Pogledajte šta je "CONDITIONAL EXTREME" u drugim rječnicima:

Relativni ekstrem, ekstremum funkcije f (x1,..., xn + m) od n + m varijabli pod pretpostavkom da su i ove varijable podvrgnute m jednadžbi (uslova): φk (x1,..., xn + m) = 0, 1≤ k ≤ m (*) (vidi Ekstrem).… …

Neka je skup otvoren i funkcije date. Neka bude. Ove jednačine se nazivaju jednadžbe ograničenja (terminologija je pozajmljena iz mehanike). Neka je funkcija definirana na G... Wikipediji

- (od latinskog extremum extreme) vrijednost neprekidne funkcije f (x), koja je ili maksimum ili minimum. Tačnije: funkcija f (x) kontinuirana u tački x0 ima maksimum (minimum) u x0 ako postoji susjedstvo (x0 + δ, x0 δ) ove tačke,... ... Velika sovjetska enciklopedija

Ovaj izraz ima druga značenja, pogledajte Ekstrem (značenja). Ekstrem (lat. extremum extreme) u matematici je maksimalna ili minimalna vrijednost funkcije na datom skupu. Tačka u kojoj se dostiže ekstrem... ... Wikipedia

Funkcija koja se koristi u rješavanju problema na uslovnom ekstremumu funkcija mnogih varijabli i funkcionala. Uz pomoć L. f. zapisani su neophodni uslovi za optimalnost u problemima na uslovnom ekstremumu. U ovom slučaju nije potrebno izražavati samo varijable... Mathematical Encyclopedia

Matematička disciplina posvećena pronalaženju ekstremnih (najvećih i najmanjih) vrijednosti funkcionalnosti varijabli koje ovise o izboru jedne ili više funkcija. U i. je prirodan razvoj tog poglavlja...... Velika sovjetska enciklopedija

Varijable, uz pomoć kojih se konstruiše Lagrangeova funkcija pri proučavanju problema na uslovnom ekstremumu. Upotreba linearnih metoda i Lagrangeove funkcije omogućava nam da dobijemo potrebne uslove optimalnosti u problemima koji uključuju uslovni ekstremum na uniforman način... Mathematical Encyclopedia

Račun varijacija je grana funkcionalne analize koja proučava varijacije funkcionala. Najtipičniji problem u varijacionom računu je pronaći funkciju na kojoj dati funkcional postiže... ... Wikipedia

Grana matematike posvećena proučavanju metoda za pronalaženje ekstrema funkcionala koji zavise od izbora jedne ili više funkcija pod raznim vrstama ograničenja (faznih, diferencijalnih, integralnih, itd.) nametnutih ovim... ... Mathematical Encyclopedia

Račun varijacija je grana matematike koja proučava varijacije funkcionala. Najtipičniji problem u varijacionom računu je pronaći funkciju na kojoj funkcija dostiže ekstremnu vrijednost. Metode... ...Vikipedija

Knjige

• Predavanja iz teorije upravljanja. Volume 2. Optimalna kontrola, V. Boss. Razmatraju se klasični problemi teorije optimalnog upravljanja. Prezentacija počinje osnovnim konceptima optimizacije u konačnodimenzionalnim prostorima: uslovni i bezuslovni ekstrem,...

Definicija1: Kaže se da funkcija ima lokalni maksimum u tački ako postoji susjedstvo tačke takvo da za bilo koju tačku M sa koordinatama (x, y) vrijedi nejednakost: . U ovom slučaju, tj. povećanje funkcije< 0.

Definicija2: Kaže se da funkcija ima lokalni minimum u tački ako postoji susjedstvo tačke takvo da za bilo koju tačku M sa koordinatama (x, y) vrijedi nejednakost: . U ovom slučaju, tj. prirast funkcije > 0.

Definicija 3: Pozivaju se točke lokalnog minimuma i maksimuma ekstremne tačke.

Conditional Extremes

Prilikom traženja ekstrema funkcije mnogih varijabli često se javljaju problemi vezani za tzv uslovni ekstrem. Ovaj koncept se može objasniti na primjeru funkcije dvije varijable.

Neka su data funkcija i linija L na površini 0xy. Zadatak je doći na liniju L pronađite takvu tačku P(x, y), u kojoj je vrijednost funkcije najveća ili najmanja u usporedbi s vrijednostima ove funkcije u tačkama na pravoj L, koji se nalazi u blizini punkta P. Takve tačke P su pozvani uslovne ekstremne tačke funkcije na mreži L. Za razliku od uobičajene tačke ekstrema, vrijednost funkcije u tački uvjetnog ekstrema uspoređuje se s vrijednostima funkcije ne u svim tačkama njenog susjedstva, već samo u onima koje leže na pravoj L.

Apsolutno je jasno da je tačka uobičajenog ekstremuma (također kažu bezuslovni ekstrem) je također uslovna tačka ekstrema za svaku pravu koja prolazi kroz ovu tačku. Obrnuto, naravno, nije tačno: uslovna tačka ekstrema možda nije obična tačka ekstrema. Dozvolite mi da objasnim ono što sam rekao na jednostavnom primjeru. Grafikon funkcije je gornja hemisfera (Dodatak 3 (Sl. 3)).

Ova funkcija ima maksimum na početku; vrh mu odgovara M hemisfere. Ako je linija L postoji prava koja prolazi kroz tačke A I IN(njena jednačina x+y-1=0), tada je geometrijski jasno da se za tačke ove prave najveća vrijednost funkcije postiže u tački koja leži u sredini između tačaka A I IN. Ovo je tačka uslovnog ekstrema (maksimuma) funkcije na ovoj liniji; odgovara tački M 1 na hemisferi, a sa slike je jasno da ovdje ne može biti govora ni o kakvom običnom ekstremumu.

Imajte na umu da je u završnom dijelu zadatak pronalaženja najveće i najmanje vrijednosti funkcije u zatvorenom prostoru moramo pronaći ekstremne vrijednosti funkcije na granici ovog područja, tj. na nekoj liniji, i time riješiti problem uslovnog ekstrema.

Pređimo sada na praktičnu potragu za tačkama uslovnog ekstrema funkcije Z= f(x, y) pod uslovom da su varijable x i y povezane jednačinom (x, y) = 0. Ovu relaciju ćemo nazvati jednačina veze. Ako se iz jednačine spajanja y može eksplicitno izraziti u terminima x: y=(x), dobijamo funkciju jedne varijable Z= f(x, (x)) = F(x).

Nakon što smo pronašli vrijednost x na kojoj ova funkcija dostiže ekstrem, a zatim odredili iz jednačine veze odgovarajuće y vrijednosti, dobili smo željene točke uslovnog ekstrema.

Dakle, u gornjem primjeru, iz jednačine relacije x+y-1=0 imamo y=1-x. Odavde

Lako je provjeriti da z dostiže svoj maksimum na x = 0,5; ali onda iz jednačine veze y = 0.5, i dobijamo tačno tačku P, pronađenu iz geometrijskih razmatranja.

Problem uslovnog ekstremuma može se vrlo jednostavno riješiti kada se jednačina veze može predstaviti parametarskim jednadžbama x=x(t), y=y(t). Zamjenom izraza za x i y u ovu funkciju, ponovo dolazimo do problema nalaženja ekstrema funkcije jedne varijable.

Ako jednačina spajanja ima više od složen izgled i nismo u mogućnosti da eksplicitno izrazimo jednu varijablu u terminima druge, ili da je zamenimo parametarskim jednačinama, onda zadatak pronalaženja uslovnog ekstremuma postaje teži. Nastavićemo da pretpostavljamo da je u izrazu funkcije z= f(x, y) varijabla (x, y) = 0. Ukupna derivacija funkcije z= f(x, y) jednaka je:

Gdje se derivacija y` nalazi korištenjem pravila diferencijacije implicitne funkcije. U tačkama uslovnog ekstremuma, pronađeni ukupni derivat mora biti jednak nuli; ovo daje jednu jednačinu koja povezuje x i y. Budući da moraju zadovoljiti i jednačinu spajanja, dobijamo sistem od dvije jednačine sa dvije nepoznate

Transformirajmo ovaj sistem u mnogo pogodniji tako što ćemo napisati prvu jednačinu u obliku proporcije i uvesti novu pomoćnu nepoznanicu:

(znak minus ispred je radi praktičnosti). Iz ovih jednakosti lako je preći na sljedeći sistem:

f` x =(x,y)+` x (x,y)=0, f` y (x,y)+` y (x,y)=0 (*),

koja zajedno sa jednadžbom veze (x, y) = 0 čini sistem od tri jednačine sa nepoznatim x, y i.

Ove jednačine (*) je najlakše zapamtiti upotrebom sledeće pravilo: da bismo pronašli tačke koje mogu biti uslovne tačke ekstrema funkcije

Z= f(x, y) sa jednadžbom veze (x, y) = 0, potrebno je formirati pomoćnu funkciju

F(x,y)=f(x,y)+(x,y)

Gdje je neka konstanta i kreirajte jednadžbe za pronalaženje ekstremnih tačaka ove funkcije.

Navedeni sistem jednačina obezbeđuje, po pravilu, samo neophodne uslove, tj. nije svaki par vrijednosti x i y koji zadovoljava ovaj sistem nužno uslovna tačka ekstrema. Neću dati dovoljne uslove za tačke uslovnog ekstremuma; vrlo često sam specifičan sadržaj problema sugeriše šta je pronađena tačka. Opisana tehnika rješavanja problema na uslovnom ekstremumu naziva se Lagrangeova metoda množenja.

Uslovni ekstrem.

Ekstremi funkcije nekoliko varijabli

Metoda najmanjeg kvadrata.

Lokalni ekstremum FNP-a

Neka je funkcija data I= f(P), RÎDÌR n i neka tačka P 0 ( A 1 , A 2 , ..., a p) –interni tačka skupa D.

Definicija 9.4.

1) Poziva se tačka P 0 maksimalni poen funkcije I= f(P), ako postoji okolina ove tačke U(P 0) M D takva da je za bilo koju tačku P( X 1 , X 2 , ..., x n)O U(P 0) , R¹R 0 , uslov je zadovoljen f(P)£ f(P 0) . Značenje f(P 0) funkcija na maksimalnoj tački se poziva maksimum funkcije i određen je f(P0) = max f(P) .

2) Poziva se tačka P 0 minimalna tačka funkcije I= f(P), ako postoji okolina ove tačke U(P 0)Ì D takva da je za bilo koju tačku P( X 1 , X 2 , ..., x n)OU(P 0), R¹R 0 , uslov je zadovoljen f(P)³ f(P 0) . Značenje f(P 0) funkcija u minimalnoj tački se poziva minimalna funkcija i određen je f(P 0) = min f(P).

Pozivaju se minimalne i maksimalne točke funkcije ekstremne tačke, pozivaju se vrijednosti funkcije u tačkama ekstrema ekstremi funkcije.

Kao što slijedi iz definicije, nejednakosti f(P)£ f(P 0) , f(P)³ f(P 0) mora biti zadovoljena samo u određenom susjedstvu tačke P 0, a ne u cijeloj domeni definicije funkcije, što znači da funkcija može imati više ekstrema istog tipa (nekoliko minimuma, nekoliko maksimuma) . Stoga se nazivaju gore definirani ekstremi lokalni(lokalni) ekstremi.

Teorema 9.1.( neophodno stanje ekstrem FNP)

Ako je funkcija I= f(X 1 , X 2 , ..., x n) ima ekstrem u tački P 0 , tada su njegovi parcijalni derivati ​​prvog reda u ovoj tački ili jednaki nuli ili ne postoje.

Dokaz. Neka u tački P 0 ( A 1 , A 2 , ..., a p) funkcija I= f(P) ima ekstrem, na primjer, maksimum. Hajde da popravimo argumente X 2 , ..., x n, stavljanje X 2 =A 2 ,..., x n = a p. Onda I= f(P) = f 1 ((X 1 , A 2 , ..., a p) je funkcija jedne varijable X 1 . Pošto ova funkcija ima X 1 = A 1 ekstrem (maksimum), zatim f 1 ¢=0ili ne postoji kada X 1 =A 1 (neophodan uslov za postojanje ekstremuma funkcije jedne varijable). Ali, to znači ili ne postoji u tački P 0 - tački ekstrema. Slično, možemo razmotriti parcijalne derivate u odnosu na druge varijable. CTD.

Tačke u domeni funkcije u kojima su parcijalni derivati ​​prvog reda jednaki nuli ili ne postoje nazivaju se kritične tačke ovu funkciju.

Kao što slijedi iz teoreme 9.1, tačke ekstrema FNP treba tražiti među kritičnim tačkama funkcije. Ali, što se tiče funkcije jedne varijable, nije svaka kritična tačka tačka ekstrema.

Teorema 9.2 (dovoljan uslov za ekstremum FNP)

Neka je P 0 kritična tačka funkcije I= f(P) i je diferencijal drugog reda ove funkcije. Onda

i ako d 2 u(P 0) > 0 na , tada je P 0 tačka minimum funkcije I= f(P);

b) ako d 2 u(P0)< 0 при , то Р 0 – точка maksimum funkcije I= f(P);

c) ako d 2 u(P 0) nije definisano znakom, onda P 0 nije tačka ekstrema;

Razmotrićemo ovu teoremu bez dokaza.

Imajte na umu da teorema ne razmatra slučaj kada d 2 u(P 0) = 0 ili ne postoji. To znači da pitanje prisustva ekstremuma u tački P 0 pod takvim uslovima ostaje otvoreno – potrebna su dodatna istraživanja, na primer, proučavanje prirasta funkcije u ovoj tački.

U detaljnijim predmetima matematike se to dokazuje, posebno za funkciju z = f(x,y) dvije varijable, čiji je diferencijal drugog reda zbir oblika

proučavanje prisustva ekstremuma u kritičnoj tački P 0 može se pojednostaviti.

Označimo , , . Hajde da sastavimo odrednicu

.

Ispada:

d 2 z> 0 u tački P 0, tj. P 0 – minimalna tačka, ako A(P 0) > 0 i D(P 0) > 0;

d 2 z < 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка максимума, если A(P0)< 0 , а D(Р 0) > 0;

ako je D(P 0)< 0, то d 2 z u blizini tačke P 0 menja predznak i nema ekstremuma u tački P 0;

ako je D(R 0) = 0, tada su potrebna i dodatna istraživanja funkcije u blizini kritične tačke R 0.

Dakle, za funkciju z = f(x,y) od dvije varijable imamo sljedeći algoritam (nazovimo ga “algoritam D”) za pronalaženje ekstrema:

1) Pronađite domen definicije D( f) funkcije.

2) Pronađite kritične tačke, tj. bodova iz D( f), za koje su i jednaki nuli ili ne postoje.

3) U svakoj kritičnoj tački P 0 provjerite dovoljne uslove za ekstrem. Da biste to učinili, pronađite , gdje , , i izračunajte D(P 0) i A(P 0). Zatim:

ako je D(P 0) >0, tada u tački P 0 postoji ekstrem, i ako A(P 0) > 0 – onda je ovo minimum, i ako A(P 0)< 0 – максимум;

ako je D(P 0)< 0, то в точке Р­ 0 нет экстремума;

Ako je D(P 0) = 0, potrebno je dodatno istraživanje.

4) U pronađenim tačkama ekstrema izračunati vrijednost funkcije.

Primjer 1.

Naći ekstremu funkcije z = x 3 + 8y 3 – 3xy .

Rješenje. Područje definicije ove funkcije je cijela koordinatna ravan. Hajde da pronađemo kritične tačke.

, , Þ P 0 (0,0) , .

Hajde da proverimo da li su ispunjeni dovoljni uslovi za ekstrem. Naći ćemo

6X, = -3, = 48at I = 288xy – 9.

Tada je D(P 0) = 288×0×0 – 9 = -9< 0 , значит, в точке Р 0 экстремума нет.

D(R 1) = 36-9>0 – u tački R 1 postoji ekstrem, a pošto A(P 1) = 3 >0, onda je ovaj ekstremum minimum. Dakle min z=z(P 1) = .

Primjer 2.

Naći ekstremu funkcije .

Rješenje: D( f) =R 2 . Kritične tačke: ; ne postoji kada at= 0, što znači da je P 0 (0,0) kritična tačka ove funkcije.

2, = 0, = , = , ali D(P 0) nije definisan, pa je proučavanje njegovog predznaka nemoguće.

Iz istog razloga, nemoguće je direktno primijeniti teoremu 9.2 - d 2 z ne postoji u ovom trenutku.

Razmotrimo prirast funkcije f(x, y) u tački P 0. Ako je D f =f(P) – f(P 0)>0 "P, tada je P 0 minimalna tačka, ali ako je D f < 0, то Р 0 – точка максимума.

U našem slučaju imamo

D f = f(x, y) – f(0, 0) = f(0+D x,0+D y) – f(0, 0) = .

Kod D x= 0,1 i D y= -0,008 dobijamo D f = 0,01 – 0,2 < 0, а при Dx= 0,1 i D y= 0,001 D f= 0,01 + 0,1 > 0, tj. u blizini tačke P 0 nijedan uslov D ​​nije zadovoljen f <0 (т.е. f(x, y) < f(0, 0) i stoga P 0 nije tačka maksimuma), niti uslov D f>0 (tj. f(x, y) > f(0, 0) i tada P 0 nije minimalna tačka). Dakle, po definiciji ekstremuma, ovu funkciju nema ekstrema.

Uslovni ekstrem.

Razmatrani ekstremum funkcije se poziva bezuslovno, budući da se argumentima funkcije ne nameću nikakva ograničenja (uslovi).

Definicija 9.2. Ekstremum funkcije I = f(X 1 , X 2 , ... , x n), pronađen pod uslovom da su njegovi argumenti X 1 , X 2 , ... , x n zadovoljiti jednačine j 1 ( X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, …, j T(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, gdje je P ( X 1 , X 2 , ... , x n) O D( f), zove uslovni ekstrem .

Jednačine j k(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0 , k = 1, 2,..., m, su pozvani jednačine veze.

Pogledajmo funkcije z = f(x,y) dvije varijable. Ako je jednačina veze jedan, tj. , tada pronalaženje uslovnog ekstremuma znači da se ekstremum ne traži u cijeloj domeni definicije funkcije, već na nekoj krivulji koja leži u D( f) (tj. ne traže se najviše ili najniže tačke površine z = f(x,y), i najviše ili najniže tačke među tačkama preseka ove površine sa cilindrom, sl. 5).

Uslovni ekstremum funkcije z = f(x,y) od dvije varijable se mogu naći na sljedeći način ( metoda eliminacije). Iz jednačine izrazite jednu od varijabli kao funkciju druge (na primjer, write ) i, zamjenjujući ovu vrijednost varijable u funkciju, zapišite potonju kao funkciju jedne varijable (u razmatranom slučaju ). Odrediti ekstremum rezultujuće funkcije jedne varijable.

Dovoljan uslov za ekstremum funkcije dvije varijable

1. Neka je funkcija kontinuirano diferencibilna u nekom susjedstvu tačke i ima kontinuirane parcijalne izvode drugog reda (čiste i mješovite).

2. Označimo determinantom drugog reda

funkcija predavanja ekstremne varijable

Teorema

Ako je točka s koordinatama stacionarna točka za funkciju, tada:

A) Na njemu je tačka lokalnog ekstremuma i, u lokalnom maksimumu, lokalni minimum;

C) u tački nije lokalna tačka ekstrema;

C) ako, možda oboje.

Dokaz

Napišimo Taylorovu formulu za funkciju, ograničavajući se na dva pojma:

Pošto je, prema uslovima teoreme, tačka stacionarna, parcijalni izvod drugog reda jednaki su nuli, tj. I. Onda

Označimo

Tada će povećanje funkcije poprimiti oblik:

Zbog kontinuiteta parcijalnih izvoda drugog reda (čistih i mješovitih), prema uslovima teoreme u tački, možemo napisati:

Gdje ili; ,

1. Neka i, tj. ili.

2. Pomnožimo prirast funkcije i podijelimo sa, dobićemo:

3. Dodajmo izraz u vitičastim zagradama punom kvadratu zbira:

4. Izraz u vitičastim zagradama nije negativan, jer

5. Prema tome, ako je sredstvo i, onda i, prema tome, prema definiciji, tačka je tačka lokalnog minimuma.

6. Ako je sredstvo i, onda, prema definiciji, tačka sa koordinatama je tačka lokalnog maksimuma.

2. Razmotrimo kvadratni trinom, njegov diskriminant, .

3. Ako, onda postoje tačke takve da je polinom

4. Ukupan prirast funkcije u tački u skladu s izrazom dobivenim u I zapisujemo kao:

5. Zbog kontinuiteta parcijalnih izvoda drugog reda, prema uslovima teoreme u tački, možemo zapisati da

Prema tome, postoji susjedstvo tačke takvo da je za bilo koju tačku kvadratni trinom veći od nule:

6. Razmotrite susjedstvo tačke.

Odaberimo bilo koju vrijednost, pa tačka. Pod pretpostavkom da je u formuli za prirast funkcije

šta dobijamo:

7. Od tada.

8. Slično argumentirajući za korijen, nalazimo da u bilo kojoj okolini tačke postoji tačka za koju, prema tome, u okolini tačke ne čuva predznak, stoga nema ekstremuma u tački.

Uslovni ekstrem funkcije dvije varijable

Prilikom pronalaženja ekstrema funkcije dvije varijable često se javljaju problemi vezani za takozvani uslovni ekstrem. Ovaj koncept se može objasniti na primjeru funkcije dvije varijable.

Neka su funkcija i prava L dati na ravni 0xy. Zadatak je pronaći tačku P (x, y) na pravoj L u kojoj je vrijednost funkcije najveća ili najmanja u odnosu na vrijednosti ove funkcije u tačkama na pravoj L koje se nalaze u blizini tačke P. Takve tačke P nazivaju se funkcije uvjetnih ekstremnih tačaka na liniji L. Za razliku od uobičajene tačke ekstrema, vrijednost funkcije u tački uvjetnog ekstrema se uspoređuje s vrijednostima funkcije ne u svim tačkama njenog susjedstva, već samo u onima koje leže na liniji L.

Apsolutno je jasno da je tačka običnog ekstrema (kažu i bezuslovni ekstrem) i tačka uslovnog ekstremuma za svaku pravu koja prolazi kroz ovu tačku. Obrnuto, naravno, nije tačno: uslovna tačka ekstrema možda nije obična tačka ekstrema. Ilustrirajmo to primjerom.

Primjer br. 1. Grafikon funkcije je gornja hemisfera (slika 2).

Rice. 2.

Ova funkcija ima maksimum na početku; odgovara vrhu M hemisfere. Ako je prava L prava koja prolazi kroz tačke A i B (njena jednadžba), onda je geometrijski jasno da se za tačke ove prave najveća vrijednost funkcije postiže u tački koja leži u sredini između tačaka A i B Ovo je tačka uslovnih ekstremnih (maksimalnih) funkcija na ovoj liniji; odgovara tački M 1 na hemisferi, a sa slike je jasno da ovdje ne može biti govora ni o kakvom običnom ekstremumu.

Imajte na umu da u završnom dijelu problema pronalaženja najveće i najmanje vrijednosti funkcije u zatvorenom području moramo pronaći ekstremne vrijednosti funkcije na granici ovog područja, tj. na nekoj liniji, i time riješiti problem uslovnog ekstrema.

Definicija 1. Kažu da gdje u tački koja zadovoljava jednadžbu ima uslovni ili relativni maksimum (minimum): ako za bilo koju tačku koja zadovoljava jednadžbu nejednakost

Definicija 2. Jednačina oblika naziva se jednačina ograničenja.

Teorema

Ako su funkcije i kontinuirano diferencibilne u susjedstvu točke i parcijalnog izvoda, a tačka je uvjetna tačka ekstrema funkcije u odnosu na jednadžbu ograničenja, tada je determinanta drugog reda jednaka nuli:

Dokaz

1. Pošto su, prema uslovima teoreme, parcijalni izvod i vrednost funkcije, onda u određenom pravougaoniku

definirana implicitna funkcija

Kompleksna funkcija dvije varijable u jednoj tački imat će lokalni ekstrem, dakle, ili.

2. Zaista, prema svojstvu invarijantnosti diferencijalne formule prvog reda

3. Jednačina veze se može predstaviti u ovom obliku, što znači

4. Pomnožite jednačinu (2) sa i (3) sa i dodajte ih

Stoga, kada

proizvoljno. itd.

Posljedica

Traženje uvjetnih ekstremnih tačaka funkcije dvije varijable u praksi se provodi rješavanjem sistema jednadžbi

Dakle, u gornjem primjeru br. 1 iz jednačine veze imamo. Odavde je lako provjeriti šta dostiže maksimum. Ali onda iz komunikacijske jednadžbe. Dobijamo tačku P, pronađenu geometrijski.

Primjer br. 2. Naći uslovne ekstremne tačke funkcije u odnosu na jednadžbu sprege.

Nađimo parcijalne derivate datu funkciju i jednačine spajanja:

Kreirajmo determinantu drugog reda:

Hajde da napišemo sistem jednačina za pronalaženje tačaka uslovnog ekstrema:

To znači da postoje četiri tačke uslovnog ekstremuma funkcije sa koordinatama: .

Primjer br. 3. Pronađite ekstremne tačke funkcije.

Izjednačavajući parcijalne derivacije sa nulom: , nalazimo jednu stacionarnu tačku - ishodište. Evo,. Prema tome, tačka (0, 0) nije tačka ekstrema. Jednačina je jednačina hiperboličkog paraboloida (slika 3) sa slike se vidi da tačka (0, 0) nije tačka ekstrema.

Rice. 3.

Najveća i najmanja vrijednost funkcije u zatvorenom području

1. Neka je funkcija definirana i kontinuirana u ograničenom zatvorenom području D.

2. Neka funkcija ima konačne parcijalne izvode u ovoj regiji, osim za pojedinačne tačke regije.

3. U skladu s Weierstrassovom teoremom, u ovoj regiji postoji tačka u kojoj funkcija poprima svoj maksimum i najmanju vrijednost.

4. Ako su ove tačke unutrašnje tačke regiona D, onda će očigledno imati maksimum ili minimum.

5. U ovom slučaju, tačke koje nas zanimaju su među sumnjivim tačkama na ekstremumu.

6. Međutim, funkcija također može poprimiti najveću ili najmanju vrijednost na granici područja D.

7. Da biste pronašli najveću (najmanju) vrijednost funkcije u području D, potrebno je pronaći sve unutrašnje tačke sumnjive za ekstrem, izračunati vrijednost funkcije u njima, zatim uporediti sa vrijednošću funkcije na granične tačke regije, a najveća od svih pronađenih vrijednosti bit će najveća u zatvorenom području D.

8. Metoda pronalaženja lokalnog maksimuma ili minimuma razmatrana je ranije u odjeljku 1.2. i 1.3.

9. Ostaje razmotriti metodu pronalaženja najveće i najmanje vrijednosti funkcije na granici regije.

10. U slučaju funkcije dvije varijable, površina je obično ograničena krivom ili nekoliko krivulja.

11. Duž takve krive (ili nekoliko krivulja), varijable i ili zavise jedna od druge, ili obje zavise od jednog parametra.

12. Dakle, na granici ispada da funkcija zavisi od jedne varijable.

13. Metoda pretraživanja najveća vrijednost funkcije jedne varijable su razmatrane ranije.

14. Neka je granica regije D data parametarskim jednadžbama:

Tada će na ovoj krivulji biti funkcija dvije varijable složena funkcija iz parametra: . Za takvu funkciju najveće i najmanje vrijednosti određuju se metodom za određivanje najveće i najmanje vrijednosti za funkciju jedne varijable.