Višestrani trapez... Može biti proizvoljan, jednakokraki ili pravougaoni. I u svakom slučaju morate znati kako pronaći površinu trapeza. Naravno, najlakši način je zapamtiti osnovne formule. Ali ponekad je lakše koristiti onaj koji je izveden uzimajući u obzir sve karakteristike određene geometrijske figure.
Nekoliko riječi o trapezu i njegovim elementima
Svaki četverougao čije su dvije stranice paralelne može se nazvati trapezom. Općenito, one nisu jednake i nazivaju se bazama. Veći je donji, a drugi gornji.
Ostale dvije strane ispadaju bočne. U proizvoljnom trapezu imaju različite dužine. Ako su jednaki, tada figura postaje jednakokračna.
Ako se iznenada ugao između bilo koje strane i baze pokaže jednakim 90 stepeni, tada je trapez pravougaonik.
Sve ove karakteristike mogu pomoći u rješavanju problema kako pronaći površinu trapeza.
Među elementima figure koji mogu biti neophodni u rješavanju problema možemo izdvojiti sljedeće:
- visina, odnosno segment okomit na obje baze;
- srednja linija, koja na svojim krajevima ima sredine bočnih strana.
Koja formula se može koristiti za izračunavanje površine ako su baza i visina poznate?
Ovaj izraz je dat kao osnovni jer se najčešće mogu prepoznati te veličine i kada nisu eksplicitno date. Dakle, da biste razumjeli kako pronaći površinu trapeza, morat ćete dodati obje baze i podijeliti ih sa dva. Zatim pomnožite rezultirajuću vrijednost sa vrijednošću visine.
Ako odredimo baze kao 1 i a 2, a visinu kao n, tada će formula za površinu izgledati ovako:
S = ((a 1 + a 2)/2)*n.
Formula koja izračunava površinu ako su date njena visina i središnja linija
Ako pažljivo pogledate prethodnu formulu, lako je primijetiti da ona jasno sadrži vrijednost srednje linije. Naime, zbir osnovica podijeljen sa dva. Neka je srednja linija označena slovom l, tada formula za površinu postaje:
S = l * n.
Sposobnost pronalaženja područja pomoću dijagonala
Ova metoda će pomoći ako je poznat ugao koji su formirali. Pretpostavimo da su dijagonale označene slovima d 1 i d 2, a uglovi između njih su α i β. Tada će formula za pronalaženje površine trapeza biti napisana na sljedeći način:
S = ((d 1 * d 2)/2) * sin α.
Možete lako zamijeniti α sa β u ovom izrazu. Rezultat se neće promijeniti.
Kako saznati površinu ako su poznate sve strane figure?
Postoje i situacije kada su tačno poznate strane ove figure. Ova formula je glomazna i teško ju je zapamtiti. Ali vjerovatno. Neka stranice imaju oznaku: a 1 i a 2, osnova a 1 je veća od a 2. Tada će formula površine poprimiti sljedeći oblik:
S = ((a 1 + a 2) / 2) * √ (u 1 2 - [(a 1 - a 2) 2 + u 1 2 - u 2 2) / (2 * (a 1 - a 2)) ] 2 ).
Metode za izračunavanje površine jednakokračnog trapeza
Prvi je zbog činjenice da se u njega može upisati krug. A, znajući njegov polumjer (označen je slovom r), kao i ugao na bazi - γ, možete koristiti sljedeću formulu:
S = (4 * r 2) / sin γ.
Posljednja opća formula, koja se temelji na poznavanju svih strana figure, bit će značajno pojednostavljena zbog činjenice da strane imaju isto značenje:
S = ((a 1 + a 2) / 2) * √ (u 2 - [(a 1 - a 2) 2 / (2 * (a 1 - a 2))] 2 ).
Metode za izračunavanje površine pravokutnog trapeza
Jasno je da je bilo šta od gore navedenog prikladno za bilo koju figuru. Ali ponekad je korisno znati o jednoj osobini takvog trapeza. Ona leži u činjenici da je razlika između kvadrata dužina dijagonala jednaka razlici koju čine kvadrati baza.
Često se zaboravljaju formule za trapez, a pamte se izrazi za površine pravougaonika i trougla. Tada možete koristiti jednostavnu metodu. Podijelite trapez na dva oblika, ako je pravougaona, ili na tri. Jedan će sigurno biti pravougaonik, a drugi, ili preostala dva, će biti trouglovi. Nakon izračunavanja površina ovih figura, ostaje samo da ih saberemo.
Ovo je prilično jednostavan način za pronalaženje površine pravokutnog trapeza.
Šta ako su koordinate vrhova trapeza poznate?
U ovom slučaju, morat ćete koristiti izraz koji vam omogućava da odredite udaljenost između tačaka. Može se primijeniti tri puta: kako bi se saznale obje baze i jedna visina. I onda samo primijenite prvu formulu, koja je opisana malo više.
Za ilustraciju ove metode može se dati sljedeći primjer. Zadati vrhovi sa koordinatama A(5; 7), B(8; 7), C(10; 1), D(1; 1). Morate saznati površinu figure.
Prije nego što pronađete površinu trapeza, morate izračunati dužine baza iz koordinata. Trebat će vam sljedeća formula:
dužina segmenta = √((razlika prvih koordinata tačaka) 2 + (razlika drugih koordinata tačaka) 2 ).
Gornja baza je označena AB, što znači da će njena dužina biti jednaka √((8-5) 2 + (7-7) 2 ) = √9 = 3. Donja je CD = √ ((10-1) 2 + (1-1 ) 2 ) = √81 = 9.
Sada morate nacrtati visinu od vrha do baze. Neka njegov početak bude u tački A. Kraj segmenta će biti na donjoj bazi u tački sa koordinatama (5; 1), neka je ovo tačka H. Dužina segmenta AN će biti jednaka √((5 -5) 2 + (7-1) 2 ) = √36 = 6.
Sve što ostaje je zamijeniti rezultirajuće vrijednosti u formulu za površinu trapeza:
S = ((3 + 9) / 2) * 6 = 36.
Problem je riješen bez mjernih jedinica, jer nije specificirana skala koordinatne mreže. Može biti milimetar ili metar.
Problemi sa uzorcima
Br. 1. Stanje. Ugao između dijagonala proizvoljnog trapeza je poznat, jednak je 30 stepeni. Manja dijagonala ima vrijednost 3 dm, a druga je 2 puta veća. Potrebno je izračunati površinu trapeza.
Rješenje. Prvo morate saznati dužinu druge dijagonale, jer bez toga neće biti moguće izračunati odgovor. Nije teško izračunati, 3 * 2 = 6 (dm).
Sada morate koristiti odgovarajuću formulu za područje:
S = ((3 * 6) / 2) * sin 30º = 18/2 * ½ = 4,5 (dm 2). Problem je riješen.
odgovor: Površina trapeza je 4,5 dm2.
br. 2. Stanje. U trapezu ABCD, baze su segmenti AD i BC. Tačka E je sredina SD strane. Iz nje je povučena okomita na pravu liniju AB, kraj ovog segmenta je označen slovom H. Poznato je da su dužine AB i EH jednake 5, odnosno 4 cm. Potrebno je izračunati površinu trapeza.
Rješenje. Prvo morate napraviti crtež. Budući da je vrijednost okomice manja od strane na koju je povučena, trapez će biti malo izdužen prema gore. Dakle, EH će biti unutar figure.
Da biste jasno vidjeli napredak rješavanja problema, morat ćete izvršiti dodatnu konstrukciju. Naime, nacrtajte pravu liniju koja će biti paralelna sa stranicom AB. Tačke preseka ove prave sa AD su P, a sa nastavkom BC su X. Dobijena figura VHRA je paralelogram. Štaviše, njegova površina je jednaka potrebnoj. To je zbog činjenice da su trokuti koji su dobijeni tokom dodatne konstrukcije jednaki. To proizlazi iz jednakosti stranice i dva susjedna ugla, jedan okomit, a drugi poprečno.
Područje paralelograma možete pronaći pomoću formule koja sadrži proizvod stranice i visine spuštene na nju.
Dakle, površina trapeza je 5 * 4 = 20 cm 2.
odgovor: S = 20 cm 2.
br. 3. Stanje. Elementi jednakokračnog trapeza imaju sljedeće vrijednosti: donja osnova - 14 cm, gornja - 4 cm, oštar ugao - 45º. Morate izračunati njegovu površinu.
Rješenje. Neka je manja baza označena BC. Visina povučena iz tačke B zvaće se VH. Pošto je ugao 45º, trougao ABH će biti pravougaoni i jednakokraki. Dakle AN=VN. Štaviše, AN je vrlo lako pronaći. Jednaka je polovini razlike u bazama. To je (14 - 4) / 2 = 10 / 2 = 5 (cm).
Osnove su poznate, visine su izračunate. Možete koristiti prvu formulu, o kojoj je ovdje bilo riječi za proizvoljni trapez.
S = ((14 + 4) / 2) * 5 = 18/2 * 5 = 9 * 5 = 45 (cm 2).
odgovor: Potrebna površina je 45 cm 2.
br. 4. Stanje. Postoji proizvoljan trapez ABCD. Tačke O i E su uzete na njegovim bočnim stranama, tako da je OE paralelan osnovici AD. Površina AOED trapeza je pet puta veća od površine OVSE. Izračunajte OE vrijednost ako su poznate dužine baza.
Rješenje. Moraćete da nacrtate dve paralelne prave AB: prvu kroz tačku C, njen presek sa OE - tačkom T; drugi kroz E i tačka preseka sa AD će biti M.
Neka je nepoznati OE=x. Visina manjeg trapeza OVSE je n 1, većeg AOED je n 2.
Pošto su površine ova dva trapeza povezane kao 1 do 5, možemo napisati sljedeću jednakost:
(x + a 2) * n 1 = 1/5 (x + a 1) * n 2
n 1 / n 2 = (x + a 1) / (5 (x + a 2)).
Visine i stranice trokuta su po konstrukciji proporcionalne. Stoga možemo napisati još jednu jednakost:
n 1 / n 2 = (x - a 2) / (a 1 - x).
U zadnja dva unosa na lijevoj strani nalaze se jednake vrijednosti, što znači da možemo napisati da je (x + a 1) / (5(x + a 2)) jednako (x - a 2) / (a 1 - x).
Ovdje su potrebne brojne transformacije. Prvo pomnožite unakrsno. Pojavit će se zagrade koje označavaju razliku kvadrata, nakon primjene ove formule dobit ćete kratku jednačinu.
U njemu treba da otvorite zagrade i pomerite sve pojmove sa nepoznatim "x" ulevo, a zatim izdvojite kvadratni koren.
Odgovori: x = √ ((a 1 2 + 5 a 2 2) / 6).
Da biste se osjećali samopouzdano i uspješno rješavali probleme na časovima geometrije, nije dovoljno naučiti formule. Prvo ih treba razumjeti. Bojati se, a još više mrzeti formule, je neproduktivno. Ovaj članak će na pristupačnom jeziku analizirati različite načine za pronalaženje područja trapeza. Da bismo bolje razumjeli odgovarajuća pravila i teoreme, obratit ćemo pažnju na njegova svojstva. Ovo će vam pomoći da shvatite kako pravila funkcionišu i u kojim slučajevima određene formule treba primijeniti.
Definisanje trapeza
Kakva je ovo uopšte figura? Trapez je mnogokut sa četiri ugla i dvije paralelne stranice. Druge dvije strane trapeza mogu biti nagnute pod različitim uglovima. Njegove paralelne stranice nazivaju se bazama, a za neparalelne strane koristi se naziv "strane" ili "bokovi". Takve figure su prilično česte u svakodnevnom životu. Konture trapeza mogu se vidjeti u siluetama odjeće, predmeta interijera, namještaja, posuđa i mnogih drugih. Postoje različite vrste trapeza: skalasti, jednakostranični i pravougaoni. Kasnije ćemo u članku detaljnije ispitati njihove vrste i svojstva.
Svojstva trapeza
Zadržimo se ukratko na svojstvima ove figure. Zbir uglova susednih bilo kojoj strani je uvek 180°. Treba napomenuti da svi uglovi trapeza iznose 360°. Trapez ima koncept srednje linije. Ako spojite sredine strana sa segmentom, to će biti srednja linija. Označen je kao m. Srednja linija ima važna svojstva: uvijek je paralelna s bazama (sjetimo se da su baze također paralelne jedna s drugom) i jednaka je njihovom poluzbiru:
Ova definicija se mora naučiti i razumjeti, jer je ona ključ za rješavanje mnogih problema!
Sa trapezom uvijek možete spustiti visinu do baze. Visina je okomita, često označena simbolom h, koja se povlači od bilo koje tačke jedne baze do druge baze ili njenog produžetka. Srednja linija i visina pomoći će vam da pronađete područje trapeza. Takvi problemi su najčešći u školskom predmetu geometrije i redovno se pojavljuju među ispitnim i ispitnim radovima.
Najjednostavnije formule za područje trapeza
Pogledajmo dvije najpopularnije i najjednostavnije formule koje se koriste za pronalaženje površine trapeza. Dovoljno je pomnožiti visinu sa polovinom zbira baza da lako pronađete ono što tražite:
S = h*(a + b)/2.
U ovoj formuli, a, b označavaju osnove trapeza, h - visinu. Radi lakše percepcije, u ovom članku, znaci množenja su označeni simbolom (*) u formulama, iako se u službenim referentnim knjigama znak množenja obično izostavlja.
Pogledajmo primjer.
Dato je: trapez sa dvije osnove jednake 10 i 14 cm, visina je 7 cm. Kolika je površina trapeza?
Pogledajmo rješenje ovog problema. Koristeći ovu formulu, prvo morate pronaći poluzbir baza: (10+14)/2 = 12. Dakle, poluzbir je jednak 12 cm. Sada pomnožimo poluzbir sa visinom: 12*7 = 84. Ono što tražimo je pronađeno. Odgovor: Površina trapeza je 84 kvadratna metra. cm.
Druga poznata formula kaže: površina trapeza jednaka je proizvodu srednje linije i visine trapeza. Odnosno, to zapravo slijedi iz prethodnog koncepta srednje linije: S=m*h.
Korištenje dijagonala za proračune
Drugi način pronalaženja površine trapeza zapravo nije tako komplikovan. Povezan je sa svojim dijagonalama. Koristeći ovu formulu, da biste pronašli površinu, morate pomnožiti poluproizvod njegovih dijagonala (d 1 d 2) sa sinusom kuta između njih:
S = ½ d 1 d 2 sin a.
Razmotrimo problem koji pokazuje primjenu ove metode. Dato je: trapez čija je dužina dijagonala jednaka 8 odnosno 13 cm.Ugao a između dijagonala je 30°. Pronađite površinu trapeza.
Rješenje. Koristeći gornju formulu, lako je izračunati šta je potrebno. Kao što znate, sin 30° je 0,5. Dakle, S = 8*13*0,5=52. Odgovor: površina je 52 kvadratna metra. cm.
Pronalaženje površine jednakokračnog trapeza
Trapez može biti jednakokračan (jednakokračan). Njegove stranice su iste, a uglovi u osnovima jednaki, što je dobro ilustrovano slikom. Jednakokraki trapez ima ista svojstva kao i običan, plus niz posebnih. Krug se može opisati oko jednakokračnog trapeza, a u njega se može upisati kružnica.
Koje metode postoje za izračunavanje površine takve figure? Metoda u nastavku će zahtijevati mnogo proračuna. Da biste ga koristili, morate znati vrijednosti sinusa (sin) i kosinusa (cos) ugla na bazi trapeza. Da biste ih izračunali, potrebne su vam ili Bradisove tablice ili inženjerski kalkulator. Evo formule:
S= c*sin a*(a - c*cos a),
Gdje With- bočna butina, a- ugao na donjoj bazi.
Jednakostranični trapez ima dijagonale jednake dužine. Vrijedi i obrnuto: ako trapez ima jednake dijagonale, onda je jednakokrak. Otuda sljedeća formula koja pomaže u pronalaženju površine trapeza - poluproizvod kvadrata dijagonala i sinusa kuta između njih: S = ½ d 2 sin a.
Pronalaženje površine pravokutnog trapeza
Poznat je poseban slučaj pravokutnog trapeza. Ovo je trapez, u kojem jedna strana (njegova butina) graniči s bazama pod pravim uglom. Ima svojstva pravilnog trapeza. Osim toga, ima vrlo zanimljivu osobinu. Razlika u kvadratima dijagonala takvog trapeza jednaka je razlici kvadrata njegovih baza. Za to se koriste sve prethodno opisane metode za izračunavanje površine.
Koristimo domišljatost
Postoji jedan trik koji može pomoći ako zaboravite određene formule. Pogledajmo bliže šta je trapez. Ako ga mentalno podijelimo na dijelove, dobit ćemo poznate i razumljive geometrijske oblike: kvadrat ili pravougaonik i trokut (jedan ili dva). Ako su visina i stranice trapeza poznate, možete koristiti formule za površinu trokuta i pravokutnika, a zatim zbrojiti sve rezultirajuće vrijednosti.
Ilustrirajmo ovo sljedećim primjerom. Dat je pravougaoni trapez. Ugao C = 45°, uglovi A, D su 90°. Gornja osnova trapeza je 20 cm, visina je 16 cm. Potrebno je izračunati površinu figure.
Ova figura se očigledno sastoji od pravougaonika (ako su dva ugla jednaka 90°) i trougla. Kako je trapez pravougaonik, njegova visina je jednaka njegovoj strani, odnosno 16 cm. Imamo pravougaonik sa stranicama 20, odnosno 16 cm. Sada razmotrite trougao čiji je ugao 45°. Znamo da mu je jedna stranica 16 cm.Pošto je i ova stranica visina trapeza (a znamo da se visina spušta na osnovu pod pravim uglom), dakle, drugi ugao trougla je 90°. Dakle, preostali ugao trougla je 45°. Posljedica ovoga je da dobijemo pravougao jednakokraki trokut sa dvije jednake stranice. To znači da je druga strana trokuta jednaka visini, odnosno 16 cm. Ostaje izračunati površinu trokuta i pravougaonika i zbrojiti rezultirajuće vrijednosti.
Površina pravokutnog trokuta jednaka je polovini umnoška njegovih kateta: S = (16*16)/2 = 128. Površina pravokutnika jednaka je proizvodu njegove širine i dužine: S = 20*16 = 320. Našli smo potrebnu: površinu trapeza S = 128 + 320 = 448 kvadratnih metara. Vidite. Lako se možete još jednom provjeriti koristeći gornje formule, odgovor će biti identičan.
Koristimo formulu Pick
Na kraju, predstavljamo još jednu originalnu formulu koja pomaže u pronalaženju površine trapeza. Zove se Pick formula. Pogodno je koristiti kada je trapez nacrtan na kariranom papiru. Slični problemi se često nalaze u GIA materijalima. izgleda ovako:
S = M/2 + N - 1,
u ovoj formuli M je broj čvorova, tj. preseci linija slike sa linijama ćelije na granicama trapeza (narandžaste tačke na slici), N je broj čvorova unutar figure (plave tačke). Najprikladnije ga je koristiti pri pronalaženju površine nepravilnog poligona. Međutim, što je veći arsenal korištenih tehnika, to je manje grešaka i bolji rezultati.
Naravno, date informacije ne iscrpljuju vrste i svojstva trapeza, kao ni metode za pronalaženje njegove površine. Ovaj članak daje pregled njegovih najvažnijih karakteristika. Prilikom rješavanja geometrijskih problema važno je djelovati postepeno, početi s lakim formulama i problemima, dosljedno konsolidirati svoje razumijevanje i preći na drugi nivo složenosti.
Sakupljene zajedno, najčešće formule pomoći će učenicima da se snalaze u različitim načinima izračunavanja površine trapeza i bolje se pripreme za testove i zadatke na ovu temu.
Praksa prošlogodišnjeg Jedinstvenog državnog ispita i državnog ispita pokazuje da problemi geometrije izazivaju teškoće kod mnogih školaraca. Lako ćete se nositi s njima ako zapamtite sve potrebne formule i vježbate rješavanje problema.
U ovom članku ćete vidjeti formule za pronalaženje površine trapeza, kao i primjere problema s rješenjima. Na iste možete naići na KIM-ovima tokom ispita za sertifikaciju ili na olimpijadama. Stoga pažljivo postupajte s njima.
Šta treba da znate o trapezu?
Za početak, podsjetimo se toga trapezoid se naziva četverougao u kojem su dvije suprotne stranice, koje se nazivaju i baze, paralelne, a druge dvije nisu.
U trapezu se visina (okomita na bazu) također može spustiti. Povučena je srednja linija - ovo je prava linija koja je paralelna bazama i jednaka polovini njihovog zbira. Kao i dijagonale koje se mogu ukrštati, formirajući oštre i tupe uglove. Ili, u nekim slučajevima, pod pravim uglom. Osim toga, ako je trapez jednakokračan, u njega se može upisati krug. I opišite krug oko njega.
Formule površine trapeza
Prvo, pogledajmo standardne formule za pronalaženje površine trapeza. U nastavku ćemo razmotriti načine za izračunavanje površine jednakokrakih i krivolinijskih trapeza.
Dakle, zamislite da imate trapez sa osnovama a i b, u kojem je visina h spuštena na veću osnovu. Izračunavanje površine figure u ovom slučaju je jednostavno kao i ljuštenje krušaka. Samo trebate podijeliti zbir dužina baza sa dva i rezultat pomnožiti sa visinom: S = 1/2(a + b)*h.
Uzmimo još jedan slučaj: pretpostavimo da u trapezu, pored visine, postoji i srednja linija m. Znamo formulu za pronalaženje dužine srednje linije: m = 1/2(a + b). Stoga s pravom možemo pojednostaviti formulu za površinu trapeza na sljedeći oblik: S = m* h. Drugim riječima, da biste pronašli površinu trapeza, morate pomnožiti središnju liniju s visinom.
Razmotrimo drugu opciju: trapez sadrži dijagonale d 1 i d 2, koje se ne sijeku pod pravim uglom α. Da biste izračunali površinu takvog trapeza, trebate podijeliti proizvod dijagonala s dva i rezultat pomnožiti s grijehom kuta između njih: S= 1/2d 1 d 2 *sinα.
Sada razmotrite formulu za pronalaženje površine trapeza ako se o njemu ne zna ništa osim dužina svih njegovih stranica: a, b, c i d. Ovo je glomazna i složena formula, ali će vam biti korisno da je zapamtite za svaki slučaj: S = 1/2(a + b) * √c 2 – ((1/2(b – a)) * ((b – a) 2 + c 2 – d 2)) 2.
Usput, gornji primjeri vrijede i za slučaj kada vam je potrebna formula za površinu pravokutnog trapeza. Ovo je trapez, čija strana graniči s bazama pod pravim uglom.
Jednakokraki trapez
Trapez čije su stranice jednake naziva se jednakokraki. Razmotrit ćemo nekoliko opcija za formulu za područje jednakokračnog trapeza.
Prva opcija: za slučaj kada je kružnica poluprečnika r upisana unutar jednakokračnog trapeza, a bočna i veća osnova tvore oštar ugao α. Krug se može upisati u trapez pod uslovom da je zbir dužina njegovih osnova jednak zbiru dužina stranica.
Površina jednakokračnog trapeza izračunava se na sljedeći način: pomnožite kvadrat polumjera upisane kružnice sa četiri i podijelite sve sa sinα: S = 4r 2 /sinα. Druga formula površine je poseban slučaj za opciju kada je kut između velike baze i stranice 30 0: S = 8r2.
Druga opcija: ovog puta uzimamo jednakokraki trapez, u kojem su dodatno nacrtane dijagonale d 1 i d 2, kao i visina h. Ako su dijagonale trapeza međusobno okomite, visina je polovina zbira osnovica: h = 1/2(a + b). Znajući to, lako je transformirati formulu za područje trapeza koji vam je već poznat u ovaj oblik: S = h 2.
Formula za površinu zakrivljenog trapeza
Počnimo tako što ćemo otkriti šta je zakrivljeni trapez. Zamislite koordinatnu osu i graf neprekidne i nenegativne funkcije f koja ne mijenja predznak unutar datog segmenta na x-osi. Krivolinijski trapez formira se grafikom funkcije y = f(x) - na vrhu, os x je na dnu (segment), a sa strane - prave linije povučene između tačaka a i b i grafika funkcija.
Nemoguće je izračunati površinu takve nestandardne figure koristeći gore navedene metode. Ovdje trebate primijeniti matematičku analizu i koristiti integral. Naime: Newton-Leibniz formula - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). U ovoj formuli, F je antiderivat naše funkcije na odabranom segmentu. A površina krivolinijskog trapeza odgovara prirastu antiderivata na datom segmentu.
Problemi sa uzorcima
Kako biste sve ove formule lakše razumjeli u svojoj glavi, evo nekoliko primjera problema za pronalaženje površine trapeza. Najbolje bi bilo da prvo pokušate sami da rešite probleme, pa tek onda uporedite dobijeni odgovor sa gotovim rešenjem.
Zadatak #1: Dat je trapez. Njegova veća baza je 11 cm, a manja 4 cm. Trapez ima dijagonale, jedna duga 12 cm, druga 9 cm.
Rješenje: Konstruirajte trapez AMRS. Povucite pravu liniju RH kroz vrh P tako da bude paralelna sa dijagonalom MC i da seče pravu liniju AC u tački X. Dobićete trougao APH.
Razmotrit ćemo dvije figure dobivene kao rezultat ovih manipulacija: trokut APX i paralelogram CMRX.
Zahvaljujući paralelogramu saznajemo da je PX = MC = 12 cm i CX = MR = 4 cm. Odakle možemo izračunati stranicu AX trougla ARX: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 cm.
Takođe možemo dokazati da je trougao APX pravougli (da biste to uradili, primenite Pitagorinu teoremu - AX 2 = AP 2 + PX 2). I izračunajte njegovu površinu: S APX = 1/2 (AP * PX) = 1/2 (9 * 12) = 54 cm 2.
Zatim ćete morati dokazati da su trouglovi AMP i PCX jednaki po površini. Osnova će biti ravnopravnost stranaka MR i CX (već dokazano gore). I visine koje spuštate na ovim stranama - jednake su visini AMRS trapeza.
Sve ovo će vam omogućiti da kažete da je S AMPC = S APX = 54 cm 2.
Zadatak #2: Dat je trapez KRMS. Na njegovim bočnim stranama nalaze se tačke O i E, dok su OE i KS paralelne. Takođe je poznato da su površine trapeza ORME i OKSE u odnosu 1:5. RM = a i KS = b. Morate pronaći OE.
Rješenje: Nacrtajte pravu paralelnu sa RK kroz tačku M, i označite tačku njenog sjecišta sa OE kao T. A je tačka presjeka prave povučene kroz tačku E paralelno sa RK sa bazom KS.
Hajde da uvedemo još jednu notaciju - OE = x. I visina h 1 za trokut TME i visina h 2 za trokut AEC (možete samostalno dokazati sličnost ovih trouglova).
Pretpostavićemo da je b > a. Površine trapeza ORME i OKSE su u omjeru 1:5, što nam daje pravo da napravimo sljedeću jednačinu: (x + a) * h 1 = 1/5(b + x) * h 2. Transformirajmo i dobijemo: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x)/(x + a)).
Pošto su trokuti TME i AEC slični, imamo h 1 / h 2 = (x – a)/(b – x). Kombinirajmo oba unosa i dobijemo: (x – a)/(b – x) = 1/5 * ((b + x)/(x + a)) ↔ 5(x – a)(x + a) = ( b + x)(b – x) ↔ 5(x 2 – a 2) = (b 2 – x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √(5a 2 + b 2)/6.
Dakle, OE = x = √(5a 2 + b 2)/6.
Zaključak
Geometrija nije najlakša nauka, ali se sa ispitnim pitanjima sigurno možete nositi. Dovoljno je pokazati malo upornosti u pripremama. I, naravno, zapamtite sve potrebne formule.
Pokušali smo da prikupimo sve formule za izračunavanje površine trapeza na jednom mjestu kako biste ih mogli koristiti kada se pripremate za ispite i obnavljate gradivo.
Obavezno obavijestite svoje kolege i prijatelje na društvenim mrežama o ovom članku. Neka bude više dobrih ocjena na Jedinstvenom državnom ispitu i državnim ispitima!
blog.site, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelimično, potrebna je veza do originalnog izvora.
Postoji mnogo načina da pronađete površinu trapeza. Obično nastavnik matematike zna nekoliko metoda za njegovo izračunavanje, pogledajmo ih detaljnije:
1) 
, gdje su AD i BC osnove, a BH je visina trapeza. Dokaz: nacrtajte dijagonalu BD i izrazite površine trokuta ABD i CDB kroz polovinu proizvoda njihovih osnova i visina:
, gdje je DP vanjska visina u
Dodajmo ove jednakosti pojam po član i uzimajući u obzir da su visine BH i DP jednake, dobijemo:
Stavimo to van zagrada
Q.E.D.
Posljedica formule za površinu trapeza:
Pošto je poluzbir baza jednak MN - srednja linija trapeza, onda
2) Primjena opće formule za površinu četverokuta.
Površina četverokuta jednaka je polovini umnoška dijagonala pomnoženog sa sinusom ugla između njih
Da biste to dokazali, dovoljno je podijeliti trapez na 4 trokuta, izraziti površinu svakog u terminima "polovina proizvoda dijagonala i sinusa kuta između njih" (uzeto kao kut, dodajte rezultirajući izraze, izvadite ih iz zagrade i faktorirajte ovu zagradu koristeći metodu grupisanja da dobijete njegovu jednakost s izrazom.
3) Metoda dijagonalnog pomaka
Ovo je moje ime. Nastavnik matematike neće naići na takav naslov u školskim udžbenicima. Opis tehnike može se naći samo u dodatnim udžbenicima kao primjer rješavanja problema. Napominjem da većinu zanimljivih i korisnih činjenica o planimetriji studentima otkrivaju mentori matematike u procesu izvođenja praktične nastave. Ovo je krajnje neoptimalno, jer učenik treba da ih izoluje u zasebne teoreme i nazove ih „velikim imenima“. Jedan od njih je „dijagonalni pomak“. O čemu se radi? 
Povucimo liniju paralelnu sa AC kroz vrh B sve dok se ne sece sa donjom bazom u tacki E. U ovom slucaju cetvorougao EBCA ce biti paralelogram (po definiciji) i prema tome BC=EA i EB=AC. Prva jednakost nam je sada važna. Imamo:
Imajte na umu da trokut BED, čija je površina jednaka površini trapeza, ima još nekoliko izvanrednih svojstava:
1) Njegova površina je jednaka površini trapeza
2) Njegov jednakokraki se javlja istovremeno sa jednakokrakom samog trapeza
3) Njegov gornji ugao na vrhu B jednak je uglu između dijagonala trapeza (što se vrlo često koristi u problemima) 
4) Njegova medijana BK jednaka je udaljenosti QS između sredina osnova trapeza. Nedavno sam se susreo sa upotrebom ovog svojstva kada sam pripremao studenta za mehaniku i matematiku na Moskovskom državnom univerzitetu koristeći Tkachukov udžbenik, verzija iz 1973. (problem je dat na dnu stranice).
Posebne tehnike za nastavnika matematike.
Ponekad predlažem probleme koristeći vrlo lukav način pronalaženja površine trapeza. Svrstavam je u posebne tehnike jer ih u praksi nastavnik koristi izuzetno rijetko. Ako vam je potrebna priprema za Jedinstveni državni ispit iz matematike samo u dijelu B, ne morate čitati o njima. Za ostale, reći ću vam dalje. Ispada da je površina trapeza dvostruko veća od površine trokuta sa vrhovima na krajevima jedne strane i sredinom druge, odnosno trokuta ABS na slici: 
Dokaz: nacrtajte visine SM i SN u trouglovima BCS i ADS i izrazite zbir površina ovih trouglova:
Kako je tačka S sredina CD-a, onda (dokažite sami). Nađite zbir površina trokuta:
Pošto se ispostavilo da je ovaj zbir jednak polovini površine trapeza, zatim njegovoj drugoj polovini. itd.
U zbirku specijalnih tehnika nastavnika uključio bih oblik izračunavanja površine jednakokračnog trapeza duž njegovih stranica: gdje je p poluperimetar trapeza. Neću dati dokaze. U suprotnom, vaš profesor matematike će ostati bez posla :). Dodjite na cas!
Problemi na području trapeza:
Napomena nastavnika matematike: Lista u nastavku nije metodološka pratnja temi, to je samo mali izbor zanimljivih zadataka zasnovanih na tehnikama o kojima smo gore govorili.
1) Donja osnova jednakokračnog trapeza je 13, a gornja 5. Nađite površinu trapeza ako je njegova dijagonala okomita na stranu.
2) Nađi površinu trapeza ako su njegove osnove 2cm i 5cm, a stranice 2cm i 3cm.
3) U jednakokračnom trapezu, veća baza je 11, stranica je 5, a dijagonala je Nađite površinu trapeza.
4) Dijagonala jednakokrakog trapeza je 5, a srednja linija 4. Pronađite površinu.
5) U jednakokrakom trapezu osnove su 12 i 20, a dijagonale su međusobno okomite. Izračunajte površinu trapeza
6) Dijagonala jednakokrakog trapeza čini ugao sa njegovom donjom osnovom. Nađite površinu trapeza ako je njegova visina 6 cm.
7) Površina trapeza je 20, a jedna od njegovih stranica je 4 cm. Nađite udaljenost do njega od sredine suprotne strane.
8) Dijagonala jednakokračnog trapeza dijeli ga na trouglove površine 6 i 14. Nađi visinu ako je bočna strana 4.
9) U trapezu su dijagonale jednake 3 i 5, a segment koji povezuje sredine osnova jednak je 2. Nađite površinu trapeza (Mekhmat MSU, 1970).
Odabrao sam ne najteže probleme (ne bojte se mašinstva!) sa očekivanjem da ću ih moći samostalno riješiti. Odlučite se za svoje zdravlje! Ako vam je potrebna priprema za Jedinstveni državni ispit iz matematike, onda bez sudjelovanja u ovom procesu formule za područje trapeza, mogu nastati ozbiljni problemi čak i s problemom B6, a još više sa C4. Ne započinjite temu i u slučaju bilo kakvih poteškoća zatražite pomoć. Tutor matematike vam uvijek rado pomogne.
Kolpakov A.N.
Mentor matematike u Moskvi, priprema za Jedinstveni državni ispit u Stroginu.
Trapez naziva se četvorougao čiji samo dva strane su paralelne jedna s drugom.
Zovu se baze figure, ostale se zovu strane. Paralelogrami se smatraju posebnim slučajevima figure. Postoji i zakrivljeni trapez, koji uključuje graf funkcije. Formule za površinu trapeza uključuju gotovo sve njegove elemente, a najbolje rješenje se bira ovisno o datim vrijednostima.
Glavne uloge u trapezu su dodijeljene visini i srednjoj liniji. srednja linija- Ovo je linija koja povezuje sredine strana. Visina Trapez je nacrtan pod pravim uglom od gornjeg ugla do baze.
Površina trapeza kroz njegovu visinu jednaka je umnošku polovine zbroja dužina baza pomnoženog s visinom:
Ako je prosječna linija poznata prema uvjetima, onda je ova formula značajno pojednostavljena, jer je jednaka polovini zbroja dužina baza:
Ako su, prema uvjetima, date dužine svih strana, onda možemo razmotriti primjer izračunavanja površine trapeza pomoću ovih podataka: 
Pretpostavimo da nam je dat trapez sa osnovama a = 3 cm, b = 7 cm i stranicama c = 5 cm, d = 4 cm. Nađimo površinu figure: 
Područje jednakokračnog trapeza
Jednakokraki trapez ili, kako se još naziva, jednakokraki trapez, smatra se zasebnim slučajem.
Poseban slučaj je pronalaženje površine jednakokračnog (jednakostraničnog) trapeza. Formula se izvodi na različite načine - kroz dijagonale, kroz uglove koji su susjedni bazi i radijus upisane kružnice.
Ako je dužina dijagonala specificirana prema uvjetima i ugao između njih je poznat, možete koristiti sljedeću formulu:
Zapamtite da su dijagonale jednakokračnog trapeza jednake jedna drugoj!
To jest, znajući jednu od njihovih baza, stranu i ugao, lako možete izračunati površinu.
Područje zakrivljenog trapeza
Poseban slučaj je zakrivljeni trapez. Nalazi se na koordinatnoj osi i ograničena je grafikom kontinuirane pozitivne funkcije.
Njegova baza se nalazi na X osi i ograničena je na dvije točke:
Integrali pomažu u izračunavanju površine zakrivljenog trapeza.
Formula je napisana ovako:
Razmotrimo primjer izračunavanja površine zakrivljenog trapeza. Formula zahtijeva određeno znanje za rad s određenim integralima. Prvo, pogledajmo vrijednost definitivnog integrala: 
Ovdje je F(a) vrijednost antiderivativne funkcije f(x) u tački a, F(b) je vrijednost iste funkcije f(x) u tački b. 
Sada da riješimo problem. Na slici je prikazan zakrivljeni trapez omeđen funkcijom. Funkcija 
Moramo pronaći površinu odabrane figure, koja je krivolinijski trapez omeđen odozgo grafom, s desne strane pravom linijom x =(-8), s lijeve strane pravom linijom x =(-10 ) i OX osa ispod.
Izračunat ćemo površinu ove figure koristeći formulu: 
Uslovi problema daju nam funkciju. Koristeći ga pronaći ćemo vrijednosti antiderivata u svakoj od naših tačaka:
Sad
odgovor: Površina datog zakrivljenog trapeza je 4.
Nema ništa komplikovano u izračunavanju ove vrednosti. Jedino što je važno je izuzetna pažnja u proračunima.