>>Matematika: Skraćene formule za množenje
Skraćene formule za množenje
Postoji nekoliko slučajeva u kojima množenje jednog polinoma drugim daje kompaktan rezultat koji se lako pamti. U ovim slučajevima poželjno je ne množiti svaki put sa jedan polinom s druge strane i koristite gotov rezultat. Hajde da razmotrimo ove slučajeve.
1. Zbir na kvadrat i razlika na kvadrat:
Primjer 1. Proširite zagrade u izrazu:
a) (Zx + 2) 2;
b) (5a 2 - 4b 3) 2
a) Koristimo formulu (1), uzimajući u obzir da je uloga a 3x, a uloga b je broj 2.
Dobijamo:
(3x + 2) 2 = (3x) 2 + 2 3x 2 + 2 2 = 9x 2 + 12x + 4.
b) Koristimo formulu (2), uzimajući u obzir da u ulozi A stoji 5a 2, i u ulozi b stoji 4b 3. Dobijamo:
(5a 2 -4b 3) 2 = (5a 2) 2 - 2- 5a 2 4b 3 + (4b 3) 2 = 25a 4 -40a 2 b 3 + 16b 6.
Kada koristite formule za kvadratni zbroj ili na kvadrat razlike, imajte to na umu
(- a - b) 2 = (a + b) 2 ;
(b-a) 2 = (a-b) 2 .
Ovo proizilazi iz činjenice da je (- a) 2 = a 2.
Imajte na umu da su formule (1) i (2) zasnovane na nekim matematičkim trikovima koji vam omogućavaju da izvodite mentalne proračune.
Na primjer, možete gotovo verbalno kvadrirati brojeve koji se završavaju na 1 i 9. Zaista
71 2 = (70 + 1) 2 = 70 2 + 2 70 1 + 1 2 = 4900 + 140 + 1 = 5041;
91 2 = (90 + I) 2 = 90 2 + 2 90 1 + 1 2 = 8100 + 180 + 1 = 8281;
69 2 = (70 - I) 2 = 70 2 - 2 70 1 + 1 2 = 4900 - 140 + 1 = 4761.
Ponekad možete brzo kvadrirati broj koji se završava na 2 ili 8. Na primjer,
102 2 = (100 + 2) 2 = 100 2 + 2 100 2 + 2 2 = 10 000 + 400 + 4 = 10 404;
48 2 = (50 - 2) 2 = 50 2 - 2 50 2 + 2 2 = 2500 - 200 + 4 = 2304.
Ali najelegantniji trik uključuje kvadriranje brojeva koji završavaju na 5.
Hajde da izvršimo odgovarajuće rezonovanje za 85 2 .
Imamo:
85 2 = (80 + 5) 2 = 80 2 + 2 80 5 + 5 2 =-80 (80+ 10)+ 25 = 80 90 + 25 = 7200 + 25 = 7225.
Napominjemo da je za izračunavanje 85 2 bilo dovoljno pomnožiti 8 sa 9 i rezultatu dodati 25 desno. Isto možete učiniti i u drugim slučajevima. Na primjer, 35 2 = 1225 (3 4 = 12 i 25 je dodano rezultirajućem broju s desne strane);
65 2 = 4225; 1252 = 15625 (12 18 = 156 i 25 je dodano rezultirajućem broju na desnoj strani).
Budući da je riječ o raznim zanimljivim okolnostima vezanim za dosadne (na prvi pogled) formule (1) i (2), ovaj razgovor ćemo dopuniti sljedećim geometrijskim zaključivanjem. Neka su a i b pozitivni brojevi. Posmatrajmo kvadrat sa stranicom a + b i izrežite u njegova dva ugla kvadrate sa stranicama jednakim a i b (slika 4).
Površina kvadrata sa stranicom a + b jednaka je (a + b) 2. Ali mi smo ovaj kvadrat izrezali na četiri dijela: kvadrat sa stranicom a (njegova površina je jednaka a 2), kvadrat sa stranicom b (njegova površina je jednaka b 2), dva pravokutnika sa stranicama a i b (površina od svaki takav pravougaonik je jednak ab). To znači (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab, odnosno dobijamo formulu (1).
Pomnožite binom a + b sa binomom a - b. Dobijamo:
(a + b) (a - b) = a 2 - ab + ba - b 2 = a 2 - b 2.
Dakle
Svaka jednakost u matematici se koristi i s lijeva na desno (tj. lijeva strana jednakosti je zamijenjena desnom stranom) i s desna na lijevo (to jest, desna strana jednakosti je zamijenjena lijevom stranom) . Ako se formula C) koristi s lijeva na desno, tada vam omogućava zamjenu proizvoda (a + b) (a - b) sa gotovim rezultatom a 2 - b 2. Ista formula se može koristiti s desna na lijevo, tada vam omogućava da zamijenite razliku kvadrata a 2 - b 2 proizvodom (a + b) (a - b). Formula (3) u matematici ima poseban naziv - razlika kvadrata.
Komentar.
Nemojte brkati pojmove "razlika kvadrata" sa "razlika na kvadrat". Razlika kvadrata je a 2 - b 2, što znači da govorimo o formuli (3); kvadrat razlike je (a- b) 2, što znači da govorimo o formuli (2). U običnom jeziku, formula (3) se čita "s desna na lijevo" ovako:
razlika kvadrata dva broja (izraza) jednaka je umnošku zbira ovih brojeva (izraza) i njihove razlike,
Primjer 2. Izvršite množenje
(3x- 2g)(3x+ 2g)
Rješenje. Imamo:
(Zx - 2y) (Zx + 2y) = (Zx) 2 - (2y) 2 = 9x 2 - 4y 2.
Primjer 3. Izrazite binom 16x 4 - 9 kao proizvod binoma.
Rješenje. Imamo: 16x 4 = (4x 2) 2, 9 = 3 2, što znači da je dati binom razlika kvadrata, tj. formula (3) može se primijeniti na njega, čitana s desna na lijevo. tada dobijamo:
16x 4 - 9 = (4x 2) 2 - 3 2 = (4x 2 + 3) (4x 2 - 3)
Formula (3), kao i formule (1) i (2), koristi se za matematičke trikove. vidi:
79 81 = (80 - 1) (80 + 1) - 802 - I2 = 6400 - 1 = 6399;
42 38 = D0 + 2) D0 - 2) = 402 - 22 = 1600 - 4 = 1596.
Završimo razgovor o formuli za razliku kvadrata zanimljivim geometrijskim razmišljanjem. Neka su a i b pozitivni brojevi, a a > b. Posmatrajmo pravougaonik sa stranicama a + b i a - b (slika 5). Njegova površina je (a + b) (a - b). Izrežemo pravougaonik sa stranicama b i a - b i zalijepimo ga na preostali dio kao što je prikazano na slici 6. Jasno je da rezultirajuća figura ima istu površinu, tj. (a + b) (a - b). Ali ova brojka može biti
izgradite ovako: iz kvadrata sa stranom a izrežite kvadrat sa stranicom b (ovo je jasno vidljivo na slici 6). To znači da je površina nove figure a 2 - b 2. Dakle, (a + b) (a - b) = a 2 - b 2, tj. dobili smo formulu (3).
3. Razlika kocki i zbroj kocki
Pomnožite binom a - b sa trinomom a 2 + ab + b 2 .
Dobijamo:
(a - b) (a 2 + ab + b 2) = a a 2 + a ab + a b 2 - b a 2 - b ab -b b 2 = a 3 + a 2 b + ab 2 -a 2 b- ab 2 - b 3 = a 3 -b 3.
Isto tako
(a + b) (a 2 - ab + b 2) = a 3 + b 3
(provjerite sami). dakle,
Formula (4) se obično naziva razlika kockica, formula (5) - zbir kocki. Pokušajmo prevesti formule (4) i (5) na običan jezik. Prije nego što to učinite, primijetite da je izraz a 2 + ab + b 2 sličan izrazu a 2 + 2ab + b 2, koji se pojavio u formuli (1) i dao (a + b) 2; izraz a 2 - ab + b 2 je sličan izrazu a 2 - 2ab + b 2, koji se pojavio u formuli (2) i dao (a - b) 2.
Da bismo razlikovali (na jeziku) ovi parovi izraza jedan od drugog, svaki od izraza a 2 + 2ab + b 2 i a 2 - 2ab + b 2 naziva se savršen kvadrat (zbir ili razlika), a svaki od izraza a 2 + ab + b 2 i a 2 - ab + b 2 nazivaju se nepotpuni kvadrat (zbir ili razlika). Tada dobijamo sljedeći prijevod formula (4) i (5) (čitaj “s desna na lijevo”) na običan jezik:
razlika kocki dva broja (izraza) jednaka je proizvodu razlike ovih brojeva (izraza) nepotpunim kvadratom njihovog zbira; zbir kubova dva broja (izraza) jednak je proizvodu zbira ovih brojeva (izraza) i nepotpunog kvadrata njihove razlike.
Komentar. Sve formule (1)-(5) dobijene u ovom paragrafu koriste se i s lijeva na desno i s desna na lijevo, samo u prvom slučaju (s lijeva na desno) kažu da su (1)-(5) skraćeno množenje formule, au drugom slučaju (s desna na lijevo) kažu da su (1)-(5) formule faktorizacije.
Primjer 4. Izvršite množenje (2x-1)(4x 2 + 2x +1).
Rješenje. Budući da je prvi faktor razlika između monoma 2x i 1, a drugi faktor je nepotpun kvadrat njihovog zbira, možemo koristiti formulu (4). Dobijamo:
(2x - 1)(4x 2 + 2x + 1) = (2x) 3 - I 3 = 8x 3 - 1.
Primjer 5. Predstavite binom 27a 6 + 8b 3 kao proizvod polinoma.
Rješenje. Imamo: 27a 6 = (Za 2) 3, 8b 3 = (2b) 3. To znači da je dati binom zbir kocki, odnosno na njega se može primijeniti formula 95, čitana s desna na lijevo. tada dobijamo:
27a 6 + 8b 3 = (Za 2) 3 + (2b) 3 = (Za 2 + 2b) ((Za 2) 2 - Za 2 2b + (2b) 2) = (Za 2 + 2b) (9a 4 - 6a 2 b + 4b 2).
Pomoć za školarce online, Matematika za 7. razred preuzimanje, kalendar i tematsko planiranje
A. V. Pogorelov, Geometrija za 7-11 razred, Udžbenik za obrazovne ustanove
Sadržaj lekcije beleške sa lekcija podrška okvirnoj prezentaciji lekcija metode ubrzanja interaktivne tehnologije Vježbajte zadaci i vježbe radionice za samotestiranje, obuke, slučajevi, potrage domaća zadaća diskusija pitanja retorička pitanja učenika Ilustracije audio, video i multimedija fotografije, slike, grafike, tabele, dijagrami, humor, anegdote, vicevi, stripovi, parabole, izreke, ukrštene reči, citati Dodaci sažetakačlanci trikovi za radoznale jaslice udžbenici osnovni i dodatni rječnik pojmova ostalo Poboljšanje udžbenika i lekcijaispravljanje grešaka u udžbeniku ažuriranje fragmenta u udžbeniku, elementi inovacije u lekciji, zamjena zastarjelog znanja novim Samo za nastavnike savršene lekcije kalendarski plan za godinu, metodološke preporuke, programi diskusije Integrisane lekcijeJedna od prvih tema koje se proučavaju na kursu algebre su formule za skraćeno množenje. U sedmom razredu koriste se u najjednostavnijim situacijama, gdje trebate prepoznati jednu od formula u izrazu i faktorisati polinom ili, obrnuto, brzo kvadrirati ili kockirati zbir ili razliku. U budućnosti, FSU se koristi za brzo rješavanje nejednačina i jednačina, pa čak i za izračunavanje nekih numeričkih izraza bez kalkulatora.
Kako izgleda lista formula?
Postoji 7 osnovnih formula koje vam omogućavaju brzo množenje polinoma u zagradama.
Ponekad ova lista uključuje i proširenje za četvrti stepen, što proizilazi iz predstavljenih identiteta i ima oblik:
a⁴ — b⁴ = (a - b)(a + b)(a² + b²).
Sve jednakosti imaju par (zbir - razlika), osim razlike kvadrata. Formula za zbir kvadrata nije data.
Preostale jednakosti se lako pamte:
Treba imati na umu da FSU rade u svakom slučaju i za bilo koje vrijednosti a I b: to mogu biti ili proizvoljni brojevi ili cjelobrojni izrazi.
U situaciji kada se odjednom ne možete sjetiti koji je znak ispred određenog pojma u formuli, možete otvoriti zagrade i dobiti isti rezultat kao nakon korištenja formule. Na primjer, ako je nastao problem prilikom primjene kocke razlike FSU, morate zapisati originalni izraz i izvršiti množenje jedno po jedno:
(a - b)³ = (a - b)(a - b)(a - b) = (a² - ab - ab + b²)(a - b) = a³ - a²b - a²b + ab² - a²b + ab² + ab² - b³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³.
Kao rezultat, nakon donošenja svih sličnih pojmova, dobijen je isti polinom kao u tabeli. Iste manipulacije se mogu izvesti sa svim ostalim FSU.
Primjena FSU za rješavanje jednačina
Na primjer, trebate riješiti jednačinu koja sadrži polinom stepena 3:
x³ + 3x² + 3x + 1 = 0.
Školski program ne obuhvata univerzalne tehnike rješavanja kubnih jednačina, a takvi zadaci se najčešće rješavaju jednostavnijim metodama (na primjer, faktorizacijom). Ako primijetimo da lijeva strana identiteta podsjeća na kocku sume, onda se jednačina može napisati u jednostavnijem obliku:
(x + 1)³ = 0.
Korijen takve jednadžbe izračunava se usmeno: x = -1.
Nejednakosti se rješavaju na sličan način. Na primjer, možete riješiti nejednakost x³ – 6x² + 9x > 0.
Prije svega, trebate faktorizirati izraz. Prvo treba da zagradite x. Nakon ovoga, imajte na umu da se izraz u zagradama može pretvoriti u kvadrat razlike.
Zatim morate pronaći tačke u kojima izraz poprima nulte vrijednosti i označiti ih na brojevnoj liniji. U određenom slučaju, to će biti 0 i 3. Zatim, koristeći metodu intervala, odredite u kojim intervalima x će odgovarati uvjetu nejednakosti.
FSU-ovi mogu biti korisni prilikom izvođenja neke kalkulacije bez pomoći kalkulatora:
703² - 203² = (703 + 203)(703 - 203) = 906 ∙ 500 = 453000.
Osim toga, faktoring izraza, možete lako smanjiti razlomke i pojednostaviti različite algebarske izraze.
Primjeri zadataka za 7-8 razred
U zaključku ćemo analizirati i riješiti dva zadatka o korištenju skraćenih formula za množenje u algebri.
Zadatak 1. Pojednostavite izraz:
(m + 3)² + (3m + 1)(3m - 1) - 2m (5m + 3).
Rješenje. Uslov zadatka zahteva pojednostavljenje izraza, odnosno otvaranje zagrada, izvođenje operacija množenja i stepenovanja, kao i dovođenje svih sličnih pojmova. Uvjetno podijelimo izraz na tri dijela (prema broju pojmova) i otvorimo zagrade jednu po jednu, koristeći FSU gdje je to moguće.
- (m + 3)² = m² + 6m + 9(kvadrat sume);
- (3m + 1)(3m - 1) = 9m² – 1(razlika kvadrata);
- U posljednjem terminu trebate pomnožiti: 2m (5m + 3) = 10m² + 6m.
Zamenimo dobijene rezultate u originalni izraz:
(m² + 6m + 9) + (9m² – 1) - (10m² + 6m).
Uzimajući u obzir znakove, otvorićemo zagrade i predstaviti slične pojmove:
m² + 6m + 9 + 9m² 1 - 10m² – 6m = 8.
Zadatak 2. Riješite jednačinu koja sadrži nepoznatu k na 5. stepen:
k⁵ + 4k⁴ + 4k³ – 4k² – 4k = k³.
Rješenje. U ovom slučaju potrebno je koristiti FSU i metodu grupiranja. Posljednji i pretposljednji termin potrebno je premjestiti na desnu stranu identiteta.
k⁵ + 4k⁴ + 4k³ = k³ + 4k² + 4k.
Zajednički faktor se izvodi sa desne i lijeve strane (k² + 4k +4):
k³(k² + 4k + 4) = k (k² + 4k + 4).
Sve se prenosi na lijevu stranu jednačine tako da 0 ostaje na desnoj strani:
k³(k² + 4k + 4) - k (k² + 4k + 4) = 0.
Opet je potrebno izvaditi zajednički faktor:
(k³ - k)(k² + 4k + 4) = 0.
Iz prvog dobijenog faktora možemo izvesti k. Prema kratkoj formuli množenja, drugi faktor će biti identično jednak (k+2)²:
k (k² - 1)(k + 2)² = 0.
Koristeći formulu razlike kvadrata:
k (k - 1)(k + 1)(k + 2)² = 0.
Budući da je proizvod jednak 0 ako je barem jedan njegov faktor jednak nuli, pronalaženje svih korijena jednadžbe nije teško:
- k = 0;
- k - 1 = 0; k = 1;
- k + 1 = 0; k = -1;
- (k + 2)² = 0; k = -2.
Na temelju ilustrativnih primjera možete razumjeti kako zapamtiti formule, njihove razlike, a također riješiti nekoliko praktičnih problema koristeći FSU. Zadaci su jednostavni i ne bi trebalo biti poteškoća u njihovom izvršavanju.
Koriste se za pojednostavljenje proračuna, kao i faktoring polinoma i brzo množenje polinoma. Većina skraćenih formula za množenje može se dobiti iz Newtonovog binoma - to ćete uskoro vidjeti.
Formule za kvadratečešće se koristi u proračunima. Počinju da se izučavaju u školskom programu od 7. razreda, a do kraja studija školarci moraju napamet znati formule za kvadrate i kocke.
Formule za kocke nije mnogo komplikovano i morate ih znati kada polinome svodite na standardni oblik, da biste pojednostavili podizanje zbira ili razlike varijable i broja na kocku.
Formule označene crvenom bojom su dobijene iz prethodnih grupiranjem sličnih pojmova.
Formule za četvrti i peti stepen Malo ljudi će to smatrati korisnim u školskom kursu, ali postoje problemi u proučavanju više matematike gdje je potrebno izračunati koeficijente snaga.
Formule za stepen n se zapisuju kroz binomne koeficijente koristeći sljedeće faktorijele 
Primjeri korištenja skraćenih formula za množenje
Primjer 1. Izračunajte 51^2.
Rješenje. Ako imate kalkulator, možete ga pronaći bez problema.
Šalio sam se - svi su mudri sa kalkulatorom, bez njega... (da ne pričamo o tužnim stvarima).
Bez kalkulatora i poznavanja gornjih pravila, pomoću pravila nalazimo kvadrat broja
Primjer 2. Pronađite 99^2.
Rješenje. Primijenimo drugu formulu
Primjer 3: kvadrat izraza
(x+y-3).
Rješenje. Mentalno smatramo da je zbir prva dva člana jedan član i, koristeći drugu formulu za skraćeno množenje, imamo
Primjer 4. Pronađite razliku kvadrata
11^2-9^2.
Rješenje. Pošto su brojevi mali, možete jednostavno zamijeniti vrijednosti kvadrata
Ali naš cilj je potpuno drugačiji - naučiti kako koristiti skraćene formule za množenje za pojednostavljenje izračuna. Za ovaj primjer primjenjujemo treću formulu
Primjer 5. Pronađite razliku kvadrata
17^2-3^2
.
Rješenje. U ovom primjeru ćete već htjeti proučiti pravila kako biste sveli proračune na jedan red
Kao što vidite, nismo uradili ništa iznenađujuće.
Primjer 6: Pojednostavite izraz
(x-y)^2-(x+y)^2.
Rješenje. Možete postaviti kvadrate i kasnije grupirati slične pojmove. Međutim, može se direktno primijeniti razlika kvadrata 
Jednostavno i bez dugih rješenja.
Primjer 7. Kocka je polinom
x^3-4.
Rješenje . Primijenimo 5 skraćenu formulu množenja 
Primjer 8. Zapisati kao razliku kvadrata ili njihov zbir
a) x^2-8x+7
b) x^2+4x+29
Rješenje. a) Preuredite termine
b) Pojednostavite na osnovu prethodnih argumenata 
Primjer 9. Proširite racionalni razlomak
Rješenje. Primijenimo formulu razlike kvadrata 
Napravimo sistem jednačina za određivanje konstanti
Dodajmo drugu utrostručenoj prvoj jednačini. Pronađenu vrijednost zamjenjujemo u prvu jednačinu 
Dekompozicija će konačno poprimiti formu 
Proširivanje racionalnog razlomka je često potrebno prije integracije kako bi se smanjila snaga nazivnika.
Primjer 10. Zapišite koristeći Newtonov binom
izraz (x-a)^7.
Rješenje. Verovatno već znate šta je Njutnov binom. Ako nije, ispod su binomni koeficijenti
Formiraju se na sljedeći način: jedinice idu duž ivice, koeficijenti između njih u donjem redu formiraju se zbrajanjem susjednih gornjih. Ako u određenoj mjeri tražimo razliku, onda se znakovi u rasporedu smjenjuju od plusa do minusa. Tako za sedmi red dobijamo sledeći raspored
Također pažljivo pogledajte kako se indikatori mijenjaju - za prvu varijablu oni se smanjuju za jedan u svakom sljedećem terminu, odnosno, za drugu se povećavaju za jedan. Ukupno, indikatori moraju uvijek biti jednaki stepenu dekompozicije (=7).
Mislim da ćete na osnovu gornjeg materijala moći riješiti probleme koristeći Newtonov binom. Naučite skraćene formule za množenje i primijenite ih gdje god mogu pojednostaviti proračune i uštedjeti vrijeme na zadacima.
Razmotrimo sada kvadrat binoma i, primjenjujući aritmetičku tačku gledišta, govorit ćemo o kvadratu zbira, tj. (a + b)², i kvadratu razlike dva broja, tj. (a – b)².
Budući da (a + b)² = (a + b) ∙ (a + b),
tada nalazimo: (a + b) ∙ (a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b², tj.
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Korisno je zapamtiti ovaj rezultat i u obliku gore opisane jednakosti i riječima: kvadrat zbroja dva broja jednak je kvadratu prvog broja plus umnožak dva na prvi i drugi broj broj, plus kvadrat drugog broja.
Znajući ovaj rezultat, možemo odmah napisati, na primjer:
(x + y)² = x² + 2xy + y²
(3ab + 1)² = 9a² b² + 6ab + 1
(x n + 4x)² = x 2n + 8x n+1 + 16x 2
Pogledajmo drugi od ovih primjera. Trebamo kvadrirati zbir dva broja: prvi broj je 3ab, drugi 1. Rezultat bi trebao biti: 1) kvadrat prvog broja, tj. (3ab)², koji je jednak 9a²b²; 2) proizvod dva na prvi i drugi broj, tj. 2 ∙ 3ab ∙ 1 = 6ab; 3) kvadrat 2. broja, tj. 1² = 1 - sva ova tri člana moraju se sabrati.
Dobijamo i formulu za kvadriranje razlike dva broja, odnosno za (a – b)²:
(a – b)² = (a – b) (a – b) = a² – ab – ab + b² = a² – 2ab + b².
(a – b)² = a² – 2ab + b²,
tj. kvadrat razlike dva broja jednak je kvadratu prvog broja, minus umnožak dva na prvi broj i drugi, plus kvadrat drugog broja.
Znajući ovaj rezultat, možemo odmah izvršiti kvadriranje binoma, koji, sa aritmetičke tačke gledišta, predstavljaju razliku dva broja.
(m – n)² = m² – 2mn + n²
(5ab 3 – 3a 2 b) 2 = 25a 2 b 6 – 30a 3 b 4 + 9a 4 b 2 
(a n-1 – a) 2 = a 2n-2 – 2a n + a 2, itd.
Hajde da objasnimo 2. primer. Ovdje imamo u zagradama razliku dva broja: prvi broj je 5ab 3, a drugi broj je 3a 2 b. Rezultat bi trebao biti: 1) kvadrat prvog broja, tj. (5ab 3) 2 = 25a 2 b 6, 2) proizvod dva na 1. i 2. broj, tj. 2 ∙ 5ab 3 ∙ 3a 2 b = 30a 3 b 4 i 3) kvadrat drugog broja, tj. (3a 2 b) 2 = 9a 4 b 2 ; Prvi i treći član moramo uzeti sa plusom, a drugi sa minusom, dobijamo 25a 2 b 6 – 30a 3 b 4 + 9a 4 b 2. Da bismo objasnili 4. primjer, samo napominjemo da 1) (a n-1)2 = a 2n-2 ... eksponent se mora pomnožiti sa 2 i 2) umnožak dva sa 1. brojem i sa 2. = 2 ∙ a n-1 ∙ a = 2a n .
Ako uzmemo u obzir gledište algebre, tada obje jednakosti: 1) (a + b)² = a² + 2ab + b² i 2) (a – b)² = a² – 2ab + b² izražavaju istu stvar, naime: kvadrat binoma je jednak kvadratu prvog člana, plus umnožak broja (+2) sa prvim članom i drugim, plus kvadrat drugog člana. Ovo je jasno jer se naše jednakosti mogu prepisati kao:
1) (a + b)² = (+a)² + (+2) ∙ (+a) (+b) + (+b)²
2) (a – b)² = (+a)² + (+2) ∙ (+a) (–b) + (–b)²
U nekim slučajevima, zgodno je tumačiti rezultirajuće jednakosti na ovaj način:
(–4a – 3b)² = (–4a)² + (+2) (–4a) (–3b) + (–3b)²
Ovdje kvadriramo binom čiji je prvi član = –4a, a drugi = –3b. Zatim dobijamo (–4a)² = 16a², (+2) (–4a) (–3b) = +24ab, (–3b)² = 9b² i konačno:
(–4a – 3b)² = 6a² + 24ab + 9b²
Također bi bilo moguće dobiti i zapamtiti formulu za kvadriranje trinoma, kvadrinoma ili bilo kojeg polinoma općenito. Međutim, to nećemo učiniti, jer rijetko trebamo koristiti ove formule, a ako trebamo kvadratirati bilo koji polinom (osim binoma), stvar ćemo svesti na množenje. Na primjer:
31. Primijenimo dobijene 3 jednakosti i to:
(a + b) (a – b) = a² – b²
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a – b)² = a² – 2ab + b²
na aritmetiku.
Neka je 41 ∙ 39. Tada to možemo predstaviti u obliku (40 + 1) (40 – 1) i svesti materiju na prvu jednakost - dobijamo 40² – 1 ili 1600 – 1 = 1599. Zahvaljujući tome, lako je izvesti množenje poput 21 ∙ 19; 22 ∙ 18; 31 ∙ 29; 32 ∙ 28; 71 ∙ 69 itd.
Neka je 41 ∙ 41; isto je kao 41² ili (40 + 1)² = 1600 + 80 + 1 = 1681. Također 35 ∙ 35 = 35² = (30 + 5)² = 900 + 300 + 25 = 1225. Ako vam treba 37 ∙ ∙ onda je ovo jednako (40 – 3)² = 1600 – 240 + 9 = 1369. Takva množenja (ili kvadriranje dvocifrenih brojeva) je lako izvesti, uz određenu vještinu, u svojoj glavi.
Formule stepena koristi se u procesu redukcije i pojednostavljivanja složenih izraza, u rješavanju jednačina i nejednačina.
Broj c je n-ti stepen broja a Kada:
Operacije sa stepenom.
1. Množenjem stepeni sa istom bazom, dodaju se njihovi indikatori:
a m·a n = a m + n .
2. Prilikom dijeljenja stupnjeva sa istom bazom, oduzimaju se njihovi eksponenti:
3. Stepen proizvoda 2 ili više faktora jednak je proizvodu stupnjeva ovih faktora:
(abc…) n = a n · b n · c n …
4. Stepen razlomka jednak je omjeru stupnjeva dividende i djelitelja:
(a/b) n = a n /b n .
5. Podižući stepen na stepen, eksponenti se množe:
(a m) n = a m n .
Svaka gornja formula je istinita u smjerovima s lijeva na desno i obrnuto.
Na primjer. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.
Operacije s korijenima.
1. Korijen proizvoda nekoliko faktora jednak je proizvodu korijena ovih faktora:
2. Korijen omjera jednak je omjeru dividende i djelitelja korijena:
3. Prilikom podizanja korijena na stepen, dovoljno je podići radikalni broj na ovaj stepen:
4. Ako povećate stepen korijena u n jednom i istovremeno ugraditi u n th stepen je radikalan broj, tada se vrijednost korijena neće promijeniti:
5. Ako smanjite stepen korijena u n istovremeno izvaditi korijen n-ti stepen radikalnog broja, tada se vrijednost korijena neće promijeniti:
Stepen sa negativnim eksponentom. Potencija određenog broja s nepozitivnim (cjelobrojnim) eksponentom definira se kao jedinica podijeljena potencijom istog broja s eksponentom jednakim apsolutnoj vrijednosti nepozitivnog eksponenta:
Formula a m:a n =a m - n može se koristiti ne samo za m> n, ali i sa m< n.
Na primjer. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.
Za formulu a m:a n =a m - n postao pošten kada m=n, potrebno je prisustvo nultog stepena.
Diploma sa nultim indeksom. Potencija bilo kojeg broja koji nije jednak nuli sa nultim eksponentom jednaka je jedan.
Na primjer. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.
Stepen sa razlomkom eksponenta. Da podignem pravi broj A do stepena m/n, morate izdvojiti korijen n th stepen of m-ti stepen ovog broja A.