Penroseove nemoguće figure. Penrose trougao

supervizor

nastavnik matematike

1.Uvod……………………………………………………………….……3

2. Istorijska pozadina………………………………………………..…4

3. Glavni dio………………………………………………………………………….7

4. Dokaz nemogućnosti Penroseovog trougla......9

5. Zaključci…………………………………………………………………………..…………11

6. Literatura………………………………………………………….…… 12

Relevantnost: Matematika je predmet koji se izučava od prve do srednje škole. Mnogim studentima je to teško, nezanimljivo i nepotrebno. Ali ako pogledate dalje od stranica udžbenika, pročitate dodatnu literaturu, matematičke sofizme i paradokse, vaša predstava o matematici će se promijeniti, a vi ćete imati želju da učite više nego što se uči na školskom kursu matematike.

Cilj rada:

pokazuju da postojanje nemogućih figura proširuje horizonte, razvija prostornu maštu i da ga koriste ne samo matematičari, već i umjetnici.

Zadaci :

1. Proučite literaturu o ovoj temi.

2. Razmotrite nemoguće figure, napravite model nemogućeg trougla, dokažite da nemoguć trougao ne postoji na ravni.

3. Napravite razvoj nemogućeg trougla.

4. Razmotrite primjere upotrebe nemogućeg trougla u likovnoj umjetnosti.

Uvod

Istorijski gledano, matematika je igrala važnu ulogu u likovnoj umjetnosti, posebno u perspektivnom slikarstvu, koje uključuje realističan prikaz trodimenzionalne scene na ravnom platnu ili komadu papira. Prema modernim pogledima, matematika i likovna umjetnost su vrlo udaljene jedna od druge discipline, prva je analitička, druga emocionalna. Matematika ne igra očiglednu ulogu u većini savremene umjetnosti, i, zapravo, mnogi umjetnici rijetko ili uopće ne koriste perspektivu. Međutim, postoji mnogo umjetnika čiji je fokus na matematici. Nekoliko značajnih ličnosti u vizuelnoj umetnosti utrlo je put ovim pojedincima.

Općenito, ne postoje pravila ili ograničenja za korištenje različitih tema u matematičkoj umjetnosti, kao što su nemoguće figure, Möbiusove trake, distorzija ili neobični sistemi perspektive i fraktali.

Istorija nemogućih figura

Nemoguće figure su određena vrsta matematičkog paradoksa, koji se sastoji od pravilnih dijelova povezanih u nepravilan kompleks. Ako bismo pokušali formulirati definiciju pojma “nemogući objekti”, vjerovatno bi zvučalo otprilike ovako – fizički moguće figure sastavljene u nemogućem obliku. Ali mnogo je ugodnije gledati ih, sastavljajući definicije.

Na greške u prostornoj konstrukciji umjetnici su se susreli još prije hiljadu godina. No, švedski umjetnik Oscar Reutersvärd, koji je slikao 1934. godine, s pravom se smatra prvim koji je konstruirao i analizirao nemoguće objekte. prvi nemogući trougao, koji se sastoji od devet kocki.

Reutersvaerdov trougao

Nezavisno od Reutersa, engleski matematičar i fizičar Roger Penrose ponovo otkriva nemogući trougao i objavljuje njegovu sliku u britanskom psihološkom časopisu 1958. Iluzija koristi “lažnu perspektivu”. Ponekad se ova perspektiva naziva kineskom, jer se slična metoda crtanja, kada je dubina crteža "dvosmislena", često nalazi u radovima kineskih umjetnika.

Escher Falls

Godine 1961 Holanđanin M. Escher, inspirisan nemogućim Penroseovim trouglom, stvara čuvenu litografiju “Vodopad”. Voda na slici teče beskrajno, nakon vodenog točka prolazi dalje i završava nazad na početnoj tački. U suštini, ovo je slika vječnog motora, ali svaki pokušaj da se zapravo izgradi ova struktura osuđen je na neuspjeh.

Još jedan primjer nemogućih figura predstavljen je na crtežu "Moskva", koji prikazuje neobičan dijagram moskovskog metroa. U početku sliku percipiramo kao cjelinu, ali kada pogledom pratimo pojedine linije, postajemo uvjereni u nemogućnost njihovog postojanja.

« Moskva", grafika (mastilo, olovka), 50x70 cm, 2003.

Crtež "Tri puža" nastavlja tradiciju druge poznate nemoguće figure - nemoguće kocke (kutije).

Nemoguća kocka "Tri puža".

Kombinacija različitih objekata može se naći i u ne sasvim ozbiljnom crtežu “IQ” (koeficijent inteligencije). Zanimljivo je da neki ljudi ne percipiraju nemoguće objekte jer njihov um nije u stanju da identifikuje ravne slike sa trodimenzionalnim objektima.

Donald Simanek je sugerisao da je razumevanje vizuelnih paradoksa jedno od obeležja vrste kreativnosti koju poseduju najbolji matematičari, naučnici i umetnici. Mnoga djela s paradoksalnim objektima mogu se klasificirati kao “intelektualne matematičke igre”. Moderna nauka govori o 7-dimenzionalnom ili 26-dimenzionalnom modelu svijeta. Takav svijet se može modelirati samo pomoću matematičkih formula; ljudi ga jednostavno ne mogu zamisliti. Ovdje nemoguće brojke dolaze u obzir.

Treća popularna nemoguća figura je nevjerovatno stepenište koje je stvorio Penrose. Kontinuirano ćete se ili uspinjati (u smjeru suprotnom od kazaljke na satu) ili spuštati (u smjeru kazaljke na satu) duž njega. Penroseov model je bio osnova za čuvenu sliku M. Eschera "Gore i dolje" Nevjerovatno Penroseovo stepenište

Nemogući trozubac

"Đavolja viljuška"

Postoji još jedna grupa objekata koji se ne mogu implementirati. Klasična figura je nemogući trozubac, ili "đavolja viljuška". Ako pažljivo proučite sliku, primijetit ćete da se tri zuba postepeno pretvaraju u dva na jednoj bazi, što dovodi do sukoba. Upoređujemo broj zuba iznad i ispod i dolazimo do zaključka da je objekt nemoguć. Ako gornji dio trozuba zatvorimo rukom, vidjet ćemo vrlo stvarnu sliku - tri okrugla zuba. Ako zatvorimo donji dio trozuba, vidjet ćemo i pravu sliku - dva pravokutna zuba. Ali, ako promatramo cijelu figuru u cjelini, ispada da se tri okrugla zuba postupno pretvaraju u dva pravokutna.

Dakle, možete vidjeti da su prvi plan i pozadina ovog crteža u sukobu. To jest, ono što je prvobitno bilo u prvom planu vraća se unazad, a pozadina (srednji zub) ide naprijed. Osim promjene prednjeg plana i pozadine, na ovom crtežu postoji još jedan efekat - ravni rubovi gornjeg dijela trozuba postaju okrugli na dnu.

Glavni dio.

Trougao- figura koja se sastoji od 3 susjedna dijela, koja neprihvatljivim povezivanjem ovih dijelova stvara iluziju matematički nemoguće strukture. Ova struktura od tri grede se također naziva drugačije kvadrat Penroses

Grafički princip iza ove iluzije duguje svoju formulaciju psihologu i njegovom sinu Rogeru, fizičaru. Penruzov trg se sastoji od 3 kvadratne šipke smještene u 3 međusobno okomita smjera; svaki se spaja sa sljedećim pod pravim uglom, sve je to smješteno u trodimenzionalni prostor. Evo jednostavnog recepta kako nacrtati ovu izometrijsku projekciju Penroseovog kvadrata:

· Odrežite uglove jednakostraničnog trougla duž linija paralelnih sa stranama;

· Nacrtajte paralele stranama unutar isečenog trougla;

· Ponovo podrežite uglove;

· Ponovo povuci paralele unutra;

· Zamislite u jednom od uglova bilo koju od dvije moguće kocke;

· Nastavite sa "stvari" u obliku slova L;

· Pokrenite ovaj dizajn u krug.

· Da smo izabrali drugu kocku, kvadrat bi bio „uvrnut“ u drugom pravcu .

Razvoj nemogućeg trougla.

Pregibna linija

Cut line

Koji elementi se koriste za konstruisanje nemogućeg trougla? Tačnije, od kojih elemenata nam se čini (upravo se čini!) izgrađen? Dizajn se temelji na pravokutnom kutu, koji se dobiva spajanjem dvije identične pravokutne šipke pod pravim kutom. Potrebna su tri takva ugla, a time i šest komada šipki. Ovi uglovi moraju biti vizuelno "povezani" jedan s drugim na određeni način tako da formiraju zatvoreni lanac. Ono što se dešava je nemoguć trougao.

Postavite prvi ugao u horizontalnu ravan. Na njega ćemo pričvrstiti drugi ugao, usmjeravajući jedan od njegovih rubova prema gore. Konačno, na ovaj drugi ugao pričvršćujemo treći ugao tako da je njegov rub paralelan s originalnom horizontalnom ravninom. U ovom slučaju, dvije ivice prvog i trećeg ugla bit će paralelne i usmjerene u različitim smjerovima.

Pokušajmo sada pogledati figuru iz različitih tačaka u prostoru (ili napraviti pravi model žice). Zamislite kako to izgleda iz jedne tačke, iz druge, iz treće... Kada se tačka posmatranja promeni (ili – što je isto – kada se struktura rotira u prostoru), činiće se da se dve „završavaju“ ivice naših uglova se pomiču jedna u odnosu na drugu. Nije teško odabrati poziciju u kojoj će se spojiti (naravno, bliži ugao će nam izgledati deblji od dužeg).

Ali ako je razmak između rebara mnogo manji od udaljenosti od uglova do tačke iz koje gledamo našu strukturu, tada će oba rebra imati istu debljinu za nas, a javiće se ideja da su ova dva rebra zapravo nastavak jedno od drugog.

Usput, ako istovremeno pogledamo prikaz strukture u ogledalu, tamo nećemo vidjeti zatvoreno kolo.

I sa odabrane tačke posmatranja svojim očima vidimo čudo koje se dogodilo: postoji zatvoreni lanac od tri ugla. Samo nemojte mijenjati tačku posmatranja da se ova iluzija (u stvari, to je iluzija!) ne uruši. Sada možete nacrtati objekt koji možete vidjeti ili postaviti sočivo fotoaparata na pronađenu tačku i dobiti fotografiju nemogućeg objekta.

Penrozeovi su bili prvi koji su se zainteresovali za ovaj fenomen. Iskoristili su mogućnosti koje se pojavljuju prilikom preslikavanja trodimenzionalnog prostora i trodimenzionalnih objekata na dvodimenzionalnu ravan (tj. dizajn) i skrenuli pažnju na određenu nesigurnost dizajna - otvorena struktura od tri ugla može biti percipira kao zatvoreni krug.

Kao što je već spomenuto, jednostavan model se lako može napraviti od žice, što u principu objašnjava uočeni efekat. Uzmite pravi komad žice i podijelite ga na tri jednaka dijela. Zatim savijte vanjske dijelove tako da formiraju pravi ugao sa srednjim dijelom i zarotirajte jedan u odnosu na drugi za 900. Sada okrenite ovu figuru i promatrajte je jednim okom. Na nekom položaju će se činiti da je formiran od zatvorenog komada žice. Uključivanjem stolne lampe možete promatrati sjenu koja pada na stol, koja se također pretvara u trokut na određenoj lokaciji figure u prostoru.

Međutim, ova karakteristika dizajna može se uočiti u drugoj situaciji. Ako napravite prsten od žice, a zatim ga raširite u različitim smjerovima, dobit ćete jedan zavoj cilindrične spirale. Ova petlja je, naravno, otvorena. Ali kada ga projektujete na ravan, možete dobiti zatvorenu liniju.

Još jednom smo se uvjerili da se iz projekcije na ravan, iz crteža, trodimenzionalni lik rekonstruiše dvosmisleno. Odnosno, projekcija sadrži neku dvosmislenost, potcenjivanje, što dovodi do „nemogućeg trougla“.

I možemo reći da je "nemogući trokut" Penrosesa, kao i mnoge druge optičke iluzije, u rangu s logičkim paradoksima i igrama riječi.

Dokaz nemogućnosti Penroseovog trougla

Analizirajući karakteristike dvodimenzionalne slike trodimenzionalnih objekata na ravni, shvatili smo kako karakteristike ovog prikaza vode do nemogućeg trougla.

Izuzetno je lako dokazati da nemoguć trougao ne postoji, jer je svaki njegov ugl pravi, a njihov zbir je 2700 umjesto “pozicioniranih” 1800.

Štaviše, čak i ako uzmemo u obzir nemoguć trokut zalijepljen iz uglova manjih od 900, onda u ovom slučaju možemo dokazati da nemoguć trokut ne postoji.

Razmotrimo još jedan trokut koji se sastoji od nekoliko dijelova. Ako su dijelovi od kojih se sastoji drugačije raspoređeni, dobit ćete potpuno isti trokut, ali s jednom malom manom. Jedan kvadrat će nedostajati. Kako je to moguće? Ili je to još uvijek iluzija?

https://pandia.ru/text/80/021/images/image016_2.jpg" alt="Nemoguć trokut" width="298" height="161">!}

Korištenje fenomena percepcije

Postoji li neki način da se pojača efekat nemogućnosti? Jesu li neki objekti "nemogući" od drugih? I ovdje posebnosti ljudske percepcije dolaze u pomoć. Psiholozi su otkrili da oko počinje da ispituje predmet (sliku) iz donjeg lijevog ugla, zatim pogled klizi udesno do centra i pada u donji desni ugao slike. Ova putanja može biti posljedica činjenice da su naši preci pri susretu s neprijateljem prvo gledali u najopasniju desnu ruku, a zatim se pogled pomjerao ulijevo, na lice i lik. Dakle, umjetnička percepcija će značajno ovisiti o tome kako je kompozicija slike izgrađena. Ova se osobina jasno očitovala u srednjem vijeku u proizvodnji tapiserija: njihov dizajn je bio zrcalna slika originala, a utisak koji stvaraju tapiserije i originali se razlikuju.

Ovo svojstvo se može uspješno koristiti pri kreiranju kreacija sa nemogućim objektima, povećavajući ili smanjivajući “stepen nemogućnosti”. Postoji i mogućnost dobivanja zanimljivih kompozicija korištenjem kompjuterske tehnologije, bilo od nekoliko slika koje su rotirane (možda koristeći različite vrste simetrija) jedna u odnosu na drugu, dajući gledaocima drugačiji utisak o objektu i dublje razumijevanje suštine dizajna. , ili iz jedne rotirane (stalno ili trzavo) pomoću jednostavnog mehanizma pod određenim uglovima.

Ovaj pravac se može nazvati poligonalnim (poligonalnim). Ilustracije prikazuju slike rotirane jedna u odnosu na drugu. Kompozicija je nastala na sljedeći način: crtež na papiru, izrađen tušem i olovkom, skeniran je, pretvoren u digitalni oblik i obrađen u grafičkom editoru. Može se primijetiti pravilnost - rotirana slika ima veći "stepen nemogućnosti" od originalne. To je lako objasniti: umjetnik u procesu rada podsvjesno nastoji stvoriti "ispravnu" sliku.

Zaključak

Upotreba različitih matematičkih figura i zakona nije ograničena na gore navedene primjere. Pažljivo proučavajući sve date figure, možete otkriti druga geometrijska tijela ili vizualne interpretacije matematičkih zakona koji nisu spomenuti u ovom članku.

Matematička likovna umjetnost danas cvjeta, a mnogi umjetnici stvaraju slike u Escherovom stilu iu svom stilu. Ovi umjetnici rade u različitim medijima, uključujući skulpturu, slikarstvo na ravnim i trodimenzionalnim površinama, litografiju i kompjutersku grafiku. A najpopularnije teme u matematičkoj umjetnosti ostaju poliedri, nemoguće figure, Möbiusove trake, iskrivljeni sistemi perspektive i fraktali.

Zaključci:

1. Dakle, razmatranje nemogućih figura razvija našu prostornu maštu, pomaže nam da „izađemo“ iz ravni u trodimenzionalni prostor, što će pomoći u proučavanju stereometrije.

2. Modeli nemogućih figura pomažu u razmatranju projekcija na ravan.

3. Razmatranje matematičkih sofizama i paradoksa ulijeva interesovanje za matematiku.

Prilikom obavljanja ovog posla

1. Saznao sam kako, kada, gdje i ko je prvi put razmatrao nemoguće figure, da takvih figura ima mnogo, umjetnici se neprestano trude da te figure dočaraju.

2. Zajedno sa tatom napravio sam model nemogućeg trougla, ispitao njegovu projekciju na ravan i vidio paradoks ove figure.

3. Pregledane reprodukcije umjetnika koji prikazuju ove figure

4. Moje drugove iz razreda zanimalo je moje istraživanje.

Ubuduće ću stečeno znanje koristiti na časovima matematike i zanimalo me da li ima još paradoksi?

LITERATURA

1. Kandidat tehničkih nauka D. RAKOV Istorija nemogućih figura

2. Nemoguće brojke.- M.: Stroyizdat, 1990.

3. Alekseeva Illusions · 7 komentara

4. J. Timothy Unrach. – Neverovatne brojke.
(Izdavačka kuća AST doo, Izdavačka kuća Asrel doo, 2002, 168 str.)

5. . - Grafika.
(Art-Rodnik, 2001)

6. Douglas Hofstadter. – Gödel, Escher, Bach: ovaj beskrajni vijenac. (Izdavačka kuća "Bakhrakh-M", 2001)

7. A. Konenko – Tajne nemogućih figura
(Omsk: Levsha, 199)

Nemogući trougao jedan je od nevjerovatnih matematičkih paradoksa. Kada ga prvi put pogledate, ne možete sumnjati ni na sekundu u njegovo stvarno postojanje. Međutim, ovo je samo iluzija, obmana. A samu mogućnost takve iluzije objasnit će nam matematika!

Otvaranje Penrosesa

Godine 1958. British Journal of Psychology objavio je članak L. Penrosea i R. Penrosea, u kojem su predstavili novu vrstu optičke iluzije, koju su nazvali "nemogući trokut".

Vizuelno nemoguć trokut se percipira kao struktura koja zapravo postoji u trodimenzionalnom prostoru, sačinjena od pravokutnih šipki. Ali ovo je samo optička iluzija. Nemoguće je izgraditi pravi model nemogućeg trougla.

Članak Penrosesa sadržavao je nekoliko opcija za prikaz nemogućeg trougla. - njegova "klasična" prezentacija.

Koji elementi se koriste za konstruisanje nemogućeg trougla?

Tačnije, od kojih elemenata nam se čini da je izgrađen? Dizajn se temelji na pravokutnom kutu, koji se dobiva spajanjem dvije identične pravokutne šipke pod pravim kutom. Potrebna su tri takva ugla, a time i šest komada šipki. Ovi uglovi moraju biti vizuelno "povezani" jedan s drugim na određeni način tako da formiraju zatvoreni lanac. Ono što se dešava je nemoguć trougao.

Ako smatramo da je šipka segment jedinične dužine, tada krajevi šipki prvog ugla imaju koordinate, a, drugog ugla - , i, trećeg - , i. Dobili smo "uvrnutu" strukturu koja zapravo postoji u trodimenzionalnom prostoru.

Sada pokušajmo da ga mentalno sagledamo sa različitih tačaka u prostoru. Zamislite kako to izgleda iz jedne tačke, iz druge, iz treće. Kako se tačka gledanja menja, dve „krajnje“ ivice naših uglova će izgledati kao da se pomeraju jedna u odnosu na drugu. Nije teško pronaći poziciju u kojoj će se povezati.

Usput, ako istovremeno pogledamo odraz strukture u ogledalu, tamo nećemo vidjeti zatvoreni krug.

I sa odabrane tačke posmatranja svojim očima vidimo čudo koje se dogodilo: postoji zatvoreni lanac od tri ugla. Samo nemojte mijenjati svoju tačku posmatranja da se ova iluzija ne uruši. Sada možete nacrtati objekt koji možete vidjeti ili postaviti sočivo fotoaparata na pronađenu tačku i dobiti fotografiju nemogućeg objekta.

Penrozeovi su bili prvi koji su se zainteresovali za ovaj fenomen. Iskoristili su mogućnosti koje se pojavljuju kada se trodimenzionalni prostor i trodimenzionalni objekti preslikavaju na dvodimenzionalnu ravan i skrenuli pažnju na neke nesigurnosti u dizajnu - otvorena struktura od tri ugla može se percipirati kao zatvoreno kolo.

Dokaz nemogućnosti Penroseovog trougla

Analizirajući karakteristike dvodimenzionalne slike trodimenzionalnih objekata na ravni, shvatili smo kako karakteristike ovog prikaza vode do nemogućeg trougla. Možda će nekoga zanimati čisto matematički dokaz.

Izuzetno je lako dokazati da nemoguć trougao ne postoji, jer je svaki njegov ugl pravi, a njihov zbir je 270 stepeni umesto „pozicioniranih“ 180 stepeni.

Štaviše, čak i ako posmatramo nemoguć trougao zalijepljen iz uglova manjih od 90 stepeni, onda u ovom slučaju možemo dokazati da nemoguć trougao ne postoji.

Vidimo tri ravne ivice. Seku se u parovima duž pravih linija. Ravnine koje sadrže ova lica su ortogonalne u parovima, tako da se sijeku u jednoj tački.

Osim toga, linije međusobnog presjeka ravnina moraju prolaziti kroz ovu tačku. Zbog toga se prave 1, 2, 3 moraju seći u jednoj tački.

Ali to nije istina. Stoga je predstavljeni dizajn nemoguć.

"Nemoguća" umjetnost

Sudbina ove ili one ideje - naučne, tehničke, političke - zavisi od mnogih okolnosti. I ne manje od svega, zavisi od toga u kojoj će tačno formi ova ideja biti predstavljena, u kojoj će se formi pojaviti široj javnosti. Hoće li utjelovljenje biti suhoparno i teško uočljivo, ili će, obrnuto, manifestacija ideje biti svijetla, privući našu pažnju čak i protiv naše volje.

Nemogući trougao ima srećnu sudbinu. Godine 1961. holandski umjetnik Moritz Escher završio je litografiju koju je nazvao Vodopad. Umjetnik je prešao dug, ali brz put od same ideje nemogućeg trougla do njegovog zadivljujućeg umjetničkog utjelovljenja. Prisjetimo se da se članak Penrosesa pojavio 1958. godine.

"Vodopad" je zasnovan na dva prikazana nemoguća trougla. Jedan trougao je veliki, a drugi trougao se nalazi unutar njega. Može se činiti da su prikazana tri identična nemoguća trougla. Ali ovo nije poenta; predstavljeni dizajn je prilično složen.

Na prvi pogled, njegova apsurdnost neće biti svima odmah vidljiva, jer je svaka prikazana veza moguća. kako kažu, lokalno, odnosno na maloj površini crteža, takav dizajn je izvediv... Ali općenito je nemoguće! Njegovi pojedinačni komadi se ne uklapaju, ne slažu jedan s drugim.

A da bismo ovo razumjeli, moramo uložiti određene intelektualne i vizualne napore.

Idemo na putovanje kroz aspekte strukture. Ovaj put je izvanredan po tome što duž njega, kako nam se čini, nivo u odnosu na horizontalnu ravan ostaje nepromijenjen. Krećući se ovom stazom, niti idemo gore niti silazimo.

I sve bi bilo u redu, poznato, da na kraju puta – naime na tački – ne bismo otkrili da smo se, u odnosu na početnu, polaznu tačku, nekako uspravili okomito na neki misteriozan, nezamisliv način!

Da bismo došli do ovog paradoksalnog rezultata, moramo izabrati upravo ovu putanju, a takođe pratiti nivo u odnosu na horizontalnu ravan... Nije lak zadatak. U svojoj odluci Escher je pritekla u pomoć...vode. Prisjetimo se pjesme o pokretu iz prekrasnog vokalnog ciklusa Franca Schuberta "The Beautiful Miller's Wife":

I prvo u mašti, a zatim pod rukom divnog majstora, gole i suhe građevine pretvaraju se u akvadukte kroz koje teku čisti i brzi potoci vode. Njihovo kretanje zarobi naš pogled i sada, protiv naše volje, jurimo nizvodno, prateći sve zavoje i zavoje staze, padamo niz tok, padamo na oštrice vodenog mlina, pa opet jurimo nizvodno...

Zaobiđemo ovu stazu jednom, dvaput, tri puta... i tek tada shvatimo: krećući se dole, nekako se fantastično dižemo na vrh! Prvobitno iznenađenje se razvija u neku vrstu intelektualne nelagode. Čini se da smo postali žrtva neke praktične šale, predmet neke šale koju još nismo razumjeli.

I opet ponavljamo ovu stazu čudnim kanalom, sada polako, oprezno, kao da se plašimo trika iz paradoksalne slike, kritički sagledavajući sve što se dešava na ovoj misterioznoj stazi.

Pokušavamo razotkriti misteriju koja nas je zadivila, a iz njenog zatočeništva ne možemo pobjeći sve dok ne pronađemo skriveno proljeće koje leži u njegovoj osnovi i dovede nezamislivi vihor u neprekidni pokret.

Umjetnik nam posebno naglašava i nameće percepciju svoje slike kao slike stvarnih trodimenzionalnih objekata. Volumetričnost je naglašena slikom vrlo stvarnih poliedara na kulama, opekom sa najpreciznijim prikazom svake cigle u zidovima akvadukta, te uzdižućim terasama sa vrtovima u pozadini. Sve je osmišljeno da uvjeri gledaoca u realnost onoga što se dešava. A zahvaljujući umjetnosti i izvrsnoj tehnologiji, ovaj cilj je postignut.

Kada se izvučemo iz zarobljeništva u koje pada naša svest, počinjemo da upoređujemo, kontrastiramo, analiziramo, otkrivamo da se osnova, izvor ove slike krije u karakteristikama dizajna.

I dobili smo još jedan - "fizički" dokaz nemogućnosti "nemogućeg trougla": da takav trokut postoji, postojao bi i Escherov "Vodopad", koji je u suštini vječni motor. Ali vječni motor je nemoguć, stoga je nemoguć i „nemogući trougao“. A možda je ovaj “dokaz” najuvjerljiviji.

Šta je Moritza Ešera učinilo fenomenom, jedinstvenim koji nije imao očigledne prethodnike u umetnosti i koji se ne može imitirati? Ovo je kombinacija ravni i volumena, pozorna pažnja na bizarne forme mikrosvijeta - žive i nežive, na neobične točke gledišta na obične stvari. Glavni efekat njegovih kompozicija je efekat pojave nemogućih odnosa između poznatih objekata. Na prvi pogled, ove situacije mogu i uplašiti i nasmejati vas. Možete radosno gledati zabavu koju umjetnik nudi, ili možete ozbiljno uroniti u dubine dijalektike.

Moritz Escher je pokazao da je svijet možda potpuno drugačiji od onoga kako ga mi vidimo i navikli smo da ga percipiramo – samo ga trebamo pogledati iz drugog, novog ugla!

Moritz Escher

Moritz Ešer je imao više sreće kao naučnik nego kao umetnik. Njegove gravure i litografije smatrane su ključevima za dokaz teorema ili originalnih protuprimjera koji su prkosili zdravom razumu. U najgorem slučaju, smatrani su odličnim ilustracijama za naučne rasprave o kristalografiji, teoriji grupa, kognitivnoj psihologiji ili kompjuterskoj grafici. Moritz Escher je radio na polju odnosa između prostora, vremena i njihovog identiteta, koristeći osnovne uzorke mozaika i primjenjujući transformacije na njih. Ovo je veliki majstor optičkih iluzija. Escherove gravure ne prikazuju svijet formula, već ljepotu svijeta. Njihov intelektualni sastav radikalno je suprotan nelogičnim kreacijama nadrealista.

Holandski umjetnik Moritz Cornelius Escher rođen je 17. juna 1898. godine u pokrajini Holandiji. Kuća u kojoj je Escher rođen je danas muzej.

Od 1907. Moritz je studirao stolariju i svirao klavir i učio u srednjoj školi. Moritzove ocjene iz svih predmeta su bile loše, izuzev crtanja. Učitelj likovne kulture primijetio je dječakov talenat i naučio ga da radi gravure na drvetu.

Godine 1916. Escher je završio svoj prvi grafički rad, gravuru na ljubičastom linoleumu - portret njegovog oca G. A. Eschera. Posjećuje atelje umjetnika Gerta Stiegemanna, koji je imao štampariju. Na ovoj presi su štampane prve Escherove gravure.

Godine 1918-1919, Escher je pohađao tehničku školu u holandskom gradu Delftu. Dobija odgodu vojnog roka kako bi nastavio studije, ali zbog lošeg zdravlja Moritz nije uspio da se nosi sa nastavnim planom i programom i izbačen je. Kao rezultat toga, nikada nije dobio visoko obrazovanje. Studira na Školi za arhitekturu i ornament u gradu Harlemu, gdje pohađa časove crtanja od Samuela Geserina de Mesquitea, koji je utjecao na Escherov život i rad.

Godine 1921. porodica Escher je posjetila Rivijeru i Italiju. Fasciniran vegetacijom i cvijećem mediteranske klime, Moritz je napravio detaljne crteže kaktusa i stabala maslina. Skicirao je mnoge skice planinskih pejzaža, koje su kasnije bile osnova njegovih radova. Kasnije će se stalno vraćati u Italiju, koja će mu služiti kao izvor inspiracije.

Escher počinje eksperimentirati u novom smjeru za sebe; čak i tada se u njegovim radovima nalaze zrcalne slike, kristalne figure i sfere.

Kraj dvadesetih se pokazao kao vrlo plodan period za Moritza. Njegov rad je prikazan na mnogim izložbama u Holandiji, a do 1929. njegova popularnost je dostigla takav nivo da je u jednoj godini održano pet samostalnih izložbi u Holandiji i Švajcarskoj. U tom periodu su Escherove slike prvi put nazvane mehaničkim i "logičkim".

Asher mnogo putuje. Živi u Italiji i Švicarskoj, Belgiji. Proučava maurske mozaike, izrađuje litografije i gravure. Na osnovu putopisnih skica stvara svoju prvu sliku nemoguće stvarnosti, Mrtvu prirodu sa ulicom.

Krajem tridesetih Escher nastavlja eksperimente s mozaicima i transformacijama. On stvara mozaik u obliku dvije ptice koje lete jedna prema drugoj, što je činilo osnovu slike „Dan i noć“.

U maju 1940. godine nacisti su okupirali Holandiju i Belgiju, a 17. maja Brisel je ušao u okupacionu zonu, u kojoj su tada živjeli Escher i njegova porodica. Pronalaze kuću u Varni i useljavaju se u februaru 1941. Ašer će živeti u ovom gradu do kraja svojih dana.

Godine 1946. Escher se počeo zanimati za tehnologiju duboke štampe. I iako je ova tehnologija bila mnogo složenija od one koju je Escher ranije koristio i zahtijevala je više vremena za kreiranje slike, rezultati su bili impresivni - fine linije i precizan prikaz senki. Jedno od najpoznatijih radova u tehnici duboke štampe, “Kap rose”, završeno je 1948. godine.

Godine 1950. Moritz Escher je stekao popularnost kao predavač. Zatim, 1950. godine, njegova prva lična izložba održana je u Sjedinjenim Državama i njegovi radovi su počeli da se kupuju. Dana 27. aprila 1955. Moritz Escher je proglašen vitezom i postao plemić.

Sredinom 50-ih Escher je kombinovao mozaike sa figurama koje se protežu u beskonačnost.

Početkom 60-ih godina objavljena je prva knjiga sa Escherovim djelima, Grafiek en Tekeningen, u kojoj je 76 djela komentirao sam autor. Knjiga je pomogla u stjecanju razumijevanja među matematičarima i kristalografima, uključujući neke u Rusiji i Kanadi.

U avgustu 1960. Escher je održao predavanje o kristalografiji na Kembridžu. Matematički i kristalografski aspekti Escherovog rada postaju veoma popularni.

Godine 1970, nakon nove serije operacija, Escher se preselio u novu kuću u Larenu, koja je uključivala studio, ali ga je loše zdravlje spriječilo da mnogo radi.

Godine 1971. Moritz Escher je umro u 73. godini. Escher je poživio dovoljno dugo da vidi The World of M. C. Escher preveden na engleski i bio je vrlo zadovoljan time.

Na web stranicama matematičara i programera mogu se naći razne nemoguće slike. Najkompletnija verzija od onih koje smo pogledali, po našem mišljenju, je web stranica Vlada Aleksejeva

Ova stranica ne predstavlja samo dobro poznate slike, uključujući i one M. Eschera, već i animirane slike, smiješne crteže nemogućih životinja, novčiće, marke itd. Ova stranica je živa, povremeno se ažurira i dopunjava nevjerojatnim crtežima.

Nemoguće je i dalje moguće. A jasna potvrda za to je nemogući Penroseov trougao. Otkriven u prošlom veku, još uvek se često nalazi u naučnoj literaturi. I koliko god iznenađujuće zvučalo, možete ga čak i sami napraviti. I to uopšte nije teško izvesti. Mnogi ljudi koji vole crtati ili sastavljati origami već dugo mogu to raditi.

Značenje Penroseovog trougla

Postoji nekoliko naziva za ovu figuru. Neki to nazivaju nemogućim trouglom, drugi jednostavno tribarom. Ali najčešće možete pronaći definiciju "Penrose trokut".

Pod ovim definicijama razumijemo jednu od glavnih nemogućih figura. Sudeći po imenu, nemoguće je dobiti takvu cifru u stvarnosti. Ali u praksi je dokazano da se to još uvijek može učiniti. Samo što će figura poprimiti oblik trokuta ako je pogledate iz određene tačke pod pravim uglom. Sa svih ostalih strana cifra je sasvim realna. Predstavlja tri ivice kocke. I lako je napraviti takav dizajn.

Istorija otkrića

Penroseov trougao otkrio je davne 1934. švedski umjetnik Oscar Reutersvard. Figura je predstavljena u obliku kockica spojenih zajedno. Kasnije su umjetnika počeli nazivati "ocem nemogućih figura".

Možda bi Reutersvardov crtež ostao malo poznat. Ali 1954. godine švedski matematičar Roger Penrose napisao je rad o nemogućim figurama. Ovo je bilo drugo rođenje trougla. Istina, naučnik je to predstavio u poznatijem obliku. Koristio je grede radije nego kocke. Tri grede su međusobno povezane pod uglom od 90 stepeni. Ono što je takođe bilo drugačije je to što je Reutersvard koristio paralelnu perspektivu dok je crtao. Penrouz je koristio linearnu perspektivu, što je crtež učinilo još nemogućim. Takav trougao objavljen je 1958. godine u jednom od britanskih psiholoških časopisa.

Godine 1961. umjetnik Maurits Escher (Holandija) stvorio je jednu od svojih najpopularnijih litografija, "Vodopad". Nastao je pod utiskom koji je izazvao članak o nemogućim figurama.

Osamdesetih godina prošlog stoljeća, tribari i druge nemoguće figure bile su prikazane na švedskim državnim poštanskim markama. To je trajalo nekoliko godina.

Krajem prošlog stoljeća (tačnije 1999. godine) u Australiji je stvorena aluminijska skulptura koja prikazuje nemogući Penroseov trougao. Dostigao je visinu od 13 metara. Slične skulpture, samo manje veličine, nalaze se u drugim zemljama.

Nemoguće u stvarnosti

Kao što ste mogli pretpostaviti, Penroseov trougao zapravo nije trougao u uobičajenom smislu. Predstavlja tri strane kocke. Ali ako pogledate iz određenog ugla, dobivate iluziju trokuta zbog činjenice da se 2 kuta potpuno poklapaju na ravnini. Najbliži i najudaljeniji uglovi od posmatrača su vizuelno kombinovani.

Ako budete oprezni, možete pretpostaviti da tribar nije ništa drugo do iluzija. Pravi izgled figure može se otkriti njenom sjenom. To pokazuje da uglovi zapravo nisu povezani. I, naravno, sve postaje jasno ako pokupite cifru.

Izrada figure vlastitim rukama

Možete sami sastaviti Penroseov trougao. Na primjer, od papira ili kartona. A dijagrami će vam pomoći u tome. Samo ih trebate odštampati i zalijepiti zajedno. Na Internetu su dostupne dvije sheme. Jedan od njih je malo lakši, drugi je teži, ali popularniji. Oba su prikazana na slikama.

Penroseov trokut će biti zanimljiv proizvod koji će se svakako svidjeti gostima. Definitivno neće proći nezapaženo. Prvi korak u kreiranju je priprema dijagrama. Prenosi se na papir (karton) pomoću štampača. A onda je sve još jednostavnije. Samo treba da ga isečete po obodu. Dijagram već sadrži sve potrebne linije. Biće praktičnije raditi sa debljim papirom. Ako je dijagram ispisan na tankom papiru, ali želite nešto deblje, praznina se jednostavno nanosi na odabrani materijal i izrezuje duž konture. Da se dijagram ne bi pomicao, može se učvrstiti spajalicama.

Zatim morate odrediti linije duž kojih će se radni komad savijati. U pravilu se na dijagramu prikazuje isprekidanom linijom. Savijamo dio. Zatim određujemo mjesta koja treba zalijepiti. Premazani su PVA ljepilom. Dio je povezan u jednu figuru.

Dio se može farbati. Ili u početku možete koristiti karton u boji.

Dmitry Rakov

Naše oči ne mogu znati
priroda objekata.
Zato im nemojte to forsirati
zablude razuma.

Tit Lukrecije Kar

Uobičajeni izraz "optička iluzija" je inherentno netačan. Oči nas ne mogu prevariti, jer su samo posredna karika između objekta i ljudskog mozga. Optička iluzija obično nastaje ne zbog onoga što vidimo, već zato što nesvjesno razmišljamo i nehotice griješimo: „um može svijet gledati okom, a ne okom“.

Jedno od najspektakularnijih područja umjetničkog pokreta optičke umjetnosti (op-art) je imp-art (nemoguća umjetnost), zasnovana na prikazu nemogućih figura. Nemogući objekti su crteži na ravni (svaka ravan je dvodimenzionalna) koji prikazuju trodimenzionalne strukture koje je nemoguće postojati u stvarnom trodimenzionalnom svijetu. Klasična i jedna od najjednostavnijih figura je nemogući trokut.

U nemogućem trouglu svaki ugao je sam po sebi moguć, ali paradoks nastaje kada ga posmatramo kao celinu. Stranice trougla su usmjerene i prema i od gledatelja, tako da njegovi pojedinačni dijelovi ne mogu formirati pravi trodimenzionalni objekt.

Strogo govoreći, naš mozak tumači crtež na ravni kao trodimenzionalni model. Svijest postavlja “dubinu” na kojoj se nalazi svaka tačka slike. Naše ideje o stvarnom svijetu suočavaju se s kontradikcijom, nekom nedosljednošću i moramo napraviti neke pretpostavke:

ravne 2D linije se tumače kao ravne 3D linije;
2D paralelne linije se tumače kao 3D paralelne linije;
oštri i tupi uglovi se tumače kao pravi uglovi u perspektivi;
spoljne linije se smatraju granicom forme. Ova vanjska granica je izuzetno važna za konstruiranje cjelovite slike.

Ljudska svijest prvo stvara opću sliku predmeta, a zatim ispituje pojedinačne dijelove. Svaki ugao je kompatibilan sa prostornom perspektivom, ali kada se ponovo sjedine formiraju prostorni paradoks. Ako zatvorite bilo koji od uglova trokuta, nemogućnost nestaje.

Istorija nemogućih figura

Na greške u prostornoj konstrukciji umjetnici su se susreli još prije hiljadu godina. Ali prvi koji je konstruisao i analizirao nemoguće objekte smatra se švedskim umetnikom Oscarom Reutersvardom, koji je 1934. godine nacrtao prvi nemogući trougao, koji se sastoji od devet kocki.


		"Moskva", grafika (maskara, olovka), 50x70 cm, 2003

Nezavisno od Reutersa, engleski matematičar i fizičar Roger Penrose ponovo otkriva nemogući trougao i objavljuje njegovu sliku u britanskom psihološkom časopisu 1958. godine. Iluzija koristi "lažnu perspektivu". Ponekad se ova perspektiva naziva kineskom, jer se slična metoda crtanja, kada je dubina crteža "dvosmislena", često nalazi u radovima kineskih umjetnika.

Na crtežu "Tri puža" male i velike kocke nisu orijentisane u normalnoj izometrijskoj projekciji. Manja kocka graniči s većom na prednjoj i stražnjoj strani, što znači da, slijedeći trodimenzionalnu logiku, ima iste dimenzije nekih stranica kao i veća. U početku se čini da je crtež pravi prikaz čvrstog tijela, ali kako analiza napreduje, otkrivaju se logičke kontradiktornosti ovog objekta.

Crtež "Tri puža" nastavlja tradiciju druge poznate nemoguće figure - nemoguće kocke (kutije).


"IQ", grafika (maskara, olovka), 50x70 cm, 2001		"Gore i dolje", M. Escher

Donald E. Simanek je sugerisao da je razumevanje vizuelnih paradoksa jedno od obeležja vrste kreativnosti koju poseduju najbolji matematičari, naučnici i umetnici. Mnoga djela s paradoksalnim objektima mogu se klasificirati kao “intelektualne matematičke igre”. Moderna nauka govori o 7-dimenzionalnom ili 26-dimenzionalnom modelu svijeta. Takav svijet se može modelirati samo pomoću matematičkih formula; ljudi ga jednostavno ne mogu zamisliti. Ovdje nemoguće brojke dolaze u obzir. Sa filozofske tačke gledišta, oni služe kao podsjetnik da sve pojave (u sistemskoj analizi, nauci, politici, ekonomiji, itd.) treba razmatrati u svim složenim i neočiglednim odnosima.

Različiti nemogući (i mogući) objekti predstavljeni su na slici "Nemoguća abeceda".

Treća popularna nemoguća figura je nevjerovatno stepenište koje je stvorio Penrose. Kontinuirano ćete se ili uspinjati (u smjeru suprotnom od kazaljke na satu) ili spuštati (u smjeru kazaljke na satu) duž njega. Penroseov model je bio osnova čuvene slike M. Eschera "Gore i dolje" ("Uspinje i silazi").

Postoji još jedna grupa objekata koji se ne mogu implementirati. Klasična figura je nemogući trozubac, ili "đavolja viljuška".

Ako pažljivo proučite sliku, primijetit ćete da se tri zuba postepeno pretvaraju u dva na jednoj bazi, što dovodi do sukoba. Upoređujemo broj zuba iznad i ispod i dolazimo do zaključka da je objekt nemoguć.

Ima li veće koristi od nemogućih crteža od igara uma? Neke bolnice namjerno okače slike nemogućih objekata, jer gledanje u njih može dugo vremena zaokupiti pacijente. Bilo bi logično takve crteže okačiti na blagajnama, policijskim stanicama i drugim mjestima gdje čekanje u redu ponekad traje cijelu vječnost. Crteži bi mogli djelovati kao svojevrsni „hronofagi“, tj. rasipnici vremena.

Značenje Penroseovog trougla

Postoji nekoliko naziva za ovu figuru. Neki to nazivaju nemogućim trouglom, drugi jednostavno tribarom. Ali najčešće možete pronaći definiciju "Penrose trokut".

Pod ovim definicijama razumijemo jednu od glavnih nemogućih figura. Sudeći po imenu, nemoguće je dobiti takvu cifru u stvarnosti. Ali u praksi je dokazano da se to još uvijek može učiniti. To je samo oblik koji će poprimiti ako ga pogledate iz određene tačke pod pravim uglom. Sa svih ostalih strana cifra je sasvim realna. Predstavlja tri ivice kocke. I lako je napraviti takav dizajn.

Istorija otkrića

Penroseov trougao otkrio je davne 1934. švedski umjetnik Oscar Reutersvard. Figura je predstavljena u obliku kockica spojenih zajedno. Kasnije su umjetnika počeli nazivati "ocem nemogućih figura".

Godine 1961. umjetnik Maurits Escher (Holandija) stvorio je jednu od svojih najpopularnijih litografija, "Vodopad". Nastao je pod utiskom koji je izazvao članak o nemogućim figurama.

Osamdesetih godina prošlog stoljeća, tribari i druge nemoguće figure bile su prikazane na švedskim državnim poštanskim markama. To je trajalo nekoliko godina.

Nemoguće u stvarnosti

Izrada figure vlastitim rukama

Zatim morate odrediti linije duž kojih će se radni komad savijati. U pravilu se na dijagramu prikazuje savijanjem dijela. Zatim određujemo mjesta koja treba zalijepiti. Premazani su PVA ljepilom. Dio je povezan u jednu figuru.

Dio se može farbati. Ili u početku možete koristiti karton u boji.

Crtanje nemoguće figure

Penroseov trougao se također može nacrtati. Za početak nacrtajte jednostavan kvadrat na listu papira. Njegova veličina nije bitna. Sa bazom na donjoj strani kvadrata, nacrtan je trokut. Unutar njegovih uglova nacrtani su mali pravokutnici. Njihove strane će morati biti izbrisane, ostavljajući samo one koje su zajedničke s trouglom. Rezultat bi trebao biti trokut sa skraćenim uglovima.

S lijeve strane gornjeg donjeg ugla povlači se ravna linija. Ista linija, ali nešto kraća, povučena je iz donjeg lijevog ugla. Linija se povlači paralelno sa osnovom trougla koja dolazi iz desnog ugla. Ovo rezultira drugom dimenzijom.

Po principu druge, crta se treća dimenzija. Samo u ovom slučaju, sve ravne linije su zasnovane na uglovima figure ne u prvoj, već u drugoj dimenziji.