"Rješavanje frakcionih racionalnih jednačina"
Ciljevi lekcije:
edukativni:
- formiranje koncepta frakcionih racionalnih jednačina; razmotriti različite načine rješavanja frakcionih racionalnih jednačina; razmotriti algoritam za rješavanje frakcionih racionalnih jednačina, uključujući uslov da je razlomak jednak nuli; podučavati rješavanje frakcionih racionalnih jednačina korištenjem algoritma; provjeravanje nivoa savladanosti teme izvođenjem testa.
razvojno:
- razvijanje sposobnosti pravilnog operisanja stečenim znanjem i logičkog mišljenja; razvoj intelektualnih vještina i mentalnih operacija - analiza, sinteza, poređenje i generalizacija; razvoj inicijative, sposobnost donošenja odluka, a ne zaustavljanje na tome; razvoj kritičkog mišljenja; razvoj istraživačkih vještina.
Obrazovanje:
- podsticanje kognitivnog interesa za predmet; negovanje samostalnosti u rješavanju obrazovnih problema; negovanje volje i upornosti za postizanje konačnih rezultata.
Vrsta lekcije: lekcija - objašnjenje novog gradiva.
Tokom nastave
1. Organizacioni momenat.
Zdravo momci! Na tabli su napisane jednadžbe, pažljivo ih pogledajte. Možete li riješiti sve ove jednačine? Koji nisu i zašto?
Jednačine u kojima su lijeva i desna strana frakcioni racionalni izrazi nazivaju se razlomačnim racionalnim jednadžbama. Šta mislite da ćemo danas učiti na času? Formulirajte temu lekcije. Dakle, otvorite svoje bilježnice i zapišite temu lekcije “Rješavanje razlomaka racionalnih jednačina”.
2. Ažuriranje znanja. Frontalna anketa, usmeni rad sa razredom.
A sada ćemo ponoviti glavni teorijski materijal koji će nam trebati za proučavanje nove teme. Odgovorite na sljedeća pitanja:
1. Šta je jednačina? ( Jednakost sa varijablom ili varijablama.)
2. Kako se zove jednačina br. 1? ( Linearno.) Metoda za rješavanje linearnih jednačina. ( Premjestite sve s nepoznatom na lijevu stranu jednačine, sve brojeve u desnu. Navedite slične termine. Pronađite nepoznati faktor).
3. Kako se zove jednačina br. 3? ( Square.) Metode rješavanja kvadratnih jednačina. ( Izolacija potpunog kvadrata pomoću formula koristeći Vietin teorem i njegove posljedice.)
4. Šta je proporcija? ( Jednakost dva omjera.) Glavno svojstvo proporcije. ( Ako je proporcija tačna, onda je proizvod njegovih ekstremnih članova jednak proizvodu srednjih članova.)
5. Koja svojstva se koriste pri rješavanju jednačina? ( 1. Ako pomjerite član u jednačini iz jednog dijela u drugi, mijenjajući njegov predznak, dobićete jednačinu ekvivalentnu datoj. 2. Ako se obje strane jednačine pomnože ili podijele sa istim brojem koji nije nula, dobićete jednačinu koja je ekvivalentna datoj.)
6. Kada je razlomak jednak nuli? ( Razlomak je jednak nuli kada je brojnik nula, a imenilac nije nula..)
3. Objašnjenje novog materijala.
Rešite jednačinu br. 2 u svojim sveskama i na tabli.
Odgovori: 10.
Koju razlomku racionalnu jednačinu možete pokušati riješiti koristeći osnovno svojstvo proporcije? (br. 5).
(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)
x2-4x-2x+8 = x2+3x+2x+6
x2-6x-x2-5x = 6-8
Rešite jednačinu br. 4 u svojim sveskama i na tabli.
Odgovori: 1,5.
Koju razlomačku racionalnu jednačinu možete pokušati riješiti množenjem obje strane jednačine sa nazivnikom? (br. 6).
D=1›0, x1=3, x2=4.
Odgovori: 3;4.
Sada pokušajte riješiti jednačinu broj 7 koristeći jednu od sljedećih metoda.
(x2-2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5) |
|
||
(x2-2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0 | |||
x(x-5)(x2-2x-5-(x+5))=0 | x2-2x-5-x-5=0 |
||
x(x-5)(x2-3x-10)=0 | |||
x=0 x-5=0 x2-3x-10=0 | |||
x1=0 x2=5 D=49 | |||
Odgovori: 0;5;-2. | Odgovori: 5;-2. |
Objasnite zašto se to dogodilo? Zašto su u jednom slučaju tri korijena, a u drugom dva? Koji su brojevi korijeni ove racionalne jednadžbe?
Studenti se do sada nisu susreli s konceptom stranog korijena; zaista im je vrlo teško razumjeti zašto se to dogodilo. Ako niko u razredu ne može dati jasno objašnjenje ove situacije, onda nastavnik postavlja sugestivna pitanja.
- Po čemu se jednačine br. 2 i 4 razlikuju od jednačina br. 5,6,7? ( U jednačinama br. 2 i 4 nalaze se brojevi u nazivniku, br. 5-7 su izrazi sa promjenljivom.) Šta je korijen jednačine? ( Vrijednost varijable pri kojoj jednačina postaje istinita.) Kako saznati da li je broj korijen jednačine? ( Provjeri.)
Prilikom testiranja neki učenici primjećuju da moraju podijeliti sa nulom. Oni zaključuju da brojevi 0 i 5 nisu korijeni ove jednadžbe. Postavlja se pitanje: postoji li način rješavanja frakcionih racionalnih jednačina koji nam omogućava da eliminišemo ovu grešku? Da, ova metoda se temelji na uvjetu da je razlomak jednak nuli.
x2-3x-10=0, D=49, x1=5, x2=-2.
Ako je x=5, onda je x(x-5)=0, što znači da je 5 vanjski korijen.
Ako je x=-2, onda je x(x-5)≠0.
Odgovori: -2.
Pokušajmo na ovaj način formulirati algoritam za rješavanje frakcionih racionalnih jednačina. Djeca sama formulišu algoritam.
Algoritam za rješavanje frakcionih racionalnih jednačina:
1. Pomaknite sve na lijevu stranu.
2. Svesti razlomke na zajednički imenilac.
3. Kreirajte sistem: razlomak je jednak nuli kada je brojilac jednak nuli, a imenilac nije jednak nuli.
4. Riješite jednačinu.
5. Provjerite nejednakost da isključite strane korijene.
6. Zapišite odgovor.
Diskusija: kako formalizirati rješenje ako koristite osnovno svojstvo proporcije i množite obje strane jednačine zajedničkim nazivnikom. (Dodajte rješenju: isključite iz njegovih korijena one koji čine da zajednički imenilac nestane).
4. Početno razumijevanje novog gradiva.
Raditi u parovima. Učenici biraju kako će sami riješiti jednačinu ovisno o vrsti jednačine. Zadaci iz udžbenika „Algebra 8“, 2007: br. 000 (b, c, i); br. 000(a,d,g). Nastavnik prati izvršenje zadatka, odgovara na sva pitanja koja se pojave i pruža pomoć učenicima sa slabim učinkom. Samotestiranje: odgovori su zapisani na tabli.
b) 2 – strani koren. Odgovor: 3.
c) 2 – strani koren. Odgovor: 1.5.
a) Odgovor: -12.5.
g) Odgovor: 1;1.5.
5. Postavljanje domaće zadaće.
2. Naučiti algoritam za rješavanje frakcionih racionalnih jednačina.
3. Rešiti u sveskama br. 000 (a,d,e); br. 000 (g, h).
4. Pokušajte riješiti broj 000(a) (opciono).
6. Izvršavanje kontrolnog zadatka na proučavanu temu.
Rad se obavlja na komadima papira.
Primjer zadatka:
A) Koje od jednačina su razlomno racionalne?
B) Razlomak je jednak nuli kada je brojilac ______________________, a imenilac _______________________.
P) Da li je broj -3 korijen jednačine broj 6?
D) Riješi jednačinu br. 7.
Kriterijumi ocjenjivanja za zadatak:
- “5” se daje ako je učenik tačno uradio više od 90% zadatka. “4” - 75%-89% “3” - 50%-74% “2” se daje učeniku koji je uradio manje od 50% zadatka. Ocjena 2 se ne daje u časopisu, 3 je opciono.
7. Refleksija.
Na samostalne radne listove napišite:
- 1 – ako vam je lekcija bila zanimljiva i razumljiva; 2 – zanimljivo, ali nejasno; 3 – nije zanimljivo, ali razumljivo; 4 – nije zanimljivo, nije jasno.
8. Sumiranje lekcije.
Tako smo se danas na lekciji upoznali sa razlomcima racionalnih jednačina, naučili rješavati ove jednačine na različite načine i uz pomoć samostalnog nastavnog rada provjerili svoje znanje. Rezultate svog samostalnog rada naučićete na sledećoj lekciji, a kod kuće ćete imati priliku da učvrstite svoje znanje.
Koja je metoda rješavanja frakcionih racionalnih jednačina, po vašem mišljenju, lakša, pristupačnija i racionalnija? Bez obzira na metodu rješavanja frakcionih racionalnih jednačina, čega treba da se setite? U čemu je "lukavost" razlomaka racionalnih jednačina?
Hvala svima, lekcija je gotova.
Do sada smo rješavali samo cjelobrojne jednačine u odnosu na nepoznatu, odnosno jednadžbe u kojima nazivnici (ako ih ima) nisu sadržavali nepoznatu.
Često morate rješavati jednadžbe koje sadrže nepoznanicu u nazivnicima: takve jednačine se nazivaju razlomcima.
Da bismo riješili ovu jednačinu, množimo obje strane s polinomom koji sadrži nepoznatu. Hoće li nova jednačina biti ekvivalentna ovoj? Da bismo odgovorili na pitanje, riješimo ovu jednačinu.
Množenjem obe strane sa , dobijamo:
Rješavajući ovu jednačinu prvog stepena, nalazimo:
Dakle, jednačina (2) ima jedan korijen
Zamjenom u jednačinu (1) dobijamo:
To znači da je to i korijen jednačine (1).
Jednačina (1) nema druge korijene. U našem primjeru, to se može vidjeti, na primjer, iz činjenice da je u jednadžbi (1)
Kako nepoznati djelitelj mora biti jednak dividendi 1 podijeljenoj s količnikom 2, tj.
Dakle, jednačine (1) i (2) imaju jedan korijen, što znači da su ekvivalentne.
2. Riješimo sada sljedeću jednačinu:
Najjednostavniji zajednički imenilac: ; pomnožimo sve članove jednačine sa njim:
Nakon smanjenja dobijamo:
Proširimo zagrade:
Dovodeći slične uslove, imamo:
Rješavajući ovu jednačinu, nalazimo:
Zamjenom u jednačinu (1) dobijamo:
Na lijevoj strani dobili smo izraze koji nemaju smisla.
To znači da jednačina (1) nije korijen. Iz toga slijedi da jednačine (1) i nisu ekvivalentne.
U ovom slučaju kažu da je jednadžba (1) dobila vanjski korijen.
Uporedimo rješenje jednačine (1) sa rješenjem jednačina koje smo ranije razmatrali (vidi § 51). U rješavanju ove jednadžbe morali smo izvršiti dvije operacije koje se do sada nisu susrele: prvo, pomnožili smo obje strane jednačine izrazom koji sadrži nepoznato (zajednički nazivnik), i drugo, smanjili smo algebarske razlomke faktorima koji sadrže nepoznato .
Uspoređujući jednačinu (1) sa jednačinom (2), vidimo da nisu sve vrijednosti x koje vrijede za jednačinu (2) važeće za jednačinu (1).
Upravo brojevi 1 i 3 nisu prihvatljive vrijednosti nepoznate za jednačinu (1), ali su kao rezultat transformacije postali prihvatljivi za jednačinu (2). Ispostavilo se da je jedan od ovih brojeva rješenje jednačine (2), ali, naravno, ne može biti rješenje jednačine (1). Jednačina (1) nema rješenja.
Ovaj primjer pokazuje da kada se obje strane jednačine pomnože faktorom koji sadrži nepoznatu, i kada se algebarski razlomci redukuju, može se dobiti jednačina koja nije ekvivalentna datoj, odnosno: mogu se pojaviti strani korijeni.
Odavde izvlačimo sljedeći zaključak. Prilikom rješavanja jednadžbe koja sadrži nepoznatu u nazivniku, rezultirajući korijeni moraju se provjeriti zamjenom u originalnu jednačinu. Strani korijeni moraju se odbaciti.
§ 1 Cjelobrojne i razlomke racionalne jednačine
U ovoj lekciji ćemo pogledati koncepte kao što su racionalna jednačina, racionalni izraz, cijeli izraz, frakcijski izraz. Razmotrimo rješavanje racionalnih jednačina.
Racionalna jednačina je jednačina u kojoj su lijeva i desna strana racionalni izrazi.
Racionalni izrazi su:
Fractional.
Cjelobrojni izraz se sastoji od brojeva, varijabli, cjelobrojnih potencija koristeći operacije sabiranja, oduzimanja, množenja i dijeljenja brojem koji nije nula.
Na primjer:
Frakcijski izrazi uključuju podjelu promjenljivom ili izraz s promjenljivom. Na primjer:
Frakcijski izraz nema smisla za sve vrijednosti varijabli uključenih u njega. Na primjer, izraz
kod x = -9 to nema smisla, jer kod x = -9 imenilac ide na nulu.
To znači da racionalna jednadžba može biti cjelobrojna ili razlomka.
Cijela racionalna jednačina je racionalna jednačina u kojoj su lijeva i desna strana cijeli izrazi.
Na primjer:
Razlomka racionalna jednačina je racionalna jednačina u kojoj su ili lijeva ili desna strana frakcioni izrazi.
Na primjer:
§ 2 Rješenje cijele racionalne jednačine
Razmotrimo rješenje cijele racionalne jednadžbe.
Na primjer:
Pomnožimo obje strane jednačine najmanjim zajedničkim nazivnikom razlomaka koji su u njoj uključeni.
Za ovo:
1. naći zajednički imenilac za imenioce 2, 3, 6. On je jednak 6;
2. pronaći dodatni faktor za svaki razlomak. Da biste to učinili, podijelite zajednički imenilac 6 sa svakim nazivnikom
dodatni faktor za razlomak
dodatni faktor za razlomak
3. pomnožiti brojioce razlomaka sa odgovarajućim dodatnim faktorima. Tako dobijamo jednačinu
što je ekvivalentno datoj jednačini
Otvorimo zagrade na lijevoj strani, pomjerimo desni dio ulijevo, mijenjajući predznak pojma kada se prenese u suprotni.
Donesimo slične članove polinoma i dobijemo
Vidimo da je jednačina linearna.
Nakon što smo ga riješili, nalazimo da je x = 0,5.
§ 3 Rješenje razlomke racionalne jednačine
Razmotrimo rješavanje frakcijske racionalne jednadžbe.
Na primjer:
1. Pomnožite obje strane jednačine najmanjim zajedničkim nazivnikom imenilaca racionalnih razlomaka koji su u njoj uključeni.
Nađimo zajednički imenilac za nazivnike x + 7 i x - 1.
Jednako je njihovom proizvodu (x + 7)(x - 1).
2. Nađimo dodatni faktor za svaki racionalni razlomak.
Da biste to učinili, podijelite zajednički imenilac (x + 7)(x - 1) sa svakim imeniocem. Dodatni faktor za razlomke
jednako x - 1,
dodatni faktor za razlomak
jednako x+7.
3. Pomnožite brojioce razlomaka njihovim odgovarajućim dodatnim faktorima.
Dobijamo jednačinu (2x - 1)(x - 1) = (3x + 4)(x + 7), koja je ekvivalentna ovoj jednačini
4. Pomnožite binom binomom s lijeve i desne strane i dobijete sljedeću jednačinu
5. Pomičemo desnu stranu ulijevo, mijenjajući predznak svakog pojma pri prelasku na suprotno:
6. Predstavimo slične članove polinoma:
7. Obje strane se mogu podijeliti sa -1. Dobijamo kvadratnu jednačinu:
8. Nakon što ga riješimo, naći ćemo korijene
Budući da u jednadžbi
lijeva i desna strana su frakcijski izrazi, a u razlomcima, za neke vrijednosti varijabli, nazivnik može postati nula, tada je potrebno provjeriti da li zajednički imenilac ne ide na nulu kada se nađu x1 i x2 .
Kod x = -27, zajednički imenilac (x + 7)(x - 1) ne nestaje; kod x = -1 zajednički imenilac takođe nije nula.
Dakle, oba korijena -27 i -1 su korijeni jednadžbe.
Prilikom rješavanja frakcione racionalne jednadžbe, bolje je odmah naznačiti raspon prihvatljivih vrijednosti. Uklonite one vrijednosti kod kojih zajednički nazivnik ide na nulu.
Razmotrimo još jedan primjer rješavanja razlomačke racionalne jednadžbe.
Na primjer, riješimo jednačinu
Faktoriramo imenilac razlomka na desnoj strani jednačine
Dobijamo jednačinu
Nađimo zajednički imenilac za nazivnike (x - 5), x, x(x - 5).
To će biti izraz x(x - 5).
Sada pronađimo raspon prihvatljivih vrijednosti jednadžbe
Da bismo to učinili, izjednačavamo zajednički imenitelj sa nulom x(x - 5) = 0.
Dobijamo jednačinu, rješavajući koju nalazimo da pri x = 0 ili pri x = 5 zajednički imenilac ide na nulu.
To znači da x = 0 ili x = 5 ne mogu biti korijeni naše jednadžbe.
Sada se mogu pronaći dodatni množitelji.
Dodatni faktor za racionalne razlomke
dodatni faktor za razlomak
će biti (x - 5),
i dodatni faktor razlomka
Brojnike množimo odgovarajućim dodatnim faktorima.
Dobijamo jednačinu x(x - 3) + 1(x - 5) = 1(x + 5).
Otvorimo zagrade s lijeve i desne strane, x2 - 3x + x - 5 = x + 5.
Pomjerimo pojmove s desna na lijevo, mijenjajući predznak prenesenih pojmova:
X2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0
I nakon donošenja sličnih članova, dobijamo kvadratnu jednačinu x2 - 3x - 10 = 0. Nakon što je riješimo, nalazimo korijene x1 = -2; x2 = 5.
Ali već smo saznali da kod x = 5 zajednički imenilac x(x - 5) ide na nulu. Dakle, korijen naše jednadžbe
će biti x = -2.
§ 4 Kratak sažetak lekcije
Važno je zapamtiti:
Prilikom rješavanja frakcionih racionalnih jednadžbi postupite na sljedeći način:
1. Pronađite zajednički imenilac razlomaka uključenih u jednačinu. Štaviše, ako se imenioci razlomaka mogu rastaviti na faktore, onda ih razdijelite na faktore i zatim pronađite zajednički imenilac.
2. Pomnožite obje strane jednačine zajedničkim nazivnikom: pronađite dodatne faktore, pomnožite brojioce dodatnim faktorima.
3.Riješi rezultirajuću cijelu jednačinu.
4. Eliminišite iz korena one koji čine da zajednički imenilac nestane.
Spisak korišćene literature:
- Makarychev Yu.N., N.G. Mindyuk, Neshkov K.I., Suvorova S.B. / Uredio Telyakovsky S.A. Algebra: udžbenik. za 8. razred. opšte obrazovanje institucije. - M.: Obrazovanje, 2013.
- Mordkovich A.G. Algebra. 8. razred: Iz dva dijela. Dio 1: Udžbenik. za opšte obrazovanje institucije. - M.: Mnemozina.
- Rurukin A.N. Razvoj nastave iz algebre: 8. razred - M.: VAKO, 2010.
- Algebra 8. razred: planovi časova prema udžbeniku Yu.N. Makarycheva, N.G. Mindyuk, K.I. Neškova, S.B. Suvorova / Auth.-comp. T.L. Afanasjeva, L.A. Tapilina. -Volgograd: Učitelj, 2005.
Prezentacija i lekcija na temu: "Racionalne jednadžbe. Algoritam i primjeri rješavanja racionalnih jednačina"
Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, recenzije, želje! Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.
Obrazovna pomagala i simulatori u Internet prodavnici Integral za 8. razred
Priručnik za udžbenik Makarychev Yu.N. Priručnik za udžbenik Mordkovich A.G.
Uvod u iracionalne jednadžbe
Ljudi, naučili smo kako se rješavaju kvadratne jednadžbe. Ali matematika nije ograničena samo na njih. Danas ćemo naučiti kako riješiti racionalne jednačine. Koncept racionalnih jednačina je na mnogo načina sličan konceptu racionalnih brojeva. Samo pored brojeva, sada smo uveli i neku varijablu $x$. I tako dobijamo izraz u kojem su prisutne operacije sabiranja, oduzimanja, množenja, dijeljenja i podizanja na cijeli broj.Neka je $r(x)$ racionalno izražavanje. Takav izraz može biti jednostavan polinom u varijabli $x$ ili omjer polinoma (uvodi se operacija dijeljenja, kao i za racionalne brojeve).
Poziva se jednačina $r(x)=0$ racionalna jednačina.
Bilo koja jednačina oblika $p(x)=q(x)$, gdje su $p(x)$ i $q(x)$ racionalni izrazi, također će biti racionalna jednačina.
Pogledajmo primjere rješavanja racionalnih jednačina.
Primjer 1.Riješite jednačinu: $\frac(5x-3)(x-3)=\frac(2x-3)(x)$.
Rješenje.
Pomerimo sve izraze na lijevu stranu: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$.
Kada bi lijeva strana jednadžbe bila predstavljena običnim brojevima, onda bismo dva razlomka sveli na zajednički nazivnik.
Uradimo ovo: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x ) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
Dobili smo jednačinu: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.
Razlomak je jednak nuli ako i samo ako je brojnik razlomka nula, a nazivnik nije nula. Zatim zasebno izjednačavamo brojilac sa nulom i nalazimo korijene brojnika.
$3(x^2+2x-3)=0$ ili $x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
Sada provjerimo imenilac razlomka: $(x-3)*x≠0$.
Proizvod dva broja jednak je nuli kada je barem jedan od ovih brojeva jednak nuli. Zatim: $x≠0$ ili $x-3≠0$.
$x≠0$ ili $x≠3$.
Korijeni dobijeni u brojniku i nazivniku se ne poklapaju. Dakle, zapisujemo oba korijena brojioca u odgovoru.
Odgovor: $x=1$ ili $x=-3$.
Ako se odjednom jedan od korijena brojnika poklopi s korijenom nazivnika, onda ga treba isključiti. Takvi korijeni se nazivaju stranim!
Algoritam za rješavanje racionalnih jednačina:
1. Premjestite sve izraze sadržane u jednadžbi na lijevu stranu znaka jednakosti.2. Pretvorite ovaj dio jednadžbe u algebarski razlomak: $\frac(p(x))(q(x))=0$.
3. Izjednačite rezultirajući brojnik sa nulom, odnosno riješite jednačinu $p(x)=0$.
4. Izjednačite nazivnik sa nulom i riješite rezultirajuću jednačinu. Ako se korijeni nazivnika poklapaju s korijenima brojnika, onda ih treba isključiti iz odgovora.
Primjer 2.
Riješite jednačinu: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$.
Rješenje.
Rešimo prema tačkama algoritma.
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)((x -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. Izjednačite brojilac sa nulom: $3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1)(3);1$.
4. Izjednačite imenilac sa nulom:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ i $x=-1$.
Jedan od korijena $x=1$ poklapa se sa korijenom brojilaca, tada ga ne zapisujemo u odgovoru.
Odgovor: $x=-1$.
Pogodno je rješavati racionalne jednačine metodom promjene varijabli. Hajde da to demonstriramo.
Primjer 3.
Riješite jednačinu: $x^4+12x^2-64=0$.
Rješenje.
Hajde da uvedemo zamjenu: $t=x^2$.
Tada će naša jednadžba poprimiti oblik:
$t^2+12t-64=0$ - obična kvadratna jednačina.
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; $4.
Hajde da uvedemo obrnutu supstituciju: $x^2=4$ ili $x^2=-16$.
Korijeni prve jednadžbe su par brojeva $x=±2$. Druga stvar je da nema korijena.
Odgovor: $x=±2$.
Primjer 4.
Riješite jednačinu: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
Rješenje.
Hajde da uvedemo novu varijablu: $t=x^2+x+1$.
Tada će jednačina dobiti oblik: $t=\frac(15)(t+2)$.
Dalje ćemo nastaviti prema algoritmu.
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3. $t^2+2t-15=0$.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; $3.
4. $t≠-2$ - korijeni se ne poklapaju.
Hajde da uvedemo obrnutu supstituciju.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
Riješimo svaku jednačinu posebno:
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - ne korijenje.
I druga jednačina: $x^2+x-2=0$.
Korijeni ove jednadžbe će biti brojevi $x=-2$ i $x=1$.
Odgovor: $x=-2$ i $x=1$.
Primjer 5.
Riješite jednačinu: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.
Rješenje.
Hajde da uvedemo zamjenu: $t=x+\frac(1)(x)$.
onda:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ ili $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
Dobili smo jednačinu: $t^2-2+t=4$.
$t^2+t-6=0$.
Korijeni ove jednadžbe su par:
$t=-3$ i $t=2$.
Hajde da uvedemo obrnutu zamenu:
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$x+\frac(1)(x)=2$.
Odlučićemo posebno.
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
Rešimo drugu jednačinu:
$x+\frac(1)(x)-2=0$.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
Koren ove jednadžbe je broj $x=1$.
Odgovor: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.
Problemi koje treba riješiti samostalno
Riješite jednačine:1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.
2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.
“Racionalne jednadžbe s polinomima” jedna je od najčešćih tema u zadacima Jedinstvenog državnog ispita iz matematike. Iz tog razloga njihovom ponavljanju treba posvetiti posebnu pažnju. Mnogi učenici se suočavaju sa problemom pronalaženja diskriminanta, prenošenja indikatora s desne strane na lijevu i dovođenja jednačine na zajednički imenilac, zbog čega rješavanje ovakvih zadataka izaziva poteškoće. Rješavanje racionalnih jednadžbi u pripremi za Jedinstveni državni ispit na našoj web stranici pomoći će vam da se brzo nosite s problemima bilo koje složenosti i prođete test sjajno.
Odaberite obrazovni portal Školkovo kako biste se uspješno pripremili za Jedinstveni ispit iz matematike!
Da biste znali pravila za izračunavanje nepoznanica i lako dobili tačne rezultate, koristite naš online servis. Portal Školkovo je jedinstvena platforma na kojoj se prikupljaju materijali potrebni za pripremu za Jedinstveni državni ispit. Naši nastavnici su sistematizovali i u razumljivom obliku predstavili sva matematička pravila. Osim toga, pozivamo školarce da se okušaju u rješavanju standardnih racionalnih jednadžbi, čija se osnova stalno ažurira i proširuje.
Za efikasniju pripremu za testiranje, preporučujemo da slijedite našu posebnu metodu i počnete s ponavljanjem pravila i rješavanjem jednostavnih problema, postupno prelazeći na složenije. Tako će diplomac moći identificirati najteže teme za sebe i fokusirati se na njihovo proučavanje.
Počnite da se pripremate za završni test sa Školkovom već danas, a rezultati neće dugo čekati! Odaberite najlakši primjer od navedenih. Ako brzo savladate izraz, prijeđite na teži zadatak. Na taj način možete unaprijediti svoje znanje do tačke rješavanja USE zadataka iz matematike na specijaliziranom nivou.
Obuka je dostupna ne samo diplomcima iz Moskve, već i školarcima iz drugih gradova. Provedite nekoliko sati dnevno učeći na našem portalu, na primjer, i vrlo brzo ćete se moći nositi sa jednadžbama bilo koje složenosti!