Neophodni i dovoljni uslovi za ekstremum funkcija dve varijable. Tačka se naziva minimalna (maksimalna) tačka funkcije ako je u određenom susjedstvu tačke funkcija definirana i zadovoljava nejednakost (respektivno, tačka maksimuma i minimuma se nazivaju tačke ekstrema funkcije.
Neophodan uslov za ekstrem. Ako u točki ekstrema funkcija ima prve parcijalne izvode, tada oni nestaju u ovoj tački. Iz toga slijedi da se za pronalaženje ekstremnih tačaka takve funkcije mora riješiti sistem jednačina Tačke čije koordinate zadovoljavaju ovaj sistem nazivaju se kritične tačke funkcije. Među njima može biti maksimalnih bodova, minimalnih bodova, kao i bodova koji nisu ekstremni bodovi.
Dovoljni uslovi ekstrema se koriste za identifikaciju tačaka ekstrema iz skupa kritičnih tačaka i navedeni su u nastavku.
Neka funkcija ima neprekidne druge parcijalne izvode u kritičnoj tački. Ako u ovom trenutku
uslov onda je to tačka minimuma u i tačka maksimuma u Ako je u kritičnoj tački onda to nije tačka ekstrema. U ovom slučaju, potrebna je suptilnija studija prirode kritične tačke, koja u ovom slučaju može, ali i ne mora biti tačka ekstrema.
Ekstremi funkcija tri varijable. U slučaju funkcije od tri varijable, definicije tačaka ekstrema doslovno ponavljaju odgovarajuće definicije za funkciju dvije varijable. Ograničavamo se na predstavljanje procedure za proučavanje funkcije za ekstrem. Prilikom rješavanja sistema jednadžbi treba pronaći kritične tačke funkcije, a zatim na svakoj od kritičnih tačaka izračunati vrijednosti
Ako su sve tri veličine pozitivne, tada je dotična kritična tačka minimalna tačka; ako je tada ova kritična tačka maksimalna tačka.
Uslovni ekstrem funkcije dvije varijable. Tačka se naziva uslovna minimalna (maksimalna) tačka funkcije pod uslovom da postoji okolina tačke u kojoj je funkcija definisana i u kojoj (respektivno) za sve tačke čije koordinate zadovoljavaju jednačinu
Da biste pronašli uslovne ekstremne tačke, koristite Lagrangeovu funkciju
gdje se broj naziva Lagrangeov množitelj. Rješavanje sistema od tri jednačine
naći kritične tačke Lagrangeove funkcije (kao i vrijednost pomoćnog faktora A). Na ovim kritičnim tačkama može postojati uslovni ekstrem. Navedeni sistem daje samo neophodne uslove za ekstremum, ali ne i dovoljne: mogu ga zadovoljiti koordinate tačaka koje nisu tačke uslovnog ekstremuma. Međutim, na osnovu suštine problema često je moguće utvrditi prirodu kritične tačke.
Uslovni ekstremum funkcije nekoliko varijabli. Razmotrimo funkciju varijabli pod uslovom da su one povezane jednadžbama
Dovoljan uslov za ekstremum funkcije dvije varijable
1. Neka je funkcija kontinuirano diferencibilna u nekom susjedstvu tačke i ima kontinuirane parcijalne izvode drugog reda (čiste i mješovite).
2. Označimo sa determinantom drugog reda
ekstremna varijabla funkcija predavanja
Teorema
Ako je točka s koordinatama stacionarna točka za funkciju, tada:
A) Na njemu je tačka lokalnog ekstremuma i, u lokalnom maksimumu, lokalni minimum;
C) u tački nije lokalna tačka ekstrema;
C) ako, možda oboje.
Dokaz
Napišimo Taylorovu formulu za funkciju, ograničavajući se na dva pojma:
Pošto je, prema uslovima teoreme, tačka stacionarna, parcijalni izvod drugog reda jednaki su nuli, tj. I. Onda
Označimo
Tada će povećanje funkcije poprimiti oblik:
Zbog kontinuiteta parcijalnih izvoda drugog reda (čistih i mješovitih), prema uslovima teoreme u tački, možemo napisati:
Gdje ili; ,
1. Neka i, tj. ili.
2. Pomnožimo prirast funkcije i podijelimo sa, dobićemo:
3. Dodajmo izraz u vitičastim zagradama punom kvadratu zbira:
4. Izraz u vitičastim zagradama nije negativan, jer
5. Prema tome, ako je sredstvo i, onda i, prema tome, prema definiciji, tačka je lokalna minimalna tačka.
6. Ako je sredstvo i, onda, prema definiciji, tačka sa koordinatama je tačka lokalnog maksimuma.
2. Razmotrimo kvadratni trinom, njegov diskriminant, .
3. Ako, onda postoje tačke takve da je polinom
4. Ukupan prirast funkcije u tački u skladu s izrazom dobivenim u I zapisujemo kao:
5. Zbog kontinuiteta parcijalnih izvoda drugog reda, prema uslovima teoreme u tački, možemo zapisati da
Prema tome, postoji susjedstvo tačke takvo da je za bilo koju tačku kvadratni trinom veći od nule:
6. Razmotrite susjedstvo tačke.
Odaberimo bilo koju vrijednost, pa tačka. Pod pretpostavkom da je u formuli za prirast funkcije
šta dobijamo:
7. Od tada.
8. Slično argumentirajući za korijen, nalazimo da u bilo kojoj okolini tačke postoji tačka za koju, dakle, u okolini tačke ne čuva predznak, pa stoga nema ekstremuma u tački.
Uslovni ekstrem funkcije dvije varijable
Prilikom pronalaženja ekstrema funkcije dvije varijable često se javljaju problemi vezani za takozvani uslovni ekstrem. Ovaj koncept se može objasniti na primjeru funkcije dvije varijable.
Neka su funkcija i prava L dati na ravni 0xy. Zadatak je pronaći tačku P (x, y) na pravoj L u kojoj je vrijednost funkcije najveća ili najmanja u odnosu na vrijednosti ove funkcije u tačkama na pravoj L koje se nalaze u blizini tačke P. Takve tačke P nazivaju se funkcije uvjetnih ekstremnih tačaka na liniji L. Za razliku od uobičajene tačke ekstrema, vrijednost funkcije u tački uvjetnog ekstrema se uspoređuje s vrijednostima funkcije ne u svim tačkama njenog susjedstva, već samo u onima koje leže na liniji L.
Apsolutno je jasno da je tačka običnog ekstrema (kažu i bezuslovni ekstrem) i tačka uslovnog ekstremuma za svaku pravu koja prolazi kroz ovu tačku. Obrnuto, naravno, nije tačno: uslovna tačka ekstrema možda nije obična tačka ekstrema. Ilustrirajmo to primjerom.
Primjer br. 1. Grafikon funkcije je gornja hemisfera (slika 2).
Rice. 2.
Ova funkcija ima maksimum na početku; odgovara vrhu M hemisfere. Ako je prava L prava koja prolazi kroz tačke A i B (njena jednadžba), onda je geometrijski jasno da se za tačke ove prave najveća vrijednost funkcije postiže u tački koja leži u sredini između tačaka A i B Ovo je tačka uslovnog ekstrema (maksimalne) funkcije na ovoj liniji; odgovara tački M 1 na hemisferi, a sa slike je jasno da ovdje ne može biti govora ni o kakvom običnom ekstremumu.
Imajte na umu da je u završnom dijelu zadatak pronalaženja najveće i najmanje vrijednosti funkcije u zatvorenom prostoru moramo pronaći ekstremne vrijednosti funkcije na granici ovog područja, tj. na nekoj liniji, i time riješiti problem uslovnog ekstrema.
Definicija 1. Kažu da gdje u tački koja zadovoljava jednadžbu ima uslovni ili relativni maksimum (minimum): ako za bilo koju tačku koja zadovoljava jednadžbu nejednakost
Definicija 2. Jednačina oblika naziva se jednačina ograničenja.
Teorema
Ako su funkcije i kontinuirano diferencibilne u susjedstvu točke i parcijalnog izvoda, a tačka je uvjetna tačka ekstrema funkcije u odnosu na jednadžbu ograničenja, tada je determinanta drugog reda jednaka nuli:
Dokaz
1. Pošto su, prema uslovima teoreme, parcijalni izvod i vrijednost funkcije, onda u određenom pravokutniku
definirana implicitna funkcija
Kompleksna funkcija dvije varijable u jednoj tački imat će lokalni ekstrem, dakle, ili.
2. Zaista, prema svojstvu invarijantnosti diferencijalne formule prvog reda
3. Jednačina veze se može predstaviti u ovom obliku, što znači
4. Pomnožite jednačinu (2) sa i (3) sa i dodajte ih
Stoga, kada
proizvoljno itd.
Posljedica
Traženje uvjetnih ekstremnih tačaka funkcije dvije varijable u praksi se provodi rješavanjem sistema jednadžbi
Dakle, u gornjem primjeru br. 1 iz jednačine veze imamo. Odavde je lako provjeriti šta dostiže maksimum. Ali onda iz komunikacijske jednadžbe. Dobijamo tačku P, pronađenu geometrijski.
Primjer br. 2. Naći uslovne ekstremne tačke funkcije u odnosu na jednadžbu sprege.
Nađimo parcijalne derivate datu funkciju i jednačine spajanja:
Kreirajmo determinantu drugog reda:
Hajde da napišemo sistem jednačina za pronalaženje tačaka uslovnog ekstrema:
To znači da postoje četiri tačke uslovnog ekstremuma funkcije sa koordinatama: .
Primjer br. 3. Pronađite ekstremne tačke funkcije.
Izjednačavajući parcijalne derivacije sa nulom: , nalazimo jednu stacionarnu tačku - ishodište. Evo,. Prema tome, tačka (0, 0) nije tačka ekstrema. Jednačina je jednačina hiperboličkog paraboloida (slika 3) sa slike se vidi da tačka (0, 0) nije tačka ekstrema.
Rice. 3.
Najveća i najmanja vrijednost funkcije u zatvorenom području
1. Neka je funkcija definirana i kontinuirana u ograničenom zatvorenom području D.
2. Neka funkcija ima konačne parcijalne izvode u ovoj regiji, osim za pojedinačne tačke regije.
3. U skladu s Weierstrassovom teoremom, u ovoj regiji postoji tačka u kojoj funkcija poprima svoj maksimum i najmanju vrijednost.
4. Ako su ove tačke unutrašnje tačke regiona D, onda će očigledno imati maksimum ili minimum.
5. U ovom slučaju, tačke koje nas zanimaju su među sumnjivim tačkama na ekstremumu.
6. Međutim, funkcija također može poprimiti najveću ili najmanju vrijednost na granici područja D.
7. Da biste pronašli najveću (najmanju) vrijednost funkcije u području D, potrebno je pronaći sve unutrašnje tačke sumnjive za ekstrem, izračunati vrijednost funkcije u njima, zatim uporediti sa vrijednošću funkcije na granične tačke regije, a najveća od svih pronađenih vrijednosti bit će najveća u zatvorenom području D.
8. Metoda pronalaženja lokalnog maksimuma ili minimuma razmatrana je ranije u odjeljku 1.2. i 1.3.
9. Ostaje razmotriti metodu pronalaženja najveće i najmanje vrijednosti funkcije na granici regije.
10. U slučaju funkcije dvije varijable, površina je obično ograničena krivom ili nekoliko krivulja.
11. Duž takve krive (ili nekoliko krivulja), varijable i ili zavise jedna od druge, ili obje zavise od jednog parametra.
12. Dakle, na granici ispada da funkcija zavisi od jedne varijable.
13. Metoda pretraživanja najveća vrijednost funkcije jedne varijable su razmatrane ranije.
14. Neka je granica regije D data parametarskim jednadžbama:
Tada će na ovoj krivulji funkcija dvije varijable biti složena funkcija parametra: . Za takvu funkciju najveće i najmanje vrijednosti određuju se metodom za određivanje najveće i najmanje vrijednosti za funkciju jedne varijable.
Prvo, razmotrimo slučaj funkcije dvije varijable. Uslovni ekstrem funkcije $z=f(x,y)$ u tački $M_0(x_0;y_0)$ je ekstremum ove funkcije, postignut pod uslovom da su varijable $x$ i $y$ u okolina ove tačke zadovoljavaju jednadžbu veze $\ varphi (x,y)=0$.
Naziv “uslovni” ekstrem je zbog činjenice da je dodatni uslov $\varphi(x,y)=0$ na varijable. Ako se jedna varijabla može izraziti iz jednačine veze kroz drugu, onda se problem određivanja uslovnog ekstrema svodi na problem određivanja uobičajenog ekstremuma funkcije jedne varijable. Na primjer, ako jednačina veze implicira $y=\psi(x)$, tada zamjenom $y=\psi(x)$ u $z=f(x,y)$, dobijamo funkciju jedne varijable $z =f\lijevo (x,\psi(x)\desno)$. IN opšti slučaj Međutim, ova metoda je malo korisna, pa je potrebno uvođenje novog algoritma.
Lagrangeova metoda množenja za funkcije dvije varijable.
Metoda Lagrangeovog množitelja sastoji se od konstruiranja Lagrangeove funkcije za pronalaženje uslovnog ekstremuma: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ (parametar $\lambda$ se zove Lagrangeov množitelj). Potrebni uslovi za ekstrem su specificirani sistemom jednadžbi iz kojih su određene stacionarne tačke:
$$ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0 \end(poravnano) \desno.
Dovoljan uslov iz kojeg se može odrediti priroda ekstrema je znak $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy) ^("" )dy^2$. Ako je u stacionarnoj tački $d^2F > 0$, tada funkcija $z=f(x,y)$ ima uslovni minimum u ovoj tački, ali ako $d^2F< 0$, то условный максимум.
Postoji još jedan način da se odredi priroda ekstrema. Iz jednačine spajanja dobijamo: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$, stoga u bilo kojoj stacionarnoj tački imamo:
$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \right)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("") \desno)$$
Drugi faktor (nalazi se u zagradama) može se predstaviti u ovom obliku:
Elementi determinante $\left| su označeni crvenom bojom. \begin(niz) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (niz)\right|$, što je Hessian Lagrangeove funkcije. Ako je $H > 0$, onda je $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >0$, tj. imamo uslovni minimum funkcije $z=f(x,y)$.
Napomena u vezi sa notacijom determinante $H$. prikaži\sakrij
$$ H=-\left|\begin(niz) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ kraj(niz) \desno| $$
U ovoj situaciji, pravilo formulirano iznad će se promijeniti na sljedeći način: ako je $H > 0$, tada funkcija ima uslovni minimum, a ako je $H< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.
Algoritam za proučavanje funkcije dvije varijable za uslovni ekstrem
- Sastavite Lagrangeovu funkciju $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
- Riješite sistem $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \ varphi (x,y)=0 \end(poravnano) \desno.$
- Odredite prirodu ekstremuma na svakoj stacionarnoj tački pronađenoj u prethodnom paragrafu. Da biste to učinili, koristite bilo koju od sljedećih metoda:
- Sastavite determinantu $H$ i saznajte njen predznak
- Uzimajući u obzir jednadžbu spajanja, izračunajte predznak $d^2F$
Lagrangeova metoda množenja za funkcije od n varijabli
Recimo da imamo funkciju od $n$ varijabli $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ i $m$ jednačina spajanja ($n > m$):
$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$
Označavajući Lagrangeove množitelje kao $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$, sastavljamo Lagrangeovu funkciju:
$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$
Neophodni uslovi za postojanje uslovnog ekstremuma dati su sistemom jednadžbi iz kojih se nalaze koordinate stacionarnih tačaka i vrednosti Lagrangeovih množitelja:
$$\left\(\begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end(aligned) \right.$$
Možete saznati da li funkcija ima uslovni minimum ili uslovni maksimum u pronađenoj tački, kao i ranije, koristeći znak $d^2F$. Ako je u pronađenoj tački $d^2F > 0$, tada funkcija ima uslovni minimum, ali ako je $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:
Determinanta matrice $\left| \begin(array) (ccccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(2) ) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(n)) \\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_1) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)^(2)) & \frac(\partial^2F) )(\partial x_(2)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_(n))\\ \frac(\partial^2F) )(\partial x_(3) \partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(2)) & \ frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)^(2))\\ \end( niz) \right|$, označen crvenom bojom u matrici $L$, je Hessian Lagrangeove funkcije. Koristimo sljedeće pravilo:
- Ako su predznaci ugaonih minora $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ matrice $L$ poklapaju se sa predznakom $(-1)^m$, tada je stacionarna tačka koja se proučava uslovna minimalna tačka funkcije $ z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$.
- Ako su predznaci ugaonih minora $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ naizmjenični, a znak minora $H_(2m+1)$ poklapa se sa predznakom broja $(-1)^(m+1 )$, tada je stacionarna tačka uslovna maksimalna tačka funkcije $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$.
Primjer br. 1
Naći uslovni ekstrem funkcije $z(x,y)=x+3y$ pod uslovom $x^2+y^2=10$.
Geometrijska interpretacija ovog problema je sljedeća: potrebno je pronaći najveću i najmanju vrijednost aplikacije ravni $z=x+3y$ za tačke njenog preseka sa cilindrom $x^2+y ^2=10$.
Donekle je teško izraziti jednu varijablu kroz drugu iz jednačine spajanja i zamijeniti je u funkciju $z(x,y)=x+3y$, pa ćemo koristiti Lagrangeovu metodu.
Označavajući $\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$, sastavljamo Lagrangeovu funkciju:
$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\partial F)(\parcijalni x)=1+2\lambda x; \frac(\partial F)(\partial y)=3+2\lambda y. $$
Napišimo sistem jednadžbi za određivanje stacionarnih tačaka Lagrangeove funkcije:
$$ \left \( \begin(aligned) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \end (poravnano)\desno.$$
Ako pretpostavimo $\lambda=0$, tada prva jednačina postaje: $1=0$. Rezultirajuća kontradikcija ukazuje da je $\lambda\neq 0$. Pod uslovom $\lambda\neq 0$, iz prve i druge jednačine imamo: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $. Zamjenom dobijenih vrijednosti u treću jednačinu dobijamo:
$$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \right)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \right)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \left[ \begin(poravnano) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end(poravnano) \desno.\\ \begin(poravnano) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end(poravnano) $$
Dakle, sistem ima dva rješenja: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ i $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. Hajde da saznamo prirodu ekstrema u svakoj stacionarnoj tački: $M_1(1;3)$ i $M_2(-1;-3)$. Da bismo to učinili, izračunavamo determinantu $H$ u svakoj tački.
$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\lambda;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda.\\ H=\lijevo| \begin(niz) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \levo| \begin(niz) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(niz) \right|= 8\cdot\left| \begin(niz) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(niz) \right| $$
U tački $M_1(1;3)$ dobijamo: $H=8\cdot\left| \begin(niz) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(niz) \right|= 8\cdot\left| \begin(niz) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(niz) \right|=40 > 0$, dakle na tačka Funkcija $M_1(1;3)$ $z(x,y)=x+3y$ ima uslovni maksimum, $z_(\max)=z(1;3)=10$.
Slično, u tački $M_2(-1,-3)$ nalazimo: $H=8\cdot\left| \begin(niz) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(niz) \right|= 8\cdot\left| \begin(niz) (ccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(niz) \right|=-40$. Od $H< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.
Napominjem da je umjesto izračunavanja vrijednosti determinante $H$ u svakoj tački, mnogo zgodnije proširiti je u opšti pogled. Kako ne bih pretrpao tekst detaljima, ovu metodu ću sakriti ispod napomene.
Pisanje determinante $H$ u opštem obliku. prikaži\sakrij
$$ H=8\cdot\left|\begin(array)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(array)\right| =8\cdot\left(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\desno) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\desno). $$
U principu, već je očigledno koji znak ima $H$. Pošto se nijedna od tačaka $M_1$ ili $M_2$ ne poklapa sa ishodištem, onda je $y^2+x^2>0$. Dakle, predznak $H$ je suprotan predznaku $\lambda$. Možete završiti proračune:
$$ \begin(aligned) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(3^2+1^2\right)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\desno)=-40. \end(poravnano) $$
Pitanje o prirodi ekstremuma u stacionarnim tačkama $M_1(1;3)$ i $M_2(-1;-3)$ može se rešiti bez upotrebe determinante $H$. Nađimo znak $d^2F$ u svakoj stacionarnoj tački:
$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\desno) $$
Dozvolite mi da napomenem da notacija $dx^2$ znači tačno $dx$ podignuto na drugi stepen, tj. $\levo(dx \desno)^2$. Otuda imamo: $dx^2+dy^2>0$, dakle, sa $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ dobijamo $d^2F< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.
Odgovori: u tački $(-1;-3)$ funkcija ima uslovni minimum, $z_(\min)=-10$. U tački $(1;3)$ funkcija ima uslovni maksimum, $z_(\max)=10$
Primjer br. 2
Naći uslovni ekstrem funkcije $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ pod uslovom $x+y=0$.
Prva metoda (metoda množitelja Lagrangea)
Označavajući $\varphi(x,y)=x+y$, sastavljamo Lagrangeovu funkciju: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+ 4x^2 -xy+\lambda(x+y)$.
$$ \frac(\partial F)(\partial x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\partial F)(\partial y)=9y^2-x+\lambda.\\ \left \( \begin(aligned) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ lambda=0 \\ & x+y=0 \end(aligned) \right.
Nakon što smo riješili sistem, dobijamo: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ i $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)( 9)$ , $\lambda_2=-10$. Imamo dvije stacionarne tačke: $M_1(0;0)$ i $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$. Otkrijmo prirodu ekstrema u svakoj stacionarnoj tački koristeći determinantu $H$.
$$H=\levo| \begin(niz) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \levo| \begin(niz) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(niz) \right|=-10-18y $$
U tački $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, stoga u ovom trenutku funkcija ima uslovni maksimum, $z_(\max)=\frac(500)(243)$.
Istražujemo prirodu ekstremuma u svakoj tački koristeći različite metode, zasnovane na predznaku $d^2F$:
$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2 $$
Iz jednačine veze $x+y=0$ imamo: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.
$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$
Pošto je $ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$, onda je $M_1(0;0)$ uslovna minimalna tačka funkcije $z(x,y)=3y^3+ 4x^ 2-xy$. Slično, $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.
Drugi način
Iz jednačine veze $x+y=0$ dobijamo: $y=-x$. Zamjenom $y=-x$ u funkciju $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, dobijamo neku funkciju varijable $x$. Označimo ovu funkciju kao $u(x)$:
$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$
Tako smo problem nalaženja uslovnog ekstrema funkcije dvije varijable sveli na problem određivanja ekstrema funkcije jedne varijable.
$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9);
Dobili smo tačke $M_1(0;0)$ i $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$. Dalja istraživanja poznata su iz kursa diferencijalnog računa funkcija jedne varijable. Ispitivanjem predznaka $u_(xx)^("")$ u svakoj stacionarnoj tački ili provjerom promjene predznaka $u_(x)^(")$ u pronađenim tačkama, dobijamo iste zaključke kao kada rješavajući prvi metod, na primjer, provjerit ćemo znak $u_(xx)^("")$:
$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$
Pošto je $u_(xx)^("")(M_1)>0$, onda je $M_1$ minimalna tačka funkcije $u(x)$, a $u_(\min)=u(0)=0 $ . Od $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.
Vrijednosti funkcije $u(x)$ za dati uvjet veze poklapaju se sa vrijednostima funkcije $z(x,y)$, tj. pronađeni ekstremi funkcije $u(x)$ su traženi uslovni ekstremi funkcije $z(x,y)$.
Odgovori: u tački $(0;0)$ funkcija ima uslovni minimum, $z_(\min)=0$. U tački $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ funkcija ima uslovni maksimum, $z_(\max)=\frac(500)(243 )$.
Razmotrimo još jedan primjer u kojem ćemo razjasniti prirodu ekstrema određivanjem predznaka $d^2F$.
Primjer br. 3
Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije $z=5xy-4$ ako su varijable $x$ i $y$ pozitivne i zadovoljavaju jednadžbu sprege $\frac(x^2)(8)+\frac( y^2)(2) -1=0$.
Sastavimo Lagrangeovu funkciju: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \right)$. Nađimo stacionarne tačke Lagrangeove funkcije:
$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \left \( \begin(aligned) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0 \end(aligned) \right.
Sve dalje transformacije se izvode uzimajući u obzir $x > 0; \; y > 0$ (ovo je navedeno u izjavi problema). Iz druge jednačine izražavamo $\lambda=-\frac(5x)(y)$ i zamjenjujemo pronađenu vrijednost u prvu jednačinu: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)(4 )=0$ , $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. Zamjenom $x=2y$ u treću jednačinu dobijamo: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y =1$.
Pošto je $y=1$, onda je $x=2$, $\lambda=-10$. Određujemo prirodu ekstremuma u tački $(2;1)$ na osnovu predznaka $d^2F$.
$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\lambda. $$
Pošto je $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, onda:
$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0; \; d\left(\frac(x^2)(8) \right)+d\left(\frac(y^2)(2) \right)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$
U principu, ovdje možete odmah zamijeniti koordinate stacionarne tačke $x=2$, $y=1$ i parametar $\lambda=-10$, dobivši:
$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \desno)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$
Međutim, u drugim problemima na uslovnom ekstremumu može postojati nekoliko stacionarnih tačaka. U takvim slučajevima, bolje je predstaviti $d^2F$ u općem obliku, a zatim zamijeniti koordinate svake od pronađenih stacionarnih tačaka u rezultirajući izraz:
$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \right)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda) )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \right)\cdot dx^2 $$
Zamjenom $x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$, dobijamo:
$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \right)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$
Pošto je $d^2F=-10\cdot dx^2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.
Odgovori: u tački $(2;1)$ funkcija ima uslovni maksimum, $z_(\max)=6$.
U narednom dijelu ćemo razmotriti primjenu Lagrangeove metode za funkcije većeg broja varijabli.
Uslovni ekstrem.
Ekstremi funkcije nekoliko varijabli
Metoda najmanjeg kvadrata.
Lokalni ekstrem FNP
Neka je funkcija data I= f(P), RÎDÌR n i neka tačka P 0 ( A 1 , A 2 , ..., a p) –interni tačka skupa D.
Definicija 9.4.
1) Poziva se tačka P 0 maksimalni poen funkcije I= f(P), ako postoji okolina ove tačke U(P 0) M D takva da je za bilo koju tačku P( X 1 , X 2 , ..., x n)O U(P 0) , R¹R 0 , uslov je zadovoljen f(P)£ f(P 0) . Značenje f(P 0) funkcija na maksimalnoj tački se poziva maksimum funkcije i određen je f(P0) = max f(P) .
2) Poziva se tačka P 0 minimalna tačka funkcije I= f(P), ako postoji okolina ove tačke U(P 0)Ì D takva da je za bilo koju tačku P( X 1 , X 2 , ..., x n)OU(P 0), R¹R 0 , uslov je zadovoljen f(P)³ f(P 0) . Značenje f(P 0) funkcija u minimalnoj tački se poziva minimalna funkcija i određen je f(P 0) = min f(P).
Pozivaju se minimalne i maksimalne točke funkcije ekstremne tačke, pozivaju se vrijednosti funkcije u tačkama ekstrema ekstremi funkcije.
Kao što slijedi iz definicije, nejednakosti f(P)£ f(P 0) , f(P)³ f(P 0) mora biti zadovoljena samo u određenom susjedstvu tačke P 0, a ne u cijeloj domeni definicije funkcije, što znači da funkcija može imati više ekstrema istog tipa (nekoliko minimuma, nekoliko maksimuma) . Stoga se nazivaju gore definirani ekstremi lokalni(lokalni) ekstremi.
Teorema 9.1 (neophodan uslov za ekstremum FNP).
Ako je funkcija I= f(X 1 , X 2 , ..., x n) ima ekstrem u tački P 0 , tada su njegovi parcijalni derivati prvog reda u ovoj tački ili jednaki nuli ili ne postoje.
Dokaz. Neka u tački P 0 ( A 1 , A 2 , ..., a p) funkcija I= f(P) ima ekstrem, na primjer, maksimum. Hajde da popravimo argumente X 2 , ..., x n, stavljanje X 2 =A 2 ,..., x n = a p. Onda I= f(P) = f 1 ((X 1 , A 2 , ..., a p) je funkcija jedne varijable X 1 . Pošto ova funkcija ima X 1 = A 1 ekstrem (maksimum), zatim f 1 ¢=0ili ne postoji kada X 1 =A 1 (neophodan uslov za postojanje ekstrema funkcije jedne varijable). Ali, to znači ili ne postoji u tački P 0 - tački ekstrema. Slično, možemo razmotriti parcijalne derivate u odnosu na druge varijable. CTD.
Tačke u domeni funkcije u kojima su parcijalni derivati prvog reda jednaki nuli ili ne postoje nazivaju se kritične tačke ovu funkciju.
Kao što slijedi iz teoreme 9.1, tačke ekstrema FNP treba tražiti među kritičnim tačkama funkcije. Ali, što se tiče funkcije jedne varijable, nije svaka kritična tačka tačka ekstrema.
Teorema 9.2 (dovoljan uslov za ekstremum FNP).
Neka je P 0 kritična tačka funkcije I= f(P) i 
je diferencijal drugog reda ove funkcije. Onda
i ako d 2 u(P 0) > 0 na , tada je P 0 tačka minimum funkcije I= f(P);
b) ako d 2 u(P0)< 0 при , то Р 0 – точка maksimum funkcije I= f(P);
c) ako d 2 u(P 0) nije definisano znakom, onda P 0 nije tačka ekstrema;
Razmotrićemo ovu teoremu bez dokaza.
Imajte na umu da teorema ne razmatra slučaj kada d 2 u(P 0) = 0 ili ne postoji. To znači da pitanje prisustva ekstremuma u tački P 0 pod takvim uslovima ostaje otvoreno – potrebna su dodatna istraživanja, na primer, proučavanje prirasta funkcije u ovoj tački.
U detaljnijim predmetima matematike se to dokazuje, posebno za funkciju z = f(x,y) dvije varijable, čiji je diferencijal drugog reda zbir oblika
proučavanje prisustva ekstremuma u kritičnoj tački P 0 može se pojednostaviti.
Označimo , , . Hajde da sastavimo odrednicu
.
Ispada:
d 2 z> 0 u tački P 0, tj. P 0 – minimalna tačka, ako A(P 0) > 0 i D(P 0) > 0;
d 2 z < 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка максимума, если A(P0)< 0 , а D(Р 0) > 0;
ako je D(P 0)< 0, то d 2 z u blizini tačke P 0 menja predznak i nema ekstremuma u tački P 0;
ako je D(R 0) = 0, tada su potrebna i dodatna istraživanja funkcije u blizini kritične tačke R 0.
Dakle, za funkciju z = f(x,y) od dvije varijable imamo sljedeći algoritam (nazovimo ga “algoritam D”) za pronalaženje ekstrema:
1) Pronađite domen definicije D( f) funkcije.
2) Pronađite kritične tačke, tj. bodova iz D( f), za koje su i jednaki nuli ili ne postoje.
3) U svakoj kritičnoj tački P 0 provjerite dovoljne uslove za ekstrem. Da biste to učinili, pronađite , gdje , , i izračunajte D(P 0) i A(P 0). Zatim:
ako je D(P 0) >0, tada u tački P 0 postoji ekstrem, i ako A(P 0) > 0 – onda je ovo minimum, i ako A(P 0)< 0 – максимум;
ako je D(P 0)< 0, то в точке Р 0 нет экстремума;
Ako je D(P 0) = 0, potrebno je dodatno istraživanje.
4) U pronađenim tačkama ekstrema izračunati vrijednost funkcije.
Primjer 1.
Naći ekstremu funkcije z = x 3 + 8y 3 – 3xy .
Rješenje. Domen definicije ove funkcije je cijela koordinatna ravan. Hajde da pronađemo kritične tačke.
, 
, 
Þ P 0 (0,0) , .
Hajde da proverimo da li su ispunjeni dovoljni uslovi za ekstrem. Naći ćemo
6X, = -3, = 48at I 
= 288xy – 9.
Tada je D(P 0) = 288×0×0 – 9 = -9< 0 , значит, в точке Р 0 экстремума нет.
D(R 1) = 36-9>0 – u tački R 1 postoji ekstrem, a pošto A(P 1) = 3 >0, tada je ovaj ekstremum minimum. Dakle min z=z(P 1) = 
.
Primjer 2.
Naći ekstremu funkcije 
.
Rješenje: D( f) =R 2 . Kritične tačke: 
; ne postoji kada at= 0, što znači da je P 0 (0,0) kritična tačka ove funkcije.
2, = 0, = , = , ali D(P 0) nije definisan, pa je proučavanje njegovog predznaka nemoguće.
Iz istog razloga, nemoguće je direktno primijeniti teoremu 9.2 - d 2 z ne postoji u ovom trenutku.
Razmotrimo prirast funkcije f(x, y) u tački P 0 . Ako je D f =f(P) – f(P 0)>0 "P, tada je P 0 minimalna tačka, ali ako je D f < 0, то Р 0 – точка максимума.
U našem slučaju imamo
D f = f(x, y) – f(0, 0) = f(0+D x,0+D y) – f(0, 0) = .
Kod D x= 0,1 i D y= -0,008 dobijamo D f = 0,01 – 0,2 < 0, а при Dx= 0,1 i D y= 0,001 D f= 0,01 + 0,1 > 0, tj. u blizini tačke P 0 nijedan uslov D nije zadovoljen f <0 (т.е. f(x, y) < f(0, 0) i stoga P 0 nije tačka maksimuma), niti uslov D f>0 (tj. f(x, y) > f(0, 0) i tada P 0 nije minimalna tačka). Dakle, po definiciji ekstremuma, ovu funkciju nema ekstrema.
Uslovni ekstrem.
Razmatrani ekstremum funkcije se poziva bezuslovno, budući da se argumentima funkcije ne nameću nikakva ograničenja (uslovi).
Definicija 9.2. Ekstremum funkcije I = f(X 1 , X 2 , ... , x n), pronađen pod uslovom da su njegovi argumenti X 1 , X 2 , ... , x n zadovoljiti jednačine j 1 ( X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, …, j T(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, gdje je P ( X 1 , X 2 , ... , x n) O D( f), zove uslovni ekstrem .
Jednačine j k(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0 , k = 1, 2,..., m, su pozvani jednačine veze.
Pogledajmo funkcije z = f(x,y) dvije varijable. Ako je jednačina veze jedan, tj. , tada pronalaženje uslovnog ekstremuma znači da se ekstremum ne traži u cijeloj domeni definicije funkcije, već na nekoj krivulji koja leži u D( f) (tj. ne traže se najviše ili najniže tačke površine z = f(x,y), i najviše ili najniže tačke među tačkama preseka ove površine sa cilindrom, sl. 5).
Uslovni ekstremum funkcije z = f(x,y) od dvije varijable se mogu naći na sljedeći način ( metoda eliminacije). Iz jednadžbe izrazite jednu od varijabli kao funkciju druge (na primjer, write ) i, zamjenjujući ovu vrijednost varijable u funkciju, zapišite potonju kao funkciju jedne varijable (u razmatranom slučaju 
). Odrediti ekstrem rezultujuće funkcije jedne varijable.
Ekstremi funkcija više varijabli. Neophodan uslov za ekstrem. Dovoljan uslov za ekstrem. Uslovni ekstrem. Lagrangeova metoda množenja. Pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti.
Predavanje 5.
Definicija 5.1. Dot M 0 (x 0, y 0) pozvao maksimalni poen funkcije z = f (x, y), Ako f (x o , y o) > f(x,y) za sve bodove (x, y) M 0.
Definicija 5.2. Dot M 0 (x 0, y 0) pozvao minimalna tačka funkcije z = f (x, y), Ako f (x o , y o) < f(x,y) za sve bodove (x, y) iz nekog komšiluka tačke M 0.
Napomena 1. Pozivaju se maksimalne i minimalne tačke ekstremne tačke funkcije nekoliko varijabli.
Napomena 2. Točka ekstrema za funkciju bilo kojeg broja varijabli određuje se na sličan način.
Teorema 5.1(neophodni uslovi za ekstrem). Ako M 0 (x 0, y 0)– tačka ekstrema funkcije z = f (x, y), tada su u ovom trenutku parcijalni izvodi prvog reda ove funkcije jednaki nuli ili ne postoje.
Dokaz.
Popravimo vrijednost varijable at, računajući y = y 0. Zatim funkcija f (x, y 0)će biti funkcija jedne varijable X, za koji x = x 0 je tačka ekstrema. Dakle, prema Fermatovoj teoremi, ili ne postoji. Ista izjava je dokazana slično za .
Definicija 5.3. Tačke koje pripadaju domeni funkcije nekoliko varijabli u kojima su parcijalni izvodi funkcije jednaki nuli ili ne postoje nazivaju se stacionarne tačke ovu funkciju.
Komentar. Dakle, ekstremum se može postići samo u stacionarnim tačkama, ali ne mora da se posmatra na svakoj od njih.
Teorema 5.2(dovoljni uslovi za ekstrem). Neka u nekom susjedstvu tačke M 0 (x 0, y 0), što je stacionarna tačka funkcije z = f (x, y), ova funkcija ima kontinuirane parcijalne izvode do zaključno 3. reda. Označimo Tada:
1) f(x,y) ima u tački M 0 maksimalno ako AC–B² > 0, A < 0;
2) f(x,y) ima u tački M 0 minimalno ako AC–B² > 0, A > 0;
3) ne postoji ekstremum u kritičnoj tački ako AC–B² < 0;
4) ako AC–B² = 0, potrebno je dalje istraživanje.
Dokaz.
Napišimo Taylorovu formulu drugog reda za funkciju f(x,y), imajući na umu da su u stacionarnoj tački parcijalni derivati prvog reda jednaki nuli:
Gdje 
Ako je ugao između segmenta M 0 M, Gdje M (x 0 +Δ x, y 0 +Δ at), i O osi X označimo φ, zatim Δ x =Δ ρ
cos φ,
Δ y=Δρsinφ. U ovom slučaju, Taylorova formula će imati oblik: . Neka Tada možemo podijeliti i pomnožiti izraz u zagradama sa A. Dobijamo:
Pogledajmo sada četiri moguća slučaja:
1) AC-B² > 0, A < 0. Тогда , и 
pri dovoljno malom Δρ. Dakle, u nekom kraju M 0 f (x 0 + Δ x, y 0 +Δ y)< f (x 0 , y 0), to je M 0– maksimalni poen.
2) Neka AC–B² > 0, A > 0. Onda 
, And M 0– minimalni bod.
3) Neka AC-B² < 0, A> 0. Razmotrimo prirast argumenata duž zraka φ = 0. Tada iz (5.1) slijedi da 
, odnosno kada se kreće duž ove zrake, funkcija se povećava. Ako se krećemo duž zraka tako da je tg φ 0 = -A/B, To 
, dakle, kada se kreće duž ove zrake, funkcija opada. Dakle, tačka M 0 nije tačka ekstrema.
3`) Kada AC–B² < 0, A < 0 доказательство отсутствия экстремума проводится
slično prethodnom.
3``) Ako AC–B² < 0, A= 0, onda . Pri čemu . Tada za dovoljno mali φ izraz 2 B cosφ + C sinφ je blizu 2 IN, odnosno zadržava stalan predznak, ali sinφ mijenja predznak u blizini tačke M 0. To znači da povećanje funkcije mijenja predznak u blizini stacionarne tačke, koja stoga nije tačka ekstrema.
4) Ako AC–B² = 0, i 
, 
, odnosno predznak prirasta je određen predznakom 2α 0. Istovremeno, neophodna su dalja istraživanja kako bi se razjasnilo pitanje postojanja ekstremuma.
Primjer. Nađimo tačke ekstrema funkcije z = x² - 2 xy + 2y² + 2 x. Da bismo pronašli stacionarne tačke, rešavamo sistem 
. Dakle, stacionarna tačka je (-2,-1). Gde A = 2, IN = -2, WITH= 4. Onda AC–B² = 4 > 0, dakle, u stacionarnoj tački dostiže se ekstrem, odnosno minimum (pošto A > 0).
Definicija 5.4. Ako argumenti funkcije f (x 1 , x 2 ,…, x n) vezani su dodatnim uslovima u obrascu m jednadžbe ( m< n) :
φ 1 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, φ 2 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, …, φ m ( x 1, x 2,…, x n) = 0, (5.2)
gdje funkcije φ i imaju kontinuirane parcijalne izvode, tada se pozivaju jednadžbe (5.2). jednačine veze.
Definicija 5.5. Ekstremum funkcije f (x 1 , x 2 ,…, x n) kada su ispunjeni uslovi (5.2), poziva se uslovni ekstrem.
Komentar. Možemo ponuditi sljedeću geometrijsku interpretaciju uslovnog ekstremuma funkcije dvije varijable: neka argumenti funkcije f(x,y) povezano jednačinom φ (x,y)= 0, definirajući neku krivu u O ravni xy. Rekonstrukcija okomita na ravan O iz svake tačke ove krive xy dok se ne ukrsti sa površinom z = f (x,y), dobijamo prostornu krivu koja leži na površini iznad krive φ (x,y)= 0. Zadatak je pronaći tačke ekstrema rezultirajuće krive, koje se, naravno, u opštem slučaju ne poklapaju sa bezuslovnim tačkama ekstrema funkcije f(x,y).
Odredimo neophodne uslove za uslovni ekstrem za funkciju dve varijable tako što ćemo prvo uvesti sledeću definiciju:
Definicija 5.6. Funkcija L (x 1 , x 2 ,…, x n) = f (x 1 , x 2 ,…, x n) + λ 1 φ 1 (x 1 , x 2 ,…, x n) +
+ λ 2 φ 2 (x 1 , x 2 ,…, x n) +…+λ m φ m (x 1 , x 2 ,…, x n), (5.3)
Gdje λ i – neki su stalni, tzv Lagrangeova funkcija, i brojevi λi– neodređeni Lagrangeovi množitelji.
Teorema 5.3(neophodni uslovi za uslovni ekstrem). Uslovni ekstremum funkcije z = f (x, y) u prisustvu jednadžbe spajanja φ ( x, y)= 0 može se postići samo u stacionarnim tačkama Lagrangeove funkcije L (x, y) = f (x, y) + λφ (x, y).
Dokaz. Jednačina spajanja specificira implicitnu zavisnost at od X, stoga ćemo pretpostaviti da at postoji funkcija iz X: y = y(x). Onda z Tu je složena funkcija od X, a njegove kritične tačke su određene uslovom: 
. (5.4) Iz jednačine spajanja slijedi da 
. (5.5)
Pomnožimo jednakost (5.5) nekim brojem λ i dodajmo je (5.4). Dobijamo:
, ili .
Posljednja jednakost mora biti zadovoljena u stacionarnim tačkama, iz čega slijedi:
(5.6)
Dobija se sistem od tri jednačine za tri nepoznate: x, y i λ, a prve dvije jednadžbe su uvjeti za stacionarnu tačku Lagrangeove funkcije. Eliminacijom pomoćne nepoznate λ iz sistema (5.6) nalazimo koordinate tačaka u kojima originalna funkcija može imati uslovni ekstrem.
Napomena 1. Prisustvo uslovnog ekstremuma u pronađenoj tački može se provjeriti proučavanjem parcijalnih izvoda Lagrangeove funkcije drugog reda po analogiji s teoremom 5.2.
Napomena 2. Tačke u kojima se može postići uvjetni ekstrem funkcije f (x 1 , x 2 ,…, x n) kada su ispunjeni uslovi (5.2), može se definisati kao rešenja sistema 
(5.7)
Primjer. Nađimo uslovni ekstrem funkcije z = xy s obzirom na to x + y= 1. Sastavimo Lagrangeovu funkciju L(x, y) = xy + λ (x + y – 1). Sistem (5.6) izgleda ovako:
gdje je -2λ=1, λ=-0,5, x = y = -λ = 0.5. Gde L(x,y) može se predstaviti u obliku L(x, y) = - 0,5 (x–y)² + 0,5 ≤ 0,5, dakle u pronađenoj stacionarnoj tački L(x,y) ima maksimum i z = xy – uslovni maksimum.