Встретил её под названием "Парадокс Монти Холла" , и надо же, решил её иначе, а именно: доказал, что это псевдопарадокс .

Друзья, буду рад выслушать критику моему опровержению данного пародокса (псевдопарадокса, если я прав). И тогда я воочию убежусь, что логика моя хромает, перестану мнить себя мыслителем и задумаюсь о смене вида деятельности на более лирический:о). Итак, вот содержание задачи. Предлагаемое решение и моё опровержение ниже.

Представьте, что вы стали участником игры, в которой вы находитесь перед тремя дверями. Ведущий, о котором известно, что он честен, поместил за одной из дверей автомобиль, а за двумя другими дверями - по козе. У вас нет никакой информации о том, что за какой дверью находится.

Ведущий говорит вам: «Сначала вы должны выбрать одну из дверей. После этого я открою одну из оставшихся дверей, за которой находится коза. Затем я предложу вам изменить свой первоначальный выбор и выбрать оставшуюся закрытую дверь вместо той, которую вы выбрали вначале. Вы можете последовать моему совету и выбрать другую дверь, либо подтвердить свой первоначальный выбор. После этого я открою дверь, которую вы выбрали, и вы выиграете то, что находится за этой дверью.»

Вы выбираете дверь номер 3. Ведущий открывает дверь номер 1 и показывает, что за ней находится коза. Затем ведущий предлагает вам выбрать дверь номер 2.

Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы последуете его совету?
Парадокс Монти Холла - одна из известных задач теории вероятностей, решение которой, на первый взгляд, противоречит здравому смыслу.
При решении этой задачи обычно рассуждают примерно так: после того, как ведущий открыл дверь, за которой находится коза, автомобиль может быть только за одной из двух оставшихся дверей. Поскольку игрок не может получить никакой дополнительной информации о том, за какой дверью находится автомобиль, то вероятность нахождения автомобиля за каждой из дверей одинакова, и изменение первоначального выбора двери не дает игроку никаких преимуществ. Однако такой ход рассуждений неверен.
Если ведущий всегда знает, за какой дверью что находится, всегда открывает ту из оставшихся дверей, за которой находится коза, и всегда предлагает игроку изменить свой выбор, то вероятность того, что автомобиль находится за выбранной игроком дверью, равна 1/3, и, соответственно, вероятность того, что автомобиль находится за оставшейся дверью, равна 2/3. Таким образом, изменение первоначального выбора увеличивает шансы игрока выиграть автомобиль в 2 раза. Этот вывод противоречит интуитивному восприятию ситуации большинством людей, поэтому описанная задача и называется парадоксом Монти Холла.

Мне кажется, что шансы не изменятся, т.е. никакого парадокса нет.

И вот почему: первый и второй выборы дверей - это независимые события. Всё равно что кидать монетку 2 раза: то, что выпадет во 2-й раз, никак не зависит от того, что выпало в 1-й.

Так и здесь: после открытия двери с козой игрок оказывается в новой ситуации , когда у него 2 двери и вероятность выбора машины или козы 1/2.

Ещё раз: после открытия одной двери из трёх вероятность того, что автомобиль находится за оставшейся дверью, не равна 2/3 , т.к. 2/3 -- это вероятность того, что авто находится за какими-либо 2-мя дверьми. Неверно приписывать эту вероятность неоткрытой дверьи и открытой. До открытия дверей был такой расклад вероятностей, но после открытия одной двери, все эти вероятности становятся ничтожными, т.к. ситуация изменилась, а потому нужен новый подсчёт вероятности , который обычные люди правильно проводят, отвечая, что ничего от перемены выбора не изменится.

Добавление: 1) рассуждение, что:

а) вероятность найти машину за выбранной дверью составляет 1/3,

б) вероятность, что машина за двумя другими невыбранными дверьми, 2/3,

в) т.к. ведущий открыл дверь с козой, то вероятность 2/3 целиком переходит на одну невыбранную (и неоткрытую) дверь,

а потому надо менять выбор на другую дверь, чтобы вероятность с 1/3 стала 2/3, не верно, но ложно, а именно: в пункте "в" , ибо изначально вероятность 2/3 касается любых двух дверей, включая 2 оставшиеся не открытыми, а раз одну дверь открыли, то эта вероятность поделится поровну между 2 не открытыми, т.е. вероятность будет равная, а выбор другой двери её не увеличит.

2) условные вероятности рассчитывают, если есть 2 и более случайных событий, и для каждого события отдельно рассчитывают вероятность, а уже затем высчитывают вероятность совместного наступления 2 и более событий. Тут сначала вероятность угадать была 1/3, но чтобы рассчитать вероятность того, что машина не за той дверью, которая была выбрана, но за другой не открытой, не нужно рассчитывают условную вероятность, а нужно вычислить простую вероятность, которая равна 1 из 2, т.е. 1/2.

3) Таким образом, это не парадокс, а заблуждение! (19.11.2009)

Добавление 2 : Вчера додумался до простейшего объяснения, что стратегия перевыбора всё же является более выигрышной (парадокс верен!): при первом выборе попасть в козу в 2 раза более вероятно, чем в авто, ведь коз две, а потому при втором выборе надо менять выбор. Это же так очевидно:о)

Или иначе: надо не метить в авто, но отбраковать коз, и в этом помогает даже ведущий, открывая козу. А в начале игры с вероятность 2 из 3 это получится и у играющего, так что, отбраковав коз, надо менять выбор. И это тоже очень очевидно вдруг стало:о)

Так что всё, что я писал до сих пор, было псевдоопровержением. Что ж, вот ещё одна иллюстрация к тому, что надо быть скромнее, уважать чужую точку зрения и не доверять уверениям своей логики, что её решения кристалльно логичны .

«Существуют три вида лжи: ложь, наглая ложь и статистика». Эта фраза, приписанная Марком Твеном премьер-министру Великобритании Бенджамину Дизраэли, неплохо отражает отношение большинства к математическим закономерностям. Действительно, теория вероятностей порой подкидывает удивительные факты, в которые сложно поверить с первого взгляда - и которые, тем не менее, подтверждены наукой. «Теории и практики» вспомнили самые известные парадоксы.

Проблема Монти Холла

Именно эту задачу в фильме «Двадцать одно» предложил студентам хитрый профессор MIT. Дав верный ответ, главный герой попадает в команду блестящих молодых математиков, обыгрывающих казино в Лас-Вегасе.

Классическая формулировка звучит так: «Допустим, некоему игроку предложили поучаствовать в известном американском телешоу Let’s Make a Deal, которое ведет Монти Холл, и ему необходимо выбрать одну из трех дверей. За двумя дверьми находятся козы, за одной - главный приз, автомобиль, ведущий знает расположение призов. После того, как игрок делает свой выбор, ведущий открывает одну из оставшихся дверей, за которой находится коза, и предлагает игроку изменить свое решение. Стоит ли игроку согласиться или лучше сохранить свой первоначальный выбор?»

Вот типичный ход рассуждений: после того, как ведущий открыл одну из дверей и показал козу, игроку остается выбрать между двумя дверями. Машина находится за одной из них, значит, вероятность ее угадать составляет ½. Так что нет разницы - менять свой выбор или нет. И тем не менее, теория вероятностей гласит, что можно увеличить свои шансы на выигрыш, изменив решение. Разберемся, почему это так.

Для этого вернемся на шаг назад. В тот момент, когда мы сделали свой изначальный выбор, мы разделили двери на две части: выбранная нами и две остальные. Очевидно, что вероятность того, что автомобиль прячется за «нашей» дверью, составляет ⅓ - соответственно, автомобиль находится за одной из двух оставшихся дверей с вероятностью ⅔. Когда ведущий показывает, что за одной из этих дверей - коза, получается, что эти ⅔ шанса приходятся на вторую дверь. А это сводит выбор игрока к двум дверям, за одной из которых (изначально выбранной) автомобиль находится с вероятностью ⅓, а за другой - с вероятностью ⅔. Выбор становится очевидным. Что, разумеется, не отменяет того факта, что с самого начала игрок мог выбрать дверь с автомобилем.

Задача трех узников

Парадокс трех узников схож с проблемой Монти Холла, хотя действие разворачивается в более драматических условиях. Трое заключенных (А, Б и В) приговорены к смертной казни и помещены в одиночные камеры. Губернатор случайным образом выбирает одного из них и дает ему помилование. Надзиратель знает, кто из троих помилован, но ему велено держать это в тайне. Узник A просит стражника сказать ему имя второго заключенного (кроме него самого), который точно будет казнен: «если Б помилован, скажи мне, что казнен будет В. Если помилован В, скажи мне, что казнен будет Б. Если они оба будут казнены, а помилован я, подбрось монету, и скажи любое из этих двух имен». Надзиратель говорит, что будет казнен узник Б. Стоит ли радоваться узнику А?

Казалось бы, да. Ведь до получения этой информации вероятность смерти узника А составляла ⅔, а теперь он знает, что один из двух других узников будет казнен - значит, вероятность его казни снизилась до ½. Но на самом деле узник А не узнал ничего нового: если помилован не он, ему назовут имя другого узника, а он и так знал, что кого-то из двоих оставшихся казнят. Если же ему повезло, и казнь отменили, он услышит случайное имя Б или В. Поэтому его шансы на спасение никак не изменились.

А теперь представим, что кто-то из оставшихся узников узнает о вопросе узника А и полученном ответе. Это изменит его представления о вероятности помилования.

Если разговор подслушал узник Б, он узнает, что его точно казнят. А если узник В, то вероятность его помилования будет составлять ⅔. Почему так произошло? Узник А не получил никакой информации, и его шансы на помилование по-прежнему ⅓. Узник Б точно не будет помилован, и его шансы равны нулю. Значит, вероятность того, что на свободу выйдет третий узник, равна ⅔.

Парадокс двух конвертов

Этот парадокс стал известен благодаря математику Мартину Гарднеру, и формулируется следующим образом: «Предположим, вам с другом предложили два конверта, в одном из которых лежит некая сумма денег X, а в другом - сумма вдвое больше. Вы независимо друг от друга вскрываете конверты, пересчитываете деньги, после чего можете обменяться ими. Конверты одинаковые, поэтому вероятность того, что вам достанется конверт с меньшей суммой, составляет ½. Допустим, вы открыли конверт и обнаружили в нем $10. Следовательно, в конверте вашего друга может быть равновероятно $5 или $20. Если вы решаетесь на обмен, то можно подсчитать математическое ожидание итоговой суммы - то есть, ее среднее значение. Она составляет 1/2х$5+1/2×20=$12,5. Таким образом, обмен вам выгоден. И, скорее всего, ваш друг будет рассуждать точно так же. Но очевидно, что обмен не может быть выгоден вам обоим. В чем же ошибка?»

Парадокс заключается в том, что пока вы не вскрыли свой конверт, вероятности ведут себя добропорядочно: у вас действительно 50-процентный шанс обнаружить в своем конверте сумму X и 50-процентный - сумму 2X. И здравый смысл подсказывает, что информация об имеющейся у вас сумме не может повлиять на содержимое второго конверта.

Тем не менее, как только вы вскрываете конверт, ситуация кардинально меняется (этот парадокс чем-то похож на историю с котом Шредингера , где само наличие наблюдателя влияет на положение дел). Дело в том, что для соблюдения условий парадокса вероятность нахождения во втором конверте большей или меньшей суммы, чем у вас, должна быть одинаковой. Но тогда равновероятно любое значение этой суммы от нуля до бесконечности. А если равновероятно бесконечное число возможностей, в сумме они дают бесконечность. А это невозможно.

Для наглядности можно представить, что вы обнаруживаете в своем конверте один цент. Очевидно, что во втором конверте не может быть суммы вдвое меньше.

Любопытно, что дискуссии относительно разрешения парадокса продолжаются и в настоящее время. При этом предпринимаются попытки как объяснить парадокс изнутри, так и выработать наилучшую стратегию поведения в подобной ситуации. В частности, профессор Томас Кавер предложил оригинальный подход к формированию стратегии - менять или не менять конверт, руководствуясь неким интуитивным ожиданием. Скажем, если вы открыли конверт и обнаружили в нем $10 - небольшую сумму по вашим прикидкам - стоит его обменять. А если в конверте, скажем, $1 000, что превосходит ваши самые смелые ожидания, то меняться не надо. Эта интуитивная стратегия в случае, если вам регулярно предлагают выбирать два конверта, дает возможность увеличить суммарный выигрыш больше, чем стратегия постоянной смены конвертов.

Парадокс мальчика и девочки

Этот парадокс был также предложен Мартином Гарднером и формулируется так: «У мистера Смита двое детей. Хотя бы один ребенок - мальчик. Какова вероятность того, что и второй - тоже мальчик?»

Казалось бы, задача проста. Однако если начать разбираться, обнаруживается любопытное обстоятельство: правильный ответ будет отличаться в зависимости от того, каким образом мы будем подсчитывать вероятность пола другого ребенка.

Вариант 1

Рассмотрим все возможные комбинации в семьях с двумя детьми:

Девочка/Девочка

Девочка/Мальчик

Мальчик/Девочка

Мальчик/Мальчик

Вариант девочка/девочка нам не подходит по условиям задачи. Поэтому для семьи мистера Смита возможны три равновероятных варианта - а значит, вероятность того, что другой ребенок тоже окажется мальчиком, составляет ⅓. Именно такой ответ и давал сам Гарднер первоначально.

Вариант 2

Представим, что мы встречаем мистера Смита на улице, когда он гуляет с сыном. Какова вероятность того, что второй ребенок - тоже мальчик? Поскольку пол второго ребенка никак не зависит от пола первого, очевидным (и правильным) ответом является ½.

Почему так происходит, ведь, казалось бы, ничего не изменилось?

Все зависит от того, как мы подходим к вопросу подсчета вероятности. В первом случае мы рассматривали все возможные варианты семьи Смита. Во втором - мы рассматривали все семьи, подпадающие под обязательное условие «должен быть один мальчик». Расчет вероятности пола второго ребенка велся с этим условием (в теории вероятностей это называется «условная вероятность»), что и привело к результату, отличному от первого.

12 ноября 2013 в 08:23

Парадокс Монти Холла и Excel

• Математика

Несчастны те люди, кто не умеет программировать хотя бы на уровне формул Excel! Например, им всегда будет казаться, что парадоксы теории вероятностей – это причуды математиков, неспособных понимать реальную жизнь. Между тем, теория вероятностей как раз-таки моделирует реальные процессы, в то время как человеческая мысль часто не может в полном объеме осознать происходящее.

Возьмем парадокс Монти Холла, приведу здесь его формулировку из русской Википедии:

Представьте, что вы стали участником игры, в которой вам нужно выбрать одну из трёх дверей. За одной из дверей находится автомобиль, за двумя другими дверями - козы. Вы выбираете одну из дверей, например, номер 1, после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, а где - козы, открывает одну из оставшихся дверей, например, номер 3, за которой находится коза. После этого он спрашивает вас, не желаете ли вы изменить свой выбор и выбрать дверь номер 2. Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор?

(при этом участнику игры заранее известны следующие правила:

1. автомобиль равновероятно размещён за любой из 3 дверей;
2. ведущий в любом случае обязан открыть дверь с козой (но не ту, которую выбрал игрок) и предложить игроку изменить выбор;
3. если у ведущего есть выбор, какую из 2 дверей открыть, он выбирает любую из них с одинаковой вероятностью)

На первый взгляд, шансы не должны измениться (простите, для меня это уже давно не парадокс, и я уже не могу придумать неверного объяснения, почему шансы не изменятся, которое на первый взгляд смотрелось бы логичным).

Обычно рассказчики этого парадокса начинают пускаться в сложные рассуждения или заваливать читателя формулами. Но если вы хоть чуточку умеете программировать, вам это не нужно. Вы можете провести моделирующие эксперименты, и посмотреть, как часто вы выигрываете или проигрываете при той или иной стратегии.

Действительно, что такое вероятность? Когда говорят «при данной стратегии, вероятность выигрыша 1/3» – это означает, что если вы проведете 1000 экспериментов, то примерно в 333 из них вы выиграете. Т.е., по-другому, шансы «1 из 3» – это в буквальном случае один из трех экспериментов. «Вероятность 2/3» – это точно так же буквально в двух случаях из трех.

Так вот, проведем эксперимент Монти Холла. Один эксперимент легко укладывается в одну строчку Excel-таблицы: вот она (файл стоит скачать, чтобы видеть формулы), приведу здесь описание по столбцам:

A. Номер эксперимента (для удобства)

B. Генерируем целое случайное число от 1 до 3. Это будет дверь, за которой спрятан автомобиль

C-E. для наглядности я разместил в этих ячейках «коз» и «автомобили»

F. Теперь мы выбираем случайную дверь (на самом деле можно выбирать все время одну и ту же дверь, т.к. случайности в выборе двери для автомобиля уже достаточно для модели – проверьте!)

G. Ведущий теперь выбирает дверь из двух оставшихся, чтобы открыть ее вам

H. И вот тут самое главное: он не открывает дверь, за которой автомобиль, а в случае, если вы изначально показали на дверь с козой, открывает другую единственно возможную дверь с козой! В этом его подсказка для вас.

I. Ну что ж, теперь посчитаем шансы. Пока не будем менять дверь – т.е. посчитаем случаи, когда столбец B равен столбцу F. Пусть будет “1” – выиграли, и “0” – проиграли. Тогда сумма ячеек (ячейка I1003) – это количество выигрышей. Должно получиться число, близкое к 333 (всего мы делаем 1000 экспериментов). Действительно, нахождение автомобиля за каждой из трех дверей – это равновероятное событие, значит выбирая одну дверь, шанс угадать – один из трех.

J. Маловато будет! Поменяем наш выбор.

K. Аналогично: «1» – выигрыш, «0» – проигрыш. И что же в сумме? А в сумме получается число, равное 1000 минус число из ячейки I1003, т.е. близкое к 667. Вас это удивляет? А разве что-то другое могло получиться? Ведь других закрытых дверей больше нет! Если изначально выбранная дверь дает вам выигрыш в 333 случаях из 1000, то другая дверь должна давать выигрыш во всех оставшихся случаях!

Понимаете теперь меня, почему я тут не вижу парадокса? Если есть две и только две взаимоисключающие стратегии, и одна дает выигрыш c вероятностью p, то другая должна давать выигрыш с вероятностью 1-p, какой же это парадокс?

Если вам понравился этот пост, попробуйте теперь построить аналогичный файл для парадокса мальчиков и девочек в следующей формулировке:

Мистер Смит отец двоих детей. Мы встретили его, прогуливающегося по улице с маленьким мальчиком, которого он с гордостью представил нам, как своего сына. Какова вероятность того, что другой ребёнок мистера Смита тоже мальчик?

С приветом из солнечного Вьетнама! :) Приезжайте к нам работать! :)

Многие из нас наверняка слышали о теории вероятностей – особом разделе математики, который изучает закономерности в случайных явлениях, случайные события, а также их свойства. И как раз одной из задач теории вероятностей является интереснейший и, казалось бы, противоречащий здравому смыслу парадокс Монти Холла, названный так в честь ведущего американского телешоу «Let’s Make A Deal». С этим парадоксом мы и хотим вас сегодня познакомить.

Определение парадокса Монти Холла

Как задача парадокс Монти Холла определяется в виде описаний вышеназванной игры, наиболее распространённым среди которых является формулировка, которая была опубликована журналом «Parade Magazine» в 1990 году. Согласно ей, человек должен представить себя участником игры, где нужно выбрать одну дверь из трёх. За одной дверью скрывается автомобиль, а за остальными – козы. Игрок должен выбрать одну дверь, к примеру, дверь №1. А ведущий, знающий о том, что находится за каждой дверью, открывает одну из двух дверей, которые остались, например, дверь №3, за которой стоит коза. После этого ведущий интересуется у игрока, не желает ли он изменить свой изначальный выбор и выбрать дверь №2? Вопрос: повысятся ли шансы игрока на выигрыш, если он изменит свой выбор?

Но после публикации этого определения выяснилось, что задача игрока сформулирована несколько неверно, т.к. не обговорены все условия. К примеру, ведущий игры может выбрать стратегию «адского Монти», предлагая изменить выбор только в том случае, если игрок изначально угадал дверь, за которой находится автомобиль. И становится ясно, что изменение выбора приведёт к стопроцентному проигрышу. Поэтому, наибольшую популярность получила постановка задачи с особым условием №6 из специальной таблицы:

• Автомобиль может с одинаковой вероятностью находиться за каждой дверью
• Ведущий всегда обязан открывать дверь с козой, кроме той которую выбрал игрок, и предлагать игроку возможность изменения выбора
• Ведущий, имея возможность открыть одну из двух дверей, выбирает любую с одинаковой вероятностью

Представленный ниже разбор парадокса Монти Холла рассматривается именно с учётом этого условия. Итак, разбор парадокса.

Разбор парадокса Монти Холла

Есть три варианта развития событий:

Во время решения представленной задачи обычно приводятся такие рассуждения: ведущий в каждом случае убирает одну дверь с козой, следовательно, вероятность нахождения автомобиля за одной из двух закрытых дверей приравнивается к ½, независимо от того, какой выбор был сделан изначально. Однако это не так. Смысл в том, что, делая первый выбор, участник разделяет двери на A (выбранную), B и C (оставшиеся). Шансы (P) на то, что машина стоит за дверью A, равны 1/3, а на то, что она за дверьми B и C равны 2/3. И шансы на успех при выборе дверей B и C вычисляются так:

P(B) = 2/3 * ½ = 1/3

P(C) = 2/3 * ½ = 1/3

Где ½ является условной вероятностью того, что машина находится именно за этой дверью, при условии, что машина не за той дверью, что выбрал игрок.

Ведущий, открывая заведомо проигрышную дверь из двух оставшихся, сообщает игроку 1 бит информации и изменяет тем самым условные вероятности для дверей B и C на значения 1 и 0. Теперь шансы на успех будут вычисляться так:

P(B) = 2/3*1 = 2/3

P(C) = 2/3*0 = 0

И получается, что если игрок изменит свой изначальный выбор, то его шанс на успех будет равен 2/3.

Объясняется это следующим образом: изменяя свой выбор после манипуляций ведущего, игрок выиграет, если изначально он выбрал дверь с козой, т.к. ведущий открывает вторую дверь с козой, а игроку остаётся лишь поменять двери. Выбрать же изначально дверь с козой можно двумя способами (2/3), соответственно, если игрок заменит двери, то выиграет с вероятностью 2/3. Именно из-за противоречия такого вывода интуитивному восприятию задача и получила статус парадокса.

Интуитивное восприятие говорит о следующем: когда ведущий открывает проигрышную дверь, перед игроком встаёт новая задача, на первый взгляд не связанная с изначальным выбором, т.к. коза за открываемой ведущим дверью будет там в любом случае, независимо от того, проигрышную или выигрышную дверь изначально выбрал игрок. После открытия ведущим двери игрок должен снова сделать выбор – либо остановиться на прежней двери, либо выбрать новую. Это значит, что игрок делает именно новый выбор, а не меняет изначальный. И математическим решением рассматриваются две последовательные и связанные друг с другом задачи ведущего.

Но нужно иметь в виду, что ведущий открывает дверь именно из тех двух, которые остались, но не ту, что выбрал игрок. А значит, шанс на то, что машина находится за оставшейся дверью, увеличиваются, т.к. ведущий её не выбрал. Если же ведущий знает, что за выбранной игроком дверью стоит коза, всё-таки её откроет, он тем самым заведомо снизит вероятность того, что игрок выберет правильную дверь, ведь вероятность успеха станет равна ½. Но это уже игра по иным правилам.

А вот ещё одно объяснение: допустим, игрок играет по представленной выше системе, т.е. из дверей B или C всегда выбирает ту, что отличается от изначального выбора. Проиграет он в том случае, если изначально выбрал дверь с автомобилем, т.к. впоследствии выберет дверь с козой. В любом другом случае игрок выиграет, если изначально выбрал проигрышный вариант. Однако вероятность того, что изначально он выберет его, равна 2/3, из чего следует, что для успеха в игре сначала нужно сделать ошибку, вероятность которой в два раза больше вероятности правильного выбора.

Третье объяснение: представим, что дверей не 3, а 1000. После того как игрок сделал выбор, ведущий убирает 998 ненужных дверей – остаются только две двери: выбранная игроком и ещё одна. Но шанс на то, что машина за каждой из дверей совсем не ½. Скорее всего (0,999%) машина будет за той дверью, которую игрок не выбрал изначально, т.е. за дверью, отобранной из оставшихся после первого выбора 999 других. Примерно так же нужно и рассуждать при выборе из трёх дверей, пусть шансы на успех и снижаются и становятся 2/3.

И последнее объяснение – замена условий. Допустим, что вместо того, чтобы делать изначальный выбор, например, двери №1, и вместо открытия двери №2 или №3 ведущим, игрок должен сделать верный выбор с первого раза, если ему известно, что вероятность успеха с дверью №1 равна 33%, но об отсутствии машины за дверьми №2 и №3 он не знает ничего. Из этого следует, что шанс на успех с последней дверью будет составлять 66%, т.е. вероятность победы увеличивается вдвое.

Но каково будет положение дел, если ведущий станет вести себя иначе?

Разбор парадокса Монти Холла при другом поведении ведущего

В классической версии парадокса Монти Холла говорится, что ведущий шоу должен обязательно предоставить игроку выбор двери, вне зависимости от того, угадал игрок или нет. Но ведущий может и усложнить своё поведение. Например:

• Ведущий предлагает игроку изменить свой выбор, если он изначально верный – игрок всегда проиграет, если согласится изменить выбор;
• Ведущий предлагает игроку изменить свой выбор, если он изначально не верный – игрок всегда победит, если согласится;
• Ведущий открывает дверь наугад, не зная, что где стоит – шансы игрока на выигрыш при смене двери всегда будут составлять ½;
• Ведущий открывает дверь с козой, если игрок, действительно, выбрал дверь с козой – шансы игрока на выигрыш при смене двери всегда будут составлять ½;
• Ведущий всегда открывает дверь с козой. Если игрок выбрал дверь с машиной, левая дверь с козой будет открываться с вероятностью (q) равной p, а правая — с вероятностью q = 1-p. Если ведущий открыл дверь слева, то вероятность выигрыша рассчитывается как 1/(1+p). Если ведущий открыл дверь справа, то: 1/(1+q).Но вероятность того, что будет открыта дверь справа, равна: (1+q)/3;
• Условия из примера выше, но p=q=1/2 — шансы игрока на выигрыш при смене двери всегда будут составлять 2/3;
• Условия из примера выше, но p=1, а q=0. Если ведущий откроет дверь справа, то изменение игроком выбора приведёт к победе, если будет открыта дверь слева, то вероятность победы станет равна ½;
• Если ведущий всегда будет открывать дверь с козой, когда игроком выбрана дверь с автомобилем, и с вероятностью ½, если игроком выбрана дверь с козой, то шансы игрока на выигрыш при смене двери всегда будут составлять ½;
• Если игра повторяется множество раз, а машина находится за той или иной дверью всегда с одинаковой вероятностью, плюс с одинаковой вероятностью ведущим открывается дверь, но ведущий знает, где машина и всегда ставит игрока перед выбором, открывая дверь с козой, то вероятность победы будет равна 1/3;
• Условия из примера выше, но ведущий вообще может не открывать дверь — шансы игрока на выигрыш будут составлять 1/3.

Кстати, это интересно: парадокс Монти Холла упоминается в фильме Роберта Лукетича «Двадцать одно», романе Сергея Лукьяненко «Недотёпа», телесериале «4исла», повести Марка Хэддона «Загадочное ночное убийство собаки», комиксе «XKCD», а также был «героем» одной из серий телешоу «Разрушители легенд».

← Вернуться