Признаки делимости натуральных чисел.
Числа, делящиеся без остатка на 2, называются четными .
Числа, которые не делятся без остатка на 2, называются нечетными .
Признак делимости на 2
Если запись натурального числа оканчивается четной цифрой, то это число делится без остатка на 2, а если запись числа оканчивается нечетной цифрой, то это число не делится без остатка на 2.
Например, числа 6 0 , 30 8 , 8 4 делятся без остатка на 2, а числа 5 1 , 8 5 , 16 7 не делятся без остатка на 2.
Признак делимости на 3
Если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3; если сумма цифр числа не делится на 3, то и число не делится на 3.
Например, выясним, делится ли на 3 число 2772825. Для этого подсчитаем сумму цифр этого числа: 2+7+7+2+8+2+5 = 33 - делится на 3. Значит, число 2772825 делится на 3.
Признак делимости на 5
Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0 или 5, то это число делится без остатка на 5. Если же запись числа оканчивается иной цифрой, то число без остатка на 5 не делится.
Например, числа 1 5 , 3 0 , 176 5 , 47530 0 делятся без остатка на 5, а числа 1 7 , 37 8 , 9 1 не делятся.
Признак делимости на 9
Если сумма цифр числа делится на 9, то и число делится на 9; если сумма цифр числа не делится на 9, то и число не делится на 9.
Например, выясним, делится ли на 9 число 5402070. Для этого подсчитаем сумму цифр этого числа: 5+4+0+2+0+7+0 = 16 - не делится на 9. Значит, число 5402070 не делится на 9.
Признак делимости на 10
Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0, то это число делится без остатка на 10. Если запись натурального числа оканчивается другой цифрой, то оно не делится без остатка на 10.
Например, числа 4 0 , 17 0 , 1409 0 делятся без остатка на 10, а числа 1 7 , 9 3 , 1430 7 - не делятся.
Правило нахождения наибольшего общего делителя (НОД).
Чтобы найти наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел, надо:
2) из множителей, входящих в разложение одного из этих чисел, вычеркнуть те, которые не входят в разложение других чисел;
3) найти произведение оставшихся множителей.
Пример. Найдем НОД (48;36). Воспользуемся правилом.
1. Разложим числа 48 и 36 на простые множители.
48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3
36 = 2 · 2 · 3 · 3
2. Из множителей, входящих в разложение числа 48 вычеркнем те, которые не входят в разложение числа 36.
48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3
Остаются множители 2, 2 и 3.
3. Перемножим оставшиеся множители и получим 12. Это число и является наибольшим общим делителем чисел 48 и 36.
НОД (48;36) = 2 · 2 · 3 = 12.
Правило нахождения наименьшего общего кратного (НОК).
Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел, надо:
1) разложить их на простые множители;
2) выписать множители, входящие в разложение одного из чисел;
3) добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел;
4) найти произведение получившихся множителей.
Пример. Найдем НОК (75;60). Воспользуемся правилом.
1. Разложим числа 75 и 60 на простые множители.
75 = 3 · 5 · 5
60 = 2 · 2 · 3 · 3
2. Выпишем множители, входящие в разложение числа 75: 3, 5, 5.
НОК (75;60) = 3 · 5 · 5 · …
3. Добавим к ним недостающие множители из разложения числа 60, т.е. 2, 2.
НОК (75;60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2
4. Найдем произведение получившихся множителей
НОК (75;60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2 = 300.
Продолжим разговор о наименьшем общем кратном, который мы начали в разделе « НОК – наименьшее общее кратное, определение, примеры». В этой теме мы рассмотрим способы нахождения НОК для трех чисел и более, разберем вопрос о том, как найти НОК отрицательного числа.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Вычисление наименьшего общего кратного (НОК) через НОД
Мы уже установили связь наименьшего общего кратного с наибольшим общим делителем. Теперь научимся определять НОК через НОД. Сначала разберемся, как делать это для положительных чисел.
Определение 1
Найти наименьшее общее кратное через наибольший общий делитель можно по формуле НОК (a , b) = a · b: НОД (a , b) .
Пример 1
Необходимо найти НОК чисел 126 и 70 .
Решение
Примем a = 126 , b = 70 . Подставим значения в формулу вычисления наименьшего общего кратного через наибольший общий делитель НОК (a , b) = a · b: НОД (a , b) .
Найдет НОД чисел 70 и 126 . Для этого нам понадобится алгоритм Евклида: 126 = 70 · 1 + 56 , 70 = 56 · 1 + 14 , 56 = 14 · 4 , следовательно, НОД (126 , 70) = 14 .
Вычислим НОК: НОК (126 , 70) = 126 · 70: НОД (126 , 70) = 126 · 70: 14 = 630 .
Ответ: НОК (126 , 70) = 630 .
Пример 2
Найдите нок чисел 68 и 34 .
Решение
НОД в данном случае нейти несложно, так как 68 делится на 34 . Вычислим наименьшее общее кратное по формуле: НОК (68 , 34) = 68 · 34: НОД (68 , 34) = 68 · 34: 34 = 68 .
Ответ: НОК (68 , 34) = 68 .
В этом примере мы использовали правило нахождения наименьшего общего кратного для целых положительных чисел a и b: если первое число делится на второе, что НОК этих чисел будет равно первому числу.
Нахождение НОК с помощью разложения чисел на простые множители
Теперь давайте рассмотрим способ нахождения НОК, который основан на разложении чисел на простые множители.
Определение 2
Для нахождения наименьшего общего кратного нам понадобится выполнить ряд несложных действий:
- составляем произведение всех простых множителей чисел, для которых нам нужно найти НОК;
- исключаем их полученных произведений все простые множители;
- полученное после исключения общих простых множителей произведение будет равно НОК данных чисел.
Этот способ нахождения наименьшего общего кратного основан на равенстве НОК (a , b) = a · b: НОД (a , b) . Если посмотреть на формулу, то станет понятно: произведение чисел a и b равно произведению всех множителей, которые участвуют в разложении этих двух чисел. При этом НОД двух чисел равен произведению всех простых множителей, которые одновременно присутствуют в разложениях на множители данных двух чисел.
Пример 3
У нас есть два числе 75 и 210 . Мы можем разложить их на множители следующим образом: 75 = 3 · 5 · 5 и 210 = 2 · 3 · 5 · 7 . Если составить произведение всех множителей двух исходных чисел, то получится: 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 5 · 7 .
Если исключить общие для обоих чисел множители 3 и 5 , мы получим произведение следующего вида: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 = 1050 . Это произведение и будет нашим НОК для чисел 75 и 210 .
Пример 4
Найдите НОК чисел 441 и 700 , разложив оба числа на простые множители.
Решение
Найдем все простые множители чисел, данных в условии:
441 147 49 7 1 3 3 7 7
700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7
Получаем две цепочки чисел: 441 = 3 · 3 · 7 · 7 и 700 = 2 · 2 · 5 · 5 · 7 .
Произведение всех множителей, которые участвовали в разложении данных чисел, будет иметь вид: 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7 · 7 . Найдем общие множители. Это число 7 . Исключим его из общего произведения: 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7 . Получается, что НОК (441 , 700) = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7 = 44 100 .
Ответ: НОК (441 , 700) = 44 100 .
Дадим еще одну формулировку метода нахождения НОК путем разложения чисел на простые множители.
Определение 3
Раньше мы исключали из всего количества множителей общие для обоих чисел. Теперь мы сделаем иначе:
- разложим оба числа на простые множители:
- добавим к произведению простых множителей первого числа недостающие множители второго числа;
- получим произведение, которое и будет искомым НОК двух чисел.
Пример 5
Вернемся к числам 75 и 210 , для которых мы уже искали НОК в одном из прошлых примеров. Разложим их на простые множители: 75 = 3 · 5 · 5 и 210 = 2 · 3 · 5 · 7 . К произведению множителей 3 , 5 и 5 числа 75 добавим недостающие множители 2 и 7 числа 210 . Получаем: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 . Это и есть НОК чисел 75 и 210 .
Пример 6
Необходимо вычислить НОК чисел 84 и 648 .
Решение
Разложим числа из условия на простые множители: 84 = 2 · 2 · 3 · 7
и 648 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 3
. Добавим к произведению множителей 2 , 2 , 3 и 7
числа 84 недостающие множители 2 , 3 , 3 и
3
числа 648 . Получаем произведение 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 3 · 7 = 4536 .
Это и есть наименьшее общее кратное чисел 84 и 648 .
Ответ: НОК (84 , 648) = 4 536 .
Нахождение НОК трех и большего количества чисел
Независимо от того, с каким количеством чисел мы имеем дело, алгоритм наших действий всегда будет одинаковым: мы будем последовательно находить НОК двух чисел. На этот случай есть теорема.
Теорема 1
Предположим, что у нас есть целые числа a 1 , a 2 , … , a k . НОК m k этих чисел находится при последовательном вычислении m 2 = НОК (a 1 , a 2) , m 3 = НОК (m 2 , a 3) , … , m k = НОК (m k − 1 , a k) .
Теперь рассмотрим, как можно применять теорему для решения конкретных задач.
Пример 7
Необходимо вычислить наименьшее общее кратное четырех чисел 140 , 9 , 54 и 250 .
Решение
Введем обозначения: a 1 = 140 , a 2 = 9 , a 3 = 54 , a 4 = 250 .
Начнем с того, что вычислим m 2 = НОК (a 1 , a 2) = НОК (140 , 9) . Применим алгоритм Евклида для вычисления НОД чисел 140 и 9: 140 = 9 · 15 + 5 , 9 = 5 · 1 + 4 , 5 = 4 · 1 + 1 , 4 = 1 · 4 . Получаем: НОД (140 , 9) = 1 , НОК (140 , 9) = 140 · 9: НОД (140 , 9) = 140 · 9: 1 = 1 260 . Следовательно, m 2 = 1 260 .
Теперь вычислим по тому е алгоритму m 3 = НОК (m 2 , a 3) = НОК (1 260 , 54) . В ходе вычислений получаем m 3 = 3 780 .
Нам осталось вычислить m 4 = НОК (m 3 , a 4) = НОК (3 780 , 250) . Действуем по тому же алгоритму. Получаем m 4 = 94 500 .
НОК четырех чисел из условия примера равно 94500 .
Ответ: НОК (140 , 9 , 54 , 250) = 94 500 .
Как видите, вычисления получаются несложными, но достаточно трудоемкими. Чтобы сэкономить время, можно пойти другим путем.
Определение 4
Предлагаем вам следующий алгоритм действий:
- раскладываем все числа на простые множители;
- к произведению множителей первого числа добавляем недостающие множители из произведения второго числа;
- к полученному на предыдущем этапе произведению добавляем недостающие множители третьего числа и т.д.;
- полученное произведение будет наименьшим общим кратным всех чисел из условия.
Пример 8
Необходимо найти НОК пяти чисел 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .
Решение
Разложим все пять чисел на простые множители: 84 = 2 · 2 · 3 · 7 , 6 = 2 · 3 , 48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 , 7 , 143 = 11 · 13 . Простые числа, которым является число 7 , на простые множители не раскладываются. Такие числа совпадают со своим разложением на простые множители.
Теперь возьмем произведение простых множителей 2 , 2 , 3 и 7 числа 84 и добавим к ним недостающие множители второго числа. Мы разложили число 6 на 2 и 3 . Эти множители уже есть в произведении первого числа. Следовательно, их опускаем.
Продолжаем добавлять недостающие множители. Переходим к числу 48 , из произведения простых множителей которого берем 2 и 2 . Затем добавляем простой множитель 7 от четвертого числа и множители 11 и 13 пятого. Получаем: 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 7 · 11 · 13 = 48 048 . Это и есть наименьшее общее кратное пяти исходных чисел.
Ответ: НОК (84 , 6 , 48 , 7 , 143) = 48 048 .
Нахождение наименьшего общего кратного отрицательных чисел
Для того, чтобы найти наименьшее общее кратное отрицательных чисел, эти числа необходимо сначала заменить на числа с противоположным знаком, а затем провести вычисления по приведенным выше алгоритмам.
Пример 9
НОК (54 , − 34) = НОК (54 , 34) , а НОК (− 622 , − 46 , − 54 , − 888) = НОК (622 , 46 , 54 , 888) .
Такие действия допустимы в связи с тем, что если принять, что a
и − a
– противоположные числа,
то множество кратных числа a
совпадает со множеством кратных числа − a
.
Пример 10
Необходимо вычислить НОК отрицательных чисел − 145 и − 45 .
Решение
Произведем замену чисел − 145 и − 45 на противоположные им числа 145 и 45 . Теперь по алгоритму вычислим НОК (145 , 45) = 145 · 45: НОД (145 , 45) = 145 · 45: 5 = 1 305 , предварительно определив НОД по алгоритму Евклида.
Получим, что НОК чисел − 145 и − 45 равно 1 305 .
Ответ: НОК (− 145 , − 45) = 1 305 .
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Рассмотрим решение следующей задачи. Шаг мальчика составляет 75 см, а шаг девочки 60 см. Необходимо найти наименьшее расстояние, на котором они оба сделают по целому числу шагов.
Решение. Весь путь который пройдут ребята, должен делиться без остатка на 60 и на 70, так как они должны сделать каждый целое число шагов. Другими словами, в ответе должно быть число, кратное как 75 так и 60.
Сначала будем выписывать все кратные числа, для числа 75. Получаем:
- 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .
Теперь выпишем числа, которые будут кратны 60. Получаем:
- 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .
Теперь находим числа которые есть в обоих рядах.
- Общими кратными чисел будут числа, 300, 600, и т.д.
Самое наименьшее из них, это число 300. Оно в данном случае будет называться наименьшим общим кратным чисел 75 и 60.
Возвращаясь к условию задачи, наименьшее расстояние, на котором ребята сделают целое число шагов будет 300 см. Мальчик пройдет этот путь за 4 шага, а девочке потребуется сделать 5 шагов.
Определение наименьшего общего кратного
- Наименьшим общим кратным двух натуральных чисел a и b называется наименьшее натуральное число, которое кратно как a, так и b.
Для того, чтобы найти наименьшее общее кратное двух чисел, не обязательно выписывть подряд все кратные для этих чисел.
Можно воспользоваться следующим методом.
Как найти наименьшее общее кратное
Сначала необходимо разложить данные числа на простые множители.
- 60 = 2*2*3*5,
- 75=3*5*5.
Теперь выпишем все множители которые есть в разложении первого числа (2,2,3,5) и добавим к нему все недостающие множители из разложения второго числа (5).
Получим в итоге ряд простых чисел: 2,2,3,5,5. Произведение этих чисел и будет наименьшим общим сомножителем для данных чисел. 2*2*3*5*5 = 300.
Общая схема нахождения наименьшего общего кратного
- 1. Разложить числа на простые множители.
- 2. Выписать простые множители которые входят в состав одного из них.
- 3. Добавить к этим множителям все те, которые есть в разложении остальных, но нет в выбранном.
- 4. Найти произведение всех выписанных сомножителей.
Данный способ универсален. С его помощью можно найти наименьшее общее кратное любого количества натуральных чисел.
Чтобы понять, как вычислять НОК, следует определиться в первую очередь со значением термина "кратное".
Кратным числу А называют такое натуральное число, которое без остатка делится на А. Так, числами кратными 5 можно считать 15, 20, 25 и так далее.
Делителей конкретного числа может быть ограниченное количество, а вот кратных бесконечное множество.
Общее кратное натуральных чисел - число, которое делится на них без остатка.
Как найти наименьшее общее кратное чисел
Наименьшее общее кратное (НОК) чисел (двух, трех или больше) - это самое маленькое натурально число, которое делится на все эти числа нацело.
Чтобы найти НОК, можно использовать несколько способов.
Для небольших чисел удобно выписать в строчку все кратные этих чисел до тех пор, пока среди них не найдется общее. Кратные обозначают в записи заглавной буквой К.
Например, кратные числа 4 можно записать так:
К (4) = {8,12, 16, 20, 24, ...}
К (6) = {12, 18, 24, ...}
Так, можно увидеть, что наименьшим общим кратным чисел 4 и 6 является число 24. Эту запись выполняют следующим образом:
НОК (4, 6) = 24
Если числа большие, найти общее кратное трех и более чисел, то лучше использовать другой способ вычисления НОК.
Для выполнения задания необходимо разложить предложенные числа на простые множители.
Сначала нужно выписать в строчку разложение наибольшего из чисел, а под ним - остальных.
В разложении каждого числа может присутствовать различное количество множителей.
Например, разложим на простые множители числа 50 и 20.
В разложении меньшего числа следует подчеркнуть множители, которые отсутствуют в разложении первого самого большого числа, а затем их добавить к нему. В представленном примере не хватает двойки.
Теперь можно вычислить наименьшее общее кратное 20 и 50.
НОК (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100
Так, произведение простых множителей большего числа и множителей второго числа, которые не вошли в разложение большего, будет наименьшим общим кратным.
Чтобы найти НОК трех чисел и более, следует их все разложить на простые множители, как и в предыдущем случае.
В качестве примера можно найти наименьшее общее кратное чисел 16, 24, 36.
36 = 2 * 2 * 3 * 3
24 = 2 * 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
Так, в разложение большего числа на множители не вошли только две двойки из разложения шестнадцати (одна есть в разложении двадцати четырех).
Таким образом, их нужно добавить к разложению большего числа.
НОК (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9
Существуют частные случаи определения наименьшего общего кратного. Так, если одно из чисел можно поделить без остатка на другое, то большее из этих чисел и будет наименьшим общим кратным.
Например, НОК двенадцати и двадцати четырех будет двадцать четыре.
Если необходимо найти наименьшее общее кратное взаимно простых чисел, не имеющих одинаковых делителей, то их НОК будет равняться их произведению.
Например, НОК (10, 11) = 110.
Рассмотрим три способа нахождения наименьшего общего кратного.
Нахождение путём разложения на множители
Первый способ заключается в нахождении наименьшего общего кратного путём разложения данных чисел на простые множители.
Допустим, нам требуется найти НОК чисел: 99, 30 и 28. Для этого разложим каждое из этих чисел на простые множители:
Чтобы искомое число делилось на 99, на 30 и на 28, необходимо и достаточно, чтобы в него входили все простые множители этих делителей. Для этого нам необходимо взять все простые множители этих чисел в наибольшей встречающейся степени и перемножить их между собой:
2 2 · 3 2 · 5 · 7 · 11 = 13 860
Таким образом, НОК (99, 30, 28) = 13 860. Никакое другое число меньше 13 860 не делится нацело на 99, на 30 и на 28.
Чтобы найти наименьшее общее кратное данных чисел, нужно разложить их на простые множители, затем взять каждый простой множитель с наибольшим показателем степени, с каким он встречается, и перемножить эти множители между собой.
Так как взаимно простые числа не имеют общих простых множителей, то их наименьшее общее кратное равно произведению этих чисел. Например, три числа: 20, 49 и 33 - взаимно простые. Поэтому
НОК (20, 49, 33) = 20 · 49 · 33 = 32 340.
Таким же образом надо поступать, когда отыскивается наименьшее общее кратное различных простых чисел. Например, НОК (3, 7, 11) = 3 · 7 · 11 = 231.
Нахождение путём подбора
Второй способ заключается в нахождении наименьшего общего кратного путём подбора.
Пример 1. Когда наибольшее из данных чисел делится нацело на другие данные числа, то НОК этих чисел равно большему из них. Например, дано четыре числа: 60, 30, 10 и 6. Каждое из них делится нацело на 60, следовательно:
НОК (60, 30, 10, 6) = 60
В остальных случаях, чтобы найти наименьшее общее кратное используется следующий порядок действий:
- Определяем наибольшее число из данных чисел.
- Далее находим числа, кратные наибольшему числу, умножая его на натуральные числа в порядке их возрастания и проверяя делятся ли на полученное произведение остальные данные числа.
Пример 2. Дано три числа 24, 3 и 18. Определяем самое большое из них - это число 24. Далее находим числа кратные 24, проверяя делится ли каждое из них на 18 и на 3:
24 · 1 = 24 - делится на 3, но не делится на 18.
24 · 2 = 48 - делится на 3, но не делится на 18.
24 · 3 = 72 - делится на 3 и на 18.
Таким образом, НОК (24, 3, 18) = 72.
Нахождение путём последовательного нахождения НОК
Третий способ заключается в нахождении наименьшего общего кратного путём последовательного нахождения НОК.
НОК двух данных чисел равно произведению этих чисел, поделённого на их наибольший общий делитель.
Пример 1. Найдём НОК двух данных чисел: 12 и 8. Определяем их наибольший общий делитель: НОД (12, 8) = 4. Перемножаем данные числа:
Делим произведение на их НОД:
Таким образом, НОК (12, 8) = 24.
Чтобы найти НОК трёх и более чисел используется следующий порядок действий:
- Сначала находят НОК каких-нибудь двух из данных чисел.
- Потом, НОК найденного наименьшего общего кратного и третьего данного числа.
- Затем, НОК полученного наименьшего общего кратного и четвёртого числа и т. д.
- Таким образом поиск НОК продолжается до тех пор, пока есть числа.
Пример 2. Найдём НОК трёх данных чисел: 12, 8 и 9. НОК чисел 12 и 8 мы уже нашли в предыдущем примере (это число 24). Осталось найти наименьшее общее кратное числа 24 и третьего данного числа - 9. Определяем их наибольший общий делитель: НОД (24, 9) = 3. Перемножаем НОК с числом 9:
Делим произведение на их НОД:
Таким образом, НОК (12, 8, 9) = 72.