Greške u mjerenju fizičkih veličina
1.Uvod (greška mjerenja i mjerenja)
2.Slučajne i sistematske greške
3. Apsolutne i relativne greške
4. Greške mjernih instrumenata
5. Klasa tačnosti električnih mjernih instrumenata
6. Greška pri čitanju
7. Ukupna apsolutna greška direktnih mjerenja
8. Snimanje konačnog rezultata direktnog mjerenja
9. Greške indirektnih mjerenja
10.Primjer
1. Uvod (greška mjerenja i mjerenja)
Fizika kao nauka rođena je prije više od 300 godina, kada je Galileo u suštini stvorio naučnu studiju fizičkih pojava: zakoni fizike se uspostavljaju i eksperimentalno testiraju akumuliranjem i upoređivanjem eksperimentalnih podataka, predstavljenih skupom brojeva, zakoni su formulirani na jeziku matematike, tj. koristeći formule koje povezuju numeričke vrijednosti fizičkih veličina s funkcionalnom ovisnošću. Dakle, fizika je eksperimentalna nauka, fizika je kvantitativna nauka.
Hajde da se upoznamo s nekim karakterističnim karakteristikama bilo kojeg mjerenja.
Mjerenje je eksperimentalno pronalaženje numeričke vrijednosti fizičke veličine pomoću mjernih instrumenata (ravnalo, voltmetar, sat, itd.).
Mjerenja mogu biti direktna ili indirektna.
Direktno mjerenje je pronalaženje numeričke vrijednosti fizičke veličine direktno pomoću mjerenja. Na primjer, dužina - ravnalom, atmosferski pritisak - barometrom.
Indirektno mjerenje je pronalaženje numeričke vrijednosti fizičke veličine pomoću formule koja povezuje željenu veličinu s drugim veličinama određenim direktnim mjerenjem. Na primjer, otpor provodnika određuje se formulom R=U/I, gdje se U i I mjere električnim mjernim instrumentima.
Pogledajmo primjer mjerenja.
Izmjerite dužinu šipke ravnalom (vrijednost podjele je 1 mm). Možemo samo reći da je dužina šipke između 22 i 23 mm. Širina intervala „nepoznato“ je 1 mm, odnosno jednaka je cijeni podjele. Zamjena ravnala osjetljivijim uređajem, kao što je kaliper, smanjit će ovaj interval, što će dovesti do povećane točnosti mjerenja. U našem primjeru, tačnost mjerenja ne prelazi 1 mm.
Stoga se mjerenja nikada ne mogu izvršiti apsolutno precizno. Rezultat svakog mjerenja je približan. Nesigurnost u mjerenju karakteriše greška - odstupanje izmjerene vrijednosti fizičke veličine od njene prave vrijednosti.
Nabrojimo neke od razloga koji dovode do grešaka.
1. Ograničena tačnost proizvodnje mjernih instrumenata.
2. Uticaj na merenje spoljašnjih uslova (promene temperature, fluktuacije napona...).
3. Radnje eksperimentatora (kašnjenje pokretanja štoperice, različiti položaji očiju...).
4. Približna priroda zakona koji se koriste za pronalaženje izmjerenih veličina.
Navedeni uzroci grešaka se ne mogu eliminisati, ali se mogu minimizirati. Da bi se utvrdila pouzdanost zaključaka dobijenih kao rezultat naučnog istraživanja, postoje metode za procjenu ovih grešaka.
2. Slučajne i sistematske greške
Greške koje nastaju tokom mjerenja dijele se na sistematske i slučajne.
Sistematske greške su greške koje odgovaraju odstupanju izmjerene vrijednosti od prave vrijednosti fizičke veličine, uvijek u jednom smjeru (povećanje ili smanjenje). Uz ponovljena mjerenja, greška ostaje ista.
Razlozi za sistematske greške:
1) neusaglašenost merila sa standardom;
2) nepravilna ugradnja mernih instrumenata (nagib, neravnoteža);
3) neslaganje između početnih indikatora instrumenata i nule i ignorisanje ispravki koje u vezi s tim nastaju;
4) nesklad između mjerenog objekta i pretpostavke o njegovim svojstvima (prisustvo šupljina i sl.).
Slučajne greške su greške koje mijenjaju svoju numeričku vrijednost na nepredvidiv način. Takve greške su uzrokovane velikim brojem nekontrolisanih razloga koji utiču na proces mjerenja (nepravilnosti na površini objekta, puhanje vjetra, udari struje itd.). Utjecaj nasumičnih grešaka može se smanjiti ponavljanjem eksperimenta mnogo puta.
3. Apsolutne i relativne greške
Da bi se kvantifikovao kvalitet merenja, uvode se koncepti apsolutne i relativne greške merenja.
Kao što je već spomenuto, svako mjerenje daje samo približnu vrijednost fizičke veličine, ali možete odrediti interval koji sadrži njenu pravu vrijednost:
A pr - D A< А ист < А пр + D А
Vrijednost D A se naziva apsolutna greška u mjerenju veličine A. Apsolutna greška se izražava u jedinicama veličine koja se mjeri. Apsolutna greška jednaka je modulu maksimalnog mogućeg odstupanja vrijednosti fizičke veličine od izmjerene vrijednosti. A pr je vrijednost fizičke veličine dobivene eksperimentalno, ako je mjerenje vršeno više puta, onda je aritmetička sredina ovih mjerenja.
Ali za procjenu kvaliteta mjerenja potrebno je odrediti relativnu grešku e. e = D A/A pr ili e= (D A/A pr)*100%.
Ako se tokom mjerenja dobije relativna greška veća od 10%, onda kažu da je napravljena samo procjena izmjerene vrijednosti. U laboratorijama fizičkih radionica preporučuje se izvođenje mjerenja sa relativnom greškom do 10%. U naučnim laboratorijama neka precizna merenja (na primer, određivanje talasne dužine svetlosti) se izvode sa tačnošću od milionitih delova procenta.
4. Greške mjernih instrumenata
Ove greške se takođe nazivaju instrumentalnim ili instrumentalnim. Oni su određeni dizajnom mjernog uređaja, preciznošću njegove izrade i kalibracijom. Obično su zadovoljni dozvoljenim instrumentalnim greškama koje je proizvođač prijavio u pasošu za ovaj uređaj. Ove dozvoljene greške su regulisane GOST-ovima. Ovo se odnosi i na standarde. Obično se označava apsolutna instrumentalna greška D i A.
Ako nema informacija o dozvoljenoj grešci (na primjer, s ravnalom), tada se kao ova greška može uzeti polovina vrijednosti dijeljenja.
Kod vaganja apsolutna instrumentalna greška se sastoji od instrumentalnih grešaka vage i tegova. U tabeli su prikazane najčešće dozvoljene greške
mjerni instrumenti sa kojima se susrećemo u školskim eksperimentima.
|
Measuring |
Granica mjerenja |
Vrijednost podjele |
Dozvoljena greška |
|
studentski vladar |
|||
|
demonstracijski vladar |
|||
|
mjerna traka |
|||
|
čaša |
|||
|
težine 10,20, 50 mg |
|||
|
težine 100.200 mg |
|||
|
težine 500 mg |
|||
|
čeljusti |
|||
|
mikrometar |
|||
|
dinamometar |
|||
|
vaga za obuku |
|||
|
Štoperica |
1s u 30 min |
||
|
aneroidni barometar |
720-780 mm Hg. |
1 mmHg |
3 mmHg |
|
laboratorijski termometar |
0-100 stepeni C |
||
|
školski ampermetar |
|||
|
školski voltmetar |
5. Klasa tačnosti električnih mjernih instrumenata
Pokazivački električni mjerni instrumenti, prema dozvoljenim vrijednostima greške, podijeljeni su u klase tačnosti, koje su na skali instrumenta označene brojevima 0,1; 0,2; 0,5; 1.0; 1.5; 2.5; 4.0. Klasa tačnosti g pr Uređaj pokazuje koliki je postotak apsolutne greške na cijeloj skali uređaja.
g pr = (D i A/A max)*100% .
Na primjer, apsolutna instrumentalna greška uređaja klase 2,5 iznosi 2,5% njegove skale.
Ako su poznati klasa tačnosti uređaja i njegova skala, tada se može odrediti apsolutna instrumentalna greška mjerenja
D i A = (g pr * A max)/100.
Da bi se povećala tačnost mjerenja sa pokazivačkim električnim mjernim instrumentom, potrebno je odabrati uređaj sa takvom skalom da se tokom procesa mjerenja nalazi u drugoj polovini skale instrumenta.
6. Greška čitanja
Greška očitanja je rezultat nedovoljno preciznih očitavanja mjernih instrumenata.
U većini slučajeva, apsolutna greška očitanja uzima se jednakom polovini vrijednosti podjele. Izuzeci su kada se mjeri satom (kazalice se trzavo kreću).
Obično se označava apsolutna greška čitanja D oA
7. Ukupna apsolutna greška direktnih mjerenja
Prilikom izvođenja direktnih mjerenja fizičke veličine A moraju se procijeniti sljedeće greške: D i A, D oA i D sA (slučajno). Naravno, treba isključiti druge izvore grešaka koje se odnose na nepravilnu instalaciju instrumenata, neusklađenost početne pozicije strelice instrumenta sa 0, itd.
Ukupna apsolutna greška direktnog mjerenja mora uključivati sve tri vrste grešaka.
Ako je slučajna greška mala u odnosu na najmanju vrijednost koja se može izmjeriti datim mjernim instrumentom (u poređenju sa vrijednošću podjele), onda se može zanemariti i tada je jedno mjerenje dovoljno da se odredi vrijednost fizičke veličine. Inače, teorija vjerovatnoće preporučuje pronalaženje rezultata mjerenja kao aritmetičke sredine rezultata cijele serije višestrukih mjerenja, te izračunavanje greške rezultata metodom matematičke statistike. Poznavanje ovih metoda prevazilazi školski program.
8. Snimanje konačnog rezultata direktnog mjerenja
Konačan rezultat mjerenja fizičke veličine A treba napisati u ovom obliku;
A=A pr + D A, e= (D A/A pr)*100%.
A pr je vrijednost fizičke veličine dobivene eksperimentalno, ako je mjerenje vršeno više puta, onda je aritmetička sredina ovih mjerenja. D A je ukupna apsolutna greška direktnog mjerenja.
Apsolutna greška se obično izražava jednom značajnom cifrom.
Primjer: L=(7.9 + 0,1) mm, e=13%.
9. Greške indirektnih mjerenja
Prilikom obrade rezultata indirektnih mjerenja fizičke veličine koja je funkcionalno povezana sa fizičkim veličinama A, B i C, koje se mjere direktno, prvo se utvrđuje relativna greška indirektnog mjerenja. e=D X/X pr, koristeći formule date u tabeli (bez dokaza).
Apsolutna greška je određena formulom D X=X pr *e,
gdje e izraženo kao decimalni razlomak, a ne kao procenat.
Konačni rezultat se bilježi na isti način kao i u slučaju direktnih mjerenja.
|
Vrsta funkcije |
Formula |
|
X=A+B+C |
|
|
X=A-B |
|
|
X=A*B*C |
|
|
X=A n |
|
|
X=A/B |
|
primjer: Izračunajmo grešku u mjerenju koeficijenta trenja pomoću dinamometra. Eksperiment se sastoji od ravnomjernog povlačenja bloka preko horizontalne površine i mjerenja primijenjene sile: jednaka je sili trenja klizanja.
Pomoću dinamometra izmjerite blok s utezima: 1,8 N. F tr =0,6 N
μ = 0,33 Instrumentalna greška dinamometra (nalazimo je iz tabele) je Δ i = 0,05 N, greška čitanja (pola vrednosti podele).
Δ o =0,05 N. Apsolutna greška u mjerenju težine i sile trenja je 0,1 N.
Relativna greška mjerenja (5. red u tabeli)
, stoga je apsolutna greška indirektnog mjerenja μ 0,22*0,33=0,074
Neka neka slučajna varijabla a izmjereno n puta pod istim uslovima. Rezultati mjerenja su dali set n različiti brojevi
Apsolutna greška- dimenziona vrijednost. Među n Vrijednosti apsolutne greške su nužno i pozitivne i negativne.
Za najvjerovatniju vrijednost količine A obično uzima prosjek vrijednost rezultata mjerenja
.
Što je veći broj mjerenja, prosječna vrijednost je bliža pravoj vrijednosti.
Apsolutna greškai
.
Relativna greškai-to mjerenje naziva se količina
Relativna greška je bezdimenzionalna veličina. Obično se relativna greška za ovo izražava u procentima e i pomnožite sa 100%. Veličina relativne greške karakteriše tačnost merenja.
Prosječna apsolutna greška je definisan ovako:
.
Ističemo potrebu da se zbroje apsolutne vrijednosti (moduli) veličina D i ja. U suprotnom, rezultat će biti identično nula.
Prosječna relativna greška naziva se količina
.
Sa velikim brojem mjerenja.
Relativna greška se može smatrati vrijednošću greške po jedinici mjerene vrijednosti.
Tačnost mjerenja se ocjenjuje poređenjem grešaka rezultata mjerenja. Stoga se greške mjerenja izražavaju u takvom obliku da je za procjenu tačnosti dovoljno uporediti samo greške rezultata, bez upoređivanja veličina objekata koji se mjere ili poznavanja ovih veličina vrlo približno. Iz prakse je poznato da apsolutna greška u merenju ugla ne zavisi od vrednosti ugla, a apsolutna greška u merenju dužine zavisi od vrednosti dužine. Što je veća dužina, veća je apsolutna greška za datu metodu i uslove merenja. Prema tome, apsolutna greška rezultata može se koristiti za procjenu tačnosti mjerenja ugla, ali se tačnost mjerenja dužine ne može suditi. Izražavanje greške u relativnom obliku omogućava poređenje tačnosti ugaonih i linearnih merenja u poznatim slučajevima.
Osnovni koncepti teorije vjerovatnoće. Slučajna greška.
Slučajna greška naziva se komponenta greške mjerenja koja se nasumično mijenja tokom ponovljenih mjerenja iste veličine.
Kada se ponovljena mjerenja iste konstantne, nepromjenljive veličine izvode s istom pažnjom i pod istim uslovima, dobijamo rezultate mjerenja – neki se međusobno razlikuju, a neki se poklapaju. Ovakva odstupanja u rezultatima mjerenja ukazuju na prisustvo nasumičnih komponenti greške u njima.
Slučajna greška proizlazi iz istovremenog utjecaja više izvora, od kojih svaki sam po sebi ima neprimjetan učinak na rezultat mjerenja, ali ukupni utjecaj svih izvora može biti prilično jak.
Slučajne greške su neizbježna posljedica svakog mjerenja i uzrokovane su:
a) netačnost očitavanja na skali instrumenata i instrumenata;
b) neidentičnost uslova za ponovljena mjerenja;
c) slučajne promene spoljašnjih uslova (temperatura, pritisak, polje sila, itd.), koje se ne mogu kontrolisati;
d) svi drugi uticaji na merenja, čiji uzroci su nam nepoznati. Veličina slučajne greške može se minimizirati višestrukim ponavljanjem eksperimenta i odgovarajućom matematičkom obradom dobijenih rezultata.
Slučajna greška može poprimiti različite apsolutne vrijednosti, koje je nemoguće predvidjeti za dato mjerenje. Ova greška može biti podjednako pozitivna ili negativna. Slučajne greške su uvijek prisutne u eksperimentu. U nedostatku sistematskih grešaka, oni uzrokuju raspršivanje ponovljenih mjerenja u odnosu na pravu vrijednost.
Pretpostavimo da se period oscilovanja klatna mjeri pomoću štoperice, a mjerenje se ponavlja više puta. Greške u pokretanju i zaustavljanju štoperice, greška u očitanoj vrijednosti, mala neravnomjernost u kretanju klatna - sve to uzrokuje raspršivanje rezultata ponovljenih mjerenja i stoga se može klasificirati kao slučajne greške.
Ako nema drugih grešaka, onda će neki rezultati biti nešto precijenjeni, dok će drugi biti nešto podcijenjeni. Ali ako, pored ovoga, i sat kasni, onda će svi rezultati biti potcijenjeni. Ovo je već sistematska greška.
Neki faktori mogu uzrokovati i sistematske i slučajne greške u isto vrijeme. Dakle, uključivanjem i isključivanjem štoperice možemo stvoriti mali nepravilan razmak u vremenu početka i zaustavljanja sata u odnosu na kretanje klatna i time unijeti slučajnu grešku. Ali ako, osim toga, svaki put žurimo da uključimo štopericu i malo kasnimo da je isključimo, onda će to dovesti do sistematske greške.
Slučajne greške su uzrokovane greškom paralakse pri brojanju podjela skale instrumenta, podrhtavanjem temelja zgrade, utjecajem blagog kretanja zraka itd.
Iako je nemoguće eliminisati slučajne greške u pojedinačnim merenjima, matematička teorija slučajnih pojava nam omogućava da smanjimo uticaj ovih grešaka na konačni rezultat merenja. U nastavku će biti pokazano da je za to potrebno izvršiti ne jedno, već nekoliko mjerenja, a što je manja vrijednost greške koju želimo dobiti, potrebno je izvršiti više mjerenja.
Zbog činjenice da je pojava slučajnih grešaka neizbježna i neizbježna, glavni zadatak svakog mjernog procesa je da se greške svedu na minimum.
Teorija grešaka zasniva se na dvije glavne pretpostavke, potvrđene iskustvom:
1. Kod velikog broja mjerenja, vrlo često se javljaju slučajne greške iste veličine, ali različitih predznaka, odnosno greške u smjeru povećanja i smanjenja rezultata.
2. Greške velike apsolutne vrijednosti su manje uobičajene od malih, pa se vjerovatnoća pojave greške smanjuje kako se njena veličina povećava.
Ponašanje slučajnih varijabli opisano je statističkim obrascima, koji su predmet teorije vjerovatnoće. Statistička definicija vjerovatnoće w i događaji i je stav
Gdje n- ukupan broj eksperimenata, n i- broj eksperimenata u kojima je događaj i dogodilo. U ovom slučaju, ukupan broj eksperimenata bi trebao biti vrlo velik ( n®¥). Uz veliki broj mjerenja, slučajne greške se pokoravaju normalnoj distribuciji (Gaussova raspodjela), čije su glavne karakteristike sljedeće:
1. Što je veće odstupanje izmjerene vrijednosti od prave vrijednosti, to je manja vjerovatnoća za takav rezultat.
2. Odstupanja u oba smjera od prave vrijednosti su podjednako vjerovatna.
Iz navedenih pretpostavki proizilazi da je u cilju smanjenja utjecaja slučajnih grešaka potrebno ovu vrijednost izmjeriti nekoliko puta. Pretpostavimo da mjerimo neku količinu x. Neka se proizvede n mjerenja: x 1 , x 2 , ... x n- koristeći isti metod i sa istom pažnjom. Može se očekivati da će broj dn dobijeni rezultati, koji leže u nekom prilično uskom intervalu od x prije x + dx, mora biti proporcionalan:
Veličina uzetog intervala dx;
Ukupan broj mjerenja n.
Vjerovatnoća dw(x) da je neka vrijednost x leži u rasponu od x prije x + dx, definira se na sljedeći način :
(sa brojem mjerenja n ®¥).
Funkcija f(X) naziva se funkcija distribucije ili gustina vjerovatnoće.
Kao postulat teorije greške, prihvaćeno je da rezultati direktnih mjerenja i njihove slučajne greške, kada ih ima veliki broj, poštuju zakon normalne distribucije.
Funkcija distribucije kontinuirane slučajne varijable koju je pronašao Gauss x ima sljedeći oblik:
, gdje mis -
parametri distribucije .
Parametar m normalne distribucije jednak je srednjoj vrijednosti b xñ slučajna varijabla, koja je za proizvoljnu poznatu funkciju raspodjele određena integralom
.
dakle, vrijednost m je najvjerovatnija vrijednost mjerene veličine x, tj. njena najbolja procena.
Parametar s 2 normalne distribucije jednak je varijansi D slučajne varijable, koja je u opštem slučaju određena sledećim integralom
.
Kvadratni korijen varijanse naziva se standardna devijacija slučajne varijable.
Prosječna devijacija (greška) slučajne varijable ásñ se određuje korištenjem funkcije distribucije kako slijedi
Prosječna greška mjerenja ásñ, izračunata iz Gaussove funkcije raspodjele, povezana je sa vrijednošću standardne devijacije s na sljedeći način:
< s > = 0,8s.
Parametri s i m su međusobno povezani na sljedeći način:
.
Ovaj izraz vam omogućava da pronađete standardnu devijaciju s ako postoji normalna kriva distribucije.
Grafikon Gausove funkcije prikazan je na slikama. Funkcija f(x) je simetričan u odnosu na ordinatu povučenu u tački x = m; prolazi kroz maksimum u tački x = m i ima pregib u tačkama m ±s. Dakle, varijansa karakterizira širinu funkcije distribucije, ili pokazuje koliko su široko raspršene vrijednosti slučajne varijable u odnosu na njenu pravu vrijednost. Što su mjerenja tačnija, to su rezultati pojedinačnih mjerenja bliži pravoj vrijednosti, tj. vrijednost s je manja. Slika A prikazuje funkciju f(x) za tri vrijednosti s .
Površina figure zatvorena krivom f(x) i vertikalne linije povučene iz tačaka x 1 i x 2 (sl. B) , numerički jednak vjerovatnoći da rezultat mjerenja padne u interval D x = x 1 -x 2, što se naziva vjerovatnoća povjerenja. Površina ispod cijele krivine f(x) jednaka je vjerovatnoći da slučajna varijabla padne u interval od 0 do ¥, tj.
,
budući da je vjerovatnoća pouzdanog događaja jednaka jedan.
Koristeći normalnu distribuciju, teorija grešaka postavlja i rješava dva glavna problema. Prvi je procjena tačnosti mjerenja. Drugi je procjena tačnosti srednje aritmetičke vrijednosti rezultata mjerenja.5. Interval povjerenja. Studentov koeficijent.
Teorija vjerovatnoće nam omogućava da sa poznatom vjerovatnoćom odredimo veličinu intervala u kojem w nalaze se rezultati pojedinačnih mjerenja. Ova vjerovatnoća se zove verovatnoća poverenja, i odgovarajući interval (<x>±D x)w pozvao interval povjerenja. Vjerovatnoća pouzdanosti je također jednaka relativnom udjelu rezultata koji spadaju u interval povjerenja.
Ako je broj mjerenja n je dovoljno velika, tada vjerovatnoća pouzdanosti izražava udio ukupnog broja n ona mjerenja u kojima je izmjerena vrijednost bila unutar intervala povjerenja. Svaka vjerovatnoća povjerenja w odgovara njegovom intervalu pouzdanosti w 2 80%. Što je interval pouzdanosti širi, veća je vjerovatnoća da ćete dobiti rezultat unutar tog intervala. U teoriji vjerovatnoće uspostavlja se kvantitativni odnos između vrijednosti intervala povjerenja, vjerovatnoće povjerenja i broja mjerenja.
Ako kao interval pouzdanosti odaberemo interval koji odgovara prosječnoj grešci, odnosno D a =áD Añ, tada za dovoljno veliki broj mjerenja odgovara vjerovatnoći povjerenja w 60%. Kako se broj mjerenja smanjuje, vjerovatnoća povjerenja koja odgovara takvom intervalu povjerenja (á Añ ± áD Añ), smanjuje se.
Dakle, za procjenu intervala povjerenja slučajne varijable, može se koristiti vrijednost prosječne greške áD Añ .
Za karakterizaciju veličine slučajne greške potrebno je navesti dva broja, odnosno vrijednost intervala povjerenja i vrijednost vjerovatnoće pouzdanosti . Navođenje samo veličine greške bez odgovarajuće pouzdane vjerovatnoće je uglavnom besmisleno.
Ako je poznata prosječna greška mjerenja ásñ, interval povjerenja zapisan kao (<x>±asñ) w, određen s pouzdanom vjerovatnoćom w= 0,57.
Ako je poznata standardna devijacija s distribucija rezultata merenja, navedeni interval ima oblik (<x>± t w s) w, Gdje t w- koeficijent koji zavisi od vrednosti verovatnoće poverenja i izračunat korišćenjem Gausove distribucije.
Najčešće korištene količine D x date su u tabeli 1.
1. Kako odrediti greške mjerenja.
Izvođenje laboratorijskih radova podrazumijeva mjerenje različitih fizičkih veličina i naknadnu obradu njihovih rezultata.
Measurement- eksperimentalno pronalaženje vrijednosti fizičke veličine pomoću mjernih instrumenata.
Direktno mjerenje- određivanje vrijednosti fizičke veličine direktno pomoću mjerenja.
Indirektno mjerenje- određivanje vrijednosti fizičke veličine pomoću formule koja je povezuje sa drugim fizičkim veličinama utvrđenim direktnim mjerenjem.
Hajde da uvedemo sljedeću notaciju:
A, B, C, ... - fizičke veličine.
A pr je približna vrijednost fizičke veličine, odnosno vrijednost dobivena direktnim ili indirektnim mjerenjem.
ΔA je apsolutna greška mjerenja fizičke veličine.
ε - relativna greška mjerenja fizičke veličine, jednaka:
Δ I A je apsolutna instrumentalna greška određena dizajnom uređaja (greška mjernih instrumenata; vidi tabelu 1).
Δ 0 A - apsolutna greška očitavanja (nastala zbog nedovoljno tačnih očitavanja mjernih instrumenata); u većini slučajeva jednaka je polovini vrijednosti podjele kada se mjeri vrijeme, jednaka je vrijednosti podjele štoperice ili sata.
Tabela 1
Apsolutne instrumentalne greške mjernih instrumenata
| № | Measuring | Granica mjerenja | Vrijednost podjele | Apsolutna instrumentalna greška |
| 1 | Vladar | |||
| student | do 50 cm | 1 mm | ± 1 mm | |
| soba za crtanje | do 50 cm | 1 mm | ±0,2 mm | |
| instrumental (čelik) | 20 cm | 1 mm | ±0,1 mm | |
| demonstracija | 100 cm | 1 cm | ± 0,5 cm | |
| 2 | Mjerna traka | 150 cm | 0,5 cm | ± 0,5 cm |
| 3 | Mjerni cilindar | do 250 ml | 1 ml | ± 1 ml |
| 4 | Čeljusti | 150 mm | 0,1 mm | ±0,05 mm |
| 5 | Mikrometar | 25 mm | 0,01 mm | ± 0,005 mm |
| 6 | Dinamometar za trening | 4 N | 0,1 N | ± 0,05 N |
| 7 | Vage za obuku | 200 g | - | ±0,01 g |
| 8 | Štoperica | 0-30 min | 0,2 s | ± 1 s na 30 min |
| 9 | Aneroidni barometar | 720-780 mm Hg. Art. | 1 mmHg Art. | ± 3 mmHg Art. |
| 10 | Laboratorijski termometar | 0-100 0 C | 1 0 C | ± 1 0 S |
| 11 | Školski ampermetar | 2 A | 0,1 A | ±0,05A |
| 12 | Školski voltmetar | 6 V | 0,2 V | ±0.15V |
Maksimalna apsolutna greška direktnih merenja sastoji se od apsolutne instrumentalne greške i apsolutne greške očitavanja u odsustvu drugih grešaka:
Apsolutna greška mjerenja se obično zaokružuje na jednu značajnu cifru (ΔA = 0,17 ≈ 0,2); brojčana vrijednost rezultata mjerenja se zaokružuje tako da je njegova posljednja znamenka u istoj cifri kao i cifra greške (A = 10,332 ≈ 10,3).
Rezultati ponovljenih mjerenja fizičke veličine A, izvršenih u istim kontroliranim uvjetima i korištenjem dovoljno osjetljivih i tačnih (sa malim greškama) mjernih instrumenata, obično se međusobno razlikuju. U ovom slučaju, Apr se nalazi kao aritmetička sredina svih mjerenja, a greška ΔA (naziva se slučajna greška) utvrđuje se metodama matematičke statistike.
U školskoj laboratorijskoj praksi takvi se mjerni instrumenti praktički ne koriste. Stoga je prilikom izvođenja laboratorijskih radova potrebno odrediti maksimalne greške u mjerenju fizičkih veličina. Jedno mjerenje je dovoljno da dobijete rezultat.
Relativna greška indirektnih mjerenja određena je kao što je prikazano u tabeli 2.
tabela 2
Formule za izračunavanje relativne greške indirektnih mjerenja
| № | Formula za fizičku količinu | Formula za relativnu grešku |
| 1 |  |
|
| 2 | |
|
| 3 | ||
| 4 |  |
Apsolutna greška indirektnih mjerenja određena je formulom ΔA = A pr ε (ε se izražava kao decimalni razlomak).
2. O klasi tačnosti električnih mjernih instrumenata.
Da biste odredili apsolutnu instrumentalnu grešku uređaja, morate znati njegovu klasu tačnosti. Klasa tačnosti γ mjernog uređaja pokazuje koliko posto je apsolutna instrumentalna greška Δ i A od cijele skale uređaja (A max):
Klasa tačnosti je naznačena na skali uređaja ili u njegovom pasošu (znak % u ovom slučaju nije napisan). Postoje sljedeće klase tačnosti električnih mjernih instrumenata: 0,1; 0,2; 0,5; 1; 1.5; 2.5; 4. Poznavajući klasu tačnosti uređaja (γ pr) i njegovu cjelokupnu skalu (A max), odrediti apsolutnu grešku Δ i A mjerenja fizičke veličine A ovim uređajem:
3. Kako uporediti rezultate mjerenja.
1. Zapišite rezultate mjerenja u obliku dvostrukih nejednačina:
A 1np - ΔA 1< А 1пр < А 1пр + ΔА 1 ,
A 2pr - ΔA 2< А 2пр < А 2пр + ΔА 2 .
2. Uporedite dobijene intervale vrednosti: ako se intervali ne preklapaju, rezultati nisu isti; ako se preklapaju, identični su za datu relativnu grešku mjerenja.
4. Kako pripremiti izvještaj o obavljenom poslu.
- Laboratorijski rad br....
- Naslov rada.
- Cilj rada.
- Crtež (ako je potrebno).
- Formule za tražene količine i njihove greške.
- Tabela rezultata mjerenja i proračuna.
- Konačan rezultat, zaključak itd. (prema namjeni rada).
5. Kako zabilježiti rezultat mjerenja.
A = A pr ± ΔA
e = ...%.
Često u životu moramo da se nosimo sa različitim približnim količinama. Približni proračuni su uvijek proračuni s nekom greškom.
Koncept apsolutne greške
Apsolutna greška približne vrijednosti je veličina razlike između tačne i približne vrijednosti.
To jest, trebate oduzeti približnu vrijednost od tačne vrijednosti i uzeti rezultujući broj po modulu. Dakle, apsolutna greška je uvijek pozitivna.
Kako izračunati apsolutnu grešku
Hajde da pokažemo kako bi to moglo izgledati u praksi. Na primjer, imamo graf određene vrijednosti, neka je parabola: y=x^2.
Iz grafikona možemo odrediti približnu vrijednost u nekim tačkama. Na primjer, kod x=1,5 vrijednost y je približno jednaka 2,2 (y≈2,2).
Koristeći formulu y=x^2 možemo pronaći tačnu vrijednost u tački x=1,5 y= 2,25.
Sada izračunajmo apsolutnu grešku naših mjerenja. |2,25-2,2|=|0,05| = 0,05.
Apsolutna greška je 0,05. U takvim slučajevima takođe kažu da je vrednost izračunata sa tačnošću od 0,05.
Često se dešava da se tačna vrijednost ne može uvijek pronaći, a samim tim ni apsolutna greška.
Na primjer, ako izračunamo udaljenost između dvije točke pomoću ravnala, ili vrijednost ugla između dvije prave pomoću kutomjera, onda ćemo dobiti približne vrijednosti. Ali tačnu vrijednost je nemoguće izračunati. U ovom slučaju možemo odrediti broj tako da vrijednost apsolutne greške ne može biti veća.
U primjeru s ravnalom, to će biti 0,1 cm, jer je vrijednost podjele na ravnalu 1 milimetar. U primjeru za kutomjer, 1 stepen jer je skala kutomjera stepenovana na svakom stepenu. Dakle, vrijednosti apsolutne greške u prvom slučaju su 0,1, au drugom slučaju 1.
U naše doba, čovjek je izumio i koristi ogroman broj svih vrsta mjernih instrumenata. Ali bez obzira koliko je tehnologija njihove proizvodnje savršena, svi oni imaju veću ili manju grešku. Ovaj je parametar, u pravilu, naznačen na samom instrumentu, a da biste procijenili tačnost vrijednosti koja se utvrđuje, morate biti u stanju razumjeti šta znače brojevi naznačeni na oznaci. Osim toga, relativne i apsolutne greške neizbježno nastaju tokom složenih matematičkih proračuna. Široko se koristi u statistici, industriji (kontrola kvaliteta) i u nizu drugih oblasti. Kako se ova vrijednost izračunava i kako tumačiti njenu vrijednost - upravo o tome će biti riječi u ovom članku.
Apsolutna greška
Označimo sa x približnu vrijednost neke veličine, dobijenu, na primjer, jednim mjerenjem, a sa x 0 njenu tačnu vrijednost. Sada izračunajmo veličinu razlike između ova dva broja. Apsolutna greška je upravo ona vrijednost koju smo dobili kao rezultat ove jednostavne operacije. Izražena jezikom formula, ova definicija se može napisati u sljedećem obliku: Δ x = | x - x 0 |.
Relativna greška
Apsolutno odstupanje ima jedan važan nedostatak - ne dozvoljava procjenu stepena važnosti greške. Na primjer, kupimo 5 kg krompira na pijaci, a nesavjesni prodavac je prilikom mjerenja težine napravio grešku od 50 grama u svoju korist. To jest, apsolutna greška je bila 50 grama. Za nas će takav previd biti samo sitnica i nećemo se ni obazirati na to. Možete li zamisliti šta će se dogoditi ako se slična greška dogodi prilikom pripreme lijeka? Ovdje će sve biti mnogo ozbiljnije. A prilikom utovara teretnog vagona, vjerovatno će doći do odstupanja mnogo veća od ove vrijednosti. Stoga sama apsolutna greška nije baš informativna. Osim toga, vrlo često se dodatno izračunava i relativno odstupanje, koje je jednako omjeru apsolutne greške i tačne vrijednosti broja. Ovo se piše sljedećom formulom: δ = Δ x / x 0 .
Svojstva greške
Pretpostavimo da imamo dvije nezavisne veličine: x i y. Moramo izračunati odstupanje približne vrijednosti njihove sume. U ovom slučaju, apsolutnu grešku možemo izračunati kao zbir unaprijed izračunatih apsolutnih odstupanja svakog od njih. U nekim mjerenjima može se dogoditi da se greške u određivanju vrijednosti x i y međusobno poništavaju. Ili se može dogoditi da se kao rezultat sabiranja odstupanja maksimalno pojačaju. Stoga, kada se izračuna ukupna apsolutna greška, mora se uzeti u obzir najgori scenario. Isto vrijedi i za razliku između grešaka nekoliko veličina. Ovo svojstvo je karakteristično samo za apsolutnu grešku i ne može se primijeniti na relativno odstupanje, jer će to neminovno dovesti do pogrešnog rezultata. Pogledajmo ovu situaciju koristeći sljedeći primjer.
Pretpostavimo da su mjerenja unutar cilindra pokazala da je unutrašnji radijus (R 1) 97 mm, a vanjski polumjer (R 2) 100 mm. Potrebno je odrediti debljinu njegovog zida. Prvo, pronađimo razliku: h = R 2 - R 1 = 3 mm. Ako problem ne pokazuje kolika je apsolutna greška, onda se ona uzima kao polovina podjela skale mjernog uređaja. Dakle, Δ(R 2) = Δ(R 1) = 0,5 mm. Ukupna apsolutna greška je: Δ(h) = Δ(R 2) + Δ(R 1) = 1 mm. Sada izračunajmo relativno odstupanje svih vrijednosti:
δ(R 1) = 0,5/100 = 0,005,
δ(R 1) = 0,5/97 ≈ 0,0052,
δ(h) = Δ(h)/h = 1/3 ≈ 0,3333>> δ(R 1).
Kao što vidite, greška u merenju oba poluprečnika ne prelazi 5,2%, a greška u izračunavanju njihove razlike - debljine zida cilindra - čak 33,(3)%!
Sljedeće svojstvo glasi: relativno odstupanje proizvoda nekoliko brojeva približno je jednako zbroju relativnih odstupanja pojedinačnih faktora:
δ(xy) ≈ δ(x) + δ(y).
Štaviše, ovo pravilo vrijedi bez obzira na broj vrijednosti koje se procjenjuju. Treće i posljednje svojstvo relativne greške je da je relativna procjena k-te snage približno | k | puta relativnu grešku originalnog broja.