U geometriji Svuda okolo je skup svih tačaka na ravni koje su udaljene od jedne tačke, koja se zove njeno središte, za udaljenost ne veću od date, koja se zove njegov poluprečnik. U ovom slučaju, vanjska granica kruga je krug, a u slučaju da je dužina polumjera nula, krug degeneriše do tačke.
Određivanje površine kruga
Ako je potrebno površina kruga može se izračunati pomoću formule:
| S | πr 2 | D 2 |
r- radijus kruga
D- prečnik kruga
S- površina kruga
π - 3.14
Ova geometrijska figura se vrlo često nalazi i u tehnologiji i u arhitekturi. Dizajneri mašina i mehanizama razvijaju različite delove, od kojih su delovi mnogih upravo tačni krug. Na primjer, to su osovine, šipke, šipke, cilindri, osovine, klipovi i tako dalje. U izradi ovih dijelova koriste se praznine od raznih materijala (metala, drveta, plastike), čiji presjeci također predstavljaju tačno krug. Podrazumeva se da programeri često moraju da kalkulišu površina kruga kroz prečnik ili poluprečnik, koristeći u tu svrhu jednostavne matematičke formule otkrivene u drevnim vremenima.
Tačno tada okrugli elementi počeo se aktivno i široko koristiti u arhitekturi. Jedan od najupečatljivijih primjera za to je cirkus, koji je vrsta zgrade dizajnirane za održavanje raznih zabavnih događaja. Njihove arene su oblikovane krug, a prvi put su se počeli graditi u antičko doba. sama riječ" cirkus"prevedeno sa latinskog znači" krug" Ako su u davna vremena cirkusi bili domaćini pozorišnih predstava i borbi gladijatora, sada služe kao mjesto gdje se gotovo isključivo održavaju cirkuske predstave uz učešće trenera, akrobata, mađioničara, klovnova itd. Standardni prečnik cirkuske arene je 13 metara. , i to sasvim nije slučajno: činjenica je da upravo on osigurava minimalne potrebne geometrijske parametre arene u kojoj cirkuski konji mogu galopirati u krug. Ako izračunamo površina kruga kroz prečnik, ispada da je za cirkusku arenu ta vrijednost 113,04 kvadratnih metara.
Arhitektonski elementi koji mogu imati oblik kruga su prozori. Naravno, u većini slučajeva su pravokutni ili kvadratni (uglavnom zbog činjenice da je to lakše i arhitektima i graditeljima), ali u nekim zgradama možete pronaći i okrugle prozore. Štaviše, u vozilima poput zračnih, morskih i riječnih plovila najčešće su ovakvi.
Nije neuobičajeno korištenje okruglih elemenata za izradu namještaja, poput stolova i stolica. Postoji čak i koncept" okrugli stol“, što podrazumijeva konstruktivnu diskusiju, tokom koje se odvija sveobuhvatna rasprava o različitim važnim problemima i razvijaju se načini za njihovo rješavanje. Što se tiče same izrade radnih ploča, koje imaju okrugli oblik, za njihovu proizvodnju koriste se specijalizirani alati i oprema, uz sudjelovanje radnika s prilično visokim kvalifikacijama.
Krugovi zahtijevaju pažljiviji pristup i mnogo su rjeđi u zadacima B5. Istovremeno, opća shema rješenja je još jednostavnija nego u slučaju poligona (vidi lekciju „Površine poligona na koordinatnoj mreži“).
Sve što je potrebno u takvim zadacima je pronaći polumjer kružnice R. Tada možete izračunati površinu kruga pomoću formule S = πR 2. Iz ove formule također slijedi da je za njeno rješavanje dovoljno pronaći R 2.
Da biste pronašli naznačene vrijednosti, dovoljno je naznačiti tačku na kružnici koja leži na sjecištu linija mreže. I onda upotrijebite Pitagorinu teoremu. Pogledajmo konkretne primjere izračunavanja radijusa:
Zadatak. Pronađite poluprečnike tri kružnice prikazane na slici:
Izradimo dodatne konstrukcije u svakom krugu:
U svakom slučaju, tačka B je izabrana na kružnici da leži na preseku linija mreže. Tačka C u krugovima 1 i 3 dovršite figuru do pravokutnog trokuta. Ostaje pronaći poluprečnike:
Razmotrimo trougao ABC u prvom krugu. Prema Pitagorinoj teoremi: R 2 = AB 2 = AC 2 + BC 2 = 2 2 + 2 2 = 8.
Za drugi krug sve je očigledno: R = AB = 2.
Treći slučaj je sličan prvom. Iz trougla ABC koristeći Pitagorinu teoremu: R 2 = AB 2 = AC 2 + BC 2 = 1 2 + 2 2 = 5.
Sada znamo kako pronaći polumjer kružnice (ili barem njenog kvadrata). Stoga možemo pronaći područje. Postoje problemi u kojima morate pronaći područje sektora, a ne cijeli krug. U takvim slučajevima lako je saznati koji je dio kruga ovaj sektor, a samim tim i područje.
Zadatak. Pronađite područje S zasjenjenog sektora. Molimo navedite S/π u svom odgovoru.
Očigledno, sektor je jedna četvrtina kruga. Dakle, S = 0,25 S krug.
Ostaje pronaći S kruga - područje kruga. Da bismo to učinili, izvodimo dodatnu konstrukciju:
Trougao ABC je pravougli trougao. Prema Pitagorinoj teoremi imamo: R 2 = AB 2 = AC 2 + BC 2 = 2 2 + 2 2 = 8.
Sada nalazimo površinu kruga i sektora: S krug = πR 2 = 8π ; S = 0,25 S krug = 2π.
Konačno, željena vrijednost je S /π = 2.
Sektorska oblast sa nepoznatim radijusom
Ovo je potpuno nova vrsta zadatka, ništa slično nije bilo 2010-2011. Prema uslovu, dat nam je krug određene površine (naime površina, a ne poluprečnik!). Zatim se unutar ovog kruga odabire sektor, čije područje treba pronaći.
Dobra vijest je da su takvi problemi najlakši od svih problema iz oblasti koji se pojavljuju na Jedinstvenom državnom ispitu iz matematike. Osim toga, krug i sektor se uvijek postavljaju na koordinatnu mrežu. Stoga, da biste naučili kako riješiti takve probleme, samo pogledajte sliku:
Neka prvobitni krug ima površinu S = 80. Tada se može podijeliti na dva sektora sa površinom S = 40 svaki (vidi korak 2). Slično, svaki od ovih „polovina“ sektora može se ponovo podijeliti na pola - dobijamo četiri sektora površine S = 20 svaki (vidi korak 3). Konačno, svaki od ovih sektora možemo podijeliti na još dva - dobićemo 8 „otpakovanih“ sektora. Površina svakog od ovih "otpada" bit će S = 10.
Imajte na umu: nema finije podjele ni u jednom USE matematičkom problemu! Dakle, algoritam za rješavanje problema B-3 je sljedeći:
- Izrežite originalni krug na 8 "otrezaka" sektora. Površina svakog od njih je tačno 1/8 površine cijelog kruga. Na primjer, ako u skladu sa uslovom krug ima površinu S kruga = 240, tada "otpadci" imaju površinu S = 240: 8 = 30;
- Saznajte koliko "otpada" stane u originalni sektor, čiju površinu treba pronaći. Na primjer, ako naš sektor sadrži 3 „otcjepa“ s površinom od 30, tada je površina potrebnog sektora S = 3 · 30 = 90. Ovo će biti odgovor.
To je sve! Problem se rješava praktično usmeno. Ako nešto i dalje nije jasno, kupite pizzu i isecite je na 8 delova. Svaki takav komad će biti isti sektor-„otrezci“ koji se mogu kombinirati u veće komade.
Pogledajmo sada primjere sa probnog Jedinstvenog državnog ispita:
Zadatak. Na kariranom papiru je nacrtan krug površine 40. Pronađite površinu osjenčane figure.
Dakle, površina kruga je 40. Podijelite ga na 8 sektora - svaki s površinom S = 40: 5 = 8. Dobijamo:
Očigledno, zasjenjeni sektor se sastoji od tačno dva sektora "otpada". Dakle, njegova površina je 2 · 5 = 10. To je cijelo rješenje!
Zadatak. Na kariranom papiru je nacrtan krug površine 64. Pronađite površinu osjenčane figure.
Ponovo podijelite cijeli krug na 8 jednakih sektora. Očigledno, područje jednog od njih je upravo ono što treba pronaći. Dakle, njegova površina je S = 64: 8 = 8.
Zadatak. Na kariranom papiru je nacrtan krug površine 48. Pronađite površinu osjenčane figure.
Ponovo podijelite krug na 8 jednakih sektora. Površina svakog od njih jednaka je S = 48: 8 = 6. Traženi sektor sadrži tačno tri "otpadna" sektora (vidi sliku). Dakle, površina traženog sektora je 3 6 = 18.
Krug je vidljiva zbirka mnogih tačaka koje se nalaze na istoj udaljenosti od centra. Da biste pronašli njegovu površinu, morate znati koji su polumjer, prečnik, π broj i obim.
Količine uključene u izračunavanje površine kruga
Udaljenost ograničena središnjom točkom kruga i bilo kojom točkom kružnice naziva se radijus ove geometrijske figure. Dužine svih poluprečnika jedne kružnice su iste. Segment između bilo koje 2 tačke kruga koji prolazi kroz centralnu tačku naziva se prečnik. Dužina prečnika jednaka je dužini poluprečnika pomnoženoj sa 2.
Za izračunavanje površine kruga koristi se vrijednost broja π. Ova vrijednost je jednaka omjeru obima i dužine prečnika kruga i ima konstantnu vrijednost. Π = 3,1415926. Obim se izračunava pomoću formule L=2πR.
Nađite površinu kruga koristeći radijus
Dakle, površina kruga je jednaka umnošku broja π i polumjera kruga podignutog na 2. stepen. Kao primjer, uzmimo da je dužina polumjera kruga 5 cm. Tada će površina kruga S biti jednaka 3,14*5^2=78,5 kvadratnih metara. cm.
Površina prečnika kruga
Površina kruga se može izračunati i poznavanjem prečnika kruga. U ovom slučaju, S = (π/4)*d^2, gdje je d prečnik kruga. Uzmimo isti primjer, gdje je polumjer 5 cm. Tada će njegov promjer biti 5*2=10 cm. Površina kruga je S = 3,14/4*10^2=78,5 sq.cm. Rezultat, jednak zbroju proračuna u prvom primjeru, potvrđuje ispravnost proračuna u oba slučaja.
Površina kruga kroz obim
Ako je polumjer kružnice predstavljen kroz obim, onda će formula imati sljedeći oblik: R=(L/2)π. Zamijenimo ovaj izraz u formulu za površinu kruga i kao rezultat dobijemo S=(L^2)/4π. Razmotrimo primjer u kojem je obim 10 cm. Tada je površina kruga S = (10^2)/4*3,14=7,96 kvadratnih metara. cm.
Površina kruga kroz dužinu stranice upisanog kvadrata
Ako je kvadrat upisan u krug, tada je dužina prečnika kruga jednaka dužini dijagonale kvadrata. Znajući veličinu stranice kvadrata, lako možete saznati prečnik kruga koristeći formulu: d^2=2a^2. Drugim riječima, prečnik na 2. stepen jednak je strani kvadrata na 2. stepen pomnoženoj sa 2.
Nakon što izračunate dužinu promjera kruga, možete saznati njegov polumjer, a zatim koristiti jednu od formula za određivanje površine kruga.
Površina sektora kruga
Sektor je dio kruga ograničen sa 2 radijusa i luk između njih. Da biste saznali njegovu površinu, morate izmjeriti ugao sektora. Nakon toga morate kreirati razlomak čiji će brojilac biti vrijednost ugla sektora, a nazivnik će biti 360. Da biste izračunali površinu sektora, vrijednost dobivena dijeljenjem razlomka mora pomnožiti s površinom kruga, izračunato pomoću jedne od gornjih formula.
Kao što znamo iz školskog programa, krug se obično naziva ravna geometrijska figura, koja se sastoji od više tačaka jednako udaljenih od centra figure. Pošto su svi na istoj udaljenosti, formiraju krug.
Pogodna navigacija kroz članak: