U ovoj lekciji:
- Zadatak 1. Nađite ukupnu površinu piramide
- Zadatak 2. Nađite površinu bočne površine pravilne trokutaste piramide
.
Bilješka . Ako trebate riješiti problem geometrije koji nije ovdje, pišite o tome na forumu. U problemima se umjesto simbola "kvadratnog korijena" koristi funkcija sqrt(), u kojoj je sqrt simbol kvadratnog korijena, a izraz iskorak je naznačen u zagradama. Za jednostavne radikalne izraze može se koristiti znak "√"..
Problem 1. Pronađite ukupnu površinu pravilne piramide
Visina osnove pravilne trouglaste piramide je 3 cm, a ugao između bočne strane i osnove piramide je 45 stepeni.Pronađite ukupnu površinu piramide
Rješenje.
U osnovi pravilne trouglaste piramide leži jednakostranični trokut.
Stoga, da riješimo problem, koristit ćemo svojstva pravilnog trokuta: 
Znamo visinu trougla, odakle možemo pronaći njegovu površinu.
h = √3/2 a
a = h / (√3/2)
a = 3 / (√3/2)
a = 6 / √3
Otuda će površina baze biti jednaka:
S = √3/4 a 2
S = √3/4 (6 / √3) 2
S = 3√3
Da bismo pronašli površinu bočne strane, izračunavamo visinu KM. Prema problemu, ugao OKM je 45 stepeni.
ovako:
OK / MK = cos 45
Koristimo tablicu vrijednosti trigonometrijskih funkcija i zamijenimo poznate vrijednosti.
OK / MK = √2/2
Uzmimo u obzir da je OK jednako poluprečniku upisane kružnice. Onda
OK = √3/6a
OK = √3/6 * 6/√3 = 1
Onda
OK / MK = √2/2
1/MK = √2/2
MK = 2/√2
Površina bočne strane je tada jednaka polovini umnoška visine i osnove trokuta.
Strana = 1/2 (6 / √3) (2/√2) = 6/√6
Dakle, ukupna površina piramide će biti jednaka
S = 3√3 + 3 * 6/√6
S = 3√3 + 18/√6
Odgovori: 3√3 + 18/√6
Problem 2. Nađite površinu bočne površine pravilne piramide
U pravilnoj trouglastoj piramidi visina je 10 cm, a stranica osnove 16 cm . Pronađite bočnu površinu .Rješenje.
Budući da je osnova pravilne trouglaste piramide jednakostraničan trokut, AO je polumjer kružnice opisane oko baze.
(ovo proizilazi iz)
Iz njegovih svojstava nalazimo poluprečnik kružnice opisane oko jednakostraničnog trougla
Otuda će dužina ivica pravilne trouglaste piramide biti jednaka:
AM 2 = MO 2 + AO 2
visina piramide je poznata pod uslovom (10 cm), AO = 16√3/3
AM 2 = 100 + 256/3
AM = √(556/3)
Svaka strana piramide je jednakokraki trougao. Pronalazimo površinu jednakokračnog trokuta iz prve formule prikazane u nastavku 
S = 1/2 * 16 sqrt((√(556/3) + 8) (√(556/3) - 8))
S = 8 sqrt((556/3) - 64)
S = 8 m² (364/3)
S = 16 sqrt (91/3)
Pošto su sve tri strane pravilne piramide jednake, bočna površina će biti jednaka
3S = 48 √(91/3)
odgovor: 48 √(91/3)
Zadatak 3. Nađite ukupnu površinu pravilne piramide
Stranica pravilne trouglaste piramide je 3 cm, a ugao između bočne strane i osnove piramide je 45 stepeni. Pronađite ukupnu površinu piramide.
Rješenje.
Pošto je piramida pravilna, u njenoj osnovi postoji jednakostranični trougao. Dakle, površina baze je 
Dakle = 9 * √3/4
Da bismo pronašli površinu bočne strane, izračunavamo visinu KM. Prema problemu, ugao OKM je 45 stepeni.
ovako:
OK / MK = cos 45
Hajde da iskoristimo prednost
Prilikom pripreme za Jedinstveni državni ispit iz matematike, studenti moraju sistematizovati svoja znanja iz algebre i geometrije. Želio bih kombinirati sve poznate informacije, na primjer, o tome kako izračunati površinu piramide. Štoviše, počevši od baze i bočnih rubova do cijele površine. Ako je situacija sa bočnim stranama jasna, budući da su trouglovi, onda je baza uvijek drugačija.
Kako pronaći površinu osnove piramide?
To može biti apsolutno bilo koja figura: od proizvoljnog trougla do n-ugla. A ova baza, pored razlike u broju uglova, može biti pravilna ili nepravilna figura. U zadacima Jedinstvenog državnog ispita koji zanimaju školarce, postoje samo zadaci s tačnim brojkama u osnovi. Stoga ćemo govoriti samo o njima.
Pravilan trougao
Odnosno, jednakostraničan. Onaj u kojem su sve strane jednake i označene slovom "a". U ovom slučaju, površina baze piramide se izračunava po formuli:
S = (a 2 * √3) / 4.
Square
Formula za izračunavanje njegove površine je najjednostavnija, ovdje je "a" opet strana:
Proizvoljni regularni n-ugao
Strana poligona ima istu notaciju. Za broj uglova koristi se latinično slovo n.
S = (n * a 2) / (4 * tg (180º/n)).
Što učiniti pri izračunavanju bočne i ukupne površine?
Pošto je osnova pravilna figura, sva lica piramide su jednaka. Štaviše, svaki od njih je jednakokraki trokut, jer su bočne ivice jednake. Zatim, da biste izračunali bočnu površinu piramide, trebat će vam formula koja se sastoji od zbira identičnih monoma. Broj pojmova je određen brojem stranica baze.
Površina jednakokračnog trokuta izračunava se po formuli u kojoj se polovina proizvoda baze pomnoži s visinom. Ova visina u piramidi naziva se apotema. Njegova oznaka je "A". Opća formula za bočnu površinu je:
S = ½ P*A, gdje je P obim osnove piramide.
Postoje situacije kada stranice baze nisu poznate, ali su date bočne ivice (c) i ravan ugao na njenom vrhu (α). Zatim morate koristiti sljedeću formulu za izračunavanje bočne površine piramide:
S = n/2 * u 2 sin α .
Zadatak br. 1
Stanje. Nađite ukupnu površinu piramide ako njena osnova ima stranu 4 cm, a apotema ima vrijednost √3 cm.
Rješenje. Morate početi s izračunavanjem perimetra baze. Pošto je ovo pravilan trokut, onda je P = 3*4 = 12 cm. Pošto je apotema poznata, možemo odmah izračunati površinu cijele bočne površine: ½*12*√3 = 6√3 cm 2.
Za trougao u osnovi dobijate sljedeću vrijednost površine: (4 2 *√3) / 4 = 4√3 cm 2.
Da biste odredili cijelu površinu, morat ćete sabrati dvije rezultirajuće vrijednosti: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm 2.
Odgovori. 10√3 cm 2.
Problem br. 2
Stanje. Postoji pravilna četvorougaona piramida. Dužina donje strane je 7 mm, bočne ivice 16 mm. Potrebno je saznati njegovu površinu.
Rješenje. Pošto je poliedar četvorougao i pravilan, njegova osnova je kvadrat. Kada znate površinu baze i bočnih strana, moći ćete izračunati površinu piramide. Formula za kvadrat je data gore. A za bočne strane poznate su sve strane trougla. Stoga možete koristiti Heronovu formulu da izračunate njihove površine.
Prvi proračuni su jednostavni i vode do sljedećeg broja: 49 mm 2. Za drugu vrijednost, morat ćete izračunati poluperimetar: (7 + 16*2): 2 = 19,5 mm. Sada možete izračunati površinu jednakokračnog trougla: √(19,5*(19,5-7)*(19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 mm 2. Postoje samo četiri takva trokuta, tako da ćete prilikom izračunavanja konačnog broja morati da ga pomnožite sa 4.
Ispada: 49 + 4 * 54,644 = 267,576 mm 2.
Odgovori. Željena vrijednost je 267,576 mm 2.
Problem br. 3
Stanje. Za pravilnu četvorougaonu piramidu morate izračunati površinu. Poznato je da je stranica kvadrata 6 cm, a visina 4 cm.
Rješenje. Najlakši način je korištenje formule s umnoškom perimetra i apoteme. Prvu vrijednost je lako pronaći. Drugi je malo komplikovaniji.
Morat ćemo se sjetiti Pitagorine teoreme i razmotriti da je formirana visinom piramide i apoteme, koja je hipotenuza. Drugi krak jednak je polovini stranice kvadrata, jer visina poliedra pada u njegovu sredinu.
Tražena apotema (hipotenuza pravouglog trougla) je jednaka √(3 2 + 4 2) = 5 (cm).
Sada možete izračunati potrebnu vrijednost: ½*(4*6)*5+6 2 = 96 (cm 2).
Odgovori. 96 cm 2.
Problem br. 4
Stanje. Navedena je ispravna strana, stranice njene osnove su 22 mm, bočne ivice su 61 mm. Kolika je bočna površina ovog poliedra?
Rješenje. Obrazloženje u njemu je isto kao ono opisano u zadatku br. 2. Samo tamo je data piramida sa kvadratom u osnovi, a sada je to šestougao.
Prije svega, osnovna površina se izračunava korištenjem gornje formule: (6*22 2) / (4*tg (180º/6)) = 726/(tg30º) = 726√3 cm 2.
Sada morate saznati polu-perimetar jednakokračnog trokuta, što je bočna strana. (22+61*2):2 = 72 cm Ostaje samo da pomoću Heronove formule izračunate površinu svakog takvog trokuta, a zatim je pomnožite sa šest i dodate onom dobijenom za osnovu.
Proračuni pomoću Heronove formule: √(72*(72-22)*(72-61) 2)=√435600=660 cm 2. Izračuni koji će dati površinu bočne površine: 660 * 6 = 3960 cm 2. Ostaje da ih zbrojimo kako bismo saznali cijelu površinu: 5217,47≈5217 cm 2.
Odgovori. Baza je 726√3 cm 2, bočna površina je 3960 cm 2, cijela površina je 5217 cm 2.
Paralelepiped je četvorougaona prizma sa paralelogramom u osnovi. Postoje gotove formule za izračunavanje bočne i ukupne površine figure, za koje su potrebne samo dužine tri dimenzije paralelepipeda.
Kako pronaći bočnu površinu pravokutnog paralelepipeda
Potrebno je razlikovati pravougaoni i ravni paralelepiped. Osnova ravne figure može biti bilo koji paralelogram. Površina takve figure mora se izračunati pomoću drugih formula.
Zbir S bočnih strana pravokutnog paralelepipeda izračunava se pomoću jednostavne formule P*h, gdje je P obim, a h visina. Slika pokazuje da su suprotne strane pravokutnog paralelepipeda jednake, a visina h poklapa se s dužinom rubova okomitih na osnovu.
Površina kvadra
Ukupna površina figure sastoji se od strane i površine 2 baze. Kako pronaći površinu pravokutnog paralelepipeda:
Gdje su a, b i c dimenzije geometrijskog tijela.
Opisane formule su lako razumljive i korisne u rješavanju mnogih geometrijskih problema. Primjer tipičnog zadatka prikazan je na sljedećoj slici.
Prilikom rješavanja problema ove vrste, treba imati na umu da se osnova četverokutne prizme bira proizvoljno. Ako kao osnovu uzmemo lice dimenzija x i 3, tada će vrijednosti Sside biti različite, a Stotal će ostati 94 cm2.
Površina kocke
Kocka je pravougaoni paralelepiped u kojem su sve 3 dimenzije jednake. U tom smislu, formule za ukupnu i bočnu površinu kocke razlikuju se od standardnih.
Obim kocke je 4a, dakle, Sside = 4*a*a = 4*a2. Ovi izrazi nisu potrebni za pamćenje, ali značajno ubrzavaju rješavanje zadataka.
Cilindar je geometrijsko tijelo omeđeno dvjema paralelnim ravnima i cilindričnom površinom. U članku ćemo govoriti o tome kako pronaći površinu cilindra i, koristeći formulu, riješit ćemo nekoliko problema kao primjer.
Cilindar ima tri površine: gornju, bazu i bočnu površinu.
Vrh i baza cilindra su krugovi i lako ih je prepoznati.
Poznato je da je površina kruga jednaka πr 2. Stoga će formula za površinu dva kruga (vrh i baza cilindra) biti πr 2 + πr 2 = 2πr 2.
Treća, bočna površina cilindra, je zakrivljeni zid cilindra. Kako bismo što bolje zamislili ovu površinu, pokušajmo je transformirati da dobije prepoznatljiv oblik. Zamislite da je cilindar obična limena limenka koja nema gornji ili donji poklopac. Napravimo okomiti rez na bočnom zidu od vrha do dna limenke (korak 1 na slici) i pokušajmo otvoriti (ispraviti) rezultirajuću figuru što je više moguće (korak 2).
Nakon što se dobijena staklenka potpuno otvori, vidjet ćemo poznatu figuru (korak 3), ovo je pravougaonik. Površinu pravougaonika je lako izračunati. Ali prije toga, vratimo se na trenutak originalnom cilindru. Vrh originalnog cilindra je krug, a znamo da se obim izračunava po formuli: L = 2πr. Na slici je označeno crvenom bojom.
Kada se bočna stijenka cilindra potpuno otvori, vidimo da obim postaje dužina rezultirajućeg pravokutnika. Stranice ovog pravougaonika biće obim (L = 2πr) i visina cilindra (h). Površina pravokutnika jednaka je proizvodu njegovih stranica - S = dužina x širina = L x h = 2πr x h = 2πrh. Kao rezultat toga, dobili smo formulu za izračunavanje površine bočne površine cilindra.
Formula za bočnu površinu cilindra
S strana = 2πrh
Ukupna površina cilindra
Konačno, ako zbrojimo površinu sve tri površine, dobićemo formulu za ukupnu površinu cilindra. Površina cilindra jednaka je površini vrha cilindra + površini osnove cilindra + površini bočne površine cilindra ili S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Ponekad se ovaj izraz piše identično formuli 2πr (r + h).
Formula za ukupnu površinu cilindra
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r – poluprečnik cilindra, h – visina cilindra
Primjeri izračunavanja površine cilindra
Da bismo razumjeli gornje formule, pokušajmo izračunati površinu cilindra koristeći primjere.
1. Poluprečnik osnove cilindra je 2, visina 3. Odredite površinu bočne površine cilindra.
Ukupna površina se izračunava pomoću formule: S strana. = 2πrh
S strana = 2 * 3,14 * 2 * 3
S strana = 6,28 * 6
S strana = 37,68
Bočna površina cilindra je 37,68.
2. Kako pronaći površinu cilindra ako je visina 4, a polumjer 6?
Ukupna površina se izračunava po formuli: S = 2πr 2 + 2πrh
S = 2 * 3,14 * 6 2 + 2 * 3,14 * 6 * 4
S = 2 * 3,14 * 36 + 2 * 3,14 * 24
Znamo šta je konus, pokušajmo pronaći njegovu površinu. Zašto trebate riješiti takav problem? Na primjer, trebate razumjeti koliko će tijesta utrošiti na pravljenje korneta za vafle? Ili koliko je cigli potrebno da se napravi krov zamka od cigle?
Mjerenje bočne površine konusa jednostavno se ne može uraditi. Ali zamislimo isti rog umotan u tkaninu. Da biste pronašli površinu komada tkanine, morate ga izrezati i položiti na stol. Rezultat je ravna figura, možemo pronaći njegovu površinu.
Rice. 1. Presjek konusa duž generatrise
Uradimo isto sa konusom. Na primjer, "presećimo" njegovu bočnu površinu duž bilo koje generatrise (vidi sliku 1).
Sada "odmotamo" bočnu površinu na ravan. Dobijamo sektor. Centar ovog sektora je vrh stošca, polumjer sektora jednak je generatrisi stošca, a dužina njegovog luka poklapa se sa obimom osnove stošca. Ovaj sektor se naziva razvoj bočne površine stošca (vidi sliku 2).
Rice. 2. Razvoj bočne površine
Rice. 3. Mjerenje ugla u radijanima
Pokušajmo pronaći područje sektora koristeći dostupne podatke. Prvo, uvedemo notaciju: neka je ugao na vrhu sektora u radijanima (vidi sliku 3).
Često ćemo morati da se nosimo sa uglom na vrhu zahvata u problemima. Za sada, pokušajmo odgovoriti na pitanje: zar ovaj ugao ne može biti veći od 360 stepeni? Odnosno, zar se ne bi ispostavilo da bi se preklapanje sam po sebi preklopio? Naravno da ne. Dokažimo ovo matematički. Neka se skeniranje „superponira“ samo po sebi. To znači da je dužina luka sweep veća od dužine kruga radijusa. Ali, kao što je već spomenuto, dužina luka zamaha je dužina kruga radijusa. A polumjer osnove stošca je, naravno, manji od generatrikse, na primjer, jer je krak pravokutnog trokuta manji od hipotenuze
Zatim se prisjetimo dvije formule iz kursa planimetrije: dužina luka. Područje sektora: .
U našem slučaju ulogu igra generator , a dužina luka jednaka je obimu osnove stošca, tj. Imamo:
Konačno dobijamo: .
Uz bočnu površinu, može se naći i ukupna površina. Da biste to učinili, površina baze se mora dodati površini bočne površine. Ali baza je krug radijusa, čija je površina prema formuli jednaka .
Konačno imamo: , gdje je polumjer osnove cilindra, je generatriksa.
Rešimo nekoliko zadataka koristeći date formule.
Rice. 4. Potreban ugao
Primjer 1. Razvoj bočne površine stošca je sektor sa uglom na vrhu. Nađite ovaj ugao ako je visina konusa 4 cm, a poluprečnik osnove 3 cm (vidi sliku 4).
Rice. 5. Pravokutni trokut koji formira konus
Prvom radnjom, prema Pitagorinoj teoremi, nalazimo generator: 5 cm (vidi sliku 5). Dalje, znamo to .
Primjer 2. Aksijalna površina poprečnog presjeka konusa je jednaka , visina je jednaka . Pronađite ukupnu površinu (vidi sliku 6).
