Materijal predstavljen u nastavku je logičan nastavak teorije iz članka pod naslovom LCM - najmanji zajednički višekratnik, definicija, primjeri, veza između LCM i GCD. Ovdje ćemo razgovarati o pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM), a posebnu pažnju ćemo posvetiti rješavanju primjera. Prvo ćemo pokazati kako se LCM dva broja izračunava pomoću GCD ovih brojeva. Zatim ćemo pogledati pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika rastavljanjem brojeva u proste faktore. Nakon toga ćemo se fokusirati na pronalaženje LCM od tri ili više brojeva, a također ćemo obratiti pažnju na izračunavanje LCM negativnih brojeva.
Navigacija po stranici.
Izračunavanje najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM) putem GCD
Jedan od načina da se pronađe najmanji zajednički višekratnik je zasnovan na odnosu između LCM i GCD. Postojeća veza između LCM i GCD omogućava nam da izračunamo najmanji zajednički višekratnik dva pozitivna cijela broja kroz poznati najveći zajednički djelitelj. Odgovarajuća formula je LCM(a, b)=a b:GCD(a, b) . Pogledajmo primjere pronalaženja LCM-a pomoću date formule.
Primjer.
Pronađite najmanji zajednički višekratnik dva broja 126 i 70.
Rješenje.
U ovom primjeru a=126, b=70. Koristimo vezu između LCM i GCD, izraženu formulom LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Odnosno, prvo moramo pronaći najveći zajednički djelitelj brojeva 70 i 126, nakon čega možemo izračunati LCM ovih brojeva koristeći napisanu formulu.
Nađimo GCD(126, 70) koristeći Euklidov algoritam: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, dakle, GCD(126, 70)=14.
Sada nalazimo traženi najmanji zajednički višekratnik: GCD(126, 70)=126·70:GCD(126, 70)= 126·70:14=630.
odgovor:
LCM(126, 70)=630 .
Primjer.
Čemu je LCM(68, 34) jednako?
Rješenje.
Jer 68 je djeljivo sa 34, tada je GCD(68, 34)=34. Sada izračunavamo najmanji zajednički višekratnik: GCD(68, 34)=68·34:GCD(68, 34)= 68·34:34=68.
odgovor:
LCM(68, 34)=68 .
Imajte na umu da prethodni primjer odgovara sljedećem pravilu za pronalaženje LCM-a za pozitivne cijele brojeve a i b: ako je broj a djeljiv sa b, tada je najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva a.
Pronalaženje LCM-a rastavljanjem brojeva u proste faktore
Drugi način za pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika je baziran na faktoringu brojeva u proste faktore. Ako sastavite proizvod od svih prostih faktora datih brojeva, a zatim iz ovog proizvoda isključite sve uobičajene proste faktore prisutne u dekompozicijama datih brojeva, tada će rezultirajući proizvod biti jednak najmanjem zajedničkom višekratniku datih brojeva .
Navedeno pravilo za pronalaženje LCM proizlazi iz jednakosti LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Zaista, proizvod brojeva a i b jednak je proizvodu svih faktora uključenih u proširenje brojeva a i b. Zauzvrat, GCD(a, b) je jednak proizvodu svih prostih faktora koji su istovremeno prisutni u proširenjima brojeva a i b (kao što je opisano u odjeljku o pronalaženju GCD pomoću proširenja brojeva u proste faktore).
Dajemo primjer. Javite nam da je 75=3·5·5 i 210=2·3·5·7. Sastavimo proizvod od svih faktora ovih proširenja: 2·3·3·5·5·5·7 . Sada iz ovog proizvoda isključujemo sve faktore prisutne u proširenju broja 75 i proširenju broja 210 (ovi faktori su 3 i 5), tada će proizvod dobiti oblik 2·3·5·5·7 . Vrijednost ovog proizvoda jednaka je najmanjem zajedničkom višekratniku 75 i 210, tj. NOC(75, 210)= 2·3·5·5·7=1,050.
Primjer.
Faktorite brojeve 441 i 700 u proste faktore i pronađite najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva.
Rješenje.
Razložimo brojeve 441 i 700 u proste faktore:
Dobijamo 441=3·3·7·7 i 700=2·2·5·5·7.
Sada napravimo proizvod od svih faktora koji su uključeni u proširenje ovih brojeva: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Izuzmimo iz ovog proizvoda sve faktore koji su istovremeno prisutni u oba proširenja (postoji samo jedan takav faktor - to je broj 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. dakle, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.
odgovor:
NOC(441, 700)= 44 100 .
Pravilo za pronalaženje LCM koristeći faktorizaciju brojeva u proste faktore može se formulisati malo drugačije. Ako se faktori koji nedostaju iz proširenja broja b dodaju faktorima iz proširenja broja a, tada će vrijednost rezultirajućeg proizvoda biti jednaka najmanjem zajedničkom višekratniku brojeva a i b.
Na primjer, uzmimo iste brojeve 75 i 210, njihove dekompozicije na proste faktore su sljedeće: 75=3·5·5 i 210=2·3·5·7. Faktorima 3, 5 i 5 iz proširenja broja 75 dodamo faktore koji nedostaju 2 i 7 iz proširenja broja 210, dobijemo proizvod 2·3·5·5·7, čija je vrijednost jednako LCM(75, 210).
Primjer.
Pronađite najmanji zajednički višekratnik brojeva 84 i 648.
Rješenje.
Prvo dobijamo dekompozicije brojeva 84 i 648 na proste faktore. Izgledaju kao 84=2·2·3·7 i 648=2·2·2·3·3·3·3. Faktorima 2, 2, 3 i 7 iz proširenja broja 84 dodamo faktore koji nedostaju 2, 3, 3 i 3 iz proširenja broja 648, dobijemo proizvod 2 2 2 3 3 3 3 7, što je jednako 4 536 . Dakle, željeni najmanji zajednički višekratnik od 84 i 648 je 4,536.
odgovor:
LCM(84, 648)=4,536 .
Pronalaženje LCM od tri ili više brojeva
Najmanji zajednički višekratnik tri ili više brojeva može se naći uzastopnim pronalaženjem LCM dva broja. Podsjetimo se odgovarajuće teoreme, koja daje način da se pronađe LCM od tri ili više brojeva.
Teorema.
Neka su dati pozitivni cijeli brojevi a 1 , a 2 , …, a k, najmanji zajednički višekratnik m k ovih brojeva nalazi se sekvencijalnim izračunavanjem m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .
Razmotrimo primjenu ove teoreme na primjeru pronalaženja najmanjeg zajedničkog višekratnika četiri broja.
Primjer.
Pronađite LCM četiri broja 140, 9, 54 i 250.
Rješenje.
U ovom primjeru, a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.
Prvo nađemo m 2 = LOC(a 1, a 2) = LOC(140, 9). Da bismo to uradili, koristeći Euklidov algoritam, odredimo GCD(140, 9), imamo 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, dakle, GCD(140, 9)=1 , odakle GCD(140, 9)=140 9:GCD(140, 9)= 140·9:1=1,260. To jest, m 2 =1 260.
Sada pronalazimo m 3 = LOC (m 2 , a 3) = LOC (1 260, 54). Izračunajmo ga kroz GCD(1 260, 54), koji takođe određujemo pomoću Euklidovog algoritma: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Tada je gcd(1,260, 54)=18, od čega je gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. Odnosno, m 3 =3 780.
Ostaje samo pronaći m 4 = LOC(m 3, a 4) = LOC(3 780, 250). Da bismo to uradili, nalazimo GCD(3,780, 250) koristeći Euklidov algoritam: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Dakle, GCM(3,780, 250)=10, odakle je GCM(3,780, 250)= 3 780 250: GCD(3 780, 250)= 3,780·250:10=94,500. To jest, m 4 =94,500.
Dakle, najmanji zajednički višekratnik od originalna četiri broja je 94.500.
odgovor:
LCM(140, 9, 54, 250)=94.500.
U mnogim slučajevima, zgodno je pronaći najmanji zajednički umnožak tri ili više brojeva korištenjem prostih faktorizacija datih brojeva. U tom slučaju morate se pridržavati sljedećeg pravila. Najmanji zajednički umnožak nekoliko brojeva jednak je umnošku koji je sastavljen na sljedeći način: faktori koji nedostaju iz proširenja drugog broja dodaju se svim faktorima iz proširenja prvog broja, faktori koji nedostaju iz proširenja broja treći broj se dodaje rezultujućim faktorima, i tako dalje.
Pogledajmo primjer pronalaženja najmanjeg zajedničkog višekratnika pomoću faktorizacije.
Primjer.
Pronađite najmanji zajednički višekratnik od pet brojeva 84, 6, 48, 7, 143.
Rješenje.
Prvo, dobijamo dekompozicije ovih brojeva na proste faktore: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 je prost broj, poklapa se sa njegovom dekompozicijom na proste faktore) i 143=11·13.
Da biste pronašli LCM ovih brojeva, faktorima prvog broja 84 (to su 2, 2, 3 i 7), morate dodati faktore koji nedostaju iz proširenja drugog broja 6. Dekompozicija broja 6 ne sadrži faktore koji nedostaju, jer su i 2 i 3 već prisutni u dekompoziciji prvog broja 84. Zatim, faktorima 2, 2, 3 i 7 dodajemo faktore koji nedostaju 2 i 2 iz proširenja trećeg broja 48, dobijamo skup faktora 2, 2, 2, 2, 3 i 7. Neće biti potrebe za dodavanjem množitelja ovom skupu u sljedećem koraku, pošto je 7 već sadržano u njemu. Konačno, faktorima 2, 2, 2, 2, 3 i 7 dodajemo faktore 11 i 13 koji nedostaju iz proširenja broja 143. Dobijamo proizvod 2·2·2·2·3·7·11·13, što je jednako 48,048.
Školarci dobijaju mnogo zadataka iz matematike. Među njima se vrlo često javljaju problemi sa sljedećom formulacijom: postoje dva značenja. Kako pronaći najmanji zajednički višekratnik datih brojeva? Neophodno je biti sposoban za obavljanje takvih zadataka, jer se stečene vještine koriste za rad sa razlomcima s različitim nazivnicima. U ovom članku ćemo pogledati kako pronaći LOC i osnovne koncepte.
Prije nego što pronađete odgovor na pitanje kako pronaći LCM, morate definirati pojam višestruki. Najčešće formulacija ovog koncepta zvuči ovako: višekratnik određene vrijednosti A je prirodan broj koji će biti djeljiv sa A bez ostatka. Dakle, za 4, višekratnici će biti 8, 12, 16, 20, i tako dalje, do potrebne granice.
U ovom slučaju, broj djelitelja za određenu vrijednost može biti ograničen, ali višekratnici su beskonačno mnogo. Ista vrijednost postoji i za prirodne vrijednosti. Ovo je indikator koji se dijeli na njih bez ostatka. Pošto smo shvatili koncept najmanje vrijednosti za određene indikatore, prijeđimo na to kako je pronaći.
Pronalaženje NOC-a
Najmanji višekratnik dva ili više eksponenata je najmanji prirodni broj koji je u potpunosti djeljiv sa svim navedenim brojevima.
Postoji nekoliko načina da pronađete takvu vrijednost, razmotrite sljedeće metode:
- Ako su brojevi mali, onda zapišite na liniju sve one djeljive s njim. Nastavite to raditi dok ne pronađete nešto zajedničko među njima. U pisanom obliku, oni su označeni slovom K. Na primjer, za 4 i 3, najmanji višekratnik je 12.
- Ako su one velike ili trebate pronaći višekratnik od 3 ili više vrijednosti, onda biste trebali koristiti drugu tehniku koja uključuje razlaganje brojeva na proste faktore. Prvo postavite najveći navedeni, a zatim sve ostale. Svaki od njih ima svoj broj množitelja. Kao primjer, razložimo 20 (2*2*5) i 50 (5*5*2). Za manji, podvucite faktore i dodajte ih najvećem. Rezultat će biti 100, što će biti najmanji zajednički višekratnik gore navedenih brojeva.
- Kod pronalaženja 3 broja (16, 24 i 36) principi su isti kao i za druga dva. Proširimo svaki od njih: 16 = 2*2*2*2, 24=2*2*2*3, 36=2*2*3*3. U proširenje najvećeg nisu uključene samo dvije dvojke iz proširenja broja 16. Sabiramo ih i dobijamo 144, što je najmanji rezultat za prethodno navedene brojčane vrijednosti.
Sada znamo koja je opća tehnika za pronalaženje najmanje vrijednosti za dvije, tri ili više vrijednosti. Međutim, postoje i privatne metode, pomaže u traženju NOC-a ako prethodni ne pomažu.
Kako pronaći GCD i NOC.
Privatne metode pronalaženja
Kao i kod svakog matematičkog odjeljka, postoje posebni slučajevi pronalaženja LCM-a koji pomažu u određenim situacijama:
- ako je jedan od brojeva djeljiv s ostalima bez ostatka, tada mu je jednak najmanji višekratnik ovih brojeva (LCM od 60 i 15 je 15);
- relativno prosti brojevi nemaju zajedničke proste faktore. Njihova najmanja vrijednost jednaka je proizvodu ovih brojeva. Dakle, za brojeve 7 i 8 to će biti 56;
- isto pravilo vrijedi i za druge slučajeve, uključujući i posebne, o kojima se može pročitati u stručnoj literaturi. Ovo bi trebalo uključiti i slučajeve dekompozicije složenih brojeva, koji su tema pojedinačnih članaka, pa čak i kandidatskih disertacija.
Posebni slučajevi su rjeđi od standardnih primjera. Ali zahvaljujući njima, možete naučiti raditi s frakcijama različitog stepena složenosti. Ovo posebno vrijedi za razlomke, gdje postoje nejednaki nazivnici.
Nekoliko primjera
Pogledajmo nekoliko primjera koji će vam pomoći da shvatite princip pronalaženja najmanjeg višestrukog:
- Pronađite LOC (35; 40). Prvo dekomponujemo 35 = 5*7, zatim 40 = 5*8. Dodajte 8 najmanjem broju i dobijete LOC 280.
- NOK (45; 54). Svaki od njih rastavljamo: 45 = 3*3*5 i 54 = 3*3*6. Dodamo broj 6 na 45. Dobijamo LCM jednak 270.
- Pa, posljednji primjer. Ima 5 i 4. Ne postoje njihovi prosti višekratnici, tako da će najmanji zajednički umnožak u ovom slučaju biti njihov proizvod, koji je jednak 20.
Zahvaljujući primjerima, možete razumjeti kako se NOC nalazi, koje su nijanse i koje je značenje takvih manipulacija.
Pronalaženje NOC-a je mnogo lakše nego što se u početku čini. Da biste to učinili, koriste se i jednostavno proširenje i množenje jednostavnih vrijednosti. Sposobnost rada sa ovim dijelom matematike pomaže u daljem proučavanju matematičkih tema, posebno razlomaka različitog stepena složenosti.
Ne zaboravite povremeno rješavati primjere različitim metodama; to razvija vaš logički aparat i omogućava vam da zapamtite brojne pojmove. Naučite kako pronaći takav eksponent i moći ćete se dobro snaći u ostalim dijelovima matematike. Srećno učenje matematike!
Video
Ovaj video će vam pomoći da shvatite i zapamtite kako pronaći najmanji zajednički višekratnik.
Najmanji zajednički višekratnik dva broja direktno je povezan sa najvećim zajedničkim djeliteljem tih brojeva. Ovo veza između GCD i NOC određena je sljedećom teoremom.
Teorema.
Najmanji zajednički višekratnik dva pozitivna cijela broja a i b jednak je umnošku a i b podijeljenom sa najvećim zajedničkim djeliteljem a i b, tj. LCM(a, b)=a b:GCD(a, b).
Dokaz.
Neka M je neki višekratnik brojeva a i b. To jest, M je deljivo sa a, a prema definiciji deljivosti, postoji neki ceo broj k takav da je jednakost M=a·k tačna. Ali M je takođe deljiv sa b, tada je a·k deljiv sa b.
Označimo gcd(a, b) kao d. Tada možemo napisati jednakosti a=a 1 ·d i b=b 1 ·d, a a 1 =a:d i b 1 =b:d će biti relativno prosti brojevi. Prema tome, uslov dobijen u prethodnom paragrafu da je a · k deljivo sa b može se preformulisati na sledeći način: a 1 · d · k je podeljeno sa b 1 · d , a ovo je, zbog svojstava deljivosti, ekvivalentno uslovu da je a 1 · k djeljiv sa b 1 .
Takođe morate da zapišete dve važne posledice iz razmatrane teoreme.
Zajednički višekratnici dva broja isti su kao i višekratnici njihovog najmanjeg zajedničkog višekratnika.
Ovo je zaista slučaj, budući da je svaki zajednički višekratnik M brojeva a i b određen jednakošću M=LMK(a, b)·t za neku cjelobrojnu vrijednost t.
Najmanji zajednički višekratnik međusobno prostih pozitivnih brojeva a i b jednak je njihovom proizvodu.
Obrazloženje ove činjenice je sasvim očigledno. Pošto su a i b relativno prosti, onda je gcd(a, b)=1, dakle, GCD(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.
Najmanji zajednički višekratnik tri ili više brojeva
Pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika tri ili više brojeva može se svesti na sekvencijalno pronalaženje LCM dva broja. Kako se to radi prikazano je u sljedećoj teoremi: a 1 , a 2 , ..., a k se poklapaju sa zajedničkim višekratnicima brojeva m k-1 i a k , dakle, poklapaju se sa zajedničkim višekratnicima broja m k . A pošto je najmanji pozitivni višekratnik broja m k sam broj m k, onda je najmanji zajednički višekratnik brojeva a 1, a 2, ..., a k m k.
Bibliografija.
- Vilenkin N.Ya. i dr. Matematika. 6. razred: udžbenik za opšteobrazovne ustanove.
- Vinogradov I.M. Osnove teorije brojeva.
- Mikhelovich Sh.H. Teorija brojeva.
- Kulikov L.Ya. i dr. Zbirka zadataka iz algebre i teorije brojeva: Udžbenik za studente fizike i matematike. specijalnosti pedagoških instituta.
Nastavimo razgovor o najmanjem zajedničkom višekratniku, koji smo započeli u dijelu “LCM – najmanji zajednički višekratnik, definicija, primjeri”. U ovoj temi ćemo se osvrnuti na načine kako pronaći LCM za tri ili više brojeva, te ćemo se osvrnuti na pitanje kako pronaći LCM negativnog broja.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Izračunavanje najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM) putem GCD
Već smo uspostavili odnos između najmanjeg zajedničkog višekratnika i najvećeg zajedničkog djelitelja. Sada ćemo naučiti kako odrediti LCM kroz GCD. Prvo, hajde da shvatimo kako to učiniti za pozitivne brojeve.
Definicija 1
Najmanji zajednički višekratnik možete pronaći kroz najveći zajednički djelitelj koristeći formulu LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b).
Primjer 1
Morate pronaći LCM brojeva 126 i 70.
Rješenje
Uzmimo a = 126, b = 70. Zamijenimo vrijednosti u formulu za izračunavanje najmanjeg zajedničkog višekratnika kroz najveći zajednički djelitelj LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .
Pronalazi gcd brojeva 70 i 126. Za ovo nam je potreban Euklidov algoritam: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, dakle GCD (126 , 70) = 14 .
Izračunajmo LCM: LCD (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.
odgovor: LCM(126, 70) = 630.
Primjer 2
Pronađite brojeve 68 i 34.
Rješenje
GCD u ovom slučaju nije teško pronaći, jer je 68 djeljivo sa 34. Izračunajmo najmanji zajednički višekratnik koristeći formulu: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.
odgovor: LCM(68, 34) = 68.
U ovom primjeru koristili smo pravilo za pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika pozitivnih cijelih brojeva a i b: ako je prvi broj djeljiv drugim, LCM tih brojeva će biti jednak prvom broju.
Pronalaženje LCM-a rastavljanjem brojeva u proste faktore
Pogledajmo sada metodu pronalaženja LCM-a, koja se zasniva na faktoringu brojeva u proste faktore.
Definicija 2
Da bismo pronašli najmanji zajednički višekratnik, moramo izvršiti nekoliko jednostavnih koraka:
- sastavljamo proizvod svih prostih faktora brojeva za koje trebamo pronaći LCM;
- isključujemo sve primarne faktore iz njihovih rezultirajućih proizvoda;
- proizvod koji se dobije nakon eliminacije zajedničkih prostih faktora biće jednak LCM datih brojeva.
Ova metoda pronalaženja najmanjeg zajedničkog višekratnika zasniva se na jednakosti LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b). Ako pogledate formulu, postat će vam jasno: proizvod brojeva a i b jednak je proizvodu svih faktora koji učestvuju u dekompoziciji ova dva broja. U ovom slučaju, gcd dva broja je jednak proizvodu svih prostih faktora koji su istovremeno prisutni u faktorizaciji ova dva broja.
Primjer 3
Imamo dva broja 75 i 210. Možemo ih faktorirati na sljedeći način: 75 = 3 5 5 I 210 = 2 3 5 7. Ako sastavite proizvod svih faktora dva originalna broja, dobijate: 2 3 3 5 5 5 7.
Ako izuzmemo faktore zajedničke za oba broja 3 i 5, dobićemo proizvod sljedećeg oblika: 2 3 5 5 7 = 1050. Ovaj proizvod će biti naš LCM za brojeve 75 i 210.
Primjer 4
Pronađite LCM brojeva 441 I 700 , faktoring oba broja u proste faktore.
Rješenje
Nađimo sve proste faktore brojeva datih u uslovu:
441 147 49 7 1 3 3 7 7
700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7
Dobijamo dva lanca brojeva: 441 = 3 3 7 7 i 700 = 2 2 5 5 7.
Proizvod svih faktora koji su učestvovali u dekompoziciji ovih brojeva imat će oblik: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Hajde da pronađemo zajedničke faktore. Ovo je broj 7. Isključimo to iz ukupnog proizvoda: 2 2 3 3 5 5 7 7. Ispostavilo se da je NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.
odgovor: LOC(441, 700) = 44.100.
Hajde da damo još jednu formulaciju metode za pronalaženje LCM dekomponovanjem brojeva na proste faktore.
Definicija 3
Prethodno smo isključili iz ukupnog broja faktora koji su zajednički za oba broja. Sada ćemo to učiniti drugačije:
- Razložimo oba broja u proste faktore:
- dodaj proizvodu prostih faktora prvog broja faktore koji nedostaju drugog broja;
- dobijamo proizvod, koji će biti željeni LCM od dva broja.
Primjer 5
Vratimo se na brojeve 75 i 210, za koje smo već tražili LCM u jednom od prethodnih primjera. Podijelimo ih na jednostavne faktore: 75 = 3 5 5 I 210 = 2 3 5 7. Na proizvod faktora 3, 5 i 5 brojevi 75 dodajte faktore koji nedostaju 2 I 7 brojevi 210. Dobijamo: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 . Ovo je LCM brojeva 75 i 210.
Primjer 6
Potrebno je izračunati LCM brojeva 84 i 648.
Rješenje
Razložimo brojeve iz uslova u jednostavne faktore: 84 = 2 2 3 7 I 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Dodajmo proizvodu faktore 2, 2, 3 i 7
brojevi 84 nedostaju faktori 2, 3, 3 i
3
brojevi 648. Dobijamo proizvod 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536. Ovo je najmanji zajednički višekratnik 84 i 648.
odgovor: LCM(84, 648) = 4,536.
Pronalaženje LCM od tri ili više brojeva
Bez obzira s kojim brojevima imamo posla, algoritam naših akcija će uvijek biti isti: sekvencijalno ćemo pronaći LCM dva broja. Za ovaj slučaj postoji teorema.
Teorema 1
Pretpostavimo da imamo cijele brojeve a 1 , a 2 , … , a k. NOC m k ovi brojevi se nalaze uzastopnim izračunavanjem m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k − 1, a k).
Pogledajmo sada kako se teorema može primijeniti na rješavanje specifičnih problema.
Primjer 7
Morate izračunati najmanji zajednički višekratnik četiri broja 140, 9, 54 i 250 .
Rješenje
Hajde da uvedemo zapis: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.
Počnimo s izračunavanjem m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9). Primijenimo Euklidov algoritam da izračunamo GCD brojeva 140 i 9: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. Dobijamo: GCD (140, 9) = 1, GCD (140, 9) = 140 9: GCD (140, 9) = 140 9: 1 = 1.260. Dakle, m 2 = 1,260.
Sada izračunajmo koristeći isti algoritam m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54). Tokom proračuna dobijamo m 3 = 3 780.
Moramo samo izračunati m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250). Pratimo isti algoritam. Dobijamo m 4 = 94 500.
LCM od četiri broja iz primjera stanja je 94500.
odgovor: NOC (140, 9, 54, 250) = 94.500.
Kao što vidite, proračuni su jednostavni, ali prilično radno intenzivni. Da biste uštedjeli vrijeme, možete ići drugim putem.
Definicija 4
Nudimo vam sljedeći algoritam akcija:
- rastavljamo sve brojeve na proste faktore;
- proizvodu faktora prvog broja dodajemo faktore koji nedostaju iz proizvoda drugog broja;
- proizvodu dobijenom u prethodnoj fazi dodajemo faktore trećeg broja koji nedostaju itd.;
- rezultirajući proizvod će biti najmanji zajednički višekratnik svih brojeva iz uvjeta.
Primjer 8
Trebate pronaći LCM od pet brojeva 84, 6, 48, 7, 143.
Rješenje
Razložimo svih pet brojeva u proste faktore: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. Prosti brojevi, a to je broj 7, ne mogu se rastaviti u proste faktore. Takvi brojevi se poklapaju sa njihovom dekompozicijom na proste faktore.
Sada uzmimo proizvod prostih faktora 2, 2, 3 i 7 broja 84 i dodajmo im faktore koji nedostaju drugog broja. Razložili smo broj 6 na 2 i 3. Ovi faktori su već u proizvodu prvog broja. Stoga ih izostavljamo.
Nastavljamo sa sabiranjem množitelja koji nedostaju. Pređimo na broj 48, iz proizvoda čijih prostih faktora uzimamo 2 i 2. Zatim dodajemo prost faktor 7 iz četvrtog broja i faktore 11 i 13 od petog. Dobijamo: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48,048. Ovo je najmanji zajednički višekratnik od pet originalnih brojeva.
odgovor: LCM(84, 6, 48, 7, 143) = 48,048.
Pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika negativnih brojeva
Da bi se pronašao najmanji zajednički višekratnik negativnih brojeva, ovi brojevi se prvo moraju zamijeniti brojevima suprotnog predznaka, a zatim se proračuni moraju izvršiti pomoću gore navedenih algoritama.
Primjer 9
LCM (54, − 34) = LCM (54, 34) i LCM (− 622, − 46, − 54, − 888) = LCM (622, 46, 54, 888).
Takve radnje su dozvoljene zbog činjenice da ako to prihvatimo a I − a– suprotni brojevi,
zatim skup višekratnika broja a odgovara skupu višekratnika broja − a.
Primjer 10
Potrebno je izračunati LCM negativnih brojeva − 145 I − 45 .
Rješenje
Zamenimo brojeve − 145 I − 45 na njihove suprotne brojeve 145 I 45 . Sada, koristeći algoritam, izračunavamo LCM (145, 45) = 145 · 45: GCD (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1,305, nakon što smo prethodno odredili GCD pomoću Euklidovog algoritma.
Dobijamo da je LCM brojeva − 145 i − 45 jednaki 1 305 .
odgovor: LCM (− 145, − 45) = 1.305.
Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter
Online kalkulator vam omogućava da brzo pronađete najveći zajednički djelitelj i najmanji zajednički višekratnik za dva ili bilo koji drugi broj brojeva.
Kalkulator za pronalaženje GCD i LCM
Pronađite GCD i LOC
Pronađeno GCD i LOC: 5806
Kako koristiti kalkulator
- Unesite brojeve u polje za unos
- Ako unesete netačne znakove, polje za unos će biti istaknuto crvenom bojom
- kliknite na dugme "Pronađi GCD i LOC".
Kako unositi brojeve
- Brojevi se unose odvojeni razmakom, tačkom ili zarezom
- Dužina unesenih brojeva nije ograničena, tako da pronalaženje GCD i LCM dugih brojeva nije teško
Šta su GCD i NOC?
Najveći zajednički djelitelj nekoliko brojeva je najveći prirodni cijeli broj kojim su svi originalni brojevi djeljivi bez ostatka. Najveći zajednički djelitelj je skraćeno kao GCD.
Najmanji zajednički višekratnik nekoliko brojeva je najmanji broj koji je djeljiv sa svakim od originalnih brojeva bez ostatka. Najmanji zajednički višekratnik je skraćeno NOC.
Kako provjeriti da li je broj djeljiv sa drugim brojem bez ostatka?
Da biste saznali da li je jedan broj djeljiv drugim bez ostatka, možete koristiti neka svojstva djeljivosti brojeva. Zatim, njihovim kombinovanjem, možete provjeriti djeljivost nekih od njih i njihovih kombinacija.
Neki znakovi djeljivosti brojeva
1. Test djeljivosti broja sa 2
Da bismo utvrdili da li je broj djeljiv sa dva (da li je paran), dovoljno je pogledati posljednju cifru ovog broja: ako je jednak 0, 2, 4, 6 ili 8, onda je broj paran, što znači da je djeljiv sa 2.
primjer: utvrdi da li je broj 34938 djeljiv sa 2.
Rješenje: Gledamo posljednju cifru: 8 - to znači da je broj djeljiv sa dva.
2. Test djeljivosti broja sa 3
Broj je djeljiv sa 3 kada je zbir njegovih cifara djeljiv sa tri. Dakle, da biste utvrdili da li je broj djeljiv sa 3, morate izračunati zbir cifara i provjeriti da li je djeljiv sa 3. Čak i ako je zbir cifara vrlo velik, možete ponoviti isti postupak.
primjer: utvrdi da li je broj 34938 djeljiv sa 3.
Rješenje: Računamo zbir brojeva: 3+4+9+3+8 = 27. 27 je djeljiv sa 3, što znači da je broj djeljiv sa tri.
3. Test djeljivosti broja sa 5
Broj je djeljiv sa 5 kada je njegova zadnja cifra nula ili pet.
primjer: utvrdi da li je broj 34938 djeljiv sa 5.
Rješenje: pogledajte posljednju cifru: 8 znači da broj NIJE djeljiv sa pet.
4. Test djeljivosti broja sa 9
Ovaj znak je vrlo sličan znaku djeljivosti sa tri: broj je djeljiv sa 9 kada je zbir njegovih cifara djeljiv sa 9.
primjer: utvrdi da li je broj 34938 djeljiv sa 9.
Rješenje: Računamo zbir brojeva: 3+4+9+3+8 = 27. 27 je djeljiv sa 9, što znači da je broj djeljiv sa devet.
Kako pronaći GCD i LCM dva broja
Kako pronaći gcd dva broja
Najlakši način da izračunate najveći zajednički djelitelj dva broja je da pronađete sve moguće djelitelje tih brojeva i odaberete najveći.
Razmotrimo ovu metodu koristeći primjer pronalaženja GCD(28, 36):
- Faktoriramo oba broja: 28 = 1·2·2·7, 36 = 1·2·2·3·3
- Pronalazimo zajedničke faktore, odnosno one koje imaju oba broja: 1, 2 i 2.
- Izračunavamo proizvod ovih faktora: 1 2 2 = 4 - ovo je najveći zajednički djelitelj brojeva 28 i 36.
Kako pronaći LCM dva broja
Postoje dva najčešća načina da se pronađe najmanji višekratnik od dva broja. Prva metoda je da možete zapisati prve višekratnike dva broja, a zatim među njima izabrati broj koji će biti zajednički za oba broja i istovremeno najmanji. A drugi je pronaći gcd ovih brojeva. Razmotrimo samo to.
Da biste izračunali LCM, morate izračunati proizvod originalnih brojeva, a zatim ga podijeliti s prethodno pronađenim GCD. Nađimo LCM za iste brojeve 28 i 36:
- Pronađite proizvod brojeva 28 i 36: 28·36 = 1008
- GCD(28, 36), kao što je već poznato, jednak je 4
- LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .
Pronalaženje GCD i LCM za nekoliko brojeva
Najveći zajednički djelitelj se može naći za nekoliko brojeva, a ne samo za dva. Da bi se to postiglo, brojevi koje treba pronaći za najveći zajednički djelitelj se razlažu na proste faktore, zatim se pronalazi proizvod zajedničkih prostih faktora ovih brojeva. Također možete koristiti sljedeću relaciju da pronađete gcd nekoliko brojeva: GCD(a, b, c) = GCD(GCD(a, b), c).
Sličan odnos se primjenjuje na najmanji zajednički višekratnik: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)
primjer: pronađite GCD i LCM za brojeve 12, 32 i 36.
- Prvo, hajde da faktorizujemo brojeve: 12 = 1·2·2·3, 32 = 1·2·2·2·2·2, 36 = 1·2·2·3·3.
- Nađimo zajedničke faktore: 1, 2 i 2.
- Njihov proizvod će dati GCD: 1·2·2 = 4
- Sada pronađimo LCM: da bismo to učinili, prvo ćemo pronaći LCM(12, 32): 12·32 / 4 = 96 .
- Da biste pronašli LCM sva tri broja, morate pronaći GCD(96, 36): 96 = 1·2·2·2·2·2·3 , 36 = 1·2·2·3·3 , GCD = 1·2· 2 3 = 12.
- LCM(12, 32, 36) = 96·36 / 12 = 288.