Matrica A -1 naziva se inverzna matrica u odnosu na matricu A ako je A*A -1 = E, gdje je E matrica identiteta n-tog reda. Inverzna matrica može postojati samo za kvadratne matrice.
Svrha usluge. Korištenje ove usluge u online modu mogu se naći algebarski komplementi, transponovana matrica A T, srodna matrica i inverzna matrica. Odluka se vrši direktno na web stranici (online) i besplatna je. Rezultati proračuna su prikazani u izvještaju Word format i u Excel formatu (tj. moguće je provjeriti rješenje). pogledajte primjer dizajna.
Instrukcije. Za dobivanje rješenja potrebno je specificirati dimenziju matrice. Zatim popunite matricu A u novom dijaloškom okviru.
Vidi također Inverzna matrica korištenjem Jordano-Gaussove metode
Algoritam za pronalaženje inverzne matrice
- Pronalaženje transponirane matrice A T .
- Definicija algebarskih komplementa. Zamijenite svaki element matrice njegovim algebarskim komplementom.
- Sastavljanje inverzne matrice iz algebarskih sabiranja: svaki element rezultirajuće matrice se dijeli determinantom originalne matrice. Rezultirajuća matrica je inverzna originalnoj matrici.
- Odredite da li je matrica kvadratna. Ako ne, onda za to ne postoji inverzna matrica.
- Izračunavanje determinante matrice A. Ako nije jednako nuli, nastavljamo sa rješenjem, inače inverzna matrica ne postoji.
- Definicija algebarskih komplementa.
- Ispunjavanje matrice unije (međusobne, spojene) C .
- Kompajliranje inverzne matrice iz algebarskih sabiranja: svaki element pridružene matrice C dijeli se determinantom originalne matrice. Rezultirajuća matrica je inverzna originalnoj matrici.
- Oni rade provjeru: množe originalnu i rezultirajuću matrice. Rezultat bi trebao biti matrica identiteta.
Primjer br. 1. Zapišimo matricu u obliku:
Algebarski dodaci.
| A 1,1 = (-1) 1+1 |
|
∆ 1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6
| A 1,2 = (-1) 1+2 |
|
∆ 1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4
| A 1,3 = (-1) 1+3 |
|
∆ 1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8
| A 2,1 = (-1) 2+1 |
|
∆ 2,1 = -(2 4-5 3) = 7
| A 2,2 = (-1) 2+2 |
|
∆ 2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2
| A 2,3 = (-1) 2+3 |
|
∆ 2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1
| A 3,1 = (-1) 3+1 |
|
∆ 3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1
| A 3,2 = (-1) 3+2 |
|
∆ 3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4
| A 3,3 = (-1) 3+3 |
|
∆ 3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
Onda inverzna matrica može se napisati kao:
| A -1 = 1/10 |
|
| A -1 = |
|
Još jedan algoritam za pronalaženje inverzne matrice
Predstavimo još jednu šemu za pronalaženje inverzne matrice.- Pronađite determinantu date kvadratne matrice A.
- Pronalazimo algebarske komplemente svim elementima matrice A.
- Pišemo algebarsko dodavanje elemenata reda u stupce (transpozicija).
- Svaki element rezultirajuće matrice dijelimo determinantom matrice A.
Poseban slučaj: Inverzna matrica identiteta E je matrica identiteta E.
Razmotrimo problem definiranja inverzne operacije množenja matrice.
Neka je A kvadratna matrica reda n. Matrica A^(-1) koja zadovoljava, zajedno sa datom matricom A, jednakosti:
A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E,
pozvao obrnuto. Matrica A se zove reverzibilan, ako postoji inverz za to, inače - nepovratan.
Iz definicije slijedi da ako inverzna matrica A^(-1) postoji, onda je kvadrat istog reda kao i A. Međutim, nema svaka kvadratna matrica inverz. Ako je determinanta matrice A jednaka nuli (\det(A)=0), tada za nju ne postoji inverz. U stvari, primjenom teoreme o determinanti proizvoda matrica za matricu identiteta E=A^(-1)A dobijamo kontradikciju
\det(E)=\det(A^(-1)\cdot A)=\det(A^(-1))\det(A)=\det(A^(-1))\cdot0=0
pošto je determinanta matrice identiteta jednaka 1. Ispada da je nenulta determinanta kvadratne matrice jedini uslov za postojanje inverzne matrice. Podsjetimo da se kvadratna matrica čija je determinanta jednaka nuli naziva singularna (singularna), inače se naziva nedegenerirana (nesingularna).
Teorema 4.1 o postojanju i jedinstvenosti inverzne matrice. Kvadratna matrica A=\begin(pmatrix)a_(11)&\cdots&a_(1n)\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_(n1)&\cdots&a_(nn) \end(pmatrix), čija je determinanta različita od nule, ima inverznu matricu i, osim toga, samo jednu:
A^(-1)=\frac(1)(\det(A))\cdot\! \begin(pmatrix)A_(11)&A_(21)&\cdots&A_(1n)\\ A_(12)&A_(22)&\cdots&A_(n2)\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ A_(1n )&A_(2n)&\cdots&A_(nn) \end(pmatrix)= \frac(1)(\det(A))\cdot A^(+),
gdje je A^(+) matrica transponirana za matricu sastavljenu od algebarskih komplemenata elemenata matrice A.
Poziva se matrica A^(+). pridružena matrica u odnosu na matricu A.
U stvari, matrica \frac(1)(\det(A))\,A^(+) postoji pod uslovom \det(A)\ne0 . Potrebno je pokazati da je inverzno A, tj. zadovoljava dva uslova:
\begin(aligned)\mathsf(1))&~A\cdot\!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)=E;\\ \mathsf (2))&~ \!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\desno)\!\cdot A=E.\end(poravnano)
Dokažimo prvu jednakost. Prema stavu 4 napomene 2.3, iz svojstava determinante proizilazi da AA^(+)=\det(A)\cdot E. Zbog toga
A\cdot\!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)= \frac(1)(\det(A))\cdot AA^(+) = \frac(1)(\det(A))\cdot \det(A)\cdot E=E,
što je trebalo pokazati. Druga jednakost se dokazuje na sličan način. Stoga, pod uvjetom \det(A)\ne0, matrica A ima inverznu vrijednost
A^(-1)=\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+).
Jedinstvenost inverzne matrice ćemo dokazati kontradikcijom. Neka, pored matrice A^(-1), postoji još jedna inverzna matrica B\,(B\ne A^(-1)) takva da je AB=E. Množenjem obje strane ove jednakosti s lijeve strane matricom A^(-1) dobijamo \underbrace(A^(-1)AB)_(E)=A^(-1)E. Otuda B=A^(-1) , što je u suprotnosti sa pretpostavkom B\ne A^(-1) . Dakle, inverzna matrica je jedinstvena.
Napomene 4.1
1. Iz definicije slijedi da matrice A i A^(-1) komutiraju.
2. Inverz od nesingularne dijagonalne matrice je također dijagonala:
\Bigl[\operatorname(diag)(a_(11),a_(22),\ldots,a_(nn))\Bigr]^(-1)= \operatorname(diag)\!\left(\frac(1) )(a_(11)),\,\frac(1)(a_(22)),\,\ldots,\,\frac(1)(a_(nn))\desno)\!.
3. Inverz nesingularne donje (gornje) trokutaste matrice je donji (gornji) trouglasti.
4. Elementarne matrice imaju inverzne, koje su takođe elementarne (vidi paragraf 1 napomene 1.11).
Svojstva inverzne matrice
Operacija inverzije matrice ima sljedeća svojstva:
\begin(poravnano)\bold(1.)&~~ (A^(-1))^(-1)=A\,;\\ \bold(2.)&~~ (AB)^(-1 )=B^(-1)A^(-1)\,;\\ \bold(3.)&~~ (A^T)^(-1)=(A^(-1))^T\ ,;\\ \bold(4.)&~~ \det(A^(-1))=\frac(1)(\det(A))\,;\\ \bold(5.)&~~ E^(-1)=E\,. \end (poravnano)
ako operacije navedene u jednakosti 1-4 imaju smisla.
Dokažimo svojstvo 2: ako proizvod AB nesingularnih kvadratnih matrica istog reda ima inverznu matricu, tada (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1).
Zaista, determinanta proizvoda matrica AB nije jednaka nuli, jer
\det(A\cdot B)=\det(A)\cdot\det(B), Gdje \det(A)\ne0,~\det(B)\ne0
Dakle, inverzna matrica (AB)^(-1) postoji i jedinstvena je. Pokažimo po definiciji da je matrica B^(-1)A^(-1) inverzna matrici AB. Zaista.
Definicija 1: matrica se naziva singularnom ako je njena determinanta nula.
2. definicija: matrica se naziva nesingularnom ako njena determinanta nije jednaka nuli.
Matrica "A" se zove inverzna matrica, ako je uvjet A*A-1 = A-1 *A = E (matrica jedinica) zadovoljen.
Kvadratna matrica je invertibilna samo ako nije singularna.
Šema za izračunavanje inverzne matrice:
1) Izračunajte determinantu matrice "A" ako ∆ A = 0, onda inverzna matrica ne postoji.
2) Pronađite sve algebarske komplemente matrice "A".
3) Kreirajte matricu algebarskih sabiranja (Aij)
4) Transponirajte matricu algebarskih komplementa (Aij )T
5) Pomnožite transponovanu matricu sa inverzom determinante ove matrice.
6) Izvršite provjeru:
Na prvi pogled može izgledati komplikovano, ali u stvari sve je vrlo jednostavno. Sva rješenja su bazirana na jednostavnim aritmetičkim operacijama, glavna stvar pri rješavanju je da se ne zbunite sa znakovima "-" i "+" i da ih ne izgubite.
Sada zajedno riješimo praktični zadatak izračunavanjem inverzne matrice.
Zadatak: pronađite inverznu matricu "A" prikazanu na slici ispod:
1. Prvo što treba učiniti je pronaći determinantu matrice "A":
Objašnjenje:
Pojednostavili smo našu determinantu koristeći njene osnovne funkcije. Prvo smo u 2. i 3. redak dodali elemente prvog reda, pomnožene jednim brojem.
Drugo, promijenili smo 2. i 3. kolonu determinante, a prema njenim svojstvima promijenili smo znak ispred nje.
Treće, izvadili smo zajednički faktor (-1) drugog reda, čime smo ponovo promijenili predznak i on je postao pozitivan. Također smo pojednostavili red 3 na isti način kao na samom početku primjera.
Imamo trokutastu determinantu čiji su elementi ispod dijagonale jednaki nuli, a po svojstvu 7 jednak je proizvodu dijagonalnih elemenata. Na kraju smo dobili ∆ A = 26, dakle inverzna matrica postoji.
A11 = 1*(3+1) = 4
A12 = -1*(9+2) = -11
A13 = 1*1 = 1
A21 = -1*(-6) = 6
A22 = 1*(3-0) = 3
A23 = -1*(1+4) = -5
A31 = 1*2 = 2
A32 = -1*(-1) = -1
A33 = 1+(1+6) = 7
3. Sljedeći korak je kompajliranje matrice od rezultirajućih dodataka:
5. Pomnožite ovu matricu sa inverzom determinante, odnosno sa 1/26:
6. Sada samo trebamo provjeriti:
Tokom testa dobili smo matricu identiteta, tako da je rješenje izvedeno apsolutno ispravno.
2 način za izračunavanje inverzne matrice.
1. Elementarna matrična transformacija
2. Inverzna matrica kroz elementarni pretvarač.
Elementarna transformacija matrice uključuje:
1. Množenje niza brojem koji nije jednak nuli.
2. Dodavanje bilo kojoj liniji još jedne linije pomnožene brojem.
3. Zamijenite redove matrice.
4. Postavljanje lanca elementarne transformacije, dobijamo drugu matricu.
A -1 = ?
1. (A|E) ~ (E|A -1 )
2.A -1 * A = E
Pogledajmo ovo praktični primjer sa realnim brojevima.
vježba: Pronađite inverznu matricu.
Rješenje:
provjerimo:
Malo pojašnjenje rješenja:
Prvo smo preuredili redove 1 i 2 matrice, a zatim pomnožili prvi red sa (-1).
Nakon toga, pomnožili smo prvi red sa (-2) i dodali ga sa drugim redom matrice. Zatim smo pomnožili red 2 sa 1/4.
Završna faza Transformacije su bile množenje drugog reda sa 2 i sabiranje iz prvog. Kao rezultat, imamo matricu identiteta na lijevoj strani, dakle, inverzna matrica je matrica s desne strane.
Nakon provjere, uvjerili smo se da je odluka ispravna.
Kao što vidite, izračunavanje inverzne matrice je vrlo jednostavno.
Na kraju ovog predavanja, također bih želio posvetiti malo vremena osobinama takve matrice.
Matrična algebra- Inverzna matricainverzna matrica
Inverzna matrica naziva se matrica koja, kada se pomnoži i desno i lijevo sa ovu matricu daje matricu identiteta.
Označimo inverznu matricu matrice A kroz , tada prema definiciji dobijamo:
Gdje E– matrica identiteta.
Kvadratna matrica pozvao nije posebno (nedegenerisan) ako njegova determinanta nije nula. Inače se zove poseban (degenerisati) ili jednina.
Teorema vrijedi: Svaka nesingularna matrica ima inverznu matricu.
Operacija pronalaženja inverzne matrice se zove žalba matrice. Razmotrimo algoritam inverzije matrice. Neka je data nesingularna matrica n-ti red:
gdje je Δ = det A ≠ 0.
Algebarsko sabiranje elementa matrice n-th red A naziva se determinanta matrice uzete sa određenim predznakom ( n–1)-ti red dobijen brisanjem i-ti red i j th kolona matrice A:
Kreirajmo tzv u prilogu matrica:
gdje su algebarski komplementi odgovarajućih elemenata matrice A.
Imajte na umu da algebarski dodaci elemenata reda matrice A nalaze se u odgovarajućim stupcima matrice Ã
, odnosno matrica se transponira u isto vrijeme.
Podjelom svih elemenata matrice Ã
za Δ – vrijednost determinante matrice A, kao rezultat dobijamo inverznu matricu:
Zapazimo niz posebnih svojstava inverzne matrice:
1) za datu matricu A njena inverzna matrica
je jedini;
2) ako postoji inverzna matrica, onda desno nazad I lijevo nazad matrice se poklapaju s njim;
3) posebna (singularna) kvadratna matrica nema inverznu matricu.
Osnovna svojstva inverzne matrice:
1) determinanta inverzne matrice i determinanta originalne matrice su recipročne;
2) inverzna matrica umnoška kvadratnih matrica jednaka je proizvodu inverzne matrice faktora, uzetih obrnutim redoslijedom:
3) transponovana inverzna matrica je jednaka inverznoj matrici date transponovane matrice:
PRIMJER Izračunajte inverznu vrijednost date matrice.
Pronalaženje inverzne matrice.
U ovom članku ćemo razumjeti koncept inverzne matrice, njena svojstva i metode pronalaženja. Zaustavimo se detaljnije na rješavanju primjera u kojima je potrebno konstruirati inverznu matricu za datu.
Navigacija po stranici.
Inverzna matrica - definicija.
Pronalaženje inverzne matrice pomoću matrice iz algebarskih komplementa.
Svojstva inverzne matrice.
Pronalaženje inverzne matrice Gauss-Jordan metodom.
Pronalaženje elemenata inverzne matrice rješavanjem odgovarajućih sistema linearnih algebarskih jednačina.
Inverzna matrica - definicija.
Koncept inverzne matrice se uvodi samo za kvadratne matrice čija je determinanta različita od nule, odnosno za nesingularne kvadratne matrice.
Definicija.
Matrixzove se inverz matrice, čija je determinanta različita od nule ako su jednakosti tačne 
, Gdje E– matrica jediničnog reda n on n.
Pronalaženje inverzne matrice pomoću matrice iz algebarskih komplementa.
Kako pronaći inverznu matricu za datu?
Prvo, trebaju nam koncepti transponovana matrica, matrični minor i algebarski komplement matričnog elementa.
Definicija.
Minorkth red matrice A red m on n je determinanta matrice reda k on k, koji se dobija iz matričnih elemenata A nalazi u odabranom k linije i k kolone. ( k ne prelazi najmanji broj m ili n).
Minor (n-1)th red, koji se sastoji od elemenata svih redova osim i-th, i sve kolone osim jth, kvadratna matrica A red n on n označimo ga kao .
Drugim riječima, minor se dobiva iz kvadratne matrice A red n on n precrtavanjem elemenata i-th linije i jth kolona.
Na primjer, pišemo, maloljetni 2nd red, koji se dobija iz matrice 
odabirom elemenata njegovog drugog, trećeg reda i prve, treće kolone 
. Prikazaćemo i minor koji se dobija iz matrice 
precrtavanjem drugog reda i trećeg stupca 
. Ilustrujmo konstrukciju ovih minora: i .
Definicija.
Algebarski komplement element kvadratne matrice naziva se manjim (n-1)th red, koji se dobija iz matrice A, precrtavajući njegove elemente i-th linije i jth stupac pomnožen sa .
Algebarski komplement elementa se označava kao . dakle, 
.
Na primjer, za matricu 
algebarski komplement elementa je .
Drugo, trebat će nam dva svojstva determinante, o kojima smo raspravljali u odeljku izračunavanje determinante matrice:
Na osnovu ovih svojstava determinante, definicija operacije množenja matrice brojem i koncept inverzne matrice je tačan: 
, gdje je transponirana matrica čiji su elementi algebarski komplementi.
Matrix 
je zaista inverzno od matrice A, pošto su jednakosti zadovoljene 
. Hajde da to pokažemo 
Hajde da komponujemo algoritam za pronalaženje inverzne matrice koristeći jednakost 
.
Pogledajmo algoritam za pronalaženje inverzne matrice koristeći primjer.
Primjer.
Zadana matrica 
. Pronađite inverznu matricu.
Rješenje.
Izračunajmo determinantu matrice A, rastavljajući ga na elemente treće kolone: 
Determinanta je različita od nule, dakle matrica A reverzibilan.
Nađimo matricu algebarskih sabiranja: 
Zbog toga 
Transponirajmo matricu iz algebarskih sabiranja: 
Sada nalazimo inverznu matricu kao 
:
Provjerimo rezultat: 
Jednakosti 
su zadovoljeni, dakle, inverzna matrica je ispravno pronađena.
Svojstva inverzne matrice.
Koncept inverzne matrice, jednakost 
, definicije operacija nad matricama i svojstva determinante matrice omogućavaju opravdanje sljedećeg svojstva inverzne matrice:
Pronalaženje elemenata inverzne matrice rješavanjem odgovarajućih sistema linearnih algebarskih jednačina.
Razmotrimo još jedan način za pronalaženje inverzne matrice za kvadratnu matricu A red n on n.
Ova metoda se zasniva na rješenju n sistemi linearnih nehomogenih algebarskih jednadžbi sa n nepoznato. Nepoznate varijable u ovim sistemima jednačina su elementi inverzne matrice.
Ideja je vrlo jednostavna. Označimo inverznu matricu kao X, to je, 
. Pošto je po definiciji inverzne matrice, onda 
Izjednačavajući odgovarajuće elemente po kolonama, dobijamo n sistemi linearnih jednačina 
Rješavamo ih na bilo koji način i od pronađenih vrijednosti formiramo inverznu matricu.
Pogledajmo ovu metodu na primjeru.
Primjer.
Zadana matrica 
. Pronađite inverznu matricu.
Rješenje.
Hajde da prihvatimo 
. Jednakost nam daje tri sistema linearnih nehomogenih algebarskih jednadžbi: 
Nećemo opisivati rješenja za ove sisteme; ako je potrebno, pogledajte odjeljak rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina.
Iz prvog sistema jednačina imamo, iz drugog - , iz trećeg - . Prema tome, tražena inverzna matrica ima oblik 
. Preporučujemo da ga provjerite kako biste bili sigurni da je rezultat tačan.
Sažmite.
Pogledali smo koncept inverzne matrice, njena svojstva i tri metode za njeno pronalaženje.
Primjer rješenja primjenom metode inverzne matrice
Vježba 1. Riješite SLAE koristeći metodu inverzne matrice. 2 x 1 + 3x 2 + 3x 3 + x 4 = 1 3 x 1 + 5x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 2 5 x 1 + 7x 2 + 6x 3 + 2x 4 = 3 4 x 1 + 4x 2 + 3x 3 + x 4 = 4
Početak forme
Kraj forme
Rješenje. Zapišimo matricu u obliku: Vektor B: B T = (1,2,3,4) Glavna determinanta Minor za (1,1): = 5 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 2) +4 ( 3 2-6 2) = -3 Minor za (2,1): = 3 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 1)+4 (3 2-6 1) = 0 Minor za (3 ,1): = 3 (3 1-3 2)-5 (3 1-3 1)+4 (3 2-3 1) = 3 Minor za (4,1): = 3 (3 2- 6 2) -5 (3 2-6 1)+7 (3 2-3 1) = 3 Determinanta minora ∆ = 2 (-3)-3 0+5 3-4 3 = -3
Transponovana matrica Algebarski sabirci ∆ 1,1 = 5 (6 1-2 3)-3 (7 1-2 4)+2 (7 3-6 4) = -3 ∆ 1,2 = -3 (6 1-2 3) -3 (7 1-2 4)+1 (7 3-6 4) = 0 ∆ 1.3 = 3 (3 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+1 (5 3-3 4 ) = 3 ∆ 1,4 = -3 (3 2-2 6)-3 (5 2-2 7)+1 (5 6-3 7) = -3 ∆ 2,1 = -3 (6 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+2 (5 3-6 4) = 9 ∆ 2.2 = 2 (6 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+1 (5 3- 6 4) = 0 ∆ 2.3 = -2 (3 1-2 3)-3 (3 1-2 4)+1 (3 3-3 4) = -6 ∆ 2.4 = 2 (3 2- 2 6)-3 (3 2-2 5) +1 (3 6-3 5) = 3 ∆ 3,1 = 3 (7 1-2 4)-5 (5 1-2 4)+2 (5 4 -7 4) = -4 ∆ 3,2 = -2 (7 1-2 4)-3 (5 1-2 4)+1 (5 4-7 4) = 1 ∆ 3.3 = 2 (5 1 -2 4)-3 (3 1-2 4)+1 (3 4 -5 4) = 1 ∆ 3,4 = -2 (5 2-2 7)-3 (3 2-2 5)+1 ( 3 7-5 5) = 0 ∆ 4,1 = -3 (7 3-6 4) -5 (5 3-6 4)+3 (5 4-7 4) = -12 ∆ 4.2 = 2 ( 7 3-6 4)-3 (5 3-6 4)+3 (5 4-7 4) = -3 ∆ 4,3 = -2 (5 3-3 4)-3 (3 3-3 4) +3 (3 4-5 4) = 9 ∆ 4,4 = 2 (5 6-3 7)-3 (3 6-3 5)+3 (3 7-5 5) = -3 Inverzna matrica Vektor rezultata X X = A -1 ∙ B 
X T = (2,-1,-0,33,1) x 1 = 2 x 2 = -1 x 3 = -0,33 x 4 = 1
vidi takođe rješenja SLAE pomoću metode inverzne matrice online. Da biste to učinili, unesite svoje podatke i primite rješenje s detaljnim komentarima.
Zadatak 2. Napišite sistem jednačina u matričnom obliku i riješite ga pomoću inverzne matrice. Provjerite dobiveno rješenje. Rješenje:xml:xls
Primjer 2. Napišite sistem jednadžbi u matričnom obliku i riješite pomoću inverzne matrice. Rješenje:xml:xls
Primjer. Dat je sistem od tri linearne jednačine sa tri nepoznate. Potrebno: 1) pronaći njegovo rješenje koristeći Cramerove formule; 2) zapisati sistem u matričnom obliku i riješiti ga pomoću matričnog računa. Smjernice. Nakon rješavanja Cramerovom metodom, pronađite dugme "Rješavanje metodom inverzne matrice za izvorne podatke". Dobićete odgovarajuće rešenje. Dakle, nećete morati ponovo da popunjavate podatke. Rješenje. Označimo sa A matricu koeficijenata za nepoznate; X - matrica-kolona nepoznatih; B - matrica-kolona slobodnih članova:
|
|
Vektor B: B T =(4,-3,-3) Uzimajući u obzir ove oznake, ovaj sistem jednadžbi ima sljedeći matrični oblik: A*X = B. Ako je matrica A nesingularna (njena determinanta nije nula , onda ima inverznu matricu A -1... Množenjem obe strane jednačine sa A -1 dobijamo: A -1 *A*X = A -1 *B, A -1 *A = E. Ovo jednakost se zove matrična notacija rješenja sistema linearnih jednačina. Za pronalaženje rješenja sistema jednačina potrebno je izračunati inverznu matricu A -1. Sistem će imati rješenje ako je determinanta matrice A različita od nule. Nađimo glavnu odrednicu. ∆=-1 (-2 (-1)-1 1)-3 (3 (-1)-1 0)+2 (3 1-(-2 0))=14 Dakle, determinanta 14 ≠ 0, pa smo nastavak rješenja. Da bismo to učinili, pronalazimo inverznu matricu putem algebarskih sabiranja. Neka imamo nesingularnu matricu A:
|
|
Računamo algebarske komplemente.
|
|
∆ 1,1 =(-2 (-1)-1 1)=1
|
|
∆ 1,2 =-(3 (-1)-0 1)=3
|
|
∆ 1,3 =(3 1-0 (-2))=3
|
|
∆ 2,1 =-(3 (-1)-1 2)=5
|
|
∆ 2,2 =(-1 (-1)-0 2)=1
|
|
∆ 2,3 =-(-1 1-0 3)=1
|
|
∆ 3,1 =(3 1-(-2 2))=7
|
|
∆ 3,2 =-(-1 1-3 2)=7
|
|
|
|
|
|
X T =(-1,1,2) x 1 = -14 / 14 =-1 x 2 = 14 / 14 =1 x 3 = 28 / 14 =2 Ispitivanje. -1 -1+3 1+0 2=4 3 -1+-2 1+1 2=-3 2 -1+1 1+-1 2=-3 doc:xml:xls odgovor: -1,1,2.