Posmatrajmo cilindar rotacije poluprečnika R i visine h (sl. 383). U podnožje ovog cilindra upisaćemo pravilan poligon (šestougao na sl. 383) i uz njegovu pomoć konstruisati pravilnu prizmu upisanu u cilindar. Na isti način se mogu opisati pravilne prizme sa proizvoljno velikim brojem bočnih strana oko cilindra.
Po definiciji, površina bočne površine cilindra se uzima kao granica do koje teže površine bočnih površina pravilnih prizmi koje su upisane i opisane oko njega kako se broj njihovih bočnih površina beskonačno udvostručuje (ili općenito povećava). ).
Sada ćemo dokazati da takva granica postoji. Ako za osnovu uzmemo upisanu pravilnu prizmu izgrađenu na pravilnom trokutu, tada ćemo za njenu bočnu površinu imati izraz , gdje je perimetar pravilnog trokuta upisanog u krug osnove cilindra. U . Potpuno isti proračun za opisanu prizmu daje isti rezultat. Dakle, površina bočne površine cilindra rotacije izražena je formulom
Bočna površina cilindra jednaka je proizvodu dužine generatrikse i perimetra (tj. obima) baze.
Zadatak 1. Segment koji povezuje dijametralno suprotne tačke A i B gornje i donje osnove cilindra (sl. 384) je 10 cm i nagnut je prema ravni osnove pod uglom od 60°. Pronađite površinu bočne površine cilindra.
Rješenje. Nacrtajmo poprečni presjek kroz segment L sa ravninom okomitom na bazu cilindra. Iz trougla koji imamo
gdje nalazimo za bočnu površinu cilindra
Zadatak 2. Trougao ABC čiji su vrhovi A i B krajevi prečnika donje osnove cilindra, a vrh C je kraj prečnika gornje osnove okomit na njega, jednakostraničan sa stranicom a,
Nađite površinu bočne i ukupne površine cilindra. Rješenje. Poluprečnik osnove cilindra je jednak Visina trougla ABC (sl. 385) jednaka je i generatriksa cilindra je izračunata kao
Stoga je bočna površina cilindra jednaka
a ukupna površina (jednaka zbiru površine bočne površine i površine dvije baze cilindra) jednaka je
Vježbe
1. Dijagonale bočnih strana pravokutnog paralelepipeda su nagnute prema ravni baze pod uglovima jednakim . Odrediti ugao nagiba na istu ravan dijagonale paralelepipeda.
2. Kod pravog paralelepipeda, oštar ugao osnove jednak je a, a jedna od stranica baze jednaka je a. Presjek povučen kroz ovu stranu i suprotnu ivicu gornje baze ima površinu Q, a njena ravan je nagnuta prema ravni osnove pod uglom . Odrediti zapreminu i ukupnu površinu paralelepipeda.
3. Osnova nagnute trouglaste prizme je jednakokraki pravougaoni trokut, a projekcija jedne od bočnih ivica na ravan osnove poklapa se sa medijanom m jednog od krakova trougla. Odrediti ugao nagiba bočnih rebara prema ravni osnove ako je zapremina prizme jednaka V.
4. U pravilnoj šestougaonoj prizmi, dva dijela su povučena kroz stranu osnove: 1) koja sadrži suprotnu stranu gornje baze, 2) koja sadrži centar gornje baze. Na kojoj visini prizme ugao između ravnina presjeka ima najveću vrijednost i čemu je u ovom slučaju jednak?
Cilindar je figura koja se sastoji od cilindrične površine i dva paralelna kruga. Izračunavanje površine cilindra je problem u geometrijskoj grani matematike, koji se može vrlo jednostavno riješiti. Postoji nekoliko metoda za njegovo rješavanje, koje se na kraju uvijek svode na jednu formulu.
Kako pronaći površinu cilindra - pravila izračuna
- Da biste saznali površinu cilindra, trebate dodati dvije površine baze s površinom bočne površine: S = Sside + 2Sbase. U detaljnijoj verziji ova formula izgleda ovako: S= 2 π rh+ 2 π r2= 2 π r(h+ r).
- Bočna površina datog geometrijskog tijela može se izračunati ako su poznati njegova visina i polumjer kružnice koja leži u njegovoj osnovi. U ovom slučaju možete izraziti polumjer iz obima, ako je dat. Visina se može pronaći ako je vrijednost generatora navedena u uvjetu. U ovom slučaju, generatriksa će biti jednaka visini. Formula za bočnu površinu ovog tijela izgleda ovako: S= 2 π rh.
- Površina baze se izračunava pomoću formule za pronalaženje površine kruga: S osn= π r 2 . U nekim problemima, radijus možda nije naveden, ali se može dati obim. Ovom formulom polumjer se izražava prilično lako. S=2π r, r= S/2π. Također morate zapamtiti da je radijus polovina prečnika.
- Prilikom svih ovih proračuna, broj π se obično ne prevodi u 3,14159... Samo ga treba dodati uz brojčanu vrijednost koja je dobivena kao rezultat proračuna.
- Zatim samo trebate pomnožiti pronađenu površinu baze sa 2 i rezultirajućem broju dodati izračunatu površinu bočne površine figure.
- Ako problem pokazuje da cilindar ima aksijalni presjek i da je pravougaonik, tada će rješenje biti malo drugačije. U ovom slučaju, širina pravokutnika bit će promjer kruga koji leži na dnu tijela. Dužina figure će biti jednaka generatrisi ili visini cilindra. Potrebno je izračunati tražene vrijednosti i zamijeniti ih u već poznatu formulu. U ovom slučaju, širina pravokutnika mora biti podijeljena sa dva da bi se pronašla površina baze. Da bi se pronašla bočna površina, dužina se množi sa dva poluprečnika i brojem π.
- Možete izračunati površinu datog geometrijskog tijela kroz njegovu zapreminu. Da biste to učinili, trebate izvesti vrijednost koja nedostaje iz formule V=π r 2 h.
- Nema ništa komplicirano u izračunavanju površine cilindra. Vi samo trebate znati formule i biti u mogućnosti da iz njih izvedete količine potrebne za izvođenje proračuna.
Naziv nauke "geometrija" preveden je kao "zemljino merenje". Nastao je zahvaljujući naporima prvih drevnih zemljoposjednika. A dogodilo se ovako: tokom poplava svetog Nila potoci vode ponekad su ispirali granice poljoprivrednih parcela, a nove granice se možda neće poklapati sa starim. Poreze su plaćali seljaci u blagajnu faraona srazmjerno veličini zemljišne parcele. Posebni ljudi su bili uključeni u mjerenje površina obradivog zemljišta unutar novih granica nakon izlivanja. Kao rezultat njihovih aktivnosti nastala je nova nauka koja se razvila u staroj Grčkoj. Tamo je dobila ime i dobila gotovo moderan izgled. Kasnije je termin postao međunarodno ime za nauku o ravnim i trodimenzionalnim figurama.
Planimetrija je grana geometrije koja se bavi proučavanjem ravnih figura. Druga grana nauke je stereometrija, koja ispituje svojstva prostornih (volumetrijskih) figura. Takve brojke uključuju onu opisanu u ovom članku - cilindar.
Postoji mnogo primjera prisutnosti cilindričnih predmeta u svakodnevnom životu. Gotovo svi rotirajući dijelovi - osovine, čahure, rukavci, osovine itd. - imaju cilindrični (mnogo rjeđe - konusni) oblik. Cilindar se također široko koristi u građevinarstvu: tornjevi, potporni stupovi, ukrasni stupovi. I posuđe, neke vrste ambalaže, cijevi raznih promjera. I na kraju - poznati šeširi, koji su odavno postali simbol muške elegancije. Lista se nastavlja i nastavlja.
Definicija cilindra kao geometrijske figure
Cilindar (kružni cilindar) se obično naziva figura koja se sastoji od dva kruga, koji se, po želji, kombiniraju paralelnim prijevodom. Ovi krugovi su osnove cilindra. Ali linije (ravne segmente) koje povezuju odgovarajuće tačke nazivaju se "generatori".
Važno je da su osnovice cilindra uvijek jednake (ako ovaj uvjet nije ispunjen, onda imamo krnji konus, nešto drugo, ali ne i cilindar) i da su u paralelnim ravnima. Segmenti koji povezuju odgovarajuće tačke na kružnicama su paralelni i jednaki.
Skup beskonačnog broja formirajućih elemenata nije ništa drugo do bočna površina cilindra - jedan od elemenata date geometrijske figure. Njegova druga važna komponenta su krugovi o kojima smo gore govorili. Zovu se baze.
Vrste cilindara
Najjednostavniji i najčešći tip cilindra je kružni. Sastoji se od dva pravilna kruga koji djeluju kao baze. Ali umjesto njih mogu biti druge figure.
Osnove cilindara mogu formirati (pored krugova) elipse i druge zatvorene figure. Ali cilindar ne mora nužno imati zatvoreni oblik. Na primjer, baza cilindra može biti parabola, hiperbola ili neka druga otvorena funkcija. Takav cilindar će biti otvoren ili raspoređen.
Prema kutu nagiba cilindara koji formiraju osnove, oni mogu biti ravni ili kosi. Za ravan cilindar, generatrise su striktno okomite na ravan baze. Ako je ovaj ugao drugačiji od 90°, cilindar je nagnut.
Šta je površina revolucije
Ravni kružni cilindar je bez sumnje najčešća površina rotacije koja se koristi u inženjerstvu. Ponekad se iz tehničkih razloga koriste konusne, sferne i neke druge vrste površina, ali 99% svih rotirajućih osovina, osovina itd. izrađuju se u obliku cilindara. Da bismo bolje razumjeli što je okretna površina, možemo razmotriti kako se formira sam cilindar.
Recimo da postoji određena prava linija a, smještena okomito. ABCD je pravougaonik čija jedna stranica (odsječak AB) leži na pravoj a. Ako zakrenemo pravougaonik oko prave linije, kao što je prikazano na slici, zapremina koju će on zauzimati dok se okreće biće naše telo okretanja - pravi kružni cilindar visine H = AB = DC i poluprečnika R = AD = BC.
U ovom slučaju, kao rezultat rotacije figure - pravokutnika - dobiva se cilindar. Rotacijom trougla možete dobiti konus, rotacijom polukruga - loptu itd.
Površina cilindra
Da bi se izračunala površina običnog desnog kružnog cilindra, potrebno je izračunati površine baza i bočnih površina.
Prvo, pogledajmo kako se izračunava bočna površina. Ovo je proizvod obima cilindra i visine cilindra. Opseg je, zauzvrat, jednak dvostrukom proizvodu univerzalnog broja P po poluprečniku kružnice.
Poznato je da je površina kruga jednaka proizvodu P po kvadratnom radijusu. Dakle, dodavanjem formule za površinu bočne površine sa dvostrukim izrazom za površinu baze (postoje ih dvije) i izvođenjem jednostavnih algebarskih transformacija, dobijamo konačni izraz za određivanje površine cilindra.
Određivanje zapremine figure
Volumen cilindra određuje se prema standardnoj shemi: površina baze se množi s visinom.
Dakle, konačna formula izgleda ovako: željena vrijednost je definirana kao proizvod visine tijela univerzalnim brojem P i kvadratom polumjera baze.
Rezultirajuća formula, mora se reći, primjenjiva je na rješavanje najneočekivanijih problema. Na isti način kao i zapremina cilindra, na primjer, određuje se volumen električnih instalacija. Ovo može biti potrebno za izračunavanje mase žica.
Jedina razlika u formuli je da umjesto polumjera jednog cilindra postoji prečnik žice ožičenja podijeljen na pola i broj žica u žici se pojavljuje u izrazu N. Također, umjesto visine, koristi se dužina žice. Na ovaj način, volumen "cilindra" se ne izračunava samo po jednom, već po broju žica u pletenici.
Takvi proračuni su često potrebni u praksi. Uostalom, značajan dio posuda za vodu napravljen je u obliku cijevi. I često je potrebno izračunati zapreminu cilindra čak iu domaćinstvu.
Međutim, kao što je već spomenuto, oblik cilindra može biti različit. A u nekim slučajevima je potrebno izračunati koliki je volumen nagnutog cilindra.
Razlika je u tome što se površina baze ne množi s dužinom generatrike, kao u slučaju ravnog cilindra, već s razmakom između ravnina - okomitim segmentom koji je izgrađen između njih.
Kao što se može vidjeti sa slike, takav segment je jednak proizvodu dužine generatrike i sinusa ugla nagiba generatrike prema ravni.
Kako izgraditi razvoj cilindra
U nekim slučajevima potrebno je izrezati cilindar. Na slici ispod prikazana su pravila po kojima se konstruira blank za proizvodnju cilindra zadane visine i promjera.
Imajte na umu da je crtež prikazan bez šavova.
Razlike između zakošenog cilindra
Zamislimo određeni pravi cilindar, omeđen s jedne strane ravninom koja je okomita na generatore. Ali ravan koja ograničava cilindar s druge strane nije okomita na generatore i nije paralelna s prvom ravninom.
Na slici je prikazan zakošeni cilindar. Avion A pod određenim uglom, različitim od 90° prema generatorima, siječe figuru.
Ovaj geometrijski oblik se u praksi češće sreće u obliku cevovodnih priključaka (koljena). Ali postoje čak i zgrade izgrađene u obliku zakošenog cilindra.
Geometrijske karakteristike zakošenog cilindra
Nagib jedne od ravnina zakošenog cilindra malo mijenja postupak izračunavanja i površine takve figure i njenog volumena.
Tela rotacije koja se proučavaju u školi su cilindar, konus i lopta.
Ako u zadatku na Jedinstvenom državnom ispitu iz matematike trebate izračunati volumen konusa ili površinu kugle, smatrajte da ste sretnici.
Primijenite formule za volumen i površinu cilindra, konusa i sfere. Svi su na našoj tabeli. Naučiti napamet. Ovdje počinje znanje o stereometriji.
Ponekad je dobro crtati pogled odozgo. Ili, kao u ovom problemu, odozdo.
2. Koliko puta je zapremina konusa opisanog oko pravilne četvorougaone piramide veća od zapremine konusa upisanog u ovu piramidu?
Jednostavno je - nacrtajte pogled odozdo. Vidimo da je poluprečnik većeg kruga puta veći od poluprečnika manjeg. Visine oba konusa su iste. Stoga će volumen većeg konusa biti dvostruko veći.
Još jedna važna tačka. Sjećamo se da se u zadacima iz dijela B Jedinstvenog državnog ispita iz matematike odgovor piše kao cijeli broj ili konačni decimalni razlomak. Prema tome, ne bi trebalo da ih ima ili u vašem odgovoru u dijelu B. Nema potrebe za zamjenom približne vrijednosti broja! Definitivno se mora smanjiti! U tu svrhu je u nekim problemima zadatak formuliran, na primjer, na sljedeći način: "Pronađi površinu bočne površine cilindra podijeljenu sa."
Gdje se još koriste formule za zapreminu i površinu okretnih tijela? Naravno, u zadatku C2 (16). Takođe ćemo vam reći o tome.