Непрерывность функции в точке. Функция y = f (x ) называется непре-
рывной в точке x 0 , если:
1) эта функция определена в некоторой окрестности точки x 0 ;
2) существует предел lim f (x ) ;
→ x 0
3) этот предел равен значению функции в точке x 0 , т.е. limf (x )= f (x 0 ) . |
||
x→ x0 |
||
Последнее условие равносильно условию lim | y = 0 , гдеx = x − x 0 – при- |
|
x→ 0 | ||
ращение аргумента, y = f (x 0 + | x )− f (x 0 ) – приращение функции, соответст- |
|
вующее приращению аргумента | x , т.е. функция | f (x ) непрерывна в точкеx 0 |
тогда и только тогда, когда в этой точке бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.
Односторонняя непрерывность. Функцияy = f (x ) называется непрерыв-
ной слева в точкеx 0 , если она определена на некотором полуинтервале(a ;x 0 ]
и lim f (x )= f (x 0 ) .
x→ x0 − 0
Функция y = f (x ) называется непрерывнойсправа в точкеx 0 , если она оп-
ределена на некотором полуинтервале [ x 0 ;a ) и limf (x )= f (x 0 ) .
x→ x0 + 0
Функция y = f (x ) | непрерывна в точке x 0 | тогда и только тогда, когда она |
||||||
непрерывна | ||||||||
lim f (x )= limf (x )= limf (x )= f (x 0 ) . | ||||||||
x→ x0 + 0 | x→ x0 − 0 | x→ x0 | ||||||
Непрерывность функции на множестве. Функция y = f (x ) называется
непрерывной на множестве X , если она является непрерывной в каждой точкеx этого множества. При этом если функция определена в конце некоторого промежутка числовой оси, то под непрерывностью в этой точке понимается непрерывность справа или слева. В частности, функцияy = f (x ) называетсяне-
прерывной на отрезке [ a; b] , если она
1) непрерывна в каждой точке интервала (a ;b ) ;
2) непрерывна справа в точке a ;
3) непрерывна слева в точке b .
Точки разрыва функции. Точкаx 0 , принадлежащая области определения функцииy = f (x ) , или являющаяся граничной точкой этой области, называется
точкой разрыва данной функции , еслиf (x ) не является непрерывной в этой точке.
Точки разрыва подразделяются на точки разрыва первого и второго рода:
1) Если существуют конечные пределы lim f (x )= f (x 0 − 0) и
x→ x0 − 0
f (x )= f (x 0 + 0) , причем не все три числаf (x 0 − 0) ,f (x 0 + 0) , | f (x 0 ) равны |
||
x→ x0 + 0 | |||
между собой, то x 0 | называется точкой разрыва I рода. | ||
В частности, если левый и правый пределы функции в точке x 0 | равны меж- |
||
собой, но | не равны значению функции в этой точке: |
||
f (x0 − 0) = f(x0 + 0) = A≠ f(x0 ) , то x 0 называется точкой устранимого разрыва.
В этом случае, положив f (x 0 )= A , можно видоизменить функцию в точкеx 0
так, чтобы она стала непрерывной (доопределить функцию по непрерывности ). Разностьf (x 0 + 0)− f (x 0 − 0) называетсяскачком функции в точке x 0 .
Скачок функции в точке устранимого разрыва равен нулю.
2) Точки разрыва, не являющиеся точками разрыва первого рода, называются точками разрыва II рода . В точках разрыва II рода не существует или бесконечен хотя бы один из односторонних пределовf (x 0 − 0) иf (x 0 + 0) .
Свойства функций, непрерывных в точке.
f (x) | и g (x ) непрерывны в точкеx 0 , то функции |
||
f (x )± g (x ) , | f (x )g (x ) и | f (x) | (где g (x )≠ 0) также непрерывны в точкеx . |
g(x) | |||
2) Если функция u (x ) непрерывна в точкеx 0 , а функцияf (u ) непрерывна
в точке u 0 = u (x 0 ) , то сложная функцияf (u (x )) непрерывна в точкеx 0 .
3) Все основные элементарные функции (c , x a ,a x , loga x , sinx , cosx , tgx , ctgx , secx , cosecx , arcsinx , arccosx , arctgx , arcctgx ) непрерывны в каж-
дой точке своих областей определения.
Из свойств 1)–3) следует, что все элементарные функции (функции, полученные из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических операций и операции композиции) также непрерывны в каждой точке своих областей определения.
Свойства функций, непрерывных на отрезке.
1) (теорема о промежуточных значениях) Пусть функция f(x) определе-
на и непрерывна на отрезке [ a ;b ] . Тогда для любого числаC , заключенного
между числами f (a ) иf (b ) , (f (a )< C < f (b )) найдется хотя бы одна точкаx 0 [ a ;b ] , такая, чтоf (x 0 )= C .
2) (теорема Больцано – Коши
рывна на отрезке [ a ;b ] и принимает на его концах значения различных знаков.
Тогда найдется хотя бы одна точка x 0 [ a ;b ] , такая, чтоf (x 0 )= 0 .
3) (1-я теорема Вейерштрасса ) Пусть функцияf (x ) определена и непре-
рывна на отрезке [ a ;b ] . Тогда эта функция ограничена на этом отрезке.
4) (2-я теорема Вейерштрасса ) Пусть функцияf (x ) определена и непре-
рывна на отрезке | [ a ;b ] . Тогда эта функция достигает на отрезке[ a ;b ] | |||||
наибольшего | наименьшего | значений, т.е. | существуют | |||
x1 , x2 [ a; b] , | для любой | точки x [ a ;b ] | справедливы | неравенства |
||
f (x 1 )≤ f (x )≤ f (x 2 ) .
Пример 5.17. Пользуясь определением непрерывности, доказать, что функцияy = 3x 2 + 2x − 5 непрерывна в произвольной точкеx 0 числовой оси.
Решение: 1 способ: Пусть x 0 – произвольная точка числовой оси. Вы-
числим сначала предел функции f (x ) приx → x 0 , применяя теоремы о пределе суммы и произведения функций:
lim f (x )= lim(3x 2 + 2x − 5)= 3(limx )2 + 2 limx − 5= 3x 2 | − 5. |
||||||
x→ x0 | x→ x0 | x→ x0 | x→ x0 | ||||
Затем вычисляем значение функции в точке x :f (x )= 3x 2 | − 5 . |
||||||
Сравнивая полученные результаты, видим, | lim f (x )= f (x 0 ) , что согласно |
||||||
x→ x0 | |||||||
определению и означает непрерывность рассматриваемой функции в точке x 0 .
2 способ: Пусть | x – приращение аргумента в точкеx 0 . Найдем соот- |
|||
ветствующее | приращение | y = f(x0 + x) − f(x0 ) = |
||
3(x + x )2 + 2(x + x )− 5− (3x 2 + 2x − 5) | ||||
6 x x+ (x) 2 | 2x = (6x + 2)x + (x )2 . | |||
Вычислим теперь предел приращения функции, когда приращение аргу- |
||||
стремится | ||||
y = lim (6x + 2) | x + (x )2 = (6x + 2) lim | x + (limx )2 = 0 . |
|||
x→ 0 | x→ 0 | x→ 0 | x→ 0 |
||
Таким образом, lim y = 0 , что и означает по определению непрерывность
x→ 0
функции для любого x 0 R .
Пример 5.18. Найти точки разрыва функцииf (x ) и определить их род. В
случае устранимого разрыва доопределить функцию по непрерывности:
1) f (x ) = 1− x 2 приx < 3;
5x приx ≥ 3
2) f (x )= x 2 + 4 x + 3 ;
x + 1
f (x) = | |||||
x4 (x− 2) |
|||||
f (x )= arctg | |||||
(x − 5) |
|||||
Решение: 1) Областью определения данной функции является вся число-
вая ось (−∞ ;+∞ ) . На интервалах(−∞ ;3) ,(3;+∞ ) функция непрерывна. Разрыв возможен лишь в точкеx = 3 , в которой изменяется аналитическое задание функции.
Найдем односторонние пределы функции в указанной точке:
f (3− 0)= lim (1− x 2 )= 1− 9= 8;
x →3 −0
f (3+ 0)= lim 5x = 15.
x →3 +0
Мы видим, что левый и правый пределы конечны, поэтому x = 3 | |||||
разрыва I | f (x ) . Скачок функции в | ||||
f (3+ 0)− f (3− 0)= 15− 8= 7 . | |||||
f (3)= 5 3= 15= f (3+ 0) , поэтому в точке | x = 3 | ||||
f (x ) непрерывна справа.
2) Функция непрерывна на всей числовой оси, кроме точки x = − 1, в которой она не определена. Преобразуем выражение дляf (x ) , разложив числитель
дроби на множители: | f (x) = | 4 x +3 | (x + 1)(x + 3) | X + 3 приx ≠ − 1. |
|||||
x + 1 | x + 1 |
||||||||
Найдем односторонние пределы функции в точке x = − 1: |
|||||||||
f (x )= lim | f (x )= lim(x + 3)= 2 . | ||||||||
x →−1 −0 | x →−1 +0 | x →−1 | |||||||
Мы выяснили, что левый и правый пределы функции в исследуемой точке существуют, конечны и равны между собой, поэтому x = − 1 – точка устранимо-
прямую y = x + 3 с «выколотой» точкойM (− 1;2) . Чтобы функция стала непре-
рывной, следует положить f (− 1)= f (− 1− 0)= f (− 1+ 0)= 2 .
Таким образом, доопределив f (x ) по непрерывности в точкеx = − 1, мы получили функциюf * (x )= x + 3 с областью определения(−∞ ;+∞ ) .
3) Данная функция определена и непрерывна для всех x , кроме точек
x = 0 ,x = 2 , в которых знаменатель дроби обращается в ноль.
Рассмотрим точку x = 0:
Поскольку в достаточно малой окрестности нуля функция принимает толь-
ко отрицательные значения, то f (− 0)= lim | = −∞ = f (+0) | Т.е. точка |
|||
(x − 2) |
|||||
x →−0 | |||||
x = 0 является точкой разрыва II рода функции | f (x ) . | ||||
Рассмотрим теперь точку x = 2:
Функция принимает отрицательные значения вблизи слева от рассматри-
ваемой точки и положительные – справа, поэтому | f (2− 0)= | = −∞, |
||||||
x4 (x− 2) |
||||||||
x →2 −0 | ||||||||
f (2+ 0)= lim | = +∞ . Как и в предыдущем случае, в точкеx = 2 | |||||||
(x − 2) |
||||||||
x →2 +0 | ||||||||
ция не имеет ни левого, ни правого конечного пределов, т.е. терпит в этой точке разрыв II рода.
x = 5 . | ||||||||||||||||||
f (5− 0)= lim arctg | π ,f (5+ 0)= lim arctg | x = 5 | ||||||||||||||||
(x − 5) | (x − 5) | |||||||||||||||||
x →5 −0 | x →5 +0 | |||||||||||||||||
ка разрыва | ||||||||||||||||||
f (5+ 0)− f (5− 0)= | π − (− | π )= π (см. рис. 5.2). | ||||||||||||||||
Задачи для самостоятельного решения
5.174. Пользуясь лишь определением, доказать непрерывность функцииf (x ) в
каждой точке x 0 R :
а) f(x) = c= const; | б) f (x )= x ; | ||
в) f (x )= x 3 ; | г) f (x )= 5x 2 − 4x + 1; |
||
д) f (x )= sinx . | |||
5.175. Доказать, что функция | f (x) = x 2 | 1 приx ≥ 0, | является непрерывной на |
1 при x < 0 | |||
всей числовой оси. Построить график этой функции. | |||
5.176. Доказать, что функция | f (x) = x 2 | 1 приx ≥ 0, | не является непрерывной |
0 при x < 0 | |||
в точке x = 0 , но непрерывна справа в этой точке. Построить график функцииf (x ) .
рывной в точке x = | Но непрерывна слева в этой точке. Построить график |
|||||||||||||
функции f (x ) . | ||||||||||||||
5.178. Построить графики функций | ||||||||||||||
а) y = | x + 1 | б) y= x+ | x + 1 | |||||||||||
x + 1 | x + 1 | |||||||||||||
Какие из условий непрерывности в точках разрыва этих функций выполнены, и какие не выполнены?
5.179. Указать точку разрыва функции
sin x | При x ≠ 0 | ||
при x = 0 | |||
Какие из условий непрерывности в этой точке выполнены, и какие не выполнены?
Если функция f (x ) не является непрерывной в точке x = a , то говорят, что f (x ) имеетразрыв в этой точке. На рисунке 1 схематически изображены графики четырех функций, две из которых непрерывны при x = a , а две имеют разрыв.
|
|
||
|
Непрерывна при x = a . |
Имеет разрыв при x = a . |
|
|
|
|
|
|
Непрерывна при x = a . |
Имеет разрыв при x = a . |
|
|
Рисунок 1. |
||
Классификация точек разрыва функции
Все точки разрыва функции разделяются наточки разрыва первого и второго рода .
Говорят, что функция f (x ) имеетточку разрыва первого рода при x = a , если в это точке
При этом возможно следующие два случая:
Функция f
(x
)
имеетточку разрыва второго рода
при x = a
, если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности. Пример3
.13
Рассмотрим функцию Рис.3
.15
.График функции Хевисайда
(функция Хевисайда
) на отрезке,. Тогданепрерывна на отрезке(несмотря на то, что в точкеона имеет разрыв первого рода).
Аналогичное определение можно дать и для полуинтервалов видаи, включая случаии. Однако можно обобщить данное определение на случай произвольного подмножестваследующим образом. Введём сначала понятиеиндуцированной
набазы: пусть -- база, все окончаниякоторой имеют непустые пересечения с. Обозначимчерези рассмотрим множество всех. Нетрудно тогда проверить, что множество
будет базой. Тем самым дляопределены базы,и, где,и -- базы непроколотых двусторонних (соответственно левых, правых) окрестностей точки(их определение см. в начале текущей главы).
Свойства функций, непрерывных на отрезке.
Свойство 1: (Первая теорема Вейерштрасса (Вейерштрасс Карл (1815-1897)- немецкий математик)). Функция, непрерывная на отрезке, ограничена на этом отрезке, т.е. на отрезке [ a , b ] выполняется условие - M £ f (x ) £ M .
Доказательство этого свойства основано на том, что функция, непрерывная в точке х 0 , ограничена в некоторой ее окрестности, а если разбивать отрезок [ a , b ] на бесконечное количество отрезков, которые “стягиваются” к точке х 0 , то образуется некоторая окрестность точки х 0 .
Свойство 2: Функция, непрерывная на отрезке [ a , b ], принимает на нем наибольшее и наименьшее значения.
Т.е. существуют такие значения х 1 и х 2 , что f (x 1 ) = m , f (x 2 ) = M , причем
m £ f (x ) £ M
Отметим эти наибольшие и наименьшие значения функция может принимать на отрезке и несколько раз (например - f (x ) = sinx ).
Разность между наибольшим и наименьшим значением функции на отрезке называетсяколебанием функции на отрезке.
Свойство 3: (Вторая теорема Больцано - Коши). Функция, непрерывная на отрезке [ a , b ], принимает на этом отрезке все значения между двумя произвольными величинами.
Свойство 4: Если функция f (x ) непрерывна в точке х = х 0 , то существует некоторая окрестность точки х 0 , в которой функция сохраняет знак.
Свойство 5: (Первая теорема Больцано (1781-1848) - Коши). Если функция f (x )- непрерывная на отрезке [ a , b ] и имеет на концах отрезка значения противоположных знаков, то существует такая точка внутри этого отрезка, где f (x ) = 0.
Т . е . если sign(f(a)) ¹ sign(f(b)), то $ х 0 : f(x 0) = 0.
Определение. Функция f (x ) называетсяравномерно непрерывной на отрезке [ a , b ], если для любого e >0 существует D >0 такое, что для любых точек х 1 Î [ a , b ] и x 2 Î [ a , b ] таких, что
ï х 2 - х 1 ï < D
верно неравенство ï f (x 2 ) - f (x 1 ) ï < e
Отличие равномерной непрерывности от “обычной” в том, что для любого e существует свое D , не зависящее от х, а при “обычной” непрерывности D зависит от e и х.
Свойство 6: Теорема Кантора (Кантор Георг (1845-1918)- немецкий математик). Функция, непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на нем.
(Это свойство справедливо только для отрезков, а не для интервалов и полуинтервалов.)
Пример .
Определение точек разрыва функции и их видов является продолжением темы непрерывности функции . Наглядное (графическое) объяснение смысла точек разрыва функции даётся так же в контрасте с понятием непрерывности. Научимся находить точки разрыва функции и определять их виды. И помогут нам в этом наши верные друзья - левый и правый пределы, обобщённо называемые односторонними пределами. Если у кого-то есть страх перед односторонними пределами, то скоро развеем его.
Точки на графике, которые не соединены между собой, называются точками разрыва функции . График такой функции, терпящей разрыв в точке x=2 - - на рисунке ниже.
Обобщением вышесказанного является следующее определение. Если функция не является непрерывной в точке , то она имеет в этой точке разрыв а сама точка называется точкой разрыва . Разрывы бывают первого рода и второго рода .
Для того, чтобы определять виды (характер) точек разрыва функции нужно уверенно находить пределы , поэтому нелишне открыть в новом окне соответствующий урок. Но в связи с точками разрыва у нас появляется кое-что новое и важное - односторонние (левый и правый) пределы. Обобщённо они записываются (правый предел) и (левый предел). Как и в случае с пределом вообще, для того, чтобы найти предел функции, нужно в выражение функции вместо икса подставить то, к чему стремится икс. Но, возможно, спросите вы, чем же будут отличаться правый и левый пределы, если в случае правого к иксу хотя что-то и прибавляется, но это что-то - ноль, а в случае левого из икса что-то вычитается, но это что-то - тоже ноль? И будете правы. В большинстве случаев.
Но в практике поиска точек разрыва функции и определения их вида существует два типичных случая, когда правый и левый пределы не равны:
- у функции существует два или более выражений, зависящих от участка числовой прямой, к которой принадлежит икс (эти выражения обычно записываются в фигурных скобках после f (x )= );
- в результате подстановки того, к чему стремится икс, получается дробь, в знаменателе которой остаётся или плюс ноль (+0) или минус ноль (-0) и поэтому такая дробь означает либо плюс бесконечность, либо минус бесконечность, а это совсем разные вещи.
Точки разрыва первого рода
Точка разрыва первого рода: у функции существуют как конечный (т. е. не равный бесконечности) левый предел, так и конечный правый предел, но функция не определена в точке или левый и правый пределы различны (не равны).
Точка устранимого разрыва первого рода. Левый и правый пределы равны. При этом существует возможность доопределить функцию в точке. Доопределить функцию в точке, говоря просто, значит обеспечить соединение точек, между которыми находится точка, в которой найдены равные друг другу левый и правый пределы. При этом соединение должно представлять собой лишь одну точку, в которой должно быть найдено значение функции.
Пример 1. Определить точку разрыва функции и вид (характер) точки разрыва.
Точки разрыва второго рода
Точка разрыва второго рода: точка, в которой хотя бы один из пределов (левый или правый) - бесконечный (равен бесконечности).
Пример 3.
Решение. Из выражения степени при e видно, что в точке функция не определена. Найдём левый и правый пределы функции в этой точке:
Один из пределов равен бесконечности, поэтому точка - точка разрыва второго рода. График функции с точкой разрыва - под примером.
Нахождение точек разрыва функции может быть как самостоятельной задачей, так и частью Полного исследования функции и построения графика .
Пример 4. Определить точку разрыва функции и вид (характер) точки разрыва для функции
Решение. Из выражения степени при 2 видно, что в точке функция не определена. Найдём левый и правый пределы функции в этой точке.
4.1. Основные теоретические сведения
Определение. Функция у = f (x ) называется непрерывной в точке х 0 , если эта функция определена в какой-нибудь окрестности точки х 0 и если
то есть бесконечно малому приращению аргумента в окрестности точки х 0 соответствует бесконечно малое приращение функции.
Определение. Функция у= f (x ) непрерывна в точке х 0 , если она определена в некоторой окрестности этой точки и если предел функции при стремлении независимой переменной х к х 0 существует и равен значению функции при х=х 0 , то есть
Определение. Пусть х → х 0 , оставаясь все время слева от х 0 . Если при этом условии f (x ) стремится к пределу, то он называется левым пределом функции f (x ) в точке х 0 , то есть
Аналогично определяется и правый предел
Определение. Функция непрерывна в точке х 0 если:
функция определена в точке х 0 ;
существуют левый и правый пределы функции f (x ) при х → х 0 ;
все три числа (х 0 ), f (x 0 –0), f (x 0 +0) совпадают, то есть
Определение. Функция называется непрерывной на интервале, если она непрерывна в каждой его точке.
Теорема . Если две функции f (x ) и g (x ) определены в одном и том же
интервале и обе непрерывны в точке х 0 , то в той же точке будут непрерывны и функции
Теорема. Сложная функция, состоящая из конечного числа непрерывных функций, является непрерывной.
Все основные элементарные функции непрерывны в своей области определения.
Определение. Если в какой-либо точке х 0 функция не является непрерывной, то точка х 0 называется точкой разрыва функции, а сама функция – разрывной в этой точке.
Определение. Если в точке х 0 существует конечный lim f (x ) = А
(левосторонний и правосторонний пределы существуют, конечны и равны между собой), но он не совпадает со значением функции в точке, или же функция в точке не определена, то точка х 0 называется точкой устранимого разрыва. Принятое изображение точки устранимого разрыва представлено на рис. 1.
Определение. Точкой разрыва первого рода или точкой конечного разрыва называется такая точка х 0 , в которой функция имеет левый и правый конечные пределы, но они не равны между собой.
На рис. 2 приведено графическое представление разрыва функции первого рода в точке х 0
Определение. Если хотя бы один из пределов f (x 0 – 0) или f (x 0 + 0) не существует или бесконечен, то точка х 0 называется точкой разрыва, второго рода.
Графические представления разрывов функций второго рода в точке х 0 приведены на рис. 3 (а, б, в).
Приведенные выше определения непрерывности функции f (x ) в точке х 0
Пример Исследовать на непрерывность, определить характер точек разрыва,
изобразить в окрестности точек разрыва функцию
Это рациональная функция Она определена и непрерывна при всех значениях х, кроме х = 1, так как при х = 1 знаменатель обращается, в нуль. В точке х = 1 функция терпит разрыв. Вычислим предел этой функции при
х → 1, имеем
Конечный предел функции при х → 1 существует, а функция в точке
х = 1 не определена; значит точка х = 1 является точкой устранимого разрыва.
Если доопределить функцию, то есть положить f (1) = 5, то функция
будет непрерывной.
х =
1
изображено на
рис.
4.
Замечание. Данная функция
неопределенная при х = 1, совпадает с непрерывной функцией
во всех точках кроме х =1
Исследовать на непрерывность функцию и определить характер ее точек разрыва
Область определения функции – вся числовая ось. На интервалах(–, 0), (0,+) функция непрерывна. Разрыв возможен только в точке х = 0, в которой изменяется аналитическое задание функции.
Найдем односторонние пределы функции:
Левый и правый пределы хотя и конечны, но не равны между собой. Поэтому в точке х = 0 функция имеет разрыв первого рода. Скачок функции в точке разрыва равен
Поведение функции в окрестности точки х = 0 изображено на рис. 5.
Рис. 5
Пример Исследовать функцию f (x ) на непрерывность, определить характер ее точек разрыва, изобразить ее поведение в окрестности точек разрыва.
Функция определена и непрерывна на всей числовой оси, кроме точек х , = –2 и х 2 = 2, причем
не существует.
Вычисляем односторонние пределы в точке х , = –2.
Итак, в точке х = – 2 функция терпит разрыв второго рода. Исследуем характер разрыва функции в точке х 2 = 2. Имеем
В точке х 2 = 2 функция также терпит разрыв второго рода.
Поведение функции в окрестности точек х х = – 2 и х 2 = 2 изображено на рис. 6.
Исследовать функцию f (x ) = e x + i на непрерывность, определить характер точек разрыва, изобразить поведение функции в окрестности точек разрыва.
Функция
неопределена прих
= –3, поэтому
функция
непрерывна при всех
кромех
=
–3. Определим
характер разрыва функции. Имеем
то есть один из пределов равен бесконечности, а значит функция терпит разрыв
второго рода.
Поведение функции f (x ) = e x +3 в окрестности точки разрыва х = –3 изображено на рис. 7
4.2. Упражнения для самостоятельной работы студентов
1. Исследовать функции на непрерывность, определить характер их точек разрыва, изобразить графически поведение функций в окрестности
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
2. Исследовать функции на непрерывность, определить характер их точек разрыва, изобразить графически поведение функций в окрестности точек разрыва
Точка а называется точкой устранимого разрыва функции , если предел функции в этой точке существует, но в точке а функциялибо не определена, либо ее значениене равно пределу в этой точке
Разрыв первого рода.
Точка а называется точкой разрыва первого рода функции , если в этой точке функция имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы.
Разрыв второго рода.
Точка а называется точкой разрыва второго рода функции Точка а называется точкой устранимого разрыва функции , если в этой точке функция не имеет по крайней мере одного из односторонних пределов или хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.
25. Производная: определение, механический и геометрический смысл. Уравне-ние касательной к кривой.
Определение производной
Пусть функция определена на некотором промежутке Х. Придадим значению аргумента в точке произвольное приращение так, чтобы точка также принадлежала Х. Тогда соответствующее приращение функции составит .
Опр . Производной функции в точкеназывается предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при(если этот предел существует).
Если в некоторой точке предел бесконечен, то говорят, что в этой точке функция имеет бесконечную производную. Если функция имеет производную в каждой точке множества Х, то производнаятакже является функцией от аргумента х, определенной на Х.
Геометрический смысл производной
Для выяснения геометрического смысла производной нам понадобится определение касательной к графику функции в данной точке.
Опр. Касательной к графику функции в точке М называется предельное положение секущей МN, когда точка N стремится к точке М по кривой.
Уравнение пучка прямых, проходящих через точку , имеет вид
Угловой коэффициент секущей равен
Тогда угловой коэффициент касательной равен
Отсюда следует наглядный вывод о том, что . В этом и состоитгеометрический смысл производной .
отсюда, v (t 0) = x’ (t 0) , т.e. скорость – это производная координаты по времени. В этом и состоит механический смысл производной. Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени : a = v’ (t ).
Уравнение касательной к графику функции в точке имеет вид:
26. Основные правила дифференцирования. Производные основных элементар-ных функций.
Правила дифференцирования.
1. Производная постоянной равна нулю
2. Производная аргумента равна единице.
3. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна такой же сумме производных этих функций.
Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго.
Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной.
Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные, например
5. Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле:
Производные основных элементар-ных функций.
1. (C)” = 0, где C = const
2. (x a)” = ax a-1 , где a не равно 0
3. (a x)” = a x ln a, где a > 0
4. (e x)” = e x
5. (log a x)” =1/x ln a , где a > 0
6. (ln x)” =1/x
7. (sin x)” = cos x
8. (cos x)” = - sin x
9. (tg x)” =1/cos 2 x
10. (ctg x)” = -1/sin 2 x
11. (arcsin x)” = 1/~1-x 2
12. (arccos x)’ = -1/~1-x 2
13. (arctg x)” =1/1+x 2
14. (arcctg x)” = -1/1+x 2
27. Производная сложной функции. Производные высших порядков.