširenje funkcije na kontinuirano ili redefinisanje funkcije kontinuitetom, što opravdava ime tačke kao tačke uklonjiv rupture.
Tačke diskontinuiteta prve i druge vrste
Ako funkcija ima diskontinuitet u datoj tački (to jest, granica funkcije u datoj tački je odsutna ili se ne poklapa s vrijednošću funkcije u datoj tački), tada za numeričke funkcije postoje dvije moguće opcije povezane s postojanjem numeričkih funkcija jednostrane granice:
ako obje jednostrane granice postoje i konačne su, onda se takva tačka naziva tačka diskontinuiteta prve vrste. Uklonjive tačke diskontinuiteta su diskontinuitetne tačke prve vrste;
ako barem jedna od jednostranih granica ne postoji ili nije konačna vrijednost, tada se takva tačka naziva tačka diskontinuiteta druge vrste.
Asimptota - ravno, koji ima svojstvo da je udaljenost od tačke na krivulji do ove ravno teži nuli kako se tačka udaljava duž grane do beskonačnosti.
Vertical
Vertikalna asimptota - granična linija 
.
U pravilu, pri određivanju vertikalne asimptote ne traže jednu granicu, već dvije jednostrane (lijevu i desnu). Ovo se radi kako bi se odredilo kako se funkcija ponaša dok se približava vertikalnoj asimptoti iz različitih smjerova. Na primjer:
Horizontalno
Horizontalna asimptota - ravno vrsta, podložna postojanju limit
.
Nagnuto
Kosa asimptota - ravno vrsta, podložna postojanju granice
Napomena: funkcija ne može imati više od dvije kose (horizontalne) asimptote.
Napomena: ako barem jedna od dvije gore navedene granice ne postoji (ili je jednaka ), tada kosa asimptota na (ili ) ne postoji.
ako je u tački 2.), onda , i granica se nalazi pomoću formule horizontalne asimptote, 
.
6) Pronalaženje intervala monotonosti. Naći intervale monotonosti funkcije f(x) (odnosno intervali povećanja i smanjenja). To se radi ispitivanjem predznaka derivacije f(x). Da biste to učinili, pronađite derivaciju f(x) i riješi nejednakost f(x)0. Na intervalima gdje ova nejednakost vrijedi, funkcija f(x)povećava. Gdje vrijedi obrnuta nejednakost f(x)0, funkcija f(x) se smanjuje.
Pronalaženje lokalnog ekstremuma. Nakon što smo pronašli intervale monotonosti, možemo odmah odrediti lokalne ekstremne točke u kojima se povećanje zamjenjuje smanjenjem, nalaze se lokalni maksimumi, a gdje se smanjenje zamjenjuje povećanjem, nalaze se lokalni minimumi. Izračunajte vrijednost funkcije u tim točkama. Ako funkcija ima kritične točke koje nisu lokalne ekstremne točke, onda je korisno izračunati vrijednost funkcije i u tim tačkama.
Pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti funkcije y = f(x) na segmentu(nastavak)
|
1. Pronađite derivaciju funkcije: f(x). 2. Pronađite tačke u kojima je derivacija nula: f(x)=0x 1, x 2 ,... 3. Odredite pripadnost bodova X 1 ,X 2 , … segment [ a; b]: neka x 1a;b, A x 2a;b . |
Ravnomjerna funkcija.
Čak je funkcija čiji se predznak ne mijenja kada se predznak promijeni x.
x jednakost važi f(–x) = f(x). Potpiši x ne utiče na znak y.
Grafikon parne funkcije je simetričan u odnosu na koordinatnu os (slika 1).
Primjeri parne funkcije:
y=cos x
y = x 2
y = –x 2
y = x 4
y = x 6
y = x 2 + x
Objašnjenje:
Uzmimo funkciju y = x 2 ili y = –x 2 .
Za bilo koju vrijednost x funkcija je pozitivna. Potpiši x ne utiče na znak y. Grafikon je simetričan u odnosu na koordinatnu os. Ovo je ravnomjerna funkcija.
Neparna funkcija.
Odd je funkcija čiji se predznak mijenja kada se predznak promijeni x.
Drugim riječima, za bilo koju vrijednost x jednakost važi f(–x) = –f(x).
Grafikon neparne funkcije je simetričan u odnosu na ishodište (slika 2).
Primjeri neparnih funkcija:
y= grijeh x
y = x 3
y = –x 3
Objašnjenje:
Uzmimo funkciju y = – x 3 .
Sva značenja at imaće znak minus. To je znak x utiče na znak y. Ako je nezavisna varijabla pozitivan broj, tada je funkcija pozitivna, ako je nezavisna varijabla negativan broj, tada je funkcija negativna: f(–x) = –f(x).
Grafikon funkcije je simetričan u odnosu na ishodište. Ovo je čudna funkcija.
Svojstva parnih i neparnih funkcija:
BILJEŠKA:
Nisu sve funkcije parne ili neparne. Postoje funkcije koje se ne povinuju takvoj gradaciji. Na primjer, root funkcija at = √X ne odnosi se ni na parne ni neparne funkcije (slika 3). Prilikom navođenja svojstava takvih funkcija treba dati odgovarajući opis: ni par ni neparan.
Periodične funkcije.
Kao što znate, periodičnost je ponavljanje određenih procesa u određenom intervalu. Pozivaju se funkcije koje opisuju ove procese periodične funkcije. Odnosno, to su funkcije u čijim grafovima postoje elementi koji se ponavljaju u određenim numeričkim intervalima.
Grafovi parnih i neparnih funkcija imaju sljedeće karakteristike:
Ako je funkcija parna, tada je njen graf simetričan u odnosu na ordinatu. Ako je funkcija neparna, tada je njen graf simetričan u odnosu na ishodište.
Primjer. Konstruirajte graf funkcije \(y=\left|x \right|\).Rješenje. Razmotrite funkciju: \(f\left(x \right)=\left|x \right|\) i zamijenite suprotnu \(-x \) umjesto \(x \). Kao rezultat jednostavnih transformacija dobijamo: $$f\left(-x \right)=\left|-x \right|=\left|x \right|=f\left(x \right)$$ U drugim riječi, ako zamijenite argument suprotnim predznakom, funkcija se neće promijeniti.
To znači da je ova funkcija parna, a njen graf će biti simetričan u odnosu na ordinatnu os (vertikalna os). Grafikon ove funkcije prikazan je na slici lijevo. To znači da prilikom konstruisanja grafika možete nacrtati samo polovinu, a drugi dio (lijevo od vertikalne ose, crtati simetrično na desni dio). Određivanjem simetrije funkcije prije nego što počnete crtati njen graf, možete uvelike pojednostaviti proces konstruiranja ili proučavanja funkcije. Ako je teško izvesti opću provjeru, možete to učiniti jednostavnije: zamijenite iste vrijednosti različitih predznaka u jednadžbu. Na primjer -5 i 5. Ako se ispostavi da su vrijednosti funkcije iste, onda se možemo nadati da će funkcija biti parna. Sa matematičke tačke gledišta, ovaj pristup nije sasvim ispravan, ali je s praktične tačke gledišta prikladan. Da biste povećali pouzdanost rezultata, možete zamijeniti nekoliko parova takvih suprotnih vrijednosti.
Primjer. Konstruirajte graf funkcije \(y=x\left|x \right|\).
Rješenje. Provjerimo isto kao u prethodnom primjeru: $$f\left(-x \right)=x\left|-x \right|=-x\left|x \right|=-f\left(x \right) ) $$ Ovo znači da je originalna funkcija neparna (znak funkcije je promijenjen u suprotan).
Zaključak: funkcija je simetrična u odnosu na ishodište. Možete izgraditi samo jednu polovinu, a drugu nacrtati simetrično. Ovu vrstu simetrije je teže nacrtati. To znači da grafikon gledate s druge strane lista, pa čak i naopako. Ili možete učiniti ovo: uzmite nacrtani dio i zarotirajte ga oko ishodišta za 180 stepeni suprotno od kazaljke na satu.
Primjer. Konstruirajte graf funkcije \(y=x^3+x^2\).
Rješenje. Izvršimo istu provjeru promjene predznaka kao u prethodna dva primjera. $$f\left(-x \right)=\left(-x \right)^3+\left(-x \right)^2=-x^2+x^2$$ Kao rezultat, dobijamo to: $$f\left(-x \desno)\not=f\left(x \right),f\left(-x \right)\not=-f\left(x \right)$$ I ovo znači da funkcija nije ni parna ni neparna.
Zaključak: funkcija nije simetrična ni u odnosu na ishodište ni centar koordinatnog sistema. To se dogodilo jer je to zbir dvije funkcije: parne i neparne. Ista situacija će se dogoditi ako oduzmete dvije različite funkcije. Ali množenje ili dijeljenje će dovesti do drugačijeg rezultata. Na primjer, proizvod parne i neparne funkcije proizvodi neparnu funkciju. Ili količnik dva neparna broja vodi do parne funkcije.
Nazad napred
Pažnja! Pregledi slajdova služe samo u informativne svrhe i možda ne predstavljaju sve karakteristike prezentacije. Ako ste zainteresovani za ovaj rad, preuzmite punu verziju.
Ciljevi:
- formulisati pojam parnih i neparnih funkcija, naučiti sposobnosti određivanja i upotrebe ovih svojstava prilikom proučavanja funkcija i konstruisanja grafova;
- razvijati kreativnu aktivnost učenika, logičko mišljenje, sposobnost poređenja i generalizacije;
- neguju marljiv rad i matematičku kulturu; razviti komunikacijske vještine .
Oprema: multimedijalna instalacija, interaktivna tabla, materijali.
Oblici rada: frontalni i grupni sa elementima aktivnosti pretraživanja i istraživanja.
Izvori informacija:
1. Algebra 9. razred A.G. Mordkovich. Udžbenik.
2. Algebra 9. razred A.G. Mordkovich. Knjiga problema.
3. Algebra 9. razred. Zadaci za učenje i razvoj učenika. Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.
TOKOM NASTAVE
1. Organizacioni momenat
Postavljanje ciljeva i zadataka za lekciju.
2. Provjera domaćeg
br. 10.17 (knjiga zadataka 9. razreda. A.G. Mordkovich).
A) at = f(X), f(X) = 
b) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;
c) 1. D( f) = [– 2; + ∞)
2. E( f) = [– 3; + ∞)
3. f(X) = 0 at X ~ 0,4
4. f(X) >0 at X > 0,4 ; f(X)
< 0 при – 2 <
X <
0,4.
5. Funkcija se povećava sa X € [– 2; + ∞)
6. Funkcija je ograničena odozdo.
7. at naim = – 3, at naib ne postoji
8. Funkcija je kontinuirana.
(Jeste li koristili algoritam za istraživanje funkcija?) Slajd.
2. Provjerimo tabelu koja vam je postavljena sa slajda.
| Popunite tabelu | |||||
Domain |
Funkcija nule |
Intervali konstantnosti znaka |
Koordinate tačaka preseka grafa sa Oy | ||
 |
x = –5, |
x € (–5;3) U |
x € (–∞;–5) U |
||
 |
x ∞ –5, |
x € (–5;3) U |
x € (–∞;–5) U |
||
x ≠ –5, |
x € (–∞; –5) U |
x € (–5; 2) |
|||
3. Ažuriranje znanja
– Funkcije su date.
– Odredite opseg definicije za svaku funkciju.
– Usporedite vrijednost svake funkcije za svaki par vrijednosti argumenata: 1 i – 1; 2 i – 2.
– Za koju od ovih funkcija u domenu definicije vrijede jednakosti f(– X)
= f(X), f(– X) = – f(X)? (unesite dobijene podatke u tabelu) Slajd
| f(1) i f(– 1) | f(2) i f(– 2) | grafika | f(– X) = –f(X) | f(– X) = f(X) | ||
| 1. f(X) = | ||||||
| 2. f(X) = X 3 | ||||||
| 3. f(X) = | X | | ||||||
| 4.f(X) = 2X – 3 | ||||||
| 5. f(X) = | X ≠ 0 |
|||||
| 6. f(X)= | X > –1 | i nije definisano |
4. Novi materijal
– Dok smo radili ovaj posao, momci, identifikovali smo još jedno svojstvo funkcije, vama nepoznato, ali ništa manje važno od ostalih – to je parnost i neparnost funkcije. Zapišite temu lekcije: "Parne i neparne funkcije", naš zadatak je naučiti odrediti parnost i neparnost funkcije, saznati značaj ove osobine u proučavanju funkcija i crtanju grafova.
Dakle, pronađimo definicije u udžbeniku i pročitajmo (str. 110) . Slajd
Def. 1 Funkcija at = f (X), definisan na skupu X se poziva čak, ako za bilo koju vrijednost XÊ X se izvršava jednakost f(–x)= f(x). Navedite primjere.
Def. 2 Funkcija y = f(x), definisan na skupu X se poziva odd, ako za bilo koju vrijednost XÊ X važi jednakost f(–h)= –f(h). Navedite primjere.
Gdje smo se susreli s pojmovima „parno“ i „neparno“?
Šta mislite koja će od ovih funkcija biti parna? Zašto? Koji su čudni? Zašto?
Za bilo koju funkciju obrasca at= x n, Gdje n– cijeli broj, može se tvrditi da je funkcija neparna kada n– neparan i funkcija je parna kada n– čak.
– Pregledajte funkcije at= i at = 2X– 3 nisu ni parne ni neparne, jer jednakosti nisu zadovoljene f(– X) = – f(X), f(–
X) = f(X)
Studija o tome da li je funkcija parna ili neparna naziva se proučavanjem parnosti funkcije. Slajd
U definicijama 1 i 2 govorili smo o vrijednostima funkcije na x i – x, pri čemu se pretpostavlja da je funkcija također definirana na vrijednosti X, i na – X.
Def 3. Ako numerički skup, zajedno sa svakim svojim elementom x, sadrži i suprotni element –x, tada skup X nazvan simetričnim skupom.
primjeri:
(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) su simetrični skupovi, a , [–5;4] su asimetrični.
– Imaju li parne funkcije domen definicije koji je simetričan skup? Oni čudni?
– Ako je D( f) je asimetričan skup, koja je onda funkcija?
– Dakle, ako je funkcija at = f(X) – paran ili neparan, tada je njegov domen definicije D( f) je simetričan skup. Da li je istinita suprotna izjava: ako je domen definicije funkcije simetričan skup, da li je onda paran ili neparan?
– To znači da je prisustvo simetričnog skupa domena definicije neophodan uslov, ali ne i dovoljan.
– Dakle, kako ispitati funkciju na paritet? Pokušajmo napraviti algoritam.
Slajd
Algoritam za proučavanje funkcije za paritet
1. Odrediti da li je domen definicije funkcije simetričan. Ako nije, onda funkcija nije ni parna ni neparna. Ako jeste, onda idite na korak 2 algoritma.
2. Napišite izraz za f(–X).
3. Uporedite f(–X).I f(X):
- Ako f(–X).= f(X), tada je funkcija parna;
- Ako f(–X).= – f(X), tada je funkcija neparna;
- Ako f(–X) ≠ f(X) I f(–X) ≠ –f(X), tada funkcija nije ni parna ni neparna.
primjeri:
Ispitati funkciju a) radi pariteta at= x 5 +; b) at= ; V) at= .
Rješenje.
a) h(x) = x 5 +,
1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), simetričan skup.
2) h (– x) = (–x) 5 + – x5 –= – (x 5 +),
3) h(– x) = – h (x) => funkcija h(x)= x 5 + neparan.
b) y =,
at = f(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), asimetričan skup, što znači da funkcija nije ni parna ni neparna.
V) f(X) = , y = f (x),
1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?
Opcija 2
1. Da li je dati skup simetričan: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?
A); b) y = x (5 – x 2).
a) y = x 2 (2x – x 3), b) y =
Grafikujte funkciju at = f(X), Ako at = f(X) je parna funkcija.
Grafikujte funkciju at = f(X), Ako at = f(X) je neparna funkcija.
Međusobna provjera slajd.
6. Domaći zadatak: №11.11, 11.21,11.22;
Dokaz geometrijskog značenja svojstva parnosti.
***(Dodjela opcije Jedinstvenog državnog ispita).
1. Neparna funkcija y = f(x) definirana je na cijeloj brojevnoj pravoj. Za bilo koju nenegativnu vrijednost varijable x, vrijednost ove funkcije poklapa se s vrijednošću funkcije g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). Pronađite vrijednost funkcije h( X) = at X = 3.
7. Sumiranje