Bilješka! Prije nego što napišete svoj konačni odgovor, pogledajte možete li skratiti razlomak koji ste dobili.
Oduzimanje razlomaka sa sličnim nazivnicima, primjeri:
,
,
Oduzimanje pravilnog razlomka od jedan.
Ako je potrebno oduzeti razlomak od jedinice koja je pravilna, jedinica se pretvara u oblik nepravilnog razlomka, njen nazivnik je jednak nazivniku oduzetog razlomka.
Primjer oduzimanja pravilnog razlomka od jedan:
Imenilac razlomka koji treba oduzeti = 7 , tj. predstavljamo jedan kao nepravilan razlomak 7/7 i oduzimamo ga prema pravilu za oduzimanje razlomaka sa sličnim nazivnicima.
Oduzimanje pravilnog razlomka od cijelog broja.
Pravila za oduzimanje razlomaka - tačno od celog broja (prirodni broj):
- Zadane razlomke koji sadrže cijeli broj pretvaramo u nepravilne. Dobijamo normalne članove (nije bitno da li imaju različite nazivnike), koje izračunavamo prema gore navedenim pravilima;
- Zatim izračunavamo razliku između frakcija koje smo dobili. Kao rezultat, gotovo ćemo pronaći odgovor;
- Izvodimo obrnutu transformaciju, odnosno oslobađamo se nepravilnog razlomka - odabiremo cijeli dio u razlomku.
Oduzmite pravi razlomak od cijelog broja: predstavite prirodni broj kao mješoviti broj. One. Uzimamo jedinicu prirodnog broja i pretvaramo je u oblik nepravilnog razlomka, pri čemu je imenilac isti kao i kod oduzetog razlomka.
Primjer oduzimanja razlomaka:
U primjeru smo jedan zamijenili nepravilnim razlomkom 7/7 i umjesto 3 zapisali mješoviti broj i oduzeli razlomak od razlomka.
Oduzimanje razlomaka sa različitim nazivnicima.
Ili, drugačije rečeno, oduzimanje različitih razlomaka.
Pravilo za oduzimanje razlomaka sa različitim nazivnicima. Da bismo oduzeli razlomke sa različitim nazivnicima, potrebno je te razlomke prvo svesti na najmanji zajednički imenilac (LCD), a tek nakon toga izvršiti oduzimanje kao kod razlomaka sa istim nazivnicima.
Zajednički nazivnik nekoliko razlomaka je LCM (najmanji zajednički višekratnik) prirodni brojevi koji su imenioci ovih razlomaka.
Pažnja! Ako u konačnom razlomku brojilac i imenilac imaju zajedničke faktore, onda se razlomak mora smanjiti. Nepravilan razlomak je najbolje predstaviti kao mješoviti razlomak. Ostavljanje rezultata oduzimanja bez smanjenja razlomka gdje je to moguće je nepotpuno rješenje primjera!
Postupak za oduzimanje razlomaka sa različitim nazivnicima.
- pronaći LCM za sve nazivnike;
- staviti dodatne faktore za sve razlomke;
- pomnožiti sve brojioce dodatnim faktorom;
- Dobivene proizvode upisujemo u brojnik, potpisujući zajednički imenilac pod svim razlomcima;
- oduzmi brojioce razlomaka, potpisujući zajednički imenilac ispod razlike.
Na isti način se vrši sabiranje i oduzimanje razlomaka ako u brojniku postoje slova.
Oduzimanje razlomaka, primjeri:
Oduzimanje mješovitih razlomaka.
At oduzimanje mješovitih razlomaka (brojeva) odvojeno, cijeli dio se oduzima od cijelog dijela, a razlomak se oduzima od razlomka.
Prva opcija za oduzimanje mješovitih razlomaka.
Ako su razlomci isto imenioci i brojilac razlomnog dela minusa (oduzimamo ga od njega) ≥ brojnik razlomnog dela oduzetog (oduzimamo ga).
Na primjer:
Druga opcija za oduzimanje mješovitih razlomaka.
Kada su razlomci drugačije imenioci. Za početak, razlomke dovodimo do zajedničkog nazivnika, a nakon toga cijeli dio oduzimamo od cijelog dijela, a razlomak od razlomka.
Na primjer:
Treća opcija za oduzimanje mješovitih razlomaka.
Razlomački dio minuenda manji je od razlomka oduzetog.
primjer:
Jer Razlomci imaju različite nazivnike, što znači, kao i u drugoj opciji, prvo obične razlomke dovodimo do zajedničkog nazivnika.
Brojilac razlomnog dijela minusa manji je od brojnika razlomnog dijela oduzetog.3 < 14. To znači da od cijelog dijela uzimamo jedinicu i ovu jedinicu svedemo na oblik nepravilnog razlomka s istim nazivnikom i brojnikom = 18.
U brojiocu na desnoj strani upisujemo zbir brojilaca, zatim otvaramo zagrade u brojniku na desnoj strani, odnosno sve množimo i dajemo slične. Ne otvaramo zagrade u nazivniku. Uobičajeno je da se proizvod ostavi u nazivnicima. Dobijamo:
Kao što znamo iz matematike, razlomak se sastoji od brojnika i nazivnika. Brojilac je na vrhu, a nazivnik na dnu.
Prilično je jednostavno izvesti matematičke operacije sabiranja ili oduzimanja razlomaka s istim nazivnikom. Samo treba da budete u stanju da saberete ili oduzmete brojeve u brojiocu (iznad), a isti donji broj ostaje nepromenjen.
Na primjer, uzmimo razlomak broj 7/9, ovdje:
- broj "sedam" na vrhu je brojilac;
- broj "devet" ispod je imenilac.
Primjer 1. dodatak:
5/49 + 4/49 = (5+4) / 49 =9/49.
Primjer 2. oduzimanje:
6/35−3/35 = (6−3) / 35 = 3/35.
Oduzimanje jednostavnih frakcijskih vrijednosti koje imaju različite nazivnike
Da biste izvršili matematičku operaciju oduzimanja veličina koje imaju različite nazivnike, prvo ih morate svesti na jedan nazivnik. Prilikom obavljanja ovog zadatka potrebno je pridržavati se pravila da ovaj zajednički imenitelj mora biti najmanji od svih mogućih opcija.
Primjer 3
Date su dvije jednostavne veličine s različitim nazivnicima (manji brojevi): 7/8 i 2/9.
Potrebno je oduzeti drugu od prve vrijednosti.
Rješenje se sastoji od nekoliko koraka:
1. Pronađite zajednički donji broj, tj. nešto što je deljivo i sa nižom vrednošću prvog i drugog razlomka. Ovo će biti broj 72, jer je višekratnik brojeva osam i devet.
2. Donja znamenka svakog razlomka se povećala:
- broj “osam” u razlomku 7/8 se povećao devet puta - 8*9=72;
- broj "devet" u razlomku 2/9 se povećao osam puta - 9*8=72.
3. Ako se imenilac (donja cifra) promenio, onda se mora promeniti i brojilac (gornja cifra). Prema postojećem matematičkom pravilu, gornji broj se mora povećati za potpuno isti iznos kao i donji. To je:
- brojilac “sedam” u prvom razlomku (7/8) množi se brojem “devet” - 7*9=63;
- Brojač "dva" u drugom razlomku (2/9) množimo brojem "osam" - 2*8=16.
4. Kao rezultat naših akcija, dobili smo dvije nove količine, koje su, međutim, identične originalnim.
- prvo: 7/8 = 7*9 / 8*9 = 63/72;
- drugo: 2/9 = 2*8 / 9*8 = 16/72.
5. Sada je moguće oduzeti jedan razlomak od drugog:
7/8−2/9 = 63/72−16/72 =?
6. Izvodeći ovu radnju vraćamo se na temu oduzimanja razlomaka sa istim nižim ciframa (imenicima). To znači da će se akcija oduzimanja izvršiti na vrhu, u brojiocu, a donja znamenka će se prenijeti bez promjena.
63/72−16/72 = (63−16) / 72 = 47/72.
7/8−2/9 = 47/72.
Primjer 4
Hajde da zakomplikujemo problem tako što ćemo uzeti nekoliko razlomaka sa različitim, ali višestrukim brojevima na dnu za rešavanje.
Date vrijednosti su: 5/6; 1/3; 1/12; 7/24.
Moraju se udaljiti jedno od drugog u ovom nizu.
1. Dovodimo razlomke koristeći gornju metodu do zajedničkog nazivnika, koji će biti broj "24":
- 5/6 = 5*4 / 6*4 = 20/24;
- 1/3 = 1*8 / 3*8 = 8/24;
- 1/12 = 1*2 / 12*2 = 2/24.
7/24 - ovu posljednju vrijednost ostavljamo nepromijenjenom, jer je imenilac ukupan broj "24".
2. Oduzimamo sve količine:
20/24−8/2−2/24−7/24 = (20−8−2−7)/24 = 3/24.
3. Budući da su brojilac i imenilac rezultirajućeg razlomka djeljivi jednim brojem, mogu se smanjiti dijeljenjem s brojem "tri":
3:3 / 24:3 = 1/8.
4. Odgovor pišemo ovako:
5/6−1/3−1/12−7/24 = 1/8.
Primjer 5
Date su tri razlomke sa nevišestrukim nazivnicima: 3/4; 2/7; 1/13.
Morate pronaći razliku.
1. Prva dva broja dovodimo u zajednički nazivnik, to će biti broj "28":
- ¾ = 3*7 / 4*7 = 21/28;
- 2/7 = 2*4 / 7*4 = 8/28.
2. Oduzmite prva dva razlomka jedan od drugog:
¾−2/7 = 21/28−8/28 = (21−8) / 28 = 13/28.
3. Od rezultujuće vrijednosti oduzmite treći dati razlomak:
4. Dovodimo brojeve do zajedničkog imenioca. Ako nije moguće odabrati isti imenilac na lakši način, tada samo trebate izvršiti korake tako što ćete sve nazivnike u nizu množiti jedan s drugim, ne zaboravljajući povećati vrijednost brojnika za istu cifru. U ovom primjeru radimo ovo:
- 13/28 = 13*13 / 28*13 = 169/364, gdje je 13 donja cifra od 5/13;
- 5/13 = 5*28 / 13*28 = 140/364, gdje je 28 manji broj od 13/28.
5. Oduzmite dobijene razlomke:
13/28−5/13 = 169/364−140/364 = (169−140) / 364 = 29/364.
Odgovor: ¾−2/7−5/13 = 29/364.
Mješovite frakcije
U gore navedenim primjerima korišteni su samo pravi razlomci.
kao primjer:
- 8/9 je pravi razlomak;
- 9/8 je netačno.
Nepravilan razlomak je nemoguće pretvoriti u pravi razlomak, ali ga je moguće pretvoriti mješovito. Zašto dijelite gornji broj (brojilac) sa donjim (imeonikom) da dobijete broj sa ostatkom? Cijeli broj koji nastaje dijeljenjem zapisuje se ovako, ostatak se upisuje u brojilac na vrhu, a nazivnik na dnu ostaje isti. Da bi bilo jasnije, pogledajmo konkretan primjer:
Primjer 6
Pretvorite nepravilan razlomak 9/8 u ispravan.
Da biste to učinili, podijelite broj "devet" sa "osam", što rezultira mješovitim razlomkom s cijelim brojem i ostatkom:
9: 8 = 1 i 1/8 (ovo se može drugačije napisati kao 1+1/8), gdje je:
- broj 1 je cijeli broj koji nastaje dijeljenjem;
- drugi broj 1 je ostatak;
- broj 8 je imenilac, koji ostaje nepromenjen.
Cijeli broj se također naziva prirodnim brojem.
Ostatak i imenilac su novi, ali pravi razlomak.
Kada se piše broj 1, piše se ispred pravog razlomka 1/8.
Oduzimanje mješovitih brojeva s različitim nazivnicima
Iz gore navedenog dajemo definiciju mješovitog razlomka: „Mješoviti broj - ovo je količina koja je jednaka zbiru cijelog broja i pravilnog običnog razlomka. U ovom slučaju se zove cijeli dio prirodni broj, a broj koji je ostao je njegov frakcijski dio».
Primjer 7
Zadato: dvije mješovite razlomke koje se sastoje od cijelog broja i pravilnog razlomka:
- prva vrijednost je 9 i 4/7, odnosno (9+4/7);
- druga vrijednost je 3 i 5/21, odnosno (3+5/21).
Potrebno je pronaći razliku između ovih veličina.
1. Da biste oduzeli 3+5/21 od 9+4/7, prvo morate oduzeti vrijednosti cijelih brojeva jedna od druge:
4/7−5/21 = 4*3 / 7*3−5/21 =12/21−5/21 = (12−5) / 21 = 7/21.
3. Rezultirajući rezultat razlike između dva mješovita broja sastojat će se od prirodnog (cijelog) broja 6 i pravilnog razlomka 7/21 = 1/3:
(9 + 4/7) - (3 + 5/21) = 6 + 1/3.
Matematičari iz svih zemalja su se složili da se znak “+” prilikom pisanja mješovitih veličina može izostaviti i ostaviti samo cijeli broj ispred razlomka bez ikakvog znaka.
Da li je vaše dijete donelo domaći zadatak iz škole, a vi ne znate kako da ga riješite? Onda je ova mini lekcija za vas!
Kako sabrati decimale
Pogodnije je dodati decimalne razlomke u kolonu. Da biste dodali decimale, morate slijediti jedno jednostavno pravilo:
- Mjesto mora biti ispod mjesta, zarez ispod zareza.
Kao što možete vidjeti u primjeru, cijele jedinice se nalaze jedna ispod druge, desetinke i stotinke su smještene jedna ispod druge. Sada dodajemo brojeve, zanemarujući zarez. Šta učiniti sa zarezom? Zarez se pomera na mesto gde je stajao u celobrojnoj kategoriji.
Sabiranje razlomaka sa jednakim nazivnicima
Da biste izvršili sabiranje sa zajedničkim nazivnikom, potrebno je da nazivnik ostane nepromijenjen, da pronađete zbir brojnika i dobijete razlomak koji će biti ukupan zbir.
Sabiranje razlomaka s različitim nazivnicima korištenjem metode zajedničkog višestruka
Prva stvar na koju treba da obratite pažnju su imenioci. Imenioci su različiti, bilo da je jedan djeljiv s drugim ili su prosti brojevi. Prvo ga moramo dovesti do jednog zajedničkog nazivnika; postoji nekoliko načina da to učinimo:
- 1/3 + 3/4 = 13/12, da bismo riješili ovaj primjer trebamo pronaći najmanji zajednički višekratnik (LCM) koji će biti djeljiv sa 2 nazivnika. Za označavanje najmanjeg višekratnika a i b – LCM (a;b). U ovom primjeru LCM (3;4)=12. Provjeravamo: 12:3=4; 12:4=3.
- Pomnožimo faktore i saberemo rezultirajuće brojeve, dobijemo 13/12 - nepravilan razlomak.
- Da bismo nepravilan razlomak pretvorili u pravi, podijelimo brojilac sa nazivnikom, dobićemo cijeli broj 1, ostatak 1 je brojilac, a 12 je imenilac.
Zbrajanje razlomaka metodom unakrsnog množenja
Za sabiranje razlomaka s različitim nazivnicima, postoji još jedna metoda koja koristi formulu „križ na križ“. Ovo je zajamčeni način za izjednačavanje nazivnika; da biste to učinili, morate pomnožiti brojioce sa nazivnikom jednog razlomka i obrnuto. Ako ste tek u početnoj fazi učenja razlomaka, onda je ova metoda najjednostavniji i najprecizniji način da dobijete ispravan rezultat pri zbrajanju razlomaka s različitim nazivnicima.
Ova lekcija će pokriti sabiranje i oduzimanje algebarskih razlomaka sa različitim nazivnicima. Već znamo kako sabirati i oduzimati obične razlomke s različitim nazivnicima. Da biste to učinili, razlomci se moraju svesti na zajednički nazivnik. Ispostavilo se da algebarski razlomci slijede ista pravila. U isto vrijeme, već znamo kako svesti algebarske razlomke na zajednički nazivnik. Sabiranje i oduzimanje razlomaka sa različitim nazivnicima jedna je od najvažnijih i najtežih tema u 8. razredu. Štaviše, ova tema će se pojaviti u mnogim temama u kursu algebre koje ćete učiti u budućnosti. U sklopu lekcije proučavat ćemo pravila za sabiranje i oduzimanje algebarskih razlomaka s različitim nazivnicima, a također ćemo analizirati niz tipičnih primjera.
Pogledajmo najjednostavniji primjer običnih razlomaka.
Primjer 1. Dodaj razlomke: .
Rješenje:
Prisjetimo se pravila za sabiranje razlomaka. Za početak, razlomci se moraju svesti na zajednički nazivnik. Zajednički nazivnik za obične razlomke je najmanji zajednički višekratnik(LCM) originalnih nazivnika.
Definicija
Najmanji prirodni broj koji je djeljiv i brojevima i .
Da biste pronašli LCM, potrebno je da faktore delite na proste faktore, a zatim da odaberete sve proste faktore koji su uključeni u proširenje oba nazivnika.
; . Tada LCM brojeva mora uključivati dvije dvojke i dvije trojke: .
Nakon što pronađete zajednički imenilac, morate pronaći dodatni faktor za svaki razlomak (zapravo, podijelite zajednički imenilac sa imeniocem odgovarajućeg razlomka).
Svaki razlomak se zatim množi sa rezultujućim dodatnim faktorom. Dobijamo razlomke sa istim nazivnicima, koje smo naučili sabirati i oduzimati u prethodnim lekcijama.
Dobijamo: 
.
odgovor:.
Razmotrimo sada sabiranje algebarskih razlomaka s različitim nazivnicima. Prvo, pogledajmo razlomke čiji su imenioci brojevi.
Primjer 2. Dodaj razlomke: .
Rješenje:
Algoritam rješenja je apsolutno sličan prethodnom primjeru. Lako je pronaći zajednički imenitelj ovih razlomaka: i dodatne faktore za svaki od njih.
.
odgovor:.
Dakle, hajde da formulišemo algoritam za sabiranje i oduzimanje algebarskih razlomaka sa različitim nazivnicima:
1. Pronađite najmanji zajednički imenilac razlomaka.
2. Pronađite dodatne faktore za svaki od razlomaka (dijeleći zajednički imenilac sa imeniocem datog razlomka).
3. Pomnožite brojioce odgovarajućim dodatnim faktorima.
4. Dodajte ili oduzmite razlomke koristeći pravila za sabiranje i oduzimanje razlomaka sa sličnim nazivnicima.
Razmotrimo sada primjer s razlomcima čiji nazivnik sadrži slovne izraze.
Primjer 3. Dodaj razlomke: .
Rješenje:
Budući da su slovni izrazi u oba nazivnika isti, trebali biste pronaći zajednički nazivnik za brojeve. Konačni zajednički imenilac će izgledati ovako: . Dakle, rješenje ovog primjera izgleda ovako:.
odgovor:.
Primjer 4. Oduzmite razlomke: .
Rješenje:
Ako ne možete "prevariti" pri odabiru zajedničkog nazivnika (ne možete ga rastaviti na faktore ili koristiti skraćene formule za množenje), tada morate uzeti umnožak nazivnika oba razlomka kao zajednički nazivnik.
odgovor:.
Općenito, pri rješavanju ovakvih primjera najteži je zadatak pronaći zajednički nazivnik.
Pogledajmo složeniji primjer.
Primjer 5. Pojednostavite: .
Rješenje:
Prilikom pronalaženja zajedničkog nazivnika, prvo morate pokušati rastaviti nazivnike originalnih razlomaka (da biste pojednostavili zajednički imenilac).
U ovom konkretnom slučaju:
Tada je lako odrediti zajednički imenilac: 
.
Određujemo dodatne faktore i rješavamo ovaj primjer:
odgovor:.
Sada uspostavimo pravila za sabiranje i oduzimanje razlomaka sa različitim nazivnicima.
Primjer 6. Pojednostavite: .
Rješenje:
odgovor:.
Primjer 7. Pojednostavite: .
Rješenje:
.
odgovor:.
Razmotrimo sada primjer u kojem se zbrajaju ne dva, već tri razlomka (na kraju krajeva, pravila sabiranja i oduzimanja za veći broj razlomaka ostaju ista).
Primjer 8. Pojednostavite: .
Detetu je teško razumeti frakcione izraze. Većina ljudi ima poteškoća sa. Prilikom proučavanja teme "sabiranje razlomaka sa cijelim brojevima", dijete pada u stupor, jer mu je teško riješiti problem. U mnogim primjerima, prije izvođenja radnje, mora se izvršiti niz proračuna. Na primjer, pretvoriti razlomke ili pretvoriti nepravilan razlomak u pravilan razlomak.
Objasnimo to djetetu jasno. Uzmimo tri jabuke, od kojih će dvije biti cijele, a treću iseći na 4 dijela. Od isečene jabuke odvojite jednu krišku, a preostale tri stavite pored dva cela voća. Dobijamo ¼ jabuke sa jedne strane i 2 ¾ sa druge strane. Ako ih spojimo, dobićemo tri jabuke. Pokušajmo smanjiti 2 ¾ jabuke za ¼, odnosno ukloniti još jednu krišku, dobićemo 2 2/4 jabuke.
Pogledajmo bliže operacije s razlomcima koji sadrže cijele brojeve:
Prvo, prisjetimo se pravila izračuna za razlomke sa zajedničkim nazivnikom:
Na prvi pogled sve je lako i jednostavno. Ali ovo se odnosi samo na izraze koji ne zahtijevaju konverziju.
Kako pronaći vrijednost izraza gdje su nazivnici različiti
U nekim zadacima morate pronaći značenje izraza gdje su nazivnici različiti. Pogledajmo konkretan slučaj:
3 2/7+6 1/3
Nađimo vrijednost ovog izraza tako što ćemo pronaći zajednički nazivnik za dva razlomka.
Za brojeve 7 i 3, ovo je 21. Cjelobrojne dijelove ostavljamo istim, a razlomke dovodimo do 21, za to množimo prvi razlomak sa 3, drugi sa 7, dobijamo:
6/21+7/21, ne zaboravite da se cijeli dijelovi ne mogu pretvoriti. Kao rezultat, dobijamo dva razlomka sa istim nazivnikom i izračunavamo njihov zbir:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
Šta ako je rezultat zbrajanja nepravilan razlomak koji već ima cijeli broj:
2 1/3+3 2/3
U ovom slučaju, zbrajamo cjelobrojne dijelove i razlomke, dobivamo:
5 3/3, kao što znate, 3/3 je jedan, što znači 2 1/3+3 2/3=5 3/3=5+1=6
Pronalaženje zbira je jasno, pogledajmo oduzimanje:
Iz svega rečenog slijedi pravilo za operacije s mješovitim brojevima:
- Ako trebate oduzeti cijeli broj od frakcijskog izraza, ne morate drugi broj predstaviti kao razlomak, dovoljno je izvršiti operaciju samo nad cijelim dijelovima.
Pokušajmo sami izračunati značenje izraza:
Pogledajmo pobliže primjer ispod slova "m":
4 5/11-2 8/11, brojilac prvog razlomka je manji od drugog. Da bismo to učinili, pozajmimo jedan cijeli broj iz prvog razlomka, dobijemo,
3 5/11+11/11=3 cijeli 16/11, oduzmi drugi od prvog razlomka:
3 16/11-2 8/11=1 cijeli 8/11
- Budite oprezni prilikom dovršavanja zadatka, ne zaboravite pretvoriti nepravilne razlomke u mješovite razlomke, naglašavajući cijeli dio. Da biste to učinili, trebate podijeliti vrijednost brojila s vrijednošću nazivnika, tada ono što se događa zauzima mjesto cijelog dijela, ostatak će biti brojilac, na primjer:
19/4=4 ¾, provjerimo: 4*4+3=19, nazivnik 4 ostaje nepromijenjen.
rezimirati:
Prije započinjanja zadatka koji se odnosi na razlomke, potrebno je analizirati o kakvom se izrazu radi, koje transformacije treba izvršiti na razlomku da bi rješenje bilo ispravno. Potražite racionalnije rješenje. Ne idi težim putem. Planirajte sve radnje, riješite ih prvo u obliku nacrta, a zatim ih prenesite u svoju školsku svesku.
Da biste izbjegli zabunu prilikom rješavanja frakcijskih izraza, morate slijediti pravilo konzistentnosti. O svemu odlučite pažljivo, bez žurbe.