Šta je ekstrem funkcije i koji je neophodan uslov za ekstrem?

Ekstremum funkcije je maksimum i minimum funkcije.

Neophodan uslov za maksimum i minimum (ekstremum) funkcije je sledeći: ako funkcija f(x) ima ekstrem u tački x = a, tada je u ovoj tački derivacija ili nula, ili beskonačna, ili ima ne postoji.

Ovaj uslov je neophodan, ali nije dovoljan. Izvod u tački x = a može ići na nulu, beskonačnost ili ne postojati bez da funkcija ima ekstrem u ovoj tački.

Koji je dovoljan uslov za ekstremum funkcije (maksimum ili minimum)?

Prvi uslov:

Ako je, u dovoljnoj blizini tačke x = a, derivacija f?(x) pozitivna lijevo od a i negativna desno od a, tada u tački x = a funkcija f(x) ima maksimum

Ako je, u dovoljnoj blizini tačke x = a, derivacija f?(x) negativna lijevo od a i pozitivna desno od a, tada u tački x = a funkcija f(x) ima minimum pod uslovom da je funkcija f(x) ovdje kontinuirana.

Umjesto toga, možete koristiti drugi dovoljan uvjet za ekstremum funkcije:

Neka u tački x = a prvi izvod f?(x) nestane; ako je drugi izvod f??(a) negativan, tada funkcija f(x) ima maksimum u tački x = a, ako je pozitivna, onda ima minimum.

Koja je kritična tačka funkcije i kako je pronaći?

Ovo je vrijednost argumenta funkcije na kojoj funkcija ima ekstrem (tj. maksimum ili minimum). Da biste ga pronašli trebate pronađite izvod funkcija f?(x) i, izjednačavajući je sa nulom, riješiti jednačinu f?(x) = 0. Korijeni ove jednadžbe, kao i one tačke u kojima ne postoji izvod ove funkcije, su kritične tačke, odnosno vrijednosti argumenta u kojima može postojati ekstrem. Lako se mogu prepoznati gledanjem derivirani graf: zanimaju nas one vrijednosti argumenta pri kojima graf funkcije siječe os apscise (Ox os) i one kod kojih graf trpi diskontinuitete.

Na primjer, hajde da pronađemo ekstremuma parabole.

Funkcija y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Derivat funkcije: y?(x) = 6x + 2

Riješite jednačinu: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

U ovom slučaju, kritična tačka je x0=-1/3. Funkcija ima ovu vrijednost argumenta ekstrem. Za njega nađi, zamijenite pronađeni broj u izrazu za funkciju umjesto "x":

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Kako odrediti maksimum i minimum funkcije, tj. njegove najveće i najmanje vrijednosti?

Ako se predznak derivacije pri prolasku kroz kritičnu tačku x0 promijeni iz “plus” u “minus”, tada je x0 maksimalni poen; ako se predznak derivacije promijeni iz minusa u plus, tada je x0 minimalna tačka; ako se predznak ne mijenja, tada u tački x0 nema ni maksimuma ni minimuma.

Za razmatrani primjer:

Uzimamo proizvoljnu vrijednost argumenta lijevo od kritične tačke: x = -1

Kod x = -1, vrijednost izvoda će biti y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (tj. znak je “minus”).

Sada uzimamo proizvoljnu vrijednost argumenta desno od kritične tačke: x = 1

Kod x = 1, vrijednost izvoda će biti y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (tj. znak je “plus”).

Kao što vidite, derivacija je promijenila predznak iz minusa u plus kada je prošla kroz kritičnu tačku. To znači da na kritičnoj vrijednosti x0 imamo minimalnu tačku.

Najveća i najmanja vrijednost funkcije na intervalu(na segmentu) se pronalaze istim postupkom, samo uzimajući u obzir činjenicu da, možda, neće sve kritične tačke ležati unutar navedenog intervala. One kritične tačke koje su izvan intervala moraju biti isključene iz razmatranja. Ako postoji samo jedna kritična tačka unutar intervala, ona će imati ili maksimum ili minimum. U ovom slučaju, da bismo odredili najveću i najmanju vrijednost funkcije, uzimamo u obzir i vrijednosti funkcije na krajevima intervala.

Na primjer, pronađimo najveću i najmanju vrijednost funkcije

y(x) = 3sin(x) - 0,5x

u intervalima:

Dakle, derivacija funkcije je

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

Rješavamo jednačinu 3cos(x) - 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x = ±arccos(0,16667) + 2πk.

Nalazimo kritične tačke na intervalu [-9; 9]:

x = arccos(0,16667) - 2π*2 = -11,163 (nije uključeno u interval)

x = -arccos(0,16667) – 2π*1 = -7,687

x = arccos(0,16667) - 2π*1 = -4,88

x = -arccos(0,16667) + 2π*0 = -1,403

x = arccos(0,16667) + 2π*0 = 1,403

x = -arccos(0,16667) + 2π*1 = 4,88

x = arccos(0,16667) + 2π*1 = 7,687

x = -arccos(0,16667) + 2π*2 = 11,163 (nije uključeno u interval)

Pronalazimo vrijednosti funkcije na kritičnim vrijednostima argumenta:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4.88) = 3cos(4.88) - 0.5 = -5.398

y(7.687) = 3cos(7.687) - 0.5 = -0.885

Može se vidjeti da na intervalu [-9; 9] funkcija ima najveću vrijednost pri x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

a najmanji - na x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

Na intervalu [-6; -3] imamo samo jednu kritičnu tačku: x = -4,88. Vrijednost funkcije pri x = -4,88 jednaka je y = 5,398.

Pronađite vrijednost funkcije na krajevima intervala:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

Na intervalu [-6; -3] imamo najveću vrijednost funkcije

y = 5,398 pri x = -4,88

najmanja vrijednost -

y = 1,077 pri x = -3

Kako pronaći točke pregiba grafa funkcije i odrediti konveksnu i konkavnu stranu?

Da biste pronašli sve tačke pregiba prave y = f(x), morate pronaći drugi izvod, izjednačiti ga sa nulom (riješiti jednačinu) i testirati sve one vrijednosti x za koje je drugi izvod nula, beskonačan ili ne postoji. Ako, pri prolasku kroz jednu od ovih vrijednosti, drugi izvod promijeni predznak, tada graf funkcije ima fleksiju u ovoj tački. Ako se ne promijeni, onda nema savijanja.

Korijeni jednačine f? (x) = 0, kao i moguće tačke diskontinuiteta funkcije i drugog izvoda, dijele područje definicije funkcije na više intervala. Konveksnost na svakom od njihovih intervala određena je predznakom druge derivacije. Ako je drugi izvod u tački na ispitivanom intervalu pozitivan, tada je prava y = f(x) konkavna prema gore, a ako je negativna, onda prema dolje.

Kako pronaći ekstreme funkcije dvije varijable?

Da biste pronašli ekstreme funkcije f(x,y), diferencibilne u domeni njene specifikacije, trebate:

1) pronaći kritične tačke, a za to - rešiti sistem jednačina

fh? (x,y) = 0, fu? (x,y) = 0

2) za svaku kritičnu tačku P0(a;b) istražiti da li predznak razlike ostaje nepromijenjen

za sve tačke (x;y) dovoljno blizu P0. Ako razlika ostane pozitivna, tada u tački P0 imamo minimum, ako je negativna, onda imamo maksimum. Ako razlika ne zadrži svoj predznak, onda nema ekstremuma u tački P0.

Ekstremi funkcije određuju se na sličan način za veći broj argumenata.

O čemu govori crtani film "Shrek Forever After"?
Crtani film: “Shrek Forever After” Godina izdanja: 2010. Premijera (Ruska Federacija): 20. maj 2010. Zemlja: SAD Režija: Michael Pitchel Scenario: Josh Klausner, Darren Lemke Žanr: porodična komedija, fantazija, avantura Zvanična web stranica: www.shrekforeverafter .com Mule plot

Da li je moguće donirati krv tokom menstruacije?
Lekari ne preporučuju davanje krvi tokom menstruacije, jer... gubitak krvi, iako ne u značajnim količinama, prepun je smanjenja razine hemoglobina i pogoršanja dobrobiti žene. Tokom postupka darivanja krvi, stanje sa Vašim zdravljem može se pogoršati sve dok ne dođe do krvarenja. Stoga bi se žene trebale suzdržati od davanja krvi tokom menstruacije. I to već 5. dan nakon njihovog završetka

Koliko se kcal/sat troši prilikom pranja podova?
Vrste fizičke aktivnosti Potrošnja energije, kcal/sat Kuvanje 80 Oblačenje 30 Vožnja 50 Brisanje prašine 80 Ishrana 30 Vrtlarstvo 135 Peglanje 45 Pospremanje kreveta 130 Kupovina 80 Sedeći rad 75 Cepanje drva 300 Pranje podova 130 Seks 100-15 Da.

Šta znači riječ "lopov"?
Prevarant je lopov koji se bavi sitnom krađom, ili lukava osoba sklona prijevarnim trikovima. Potvrda ove definicije sadržana je u Krilovljevom etimološkom rječniku, prema kojem je riječ "prevarant" nastala od riječi "zhal" (lopov, prevarant), koja se odnosi na glagol &la

Kako se zove posljednja objavljena priča braće Strugacki?
Kratka priča Arkadija i Borisa Strugackog „O pitanju ciklotacije“ prvi put je objavljena u aprilu 2008. godine u antologiji beletristike „Podne. XXI vek“ (dodatak časopisu „Oko sveta“, objavljen pod uredništvom Borisa Strugatski). Publikacija je bila tempirana da se poklopi sa 75. godišnjicom Borisa Strugackog.

Gdje možete pročitati priče učesnika programa Work And Travel USA?
Work and Travel USA (work and travel in USA) je popularan program razmjene studenata u okviru kojeg možete provesti ljeto u Americi, legalno radeći u uslužnom sektoru i putujući. Istorijat programa Work & Travel uključen je u međuvladin program razmjene Cultural Exchange Pro

Uho. Kulinarska i istorijska pozadina Više od dva i po stoljeća riječ "ukha" se koristi za označavanje čorbe ili izvaraka od svježe ribe. Ali bilo je vremena kada se ova riječ tumačila šire. To je značilo supu - ne samo ribu, već i meso, grašak, pa čak i slatko. Dakle, u istorijskom dokumentu - “

Informativni i regrutni portali Superjob.ru - portal za zapošljavanje Superjob.ru djeluje na ruskom tržištu online zapošljavanja od 2000. godine i vodeći je među resursima koji nude traženje posla i osoblja. Svakog dana se u bazu podataka stranice dodaje više od 80.000 životopisa stručnjaka i više od 10.000 slobodnih radnih mjesta.

Šta je motivacija
Definicija motivacije Motivacija (od latinskog moveo - krećem) - poticaj na akciju; dinamičan fiziološki i psihološki proces koji kontroliše ljudsko ponašanje, određujući njegov pravac, organizaciju, aktivnost i stabilnost; sposobnost osobe da svojim radom zadovolji svoje potrebe. Motivac

Ko je Bob Dylan
Bob Dylan (engleski Bob Dylan, pravo ime - Robert Allen Zimmerman engleski. Robert Allen Zimmerman; rođen 24. maja 1941.) je američki tekstopisac koji je, prema anketi časopisa Rolling Stone, drugi (

Kako transportovati sobne biljke
Nakon kupovine sobnih biljaka, vrtlar se suočava sa zadatkom kako da kupljeno egzotično cvijeće isporuči neozlijeđeno. Poznavanje osnovnih pravila za pakovanje i transport sobnih biljaka pomoći će u rješavanju ovog problema. Biljke moraju biti upakovane da bi se mogle nositi ili transportovati. Bez obzira na kratku udaljenost biljke se transportuju, one se mogu oštetiti, osušiti, a zimi i m

S praktične tačke gledišta, najveći interes je korištenje derivata za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti funkcije. Sa čime je ovo povezano? Maksimiziranje profita, minimiziranje troškova, određivanje optimalnog opterećenja opreme... Drugim riječima, u mnogim područjima života moramo rješavati probleme optimizacije nekih parametara. A to su zadaci pronalaženja najveće i najmanje vrijednosti funkcije.

Treba napomenuti da se najveća i najmanja vrijednost funkcije obično traže na određenom intervalu X, koji je ili cijela domena funkcije ili dio domene definicije. Sam interval X može biti segment, otvoreni interval , beskonačan interval.

U ovom članku ćemo govoriti o pronalaženju najveće i najmanje vrijednosti eksplicitno definirane funkcije jedne varijable y=f(x).

Navigacija po stranici.

Najveća i najmanja vrijednost funkcije - definicije, ilustracije.

Pogledajmo ukratko glavne definicije.

Najveća vrijednost funkcije to za bilo koga nejednakost je tačna.

Najmanja vrijednost funkcije y=f(x) na intervalu X naziva se takva vrijednost to za bilo koga nejednakost je tačna.

Ove definicije su intuitivne: najveća (najmanja) vrijednost funkcije je najveća (najmanja) prihvaćena vrijednost na intervalu koji se razmatra na apscisi.

Stacionarne tačke– to su vrijednosti argumenta pri kojima derivacija funkcije postaje nula.

Zašto su nam potrebne stacionarne tačke pri pronalaženju najvećih i najmanjih vrijednosti? Odgovor na ovo pitanje daje Fermatova teorema. Iz ove teoreme slijedi da ako diferencijabilna funkcija ima ekstrem (lokalni minimum ili lokalni maksimum) u nekoj tački, onda je ta tačka stacionarna. Dakle, funkcija često uzima svoju najveću (najmanju) vrijednost na intervalu X u jednoj od stacionarnih tačaka iz ovog intervala.

Također, funkcija često može poprimiti svoje najveće i najmanje vrijednosti u tačkama u kojima prvi izvod ove funkcije ne postoji, a sama funkcija je definirana.

Odgovorimo odmah na jedno od najčešćih pitanja na ovu temu: „Da li je uvijek moguće odrediti najveću (najmanju) vrijednost funkcije“? Ne, ne uvek. Ponekad se granice intervala X poklapaju sa granicama domene definicije funkcije, ili je interval X beskonačan. A neke funkcije u beskonačnosti i na granicama domene definicije mogu poprimiti i beskonačno velike i beskonačno male vrijednosti. U ovim slučajevima se ništa ne može reći o najvećoj i najmanjoj vrijednosti funkcije.

Radi jasnoće daćemo grafičku ilustraciju. Pogledajte slike i mnogo toga će vam biti jasnije.

Na segmentu

Na prvoj slici, funkcija uzima najveću (max y) i najmanju (min y) vrijednost u stacionarnim tačkama koje se nalaze unutar segmenta [-6;6].

Razmotrite slučaj prikazan na drugoj slici. Promijenimo segment u . U ovom primjeru, najmanja vrijednost funkcije postiže se u stacionarnoj tački, a najveća u tački sa apscisom koja odgovara desnoj granici intervala.

Na slici 3, granične tačke segmenta [-3;2] su apscise tačaka koje odgovaraju najvećoj i najmanjoj vrednosti funkcije.

Na otvorenom intervalu

Na četvrtoj slici, funkcija uzima najveću (max y) i najmanju (min y) vrijednost u stacionarnim točkama koje se nalaze unutar otvorenog intervala (-6;6).

Na intervalu se ne mogu izvući zaključci o najvećoj vrijednosti.

U beskonačnosti

U primjeru prikazanom na sedmoj slici, funkcija uzima najveću vrijednost (max y) u stacionarnoj tački sa apscisom x=1, a najmanja vrijednost (min y) postiže se na desnoj granici intervala. Na minus beskonačnosti, vrijednosti funkcije asimptotski se približavaju y=3.

Tokom intervala, funkcija ne dostiže ni najmanju ni najveću vrijednost. Kako se x=2 približava s desne strane, vrijednosti funkcije teže minus beskonačnosti (prava x=2 je vertikalna asimptota), a kako apscisa teži plus beskonačnosti, vrijednosti funkcije asimptotski se približavaju y=3. Grafička ilustracija ovog primjera prikazana je na slici 8.

Algoritam za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti kontinuirane funkcije na segmentu.

Napišimo algoritam koji nam omogućava da pronađemo najveću i najmanju vrijednost funkcije na segmentu.

Pronalazimo domenu definicije funkcije i provjeravamo da li ona sadrži cijeli segment.
Pronalazimo sve tačke u kojima prvi izvod ne postoji i koje su sadržane u segmentu (obično se takve tačke nalaze u funkcijama sa argumentom pod znakom modula i u funkcijama stepena sa razlomačno-racionalnim eksponentom). Ako takvih tačaka nema, prijeđite na sljedeću tačku.
Određujemo sve stacionarne tačke koje spadaju u segment. Da bismo to učinili, izjednačavamo ga s nulom, rješavamo rezultirajuću jednadžbu i odabiremo odgovarajuće korijene. Ako nema stacionarnih tačaka ili nijedna od njih ne pada u segment, pređite na sledeću tačku.
Izračunavamo vrijednosti funkcije u odabranim stacionarnim tačkama (ako ih ima), u tačkama u kojima prvi izvod ne postoji (ako postoji), kao i na x=a i x=b.
Od dobivenih vrijednosti funkcije biramo najveću i najmanju - to će biti tražena najveća i najmanja vrijednost funkcije.

Analizirajmo algoritam za rješavanje primjera kako bismo pronašli najveću i najmanju vrijednost funkcije na segmentu.

Primjer.

Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije

na segmentu;
na segmentu [-4;-1] .

Rješenje.

Područje definicije funkcije je cijeli skup realnih brojeva, sa izuzetkom nule, tj. Oba segmenta spadaju u domen definicije.

Pronađite izvod funkcije u odnosu na:

Očigledno, derivacija funkcije postoji u svim tačkama segmenata i [-4;-1].

Stacionarne tačke određujemo iz jednačine. Jedini pravi korijen je x=2. Ova stacionarna tačka spada u prvi segment.

Za prvi slučaj izračunavamo vrijednosti funkcije na krajevima segmenta i u stacionarnoj tački, odnosno za x=1, x=2 i x=4:

Dakle, najveća vrijednost funkcije se postiže pri x=1, a najmanja vrijednost – na x=2.

Za drugi slučaj izračunavamo vrijednosti funkcije samo na krajevima segmenta [-4;-1] (pošto ne sadrži ni jednu stacionarnu tačku):

Iskaz problema 2:

Zadana funkcija koja je definirana i kontinuirana na određenom intervalu. Morate pronaći najveću (najmanju) vrijednost funkcije na ovom intervalu.

Teorijska osnova.
Teorema (Druga Weierstrassova teorema):

Ako je funkcija definirana i kontinuirana u zatvorenom intervalu, tada ona u tom intervalu dostiže svoje maksimalne i minimalne vrijednosti.

Funkcija može doseći svoje najveće i najmanje vrijednosti bilo na unutrašnjim točkama intervala ili na njegovim granicama. Ilustrujmo sve moguće opcije.

Objašnjenje:
1) Funkcija dostiže svoju najveću vrijednost na lijevoj granici intervala u tački , a svoju minimalnu vrijednost na desnoj granici intervala u tački .
2) Funkcija dostiže svoju najveću vrijednost u tački (ovo je maksimalna tačka), a minimalnu vrijednost na desnoj granici intervala u tački.
3) Funkcija dostiže svoju maksimalnu vrijednost na lijevoj granici intervala u tački , a svoju minimalnu vrijednost u tački (ovo je minimalna tačka).
4) Funkcija je konstantna na intervalu, tj. dostiže svoje minimalne i maksimalne vrijednosti u bilo kojoj tački intervala, a minimalne i maksimalne vrijednosti su međusobno jednake.
5) Funkcija dostiže svoju najveću vrijednost u tački , a svoju minimalnu vrijednost u tački (uprkos činjenici da funkcija ima i maksimum i minimum na ovom intervalu).
6) Funkcija dostiže svoju najveću vrijednost u tački (ovo je maksimalna tačka), a minimalnu vrijednost u tački (ovo je minimalna tačka).
komentar:

“Maksimalna” i “maksimalna vrijednost” su različite stvari. Ovo proizilazi iz definicije maksimuma i intuitivnog razumijevanja izraza „maksimalna vrijednost“.

Algoritam za rješavanje problema 2.

4) Odaberite najveću (najmanju) od dobijenih vrijednosti i zapišite odgovor.

Primjer 4:

Odredite najveću i najmanju vrijednost funkcije na segmentu.
Rješenje:
1) Pronađite izvod funkcije.

2) Naći stacionarne tačke (i tačke za koje se sumnja da su ekstremne) rješavanjem jednačine. Obratite pažnju na tačke u kojima ne postoji dvostrani konačni izvod.

3) Izračunajte vrijednosti funkcije u stacionarnim tačkama i na granicama intervala.

4) Odaberite najveću (najmanju) od dobijenih vrijednosti i zapišite odgovor.

Funkcija na ovom segmentu dostiže svoju najveću vrijednost u tački s koordinatama .

Funkcija na ovom segmentu dostiže svoju minimalnu vrijednost u tački s koordinatama .

Ispravnost proračuna možete provjeriti gledajući graf funkcije koja se proučava.

komentar: Funkcija dostiže svoju najveću vrijednost u tački maksimuma, a minimalnu na granici segmenta.

Poseban slučaj.

Pretpostavimo da trebate pronaći maksimalnu i minimalnu vrijednost neke funkcije na segmentu. Nakon završetka prve tačke algoritma, tj. računajući derivaciju, postaje jasno da, na primjer, uzima samo negativne vrijednosti kroz cijeli interval koji se razmatra. Zapamtite da ako je izvod negativan, onda se funkcija smanjuje. Otkrili smo da funkcija opada na cijelom segmentu. Ova situacija je prikazana na grafikonu br. 1 na početku članka.

Funkcija se smanjuje na segmentu, tj. nema ekstremnih tačaka. Sa slike možete vidjeti da će funkcija uzeti najmanju vrijednost na desnoj granici segmenta, a najveću vrijednost na lijevoj. ako je izvod na segmentu svugdje pozitivan, tada se funkcija povećava. Najmanja vrijednost je na lijevoj ivici segmenta, najveća na desnoj.

Neka funkcija y =f(X) je kontinuiran na intervalu [ a, b]. Kao što je poznato, takva funkcija dostiže svoje maksimalne i minimalne vrijednosti na ovom segmentu. Funkcija može uzeti ove vrijednosti ili na unutrašnjoj tački segmenta [ a, b], ili na granici segmenta.

Da biste pronašli najveću i najmanju vrijednost funkcije na segmentu [ a, b] potrebno:

1) pronaći kritične tačke funkcije u intervalu ( a, b);

2) izračunati vrednosti funkcije u pronađenim kritičnim tačkama;

3) izračunati vrijednosti funkcije na krajevima segmenta, odnosno kada x=A i x = b;

4) od svih izračunatih vrijednosti funkcije odaberite najveću i najmanju.

Primjer. Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije

na segmentu.

Pronalaženje kritičnih tačaka:

Ove tačke leže unutar segmenta; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;

u tački x= 3 i u tački x= 0.

Proučavanje funkcije za konveksnost i pregibnu tačku.

Funkcija y = f (x) pozvao konveksnost između (a, b) , ako njegov graf leži ispod tangente povučene u bilo kojoj tački ovog intervala, i zove se konveksno prema dolje (konkavno), ako njegov graf leži iznad tangente.

Tačka kroz koju se konveksnost zamjenjuje konkavnošću ili obrnuto naziva se tačka pregiba.

Algoritam za ispitivanje konveksnosti i tačke savijanja:

1. Naći kritične tačke druge vrste, odnosno tačke u kojima je drugi izvod jednak nuli ili ne postoji.

2. Nacrtajte kritične tačke na brojevnoj pravoj, dijeleći je na intervale. Pronađite predznak drugog izvoda na svakom intervalu; ako , onda je funkcija konveksna prema gore, ako, onda je funkcija konveksna prema dolje.

3. Ako se pri prolasku kroz kritičnu tačku druge vrste promijeni predznak i u ovoj tački je druga derivacija jednaka nuli, tada je ova tačka apscisa tačke prevoja. Pronađite njegovu ordinatu.

Asimptote grafa funkcije. Proučavanje funkcije za asimptote.

Definicija. Poziva se asimptota grafa funkcije ravno, koji ima svojstvo da udaljenost od bilo koje tačke na grafu do ove prave teži nuli kako se tačka na grafu neograničeno pomera od početka.

Postoje tri vrste asimptota: vertikalni, horizontalni i nagnuti.

Definicija. Prava linija se zove vertikalna asimptota funkcionalna grafika y = f(x), ako je barem jedna od jednostranih granica funkcije u ovoj tački jednaka beskonačnosti, tj.

gdje je tačka diskontinuiteta funkcije, odnosno ne pripada domenu definicije.

Primjer.

D ( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

x= 2 – tačka prekida.

Definicija. Pravo y =A pozvao horizontalna asimptota funkcionalna grafika y = f(x) u , ako

Primjer.

x
y

Definicija. Pravo y =kx +b (k≠ 0) se poziva kosa asimptota funkcionalna grafika y = f(x) u , gdje

Opća shema za proučavanje funkcija i konstruiranje grafova.

Algoritam za istraživanje funkcijay = f(x) :

1. Pronađite domenu funkcije D (y).

2. Pronađite (ako je moguće) tačke preseka grafika sa koordinatnim osa (ako x= 0 i at y = 0).

3. Ispitati parnost i neparnost funkcije ( y (‒ x) = y (x) ‒ paritet; y(‒ x) = ‒ y (x) ‒ neparan).

4. Naći asimptote grafa funkcije.

5. Naći intervale monotonosti funkcije.

6. Pronađite ekstreme funkcije.

7. Naći intervale konveksnosti (konkavnosti) i pregibne tačke grafa funkcije.

8. Na osnovu sprovedenog istraživanja konstruisati graf funkcije.

Primjer. Istražite funkciju i konstruirajte njen graf.

1) D (y) =

x= 4 – tačka prekida.

2) Kada x = 0,

(0; ‒ 5) – tačka preseka sa oh.

At y = 0,

3) y(‒ x)= funkcija opšteg oblika (ni parna ni neparna).

4) Ispitujemo asimptote.

a) vertikalno

b) horizontalno

c) pronaći kose asimptote gdje

‒jednačina kosih asimptota

5) U ovoj jednačini nije potrebno pronaći intervale monotonosti funkcije.

Ove kritične tačke dijele cijeli domen definicije funkcije na interval (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) i (10; +∞). Dobijene rezultate prikladno je prikazati u obliku sljedeće tabele.

Najveća i najmanja vrijednost funkcije

Najveća vrijednost funkcije je najveća, najmanja vrijednost je najmanja od svih njenih vrijednosti.

Funkcija može imati samo jednu najveću i samo jednu najmanju vrijednost, ili može imati nijednu. Pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti kontinuiranih funkcija zasniva se na sljedećim svojstvima ovih funkcija:

1) Ako je u određenom intervalu (konačnom ili beskonačnom) funkcija y=f(x) kontinuirana i ima samo jedan ekstrem i ako je to maksimum (minimum), onda će to biti najveća (najmanja) vrijednost funkcije u ovom intervalu.

2) Ako je funkcija f(x) kontinuirana na određenom segmentu, onda ona nužno ima najveću i najmanju vrijednost na ovom segmentu. Ove vrijednosti se postižu ili na ekstremnim tačkama koje leže unutar segmenta, ili na granicama ovog segmenta.

Da biste pronašli najveće i najmanje vrijednosti na segmentu, preporučuje se korištenje sljedeće sheme:

1. Pronađite izvod.

2. Pronađite kritične tačke funkcije u kojima =0 ili ne postoji.

3. Pronađite vrijednosti funkcije u kritičnim tačkama i na krajevima segmenta i od njih izaberite najveći f max i najmanji f max.

Prilikom rješavanja primijenjenih problema, posebno optimizacijskih, bitni su problemi pronalaženja najveće i najmanje vrijednosti (globalnog maksimuma i globalnog minimuma) funkcije na intervalu X. Za rješavanje ovakvih problema treba, na osnovu uvjeta , odaberite nezavisnu varijablu i izrazite vrijednost koja se proučava kroz ovu varijablu. Zatim pronađite željenu najveću ili najmanju vrijednost rezultirajuće funkcije. U ovom slučaju, interval promjene nezavisne varijable, koji može biti konačan ili beskonačan, također se određuje iz uslova zadatka.

Primjer. Rezervoar, koji ima oblik otvorenog gornjeg pravougaonog paralelepipeda sa četvrtastim dnom, mora biti iznutra kalajisan limom. Koje bi trebale biti dimenzije rezervoara ako je njegov kapacitet 108 litara? vode tako da trošak kalajisanja bude minimalan?

Rješenje. Trošak oblaganja rezervoara limom bit će minimalan ako je za dati kapacitet njegova površina minimalna. Označimo sa a dm stranu baze, b dm visinu rezervoara. Tada je površina S njegove površine jednaka

Rezultirajući odnos uspostavlja odnos između površine rezervoara S (funkcija) i strane baze a (argument). Ispitajmo funkciju S za ekstrem. Nađimo prvi izvod, izjednačimo ga sa nulom i riješimo rezultirajuću jednačinu:

Stoga je a = 6. (a) > 0 za a > 6, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

Primjer. Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije na intervalu.

Rješenje: Zadana funkcija je kontinuirana duž cijele brojevne prave. Derivat funkcije

Derivat za i za . Izračunajmo vrijednosti funkcije u ovim tačkama:

Vrijednosti funkcije na krajevima datog intervala su jednake. Dakle, najveća vrijednost funkcije je jednaka na , najmanja vrijednost funkcije je jednaka na .

Pitanja za samotestiranje

1. Formulirajte L'Hopitalovo pravilo za otkrivanje nesigurnosti oblika. Navedite različite vrste nesigurnosti za koje se L'Hopitalovo pravilo može koristiti.

2. Formulirajte znake rastuće i opadajuće funkcije.

3. Definirajte maksimum i minimum funkcije.

4. Formulirajte neophodan uslov za postojanje ekstrema.

5. Koje vrijednosti argumenta (koje tačke) se nazivaju kritičnim? Kako pronaći ove tačke?

6. Koji su dovoljni znaci postojanja ekstremuma funkcije? Nacrtajte shemu za proučavanje funkcije u ekstremumu koristeći prvi izvod.

7. Nacrtajte shemu za proučavanje funkcije u ekstremumu koristeći drugi izvod.

8. Definirati konveksnost i konkavnost krive.

9. Šta se naziva tačka pregiba grafa funkcije? Navedite metodu za pronalaženje ovih tačaka.

10. Formulirati potrebne i dovoljne znakove konveksnosti i konkavnosti krive na datom segmentu.

11. Definirajte asimptotu krive. Kako pronaći vertikalne, horizontalne i kose asimptote grafa funkcije?

12. Navedite opštu šemu za proučavanje funkcije i konstruisanje njenog grafa.

13. Formulirajte pravilo za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti funkcije na datom intervalu.