Koncept područja

Koncept površine bilo koje geometrijske figure, posebno trokuta, bit će povezan s likom kao što je kvadrat. Za jediničnu površinu bilo koje geometrijske figure uzet ćemo površinu kvadrata čija je stranica jednaka jedan. Radi potpunosti, podsjetimo se dva osnovna svojstva za pojam područja geometrijskih figura.

Nekretnina 1: Ako su geometrijske figure jednake, onda su i njihove površine jednake.

Nekretnina 2: Svaka figura se može podijeliti na nekoliko figura. Štoviše, površina originalne figure jednaka je zbroju površina svih njenih sastavnih figura.

Pogledajmo primjer.

Primjer 1

Očigledno, jedna od stranica trougla je dijagonala pravougaonika, čija jedna strana ima dužinu od $5$ (pošto ima $5$ ćelija), a druga je $6$ (pošto ima $6$ ćelija). Stoga će površina ovog trokuta biti jednaka polovini takvog pravokutnika. Površina pravougaonika je

Tada je površina trokuta jednaka

Odgovor: 15$.

Zatim ćemo razmotriti nekoliko metoda za pronalaženje površina trokuta, odnosno pomoću visine i baze, koristeći Heronovu formulu i površinu jednakostraničnog trokuta.

Kako pronaći površinu trokuta koristeći njegovu visinu i osnovu

Teorema 1

Površina trokuta može se naći kao polovina proizvoda dužine stranice i visine te stranice.

Matematički to izgleda ovako

$S=\frac(1)(2)αh$

gdje je $a$ dužina stranice, $h$ je visina povučena do nje.

Dokaz.

Razmotrimo trougao $ABC$ u kojem je $AC=α$. Visina $BH$ je povučena na ovu stranu, koja je jednaka $h$. Izgradimo ga do kvadrata $AXYC$ kao na slici 2.

Površina pravougaonika $AXBH$ je $h\cdot AH$, a površina pravougaonika $HBYC$ je $h\cdot HC$. Onda

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Dakle, tražena površina trokuta, po svojstvu 2, jednaka je

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

Teorema je dokazana.

Primjer 2

Pronađite površinu trokuta na donjoj slici ako ćelija ima površinu jednaku jedan

Osnova ovog trougla je $9$ (pošto je $9$ $9$ kvadrata). Visina je također 9$. Tada, prema teoremi 1, dobijamo

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40.5$

Odgovor: 40,5$.

Heronova formula

Teorema 2

Ako su nam date tri stranice trougla $α$, $β$ i $γ$, tada se njegova površina može naći na sljedeći način

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

ovdje $ρ$ označava poluperimetar ovog trougla.

Dokaz.

Razmotrite sljedeću sliku:

Po Pitagorinoj teoremi, iz trougla $ABH$ dobijamo

Iz trougla $CBH$, prema Pitagorinoj teoremi, imamo

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

Iz ove dvije relacije dobijamo jednakost

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

Pošto je $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, onda je $α+β+γ=2ρ$, što znači

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Prema teoremi 1, dobijamo

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Trokut je najjednostavniji geometrijski lik koji se sastoji od tri strane i tri vrha. Zbog svoje jednostavnosti, trokut se od davnina koristio za vršenje raznih mjerenja, a danas figura može biti korisna za rješavanje praktičnih i svakodnevnih problema.

Karakteristike trougla

Broj se koristi za proračune od davnina, na primjer, geodeti i astronomi rade sa svojstvima trouglova kako bi izračunali površine i udaljenosti. Lako je izraziti površinu bilo kojeg n-ugla kroz površinu ove figure, a ovo svojstvo koristili su drevni znanstvenici za izvođenje formula za površine poligona. Konstantan rad sa trouglovima, posebno pravouglim, postao je osnova za čitavu granu matematike - trigonometriju.

Geometrija trougla

Osobine geometrijske figure proučavane su od davnina: najranije informacije o trokutu pronađene su u egipatskim papirusima prije 4000 godina. Zatim je lik proučavan u staroj Grčkoj, a najveći doprinos geometriji trougla dali su Euklid, Pitagora i Heron. Proučavanje trougla nikada nije prestalo, a u 18. veku Leonhard Ojler je uveo koncept ortocentra figure i Ojlerovog kruga. Na prijelazu iz 19. u 20. stoljeće, kada se činilo da se o trouglu zna apsolutno sve, Frank Morley je formulirao teoremu o trisektorima uglova, a Waclaw Sierpinski je predložio fraktalni trokut.

Postoji nekoliko vrsta ravnih trokuta koji su nam poznati iz školskih predmeta geometrije:

• akutni - svi uglovi figure su oštri;
• tup - figura ima jedan tupi ugao (više od 90 stepeni);
• pravougaona - figura sadrži jedan pravi ugao jednak 90 stepeni;
• jednakokračan - trokut sa dvije jednake stranice;
• jednakostraničan - trokut sa svim jednakim stranama.
• U stvarnom životu postoje razne vrste trokuta, a u nekim slučajevima možda ćemo morati izračunati površinu geometrijske figure.

Površina trougla

Površina je procjena koliki dio ravnine figura obuhvata. Površina trokuta se može pronaći na šest načina, koristeći stranice, visinu, uglove, polumjer upisane ili opisane kružnice, kao i korištenjem Heronove formule ili izračunavanjem dvostrukog integrala duž linija koje graniče ravninu. Najjednostavnija formula za izračunavanje površine trokuta je:

gdje je a stranica trougla, h njegova visina.

Međutim, u praksi nam nije uvijek zgodno pronaći visinu geometrijske figure. Algoritam našeg kalkulatora vam omogućava da izračunate površinu znajući:

• tri strane;
• dvije strane i ugao između njih;
• jedna strana i dva ugla.

Da bismo odredili površinu kroz tri strane, koristimo Heronovu formulu:

S = sqrt (p × (p-a) × (p-b) × (p-c)),

gdje je p poluperimetar trougla.

Površina na dvije strane i kut izračunava se pomoću klasične formule:

S = a × b × sin(alfa),

gdje je alfa ugao između stranica a i b.

Da bismo odredili površinu u smislu jedne strane i dva ugla, koristimo odnos:

a / sin(alfa) = b / sin(beta) = c / sin(gama)

Pomoću jednostavne proporcije određujemo dužinu druge stranice, nakon čega izračunavamo površinu koristeći formulu S = a × b × sin(alfa). Ovaj algoritam je potpuno automatizovan i potrebno je samo da unesete navedene varijable i dobijete rezultat. Pogledajmo nekoliko primjera.

Primjeri iz života

Ploče za popločavanje

Recimo da želite popločati pod trokutastim pločicama, a da biste odredili količinu potrebnog materijala, morate znati površinu jedne pločice i površinu poda. Pretpostavimo da trebate obraditi 6 kvadratnih metara površine pomoću pločice čije su dimenzije a = 20 cm, b = 21 cm, c = 29 cm. Očigledno, da bi izračunao površinu trokuta, kalkulator koristi Heronovu formulu i daje rezultat:

Dakle, površina jednog elementa pločice bit će 0,021 kvadratni metar, a za poboljšanje poda trebat će vam 6/0,021 = 285 trokuta. Brojevi 20, 21 i 29 čine pitagorine trostruke brojeve koji zadovoljavaju . I tako je, naš kalkulator je izračunao i sve uglove trougla, a gama ugao je tačno 90 stepeni.

Školski zadatak

U školskom zadatku morate pronaći površinu trougla, znajući da je stranica a = 5 cm, a uglovi alfa i beta 30 odnosno 50 stepeni. Da bismo ručno riješili ovaj problem, prvo bismo pronašli vrijednost stranice b koristeći proporciju omjera stranica i sinusa suprotnih uglova, a zatim bismo odredili površinu pomoću jednostavne formule S = a × b × sin(alfa). Uštedimo vreme, unesite podatke u formu kalkulatora i dobijte trenutni odgovor

Kada koristite kalkulator, važno je ispravno naznačiti uglove i stranice, inače će rezultat biti netačan.

Zaključak

Trokut je jedinstvena figura koja se nalazi i u stvarnom životu i u apstraktnim proračunima. Koristite naš online kalkulator da odredite površinu trokuta bilo koje vrste.

Trougao je jedan od najčešćih geometrijskih oblika s kojim se upoznajemo u osnovnoj školi. Svaki učenik se suočava sa pitanjem kako pronaći površinu trokuta u nastavi geometrije. Dakle, koje se karakteristike pronalaženja površine date figure mogu identificirati? U ovom članku ćemo pogledati osnovne formule potrebne za obavljanje takvog zadatka, a također ćemo analizirati vrste trokuta.

Vrste trouglova

Područje trokuta možete pronaći na potpuno različite načine, jer u geometriji postoji više od jedne vrste figure koja sadrži tri ugla. Ove vrste uključuju:

• Tupo.
• Jednakostrani (tačno).
• Pravokutni trokut.
• Jednakokraki.

Pogledajmo bliže svaku od postojećih vrsta trouglova.

Ova geometrijska figura se smatra najčešćom prilikom rješavanja geometrijskih problema. Kada se pojavi potreba za crtanjem proizvoljnog trokuta, ova opcija dolazi u pomoć.

U oštrom trouglu, kao što ime govori, svi uglovi su oštri i sabiraju do 180°.

Ova vrsta trougla je također vrlo česta, ali je nešto rjeđa od oštrougla. Na primjer, prilikom rješavanja trokuta (odnosno, poznato je nekoliko njegovih stranica i uglova i morate pronaći preostale elemente), ponekad morate odrediti je li ugao tup ili ne. Kosinus je negativan broj.

B, vrijednost jednog od uglova prelazi 90°, tako da preostala dva ugla mogu imati male vrijednosti (na primjer, 15° ili čak 3°).

Da biste pronašli površinu trokuta ovog tipa, morate znati neke nijanse o kojima ćemo kasnije govoriti.

Pravilni i jednakokraki trouglovi

Pravilan poligon je figura koja uključuje n uglova i čije su stranice i uglovi jednaki. Ovo je pravilan trougao. Pošto je zbir svih uglova trougla 180°, onda je svaki od tri ugla 60°.

Pravilan trougao, zbog svog svojstva, naziva se i jednakostranični lik.

Također je vrijedno napomenuti da se u pravilan trokut može upisati samo jedan krug, a oko njega se može opisati samo jedan krug, a njihovi centri se nalaze u istoj tački.

Osim jednakostraničnog tipa, može se razlikovati i jednakokraki trokut, koji se malo razlikuje od njega. U takvom trouglu dvije stranice i dva ugla su međusobno jednaki, a treća stranica (kojoj su jednaki uglovi susjedni) je osnova.

Na slici je prikazan jednakokraki trougao DEF čiji su uglovi D i F jednaki, a DF je osnova.

Pravokutni trokut

Pravougli trokut je tako nazvan jer mu je jedan od uglova pravi, odnosno jednak 90°. Ostala dva ugla su zbir do 90°.

Najveća stranica takvog trougla, koja leži nasuprot kuta od 90°, je hipotenuza, dok su preostale dvije stranice katete. Za ovu vrstu trougla primjenjuje se Pitagorina teorema:

Zbir kvadrata dužina kateta jednak je kvadratu dužine hipotenuze.

Na slici je prikazan pravougli trokut BAC sa hipotenuzom AC i kracima AB i BC.

Da biste pronašli površinu trokuta sa pravim uglom, morate znati numeričke vrijednosti njegovih krakova.

Prijeđimo na formule za pronalaženje površine date figure.

Osnovne formule za pronalaženje područja

U geometriji postoje dvije formule koje su pogodne za pronalaženje površine većine tipova trokuta, a to su akutni, tupi, pravilni i jednakokračni trouglovi. Pogledajmo svaki od njih.

Po strani i visini

Ova formula je univerzalna za pronalaženje površine figure koju razmatramo. Da biste to učinili, dovoljno je znati dužinu stranice i dužinu povučene visine. Sama formula (pola proizvoda baze i visine) je sljedeća:

gdje je A stranica datog trougla, a H visina trougla.

Na primjer, da biste pronašli površinu oštrog trokuta ACB, trebate pomnožiti njegovu stranu AB visinom CD i rezultujuću vrijednost podijeliti s dva.

Međutim, nije uvijek lako pronaći površinu trokuta na ovaj način. Na primjer, da biste koristili ovu formulu za tupokutni trokut, trebate proširiti jednu od njegovih stranica i tek onda nacrtati visinu na njoj.

U praksi se ova formula koristi češće od ostalih.

Sa obe strane i ugao

Ova formula je, kao i prethodna, pogodna za većinu trokuta i po svom značenju je posledica formule za pronalaženje površine pored i visine trokuta. Odnosno, formula o kojoj je riječ može se lako izvesti iz prethodne. Njegova formulacija izgleda ovako:

S = ½*sinO*A*B,

gdje su A i B stranice trokuta, a O je ugao između stranica A i B.

Podsjetimo da se sinus ugla može vidjeti u posebnoj tabeli nazvanoj po istaknutom sovjetskom matematičaru V. M. Bradisu.

Pređimo sada na druge formule koje su prikladne samo za izuzetne vrste trokuta.

Površina pravouglog trougla

Pored univerzalne formule, koja uključuje potrebu za pronalaženjem nadmorske visine u trokutu, površina trokuta koji sadrži pravi ugao može se naći iz njegovih krakova.

Dakle, površina trokuta koji sadrži pravi ugao je polovina proizvoda njegovih nogu, ili:

gdje su a i b katete pravouglog trougla.

Pravilan trougao

Ova vrsta geometrijske figure razlikuje se po tome što se njena površina može naći sa naznačenom vrijednošću samo jedne od njenih stranica (pošto su sve stranice pravilnog trougla jednake). Dakle, kada se suočite sa zadatkom "pronalaženja površine trokuta kada su stranice jednake", morate koristiti sljedeću formulu:

S = A 2 *√3 / 4,

gdje je A stranica jednakostraničnog trougla.

Heronova formula

Posljednja opcija za pronalaženje površine trokuta je Heronova formula. Da biste ga koristili, morate znati dužine tri strane figure. Heronova formula izgleda ovako:

S = √p·(p - a)·(p - b)·(p - c),

gdje su a, b i c stranice datog trougla.

Ponekad se postavlja problem: "površina pravilnog trougla je pronaći dužinu njegove stranice." U ovom slučaju, trebamo koristiti formulu koju već znamo za pronalaženje površine pravilnog trokuta i iz nje izvesti vrijednost stranice (ili njenog kvadrata):

A 2 = 4S / √3.

Ispitni zadaci

Postoje mnoge formule u GIA problemima u matematici. Osim toga, često je potrebno pronaći površinu trokuta na kariranom papiru.

U ovom slučaju, najpogodnije je povući visinu na jednu od strana figure, odrediti njegovu dužinu iz ćelija i koristiti univerzalnu formulu za pronalaženje područja:

Dakle, nakon proučavanja formula predstavljenih u članku, nećete imati problema s pronalaženjem površine trokuta bilo koje vrste.

Instrukcije

Zabave a uglovi se smatraju osnovnim elementima A. Trokut je u potpunosti definiran bilo kojim od njegovih sljedećih osnovnih elemenata: ili tri strane, ili jedna stranica i dva ugla, ili dvije stranice i ugao između njih. Za postojanje trougao dato sa tri strane a, b, c, neophodno je i dovoljno da se zadovolje nejednakosti koje se nazivaju nejednakosti trougao:
a+b > c,
a+c > b,
b+c > a.

Za gradnju trougao na tri strane a, b, c, potrebno je iz tačke C segmenta CB = a šestarom nacrtati krug poluprečnika b. Zatim, na isti način, nacrtajte kružnicu iz tačke B sa poluprečnikom jednakim strani c. Njihova tačka preseka A je treći vrh željenog trougao ABC, gdje je AB=c, CB=a, CA=b - strane trougao. Problem ima , Ako strane a, b, c, zadovoljavaju nejednakosti trougao navedeno u koraku 1.

Ovako izgrađena površina S trougao ABC sa poznatim stranicama a, b, c izračunava se pomoću Heronove formule:
S=v(p(p-a)(p-b)(p-c)),
gdje su a, b, c stranice trougao, p – poluperimetar.
p = (a+b+c)/2

Ako je trokut jednakostraničan, to jest, sve su mu stranice jednake (a=b=c). trougao izračunato po formuli:
S=(a^2 v3)/4

Ako je trokut pravougao, odnosno jedan od njegovih uglova jednak je 90°, a stranice koje ga tvore su kraci, treća stranica je hipotenuza. U ovom slučaju kvadrat jednak je proizvodu nogu podijeljen sa dva.
S=ab/2

Naći kvadrat trougao, možete koristiti jednu od mnogih formula. Odaberite formulu ovisno o tome koji su podaci već poznati.

Trebaće ti

• poznavanje formula za pronalaženje površine trokuta

Instrukcije

Ako znate veličinu jedne od stranica i vrijednost visine spuštene na ovu stranu iz ugla suprotnog njoj, tada možete pronaći površinu koristeći sljedeće: S = a*h/2, gdje je S površina trokuta, a je jedna od stranica trokuta, a h - visina, na stranu a.

Poznata je metoda za određivanje površine trokuta ako su poznate njegove tri strane. To je Heronova formula. Da bi se pojednostavilo njegovo snimanje, uvodi se srednja vrijednost - poluperimetar: p = (a+b+c)/2, gdje je a, b, c - . Tada je Heronova formula sljedeća: S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^½, ^ eksponencijacija.

Pretpostavimo da poznajete jednu od stranica trougla i tri ugla. Tada je lako pronaći površinu trokuta: S = a²sinα sinγ / (2sinβ), gdje je β ugao nasuprot stranice a, a α i γ su uglovi susjedni strani.

Video na temu

Bilješka

Najopštija formula koja je prikladna za sve slučajeve je Heronova formula.

Izvori:

Savjet 3: Kako pronaći površinu trokuta na osnovu tri strane

Pronalaženje površine trokuta jedan je od najčešćih problema u školskoj planimetriji. Poznavanje tri strane trokuta je dovoljno za određivanje površine bilo kojeg trokuta. U posebnim slučajevima jednakostraničnih trouglova, dovoljno je znati dužine dvije, odnosno jedne stranice.

Trebaće ti

• dužine stranica trouglova, Heronova formula, kosinusni teorem

Instrukcije

Heronova formula za površinu trokuta je sljedeća: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Ako zapišemo poluperimetar p, dobijamo: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c) )/2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

Možete izvesti formulu za površinu trokuta iz razmatranja, na primjer, primjenom teoreme kosinusa.

Prema kosinusnom teoremu, AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). Koristeći uvedene notacije, one se takođe mogu napisati u obliku: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). Dakle, cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

Površina trokuta se također nalazi po formuli S = a*c*sin(ABC)/2 koristeći dvije stranice i ugao između njih. Sinus ugla ABC se može izraziti kroz njega koristeći osnovni trigonometrijski identitet: sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2). Zamjenom sinusa u formulu za površinu i ispisivanjem , možete doći do formule za površinu trokuta ABC.

Video na temu

Da biste izvršili popravke, možda će biti potrebno izmjeriti kvadrat zidovi To olakšava izračunavanje potrebne količine boje ili tapeta. Za mjerenja je najbolje koristiti mjernu traku ili mjernu traku. Merenja treba izvršiti nakon toga zidovi bili su izravnani.

Trebaće ti

• -rulet;
• -merdevine.

Instrukcije

Brojati kvadrat zidova, morate znati tačnu visinu plafona, a također izmjeriti dužinu duž poda. To se radi na sljedeći način: uzmite centimetar i položite ga preko postolja. Obično centimetar nije dovoljan za cijelu dužinu, pa ga pričvrstite u kut, a zatim ga odmotajte do maksimalne dužine. U ovom trenutku olovkom stavite oznaku, zapišite dobijeni rezultat i izvršite daljnja mjerenja na isti način, počevši od posljednje točke mjerenja.

Standardni stropovi su 2 metra 80 centimetara, 3 metra i 3 metra 20 centimetara, ovisno o kući. Ako je kuća izgrađena prije 50-ih godina, tada je najvjerovatnije stvarna visina nešto niža od naznačene. Ako kalkulišete kvadrat za popravke, onda mala zaliha neće škoditi - razmotrite na osnovu standarda. Ako još uvijek trebate znati pravu visinu, izvršite mjerenja. Princip je sličan mjerenju dužine, ali će vam trebati ljestve.

Pomnožite rezultirajuće pokazatelje - to je kvadrat tvoj zidovi. Istina, prilikom slikanja ili za slikanje potrebno je oduzeti kvadrat otvori za vrata i prozore. Da biste to učinili, položite centimetar duž otvora. Ako govorimo o vratima koja ćete naknadno promijeniti, nastavite s uklanjanjem okvira vrata, uzimajući u obzir samo kvadrat direktno na sam otvor. Površina prozora izračunava se duž perimetra njegovog okvira. Poslije kvadrat Izračunati prozor i vrata, oduzmite rezultat od ukupne rezultirajuće površine prostorije.

Imajte na umu da mjerenje dužine i širine prostorije provode dvije osobe, što olakšava fiksiranje centimetra ili trake i, u skladu s tim, dobivanje preciznijeg rezultata. Izvedite isto mjerenje nekoliko puta kako biste bili sigurni da su brojevi koje dobijete tačni.

Video na temu

Pronalaženje zapremine trougla je zaista netrivijalan zadatak. Činjenica je da je trokut dvodimenzionalna figura, tj. leži u potpunosti u jednoj ravni, što znači da jednostavno nema zapreminu. Naravno, ne možete pronaći nešto što ne postoji. Ali nemojmo odustati! Možemo prihvatiti sljedeću pretpostavku: volumen dvodimenzionalne figure je njena površina. Tražićemo površinu trougla.

Trebaće ti

• list papira, olovka, ravnalo, kalkulator

Instrukcije

Nacrtajte na komad papira pomoću ravnala i olovke. Pažljivim ispitivanjem trougla možete se uvjeriti da on zaista nema trokut, jer je nacrtan na ravni. Označite stranice trougla: neka jedna strana bude strana "a", druga strana "b", a treća strana "c". Označite vrhove trougla slovima "A", "B" i "C".

Izmjerite bilo koju stranu trokuta ravnalom i zapišite rezultat. Nakon toga, vratite okomicu na izmjerenu stranu od vrha nasuprot njoj, takva okomica će biti visina trokuta. U slučaju prikazanom na slici, okomita "h" se vraća na stranu "c" iz vrha "A". Izmjerite rezultujuću visinu ravnalom i zapišite rezultat mjerenja.

Možda će vam biti teško vratiti tačnu okomicu. U ovom slučaju, trebali biste koristiti drugu formulu. Izmjerite sve strane trougla pomoću ravnala. Nakon toga izračunajte poluperimetar trokuta "p" dodavanjem rezultirajućih dužina stranica i dijeljenjem njihovog zbroja na pola. Imajući na raspolaganju vrijednost poluperimetra, možete koristiti Heronovu formulu. Da biste to učinili, morate uzeti kvadratni korijen sljedećeg: p(p-a)(p-b)(p-c).

Dobili ste potrebnu površinu trokuta. Problem nalaženja zapremine trougla nije rešen, ali kao što je već pomenuto, zapremina nije. Možete pronaći volumen koji je u suštini trokut u trodimenzionalnom svijetu. Ako zamislimo da je naš originalni trokut postao trodimenzionalna piramida, tada će volumen takve piramide biti proizvod dužine njene osnove na površinu trokuta koji smo dobili.

Bilješka

Što pažljivije mjerite, to će vaši proračuni biti precizniji.

Izvori:

• Kalkulator “Sve za sve” - portal za referentne vrijednosti
• volumen trougla u 2019

Tri tačke koje jedinstveno definišu trougao u Dekartovom koordinatnom sistemu su njegovi vrhovi. Znajući njihov položaj u odnosu na svaku od koordinatnih osa, možete izračunati sve parametre ove ravne figure, uključujući one ograničene njenim perimetrom kvadrat. To se može učiniti na nekoliko načina.

Instrukcije

Koristite Heronovu formulu za izračunavanje površine trougao. Uključuje dimenzije tri strane figure, pa počnite svoje proračune sa . Dužina svake strane mora biti jednaka korijenu zbira kvadrata dužina njenih projekcija na koordinatne ose. Ako označimo koordinate A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) i C(X₃,Y₃,Z₃), dužine njihovih stranica mogu se izraziti na sljedeći način: AB = √((X₁- X₂)² + (Y₁ -Y₂)² + (Z₁-Z₂)²), BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²), AC = √(( X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²).

Da biste pojednostavili proračune, uvedite pomoćnu varijablu - poluperimetar (P). Iz činjenice da je ovo polovina zbira dužina svih strana: P = ½*(AB+BC+AC) = ½*(√((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁-) Z₂)²) + √ ((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) + √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃) ²).

Da biste odredili površinu trokuta, možete koristiti različite formule. Od svih metoda, najlakši i najčešće korišteni je pomnožiti visinu s dužinom baze, a zatim podijeliti rezultat s dva. Međutim, ova metoda je daleko od jedine. U nastavku možete pročitati kako pronaći površinu trokuta koristeći različite formule.

Zasebno ćemo pogledati načine izračunavanja površine određenih vrsta trokuta - pravokutnih, jednakokračnih i jednakostraničnih. Svaku formulu pratimo kratkim objašnjenjem koje će vam pomoći da shvatite njenu suštinu.

Univerzalne metode za pronalaženje površine trokuta

Formule u nastavku koriste posebne oznake. Dešifrovaćemo svaki od njih:

• a, b, c – dužine tri strane figure koju razmatramo;
• r je polumjer kružnice koja se može upisati u naš trokut;
• R je poluprečnik kruga koji se može opisati oko njega;
• α je veličina ugla kojeg čine stranice b i c;
• β je veličina ugla između a i c;
• γ je veličina ugla kojeg čine stranice a i b;
• h je visina našeg trougla, spuštenog od ugla α na stranu a;
• p – polovina zbira stranica a, b i c.

Logički je jasno zašto na ovaj način možete pronaći površinu trokuta. Trokut se lako može upotpuniti u paralelogram, u kojem će jedna strana trokuta djelovati kao dijagonala. Područje paralelograma nalazi se množenjem dužine jedne od njegovih stranica sa vrijednošću visine koja mu se povlači. Dijagonala dijeli ovaj uslovni paralelogram na 2 identična trougla. Stoga je sasvim očito da površina našeg originalnog trokuta mora biti jednaka polovini površine ovog pomoćnog paralelograma.

S=½ a b sin γ

Prema ovoj formuli, površina trokuta se nalazi množenjem dužina njegovih dviju stranica, odnosno a i b, sa sinusom ugla koji oni formiraju. Ova formula je logično izvedena iz prethodne. Ako spustimo visinu od ugla β na stranicu b, onda, prema svojstvima pravouglog trokuta, kada pomnožimo dužinu stranice a sa sinusom ugla γ, dobijamo visinu trokuta, odnosno h .

Površina dotične figure nalazi se množenjem polovine polumjera kruga koji se u njega može upisati njegovim perimetrom. Drugim riječima, nalazimo proizvod poluperimetra i poluprečnika spomenute kružnice.

S= a b c/4R

Prema ovoj formuli, vrijednost koja nam je potrebna može se naći dijeljenjem proizvoda stranica figure sa 4 polumjera kruga opisanog oko njega.

Ove formule su univerzalne, jer omogućavaju određivanje površine bilo kojeg trokuta (skalena, jednakokračna, jednakostranična, pravokutna). To se može učiniti pomoću složenijih proračuna, na kojima se nećemo detaljno zadržavati.

Površine trouglova sa specifičnim svojstvima

Kako pronaći površinu pravokutnog trokuta? Posebnost ove figure je da su njene dvije strane istovremeno njene visine. Ako su a i b noge, a c postane hipotenuza, tada nalazimo površinu ovako:

Kako pronaći površinu jednakokračnog trougla? Ima dvije strane dužine a i jednu stranu dužine b. Prema tome, njegova površina se može odrediti dijeljenjem proizvoda kvadrata stranice a sa sinusom ugla γ sa 2.

Kako pronaći površinu jednakostraničnog trougla? U njemu je dužina svih stranica jednaka a, a veličina svih uglova je α. Njegova visina jednaka je polovini umnoška dužine stranice a i kvadratnog korijena od 3. Da biste pronašli površinu pravilnog trokuta, trebate kvadrat stranice a pomnožiti s kvadratnim korijenom od 3 i podijeliti sa 4.

Povratak