Sabiranje i oduzimanje razlomaka sa sličnim nazivnicima
Sabiranje i oduzimanje razlomaka sa različitim nazivnicima
Koncept NOC-a
Svođenje razlomaka na isti nazivnik
Kako sabrati cijeli broj i razlomak
1 Sabiranje i oduzimanje razlomaka sa sličnim nazivnicima
Da biste zbrojili razlomke s istim nazivnicima, morate dodati njihove brojnike, ali ostavite nazivnik isti, na primjer:
Da biste oduzeli razlomke s istim nazivnicima, potrebno je da oduzmete brojilac drugog razlomka od brojnika prvog razlomka, a nazivnik ostane isti, na primjer:
Da biste dodali mješovite razlomke, potrebno je posebno sabrati njihove cijele dijelove, a zatim dodati njihove razlomke i rezultat napisati kao mješoviti razlomak,
Ako pri sabiranju razlomaka dobijete nepravilan razlomak, odaberite cijeli dio iz njega i dodajte ga cijelom dijelu, na primjer:
2 Sabiranje i oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima
Da biste dodali ili oduzeli razlomke s različitim nazivnicima, prvo ih morate svesti na isti nazivnik, a zatim nastaviti kako je navedeno na početku ovog članka. Zajednički nazivnik nekoliko razlomaka je LCM (najmanji zajednički višekratnik). Za brojnik svakog razlomka, dodatni faktori se nalaze dijeljenjem LCM-a sa nazivnikom ovog razlomka. Kasnije ćemo pogledati primjer, nakon što shvatimo šta je NOC.
3 Najmanji zajednički višekratnik (LCM)
Najmanji zajednički višekratnik dva broja (LCM) je najmanji prirodan broj koji je djeljiv sa oba broja bez ostatka. Ponekad se LCM može pronaći usmeno, ali češće, posebno kada radite s velikim brojevima, morate pronaći LCM u pisanom obliku, koristeći sljedeći algoritam:
Da biste pronašli LCM nekoliko brojeva, trebate:
- Faktori ove brojeve u proste faktore
- Uzmite najveće proširenje i zapišite ove brojeve kao proizvod
- Odaberite u drugim dekompozicijama brojeve koji se ne pojavljuju u najvećoj dekompoziciji (ili se pojavljuju manje puta u njoj) i dodajte ih u proizvod.
- Pomnožite sve brojeve u proizvodu, to će biti LCM.
Na primjer, pronađimo LCM brojeva 28 i 21:
4Svođenje razlomaka na isti nazivnik
Vratimo se sabiranju razlomaka sa različitim nazivnicima.
Kada razlomke svedemo na isti nazivnik, jednak LCM-u oba nazivnika, moramo pomnožiti brojioce ovih razlomaka sa dodatni množitelji. Možete ih pronaći dijeljenjem LCM sa nazivnikom odgovarajućeg razlomka, na primjer:
Dakle, da biste razlomke sveli na isti eksponent, prvo morate pronaći LCM (to jest, najmanji broj koji je djeljiv sa oba nazivnika) nazivnika ovih razlomaka, a zatim staviti dodatne faktore na brojioce razlomaka. Možete ih pronaći tako što zajednički imenilac (CLD) podijelite sa nazivnikom odgovarajućeg razlomka. Zatim morate pomnožiti brojilac svakog razlomka dodatnim faktorom i staviti LCM kao imenilac.
5Kako sabrati cijeli broj i razlomak
Da biste sabrali cijeli broj i razlomak, samo trebate dodati ovaj broj prije razlomka, što će rezultirati mješovitim razlomkom, na primjer.
Bilješka! Prije nego što napišete svoj konačni odgovor, pogledajte možete li skratiti razlomak koji ste dobili.
Oduzimanje razlomaka sa sličnim nazivnicima, primjeri:
,
,
Oduzimanje pravilnog razlomka od jedan.
Ako je potrebno oduzeti razlomak od jedinice koja je pravilna, jedinica se pretvara u oblik nepravilnog razlomka, njen nazivnik je jednak nazivniku oduzetog razlomka.
Primjer oduzimanja pravilnog razlomka od jedan:
Imenilac razlomka koji treba oduzeti = 7 , tj. predstavljamo jedan kao nepravilan razlomak 7/7 i oduzimamo ga prema pravilu za oduzimanje razlomaka sa sličnim nazivnicima.
Oduzimanje pravilnog razlomka od cijelog broja.
Pravila za oduzimanje razlomaka - tačno od celog broja (prirodni broj):
- Zadane razlomke koji sadrže cijeli broj pretvaramo u nepravilne. Dobijamo normalne članove (nije bitno da li imaju različite nazivnike), koje izračunavamo prema gore navedenim pravilima;
- Zatim izračunavamo razliku između frakcija koje smo dobili. Kao rezultat, gotovo ćemo pronaći odgovor;
- Izvodimo inverznu transformaciju, odnosno oslobađamo se nepravilnog razlomka - odabiremo cijeli dio u razlomku.
Oduzmite pravi razlomak od cijelog broja: predstavite prirodni broj kao mješoviti broj. One. Uzimamo jedinicu prirodnog broja i pretvaramo je u oblik nepravilnog razlomka, pri čemu je imenilac isti kao i kod oduzetog razlomka.
Primjer oduzimanja razlomaka:
U primjeru smo jedan zamijenili nepravilnim razlomkom 7/7 i umjesto 3 zapisali mješoviti broj i oduzeli razlomak od razlomka.
Oduzimanje razlomaka sa različitim nazivnicima.
Ili, drugačije rečeno, oduzimanje različitih razlomaka.
Pravilo za oduzimanje razlomaka sa različitim nazivnicima. Da bismo oduzeli razlomke sa različitim nazivnicima, potrebno je prvo svesti te razlomke na najmanji zajednički imenilac (LCD), a tek nakon toga izvršiti oduzimanje kao kod razlomaka sa istim nazivnicima.
Zajednički nazivnik nekoliko razlomaka je LCM (najmanji zajednički višekratnik) prirodni brojevi koji su imenioci ovih razlomaka.
Pažnja! Ako u konačnom razlomku brojilac i imenilac imaju zajedničke faktore, onda se razlomak mora smanjiti. Nepravilan razlomak je najbolje predstaviti kao mješoviti razlomak. Ostavljanje rezultata oduzimanja bez smanjenja razlomka gdje je to moguće je nepotpuno rješenje primjera!
Postupak za oduzimanje razlomaka sa različitim nazivnicima.
- pronaći LCM za sve nazivnike;
- staviti dodatne faktore za sve razlomke;
- pomnožiti sve brojioce dodatnim faktorom;
- Dobivene proizvode upisujemo u brojnik, potpisujući zajednički imenilac pod svim razlomcima;
- oduzmi brojioce razlomaka, potpisujući zajednički imenilac ispod razlike.
Na isti način se vrši sabiranje i oduzimanje razlomaka ako u brojniku postoje slova.
Oduzimanje razlomaka, primjeri:
Oduzimanje mješovitih razlomaka.
At oduzimanje mješovitih razlomaka (brojeva) odvojeno, cijeli dio se oduzima od cijelog dijela, a razlomak se oduzima od razlomka.
Prva opcija za oduzimanje mješovitih razlomaka.
Ako su razlomci isto imenioci i brojilac razlomnog dela minusa (oduzimamo ga od njega) ≥ brojnik razlomnog dela oduzetog (oduzimamo ga).
Na primjer:
Druga opcija za oduzimanje mješovitih razlomaka.
Kada su razlomci drugačije imenioci. Za početak, razlomke dovodimo do zajedničkog nazivnika, a nakon toga cijeli dio oduzimamo od cijelog dijela, a razlomak od razlomka.
Na primjer:
Treća opcija za oduzimanje mješovitih razlomaka.
Razlomački dio minuenda manji je od razlomka oduzetog.
primjer:
Jer Razlomci imaju različite nazivnike, što znači, kao i u drugoj opciji, prvo obične razlomke dovodimo do zajedničkog nazivnika.
Brojilac razlomnog dijela minusa manji je od brojnika razlomnog dijela oduzetog.3 < 14. To znači da od cijelog dijela uzimamo jedinicu i ovu jedinicu svedemo na oblik nepravilnog razlomka s istim nazivnikom i brojnikom = 18.
U brojiocu na desnoj strani upisujemo zbir brojilaca, zatim otvaramo zagrade u brojniku na desnoj strani, odnosno sve množimo i dajemo slične. Ne otvaramo zagrade u nazivniku. Uobičajeno je da se proizvod ostavi u nazivnicima. Dobijamo:
Brojilac, a ono što je podijeljeno je imenilac.
Da biste napisali razlomak, prvo napišite brojilac, zatim povucite vodoravnu liniju ispod broja i upišite nazivnik ispod linije. Horizontalna linija koja razdvaja brojnik i imenilac naziva se razlomka. Ponekad se prikazuje kao kosi "/" ili "∕". U ovom slučaju, brojilac se piše lijevo od reda, a nazivnik desno. Tako će, na primjer, razlomak "dvije trećine" biti napisan kao 2/3. Radi jasnoće, brojilac se obično piše na vrhu reda, a nazivnik na dnu, odnosno umjesto 2/3 možete pronaći: ⅔.
Da biste izračunali proizvod razlomaka, prvo pomnožite brojnik jedan razlomci u brojiocu je drugačija. Rezultat upišite u brojnik novog razlomci. Nakon toga pomnožite nazivnike. Unesite ukupnu vrijednost u novi razlomci. Na primjer, 1/3? 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1; 3 × 5 = 15).
Da biste podijelili jedan razlomak s drugim, prvo pomnožite brojnik prvog sa nazivnikom drugog. Uradite isto sa drugim razlomkom (djeliteljem). Ili, prije nego što izvršite sve radnje, prvo "okrenite" djelitelj, ako vam je zgodnije: nazivnik bi se trebao pojaviti na mjestu brojnika. Zatim pomnožite nazivnik dividende sa novim imeniocem djelitelja i pomnožite brojnike. Na primjer, 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 ? 5 = 5; 3 ? 1 = 3).
Izvori:
- Osnovni problemi s razlomcima
Razlomci vam omogućavaju da izrazite tačnu vrijednost količine u različitim oblicima. Možete raditi iste matematičke operacije sa razlomcima kao i sa cijelim brojevima: oduzimanje, sabiranje, množenje i dijeljenje. Da naučim odlučivati razlomci, moramo zapamtiti neke njihove karakteristike. Zavise od vrste razlomci, prisustvo cijelog broja, zajednički nazivnik. Neke aritmetičke operacije zahtijevaju da se razlomak rezultata smanji nakon izvršenja.
Trebaće ti
- - kalkulator
Instrukcije
Pažljivo pogledajte brojeve. Ako među razlomcima postoje decimale i nepravilne, ponekad je prikladnije prvo izvršiti operacije s decimalima, a zatim ih pretvoriti u nepravilan oblik. Možete li prevesti? razlomci u ovom obliku na početku, upisujući vrijednost nakon decimalne točke u brojiocu i stavljajući 10 u nazivnik. Ako je potrebno, smanjite razlomak tako što ćete brojeve iznad i ispod podijeliti jednim djeliteljem. Razlomci u kojima je izolovan cijeli dio moraju se pretvoriti u pogrešan oblik množenjem sa nazivnikom i rezultatom dodati brojilac. Ova vrijednost će postati novi brojilac razlomci. Za odabir cijelog dijela od inicijalno pogrešnog razlomci, potrebno je podijeliti brojilac sa nazivnikom. Napišite cijeli rezultat iz razlomci. A ostatak dijeljenja će postati novi brojnik, nazivnik razlomci ne menja se. Za razlomke s cijelim dijelom moguće je izvršiti radnje odvojeno, prvo za cijeli broj, a zatim za razlomke. Na primjer, zbir 1 2/3 i 2 ¾ može se izračunati:
- Pretvaranje razlomaka u pogrešan oblik:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Zbrajanje odvojeno celobrojnih i razlomaka članova:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 +(8/12 + 9/12) = 3 + 12/17 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.
Prepišite ih koristeći separator “:” i nastavite s normalnim dijeljenjem.
Da biste dobili konačni rezultat, smanjite rezultujući razlomak dijeljenjem brojnika i nazivnika s jednim cijelim brojem, najvećim mogućim u ovom slučaju. U ovom slučaju, moraju postojati cijeli brojevi iznad i ispod linije.
Bilješka
Ne izvodite aritmetiku sa razlomcima čiji su imenioci različiti. Odaberite broj tako da kada pomnožite brojilac i nazivnik svakog razlomka s njim, rezultat je da su nazivnici oba razlomka jednaki.
Koristan savjet
Prilikom pisanja razlomaka, dividenda se piše iznad linije. Ova količina je označena kao brojnik razlomka. Delitelj, ili imenilac, razlomka je napisan ispod linije. Na primjer, jedan i po kilogram riže kao frakcija bit će napisan na sljedeći način: 1 ½ kg riže. Ako je nazivnik razlomka 10, razlomak se naziva decimalni. U ovom slučaju, brojilac (dividenda) se piše desno od cijelog dijela, odvojenog zarezom: 1,5 kg riže. Radi lakšeg izračuna, takav razlomak se uvijek može napisati u pogrešnom obliku: 1 2/10 kg krompira. Da biste pojednostavili, možete smanjiti vrijednosti brojnika i nazivnika tako što ćete ih podijeliti s jednim cijelim brojem. U ovom primjeru možete podijeliti sa 2. Rezultat će biti 1 1/5 kg krompira. Uvjerite se da su brojevi s kojima ćete izvoditi aritmetiku prikazani u istom obliku.
Da li je vaše dijete donelo domaći zadatak iz škole, a vi ne znate kako da ga riješite? Onda je ova mini lekcija za vas!
Kako sabrati decimale
Pogodnije je dodati decimalne razlomke u kolonu. Da biste dodali decimale, morate slijediti jedno jednostavno pravilo:
- Mjesto mora biti ispod mjesta, zarez ispod zareza.
Kao što možete vidjeti u primjeru, cijele jedinice se nalaze jedna ispod druge, desetinke i stotinke su smještene jedna ispod druge. Sada dodajemo brojeve, zanemarujući zarez. Šta učiniti sa zarezom? Zarez se pomera na mesto gde je stajao u celobrojnoj kategoriji.
Sabiranje razlomaka sa jednakim nazivnicima
Da biste izvršili sabiranje sa zajedničkim nazivnikom, potrebno je da nazivnik ostane nepromijenjen, da nađete zbir brojnika i dobijete razlomak koji će biti ukupan zbir.
Sabiranje razlomaka s različitim nazivnicima korištenjem metode zajedničkog višestruka
Prva stvar na koju treba da obratite pažnju su imenioci. Imenioci su različiti, bilo da je jedan djeljiv s drugim ili su prosti brojevi. Prvo ga moramo dovesti do jednog zajedničkog nazivnika; postoji nekoliko načina da to učinimo:
- 1/3 + 3/4 = 13/12, da bismo riješili ovaj primjer trebamo pronaći najmanji zajednički višekratnik (LCM) koji će biti djeljiv sa 2 nazivnika. Za označavanje najmanjeg višekratnika a i b – LCM (a;b). U ovom primjeru LCM (3;4)=12. Provjeravamo: 12:3=4; 12:4=3.
- Pomnožimo faktore i saberemo rezultirajuće brojeve, dobijemo 13/12 - nepravilan razlomak.
- Da bismo nepravilan razlomak pretvorili u pravi, podijelimo brojilac sa nazivnikom, dobićemo cijeli broj 1, ostatak 1 je brojilac, a 12 je imenilac.
Zbrajanje razlomaka metodom unakrsnog množenja
Za sabiranje razlomaka s različitim nazivnicima, postoji još jedna metoda koja koristi formulu „križ na križ“. Ovo je zajamčeni način za izjednačavanje nazivnika; da biste to učinili, morate pomnožiti brojioce sa nazivnikom jednog razlomka i obrnuto. Ako ste tek u početnoj fazi učenja razlomaka, onda je ova metoda najjednostavniji i najprecizniji način da dobijete ispravan rezultat pri sabiranju razlomaka s različitim nazivnicima.
Radnje sa razlomcima.
Pažnja!
Postoje dodatni
materijala u Posebnom dijelu 555.
Za one koji su veoma "ne baš..."
I za one koji "jako...")
Dakle, šta su razlomci, vrste razlomaka, transformacije - sjetili smo se. Hajdemo na glavno pitanje.
Šta možete učiniti sa razlomcima? Da, sve je isto kao i sa običnim brojevima. Dodajte, oduzmite, množite, podijelite.
Sve ove radnje sa decimalni rad sa razlomcima se ne razlikuje od rada sa celim brojevima. Zapravo, to je ono što je dobro kod njih, decimalnih. Jedina stvar je da morate ispravno staviti zarez.
Mješoviti brojevi, kao što sam već rekao, od male su koristi za većinu radnji. Još ih je potrebno pretvoriti u obične razlomke.
Ali akcije sa obične frakcije biće lukaviji. I mnogo važnije! da vas podsjetim: sve radnje s razlomcima sa slovima, sinusima, nepoznatima i tako dalje i tako dalje se ne razlikuju od radnji s običnim razlomcima! Operacije sa običnim razlomcima su osnova za svu algebru. Iz tog razloga ćemo ovdje detaljno analizirati svu ovu aritmetiku.
Sabiranje i oduzimanje razlomaka.
Svako može sabirati (oduzeti) razlomke sa istim nazivnicima (stvarno se nadam!). Pa, da podsjetim one koji su potpuno zaboravni: pri sabiranju (oduzimanju) imenilac se ne mijenja. Brojioci se zbrajaju (oduzimaju) da bi se dobio brojilac rezultata. Vrsta:
Ukratko, generalno:
Šta ako su imenioci različiti? Zatim, koristeći osnovnu osobinu razlomka (ovdje nam opet dobro dođe!), činimo nazivnike istim! Na primjer:
Ovdje smo morali napraviti razlomak 4/10 od razlomka 2/5. Jedinu svrhu da imenioci budu isti. Da napomenem, za svaki slučaj, da su 2/5 i 4/10 isti razlomak! Samo 2/5 nam je neprijatno, a 4/10 je zaista u redu.
Inače, ovo je suština rješavanja bilo kojeg matematičkog problema. Kada smo iz neugodno radimo izraze ista stvar, ali pogodnija za rješavanje.
Drugi primjer:
Situacija je slična. Ovdje pravimo 48 od 16. Jednostavnim množenjem sa 3. Ovo je sve jasno. Ali naišli smo na nešto poput:
Kako biti?! Teško je napraviti devetku od sedam! Ali mi smo pametni, znamo pravila! Hajde da se transformišemo svaki razlomak tako da su imenioci isti. Ovo se zove "svedi na zajednički imenilac":
Vau! Kako sam znao za 63? Veoma jednostavno! 63 je broj koji je istovremeno djeljiv sa 7 i 9. Takav broj se uvijek može dobiti množenjem nazivnika. Ako pomnožimo broj sa 7, na primjer, onda će rezultat sigurno biti djeljiv sa 7!
Ako trebate sabrati (oduzeti) nekoliko razlomaka, nema potrebe da to radite u parovima, korak po korak. Vi samo trebate pronaći nazivnik zajednički za sve razlomke i svesti svaki razlomak na isti nazivnik. Na primjer:
A šta će biti zajednički imenitelj? Možete, naravno, pomnožiti 2, 4, 8 i 16. Dobijamo 1024. Noćna mora. Lakše je procijeniti da je broj 16 savršeno djeljiv sa 2, 4 i 8. Stoga je od ovih brojeva lako dobiti 16. Ovaj broj će biti zajednički nazivnik. Pretvorimo 1/2 u 8/16, 3/4 u 12/16, i tako dalje.
Usput, ako uzmete 1024 kao zajednički imenitelj, sve će uspjeti, na kraju će se sve smanjiti. Ali neće svi doći do ovog kraja, zbog kalkulacija...
Sami dopunite primjer. Ne neka vrsta logaritma... Trebalo bi da bude 29/16.
Dakle, sabiranje (oduzimanje) razlomaka je jasno, nadam se? Naravno, lakše je raditi u skraćenoj verziji, uz dodatne množitelje. Ali ovo zadovoljstvo je dostupno onima koji su pošteno radili u nižim razredima... I ništa nisu zaboravili.
A sada ćemo učiniti iste radnje, ali ne sa razlomcima, već sa frakcioni izrazi. Ovdje će se otkriti nove grablje, da...
Dakle, moramo dodati dva frakciona izraza:
Moramo da imenioci budu isti. I to samo uz pomoć množenje! To nalaže glavno svojstvo razlomka. Stoga, ne mogu dodati jedan na X u prvom razlomku u nazivniku. (to bi bilo lijepo!). Ali ako pomnožite nazivnike, vidite, sve raste zajedno! Dakle, zapišemo liniju razlomka, ostavimo prazan prostor na vrhu, zatim ga dodamo i upišemo proizvod nazivnika ispod, da ne zaboravimo:
I, naravno, ne množimo ništa na desnoj strani, ne otvaramo zagrade! A sada, gledajući zajednički imenilac na desnoj strani, shvatamo: da biste dobili imenilac x(x+1) u prvom razlomku, morate pomnožiti brojilac i imenilac ovog razlomka sa (x+1) . A u drugom razlomku - na x. Ovo dobijate:
Bilješka! Evo zagrada! Ovo su grablje na koje mnogi ljudi gaze. Ne zagrade, naravno, već njihovo odsustvo. Zagrade se pojavljuju jer se množimo sve brojilac i sve imenilac! A ne njihovi pojedinačni komadi...
U brojiocu desne strane upisujemo zbir brojilaca, sve je kao u brojevnim razlomcima, zatim otvaramo zagrade u brojiocu desne strane, tj. Sve množimo i dajemo slične. Nema potrebe otvarati zagrade u nazivnicima niti bilo šta množiti! Općenito, u nazivnicima (bilo koji) proizvod je uvijek ugodniji! Dobijamo:
Tako da smo dobili odgovor. Proces se čini dugim i teškim, ali ovisi o praksi. Kada riješite primjere, naviknete se, sve će postati jednostavno. Oni koji su svojevremeno savladali razlomke sve ove operacije rade jednom lijevom rukom, automatski!
I još jedna napomena. Mnogi se pametno bave razlomcima, ali zaglave na primjerima cijeli brojevi. Kao: 2 + 1/2 + 3/4= ? Gdje pričvrstiti dvodijelni? Ne morate ga nigdje pričvrstiti, morate napraviti razlomak od dva. Nije lako, ali veoma jednostavno! 2=2/1. Volim ovo. Bilo koji cijeli broj može se napisati kao razlomak. Brojilac je sam broj, nazivnik je jedan. 7 je 7/1, 3 je 3/1 i tako dalje. Isto je i sa slovima. (a+b) = (a+b)/1, x=x/1, itd. I onda radimo s tim razlomcima prema svim pravilima.
Pa, osvježeno je znanje o sabiranju i oduzimanju razlomaka. Ponavljalo se pretvaranje razlomaka iz jedne vrste u drugu. Također se možete provjeriti. Hoćemo li to malo riješiti?)
Izračunati:
Odgovori (u neredu):
71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6
Množenje/dijeljenje razlomaka - u sljedećoj lekciji. Tu su i zadaci za sve operacije sa razlomcima.
Ako vam se sviđa ovaj sajt...
Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)
Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učimo - sa interesovanjem!)
Možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.