Vrsta posla: 7
Stanje
Prava linija y=3x+2 tangenta je na grafik funkcije y=-12x^2+bx-10. Naći b, s obzirom da je apscisa tačke tangente manja od nule.
Pokaži rješenjeRješenje
Neka je x_0 apscisa tačke na grafu funkcije y=-12x^2+bx-10 kroz koju prolazi tangenta na ovaj graf.
Vrijednost derivacije u tački x_0 jednaka je nagibu tangente, odnosno y"(x_0)=-24x_0+b=3. S druge strane, tačka tangentnosti pripada istovremeno oba grafika funkcija i tangenta, odnosno -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. Dobijamo sistem jednadžbi \begin(slučajevi) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end (slučajevi)
Rješavajući ovaj sistem, dobijamo x_0^2=1, što znači ili x_0=-1 ili x_0=1. Prema uslovu apscise, tangente su manje od nule, pa je x_0=-1, zatim b=3+24x_0=-21.
Odgovori
Vrsta posla: 7
Tema: Geometrijsko značenje izvedenica. Tangenta na graf funkcije
Stanje
Prava linija y=-3x+4 je paralelna sa tangentom na graf funkcije y=-x^2+5x-7. Pronađite apscisu tangentne tačke.
Pokaži rješenjeRješenje
Ugaoni koeficijent prave linije na graf funkcije y=-x^2+5x-7 u proizvoljnoj tački x_0 jednak je y"(x_0). Ali y"=-2x+5, što znači y" (x_0)=-2x_0+5. Ugaoni koeficijent prave y=-3x+4 specificiran u uslovu je jednak -3. Paralelne prave imaju iste koeficijente nagiba. Stoga nalazimo vrijednost x_0 takvu da je =- 2x_0 +5=-3.
Dobijamo: x_0 = 4.
Odgovori
Izvor: „Matematika. Priprema za Jedinstveni državni ispit 2017. Nivo profila." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.
Vrsta posla: 7
Tema: Geometrijsko značenje izvedenica. Tangenta na graf funkcije
Stanje
Pokaži rješenjeRješenje
Sa slike utvrđujemo da tangenta prolazi kroz tačke A(-6; 2) i B(-1; 1). Označimo sa C(-6; 1) tačku preseka pravih x=-6 i y=1, a sa \alpha ugao ABC (na slici možete videti da je oštar). Tada prava linija AB formira ugao \pi -\alpha sa pozitivnim smjerom ose Ox, koja je tupa.
Kao što je poznato, tg(\pi -\alpha) će biti vrijednost derivacije funkcije f(x) u tački x_0. primeti, to tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15. Odavde, koristeći formule redukcije, dobijamo: tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0.2.
Odgovori
Izvor: „Matematika. Priprema za Jedinstveni državni ispit 2017. Nivo profila." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.
Vrsta posla: 7
Tema: Geometrijsko značenje izvedenica. Tangenta na graf funkcije
Stanje
Prava linija y=-2x-4 tangenta je na grafik funkcije y=16x^2+bx+12. Naći b, s obzirom da je apscisa tačke tangente veća od nule.
Pokaži rješenjeRješenje
Neka je x_0 apscisa tačke na grafu funkcije y=16x^2+bx+12 kroz koju
je tangenta na ovaj graf.
Vrijednost derivacije u tački x_0 jednaka je nagibu tangente, odnosno y"(x_0)=32x_0+b=-2. S druge strane, tačka tangente pripada istovremeno oba grafika funkcija i tangenta, odnosno 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 Dobijamo sistem jednadžbi \begin(slučajevi) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \end(slučajevi)
Rješavajući sistem, dobijamo x_0^2=1, što znači ili x_0=-1 ili x_0=1. Prema uslovu apscise, tangente su veće od nule, pa je x_0=1, zatim b=-2-32x_0=-34.
Odgovori
Izvor: „Matematika. Priprema za Jedinstveni državni ispit 2017. Nivo profila." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.
Vrsta posla: 7
Tema: Geometrijsko značenje izvedenica. Tangenta na graf funkcije
Stanje
Na slici je prikazan grafik funkcije y=f(x), definirane na intervalu (-2; 8). Odrediti broj tačaka u kojima je tangenta na graf funkcije paralelna pravoj liniji y=6.
Rješenje
Prava linija y=6 je paralelna sa Ox osom. Dakle, nalazimo tačke u kojima je tangenta na graf funkcije paralelna sa Ox osom. Na ovom grafikonu takve tačke su tačke ekstrema (maksimalne ili minimalne tačke). Kao što vidite, postoje 4 ekstremne tačke.
Odgovori
Izvor: „Matematika. Priprema za Jedinstveni državni ispit 2017. Nivo profila." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.
Vrsta posla: 7
Tema: Geometrijsko značenje izvedenica. Tangenta na graf funkcije
Stanje
Prava y=4x-6 je paralelna sa tangentom na graf funkcije y=x^2-4x+9. Pronađite apscisu tangentne tačke.
Pokaži rješenjeRješenje
Nagib tangente na graf funkcije y=x^2-4x+9 u proizvoljnoj tački x_0 jednak je y"(x_0). Ali y"=2x-4, što znači y"(x_0)= 2x_0-4 Nagib tangente y =4x-7, specificiran u uslovu, jednak je 4. Paralelne prave imaju iste ugaone koeficijente. Dakle, nalazimo vrijednost x_0 takvu da je 2x_0-4 = 4. dobiti: x_0 = 4.
Odgovori
Izvor: „Matematika. Priprema za Jedinstveni državni ispit 2017. Nivo profila." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.
Vrsta posla: 7
Tema: Geometrijsko značenje izvedenica. Tangenta na graf funkcije
Stanje
Na slici je prikazan graf funkcije y=f(x) i tangente na nju u tački sa apscisom x_0. Pronađite vrijednost derivacije funkcije f(x) u tački x_0.
Rješenje
Sa slike utvrđujemo da tangenta prolazi kroz tačke A(1; 1) i B(5; 4). Označimo sa C(5; 1) tačku preseka pravih x=5 i y=1, a sa \alpha ugao BAC (na slici možete videti da je oštar). Tada prava linija AB formira ugao \alpha sa pozitivnim smjerom ose Ox.
Instrukcije
Određujemo ugaoni koeficijent tangente na krivu u tački M.
Kriva koja predstavlja graf funkcije y = f(x) je kontinuirana u određenoj okolini tačke M (uključujući i samu tačku M).
Ako vrijednost f‘(x0) ne postoji, onda ili nema tangente, ili ide okomito. S obzirom na to, prisustvo derivacije funkcije u tački x0 je zbog postojanja nevertikalne tangente tangente na graf funkcije u tački (x0, f(x0)). U ovom slučaju, kutni koeficijent tangente će biti jednak f "(x0). Dakle, geometrijsko značenje derivacije postaje jasno - izračunavanje kutnog koeficijenta tangente.
Pronađite vrijednost apscise tangentne tačke, koja je označena slovom "a". Ako se poklapa sa datom tačkom tangente, tada će "a" biti njena x-koordinata. Odredite vrijednost funkcije f(a) zamjenom u jednadžbi funkcije vrijednost apscise.
Odrediti prvi izvod jednačine funkcije f’(x) i u njega ubaciti vrijednost tačke “a”.
Uzmite opštu tangentnu jednadžbu, koja je definisana kao y = f(a) = f (a)(x – a), i u nju zamenite pronađene vrednosti a, f(a), f"(a). Kao rezultat, rješenje grafa će biti pronađeno i tangentno.
Riješite problem na drugačiji način ako se data tačka tangente ne poklapa sa tačkom tangente. U ovom slučaju, potrebno je zamijeniti „a” umjesto brojeva u jednadžbi tangente. Nakon toga, umjesto slova “x” i “y”, zamijenite vrijednost koordinata date tačke. Riješi rezultirajuću jednačinu u kojoj je "a" nepoznata. Utaknite rezultirajuću vrijednost u jednadžbu tangente.
Napišite jednadžbu za tangentu sa slovom “a” ako je u iskazu problema navedena jednačina funkcije i jednadžba paralelne prave u odnosu na željenu tangentu. Nakon ovoga trebamo derivat funkcije
Video lekcija "Jednačina tangente na graf funkcije" prikazuje edukativni materijal za savladavanje teme. Tokom video lekcije opisan je teorijski materijal potreban za formulisanje koncepta jednadžbe tangente na graf funkcije u datoj tački, algoritam za pronalaženje takve tangente i primjeri rješavanja problema korištenjem proučavanog teorijskog materijala. .
Video tutorijal koristi metode koje poboljšavaju jasnoću materijala. Prezentacija sadrži crteže, dijagrame, važne glasovne komentare, animacije, isticanje i druge alate.
Video lekcija počinje prezentacijom teme lekcije i slikom tangente na graf neke funkcije y=f(x) u tački M(a;f(a)). Poznato je da je ugaoni koeficijent tangente ucrtane na graf u datoj tački jednak izvodu funkcije f΄(a) u ovoj tački. Takođe iz kursa algebre znamo jednačinu prave y=kx+m. Šematski je prikazano rješenje problema nalaženja tangentne jednačine u tački, što se svodi na nalaženje koeficijenata k, m. Poznavajući koordinate tačke koja pripada grafu funkcije, možemo pronaći m zamjenom vrijednosti koordinata u tangentnu jednačinu f(a)=ka+m. Iz njega nalazimo m=f(a)-ka. Dakle, znajući vrijednost derivacije u datoj tački i koordinate tačke, tangentnu jednačinu možemo predstaviti na ovaj način y=f(a)+f΄(a)(x-a).
Sljedeći je primjer sastavljanja tangentne jednadžbe prema dijagramu. Zadata funkcija y=x 2 , x=-2. Uzimajući a=-2, nalazimo vrijednost funkcije u datoj tački f(a)= f(-2)=(-2) 2 =4. Određujemo derivaciju funkcije f΄(x)=2x. U ovoj tački derivacija je jednaka f΄(a)= f΄(-2)=2·(-2)=-4. Za sastavljanje jednačine pronađeni su svi koeficijenti a=-2, f(a)=4, f΄(a)=-4, tako da je tangentna jednačina y=4+(-4)(x+2). Pojednostavljujući jednačinu, dobijamo y = -4-4x.
Sljedeći primjer sugerira konstruiranje jednadžbe za tangentu u početku na graf funkcije y=tgx. U datoj tački a=0, f(0)=0, f΄(x)=1/cos 2 x, f΄(0)=1. Dakle, jednačina tangente izgleda kao y=x.
Kao generalizaciju, proces sastavljanja jednadžbe tangente na graf funkcije u određenoj tački je formaliziran u obliku algoritma koji se sastoji od 4 koraka:
- Unesite oznaku a za apscisu tačke tangente;
- f(a) se izračunava;
- Određuje se f΄(x) i izračunava se f΄(a). Pronađene vrijednosti a, f(a), f΄(a) se supstituiraju u formulu tangentne jednačine y=f(a)+f΄(a)(x-a).
Primjer 1 razmatra sastavljanje tangentne jednadžbe na graf funkcije y=1/x u tački x=1. Za rješavanje problema koristimo algoritam. Za datu funkciju u tački a=1, vrijednost funkcije f(a)=-1. Derivat funkcije f΄(x)=1/x 2. U tački a=1 derivacija f΄(a)= f΄(1)=1. Koristeći dobijene podatke, sastavlja se tangentna jednačina y=-1+(x-1), odnosno y=x-2.
U primjeru 2 potrebno je pronaći jednadžbu tangente na graf funkcije y=x 3 +3x 2 -2x-2. Glavni uslov je paralelnost tangente i prave linije y=-2x+1. Prvo, nalazimo ugaoni koeficijent tangente, jednak ugaonom koeficijentu prave linije y=-2x+1. Pošto je f΄(a)=-2 za datu pravu, onda je k=-2 za željenu tangentu. Nalazimo derivaciju funkcije (x 3 +3x 2 -2x-2)΄=3x 2 +6x-2. Znajući da je f΄(a)=-2, nalazimo koordinate tačke 3a 2 +6a-2=-2. Nakon što smo riješili jednačinu, dobijamo a 1 =0, a 2 =-2. Koristeći pronađene koordinate, možete pronaći jednadžbu tangente pomoću dobro poznatog algoritma. Nalazimo vrijednost funkcije u tačkama f(a 1)=-2, f(a 2)=-18. Vrijednost derivacije u tački f΄(a 1)= f΄(a 2)=-2. Zamjenom pronađenih vrijednosti u tangentnu jednačinu dobijamo za prvu tačku a 1 =0 y=-2x-2, a za drugu tačku a 2 =-2 tangentnu jednačinu y=-2x-22.
Primjer 3 opisuje sastav jednadžbe tangente za njeno crtanje u tački (0;3) na grafiku funkcije y=√x. Rješenje je napravljeno pomoću dobro poznatog algoritma. Tačka tangente ima koordinate x=a, gdje je a>0. Vrijednost funkcije u tački f(a)=√x. Derivat funkcije f΄(h)=1/2√h, dakle u datoj tački f΄(a)=1/2√a. Zamjenom svih dobijenih vrijednosti u tangentnu jednačinu, dobijamo y = √a + (x-a)/2√a. Transformisanjem jednačine dobijamo y=x/2√a+√a/2. Znajući da tangenta prolazi kroz tačku (0;3), nalazimo vrijednost a. Nalazimo a iz 3=√a/2. Dakle, √a=6, a=36. Pronalazimo tangentnu jednačinu y=x/12+3. Na slici je prikazan graf razmatrane funkcije i konstruisana željena tangenta.
Učenici se podsjećaju na približne jednakosti Δy=≈f΄(x)Δx i f(x+Δx)-f(x)≈f΄(x)Δx. Uzimajući x=a, x+Δx=x, Δx=x-a, dobijamo f(x)- f(a)≈f΄(a)(x-a), dakle f(x)≈f(a)+ f΄( a)(x-a).
U primjeru 4 potrebno je pronaći približnu vrijednost izraza 2,003 6. Pošto je potrebno pronaći vrijednost funkcije f(x)=x 6 u tački x=2.003, možemo koristiti dobro poznatu formulu, uzimajući f(x)=x 6, a=2, f(a )= f(2)=64, f ΄(x)=6x 5. Derivat u tački f΄(2)=192. Dakle, 2,003 6 ≈65-192·0,003. Kada smo izračunali izraz, dobijamo 2,003 6 ≈64,576.
Video lekcija “Jednačina tangente na graf funkcije” preporučuje se za korištenje u tradicionalnoj lekciji matematike u školi. Za nastavnika koji predaje na daljinu, video materijal će pomoći da se jasnije objasni tema. Video se može preporučiti učenicima da samostalno pregledaju ako je potrebno kako bi produbili svoje razumijevanje predmeta.
DEKODIRANJE TEKSTA:
Znamo da ako tačka M (a; f(a)) (em sa koordinatama a i ef iz a) pripada grafu funkcije y = f (x) i ako je u ovoj tački moguće povući tangentu na graf funkcije koji nije okomit na apscisu ose, tada je ugaoni koeficijent tangente jednak f"(a) (eff prost iz a).
Neka su data funkcija y = f(x) i tačka M (a; f(a)), a poznato je i da f´(a) postoji. Napravimo jednačinu za tangentu na graf date funkcije u datoj tački. Ova jednadžba, kao i jednadžba bilo koje prave linije koja nije paralelna s ordinatnom osom, ima oblik y = kx+m (y je jednako ka x plus em), tako da je zadatak pronaći vrijednosti koeficijenti k i m (ka i em)
Koeficijent ugla k= f"(a). Za izračunavanje vrijednosti m koristimo činjenicu da željena prava linija prolazi kroz tačku M(a; f (a)). To znači da ako zamijenimo koordinate tačke M u jednačinu prave, dobijamo tačnu jednakost: f(a) = ka+m, odakle nalazimo da je m = f(a) - ka.
Ostaje zamijeniti pronađene vrijednosti koeficijenata ki i m u jednadžbu prave linije:
y = kx+(f(a) -ka);
y = f(a)+k(x-a);
y= f(a)+ f"(a) (x- a). ( y je jednako ef iz plus ef prostog broja iz a, pomnoženo sa x minus a).
Dobili smo jednadžbu za tangentu na graf funkcije y = f(x) u tački x=a.
Ako je, recimo, y = x 2 i x = -2 (tj. a = -2), onda je f (a) = f (-2) = (-2) 2 = 4; f´(x) = 2x, što znači f"(a) = f´(-2) = 2·(-2) = -4. (tada je ef od a jednak četiri, ef od prostog broja x je jednako dva x, što znači da je ef prosto iz a jednako minus četiri)
Zamjenom pronađenih vrijednosti a = -2, f(a) = 4, f"(a) = -4 u jednačinu dobijamo: y = 4+(-4)(x+2), tj. y = -4x -4.
(E je jednako minus četiri x minus četiri)
Napravimo jednačinu za tangentu na graf funkcije y = tanx (y je jednako tangenti x) u početku. Imamo: a = 0, f(0) = tan0=0;
f"(x)= , što znači f"(0) = l. Zamjenom pronađenih vrijednosti a=0, f(a)=0, f´(a) = 1 u jednačinu dobijamo: y=x.
Hajde da sumiramo naše korake u pronalaženju jednadžbe tangente na graf funkcije u tački x koristeći algoritam.
ALGORITAM ZA RAZVOJ JEDNAČINE ZA TANGENTU NA GRAFIK FUNKCIJE y = f(x):
1) Označite apscisu tačke tangente slovom a.
2) Izračunajte f(a).
3) Pronađite f´(x) i izračunajte f´(a).
4) Zamijenite pronađene brojeve a, f(a), f´(a) u formulu y= f(a)+ f"(a) (x- a).
Primjer 1. Napraviti jednadžbu za tangentu na graf funkcije y = - in
tačka x = 1.
Rješenje. Koristimo algoritam, uzimajući u obzir to u ovom primjeru
2) f(a)=f(1)=- =-1
3) f´(x)=; f´(a)= f´(1)= =1.
4) Pronađena tri broja: a = 1, f(a) = -1, f"(a) = 1 zamijenimo u formulu. Dobijamo: y = -1+(x-1), y = x-2 .
Odgovor: y = x-2.
Primjer 2. Zadata je funkcija y = x 3 +3x 2 -2x-2. Zapišite jednadžbu tangente na graf funkcije y = f(x), paralelnu pravoj liniji y = -2x +1.
Koristeći algoritam za sastavljanje tangentne jednadžbe, uzimamo u obzir da je u ovom primjeru f(x) = x 3 +3x 2 -2x-2, ali apscisa tačke tangente ovdje nije naznačena.
Hajde da počnemo da razmišljamo ovako. Željena tangenta mora biti paralelna pravoj liniji y = -2x+1. I paralelne prave imaju jednake ugaone koeficijente. To znači da je ugaoni koeficijent tangente jednak ugaonom koeficijentu date prave linije: k tangente. = -2. Hok cas. = f"(a). Dakle, možemo pronaći vrijednost a iz jednačine f´(a) = -2.
Nađimo derivaciju funkcije y=f(x):
f"(x)= (x 3 +3x 2 -2x-2)´ =3x 2 +6x-2;f"(a)= 3a 2 +6a-2.
Iz jednačine f"(a) = -2, tj. 3a 2 +6a-2=-2 nalazimo a 1 =0, a 2 =-2. To znači da postoje dvije tangente koje zadovoljavaju uslove problema: jedna u tački sa apscisom 0, druga u tački sa apscisom -2.
Sada možete pratiti algoritam.
1) a 1 =0, i 2 =-2.
2) f(a 1)= 0 3 +3·0 2 -2∙0-2=-2; f(a 2)= (-2) 3 +3·(-2) 2 -2·(-2)-2=6;
3) f"(a 1) = f"(a 2) = -2.
4) Zamjenom vrijednosti a 1 = 0, f(a 1) = -2, f"(a 1) = -2 u formulu, dobijamo:
y=-2-2(x-0), y=-2x-2.
Zamjenom vrijednosti a 2 = -2, f(a 2) =6, f"(a 2) = -2 u formulu, dobijamo:
y=6-2(x+2), y=-2x+2.
Odgovor: y=-2x-2, y=-2x+2.
Primjer 3. Iz tačke (0; 3) povući tangentu na graf funkcije y = . Rješenje. Koristimo algoritam za sastavljanje tangentne jednačine, uzimajući u obzir da je u ovom primjeru f(x) = . Imajte na umu da ovdje, kao u primjeru 2, apscisa tačke tangente nije eksplicitno naznačena. Ipak, slijedimo algoritam.
1) Neka je x = a apscisa tačke dodira; jasno je da je a >0.
3) f´(x)=()´=; f´(a) =.
4) Zamjena vrijednosti a, f(a) = , f"(a) = u formulu
y=f (a) +f "(a) (x-a), dobijamo:
Po uslovu, tangenta prolazi kroz tačku (0; 3). Zamjenom vrijednosti x = 0, y = 3 u jednadžbu dobijamo: 3 = , a zatim =6, a =36.
Kao što vidite, u ovom primjeru, tek u četvrtom koraku algoritma uspjeli smo pronaći apscisu tačke tangente. Zamjenom vrijednosti a =36 u jednačinu dobijamo: y=+3
Na sl. Na slici 1 prikazana je geometrijska ilustracija razmatranog primjera: konstruiran je grafik funkcije y =, nacrtana je prava linija y = +3.
Odgovor: y = +3.
Znamo da za funkciju y = f(x), koja ima derivaciju u tački x, vrijedi približna jednakost: Δyf´(x)Δx (delta y je približno jednak eff prostom broju x pomnoženom sa delta x)
ili, detaljnije, f(x+Δx)-f(x) f´(x) Δx (eff od x plus delta x minus ef od x je približno jednako ef prosto od x sa delta x).
Radi pogodnosti dalje rasprave, promijenimo notaciju:
umjesto x pisaćemo A,
umjesto x+Δx pisaćemo x
Umjesto Δx pisaćemo x-a.
Tada će približna jednakost koja je gore napisana poprimiti oblik:
f(x)-f(a)f´(a)(x-a)
f(x)f(a)+f´(a)(x-a). (eff iz x je približno jednak ef iz plus ef proste iz a, pomnoženo sa razlikom između x i a).
Primjer 4. Pronađite približnu vrijednost brojevnog izraza 2,003 6.
Rješenje. Govorimo o pronalaženju vrijednosti funkcije y = x 6 u tački x = 2,003. Koristimo formulu f(x)f(a)+f´(a)(x-a), uzimajući u obzir da je u ovom primjeru f(x)=x 6, a = 2,f(a) = f(2) = 2 6 =64; x = 2,003, f"(x) = 6x 5 i, prema tome, f"(a) = f"(2) = 6 2 5 =192.
Kao rezultat dobijamo:
2,003 6 64+192· 0,003, tj. 2.003 6 =64.576.
Ako koristimo kalkulator, dobijamo:
2,003 6 = 64,5781643...
Kao što vidite, tačnost aproksimacije je sasvim prihvatljiva.
Primjer 1. Zadata funkcija f(x) = 3x 2 + 4x– 5. Napišimo jednadžbu tangente na graf funkcije f(x) u tački grafikona sa apscisom x 0 = 1.
Rješenje. Derivat funkcije f(x) postoji za bilo koji x R . Hajde da je nađemo:
= (3x 2 + 4x– 5)′ = 6 x + 4.
Onda f(x 0) = f(1) = 2; (x 0) = = 10. Tangentna jednadžba ima oblik:
y = (x 0) (x – x 0) + f(x 0),
y = 10(x – 1) + 2,
y = 10x – 8.
Odgovori. y = 10x – 8.
Primjer 2. Zadata funkcija f(x) = x 3 – 3x 2 + 2x+ 5. Napišimo jednadžbu tangente na graf funkcije f(x), paralelno sa pravom y = 2x – 11.
Rješenje. Derivat funkcije f(x) postoji za bilo koji x R . Hajde da je nađemo:
= (x 3 – 3x 2 + 2x+ 5)′ = 3 x 2 – 6x + 2.
Budući da je tangenta na graf funkcije f(x) u tački apscise x 0 je paralelno sa pravom y = 2x– 11, tada je njegov nagib jednak 2, tj. x 0) = 2. Nađimo ovu apscisu iz uslova da je 3 x– 6x 0 + 2 = 2. Ova jednakost vrijedi samo kada x 0 = 0 i at x 0 = 2. Pošto je u oba slučaja f(x 0) = 5, zatim ravno y = 2x + b dodiruje graf funkcije ili u tački (0; 5) ili u tački (2; 5).
U prvom slučaju je tačna numerička jednakost 5 = 2×0 + b, gdje b= 5, au drugom slučaju je tačna numerička jednakost 5 = 2×2 + b, gdje b = 1.
Dakle, postoje dvije tangente y = 2x+ 5 i y = 2x+ 1 na graf funkcije f(x), paralelno sa pravom y = 2x – 11.
Odgovori. y = 2x + 5, y = 2x + 1.
Primjer 3. Zadata funkcija f(x) = x 2 – 6x+ 7. Napišimo jednadžbu tangente na graf funkcije f(x), prolazeći kroz tačku A (2; –5).
Rješenje. Jer f(2) –5, zatim poen A ne pripada grafu funkcije f(x). Neka x 0 - apscisa tačke tangente.
Derivat funkcije f(x) postoji za bilo koji x R . Hajde da je nađemo:
= (x 2 – 6x+ 1)′ = 2 x – 6.
Onda f(x 0) = x– 6x 0 + 7; (x 0) = 2x 0 – 6. Tangentna jednačina ima oblik:
y = (2x 0 – 6)(x – x 0) + x– 6x+ 7,
y = (2x 0 – 6)x– x+ 7.
Od tačke A pripada tangenti, tada je numerička jednakost tačna
–5 = (2x 0 – 6)×2– x+ 7,
gdje x 0 = 0 ili x 0 = 4. To znači da kroz tačku A možete nacrtati dvije tangente na graf funkcije f(x).
Ako x 0 = 0, tada tangentna jednadžba ima oblik y = –6x+ 7. Ako x 0 = 4, tada tangentna jednačina ima oblik y = 2x – 9.
Odgovori. y = –6x + 7, y = 2x – 9.
Primjer 4. Date funkcije f(x) = x 2 – 2x+ 2 i g(x) = –x 2 – 3. Napišimo jednadžbu zajedničke tangente na grafove ovih funkcija.
Rješenje. Neka x 1 - apscisa tačke tangente željene linije sa grafikom funkcije f(x), A x 2 - apscisa tačke tangente iste prave sa grafikom funkcije g(x).
Derivat funkcije f(x) postoji za bilo koji x R . Hajde da je nađemo:
= (x 2 – 2x+ 2)′ = 2 x – 2.
Onda f(x 1) = x– 2x 1 + 2; (x 1) = 2x 1 – 2. Tangentna jednačina ima oblik:
y = (2x 1 – 2)(x – x 1) + x– 2x 1 + 2,
y = (2x 1 – 2)x – x+ 2. (1)
Nađimo derivaciju funkcije g(x):
= (–x 2 – 3)′ = –2 x.
U ovom članku ćemo analizirati sve vrste problema koje treba pronaći
Podsjetimo se geometrijsko značenje derivacije: ako je tangenta nacrtana na graf funkcije u nekoj tački, tada je koeficijent nagiba tangente (jednak tangenti kuta između tangente i pozitivnog smjera ose) jednak derivaciji funkcije u tački.
Uzmimo proizvoljnu tačku na tangenti sa koordinatama:
I razmislite o pravokutnom trokutu:
U ovom trouglu 
Odavde 
Ovo je jednadžba tangente povučene na graf funkcije u tački.
Da bismo napisali jednadžbu tangente, potrebno je samo znati jednadžbu funkcije i tačku u kojoj je tangenta nacrtana. Tada možemo pronaći i .
Postoje tri glavna tipa problema tangentnih jednačina.
1. Date kontaktnu tačku
2. Dat je koeficijent nagiba tangente, odnosno vrijednost derivacije funkcije u tački.
3. Date su koordinate tačke kroz koju je povučena tangenta, ali koja nije tačka tangente.
Pogledajmo svaku vrstu zadatka.
1 . Napišite jednadžbu tangente na graf funkcije 
u tački .
.
b) Pronađite vrijednost derivacije u tački . Prvo pronađimo derivaciju funkcije
Zamijenimo pronađene vrijednosti u tangentnu jednadžbu:
Otvorimo zagrade na desnoj strani jednačine. Dobijamo:
odgovor: .
2. Pronađite apscisu tačaka u kojima su funkcije tangente na graf 
paralelno sa x-osom.
Ako je tangenta paralelna sa x-osi, stoga je ugao između tangente i pozitivnog smjera ose nula, stoga je tangenta kuta tangente nula. To znači da je vrijednost derivacije funkcije na dodirnim tačkama je nula.
a) Naći derivaciju funkcije .
b) Izjednačimo derivaciju sa nulom i pronađemo vrijednosti u kojima je tangenta paralelna s osom:
Izjednačavajući svaki faktor sa nulom, dobijamo:
Odgovor: 0;3;5
3. Napišite jednadžbe za tangente na graf funkcije , paralelno ravno .
Tangenta je paralelna pravoj. Nagib ove linije je -1. Pošto je tangenta paralelna sa ovom pravom, nagib tangente je takođe -1. To je znamo nagib tangente, i, samim tim, vrijednost derivata u tački tangente.
Ovo je druga vrsta problema za pronalaženje tangentne jednačine.
Dakle, data nam je funkcija i vrijednost derivacije u tački tangente.
a) Pronađite tačke u kojima je derivacija funkcije jednaka -1.
Prvo, pronađimo jednačinu derivata.
Izjednačimo derivaciju sa brojem -1.
Nađimo vrijednost funkcije u tački.
(po stanju)
.
b) Pronađite jednadžbu tangente na graf funkcije u tački .
Nađimo vrijednost funkcije u tački.
(po stanju).
Zamijenimo ove vrijednosti u tangentnu jednadžbu:
.
odgovor:
4 . Napišite jednadžbu tangente na krivu , prolazeći kroz tačku
Prvo, hajde da proverimo da li je tačka tačka tangente. Ako je tačka tangentna tačka, tada pripada grafu funkcije, a njene koordinate moraju zadovoljiti jednadžbu funkcije. Zamenimo koordinate tačke u jednadžbu funkcije.
Title="1sqrt(8-3^2)">. Мы получили под корнем отрицательное число, равенство не верно, и точка не принадлежит графику функции и !} nije kontaktna tačka.
Ovo je posljednja vrsta problema za pronalaženje tangentne jednačine. Prva stvar moramo pronaći apscisu tačke tangente.
Hajde da nađemo vrednost.
Neka bude tačka kontakta. Tačka pripada tangenti na graf funkcije. Ako zamenimo koordinate ove tačke u tangentnu jednačinu, dobićemo tačnu jednakost:
.
Vrijednost funkcije u tački je 
.
Nađimo vrijednost derivacije funkcije u tački.
Prvo, pronađimo derivaciju funkcije. Ovo .
Izvod u tački je jednak 
.
Zamijenimo izraze za i u tangentnu jednadžbu. Dobijamo jednačinu za:
Hajde da riješimo ovu jednačinu.
Smanjite brojilac i imenilac razlomka za 2:
Dovedemo desnu stranu jednačine na zajednički nazivnik. Dobijamo:
Pojednostavimo brojilac razlomka i pomnožimo obje strane sa - ovaj izraz je striktno veći od nule.
Dobijamo jednačinu
Hajde da to rešimo. Da bismo to učinili, kvadriramo oba dijela i prijeđimo na sistem.
Title="delim(lbrace)(matrix(2)(1)((64-48(x_0)+9(x_0)^2=8-(x_0)^2) (8-3x_0>=0) ) ))( )">!}
Rešimo prvu jednačinu.
Rešimo kvadratnu jednačinu, dobijamo
Drugi korijen ne zadovoljava uslov title="8-3x_0>=0">, следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .!}
Napišimo jednačinu tangente na krivu u tački. Da biste to učinili, zamijenite vrijednost u jednadžbu 
- Već smo to snimili.
odgovor:
.